6. Definição Matemática
• Produto de Matrizes
Devem ser
iguais colunas do resultado
linhas do resultado
Cada termo é o produto escalar do vetor linha i com o vetor coluna j
10. Definição Matemática
• Obs: Matriz M x Matriz quadrada S
– I,j x j,j = l,j
– l,l x l,j = l,j
– M x I = I x M = M (I = Matriz Identidade)
– AB ≠ BA (Não é comutativa)
– (AB)C = A(BC) (É associativa)
– (kA)B = k(AB) = A(kB)
– (vA)B = v(AB)
– (AB)T = BTAT
12. Definição Matemática
• Vantagens (Vetores Linhas)
– Mais fácil escrever [4,5,6] do que
– Leitura Natural
– DirectX usa
• Vantagens (Vetores Coluna)
– Equações (Ex: ABCv parece A(B(C(v))))
– Livros de álgebra linear adotam
– Livros de Computação Gráfica adotam
– OpenGL usa
13. Interpretação Geométrica
• Descreve uma transformação linear
• Pode “esticar”, porém não pode curvar ou
distorcer o espaço
• Rotação
• Escala
• Projeção Ortográfica
• Reflexão
• Shearing (Skewing)
15. Interpretação Geométrica
• O que uma matriz parece?
Cada linha da matriz pode ser vista como vetor base após a transformação
16. Interpretação Geométrica
• Implicações
– Podemos ver uma matriz e visualizar que
transformação ela faz.
– Podemos fazer uma transformação reversa
• Um exemplo:
30. Rotação
• Rotação sobre qualquer eixo
– Tomem um café e se alongue antes
– Queremos girar um vetor v qualquer, θ graus,
num eixo n
– Transformar v em dois vetores
• Perpendicular
• Paralelo
31. Rotação
• v|| é paralelo a n (projetado).
Então v || é (v·n)n.
• v ┴ é perpendicular a n. Então
é v ┴ = v – v ||
• w (um vetor de referência) é
perpendicular a v ┴ e n (e
mesmo comprimento de v ┴.)
Então é w = nv ┴
33. Rotação
• Iremos agora compor nossa matriz
– Lembre-se: a matriz representa o conjunto de
vetores base após a transformação
– Então iremos usar
• v = [1,0,0]
• v = [0,1,0]
• v = [0,0,1]
– Computar v’ de cada vetor base e juntar para
fazer a matriz.