Aula trigonometria

1. Relações Métricas e
trigonométricas no
Triângulo Retângulo
• Professora: Evelise de Fátima Sonnenstrahl

2. Trigonometria
Trigonometria
significa, o
estudo das
medidas dos
triângulos.

3. Triângulo Retângulo
a
b
c
A B
C
α
HIPOTENUSA
oposto ao ângulo reto
D
CATETO
adjacente ao ângulo 
D
CATETO
oposto ao ângulo 
D

4. O
α
Razões Trigonométricas
2
1,5
5
4
3

5. ÂNGULOS NOTÁVEIS : 30º E 60º
A
B
C
ℓ
H
·
h
ℓ
2
 NO TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
2
3
l
h 
30º
60º 60º
60º

6. ÂNGULOS NOTÁVEIS : 30 E 60º
H
·
h
ℓ
2
 NO TRIÂNGULO EQUILÁTERO:
60º
30º
ℓ
C
A

7. ÂNGULO NOTÁVEL : 45º
 NO QUADRADO:
A B
C
D
d = ℓ 2
ℓ
ℓ
45º
·
45º

8. ÂNGULOS NOTÁVEIS : 30º ; 45º E 60º
 RESUMO:
Ângulo 30º 45º 60º
seno
cosseno
tangente
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
3
3
3
1

9. Relações trigonométricas no triângulo
retângulo

10. 31/03/2015 10h56 - Atualizado em 31/03/2015 11h07
Árvore cai e interdita Avenida Hermes da
Fonseca em Natal
Via ficou completamente interditada no sentido Centro / Parnamirim.
Agentes da STTU desviam o trânsito pela Avenida Alexandrino de Alencar.
http://g1.globo.com/rn/rio-grande-do-norte/noticia/2015/03/arvore-cai-e-interdita-
avenida-hermes-da-fonseca-em-natal.html
Situação - problema

11. Se houvesse uma ventania e a árvore tombasse para o lado direito,
em direção da casa, poderíamos afirmar que árvore atingiria a casa?
Situação - problema

12. No triângulo retângulo abaixo, qual é o valor do
cosseno de  ?
X
10cm
8cm
10² = 8² + x²
Cos  =


10
6
5
3
_x_ =
10
HIP ² = CAT ² + CAT ²
12
SOLUÇÃO:
_C. A._ =
HIP
Mas, como descobrir o valor de x ?
100 = 64 + x²
36 = x²
x = 6
Situação - problema

13. 13
Situação - problema
Uma escada de 12m de comprimento esta apoiada em
um prédio fazendo com este um ângulo de 60º. Qual é a
altura do prédio?
SOLUÇÃO:
Inicialmente, façamos um esboço que
represente a situação descrita.
h
12m
60º
30º

14. Elementos do Triângulo Retângulo
a: é a hipotenusa.
b e c: são os catetos
h: é a altura do triângulo em relação à hipotenusa.
m: é a projeção do cateto b sobre a hipotenusa.
n: é a projeção do cateto c sobre a hipotenusa.
a
n
m
h
b
c

15. 1ª relação métrica
h2
 m n
h

n
m h
h
b
n
A
H C
h
c
m
A
H
B

16. 2ª relação métrica
b2
na
b
h
n
A
C
C H
b
c
A
B a

17. 3ª relação métrica
c
h m
c
h
m
A
H
B
a
b c
b
c
A
B C
a
c2
 m.a

18. 4ª relação métrica
c
h m
c
h
m
A
H
B
a
b c
b
c
A
B C
a
a h  bc

19. Uma vez que já conhecemos o triângulo
retângulo vamos para o Teorema de
Pitágoras?
O Teorema de Pitágoras é considerado uma das mais
importantes descobertas da Matemática. Com ele pode-
se descobrir a medida de um lado de um triângulo
retângulo, a partir da medida de seus outros dois lados.
https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQ5bPF2CTXBn92cOw0ezDCM0lXB59Mjram0sIui90uYGSfxgeoRRQ
http://1.bp.blogspot.com/-e85-mlHLfYY/UghDZNqts-I/AAAAAAAAAJM/622Vob8kA0o/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.jpg
http://celeimatica3.com.sapo.pt/9ano_trigonometria/media/9c6-12-01.PNG
A partir dele podemos determinar a altura de prédios, torres, montanhas,
largura de rios, dentre outras inúmeras aplicações.

20. Teorema de Pitágoras (5ª relação métrica)
Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados dos catetos.

21. 5
a
c
b
C
B
A
4
3
+ a2
b2 c2
b = 4
c
=
3
1) sabendo-se que os catetos b e c valem,
respectivamente, 4 e 3, determine o valor da
hipotenusa a.
Exemplo:
a2= b2+c2
a2=42+52
a2=16+9
a2=25
a= 25
a=5
a2= b2+c2
a2=42+52
a2=16+9
a2=25
a= 25
a=5

22. 1- Quantos metros de fio são necessários para "puxar
luz" de um poste de 6 m de altura até a caixa de luz que
está ao lado da casa e a 8 m da base do poste?
Vamos ver alguns exercícios ...
a2= b2+c2
a2=62+82
a2=36+64
a2=100
a= 100
a=10

23. 2-Uma árvore foi quebrada pelo vento e a parte do
tronco que restou em pé forma um ângulo reto com o
solo. Se a altura do tronco da árvore que restou em pé
é de 12 m, e a ponta da parte quebrada está a 9 m da
base da árvore, qual é a medida da outra parte
quebrada da árvore?
a2= b2+c2
a2=122+92
a2=144+81
a2=225
a= 225
a=15

24. c2 = am
ah = bc
a = m + n
Recordando o que aprendemos hoje:
a2 = b2 + c2
h2 = mn
b2 = an
c
b
a
m n
h

25. Referencias:
• SILVA, Luiz Paulo Moreira. "O que são relações métricas no triângulo
retângulo?"; Brasil Escola. Disponível em:
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-sao-relacoes-
metricas-no-triangulo-retangulo.htm. Acesso em 07 de julho de 2022.

26. Minas Gerais

27. Belo Horizonte

29. Petrópolis

31. Bahia