matematica

1. UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL
COLÉGIO DE APLICAÇÃO - INSTITUTO DE MATEMÁTICA
OFICINAS DE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA
LABORATÓRIO DE PRÁTICA DE ENSINO EM MATEMÁTICA
Responsáveis: Profa. Simone Dias Cruz, Prof. Marcus Vinicius de A Basso, Acad. Brunna Stock e Acad. Fernando Fogaça
Resolução Lista 8
1) A figura abaixo representa um cilindro circunscrito a uma esfera.
Se 1V é o volume da esfera e 2V é o volume do cilindro, então a razão
12
1
VV
V
−
é
a) 1/3.
b) 1/2.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
RESOLUÇÃO
O volume 1V nós já sabemos que é
3
4 3
rπ
. Para o cilindro, nós sabemos que o raio de base é r
e que a altura é 2r. Logo, o volume 2V é 32
22 rrr ππ =⋅ . Substituindo na fórmula pedida,
teremos
2
2
3
3
4
3
4
2
1
3
4
3
3
3
3
3
12
1
=⋅=
−
⋅=
− r
r
r
r
r
VV
V
π
π
π
π
π
. Alternativa D.
2) Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma
de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm³, então o
número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a
a) 4.
b) 8.
c) 16.
d) 24.
e) 32.
RESOLUÇÃO

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Não podemos derreter uma esfera de aço para que ela caiba nas caixas de madeira. Logo,
devemos interpretar que uma esfera que raio 6 ocupa o mesmo espaço que um cubo de lado 12.
Agora, vamos ver qual é a aresta da caixa de madeira:
241382413824 3
=⇔=⇔= caixacaixacaixa aaV cm.
Ou seja, cabem perfeitamente 2 esferas em cada dimensão deste cubo. Logo, cabem no máximo
8222 =⋅⋅ esferas em cada caixa. Alternativa B.
3) Um artista plástico construiu, com certa quantidade de massa modeladora, um cilindro circular
reto cujo diâmetro da base mede 24cm e cuja altura mede 15cm. Antes que a massa secasse, ele
resolveu transformar aquele cilindro numa esfera.
Volume da esfera:
3
4 3
r
Vesfera
π
=
Analisando as características da figuras geométricas envolvidas, conclui-se que o raio R da esfera
assim construída é
a) 15.
b) 12.
c) 24.
d) 3
603 .
e) 3
306 .
RESOLUÇÃO
Se o diâmetro da base do cilindro é 24 cm, podemos concluir que o raio da base é 12 cm. Assim, o
volume de massa gasta para fazer o cilindro é de ππ 216015122
=⋅⋅ ; Agora, temos que
encontrar o raio da esfera que possui mesmo volume. Assim:
⇔=⇔=⇔=• 16202160
3
4
2160 3
3
r
r
V π
π
π 3
603=r . Alternativa D.
4) Duas esferas de raio r foram colocadas dentro de um cilindro circular reto com altura 4r, raio
de base r e espessura desprezível, como na figura abaixo.

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Nessas condições, a razão entre o volume do cilindro não ocupado pelas esferas e o volume das
esferas é
a) 1/5.
b) 1/4.
c) 1/3.
d) 1/2.
e) 2/3.
RESOLUÇÃO
Primeiramente vamos calcular o volume do cilindro inteiro. Sabemos que o raio da base é r e a
altura é 4r. Então o volume é 32
44 rrr ππ =⋅ . O volume ocupado pelas esferas é
3
4
2
3
rπ
⋅ =
.
3
8 3
rπ
Queremos calcular o volume não ocupado pelas esferas dividido pelo volume das esferas,
ou seja,
2
1
8
3
3
4
8
3
3
8
4
3
3
3
3
3
=⋅=⋅








−=
−
r
r
r
r
r
V
VV
esferas
esferastotal
π
π
π
π
π . Alternativa D.
5) Um reservatório tem forma de um cilindro circular reto com duas semiesferas acopladas em
suas extremidades, conforme representado na figura abaixo.
O diâmetro da base e a altura do cilindro medem, cada um, 4dm. Dentre as opções abaixo, o
valor mais próximo da capacidade do reservatório, em litros, é
a) 50.
b) 60.
c) 70.
d) 80.
e) 90.
RESOLUÇÃO
Como o diâmetro da base é 4 dm, então os raios da base e, conseqüentemente das semiesferas, é
2 dm. O volume que queremos é a soma dos volumes do cilindro e das duas semiesferas (que

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juntas, formam uma esfera). O volume do cilindro é ππ 1644 =⋅ e o volume das duas
semiesferas é
3
32
3
84 ππ
=
⋅
. Somando os dois volumes e substituindo π por 3,15, teremos:
8405,180
3
80
16
3
32
=⋅==+
π
π
π
dm³. Na verdade, se substituíssemos π pelo seu valor real,
teríamos um pouco menos que 84. Assim, o número mais próximo de 84 nas alternativas é 80.
Alternativa D.