Números inteiros e operações básicas

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Didatismo e Conhecimento
MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO
MATEMÁTICA NÚMEROS
INTEIROS E RACIONAIS: Operações
(adição, subtração, multiplicação, divisão,
potenciação).
CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião
do conjunto dos números naturais (N = {0,1,2,3,4, ..., n, ...}, o
conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto
é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto
pode ser escrito por: Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos
notáveis:
 O conjunto dos números inteiros não nulos:
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...};
Z* = Z – {0}
 O conjunto dos números inteiros não negativos:
Z+
= {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Z+
é o próprio conjunto dos números naturais: Z+
= N
 O conjunto dos números inteiros positivos:
Z*+
= {1, 2, 3, 4, ...}
 O conjunto dos números inteiros não positivos:
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0}
 O conjunto dos números inteiros negativos:
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1}
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância
ou afastamento desse número até o zero, na reta numérica inteira.
Representa-se o módulo por | |.
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é
sempre positivo.
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos
um do outro quando apresentam soma zero; assim, os pontos que
os representam distam igualmente da origem.
Exemplo: O oposto do número 2 é -2, e o oposto de -2 é 2,
pois 2 + (-2) = (-2) + 2 = 0
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e
vice-versa; particularmente o oposto de zero é o próprio zero.
ADIÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos
números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros
negativos a idéia de perder.
ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+5) + (+3) = (+8)
perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)
ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)
perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas
o sinal (–) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.
Propriedades da adição de números inteiros: O conjunto
Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros
ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a + (b + c) = (a + b) + c
2 + (3 + 7) = (2 + 3) + 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
Elemento Neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em
Z, proporciona o próprio z, isto é:
z + 0 = z
7 + 0 = 7
Elemento Oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que
z + (–z) = 0
9 + (–9) = 0
EXERCÍCIOS
1- Calcule a soma:
a) (+11) + 0 = g) (–22) + (+34) =
b) 0 + (–13) = h) (+49) + (–60) =
c) (+28) + (+2) = i) (–130) + (–125) =
d) (–34) + (–3) = j) (+49) + (+121) =
e) (–8) + (–51) = k) (+820) + (–510) =
f) (+21) + (+21) = l) (–162) + (–275) =
2- Determine o número inteiro que se deve colocar no lugar de
x para que sejam verdadeiras as igualdades:
a) x + (+9) = +13 d) x + (–3) = +3
b) x + (–6) = –10 e) x + (+7) = –8
c) x + (–7) = 0 f) (–20) + x = –18
3- Sabe-se que a = –73, b = +51 e c = –17. Nessas condições,
calcule o valor de:
a) a + b c) b + c
b) a + c d) a + b + c
4- Numa olimpíada de matemática, uma turma ganhou 13
pontos na primeira fase e 18 na segunda. Usando a adição de
números inteiros, calcule quantos pontos essa turma ganhou.
5- Caio tem R$ 3.600,00 na sua conta bancária. Se ele fizer um
depósito de R$ 4.000,00, como ficará o seu saldo?
6- Em um programa de perguntas e respostas, a cada resposta
correta Carlos, recebia R$ 20,00 do apresentador do programa.
Porém, a cada resposta errada, pagava R$ 22,00. De 100 perguntas,
Carlos acertou 52. Ele ganhou ou perdeu dinheiro? Quantos reais?
7- Sabe-se que Júlio César, famoso conquistador e cônsul
romano, nasceu no ano 100 a.C. e morreu, assassinado, com a
idade de 56 anos. Em que ano Júlio César morreu?

2
8- Os números a e b são inteiros. Se a e b são opostos, quanto
dá a adição a + b?
9- Os números a e b são inteiros positivos. É correto afirmar
que a + b é um número positivo?
10- Na atmosfera, a temperatura diminui cerca de 1 grau a
cada 200m de afastamento da superfície terrestre. Se a temperatura
na superfície é de +20 graus, qual será a temperatura na atmosfera
a uma altura de 10 km?
RESPOSTAS
1- (a) +11) (b) –13) (c) +30) (d) –37) (e) –59) (f) +42) (g) +12)
(h) –11) (i) –255 (j) +170) (k) +310) (l) –437)
2- (a) +4) (b) –4) (c) +7) (d) +6) (e) –15) (f) +2)
3- (a) –22) (b) –90) (c) +34) (d) –39)
4- (31)
5- (R$ 7.600,00)
6- (Perdeu R$ 16,00)
7- (44 a.C.)
8- (0)
9- (SIM)
10- (–30 graus)
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A subtração é empregada quando:
• Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade;
• Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma
delas tem a mais que a outra;
• Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta
a uma delas para atingir a outra.
A subtração é a operação inversa da adição.
Observe que: 9 – 5 = 4 4 + 5 = 9
diferença
subtraendo
minuendo
Considere as seguintes situações:
1- Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de
+3 graus para +6 graus. Qual foi a variação da temperatura?
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3)
= +3
2- Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia,
era de +6 graus. À Noite, a temperatura baixou de 3 graus. Qual a
temperatura registrada na noite de terça-feira?
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) –
(+3) é o mesmo que (+5) + (–3).
Temos:
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o
mesmo que adicionar o primeiro com o oposto do segundo.
EXERCÍCIOS
1- Numa adição, uma das parcelas é 148 e a soma é 301. Qual
é a outra parcela?
2- Numa subtração, o subtraendo é 75 e a diferença é 208.
Qual é o minuendo?
3- Dê o valor do número natural representado pela letra x.
a) x – 155 = 45 b) x – 420 = 0
4- Dona Noêmia, a bibliotecária da escola, organizou um
quadro com o movimento de retirada e devolução dos 40 livros
indicados para leitura da 5º série.
Movimento na biblioteca
Dia Retirada Devolução
2ª feira 25 -
3ª feira 12 -
4ª feira - 10
5ª feira 7 8
Dos livros indicados para a 5ª série, quantos estavam na
biblioteca no início da 6ª feira?
5- Um número inteiro é expresso por (53 – 38 + 40) – 51 +
(90 – 7 + 82) = 101. Qual é esse número inteiro?
6- Calcule a diferença entre:
a) o oposto de – 15 com o oposto de – 35;
b) o oposto de – 24 com o módulo de – 50.
7- Calcule:
a) (+12) + (–40)
b) (+12) – (–40)
c) (+5) + (–16) – (+9) – (–20)
d) (–3) – (–6) – (+4) + (–2) + (–15)
8- Determine o valor de x de modo a tornar as sentenças
verdadeiras:
a) x + (–12) = –5
b) x + (+9) = 0
c) x – (–2) = 6
d) x + (–9) = –12
e) –32 + x = –50
f) 0 – x = 8
9- A tabela a seguir refere-se ao movimento bancário da
conta corrente de minha amiga Cláudia, no período de 10 a 15 de
fevereiro:
Dia Histórico Débito Crédito Saldo
10/02 Saldo Anterior –120,00
11/02 Cheque 45,00 a)
12/02 Depósito 200,00 b)

3
13/02 IOF* 1,00 c)
14/02 Cheque 123,00 d)
15/02 Depósito 150,00 e)
* IOF – Imposto sobre Operações Financeiras.
Cabe a você encontrar o saldo bancário de Cláudia dia a dia.
10- Qual a diferença prevista entre
as temperaturas no Piauí e no Rio
Grande do Sul, num determinado
dia, segundo as informações?
Tempo no Brasil: Instável a ensolarado no Sul.
Mínima prevista -3º no Rio Grande do Sul.
Máxima prevista 37° no Piauí.
RESPOSTAS
1- 153
2- 283
3 - a) x = 200 b) x = 420
4- 14
5- 270
6- a) -20 b) –26
7- a) –28 b) 52 c) 0
8- a) 7 b) –9 c) 4
9- a) – 165,00 b) 35,00
10- (+40 graus)
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de
uma adição quando os números são repetidos. Poderíamos analisar
tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente
alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30
vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição
pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2
+ ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) +
(–2) + ... + (–2) = 30 x (2) = –60
Observamos que a multiplicação é um caso particular da
adição onde os valores são repetidos.
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser
indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as
letras.
Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos
obedecer à seguinte regra de sinais:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Com o uso das regras acima, podemos concluir que:
Sinais dos números Resultado do produto
iguais positivo
diferentes negativo
Propriedades da multiplicação de números inteiros: O
conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação
de dois números inteiros ainda é um número inteiro.
Associativa: Para todos a,b,c em Z:
a x (b x c) = (a x b) x c
2 x (3 x 7) = (2 x 3) x 7
Comutativa: Para todos a,b em Z:
a x b = b x a
3 x 7 = 7 x 3
Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z
em Z, proporciona o próprio z, isto é:
z x 1 = z
7 x 1 = 7
Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe
um inverso z–1
=1/z em Z, tal que
z x z–1
= z x (1/z) = 1
9 x 9–1
= 9 x (1/9) = 1
Distributiva: Para todos a,b,c em Z:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
3 x (4+5) = (3 x 4) + (3 x 5)
EXERCÍCIOS
Quando numa expressão aparecem parênteses ( ), colchetes
[ ] e chaves { }, resolvem-se primeiro as operações contidas nos
parênteses, depois as operações contidas nos colchetes e por último
as operações contidas nas chaves.
1- Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:
a) –5 + (–3) . (+8)
b) (–6) . (+5) – (–4) . (+3)
c) (–5 + 1) . (–8 + 2)
d) 6 – (–6 + 4) . (–5 + 9)
e) (–3) . (–4) + (–6) . (+5)
f) 12 – (–2) . (+3) + (–4) . (–5)
g) 9 – [(–2) . (+7) – (–8) . (+3)]
h) (–2) . (+3) + {2 . [–3 + (–2) . (–4)]}
2- Calcule o valor numérico das expressões:
a) 2x – y, sendo x = –3 e y = –5
b) 4x – 2y + 5z, sendo x = –1, y = –6 e z = +5
c) 4ab + 5a, sendo a = 7 e b = –8
d) 6xy – 5y, sendo x = +4 e y = –1
e) 5a – 3ab + 7b, para a = –3 e b = +2
f) 2ab – 5abc, para a = 2, b = 3 e c = –1
3- Use a propriedade distributiva da multiplicação para
calcular –5 . (–8 + 5).
4- Sem realizar a operação, determine o número inteiro que
devemos colocar no lugar do número x para que se tenha:

4
a) x . (–16) = –16
b) x . (–5) = (–5) . (+9)
c) x . (–8) = 0
d) x . (+1) = +11
5- Quais os dois números inteiros negativos cuja soma é –5 e
cujo produto é +6?
6- Quais os dois números inteiros, um positivo e outro
negativo, cuja soma é +3 e o produto é 10?
7- A letra a representa um número inteiro e (+65) . (-12) . a =
0. Qual é o valor de a?
8- Qual é o produto de três números inteiros consecutivos em
que o maior deles é –10?
9- Três números inteiros são consecutivos e o menor deles é
+99. Determine o produto desses três números.
10- Paulo pensou em dois números pares consecutivos.
Multiplicou-os e obteve +168. Sabendo que um deles é igual a
–14, faça uma estimativa e, por tentativas, determine o outro.
RESPOSTAS
1) a) – 29 b) – 18 c) 24 d) 14 e) – 18 f) 38 g) – 1 h) 4
2) a) – 1 b) 33 c) – 189 d) 19 e) 17 f) 42
3) 15
4) a) +1 b) +9 c) 0 d) +11
5) –2 e –3
6) +5 e –2
7) 0
8) -1320
9) 999 900
10) -12
DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Dividendo divisor dividendo : divisor = quociente
0 quociente quociente . divisor = dividendo
Sabemos que na divisão exata dos números naturais:
40 : 5 = 8, pois 5 . 8 = 40
36 : 9 = 4, pois 9 . 4 = 36
Vamos aplicar esses conhecimentos para estudar a divisão
exata de números inteiros. Veja o cálculo:
(–20) : (+5) = q  (+5) . q = (–20)  q = (–4)
Logo: (–20) : (+5) = +4
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para
efetuar a divisão exata de um número inteiro por outro número
inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo
módulo do divisor. Daí:
 quando o dividendo e o divisor têm o mesmo sinal, o
quociente é um número inteiro positivo.
 quando o dividendo e o divisor têm sinais diferentes, o
quociente é um número inteiro negativo.
 a divisão nem sempre pode ser realizada no conjunto
Z. Por exemplo, (+7) : (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não
podem ser realizadas em Z, pois o resultado não é um número
inteiro.
 No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é
associativa e não tem a propriedade da existência do elemento
neutro.
1- Não existe divisão por zero.
Exemplo: (–15) : 0 não tem significado, pois não existe um
número inteiro cujo produto por zero seja igual a –15.
2- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de
zero, é zero, pois o produto de qualquer número inteiro por zero é
igual a zero.
Exemplos: a) 0 : (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0
EXERCÍCIOS
1- Calcule os quocientes:
a) 0 : (–91)
b) (+182) : (–14)
c) (–216) : (–24)
d) (+486) : (–18)
e) (–490) : (–14)
f) (+900) : (–15)
g) (–828) : (+23)
h) (+1 120) : (–28)
i) (–1 488) : (+124)
2- Identifique as sentenças verdadeiras:
a) O sinal do quociente de dois números inteiros é positivo
se o dividendo for positivo e o divisor zero.
b) O sinal do quociente de dois números inteiros é
negativo se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal.
c) O quociente de dois números inteiros é sempre um
número inteiro.
d) O quociente de dois números inteiros é zero se o
dividendo for zero e o divisor for inteiro positivo.
e) O sinal do quociente de dois números inteiros é positivo
se o dividendo e o divisor tiverem o mesmo sinal.
3- Copie as igualdades substituindo o x por números inteiros
de modo que elas se mantenham:
a) (–140) : x = –20
b) 144 : x = –4
c) (–147) : x = +21
d) x : (+13) = +12
e) x : (–93) = +45
f) x : (–12) = –36

5
4- Sabendo que A = (–46 – 18) : (59 – 43), determine o valor
de A.
5- Sendo x = (–82 + 34 – 6) e y = (–9) . (51 – 53), qual é o
valor de x : y?
6- Qual é o valor de B, se B = (–6 + 2 + 4 – 8 + 8) : (+138)?
7- Sabendo que a = (–25 + 18 – 72 + 49) : (–15) e b = (+24):
(81 – 93 + 17 – 42 + 25), responda:
a) Qual o valor de a?
b) Qual o valor de b
c) Qual o valor do produto a . b?
8- Qual é o número inteiro que dividido por –8 resulta +12?
9- Nicolau pensou em um número que multiplicado por (-25)
tem como resultado (+150). Qual foi o número em que Nicolau
pensou?
10- Adicionando –846 a um número inteiro e multiplicando a
soma por –3, obtém-se +324. Que número é esse?
RESPOSTAS
1) a) 0 b) – 13 c) 9 d) – 27 e) 35 f) – 60 g) – 36 h) – 40
i) – 12
2) d, e
3) a) + 7 b) – 36 c) – 7 d) + 156 e) – 4 185 f) + 432
4) -4
5) -3
6) 0
7) a) 2 b) – 2 c) – 4
8) -96
9) -6
10) +738
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS
Apotência an
do número inteiro a, é definida como um produto
de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número
n é o expoente.
an
= a × a × a × a × ... × a
a é multiplicado por a n vezes
Exemplos:
33
= (3) x (3) x (3) = 27
(-5)5
= (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125
(-7)² = (-7) x (-7) = 49
(+9)² = (+9) x (+9) = 81
 Toda potência de base positiva é um número inteiro
positivo.
Exemplo: (+3)2
= (+3) . (+3) = +9
 Toda potência de base negativa e expoente par é um
número inteiro positivo.
Exemplo: (– 8)2
= (–8) . (–8) = +64
 Toda potência de base negativa e expoente ímpar é
um número inteiro negativo.
Exemplo: (–5)3
= (–5) . (–5) . (–5) = –125
Propriedades da Potenciação:
Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base
e somam-se os expoentes. (–7)3
. (–7)6
= (–7)3+6
= (–7)9
Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se
a base e subtraem-se os expoentes. (+13)8
: (+13)6
= (+13)8 – 6
=
(+13)2
Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se
os expoentes. [(+4)5
]2
= (+4)5 . 2
= (+4)10
Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (+9)1
= +9
(–13)1
= –13
Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual
a 1. Exemplo: (+14)0
= 1 (–35)0
= 1
EXERCÍCIOS
1- Determine a quinta potência de –2.
2- Calcule o valor das seguintes expressões:
a) (–7 + 8 – 4)4
b) (–13 + 92 – 58)0
c) (–15 + 8 + 3 + 4)10
d) (–25 + 39 – 24)3
e) (–65 + 82 – 23)1
f) (–108 + 212 – 103)7
3- Identifique as igualdades verdadeiras:
a) –40
= –1
b) [(+3) + (–2)]5
= (+3)5
+ (–2)5
c) [a2
]5
= a7
d) [(+35) : (–7)]5
= (+35)5
: (–7)5
e) a4
. a3
. b2
= a7
. b2
f) (–1)100
= –1
4- Aplique propriedades de potências de bases iguais e
calcule os valores de:
a) (–1)8
. (–1)3
b) (+10)2
. (+10)3
c) (+12)5
: (+12)4
d) (–20)6
: (–20)6
e) [(+1)3
]6
f) [(–2)3
]0
5- Se A = (–9)2
e B = – (–9)2
, qual é o valor de A . B?
6- Considerando A = (–10)3
e B = – (–10)3
, qual é o valor de
A . B?
7- A letra x representa um número inteiro. A expressão x2 é o
quadrado do valor de x. Qual é o valor da expressão x2
– 2 . x + 1
para x = –1?
8- As letras x e y representam números inteiros, Calcule o
valor da expressão 2 . x – y2
para x = –2 e y = 5.

6
9- A letra a representa um número inteiro. Se a = (–6)2
, qual é
o valor do quadrado de a?
10- Se y = –4 . (+8) – (–56) : (+3 – 1)3
+ (–3)0
. (–4 –1),
calcule o valor de y.
RESPOSTAS
1) -32
2) a) 81 b) 1 c) 0 d) – 1000 e) –6 f) 1
3) a, d, e
4) a) –1 b) 100 000 c) 12 d) 1 e) 1 f) 1
5) (-9)2
. – (-9)2
= 81 . - 81 = – 6 561
6) (-10)3
. – (-10)3
= 1000 . -1000 = -1 000 000 ou -16
7) 4
8) -29
9) 1296
10) -30
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q
Um número racional é o que pode ser escrito na forma
n
m
,
onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser diferente
de zero. Freqüentemente usamos m/n para significar a divisão de
m por n.
Como podemos observar, números racionais podem ser
obtidos através da razão entre dois números inteiros, razão pela
qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q.
Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero}
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos:
 Q* = conjunto dos racionais não nulos;
 Q+
= conjunto dos racionais não negativos;
 Q*+
= conjunto dos racionais positivos;
 Q _ = conjunto dos racionais não positivos;
 Q*_ = conjunto dos racionais negativos.
REPRESENTAÇÃO DECIMAL DAS FRAÇÕES
Tomemos um número racional
q
p
, tal que p não seja
múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, basta efetuar a
divisão do numerador pelo denominador.
Nessa divisão podem ocorrer dois casos:
1º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, um
número finito de algarismos. Decimais Exatos:
5
2
= 0,4
4
1
= 0,25
4
35
= 8,75
50
153
= 3,06
2º) O numeral decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos
algarismos (nem todos nulos), repetindo-se periodicamente.
Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas:
3
1
= 0,333...
22
1
= 0,04545...
66
167
= 2,53030...
REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DOS NÚMEROS
DECIMAIS
Trata-se do problema inverso: estando o número racional
escrito na forma decimal, procuremos escrevê-lo na forma de
fração. Temos dois casos:
1º) Transformamos o número em uma fração cujo numerador
é o número decimal sem a vírgula e o denominador é composto
pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas
decimais do número decimal dado:
0,9 = 10
9
5,7 =
10
57
0,76 =
100
76
3,48 =
100
348
0,005 =
1000
5
=
200
1
2º) Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para
tanto, vamos apresentar o procedimento através de alguns
exemplos:
Exemplo 1 – Seja a dízima 0,333... .
Façamos x = 0,333... e multipliquemos ambos os membros
por 10: 10x = 0,333

7
Subtraindo, membro a membro, a primeira igualdade da
segunda:
10x – x = 3,333... – 0,333...  9x = 3  x = 3/9
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
.
Exemplo 2: Seja a dízima 5,1717... .
Façamos x = 5,1717... e 100x = 517,1717... .
Subtraindo membro a membro, temos:
99x = 512  x = 512/99
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração
99
512
.
Exemplo 3: Seja a dízima 1,23434...
Façamos x = 1,23434... 10x = 12,3434... 1000x =
1234,34... .
Subtraindo membro a membro, temos:
990x = 1234,34... – 12,34...  990x = 1222 
x = 1222/990
Simplificando, obtemos x =
495
611
, a fração geratriz da dízima
1,23434...
Módulo ou valor absoluto: é a distância do ponto que
representa esse número ao ponto de abscissa zero.
Exemplo: módulo de –
2
3
é
2
3
. Indica-se
2
3
- =
2
3
módulo de +
2
3
é
2
3
. Indica-se
2
3
+ =
2
3
Números Opostos: dizemos que –
2
3
e
2
3
são números
racionais opostos ou simétricos e cada um deles é o oposto do
outro. As distâncias dos pontos –
2
3
e
2
3
ao ponto zero da reta
são iguais.
SOMA (ADIÇÃO) DE NÚMEROS RACIONAIS
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na
forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais
b
a
e
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de:
b
a
+
d
c
=
bd
bcad +
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS
RACIONAIS
O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a
soma de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b
) + c
Comutativa: Para todos a, b em Q: a + b = b + a
Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em
Q, proporciona o próprio q, isto é: q + 0 = q
Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que
q + (–q) = 0
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
A subtração de dois números racionais p e q é a própria
operação de adição do número p com o oposto de q, isto é: p – q
= p + (–q)
EXERCÍCIOS
1- Qual é o valor da soma algébrica –
3
8
+
6
5
?
2- Determine o valor de –2 +
15
2
+ 1,2 –
4
3
.
3- Calcule o valor das seguintes somas algébricas:
a) –
15
7
+
6
1
f) –
5
12
+ 0,6
b) –
5
3
–
3
1
g) – 1,25 –
8
1
c) –
15
4
–
12
1
h) 3 –
2
3
– 1,6 +
4
7
d)
10
1
–
15
4
i)
15
14
– 1,4 –
3
8
+ 1,8
e) –
12
7
+
8
1
4- Qual é o valor da soma (–
6
25
) + (+
9
11
)?
5- Qual é o valor da diferença (–
6
7
) (+0,4)?
6- Determine o valor de:
a) (–
4
3
) + (–
6
5
) d) (+
5
3
) – (+
8
7
)

8
b) (–
12
5
) – (–
4
3
) e) (–1,25) – (+
8
3
)
c) (–0,4) + (
6
1
) f) (–
6
7
) + (+0,15)
7- e destas expressões? Qual é o valor?
a) (–0,3) – (–
4
1
) + (+
5
3
)
b) (–1,2) + (–
6
5
) – (+0,6)
8- Se A representa um número e A = (–
3
7
) + (–
6
5
) – (–2,5),
então responda:
a) Qual é o valor de A?
b) Qual é o valor de –27. A?
c) Qual é o valor de
A
1
?
9- Copie as sentenças substituindo o ñ pelos símbolos <, > ou
= de modo que sejam verdadeiras:
a) –
4
3
+
6
1 � –
6
7
b) – 0,7 � – 3,2 –
3
5
c) – 1,01 +
5
8 � 1,59
d) 1 – 1,064 � – 2 + 1,98
10- Sabe-se que a = –
12
7
e b =
9
5
. Responda:
a) Qual é o valor de a + b?
b) Qual é o valor de –a – b?
c) Qual é o valor de – (a + b)?
d) Qual é o valor de
ba +
1
?
11- As letras x e y representam números racionais.
Se x = (–3,5) – (–
12
33
) e y = –
12
17
, responda:
a) Qual é o valor de x?
b) Qual é o valor de x – y?
c) Qual é o valor de –x + y?
d) Qual é o valor de – (–x + y)?
12- Qual é o valor da expressão –
4
1
+ 





+-
4
3
2
1
?
13- Determine o valor da expressão 





--
3
7
21
35
13
36+ .
14- Calcule o valor das expressões:
a) 





--
9
8
18
5
+
9
4
b) 





+-
3
5
15
17
+ 1,35
15- As letras A e B representam números racionais. Sendo A
= –
4
3
+
7
4 e B = –
7
30 +
14
11, responda:
a) Qual é o valor de A? -5/28
b) Qual é o valor de B? -7/2
c) Qual é o valor de A – B? 93/28
d) Qual é o valor de B – A? -93/28
16- A soma de dois números racionais é –1,8. Um deles é 9,7.
Calcule o outro número.
–11,5
17- Subtraindo-se um número de 52, obtém-se –85,6. Que
número é esse? 137,6
18- A soma algébrica de dois números racionais é –
3
5
. Um
dos números é –
12
5 . Qual é o outro número? -5/4
19- Renato escreveu um número racional na forma decimal e
adicionou
25
67 a esse número. Para sua surpresa
o resultado foi zero. Qual foi o número que ele escreveu? -2,68
20- No início de julho, o saldo bancário de Dino era R$ 2,36.
Durante o mês ele usou cheques no valor de R$ 8,32 e R$ 9,85 e
fez um depósito de R$ 15,00. Qual era o saldo de Dino no final de
julho? -0,81 ou R$ 0,81 D
RESPOSTAS
1- (11/6)
2- (-17/12)
3- (a) – 3/10) (b) – 14/15) (c) – 7/20) (d) – 1/6) (e) – 11/24) (f)
– 9/5 ou – 1,8) (g) – 11/8 ou – 1,375) (h) 33/20 ou 1,65) (i) – 4/3)
21

9
4- (- 53/18)
5- (-47/30)
6- (a) -19/12) (b) 1/3) (c) – 7/10) (d) – 11/40) (e) – 13/8) (f)
– 61/60)
7- (a) 11/20) (b) – 79/30)
8- (a) – 2/3) (b) 18) (c) – 3/2)
9- (a) >) (b) >) (c) <) (d) <)
10- (a) – 1/36) (b) 1/36) (c) 1/36) (d) – 36)
11- (a) – 3/4) (b) 2/3) (c) – 2/3) (d) 2/3)
12- (0)
13- (-16/13)
14 - (a) – 13/18) (b) 113/60)
15 - (a) – 5/28) (b) – 7/2) (c) 93/28) (d) – 93/28)
16 - (-11,5)
17 - (137,6)
18- (-5/4)
19 - (- 2,68)
20 - (-0,81 ou R$0,81)
MULTIPLICAÇÃO (PRODUTO) DE NÚMEROS
RACIONAIS
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito
na forma de uma fração, definimos o produto de dois números
racionais
b
a
e
d
c
, da mesma forma que o produto
de frações, através de:
b
a
x
d
c
=
bd
ac
O produto dos números racionais a e b também pode ser
indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre
as letras.
Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos
obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:
(+1) × (+1) = (+1)
(+1) × (-1) = (-1)
(-1) × (+1) = (-1)
(-1) × (-1) = (+1)
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o
mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais
diferentes é negativo.
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE
NÚMEROS RACIONAIS
O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto
de dois números racionais ainda é um número racional.
Associativa: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b
) × c
Comutativa: Para todos a, b em Q: a × b = b × a
Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo
q em Q, proporciona o próprio q, isto é: q × 1 = q
Elemento inverso: Para todo q =
b
a
em Q, q diferente de
zero, existe q-1
=
a
b
em Q: q × q-1
= 1
b
a
x
a
b
= 1
Distributiva: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b
) + ( a × c )
EXERCÍCIOS
1- Calcule os produtos seguintes:
a) 





-
11
48
. 





16
1
b) 





+
60
7
. 





-
21
10
c) (–0,3) . 





-
24
25
d) (+1,2) . 





-
3
10
e) 





+
48
49
. 





-
7
30
. 





+
5
1
f) 





+
8
21
. 





-
7
16
. 





-
20
1
. 





-
36
75
2- Determine o triplo dos seguintes números racionais:
a) –
27
14
b) – 9,07 c)
90
17
3- A letra y representa um número racional. Qual é o valor de
y nas sentenças seguintes?
a) y . 





-
27
20
= 1
b) 





-
50
1
. y = 1
c) y . (–0,8) = 1
4- Se dois números racionais opostos são diferentes de zero,
qual será o sinal do produto desses números?
5- O produto de dois números racionais inversos tem sinal
positivo ou sinal negativo?

10
6- Pense em dois números racionais inversos e multiplique-os.
Agora responda:
a) Qual foi o resultado?
b) Se você pensar em outros dois números, o que acontecerá?
7- As anotações que estão na tabela são as dívidas de Roberto
no mês de julho. No mês de agosto, a sua situação piorou. Resposta,
usando decimais:
Julho
Dia R$
05 - 2,46
13 - 10,80
31 -3,07
Responda, usando decimais:
a) De quanto foi a dívida de Roberto no mês de julho?
b) Se a dívida dobrou no mês de agosto, de quanto foi essa
dívida?
8- Escreva um número racional que multiplicado por
15
7
-
resulta 1.
9- A metade de um número racional somada com o,8 é – 0,45.
Que número é esse?
10- Qual é o número racional cuja terça parte é igual a 3,25?
RESPOSTAS
1) a) – 3/11 b) – 1/18 c) 5/16 d) – 4 e) – 7/8 f) – 15/24
2) a) – 14/9 b) – 27,21 c) 17/30
3) a) – 27/20 b) – 50 c) – 5/4
4) negativo
5) positivo
6) a) 1 b) o produto será 1.
7) a) – 16,33 b) – 32,66.
8) – 15/7
9) – 2,5
10) 9,75
DIVISÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
Adivisão de dois números racionais p e q é a própria operação
de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é: p ÷ q = p
× q-1
EXERCÍCIOS
1) Você se lembra?
Então,
3
20
9
4
-
-
é igual a 





-
9
4
: 





-
3
20
.
Qual é o valor de
3
20
9
4
-
-
?
2) A letra y representa um número racional.
Se 





-
26
15
: y =
13
20
- , qual é o valor de
y?

3) A letra x representa um número racional.Qual é o valor de x
nas igualdades seguintes?
a) (–35) . x =
20
1

b) x : (–0,25) = – 0,35
4)Qual é o valor da expressão
3
1
-












--





--
6
7
12
5
6
1
4
3
–
5)Calcule o valor das expressões numéricas:
a)
24
7












+--





-
4
3
6
7
8
1
12
5–
b) 





+





-





+
2
5
12
1
:
16
3






-
2
7
4
9
–
6)Qual é o valor de 











-





+
7
9
:
35
20






+
3
16
: ?
7)Calcule o valor da expressão numérica (– 0,2) :






+
65
4






-
5
3






+
6
25
– .
8)Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 











-





-
32
3
:
8
5






-
24
5
:
b)












-





-
25
14
:
40
21






+
16
75
:
c) ( )





-





+ 30:
7
60






-
28
5
5
14






+
8
1
– .:
d) ( )





-





- 16,0:
5
8
: (+0,25) + 





+
17
50
: 





-
340
25

11
9)Considere x = –












+-+-
4
9
2
3
5
2 – 











---
5
12
4
10
7
e responda:

a) Qual é o valor de x ?
b) Qual é o valor de
x
1
- ?
c)A letra y representa um número racional e x + y = 0.
Qual é o valor de y?
10)Sabe-se que a = 





-
7
5
.












+





+-
8
21
:
8
5
2
3 .






-
5
7
9
5
- . Responda:
a) Qual é o valor de a?
b) Qual é o valor de – 3 . a ?
RESPOSTAS
1) 1/15
2) 3/8
3) a) – 1/700 b) 0,0875
4) – 1/6
5) a) – 5/12 b) – 3/2
6) – 1/12
7) – ¾
8) a) – 32 b) 1/5 c) 5/4 d) 0
9) a) 39/20 b) – 20/39
10) a) – 8/9 b) 8/3
POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS RACIONAIS
A potência qn
do número racional q é um produto de n fatores
iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.
qn
= q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)
Exemplos:
a)
3
5
2






= 





5
2
. 





5
2
. 





5
2
=
125
8
b)
3
2
1






- = 





-
2
1
. 





-
2
1
. 





-
2
1
=
8
1
-
c) (–5)² = (–5) . ( –5) = 25
d) (+5)² = (+5) . (+5) = 25
Propriedades da Potenciação:
• Toda potência com expoente 0 é igual a 1.
0
5
2






+ = 1
• Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
1
4
9






- =
4
9
-
• Toda potência com expoente negativo de um número
racional diferente de zero é igual a uma outra potência que tem a
base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto
do expoente anterior.
2
5
3
-






- =
2
3
5






- =
9
25
• Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal
da base.
3
3
2






= 





3
2
. 





3
2
. 





3
2
=
27
8
• Toda potência com expoente par é um número positivo.
2
5
1






- = 





-
5
1
. 





-
5
1
=
25
1
• Produto de potências de mesma base. Para reduzir
um produto de potências de mesma base a uma só potência,
conservamos a base e somamos os expoentes.
2
5
2






.
3
5
2






=
532
5
2
5
2
5
2
.
5
2
.
5
2
.
5
2
.
5
2






=





=











+
• Quociente de potências de mesma base. Para reduzir
um quociente de potências de mesma base a uma só potência,
conservamos a base e subtraímos os expoentes.
32525
2
3
2
3
2
3
.
2
3
2
3
.
2
3
.
2
3
.
2
3
.
2
3
2
3
:
2
3






=





==











-
• Potência de Potência. Para reduzir uma potência de
potência a uma potência de um só expoente, conservamos a base e
multiplicamos os expoentes.
62322222232
2
1
2
1
2
1
2
1
.
2
1
.
2
1
2
1






=





=





=

















=














+++
EXERCÍCIOS
1) Escreva o produto
73
3
2
.
3
2






+





+ como uma só
potência.

12
2) Escreva o quociente
412
25
16
:
25
16






-





- como uma só
potência.
3) Se x =
8
23
10






- ,como se escreve x5
usando um só
expoente?
4) Utilize as propriedades das potências de bases iguais e
escreva como uma só potência:
a)
36
20
17
.
20
17






-





-
b)
46
4
3
:
4
3






-





-
c)
52
25
13














+
d) [ (– 0,18)3
]5
e)
59
15
43
.
15
43






+





+
f)
59
15
43
.
15
43






+





+
5)Qual é o valor da expressão 





+





---
4
3
:
2
1
24
13
3
?
6) Calcule o valor das expressões numéricas:
a) 2
3
2
:
3
2
25
-





-





-
b) 





-





-





-





-
36
25
15
28
:
5
7
:
6
1
3
c) ( ) 




+-+--
6
1
3:52.
3
2 2
d) 





-














-+
2
3
:
5
2
.5
10
3
2
e) 25 – [( 3,3 – 0,2 . 1,5 ) – 6,4 : 0,8]2
f)














-+-+





+





-
--- 212
2
1
13
5
1
3
1
.
2
1
3
7) Qual é o valor de 3
21
3
33
-
--
+
?
8) Determine o valor da expressão
2
2
3
1
1
3
-
-
-
-
.
9)Como 27 = 33
, usando expoentes inteiros negativos podemos
escrever 3-3
para representar
27
1
. Procedendo da mesma forma,
como poderíamos escrever
27
1
?
10) Use potências de base 10 e expoentes inteiros negativos
para escrever os seguintes números:
a) 0,0003
b) 0,005
c) 0,00018
d) 0,081
e) – 0,00016
f) –0,000418
RESPOSTAS
1)
10
3
2






+
2)
8
25
16






- 3)
40
23
10






-
4) a) (-17/20)9
b) (-3/4)2
c) (13/25)10
d) (-0,18)15
e) (-719)8
f)
(-4315)14
5) – 3/8
6) a) -62/27 b) -1/12 c) 23/27 d) -11/15 e) 0 f) 13/10
7) 12
8) 1/72
9) 2-4
10) a) 3.10-4
b) 5.10-3
c) 18.10-5
d) 81.10-3
e) -16.10-5
f)
-418.10-6

13
EXPRESSÕES NUMÉRICAS
Expressões Algébricas são aquelas que contêm números e
letras.
                    Ex: 2ax²+bx
Variáveis são as letras das expressões algébricas que
representam um número real e que de princípio não possuem um
valor definido.
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que
obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas
operações.
Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da
expressão:
x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão
é 3.
Monômio: os números e letras estão ligados apenas por
produtos.
Ex : 4x
Polinômio: é a soma ou subtração de monômios.
Ex: 4x+2y
Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais
iguais ( variáveis )
Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z » são termos semelhantes pois
possuem a mesma parte literal.
Adição e Subtração de expressões algébricas
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões
algébricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes.
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z
= -x³ y² z
Convém lembrar dos jogos de sinais.
Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y²
+ 2 = x³ + y² +3
Multiplicação e Divisão de expressões algébricas
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos
usar a propriedade distributiva.
Exemplos:
1) a ( x+y ) = ax + ay
2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by
3) x ( x ² + y ) = x³ + xy
  »Paramultiplicarmospotênciasdemesmabase,conservamos
a base e somamos os expoentes.
   » Na divisão de potências devemos conservar a base e
subtrair os expoentes
Exemplos:
1) 4x² : 2 x = 2 x
2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4
3)
=
[Resolução]
Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos
semelhantes.
Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas
partes literais são idênticas.
Veja:
► 5x2
e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2
e x,
as letras são iguais, mas o expoente não, então esses termos não
são semelhantes.
► 7ab2
e 20ab2
são dois termos, suas partes literais são ab2
e
ab2
, observamos que elas são idênticas, então podemos dizer que
são semelhantes.
Adição e subtração de monômios
Só podemos efetuar a adição e subtração de
monômios entre termos semelhantes. E quando os termos
envolvidos na operação de adição ou subtração não forem
semelhantes, deixamos apenas a operação indicada.
Veja:
Dado os termos 5xy2
, 20xy2
, como os dois termos são
semelhantes eu posso efetuar a adição e a subtração deles.
• 5xy2
+ 20xy2
devemos somar apenas os coeficientes e
conservar a parte literal.
     25 xy2
• 5xy2
- 20xy2
devemos subtrair apenas os coeficientes e
conservar a parte literal.
   - 15 xy2
Veja alguns exemplos:
• x2
- 2x2
+ x2
como os coeficientes são frações devemos tirar
o mmc de 6 e 9.
3x2
- 4 x2
+ 18 x2
            18
17x2
18
• 4x2
+ 12y3
– 7y3
– 5x2
devemos primeiro unir os termos
semelhantes.12y3
–7y3
+4x2
–5x2
agoraefetuamosasomaeasubtração.
5y3
– x2
como os dois termos restantes não são semelhantes,
devemos deixar apenas indicado à operação dos monômios.
• Reduza os termos semelhantes na expressão 4x2
– 5x -3x +
2x2
. Depois calcule o seu valor numérico da expressão. 4x2
– 5x -
3x + 2x2
reduzindo os termos semelhantes. 4x2
+ 2x2
– 5x - 3x

14
6x2
- 8x os termos estão reduzidos, agora vamos achar o valor
numérico dessa expressão.
Para calcularmos o valor numérico de uma expressão devemos
ter o valor de sua incógnita, que no caso do exercício é a letra x.
Vamos supor que x = - 2, então substituindo no lugar do x o
-2 termos:
6x2
- 8x
6 . (-2)2
– 8 . (-2) =
6 . 4 + 16 =
24 + 16
40
Multiplicação de monômios
Paramultiplicarmosmonômiosnãoénecessárioqueelessejam
semelhantes, basta multiplicarmos coeficiente com coeficiente e
parte literal com parte literal. Sendo que quando multiplicamos
as partes literais devemos usar a propriedade da potência que diz:
am
. an
= am + n
(bases iguais na multiplicação repetimos a base e
somamos os expoentes).
(3a2
b) . (- 5ab3
) na multiplicação dos dois monômios, devemos
multiplicar os coeficientes 3 . (-5) e na parte literal multiplicamos
as que têm mesma base para que possamos usar a propriedade am
. an
= am + n
.
3 . ( - 5) . a2
. a . b . b3
-15 a2 +1
b1 + 3
-15 a3
b4
DIVISÃO DE MONÔMIOS
Para dividirmos os monômios não é necessário que eles sejam
semelhantes, basta dividirmos coeficiente com coeficiente e parte
literal com parte literal. Sendo que quando dividirmos as partes
literais devemos usar a propriedade da potência que diz: am
: an
= am - n
(bases iguais na divisão repetimos a base e diminuímos os
expoentes), sendo que a ≠ 0.
(-20x2
y3
) : (- 4xy3
) na divisão dos dois monômios, devemos
dividir os coeficientes -20 e - 4 e na parte literal dividirmos as que
têm mesma base para que possamos usar a propriedade am : an
=
am – n
.
-20 : (– 4) . x2
: x . y3
: y3
5 x2 – 1
y3 – 3
5x1
y0
5x
Potenciação de monômios
Na potenciação de monômios devemos novamente utilizar
uma propriedade da potenciação:
(I) (a . b)m
= am
. bm
(II) (am)n
= am . n
Veja alguns exemplos:
(-5x2
b6
)2
aplicando a propriedade
(I). (-5)2
. (x2
)2
. (b6
)2
aplicando a propriedade
(II) 25 . x4
. b12
25x4
b12
BINÔMIO
Denomina-se Binômio de Newton , a todo binômio da forma
(a + b)n
, sendo n um número natural .
Exemplo:
B = (3x - 2y)4
( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio]
).
Exemplos de desenvolvimento de binômios de Newton :
a) (a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
b) (a + b)3
= a3
+ 3 a2
b + 3ab2
+ b3
c) (a + b)4
= a4
+ 4 a3
b + 6 a2
b2
+ 4ab3
+ b4
d) (a + b)5
= a5
+ 5 a4
b + 10 a3
b2
+ 10 a2
b3
+ 5ab4
+ b5
Nota:
Não é necessário memorizar as fórmulas acima, já que elas
possuem uma lei de formação bem definida, senão vejamos:
Vamos tomar, por exemplo, o item (d) acima:
Observe que o expoente do primeiro e últimos termos são
iguais ao expoente do binômio, ou seja, igual a 5.
A partir do segundo termo, os coeficientes podem ser obtidos
a partir da seguinte regra prática de fácil memorização:
Multiplicamos o coeficiente de a pelo seu expoente e dividimos
o resultado pela ordem do termo. O resultado será o coeficiente do
próximo termo. Assim por exemplo, para obter o coeficiente do
terceiro termo do item (d) acima teríamos:
5.4 = 20; agora dividimos 20 pela ordem do termo anterior (2
por se tratar do segundo termo) 20:2 = 10 que é o coeficiente do
terceiro termo procurado.
Observe que os expoentes da variável a decrescem de n até 0
e os expoentes de b crescem de 0 até n. Assim o terceiro termo é
10 a3
b2
(observe que o expoente de a decresceu de 4 para 3 e o de
b cresceu de 1 para 2).
Usando a regra prática acima, o desenvolvimento do binômio
de Newton (a + b)7
será:
(a + b)7
= a7
+ 7 a6
b + 21 a5
b2
+ 35 a4
b3
+ 35 a3
b4
+ 21 a2
b5
+
7 ab6
+ b7
Como obtivemos, por exemplo, o coeficiente do 6º termo (21
a2
b5
) ?
Pela regra: coeficiente do termo anterior = 35. Multiplicamos
35 pelo expoente de a que é igual a 3 e dividimos o resultado pela
ordem do termo que é 5.
Então, 35 . 3 = 105 e dividindo por 5 (ordem do termo anterior)
vem 105:5 = 21, que é o coeficiente do sexto termo, conforme se
vê acima.
Observações:
1) o desenvolvimento do binômio (a + b)n
é um polinômio.
2) o desenvolvimento de (a + b)n
possui n + 1 termos .
3) os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos , no
desenvolvimento De (a + b)n
são iguais .

15
4) a soma dos coeficientes de (a + b)n
é igual a 2n
.
Fórmula do termo geral de um Binômio de Newton
Um termo genérico Tp+1
do desenvolvimento de (a+b)n
, sendo
p um número natural, é dado por
onde
é denominado Número Binomial e Cn.p
é o número de
combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o
número de combinações simples de n elementos de taxa p.
Este número é também conhecido como Número
Combinatório.
EXERCÍCIOS
1 - Determine o 7º termo do binômio (2x + 1)9
, desenvolvido
segundo as potências decrescentes de x.
Solução:
Vamos aplicar a fórmula do termo geral de (a + b)n
, onde a
= 2x , b = 1 e n = 9. Como queremos o sétimo termo, fazemos p
= 6 na fórmula do termo geral e efetuamos os cálculos indicados.
Temos então:
T6+1
= T7
= C9,6
. (2x)9-6
. (1)6
= 9! /[(9-6)! . 6!] . (2x)3
. 1 =
9.8.7.6! / 3.2.1.6! . 8x3
= 84.8x3
= 672x3
. Portanto o sétimo termo
procurado é 672x3
.
2 - Qual o termo médio do desenvolvimento de (2x + 3y)8
?
Solução:
Temos a = 2x , b = 3y e n = 8. Sabemos que o desenvolvimento
do binômio terá 9 Termos, porque n = 8. Ora sendo T1 T2 T3 T4
T5 T6 T7 T8 T9 os termos do desenvolvimento do binômio, o
termo do meio (termo médio) será o T5 (quinto termo).
Logo, o nosso problema resume-se ao cálculo do T5
. Para isto,
basta fazer p = 4 na fórmula do termo geral e efetuar os cálculos
decorrentes. Teremos:T4+1
= T5
= C8,4
. (2x)8-4
. (3y)4
= 8! / [(8-4)! .
4!] . (2x)4
. (3y)4
= 8.7.6.5.4! / (4! . 4.3.2.1) . 16x4
.81y4
Fazendo as contas vem:
T5
= 70.16.81.x4
. y4
= 90720x4
y4
, que é o termo médio
procurado.
3 - Desenvolvendo o binômio (2x - 3y)3n
, obtemos um
polinômio de 16 termos. Qual o valor de n?
Solução:
Ora, se o desenvolvimento do binômio possui 16 termos,
então o expoente do binômio é igual a 15.
Logo, 3n = 15 de onde conclui-se que n = 5.
4 - Determine o termo independente de x no desenvolvimento
de (x + 1/x )6
.
Solução:
Sabemos que o termo independente de x é aquele que não
depende de x, ou seja, aquele que não possui x.
Temos no problema dado: a = x , b = 1/x e n = 6.
Pela fórmula do termo geral, podemos escrever:
Tp+1
= C6,p
. x6-p
. (1/x)p
= C6,p
. x6-p
. x-p
= C6,p
. x6-2p
.
Ora, para que o termo seja independente de x, o expoente
desta variável deve ser zero, pois x0
= 1. Logo, fazendo 6 - 2p
= 0, obtemos p=3. Substituindo então p por 6, teremos o termo
procurado. Temos então:
T3+1
= T4
= C6,3
. x0
= C6,3
= 6! /[(6-3)! . 3! ] = 6.5.4.3! / 3!.3.2.1
= 20.
Logo, o termo independente de x é o T4
(quarto termo) que é
igual a 20.
EXERCÍCIOS
1) Qual é o termo em x5
no desenvolvimento de (x + 3)8
?
2) Determine a soma dos coeficientes do desenvolvimento de
(x - 3y)7
.
3) Qual é o valor do produto dos coeficientes do 2o. e do
penúltimo termo do desenvolvimento de (x - 1)80
?
4) FGV-SP - Desenvolvendo-se a expressão [(x + 1/x) . (x -
1/x)]6
, obtém-se como termo independente de x o valor:
a) 10
b) -10
c) 20
d) -20
e) 36
5) UF. VIÇOSA-Asoma dos coeficientes do desenvolvimento
de (2x + 3y)m
é 625. O valor de m é:
a) 5
b) 6
c)10
d) 3
e) 4
6)MACK-SP-Os3primeiroscoeficientesnodesenvolvimento
de (x2
+ 1/(2x))n
estão em progressão aritmética.O valor de n é:
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
7) No desenvolvimento de (3x + 13)n
há 13 termos. A soma
dos coeficientes destes termos é igual a:
8) UFBA-92 - Sabendo-se que a soma dos coeficientes no
desenvolvimento do binômio (a + b)m
é igual a 256, calcule (m/2)!
9) UFBA-88 - Calcule o termo independente de x no
desenvolvimento de (x2
+ 1/x)9
.

16
10) Calcule a soma dos coeficientes do desenvolvimento do
binômio (3x - 1)10
.
RESPOSTAS
(1) T4
= 1512.x5
(2) – 128
(3) 6400
(4-D)
(5-E)
(6-8)
(7) 248
(8) 24
(9) 84
(10) 1024
MÚLTIPLOS E DIVISORES DE
NÚMEROS NATURAIS
Sabemos que 30:6 = 5,porque 5 x 6 = 30.
Podemos dizer então que:
“30 é divisível por 6 porque existe um numero natural (5) que
multiplicado por 6 dá como resultado 30.”
Um numero natural a é divisível por um numero natural
b, não-nulo, se existir um número natural c,tal que c . b = a.
Ainda com relação ao exemplo 30 : 6 = 5, temos que:
30 é múltiplo de 6,e 6 é divisor de 30.
Conjunto dos múltiplos de um número natural: é obtido
multiplicando-se esse número pela sucessão dos números naturais:
0,1,2,3,4,5,6,...
Para acharmos o conjunto dos múltiplos de 7, por exemplo,
multiplicamos por 7 cada um dos números da sucessão dos
naturais:
7 x 0 = 0
7 x 1 = 7
7 x 2 = 14
7 x 3 = 21
7 x 4 = 28
7 x 5 = 35
O conjunto formado pelos resultados encontrados forma o
conjunto dos múltiplos de 7: M(7) = {0,7,14,21,28,...}.
Observações:
è Todo número natural é múltiplo de si mesmo.
è Todo número natural é múltiplo de 1.
è Todo número natural, diferente de zero, tem infinitos
múltiplos.
è O zero é múltiplo de qualquer número natural.
è Os múltiplos do número 2 são chamados de números pares,
e a fórmula geral desses números é 2 k (k∈N ). Os demais são
chamados de números ímpares, e a fórmula geral desses números
é 2 k + 1 ( k∈ N ).
Critérios de divisibilidade: são regras práticas que nos
possibilitam dizer se um número é ou não divisível por outro, sem
efetuarmos a divisão.
Divisibilidade por 2: Um número é divisível por 2 quando
termina em 0, 2, 4, 6 ou 8, ou seja, quando ele é par. Exemplos:
a) 9656 é divisível por 2, pois termina em 6.
b) 4321 não é divisível por 2, pois termina em 1.
Divisibilidade por 3: Um número é divisível por 3 quando a
soma dos valores absolutos de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos:
a) 65385 é divisível por 3, pois 6 + 5 + 3 + 8 + 5 = 27, e 27 é
divisível por 3.
b) 15443 não é divisível por 3, pois 1+ 5 + 4 + 4 + 3 = 17, e
17 não é divisível por 3.
seus dois algarismos são 00 ou formam um número divisível por
4. Exemplos:
b) 653524 é divisível por 4, pois termina em 24, e 24 é
divisível por 4.
c) 76315 não é divisível por 4, pois termina em 15, e 15 não
é divisível por 4.
termina em 0 ou 5. Exemplos:
b) 7235 é divisível por 5, pois termina em 5.
c) 6324 não é divisível por 5, pois termina em 4.
Divisibilidade por 6: Um número é divisível por 6 quando é
divisível por 2 e por 3. Exemplos:
a) 430254 é divisível por 6, pois é divisível por 2 e por 3 (4 +
3 + 0 + 2 + 5 + 4 = 18).
b) 80530 não é divisível por 6, pois não é divisível por 3 ( 8 +
0 + 5 + 3 + 0 = 16 ).
c) 531561 não é divisível por 6, pois não é divisível por 2.
seus três últimos algarismos forem 000 ou formarem um número
divisível por 8. Exemplos:
a) 57000 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos
são 000.
b) 67024 é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos
formam o número 24, que é divisível por 8.
c) 34125 não é divisível por 8, pois seus três últimos algarismos
formam o número 125, que não é divisível por 8.
a soma dos valores absolutos de seus algarismos formam um
número divisível por 9. Exemplos:

17
a) 6253461 é divisível por 9, pois 6 + 2 + 5 + 3 + 4 + 6 + 1 =
27 é divisível por 9.
b) 325103 não é divisível por 9, pois 3 + 2 + 5 + 1 + 0 + 3 =
termina em zero. Exemplos:
a) 563040 é divisível por 10, pois termina em zero.
b) 246321 não é divisível por 10, pois não termina em zero.
a diferença entre a soma dos algarismos de posição ímpar e a soma
dos algarismos de posição par resulta em um número divisível por
11. Exemplos:
a) 1º 3º 5º ð Algarismos de posição ímpar.(Soma dos
algarismos de posição impar: 4 + 8 + 3 = 15.)
4 3 8 1 3
2º 4º ð Algarismos de posição par.(Soma dos
algarismos de posição par:3 + 1 = 4)
15 – 4 = 11 ð diferença divisível por 11. Logo 43813 é
divisível por 11.
b) 1º 3º 5º 7º ð (Soma dos algarismos de posição
ímpar:8 + 4 + 5 + 2 = 19)
8 3 4 1 5 7 2 1
2º 4º 6º 8º ð (Soma dos algarismos de posição
par:3 + 1 + 7 + 1 = 12)
19 – 12 = 7 ð diferença que não é divisível por 11. Logo
é divisível por 3 e por 4. Exemplos:
a) 78324 é divisível por 12, pois é divisível por 3 ( 7 + 8 + 3 +
2 + 4 = 24) e por 4 (termina em 24).
b) 652011 não é divisível por 12, pois não é divisível por 4
(termina em 11).
c) 863104 não é divisível por 12, pois não é divisível por 3 ( 8
+ 6 + 3 +1 + 0 + 4 = 22).
é divisível por 3 e por 5. Exemplos:
a) 650430 é divisível por 15, pois é divisível por 3 ( 6 + 5 + 0
+ 4 + 3 + 0 =18) e por 5 (termina em 0).
b) 723042 não é divisível por 15, pois não é divisível por 5
(termina em 2).
c) 673225 não é divisível por 15, pois não é divisível por 3 ( 6
+ 7 + 3 + 2 + 2 + 5 = 25).
EXERCÍCIOS
1- Escreva os elementos dos conjuntos dos múltiplos de 5
menores que 30.
compreendidos entre 30 e 50.
3- Qual é o menor múltiplo de 12 maior que 50?
4- Qual é o menor número que devemos somar a 36 para
obter um múltiplo de 7?
5- Como são chamados os múltiplos de 2?
6- Verifique se os números abaixo são divisíveis por 4.
a) 23418 b) 65000 c) 38036 d) 24004
e) 58617
a) 8324701 b) 62784 c) 123211 d) 78298
e) 2013045
8- Qual é o maior múltiplo de 15 menor que 150?
maiores que 10 e menores que 20.
a) 280365 b) 421380 c) 70305 d) 203400
e) 43123
RESPOSTAS
1- {0, 5, 10, 15, 20, 25}
2- {32, 40, 48}
3- 60
4- 6
5- pares
6- a) N b) S c) S d) S e) N
7- a) N b) S c) S d) S e) N
8- 135
9- {14}
10- a) S b) S c) S d) S e) N
PROBLEMAS
Os problemas matemáticos são resolvidos utilizando inúmeros
recursos matemáticos, destacando, entre todos, os princípios
algébricos, os quais são divididos de acordo com o nível de
dificuldade e abordagem dos conteúdos. Primeiramente os cálculos
envolvem adições e subtrações, posteriormente as multiplicações
e divisões. Depois os problemas são resolvidos com a utilização
dos fundamentos algébricos, isto é, criamos equações matemáticas
com valores desconhecidos (letras). Observe algumas situações
que podem ser descritas com utilização da álgebra.
- O dobro de um número adicionado com 4: 2x + 4;
- A soma de dois números consecutivos: x + (x + 1);
- O quadrado de um número mais 10: x2
+ 10;
- O triplo de um número adicionado ao dobro do número: 3x
+ 2x;
- A metade da soma de um número mais 15: x/2 + 15;
- A quarta parte de um número: x/4.

18
Exemplo 1
A soma de três números pares consecutivos é igual a 96.
Determine-os.
1º número: x
2º número: x + 2
3º número: x + 4
(x) + (x+2) + (x+4) = 96
Resolução:
x + x + 2 + x + 4 = 96
3x = 96 – 4 – 2
3x = 96 – 6
3x = 90
x = 90/3
x = 30
1º número: x = 30
2º número: x + 2 = 30 + 2 = 32
3º número: x + 4 = 30 + 4 = 34
Os números são 30, 32 e 34.
Exemplo 2
O triplo de um número natural somado a 4 é igual ao quadrado
de 5. Calcule-o:
Resolução:
3x + 4 = 52
3x = 25 – 4
3x = 21
x = 21/3
x = 7
O número procurado é igual a 7.
Exemplo 3
A idade de um pai é o quádruplo da idade de seu filho. Daqui
há cinco anos, a idade do pai será o triplo da idade do filho. Qual é
a idade atual de cada um?
Resolução:
Atualmente
Filho: x
Pai: 4x
Futuramente
Filho: x + 5
Pai: 4x + 5
4x + 5 = 3 . (x + 5)
4x + 5 = 3x + 15
4x – 3x = 15 – 5
X = 10
Pai: 4x = 4 . 10 = 40
O filho tem 10 anos e o pai tem 40.
Exemplo 4
O dobro de um número adicionado ao seu triplo corresponde
a 20. Qual é o número?
Resolução
2x + 3x = 20
5x = 20
x = 20/5
x = 4
O número corresponde a 4.
Exemplo 5
Em uma chácara existem galinhas e coelhos totalizando 35
animais, os quais somam juntos 100 pés. Determine o número de
galinhas e coelhos existentes nessa chácara.
Galinhas: G
Coelhos: C
G + C = 35
Cada galinha possui 2 pés e cada coelho 4, então:
2G + 4C = 100
Sistema de equações
Isolando C na 1ª equação:
G + C = 35
C = 35 – G
Substituindo C na 2ª equação:
2G + 4C = 100
2G + 4 . (35 – G) = 100
2G + 140 – 4G = 100
2G – 4G = 100 – 140
- 2G = - 40
G = 40/2
G = 20
Calculando C
C = 35 – G
C = 35 – 20
C = 15
EXERCÍCIOS
1- A soma das idades de Arthur e Baltazar é de 42 anos. Qual a
idade de cada um, se a idade de Arthur é
5
2
da idade de Baltazar?
A + B = 42 anos
A = 2/5 . B
(substituindo a letra “A” pelo valor 2/5.B)
2/5.B + B = 42 (mmc: 5)
2B + 5B = 210
7B = 210
B = 210/7
B = 30 A = 12
2- A diferença entre as idades de José e Maria é de 20 anos.
Qual a idade de cada um, sabendo-se que a idade de José é
5
9
da idade de Maria?

19
J – M = 20 (substituindo a letra “J” por 9/5M)
J = 9/5M 9/5M – M = 20 (mmc:1;5)
9M – 5M = 100
4M = 100
M = 100/4
M = 25 e J = 45
3- Verificou-se que numa feira
9
5
dos feirantes são de origem
japonesa e
5
2
do resto são de origem portuguesa. O total de
feirantes japoneses e portugueses é de 99. Qual o total de feirantes
dessa feira?
F = feirantes (substituindo a letra “J” por 5/9.F)
J = 5/9.F
P =
J + P = 99
(mmc:9;45)
33F = 4455
F = 4455/33
F = 135
4- Certa quantidade de cards é repartida entre três meninos. O
primeiro menino recebe
7
3
da quantidade e o segundo, metade do
resto. Dessa maneira, os dois receberam 250 cards. Quantos cards
havia para serem repartidos e quantos cards recebeu o terceiro
menino?
X = cards (substituindo o “1°”
e “2º” pelos valores respectivos)
1º = 3/7.X (mmc: 1;7)
2º = 3x + 2x = 1750
1º + 2º = 250 5x = 1750
X = 1750/5
X = 350
------------------------------------------------------------------------------
1º = 3/7 . 350 = 150
2º = 2/7 . 350 = 100
3º = 350 – 250 = 100
5- Num dia, uma pessoa lê os
5
3
de um livro. No dia seguinte,
lê os
4
3
do resto e no terceiro dia, lê as 20 páginas finais.
Quantas páginas tem o livro?
X = livro
1 dia = 3/5 x 1 dia + 2 dia + 3 dia = x
2 dia = ¾ (x – 3/5x) 3/5 x + ¾ (x – 3/5x)
+ 20 = x
3 dia = 20 páginas 3/5 x + ¾ + 20 = x
3/5 x + ¾ . 2x/5 + 20 = x
3/5 x + 6x/20 + 20 = x
(mmc:5;20)
12x + 6x + 400 = 20x
20x – 18x = 400
2x = 400
X = 400/2 = 200 páginas
6- Uma caixa contém medalhas de ouro, de prata e de bronze.
As medalhas de ouro totalizam
5
3
das medalhas da caixa. O
número de medalhas de prata é 30. O total de medalhas de bronze
é
4
1
do total de medalhas. Quantas são as medalhas de ouro e de
bronze contidas na caixa?
O + P + B = T
T = total 3/5T + 30 + 1/4T = T (mmc:5;4)
O = 3/5T 12T/20 + 5T/20 + 600/20 = 20T/20
P = 30 17T + 600 = 20T
B = 1/4T 20T – 17T = 600
3T = 600
T = 600/3 = 200 medalhas
----------------------------------------------------------------------
O = 3/5T = 3/5 . 200 = 120
B = 1/4T = ¼ . 200 = 50
7-Uma viagem é feita em quatro etapas. Na primeira etapa,
percorrem-se os
7
2
da distância total. Na segunda, os
5
3
do
resto. Na terceira, a metade do novo resto. Dessa maneira foram
percorridos 60 quilômetros. Qual a distância total a ser percorrida
e quanto se percorreu na quarta etapa?
T = total
1ª = 2/7T
2ª =
3ª =
1ª + 2ª + 3ª = 60
2T/7 + 3T/7 + 2T/14 = 60 (mmc:7;14)
4T + 6T + 2T = 840
12T = 840
T = 840/12
T = 70
4ª = 70 – 60 = 10
8- A soma das idades de Lúcia e Gabriela é de 49 anos. Qual a
idade de cada uma, sabendo-se que a idade de Lúcia é
4
3
da idade
de Gabriela?
L + G = 49 anos (substitui a letra “L” por 3/4G)
L = 3/4G ¾ G + G = 49 (mmc:1;4)
3G + 4G = 196
7G = 196
G = 196/7 = 28
L = 49 – 28 = 21
9- Num dia, um pintor pinta
5
2
de um muro. No dia seguinte,
pinta mais 51 metros do muro. Desse modo, pintou
9
7
do muro
todo. Quantos metros tem o muro?

20
M = muro
1 dia = 2/5M
2 dia = 51 metros
2/5M + 51 = 7/9M (mmc:5;9)
18M/45 + 2295/45 = 35M/45
18M + 2295 = 35M
35M – 18M = 2295
17M = 2295
M = 2295/17
M = 135 metros
10- Um aluno escreve
8
3
do total de páginas de seu caderno
com tinta azul e 58 páginas com tinta vermelha. Escreveu, dessa
maneira,
9
7
do total de páginas do caderno. Quantas páginas
possui o caderno?
P = total 3/8P + 58 = 7/9P (mmc:8;9)
Azul = 3/8P 27P + 4176 = 56P
Vermelha = 58 56P – 27P = 4176
29P = 4176
P = 4176/29 = 144 páginas
RESPOSTAS
1- Baltazar 30 anos e Artur 12 anos
2- José 45 anos e Maria 25 anos
3- 135 feirantes
4- 350 cards e 3º 100 cards
5- 200 páginas
6- 120 de ouro e 50 de bronze
7- Gabriela 28 anos e Lúcia 21 anos
8- Total 70 km e 4º 10 km
9- 135 metros
10- 144 páginas
FRAÇÕES E OPERAÇÕES COM
FRAÇÕES
NÚMEROS FRACIONÁRIOS
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
Frações com denominadores iguais:
Exemplo: Jorge comeu 8
3
de um tablete de chocolate e Miguel
8
2
desse mesmo tablete. Qual a fração do tablete de
chocolate que Jorge e Miguel comeram juntos?
A figura abaixo representa o tablete de chocolate. Nela
também estão representadas as frações do tablete que Jorge e
Miguel comeram:
3/8 2/8
5/8
Observe que
8
3
+
8
2
=
8
5
Portanto, Jorge e Miguel comeram juntos
8
5
do tablete de
chocolate.
Na adição e subtração de duas ou mais frações que
têmdenominadoresiguais,conservamosodenominador
comum e somamos ou subtraímos os numeradores.
Outro Exemplo:
2
1
2
753
2
7
2
5
2
3
=
-+
=-+
Frações com denominadores diferentes:
Calcular o valor de 6
5
8
3
+
. Inicialmente, devemos reduzir as
frações ao mesmo denominador comum:
mmc (8,6) = 24
6
5
8
3
+ =
24
20
24
9
+
24 : 8 . 3 = 9
24 : 6 . 5 = 20
Devemos proceder, agora, como no primeiro caso,
simplificando o resultado, quando possível:
24
20
24
9
+ =
24
29
24
209
=
+
Portanto:
6
5
8
3
+ =
24
20
24
9
+ =
24
29
24
209
=
+
Na adição e subtração de duas ou mais frações que têm os
denominadores diferentes, reduzimos inicialmente as frações ao
menor denominador comum, após o que procedemos como no
primeiro caso.

21
MULTIPLICAÇÃO
Exemplo: De uma caixa de frutas,
5
4
são bananas. Do total
de bananas, 3
2
estão estragadas. Qual é a fração de frutas da
caixa que estão estragadas?
Representa 4/5 do conteúdo da caixa
Representa 2/3 de 4/5 do conteúdo da caixa.
Repare que o problema proposto consiste em calcular o valor
de
3
2
de
5
4
que, de acordo com a figura, equivale a
15
8
do total
de frutas. De acordo com a tabela acima,
3
2
de
5
4
equivale a
3
2
.
5
4
. Assim sendo:
3
2
.
5
4
=
15
8
Ou seja:
3
2
de
5
4
=
3
2
.
5
4
=
5.3
4.2
=
15
8
O produto de duas ou mais frações é uma fração cujo
numerador é o produto dos numeradores e cujo denominador é o
produto dos denominadores das frações dadas.
Outro exemplo:
3
2
.
5
4
.
135
56
9.5.3
7.4.2
9
7
==
Observação: Sempre que possível, antes de efetuar a
multiplicação, podemos simplificar as frações entre si, dividindo
os numeradores e os denominadores por um fator comum. Esse
processo de simplificação recebe o nome de cancelamento.
1
1
3
2
.
5
4 .
25
12
10
9
5
3
=
DIVISÃO
Duas frações são inversas ou recíprocas quando o numerador
de uma é o denominador da outra e vice-versa. Exemplo:
3
2
é a fração inversa de
2
3
5 ou
1
5
é a fração inversa de
5
1
Considere a seguinte situação: Lúcia recebeu de seu pai os
5
4
dos chocolates contidos em uma caixa. Do total de chocolates
recebidos, Lúcia deu a terça parte para o seu namorado. Que fração
dos chocolates contidos na caixa recebeu o namorado de Lúcia?
Asolução do problema consiste em dividir o total de chocolates
que Lúcia recebeu de seu pai por 3, ou seja,
5
4
: 3.
Por outro lado, dividir algo por 3 significa calcular
3
1
desse
algo.
Portanto:
5
4
: 3 =
3
1
de
5
4
Como
3
1
de
5
4
=
3
1
.
5
4
=
5
4
.
3
1
, resulta que
5
4
: 3 =
5
4
:
1
3
=
5
4
.
3
1
São frações inversas
Observando que as frações
1
3
e
3
1
são frações inversas,
podemos afirmar que:
Para dividir uma fração por outra, multiplicamos a primeira
pelo inverso da segunda.
Portanto
5
4
: 3 =
5
4
:
1
3
=
5
4
.
3
1
=
15
4
Ou seja, o namorado de Lúcia recebeu
15
4
do total de
chocolates contidos na caixa.

22
Outro exemplo:
6
5
8
5
.
3
4
5
8
:
3
4
2
1
==
Note a expressão:
5
1
2
3
. Ela é equivalente à expressão
5
1
:
2
3 .
Portanto
5
1
2
3
=
5
1
:
2
3 =
1
5
.
2
3 =
2
15
NÚMEROS E GRANDEZAS
PROPORCIONAIS: Razões e Proporções
Sejam dois números reais a e b, com b ≠ 0. Chama-se razão
entre a e b (nessa ordem) o quociente a : b, ou a/b.
A razão é representada por um número racional, mas é lida de
modo diferente.
Exemplos:
a) A fração
5
3
lê-se: “três quintos”.
b) A razão
5
3
lê-se: “3 para 5”.
Os termos da razão recebem nomes especiais.
Exemplo 1: A razão entre 20 e 50 é
5
2
50
20
= já a razão entre
50 e 20 é
2
5
20
50
= .
Exemplo 2: Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24
moças. A razão entre o número de rapazes e o número de moças é
4
3
24
18
=
, o que significa que para “cada 3 rapazes há 4 moças”.
Por outro lado, a razão entre o número de rapazes e o total de
alunos é dada por 7
3
42
18
=
, o que equivale a dizer que “de cada
7 alunos na classe, 3 são rapazes”.
Razão entre grandezas de mesma espécie: A razão entre
duas grandezas de mesma espécie é o quociente dos números que
expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.
Exemplo: Uma sala tem 18 m2
. Um tapete que ocupar o centro
dessa sala mede 384 dm2
. Vamos calcular a razão entre a área do
tapete e a área da sala.
Primeiro, devemos transformar as duas grandezas em uma
mesma unidade:
Área da sala: 18 m2
= 1 800 dm2
Área do tapete: 384 dm2
Estando as duas áreas na mesma unidade, podemos escrever
a razão:
75
16
1800
384
1800
384
2
2
==
dm
dm
Razão entre grandezas de espécies diferentes:
Exemplo 1: Considere um carro que às 9 horas passa pelo
quilômetro 30 de uma estrada e, às 11 horas, pelo quilômetro 170:
Distância percorrida: 170 km – 30 km = 140 km
Tempo gasto: 11h – 9h = 2h
Calculamos a razão entre a distância percorrida e o tempo
gasto para isso:
hkm
h
km
/70
2
140
=
A esse tipo de razão dá-se o nome de velocidade média.
Observe que:
• as grandezas quilômetro e hora são de naturezas
diferentes;
• a notação km/h (lê-se: “quilômetros por hora”) deve
acompanhar a razão.
Exemplo 2: A Região Sudeste (Espírito Santo, Minas Gerais,
Rio de Janeiro e São Paulo) tem uma área aproximada de 927 286
km2
e uma população de 66 288 000 habitantes, aproximadamente,
segundo estimativas projetadas pelo Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE) para o ano de 1995.
Dividindo-se o número de habitantes pela área, obteremos o
número de habitantes por km2
(hab./km2
):
2
/.5,71
927286
66288000
kmhab≅
Aesse tipo de razão dá-se o nome de densidade demográfica.
A notação hab./km2
(lê-se:”habitantes por quilômetro
quadrado”) deve acompanhar a razão.
Exemplo 3: Um carro percorreu, na cidade, 83,76 km com 8
l de gasolina. Dividindo-se o número de quilômetros percorridos
pelo número de litros de combustível consumidos, teremos o
número de quilômetros que esse carro percorre com um litro de
gasolina:
lkm
l
km
/47,10
8
76,83
≅

23
A esse tipo de razão dá-se o nome de consumo médio.
A notação km/l (lê-se: “quilômetro por litro”) deve
acompanhar a razão.
Exemplo 4: Uma sala tem 8 m de comprimento. Esse
comprimento é representado num desenho por 20 cm. Qual é a
escala do desenho?
Escala =
40:1
40
1
800
20
8
20
ou
cm
cm
m
cm
orealcompriment
onodesenhocompriment
===
Arazão entre um comprimento no desenho e o correspondente
comprimento real, chama-se Escala.
EXERCÍCIOS
1- Se a razão de x para y é 3
10
, quem é maior: x ou y?
2- Numa escola estão matriculados 800 alunos, dos quais 450
são meninas. A razão entre o número de meninos e o número de
meninas é:
a)
9
7
b)
7
9
c)
16
9
d)
16
7
3- No campeonato colegial mirim, Reginaldo percorreu 60 m
em 8 s. Sua velocidade média foi:
a) 6 m/s b) 7 m/s c) 7,5 m/s d) 8 m/s
4- (Unifor-CE) Se a razão entre dois números é 5
3
, a razão
entre o quíntuplo do primeiro e a terça parte do segundo é igual a:
a)
9
1
b)
3
1
c) 1 d) 3 e) 9
5- (Vest. Rio) Um bar vende suco e refresco de tangerina.
Ambos são fabricados diluindo em água um concentrado desta
fruta. As proporções são de uma parte de concentrado para três de
água, no caso do suco, e de uma parte de concentrado para seis de
água no caso do refresco. O refresco também poderia ser fabricado
diluindo x partes de suco em y partes de água, se a razão
y
x
fosse
igual a:
a)
2
1
b)
4
3
c) 1
d)
3
4
e) 2
6- (U.F. Santa Maria -RS) A velocidade média é definida
como o quociente do espaço percorrido, em quilômetros, pelo
tempo gasto para percorrê-lo, em horas. Um automóvel percorreu
a distância entre duas cidades, com velocidade média de 60 km/h
e fez a viagem de regresso com velocidade média de 40 km/h.
Então, pode-se afirmar que a velocidade média do percurso total,
ida e volta, foi de:
a) 48 km/h
b) 50 km/h
c) 52 km/h
d) 60 km/h
e) 100 km/h
7- (UFRS) Se a escala de um mapa é 5 por 2 500 000 e dois
pontos no mapa à distância de 25 cm, ao longo de uma rodovia, a
distância real em km é:
a) 100 b) 125 c) 150
d) 200 e) 250
8- (ESPM-SP) Em um mapa verifica-se que a escala é 1 : 22 000
000. Duas cidades estão distantes de São Paulo, respectivamente,
4 e 6 cm. Se fosse feita uma estrada ligando as três cidades, qual
seria o mínimo de extensão que ela teria?
9- (UFRJ) Um automóvel de 4,5 m de comprimento é
representado, em escala, por um modelo de 3 cm de comprimento.
Determine a altura do modelo que representa, na mesma escala,
uma casa de 3,75 m de altura.
10- (UFCE) Em um mapa cartográfico, 4 cm representam 12
km. Nesse mesmo mapa, 10 cm representarão quantos quilômetros?
RESPOSTAS
(1-X) (2-A) (3-C) (4-E) (5-A) (6-B) (7-B) (8)1.320km)
(9)2,5cm) (10)30km)
PROPORÇÃO
A igualdade entre duas razões recebe o nome de proporção.
Na proporção 10
6
5
3
= (lê-se: “3 está para 5 assim como 6
está para 10”), os números 3 e 10 são chamados extremos, e os
números 5 e 6 são chamados meios.
Observemos que o produto 3 x 10 = 30 é igual ao produto 5 x 6
= 30, o que caracteriza a propriedade fundamental das proporções:
“Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao
produto dos extremos”.

24
Exemplo 1:
Na proporção 9
6
3
2
= , temos 2 x 9 = 3 x 6 = 18;
e em 16
4
4
1
=
,temos 4 x 4 = 1 x 16 = 16.
Exemplo 2:
Na bula de um remédio pediátrico recomenda-se a seguinte
dosagem: 5 gotas para cada 2 kg do “peso” da criança.
Se uma criança tem 12 kg, a dosagem correta x é dada por:
kg
x
kg
gotas
122
5
=  x = 30 gotas
Por outro lado, se soubermos que foram corretamente
ministradas 20 gotas a uma criança, podemos concluir que seu
“peso” é 8 kg, pois:
pgotas
kg
gotas
/20
2
5
=  p = 8kg
(nota: o procedimento utilizado nesse exemplo é comumente
chamado de regra de três simples.)
Propriedades da Proporção:
• O produto dos extremos é igual ao produto dos meios:
essa propriedade possibilita reconhecer quando duas razões
formam ou não uma proporção.
• Asoma dos dois primeiros termos está para o primeiro
(ou para o segundo termo) assim como a soma dos dois últimos
está para o terceiro (ou para o quarto termo).
10
14
5
7
10
410
5
25
4
10
2
5
=⇒
+
=


 +
⇒=
ou
4
14
2
7
4
410
2
25
4
10
2
5
=⇒
+
=


 +
⇒=
• A diferença entre os dois primeiros termos está para
o primeiro (ou para o segundo termo) assim como a diferença
entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto
termo).
• 8
2
4
1
8
68
4
34
6
8
3
4
=⇒
-
=


 -
⇒=
ou
6
2
3
1
6
68
3
34
6
8
3
4
=⇒
-
=


 -
⇒=
• A soma dos antecedentes está para a soma dos
conseqüentes assim como cada antecedente está para o seu
conseqüente.
8
2
4
1
8
68
4
34
6
8
3
4
=⇒
-
=


 -
⇒=
ou
6
2
3
1
6
68
3
34
6
8
3
4
=⇒
-
=


 -
⇒=
• A diferença dos antecedentes está para a diferença
dos conseqüentes assim como cada antecedente está para o seu
conseqüente.
8
12
10
15
8
12
28
312
2
3
8
12
=⇒=



+
+
⇒=
ou
2
3
10
15
2
3
28
312
2
3
8
12
=⇒=



+
+
⇒=
EXERCÍCIOS
1- Na proporção
28
yx
= , sabe-se que x – y = 90. Quanto
vale x?
2- As áreas de dois terrenos estão uma para a outra assim
como 2 está para 3. Determine a área de cada um, sabendo-se que
elas somam 360 m2
.
3- A diferença entre a idade de Ângela e a idade de Vera é 12
anos. Sabendo-se que suas idades estão uma para a outra assim
como
2
5
, determine a idade de cada uma.
4- Divida R$ 72,00 entre duas pessoas de modo que a primeira
e a segunda recebam quantias proporcionais a 3 e a 5.
5- Um segmento de 78 cm de comprimento é dividido em
duas partes na razão de
9
4
. Determine o comprimento de cada
uma das partes.
6- (UFGO) Sabe-se que as casas do braço de um violão
diminuem de largura seguindo uma mesma proporção. Se a
primeira casa do braço de um violão tem 4 cm de largura e a
segunda casa, 3 cm, calcule a largura da quarta casa.

25
7- (Ulbra–RS) Água e tinta estão misturadas na razão de 9
para 5. Sabendo-se que há 81 litros de água na mistura, o volume
total em litros é de:
a) 45 b) 81 c) 85
d) 181 e) 126
8- Os números x e y são tais que x + y = – 105 e .
2
5
=
y
x
Os
valores de x e y são:
a) –35 e –70 b) –175 e 70 c) 35 e –140 d)
–30 e –75
9- Calcule x e y na proporção
25
yx
= , sabendo que x + y =
84.
10- A diferença entre dois números é 65. Sabe-se que o
primeiro está para 9 assim como o segundo está para 4. Calcule
esses números.
RESPOSTAS
1) x = 120 y = 30
2) 144 m2
216 m2
3) Ângela 20 Vera 8
4) R$27,00 R$45,00
5) 24 cm 54 cm
6) 27/16 cm
7) E
8) D
9) x = 60 y = 24
10) 117 e 52
DIVISÃO EM PARTES
PROPORCIONAIS
NÚMEROS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Considere a seguinte situação:
Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender
a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os
ingredientes necessários são:
3 ovos
1 lata de leite condensado
1 xícara de leite
2 colheres das de sopa de farinha de trigo
1 colher das de sobremesa de fermento em pó
1 pacote de coco ralado
1 xícara de queijo ralado
1 colher das de sopa de manteiga
Veja que:
• Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para
4 colheres de farinha;
• Observe agora as duas sucessões de números:
Sucessão do número de ovos: 6 9 12
Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8
Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes
são iguais:
2
3
4
6
=
2
3
6
9
=
2
3
8
12
=
Assim: 2
3
8
12
6
9
4
6
===
Dizemos, então, que:
• os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente
proporcionais aos da sucessão 4, 6, 8;
• o número 2
3
, que é a razão entre dois termos
correspondentes, é chamado fator de proporcionalidade.
Duas sucessões de números não-nulos são diretamente
proporcionais quando as razões entre cada termo da
primeira sucessão e o termo correspondente da segunda
sucessão são iguais.
Exemplo1: Vamos determinar x e y, de modo que as
sucessões sejam diretamente proporcionais:
2 8 y
3 x 21
Como as sucessões são diretamente proporcionais, as
razões são iguais, isto é:
21
8
3
2 y
x
==
3
2 =
x
8
3
2
=
21
y
2x = 3 . 8 3y = 2 . 21
2x = 24 3y = 42
x = 2
24
y = 3
42
x = 12 y = 14
Logo, x = 12 e y = 14

26
Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio,
César e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$
24.000,00, César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00.
Depois de 6 meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi
repartido entre eles em partes diretamente proporcionais à
quantia investida. Calcular a parte que coube a cada um.
Solução:
Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a
de Toni por z, podemos escrever:








==
=++
300002700024000
32400
zyx
zyx
  

81000
32400
300002700024000300002700024000 ++
++
===
zyxzyx
Resolvendo as proporções:
10
4
81000
32400
24000
=
x
10
4
27000
=
y
10
4
3000
=
z
10x = 96 000 10y = 108 000 10z = 120 000
x = 9 600 y = 10 800 z = 12 000
Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$
10.800,00 e Toni, R$ 12.000,00.
NÚMEROS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Considere os seguintes dados, referentes à produção de
sorvete por uma máquina da marca x-5:
1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.
2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.
Observe agora as duas sucessões de números:
Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6
Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20
Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira
sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são
iguais:
120
20
1
6
30
1
4
60
1
2
120
1
1
====
Dizemos, então, que:
• os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente
proporcionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;
• o número 120, que é a razão entre cada termo da
primeira sucessão e o inverso do seu correspondente na
segunda, é chamado fator de proporcionalidade.
Observando que
20
1
1
é o mesmo que 1 . 120 = 120
30
1
4
é o mesmo que 4 . 30 = 120
60
1
2
é o mesmo que 2 . 60 = 120
20
1
6
é o mesmo que 6 . 20 = 120
podemos dizer que: Duas sucessões de números
não-nulos são inversamente proporcionais quando os
produtos de cada termo da primeira sucessão pelo termo
correspondente da segunda sucessão são iguais.
Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as
sucessões sejam inversamente proporcionais:
4 x 8
20 16 y
Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais,
os produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais.
Então devemos ter:
4 . 20 = 16 . x = 8 . y
16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20
16x = 80 8y = 80
x = 80/16 y = 80/8
x = 5 y = 10
Logo, x = 5 e y = 10.
Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.
Representamos os números procurados por x, y e z. E
como as sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente
proporcionais, escrevemos:

27
4
1
3
1
2
1
zyx
==
4
1
3
1
2
1
zyx
==
=
4
1
3
1
2
1
104
++
++

zyx
Como , vem:
1
96
13
12
.104
12
13
:104
12
13
104
12
346
104
4
1
3
1
2
1
104
1
8
====
++
=
++
Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco
primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte:
Dias Sacos de açúcar
1 5 000
2 10 000
3 15 000
4 20 000
5 25 000
Com base na tabela apresentada observamos que:
• duplicando o número de dias, duplicou a produção de
açúcar;
• triplicando o número de dias, triplicou a produção de
açúcar, e assim por diante.
Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção
são diretamente proporcionais.
Observe também que, duas a duas, as razões entre o número
de dias e o número de sacos de açúcar são iguais:
10000
5000
2
1
=
20000
5000
4
1
=
15000
10000
3
2
=
25000
10000
5
2
=
25000
15000
5
3
=
15000
5000
3
1
=
25000
5000
5
1
=
20000
10000
4
2
=
20000
15000
4
3
=
25000
20000
5
4
=
Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são
diretamente proporcionais quando a razão entre os valores
da primeira é igual à razão entre os valores da segunda.
Tomemos agora outro exemplo.
Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l
de álcool.
De acordo com esses dados podemos supor que:
• com o dobro do número de toneladas de cana, a usina
produza o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;
• com o triplo do número de toneladas de cana, a usina
produza o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.
Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-
de-açúcar e número de litros de álcool são diretamente
proporcionais.
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo
gasto para percorrer determinada distância encontram-se na
tabela:
Velocidade Tempo
30 km/h 12 h
60 km/h 6 h
90 km/h 4 h
120 km/h 3 h
Com base na tabela apresentada observamos que:
• duplicando a velocidade da moto, o número de horas
fica reduzido à metade;
• triplicando a velocidade, o número de horas fica
reduzido à terça parte, e assim por diante.
Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo
são inversamente proporcionais.
Observe que, duas a duas, as razões entre os números que
indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que
indicam o tempo:
12
6
60
30
= inverso da razão
6
12
6
4
90
60
=
inverso da razão
4
6
12
4
90
30
=
inverso da razão
4
12
6
3
120
60
= inverso da razão
3
6
12
3
120
30
= inverso da razão
3
12
4
3
120
90
= inverso da razão
3
4

28
Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são
inversamente proporcionais quando a razão entre os
valores da primeira é igual ao inverso da razão entre os
valores da segunda.
Acompanhe o exemplo a seguir:
Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias.
De acordo com esses dados, podemos supor que:
• o dobro do número de máquinas realiza o mesmo
trabalho na metade do tempo, isto é, 18 dias;
• o triplo do número de máquinas realiza o mesmo
trabalho na terça parte do tempo, isto é, 12 dias.
Então concluímos que as grandezas quantidade de
máquinas e tempo são inversamente proporcionais.
EXERCÍCIOS
1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais:
a) 1 x 7 c) x y 21
5 15 y 14 35 49
b) 5 10 y d) 8 12 20
x 8 24 x y 35
2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais:
a) 4 x y c) 2 10 y
25 20 10 x 9 15
b) 30 15 10 d) x y 2
x 8 y 12 4 6
3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e
8.
4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a
6
1
4
1
,
3
1
e .
5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a
3
1
2
5
,
4
3
e .
6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e
Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente
proporcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?
7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um
pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro
entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, JoséAntônio
com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$
60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um?
(Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que
cada um empregou.)
8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os
seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como
Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o
prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais
à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?
9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três
famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos.
Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5
filhos, quantas laranjas recebeu cada família?
10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade
comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será
dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada
um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas
por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00,
R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00,
que parte do lucro caberá a cada um?
RESPOSTAS
1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14
y = 21
2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y
= 3
3- 80, 32, 20
4- 21, 28, 43
5- 45, 150, 20
6- 90
7- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio
R$24.000,00
8- R$350.000,00
9- 60, 90, 150
10- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto
R$400.000,00
REGRA DE TRÊS
REGRA DE TRÊS SIMPLES
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou
inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um
processo prático, chamado regra de três simples.
Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15l de álcool. Quantos
litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?
Solução:
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de
álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem
em uma mesma linha:
Distância (km) Litros de álcool
180 15
210 x

29
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”),
vamos colocar uma flecha:
180 15
210 x
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de
álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de
álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos
montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna
“distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de
álcool”:
180 15
210 x
mesmo sentido
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
x
15
210
180
7
6
=  6x = 7 . 15

6x = 105
 x =
6
105  x = 17,5
Resposta: O carro gastaria 17,5 l de álcool.
Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h,
eu gastaria 4 h para fazer certo percurso.Aumentando a velocidade
para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?
Solução:
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas
de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de
espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha,
temos:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
60 4
80 x
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos
colocar uma flecha:
60 4
80 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica
reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e
tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse
fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha
em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:
60 4
80 x
sentidos contrários
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das
flechas. Assim, temos:
3
4
60
804
=
x
 4x = 4 . 3

4x = 12
 x =
4
12  x = 3
Resposta: Farei esse percurso em 3 h.
Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um
competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o
percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h,
qual o tempo que ele teria gasto no percurso?
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade
(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18
s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os
outros três.
Velocidade
Tempo gasto para
fazer o percurso
200 km/h 18 s
240 km/h x
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto
para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são
inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são
inversamente proporcionais aos números 18 e x.
Daí temos:
200 . 18 = 240 . x
3 600 = 240x
240x = 3 600
x =
240
3600
x = 15
O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.
EXERCÍCIOS
1- Para transportar material bruto para uma construção, foram
usados 16 caminhões com capacidade de 5m3 cada um. Se a
capacidade de cada caminhão fosse de 4 m3, quantos caminhões
seriam necessários para fazer o mesmo serviço?

30
2- Um piloto manteve, em um treino, a velocidade média de
153 km/h. Sabendo-se que 1h = 3 600 s, qual foi a velocidade
desse piloto, em m/s?
3- Para construir a cobertura de uma quadra de basquete, 25
operários levaram 48 dias. Se fosse construída uma cobertura
idêntica em outra quadra e fossem contratados 30 operários de
mesma capacidade que os primeiros, em quantos dias a cobertura
estaria pronta?
4- A velocidade de um automóvel é de 25 m/s. Qual será sua
velocidade em quilômetros por hora?
5- Um pequeno avião, voando a 450 km/h, leva 4 horas para ir
da cidade A até a cidade B. Quanto tempo gastaria outro avião para
percorrer o mesmo trajeto, sabendo que a sua velocidade média é
de 800 km/h?
6- Numa determinada faixa salarial, de cada R$ 100,00 o
INSS (Instituto Nacional de Seguridade Social) desconta R$
11,00. Quanto o INSS desconta de um salário de R$ 1.350,00?
7-Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em
75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas
encheriam esse mesmo tanque?
8- Umtrempercorrecertadistânciaem6 h 30min,àvelocidade
média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o
trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?
9- Com 1,6 kg de frango compram-se 10 kg de milho. Quantos
quilos de frango são necessários para se comprar 1 tonelada de
milho?
10- Uma torneira que despeja 15 l/min enche um tanque em 80
min. Uma outra torneira, despejando 25 l/min, em quanto tempo
encheria esse tanque?
RESPOSTAS
1- 20 caminhões
2- 42,5 m/s
3- 40 dias
4- 90 km/h
5- 2h15min
6- R$ 148,50
7- 30min
8- 52 km/h
9- 160 kg
10- 48 min
REGRA DE TRÊS COMPOSTA
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais
de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é
chamado regra de três composta.
Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças.
Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300
dessas peças?
Solução:
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas
de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies
diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna
em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha:
Máquinas Peças Dias
8 160 4
6 300 x
Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No
nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças”
uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:
8 160 4
6 300 x
Mesmo sentido
Asgrandezasmáquinasediassãoinversamenteproporcionais
(duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido
à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na
coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da
coluna “dias”:
8 160 4
6 300 x
Sentidos contrários
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que
contém o x, que é
x
4
, com o produto das outras razões, obtidas
segundo a orientação das flechas 





300
160
.
8
6
:
5
1
15
8
1
2
300
160
.
8
64
=
x
5
24
=
x
a 2x = 4 . 5 a x = 1
2
2
5.4
a x = 10
Resposta: Em 10 dias.
Exemplo 2: Na merenda escolar, 320 crianças consumiram
1 440 l de leite em 15 dias. Quantos litros de leite deverão ser
consumidos por 400 crianças em 30 dias?

31
Crianças Dias Litros de leite
320 15 1 440
400 30 x
•As grandezas crianças e litros são diretamente proporcionais.
• As grandezas dias e litros são diretamente proporcionais.
15
2
2
1
10
4
8
30
15
.
400
3201440
=
x
5
21440
=
x
2x = 5 . 1 440
1
720
2
1440.5
=x
X = 3 600
Resposta: Em 30 dias deverão ser consumidos 3 600 l de leite.
EXERCÍCIOS
1- Trabalhando 8h por dia, 6 pedreiros constroem uma casa
em 5 meses. Quantos pedreiros seriam necessários para construir a
mesma casa em 4 meses, trabalhando 6h por dia?
2- Doze caminhões levam 4 dias para transportar 240
toneladas de mantimentos. Quantos caminhões seriam necessários
para transportar 300 toneladas em 3 dias?
3- Em uma tecelagem, 10 teares fabricam 500m de tecido
em 3 dias. Em quantos dias 6 teares produzirão 400m do mesmo
tecido?
4- Um grupo de 9 estudantes foi acampar e levou alimentos
suficientes para 6 dias, calculando fazer 4 refeições diárias. Tendo
chegado ao local mais 3 estudantes, por quanto tempo teriam
alimentos se fizessem 3 refeições diárias?
5- Em uma granja, em 60 dias, 3 000 frangos consumiram 12
900 kg de ração. Quantos quilos de ração seriam consumidos em
55 dias por 2 400 frangos?
6- Se R$ 4.500,00 rendem R$ 270,00 de juros em 3 meses,
quanto renderão de juros R$ 6.000,00 em 2 meses?
7- (F.F.C.L. Belo Horizonte-MG) Uma empreiteira contratou
210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano.
Após 4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados.
Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra
seja concluída no tempo previsto?
a) 315 b) 2 2520 c) 840 d) 105 e) 1 260
8- (UFSE) Numa gráfica, 7 máquinas de mesmo rendimento
imprimem 50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se
duas dessas máquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas
restantes farão o mesmo serviço em:
a) 3 horas e 10 minutos
b) 3 horas
c) 2 horas e 55 minutos
d) 2 horas e 50 minutos
e) 2 horas e 48 minutos
9- (UFMG) Uma empresa tem 750 empregados e comprou
marmitas individuais congeladas suficientes para o almoço deles
durante 25 dias. Se essa empresa tivesse mais 500 empregados,
a quantidade de marmitas já adquiridas seria suficiente para um
número de dias igual a:
a) 10 b) 12 c) 15 d) 18 e) 20
10- (UFRS) Se foram empregados 4 kg de fios para tecer 14
m de fazenda com 80 cm de largura, quantos quilogramas serão
necessários para produzir 350 m de fazenda com 120 cm de
largura?
a) 130 b) 150 c) 160 d) 180 e) 250
RESPOSTAS
1- 10 pedreiros
2- 20 caminhões
3- 4 dias
4- 6 dias
5- 9.460 Kg
6- R$ 240,00
(7-D) (8-E) (9-C) (10-B)
PORCENTAGEM E PROBLEMAS
PORCENTAGEM
É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma
fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo
símbolo % e lê-se: “por cento”.
Deste modo, a fração 100
50
é uma porcentagem que podemos
representar por 50%.
Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem
na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seria
representado por 0,35.
75% =
100
75
= 0,75

32
Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma
porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração
100
p
por V.
P% de V =
100
p
. V
Exemplo 1: 23% de 240 = 100
23
. 240 = 55,2
Exemplo 2: Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que
67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a
população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal
programa?
Resolução: 67% de 56 000 = 3752056000.
100
67
=
Resposta: 37 520 pessoas.
Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço
de custo e em relação ao preço de venda: Chamamos de lucro
em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre
o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de
prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda
Preço de custo – prejuízos = preço de venda
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas
formas:
Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo . 100%
Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda . 100%
Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de
prejuízo.
Exemplo: Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e
vendida por R$ 800,00.
Pede-se:
* o lucro obtido na transação;
* a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;
* a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
Resposta:
Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00
Lc
=
500
300
= 0,60 = 60%
Lv
=
800
300
= 0,375 = 37,5%
Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que
deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o
valor do aumento e VA
o valor após o aumento. Então,
A = p% de V =
100
p
. V
VA
= V + A = V +
100
p
. V
VA
= ( 1 +
100
p
) . V
Em que (1 +
100
p
) é o fator de aumento.
Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que
deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o
valor do desconto e VD
o valor após o desconto. Então,
D = p% de V =
100
p
. V
VD
= V – D = V –
100
p
. V
VD
= (1 –
100
p
) . V
Em que (1 –
100
p
) é o fator de desconto.
Exemplo: Uma empresa admite um funcionário no mês de
janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a
empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março,
seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?
Resolução: VA
= 1,4 . V
3 500 = 1,4 . V
V = 2500
4,1
3500
=
Resposta: R$ 2 500,00
Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor
inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos
sucessivos de p1
% e p2
%. Sendo V1
o valor após o primeiro
aumento, temos:

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