1. Notas de Revisão de Matemática
Nécio de Lima Veras - necioveras@gmail.com
Potências e Raízes
Potência de expoente inteiro negativo: a−n = a1 n
Propriedades válidas para: a ∈ R, b ∈ R, m ∈ N, n ∈ N Propriedades da raíz enésima aritmética: se a ∈ R+ , b ∈ R+ ,
P1 am · an = am+n m ∈ Z, n ∈ N∗ , p ∈ N∗
√ √
m n m n·p m·p
P2 a
n = a
m−n R1 √a = √ a √
a n
P3 (a · b)n = an · bn R2 a·b= na· nb
√
n n a
n a
P4 ( a )n = an , b = 0
b b
R3 b = n b√ = 0)
√ , (b
√ m
P5 (am )n = am·n R4 ( a) = n am
n
p n
√ √
R5 a = p·n a
p √
Potência de expoente racional: a q = q ap
Propriedades : se a ∈ R∗ , b ∈ R∗ ,
+ +
p r
q ∈ Q, s ∈ Q
P1
p r
aq · as = aq+s
p r Redução a uma base comum: ab = ac ⇔ (0 < a = 1))
p
p Se b e c são números reais então
aq −r
P2 r = aq s
para a > 1 tem-se: ab > ac ⇔ b > c
as p p p
P3 (a · b) q = aq · bq para 0 < a < 1 tem-se: ab > ac ⇔ b < c
p
p
aq
P4 (a q ) =
b p
p
bq p r
r
P5 (a q ) s = a q · s
Logaritmos
Definições: loga b = x ⇔ ax = b Propriedades
loga b = x ⇔ b = anti loga x Do produto: loga (b · c) = loga b + loga c, se 0 < a = 1, b > 0, c > 0
b
loga 1 = 0 Do quociente: loga ( c ) = loga b − loga c, se 0 < a = 1, b > 0, c > 0
loga a = 1 Cologaritmo: co loga b = loga 1 , se 0 < a = 1, b > 0
b
a loga b
=b De potência: loga bα = α · loga b, se 0 < a = 1, b > 0, α ∈ R
√ 1
loga b = loga c ⇔ b = c loga n b = loga b n = n · loga b, se 0 < a = 1, b > 0, n ∈ N∗
1
Mudança de base
log b
Propriedade: loga b = log c a , se a, b, c ∈ R+ , a = 1, c = 1
c
Observação: loga b = logc b · loga c, se a, b, c ∈ R+ , a = 1, c = 1
1
Consequências: (1) loga b = log a , se a, b ∈ R+ , a = 1, b = 1
b
1
(2) logaβ b = β · loga b, se a, b ∈ R+ , a = 1, β = 0
Progressões
Geométrica
Aritmética Fórmula do termo geral: an = a1 · q (n−1)
n·(n−1)
Fórmula do termo geral: an = a1 + (n − 1) · r) Produto: Pn = an · q 2
1 n
Soma: Sn = n·(a12+an ) Soma (P.G. finita): Sn = a1 ·q −a1 , para q = 1
q−1
a1
Soma (P.G. infinita): S = limn→+∞ Sn = 1−q
Crescimento de funções (notação assintótica)
Notação
Big O: Uma função f (x) está na ordem O se existir uma constante positiva que defina um limite superior:
f (x) ≤ c · g(x), ou seja, f (x) = O(g(x))
o: Uma função f (x) está na ordem o se existir uma constante positiva que defina um limite superior:
f (x) < c · g(x), ou seja, f (x) = o(g(x))
Ω: Uma função f (x) está na ordem Ω se existir uma constante positiva que defina um limite inferior:
f (x) ≥ c · g(x), ou seja, f (x) = Ω(g(x))
ω: Uma função f (x) está na ordem ω se existir uma constante positiva que defina um limite inferior:
f (x) > c · g(x), ou seja, f (x) = ω(g(x))
θ: Uma função f (x) está na ordem θ se existirem duas constantes positivas que definam os
limites superiores e inferiores: f (x) ≤ c1 · g(x) e f (x) ≥ c2 · g(x), ou seja, f (x) = O(g(x)) e f (x) = Ω(g(x))
Limites
f (n)
Se limn→∞ g(n) = 0 Então f (n) = o(g(n))
f (n)
Se limn→∞ g(n) = ∞ Então f (n) = ω(g(n))
Se limn→∞ f (n) = c
g(n) Então f (n) = θ(g(n))