1. Aula 11
Estimação
Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
Universidade Federal de Itajubá
2. Resumo
A principal preocupação numa inferência estatística é obter
conclusões sobre a população.
Com a média de uma amostra extraída de uma população será
estimada a média dessa população.
Entretanto, de uma mesma população pode-se tomar muitas
amostras diferentes do mesmo tamanho.
O parâmetro média da população é um valor único e
desconhecido.
A estatística média da amostra é um valor
conhecido, porém pode variar de amostra para
amostra.
3. Resumo
Com as médias das amostras, é possível construir a
distribuição de freqüências das médias das amostras,
denominada distribuição amostral da média, cuja média
denomina-se média amostral e seu desvio padrão, erro
padrão ou erro amostral.
4. Estimação
• Devido a natureza aleatória envolvida num
procedimento amostral (AAS), não podemos
garantir que repetições de amostras produzam
sempre resultados idênticos.
• Então, ao coletarmos uma amostra, não
podemos prever antecipadamente seu
resultado, ou seja, todas as quantidades
associadas à amostra terão caráter aleatório e
portanto, devem receber tratamento
probabilístico.
5. Estimação
• À combinação dos elementos da amostra,
construída com a finalidade de representar, ou
estimar, um parâmetro de interesse na
população denominamos estimador. Em geral,
denotamos os estimadores por símbolos com o
acento circunflexo: ^ ^ , etc.
, , ^
• Aos valores numéricos assumidos pelos
estimadores denominamos estimativas
pontuais ou estimativas
6. Estimação
• Def. Um estimador T do parâmetro é
qualquer função da amostra, ou seja,
T=g(X1,...,Xn).
Um estimador é uma estatística associada a um parâmetro
populacional.
• Estimativa é o valor assumido pelo
estimador em uma amostra.
7. Estimação
• Mas qualquer função representa bem o parâmetro
em estudo?
• O estimador precisa ter algumas propriedades:
Vício: Um estimador é não viciado ou não viesado
para um parâmetro se:
ˆ
E ( )
Em outras palavras, um estimador é não viciado
se o seu valor esperado coincide com o
parâmetro de interesse.
8. Estimação
Consistência: Um estimador é consistente se, à
medida que o tamanho da amostra aumenta,
seu valor esperado converge para o parâmetro
de interesse e sua variância converge para
zero:
ˆ
i ) lim E ( ) ;
n O estimador
depende de n !!
ˆ
ii ) lim Var ( ) 0;
n
9. Estimação
Eficiência: Dados dois estimadores ^ 1 e 2, não
^
viciados para um parâmetro . Dizemos que ^ 1 é
mais eficiente do que ^ 2 se:
ˆ ˆ
Var (1 ) Var ( 2 )
10. Parâmetro Estimador Propriedades
X
n
i
Não viciado e
X i 1
consistente
n
p % com caracterís tica
Não viciado e
p
ˆ
n consistente
2 n
(X i X )2 Não viciado e
S2 i 1
consistente
n 1
2
n
( X i X )2 Viciado e
2
ˆ i 1 consistente
n
11. Exemplo
• Considere que, numa certa população,
uma variável aleatória X assuma os
valores 0, 10, 20 e 30 com porcentagens
20%, 30%, 30% e 20%, respectivamente.
Logo = 15 e 2 = 105.
X 0 10 20 30
P(X=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
12. • Retirando todas as amostras de 2
elementos com reposição tem-se a
distribuição conjunta
X1X2 0 10 20 30
0 0,04 0,06 0,06 0,04
10 0,06 0,09 0,06 0,09
20 0,06 0,09 0,09 0,06
30 0,04 0,06 0,06 0,04
13. • Para estimar na população, considere
os estimadores:
1 X 1
ˆ
n
X i
2
ˆ i 1
n
1
^ 0 10 20 30
P(1=x) 0,2 0,3 0,3 0,2
2
^ 0 5 10 15 20 25 30
P(2=x) 0,04 0,12 0,21 0,26 0,21 0,12 0,04
14. • Obtendo o valor esperado de 1 ,2:
^ ^
E ( 1 ) 0 * 0,2 10 * 0,3 20 * 0,3 30 * 0,3 15
ˆ
E ( 2 ) 0 * 0,04 5 * 0,12 10 * 0,21 ... 30 * 0,04 15
ˆ
• Portanto, os estimadores são não
viciados:
E ( 1 )
ˆ
E (2 )
ˆ
15. • Esses estimadores são consistentes?
Propriedade da Variância:
Var (aX ) a 2Var ( X )
i ) lim E ( 1) lim E ( X 1 ) lim 15
ˆ
n n n
ii ) lim Var ( 1) lim Var ( X 1 ) lim 105 2
ˆ
n n n
n
X 1 X 2 ... X n E( X i ) n
i ) lim E ( 2) lim E
ˆ lim i 1 lim
n n
n n n n n
n
X X 2 ... X n
Var ( X ) i
n 2 2
ii ) lim Var ( 2) lim Var 1
ˆ lim i 1
lim 2 lim 0
n n
n n n2 n n n n
Portanto,o estimador 1 não é consistente e o estimador 2 é consistente!!!
16. • Qual é o estimador mais eficiente?
Var ( 1) 2 105
ˆ
2 105
Var ( 2)
ˆ 52,5
n 2
Portanto o estimador 2 é mais eficiente que o estimador 1.
Var (2 ) Var (1 )
ˆ ˆ
17. Trabalho em grupo para casa
• Mostre que o estimador da variância dividido por
n-1 é não viciado?
• Supondo uma amostra (X1,...,Xn) obtida de uma
população com média e variância 2. Um
estimador natural da variância é:
n
(X i X) 2
1
ˆ 2 i 1
n
18. Estimação
• Esse estimador é viciado?
n n
( X i X ) 2 ( X i X ) 2
i 1 i 1
n n n
( X i ) 2 ( X i )( X ) ( X ) 2
2
i 1 i 1 i 1
X é uma constante e ( X i ) n( X ) 2
n
• Como i 1
n n
( X i X ) ( X i ) 2 n( X ) 2 .
i 1
2
i 1
19. • Segue que
n 2
E ( X i X )
E ( 12 ) i 1
ˆ
n
1 n 2
E ( X i ) nE ( X )
2
n i 1
1 1 2
n
2
n n
n 1 2
n
20. • Logo
n 2
E ˆ1 12
ˆ
n 1
1 n
S
2
(Xi X )
n 1 i 1
2
21. Exercício 1
• Foi analisado uma população de 15 famílias
com filhos num certo bairro e observado o
número de crianças de cada família,
matriculadas na escola. Os dados foram:
1,1,2,0,2,0,2,3,4,1,1,2,0,0, e 2.
• Qual dos estimadores abaixo é o “melhor”
estimador da média e por quê?
(max min) ( X1 X 2 )
1
ˆ ; 2
ˆ ; 3 X
ˆ
2 2
22. Exercício 2
• Suponha um experimento consistindo de n
provas de Bernoulli, com probabilidade de
sucesso p. Seja X o número de sucessos, e
considere os estimadores
X 1, se a primeira prova resultar sucesso,
p1 ;
ˆ p2
ˆ
n 0, caso contrário.
• Determine a esperança e a variância de cada
^
estimador. Por que p2 não é um bom estimador?
• Verifique se ^ 1 e p2 são consistentes.
p ^