Este documento discute o uso do software Geogebra para ensinar transformações lineares no espaço de três dimensões de maneira algébrica e gráfica. O documento constrói o cubo unitário no Geogebra e mostra suas rotações e reflexões, fornecendo figuras ilustrativas produzidas pelo software.
1. TEMA: GEOGEBRA 5.0
TÍTULO: “TRANSFORMAÇÕES LINEARES NO ESPAÇO UMA ABORDAGEM
ALGÉBRICA E GRÁFICA COM O APLICATIVO GEOGEBRA”.
Prof.: Odilthom ES Arrebola (ARREBOLA, O.E.S)
Lic. em Mat. , mestre em Edu. Mat.
arrebolas@uol.com.br
http://odilthom.blogspot.com.br/
2. SLIDES
RESUMO:
Os slides abordam o uso do programa livre “Geogebra” como ferramenta auxiliar no
processo de ensino e aprendizagem de objetos matemáticos - “Transformações
Lineares”, visando o desenvolvimento básico desse conteúdo no espaço, usando
como exemplo a reflexão e rotação do cubo unitário.
META:
Discutir os principais aspectos relacionados à utilização do software como
ferramenta auxiliar no ensino da matemática.
CONSTRUÇÃO:
TECNOLOGIA OBJETO DE ESTUDO
3. SOFTWARE GEOGEBRA
APRESENTAÇÃO
O SOFTWARE GEOGEBRA: Software livre, portátil, fácil de manipular, idealizado e
desenvolvido por Markus Hohenwarter – Universidade de Salsburg. Projeto foi
iniciado em 2001.
SIGNIFICADO: Geogebra é um programa com união de um sistema de geometria
dinâmica e de um sistema de computação algébrica, i.e., DGS – Dynamic Geometry
System e CAS – Computer Algebric System.
Podemos verificar como usar o Geogebra em:
http://pt.slideshare.net/Odilthom/aula-geogebra
4. GEOGEBRA E O OBJETO DE ESTUDO
DIRECIONADO A:
INICIANTES e NÃO INICIANTES > Com conhecimento do aplicativo ou não,
com ou sem conhecimento do objeto matemático - Transformações
Lineares.
PRÉ-REQUISITOS > Conhecimentos prévios de conceitos matemáticos, tais como:
a. Pontos em coordenadas cartesianas e suas operações, adição entre eles e multiplicação
entre um escalar e um ponto.
b. Figuras planas.
c. Vetores e Matrizes.
MINHA CRENÇA:
Dado que o aplicativo contém o protocolo de construção, cuja função é oferecer ao eleitor os
procedimentos de construção do objeto em questão “passo a passo” , daí minha crença que
qualquer que seja o usuário, ele sentirá motivado para desenvolver as atividades, pois lhe será
possível construir e reconstruir o objeto de estudo, bastando para isso o querer e a atenção.
5. TECNOLOGIA
A UTILIZAÇÃO DE FERRAMENTAS INFORMÁTICAS NO PROCESSO DE ENSINO E
APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
GEOGEBRA: criado para ser utilizado em ambiente de sala de aula.
VERSÃO: 5.0
ANÁLISE DA UTILIZAÇÃO: consequências – benefícios (?)
IDÉIA: Trabalhar com objetos matemáticos tridimensionais.
OBJETOS: pontos, retas, vetores, matrizes, funções, polígonos, sólidos
geométricos, poliedros, superfícies quádricas, etc.
POSSIBILIDADES:
1. AO PROFESSOR > contínuas construções de seu saber pedagógico e tecnológico;
2. AO ALUNO >atitudes e ações, construção e reconstrução de conhecimentos..
IMPORTANTE: Criação e interação com objetos em coordenadas (x, y, z).
6. OBJETO DE ESTUDO
TÓPICO DA ÁLGEBRA LINEAR : T.L.
O que são transformações lineares (T.L.)?
Funções: domínios e imagens são espaços vetoriais.
Preservam: Operações - adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar.
Uso: Representação gráfica do Geogebra - apresentar as ilustrações dessas
transformações.
Qual o motivo da escolha desse tópico?
1. Porque as TL modelam vários tipos de movimentos tanto no plano quanto no
espaço.
2. Mantém fixa a origem.
MATEMÁTICA: comunicação representações.
OBJETOS: conceitos, propriedades, estruturas e relações escritos, símbolos, desenhos,
gráficos e notações.
8. RECORDANDO ALGUNS TÓPICOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR.
ESPAÇO VETORIAL REAL
I. COMBINAÇÃO LINEAR
II. LINEARMENTE
DEPENDENTE E
LINEARMENTE
INDEPENDENTE
III. BASES E DIMENSÃO
9. RECORDANDO ALGUNS TÓPICOS BÁSICOS DA ÁLGEBRA LINEAR.
C.L., BASE E DIMENSÃO L.D. OU L.I.
FIGURA ILUSTRATIVA FIGURA ILUSTRATIVA
10. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3
.
ESPAÇO VETORIAL C.L., BASE E DIMENSÃO
FIGURA ILUSTRATIVA FIGURA ILUSTRATIVA
11. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3
.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA TRANSFORMAÇÃO ROTAÇÃO DO
PARALELEPÍPEDO
Transformações especiais usadas em aplicações práticas e
numéricas.
No espaço: R3
12. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3
.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA TRANSFORMAÇÃO ROTAÇÃO E
REFLEXÃO (SIMETRIA) DO CUBO UNITÁRIO
ESPAÇO (R3) - 3D
O conjunto de todos os vetores de dimensão 3, é possível, adaptá-las ao espaço, isto
é, em R3 que representa o conjunto de todos os vetores de dimensão 3. E para tal
acontecer basta o utilizarmos o Geogebra em 3D na versão 5.0, que nos permite
trabalhar com a geometria tridimensional, em que é possível a criar e interagir com
objetos em coordenadas (x, y, z).
Agora, utilizando o aplicativo Geogebra, vemos que este “desenha” um vetor por meio
de um representante desse vetor, assim criaremos à situação – problema a seguinte
figura ilustrativa no próximo slide.
13. TRANSFORMAÇÕES LINEARES EM DIMENSÃO 3
ATIVIDADE
AE.1 Construa o cubo unitário, em
seguida:
a) Faça a rotação desse por um ângulo
de α em torno do eixo Z;
b) Construa a reflexão do cubo unitário
em relação ao plano xz.
UTILIZAÇÃO DO APLICATIVO
SOLUÇÃO FINAL: deverá aparecer a
figura ilustrativa da construção ao lado.
14. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
CONSTRUÇÃO:
Cria-se 3 pontos, A, B e C.
Há alguns modos de fazer isso.
Neste exemplo:
A , B , e B foram feitos digitando entre
parênteses, por ex., (1,0,0) e em seguida
de “enter” , o aplicativo nomeará
automaticamente o ponto, analogamente
para os outros dois pontos.
Poderia utilizar a barra de ferramenta.
O ícone:.
Colocando o apontador ou cursor sobre
esse, ele mostrará a ação a ser efetuada.
FIGURA
15. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
CONSTRUÇÃO:
• Do cubo, utilizaremos um dos modos, acionando ajuda ao clicar no canto direito abaixo no
ícone que deverá aparecer no lado direito da área de trabalho. Há outros modos de
fazer isso.
.
16. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Dá-se um clique no sinal + do 3D e abrirá várias opções, clica-se em cubo, surgirão 3 opções
de construção, seleciona-se uma delas, por ex., a 2ª e em seguida, no botão colar, aparecerá
na caixa de entrada: Cubo[ ], agora basta colocar entre colchetes os 3 pontos já construídos, tal
que, teremos Cubo[A,B,C], dando “enter”, ao cubo aparecerá, tal qual a figura ilustrativa. Não se
desespere com a imagem poluída.
.
17. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Na janela da álgebra há quadrilátero contendo as 6 faces ao clicar com o botão direito do
mouse será lançada uma janela contendo ícones relativos e suas funções, basta clicar com o
botão esquerdo em “Exibir Rótulo", então será desabilitado o texto da figura. Esse
procedimento terá de ser feito em todas as 6 faces. Analogamente para segmento e suas 12
arestas. Agora, temos a figura do cubo limpa.
.
18. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Agora, temos a figura do cubo limpa. Somente contando os rótulos dos pontos que são 8
vértices do cubo.
.
19. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Abre-se a janela de visualização clicando na barra de menus em Exibir naquele item. Em
seguida em controle deslizante ou na entrada, digitando α = 45º , por ex., e dê “enter”.
.
20. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Para fins didáticos, fecharemos a janela de visualização e abriremos protocolo de construção.
Agora construiremos 3 vetores, utilizando o ícone da barra de ferramenta vetor .
Também poderíamos fazê-los através da entrada digitando Vetor e apareceria diversas opções,
então escolheríamos Vetor[<Ponto>], basta colar o ponto e teríamos Vetor[B] por exemplo e o
aplicativo já o mostraria na figura.
21. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
MATRIZES > usaremos a janela de entrada para construí-las.
Digitaremos chaves e dentro dela mais 3 chaves separadas por vírgula, usando os referenciais
teóricos das matrizes canônicas da reflexão e da rotação. Vejas como fica no protocolo de
construção.
22. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO UNITÁRIO
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
As matrizes canônicas estão destacadas em retângulos vermelhos. Segue abaixo a figura
ilustrativa.
23. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Utilizamos a barra de ferramentas, o
ícone para digitar o texto que
aparecerá na janela de visualização 3D.
Na caixa de entrada digitamos MRy, o
operador multiplicativo “*” e o ponto G,
obtendo M= MRy*G, com M sendo a
reflexão de G.
Para obter a rotação do cubo,
utilizaremos o décimo ícone das
transformações, selecionado girar.
Também poderíamos ter utilizado a
caixa de entrada. Digitando:
Girar [<Objeto>, <Ângulo>,<Eixo de
Rotação>]=Girar[CU,α,b]
Figura ilustrativa que aparecerá
24. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Das construções de nº.s 16 a 20, bastariam apenas a 16 e 20, porque a 16 representa o vetor
(x, y, z)=(1,1,1) que gerou o ponto reflexão M=(1,-1,1) e o nº 20 do protocolo de construção
representa o plano c: x=0 (pl yz) (esta última construção serve apenas para dar a ideia de 3D).
25. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Faremos agora a construção do plano xz, para isso, basta digitar na caixa de entrada y=0 e dar
“enter”, assim procedendo, surgirá na janela da álgebra , b: y=0. As cores são selecionadas em
uma paleta de cores em propriedades do objeto que construíste Basta selecionar o objeto na
janela da álgebra ou na janela da visualização. Vejas o próximo slide.
26. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Utilizaremos o botão direito do mouse 2
vezes:
1º no Objeto
2º em Propriedades e teremos a figura
a seguir:
27. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Agora resolveremos a reflexão ou simetria. Usaremos a caixa de entrada uma da quatro
opções. Por exemplo a selecionado com o retângulo vermelho.
Reflexão[<Objeto>, <Plano>]=Reflexão[Cu, b]
28. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Para finalizar, utilizaremos a caixa de entrada para construir o vetor obtido pela reflexão
digitando Vetor[<Ponto>]=Vetor[M] cujo ícone é : O ícone de texto que
aparecerá na janela de visualização.
Depois, na caixa de entrada, digitaremos o produto Mα*G= I (ponto que representa a rotação).
O vetor que representa a rotação Vetor[<Ponto>]=Vetor[I].
29. TRANSFORMAÇÃO LINEAR DO CUBO Unitário
FIGURAS ILUSTRATIVAS FEITAS PELO GEOGEBRA
Movimentando α no seletor,
observe o que acontecerá
quando:
α = 0°?
α = 90°?
α =180°?
α = 270°?
α = 360°?
Faça conforme o modelo:
Para α = 270°
Girar[Cu, α, Eixo Z] coincide
com a Reflexão[Cu, b]
Ou seja: G ≡ R
30. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
.
ANTON, H.; RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações 8ª. Ed. Porto Alegre:
Bookman, 2002.
ARAÚJO, L.C.L. & NÓBRIGA, J.C.C. Aprendendo matemática com o geogebra.
São Paulo: Editora Exato, 2010.
ARREBOLA, O.E.S. Uma sequencia didática sobre transformações lineares em um
ambiente de geometria dinâmica. Apresentação de mestrado. Universidade
Bandeirante Anhanguera de São Paulo, São Paulo, 2013.
ARREBOLA, O.E.S. GeoGebra – Um Software Educativo Útil como ferramenta
auxiliar ao Ensino da Matemática em diversos níveis. Apresentação em slide no
HTPC numa escola pública a professores do E.M. Casqueiro, Cubatão, 2010.
Disponível em:
http://pt.slideshare.net/Odilthom/aula-geogebra
ARREBOLA, O. E.S. – Softwares dinâmicos como ferramenta auxiliar no ensino e
aprendizagem da matemática. Oficina realizada em 24 de maio de 2012 na Semana
da Matemática e Tecnologia no Ensino no município de Guarulhos - Prefeitura de
Guarulhos – São Paulo. Disponível em:
http://pt.slideshare.net/Odilthom/smte-oficina-odilthom-13081633
31. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
CARVALHO, J. P. Introdução à Álgebra Linear. Série do IMPA - Instituto de
Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1974.
GEOGEBRA – página com exemplos interativos, disponível em
<http://docentes.educacion.navarra.es/~msadaall/geogebra/ind>.
Acesso em abril de 2008..
KOLMAN, B. & HILL, D.R. Introdução à Álgebra Linear: com aplicações, 8ª Ed. Rio
de Janeiro: Editora LTC. 2006.
LAY, D. C. Álgebra Linear e Aplicações, 2ª. Ed. São Paulo. Editora LTC. 1999.
STEINBRUCH, A. Álgebra Linear, 2ª. ed. São Paulo. Makron Books. 2000