Análise espacial e modelos de dependência espacial

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE
MONTES CLAROS
PPDGDEE
MESTRADO:
Desenvolvimento Regional: Análise e
Métodos
Professor: Luiz Paulo Fontes de Rezende
2016

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE
MONTES CLAROS
PPDGDEE
ANÁLISE ESPACIAL: MODELOS DE
DEPENDÊNCIA ESPACIAL
Econometria Espacial
Slide extraído da nota de aula da Professora
Associada do Departamento de Ciências
Econômicas da UFMG - Sueli Moro

A Econometria Espacial é uma subárea da econometria
que trata da interação (dependência espacial) e da
heterogeneidade espacial nos modelos econométricos
.
Anselin (1988a) define Econometria Espacial como
“uma coleção de técnicas que trata das peculiaridades
causadas pelo espaço na análise estatística dos
modelos regionais”.
A econometria espacial evoluiu da estatística espacial
que era aplicada em economia regional e geografia
analítica. A econometria espacial difere pelo enfoque
no modelo teórico, ao invés dos dados.

Efeitos espaciais:
Dependência espacial: forma genérica da
autocorrelação espacial. É a coincidência de
similaridade de valores com similaridade de
localização (proximidade espacial).
Heterogeneidade espacial: instabilidade estrutural nos
parâmetros da regressão (heterocedasticidade).
Coeficientes e variância dos erros diferentes no
espaço.

Os quatro elementos da econometria espacial:
1) Especificação da estrutura da dependência espacial
(quais são as localidades que interagem);
2) Testar para a presença de dependência espacial (saber
o tipo de dependência);
3) Estimar os modelos com dependência espacial;
4) Previsão/interpretação dos modelos
• Os dois modelos mais frequentemente utilizados em
econometria espacial são: o modelo de defasagem
espacial e o modelo de erro espacial.

• Modelo de defasagem espacial (spatial lag model)
• Onde W é a matriz de pesos espaciais; X é a matriz de
variáveis independentes;  é o vetor de coeficientes das
variáveis independentes;  é o coeficiente espacial
autoregressivo e  é o termo de erro. Esse modelo
implica que choques em uma localização afetam todas
as outras através de um efeito multiplicador global.
  XWyY

Modelo de erro espacial (spatial error model)
A dependência espacial nos termos de erro é
incorporada no modelo por meio de termos de erro
autoregressivos (ou de média móvel) espaciais, da
seguinte forma:
Onde  é o termo de erro autocorrelacionado e  é um
termo de erro i.i.d.
Nesses dois modelos, a interação espacial é incorporada
através da matriz de pesos espaciais, W (na forma de
defasagem ou de erro espacial).
  W

A matriz de pesos espaciais
Existem dois enfoques para especificar a matriz de
pesos:
a)como uma coleção de objetos discretos (polígonos -
unidades de área - estados, municípios, etc). Mais
usada em economia. Noção de vizinhança. Define-
se vizinhos para cada localização.
b) como uma superfície contínua (pontos - qualidade
do ar, solo, temperatura, etc). Mais usada em
geografia. Noção de pares. Ordena-se pares de
locais i-j em função da distância que os separa.

Vizinhos é um conceito geral e não significa somente
contiguidade geográfica. Todas as observações são
vizinhos potenciais de todas.
Vizinhos podem ser critérios econômicos, sociais ou
geográficos:
fronteiras comuns, 150 milhas, renda diferente menos
que 2%, etc. O padrão espacial da renda dos
municípios pode definir quem são os “vizinhos”.
Distância social: riqueza x pobreza, mas pobreza é
correlacionada com raça, assim raça e endógena a
questão riqueza x pobreza.
A matriz de pesos espacial define quais localizações
interagem com quais

Matriz de peso
• Contigüidade
Grid regular: Grid irregular:
• Rook – torre : 2,4,6,8
• Bishop- bispo: 1,3,7,9
• Queen – rainha: ambos
Na matriz de contigüidade, vizinhos tomam valor de um e
não vizinhos, zero. Por convenção os elementos da
diagonal são zero (isso vai facilitar alguns cálculos mais
tarde).

O operador de defasagem espacial (spatial lag operator)
O objetivo final da construção dos pesos é construir novas
variáveis, as defasagens espaciais (spatial lags), tanto para
a variável dependente quanto para as variáveis explicativas
e para os termos de erro do modelo.
• Essas novas variáveis incorporam a dependência espacial
através da média dos valores dos vizinhos.
• A intuição é similar às series temporais, a diferença é que
no espaço temos mais direções: norte, sul, leste e oeste,
etc.

O operador de defasagem espacial (spatial lag operator)
• A nova variável é a média ponderada dos vizinhos (os
elementos da matriz de pesos que não são zero) .
• Quando padronizamos, por exemplo, se uma observação
tem 4 vizinhos cada um torna-se ¼. Dessa forma a nova
variável criada vai ser a média ponderada de todos os
vizinhos para cada observação.
• Com pesos padronizados a variância da lag espacial vai
ser menor que com pesos não padronizados. Quanto
mais observações na média menor a variância evitar
situações com somente um vizinho (ele toma todo o
peso) ou situações onde se tem muitos vizinhos porque
a variação vai desaparecer.

Interpretação da lag espacial, representada por Wy:
Associação linear = autocorrelação espacial. Comparamos
os valores de y na localidade i com a média de y nas
localidades vizinhas.
• yi e Wy similares = autocorrelação espacial positiva
(high-high, low-low).
• yi e Wy dissimilares = autocorrelação espacial negativa
(high-low, low-high).

• Interpretação da lag espacial, representada por Wy:
• Autocorrelação espacial  Compara-se os padrões de
valores num local com as lags espaciais.
• Moran scatterplot uma maneira de visualizar
autocorrelação espacial (associação linear ). É uma
regressão de Wy on y  a lag espacial na variável
original  a inclinação fornece o grau de analise
espacial (AE).
• Moran’s I  estatística para autocorrelação espacial.
Mostra como em média um valor se relaciona com os
seus vizinhos  numa associação linear.

Autocorrelação espacial
Covariância: medida da associação linear entre duas
variáveis aleatórias.
- É a média do produto dos desvios em torno da média
de cada observação das variáveis. Quando positiva:
altos- altos ou baixos-baixos valores dos desvios em
torno da média das variáveis. Quando negativa: altos-
baixos ou baixos-altos.
- Correlação: medida padronizada da associação linear,
varia entre -1 e 1. Comparar valores de variáveis
medidas em diferentes escalas.

Autocorrelação: correlação (associação linear) de uma
variável aleatória com ela mesma. No domínio do tempo,
correlação entre o valor da variável em t com o valor da
mesma variável em t-h, onde h é a lag de interesse.
Autocorrelação espacial: é a forma estimável da
dependência espacial. É a correlação entre o valor da
variável na localização i e o valor da mesma variável nas
localizações vizinhas j.
A distribuição da variável no espaço é aleatória?
Quando existe autocorrelação espacial não se pode mais
confiar nos resultados das análises (viola uma hipótese
básica da economia - observações não independentes)

Aleatoriedade espacial
A hipótese nula: ausência de associação espacial; ou seja,
aleatoriedade espacial. Os valores num local não
dependem dos valores observados nos vizinhos, de modo
que as localizações podem ser permutadas sem alterar a
informação contida nos dados.
• As hipóteses alternativas:
1) Associação espacial positiva: os valores tendem a se
agrupar no espaço (formar clusters). Os vizinhos são
semelhantes.
2) Associação espacial negativa: vizinhos são diferentes.

Testes para autocorrelação espacial
As estatísticas mais comuns são baseadas em uma dessas
alternativas.
• O I de Moran: é uma estatística de produtos cruzados
podendo ser feita de 3 maneiras diferentes: através da
distribuição normal, randomização (aleatorização), ou
permutação (Teste Global).
• O valor do I de moran
1) valor positivo - autocorrelação espacial positiva -
clusters espaciais de altos e/ou baixos valores
2) valor negativo - autocorrelação espacial negativa -
clusters espaciais de altos e baixos valores

• O Moran scatterplot - É uma regressão de Wy on y, ou
seja, a lag espacial da variável nos valores originais. A
inclinação corresponde ao valor do I de Moran e fornece
o grau de autocorrelação espacial, ou seja, mostra como
em média os valores se relacionam aos seus vizinhos.
PDC – potencial de
desenvolvimento
cultural

• LISA: (Local Indicators of Spatial Association) – teste local
- distinguir entre padrões de autocorrelação espacial
local.

• Modelos de dependência espacial
É importante distinguir entre padrões de autocorrelação
espacial global e local.
Efeitos globais: modelo de defasagem (lag) espacial e
modelo de erro espacial (AR).
Efeitos locais: modelo de erro MA
Modelo de defasagem espacial:
O multiplicador espacial mostra como os efeitos
se movem no espaço. Os vizinhos de primeira,
segunda e ordens superiores (X, WX, W2X, etc)
estão envolvidos.
Dois tipos de efeitos afetam o multiplicador:
parâmetro  - quando  é pequeno, os efeitos
desaparecem rapidamente, e o outro é
relacionado à estrutura da matriz de pesos (W) .
Termo de erro U: independent and identically
distributed (i.i.d.)

A matriz de variâncias e covariâncias dos erros da forma
reduzida mostra que o efeito espacial torna os erros
heterocedásticos.
 = ( I - W)-1 u
 = E[']= [( I - W)-1 u u'( I - W)-1]
 = 2[( I + W +2W2+ ...) ( I + W +2W2+ ...)]-1
Os efeitos se "espalham" nos erros e nos X's

Modelos de erro espacial AR e MA
Modelo de erros AR: - AR
O efeito se multiplica a todas as localidades: padrão global
de autocorrelação (W).
Modelo de erros MA:
• o efeito implica somente os vizinhos de primeira e segunda
ordem. Cada erro é composto de 2 partes, uma como um
pico individual e a outra parte é a média dos vizinhos.

O modelo de lag (termo de lag espacial Wy) tem um
multiplicador espacial que pertence a todos os X’s e todos
os erros do sistema, enquanto que o modelo de erro
espacial não tem nada a ver com os X’s , é puramente com
os erros do sistema, com as coisas que não foram
modeladas.
A escolha entre estes modelos: forma empírica, através dos
testes de especificação, ou então à partir de uma teoria
que sugira os tipos de externalidades envolvido.
Ex: mercado imobiliário, os efeitos de vizinhança (globais
ou locais) são tipicamente atribuídos aos erros, enquanto
que em análises sociológicas as externalidades podem
muito bem ser atribuídas às características da vizinhança
(criminalidade)

Os testes de especificação
São muito importantes do ponto de vista prático. O
objetivo é encontrar nos dados, nos resíduos da regressão,
evidências que conduzam a uma alternativa específica.
1) estabelece-se a hipótese nula e
2) estuda-se como a estatística se comporta sob a
hipótese nula.
Normalmente na primeira vez que se estima (e testa) o
modelo, os testes acusam heterocedasticidade e
autocorrelação espacial nos resíduos. Na prática é comum
que os testes específicos para lag e para erro acusem
ambas as especificações. Testes robustos ajudam a resolver
esse problema.

Hipóteses nula e alternativa:
Hipótese nula: modelo de regressão clássico (erros não
correlacionados espacialmente).
Hipótese alternativa: spatial lag, spatial error (SAR ou MA)
ou uma combinação dos dois.
• Sabemos que se rejeitarmos a hipótese nula, os erros
são correlacionados, mas qual a estrutura dessa
correlação?

Tipos de testes:
I de Moran (teste global )
LISA (teste local)
Trio clássico: Wald, Razão de Verossimilhança (LR) e
Multiplicador de Lagrange (LM)
Kelejian-Robinson (grandes amostras)
Teste LM para erro espacial
Testes LM para Lag Espacial

Testes Robustos:
A hipótese nula - ausência de associação espacial; ou seja,
aleatoriedade espacial
H0: ausência de autocorrelação espacial – modelo clássico.
Ha: spatial lag, spatial error (SAR ou MA) ou uma
combinação dos dois
Procedimento para testar
LM lag LM erro Conclusão
Não rejeita H0 Não rejeita H0 OK, nada espacial
Rejeita H0 Não rejeita H0 Lag
Não rejeita H0 Rejeita H0 Erro
Rejeita H0 Rejeita H0 testes robustos

Softwares:
IPEAGEO
http://www.ipea.gov.br/ipeageo/
GEODA
https://spatial.uchicago.edu/software
Econometria Espacial – aula prática

Análise espacial e modelos de dependência espacial

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