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MATEMÁTICA FUNDAMENTAL PARA
  INICIANTES DE ENGENHARIA




        GEOMETRIA




         Prof. Luciano Galdino
SUMÁRIO


Noções de Geometria........................................................................................................ 02

Polígono................................................................................................................................. 02

Triângulo .............................................................................................................................. 03

Relações métricas num triângulo retângulo ........................................................... 05

Teorema de Pitágoras ...................................................................................................... 05

Relações trigonométricas num triângulo retângulo.............................................. 07

Relações trigonométricas num triângulo qualquer............................................... 14

Lei dos senos ........................................................................................................................ 14

Lei dos cossenos ................................................................................................................. 17

Área dos principais polígonos ....................................................................................... 19

Perímetro dos polígonos.................................................................................................. 21

Circunferência e círculo .................................................................................................. 21

Comprimento da circunferência (perímetro).......................................................... 22

Área de um círculo............................................................................................................ 23

Radiano ................................................................................................................................. 24

Volume de alguns sólidos geométricos ....................................................................... 25
Noções de Geometria

A geometria está muito presente nas aplicações em Engenharia e, portanto, o seu
estudo apresenta uma grande importância. Em diversos projetos de Engenharia
utilizam-se conceitos de geometria, sendo os de maior destaque as aplicações com
triângulos e circunferências, os cálculos de área e os cálculos de volume.

                                       Polígono
É uma figura geométrica fechada e formada por segmentos de reta. Pode ser
classificado segundo a sua quantidade de segmentos de retas (lados), sendo que
alguns deles recebem nomes especiais, conforme pode ser observado na tabela 1.


                      Número de                   Nomes
                        lados
                          3                     Triângulo
                          4                    Quadrilátero
                          5                     Pentágono
                          6                     Hexágono
                          7                     Heptágono
                          8                     Octógono
                          9                     Eneágono
                          10                    Decágono
                          11                   Undecágono
                          12                   Dodecágono
                          15                  Pentadecágono
                          20                    Icoságono
                   Tabela 1: Nomenclatura dos polígonos especiais.

Os demais polígonos não recebem nomes especiais, assim, caso ele tenha 13 lados,
será chamado de polígono de 13 lados, se tiver 21 lados, será chamado de polígono
de 21 lados, e assim sucessivamente.
Os polígonos mais utilizados na Engenharia são os triângulos e os quadriláteros
(em especial o quadrado e o retângulo).




                                          2
Triângulo
O triângulo, por ser o polígono mais simples, é a figura geométrica mais estudada
na geometria. Eles podem ser classificados segundo os seus lados e também
segundo os seus ângulos.
Classificação quanto aos lados:
1) Triângulo equilátero: Possui os três lados iguais e, consequentemente, os três
   ângulos iguais.




Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos internos deve ser igual a 180º,
assim, o triângulo equilátero possui três ângulos de 60º.


2) Triângulo isósceles: Possui dois lados iguais e, consequentemente, dois
   ângulos iguais.




3) Triângulo escaleno: Possui todos os lados diferentes e consequentemente os
   três ângulos diferentes.




                                          3
Classificação quanto aos ângulos:
1) Triângulo acutângulo: Possui os três ângulos agudos (menores que 90º).




2) Triângulo retângulo: Possui em um de seus ângulos o valor de 90º.




3) Triângulo obtusângulo: Possui um dos seus ângulos obtuso (maior que 90º).




                                      4
Relações métricas num triângulo retângulo

Conforme já mencionado, o que caracteriza um triângulo retângulo é o fato dele
possuir um ângulo interno de 90º. Por ser um triângulo especial, ele recebe nomes
específicos para os seus lados. Os lados que formam o ângulo de 90º são chamados
de catetos já o lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa.




                             Teorema de Pitágoras
Este teorema mostra uma relação matemática entre os lados do triângulo retângulo,
isto é, se conhecemos dois lados do triângulo retângulo, podemos calcular o
terceiro lado aplicando o teorema de Pitágoras que é definido como:


                      (hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2


Exemplo: Determine os valores de x nos triângulos retângulos a seguir:
a)




Observe que os catetos (lados que formam o ângulo de 90º) são 6 cm e 8 cm e que
o “x” está representando a hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras temos:


                                        5
hip 2     cat 2        cat 2
x2      62      82
x2      36        64
x2      100
x        100
x      10 cm


Observe que na penúltima linha da resolução foram colocados os sinais de +/-, pois
(-10)2=100 e (+10)2=100, isto é, existem duas respostas uma positiva e a outra
negativa, mas nesse caso, sabemos que é impossível uma medida de comprimento
ter valor negativo, por isso que a resposta final é 10 cm positivo. Portanto, daqui
por diante, iremos considerar somente o resultado positivo.

b)




Neste exemplo nós temos a hipotenusa igual a 50 mm, um dos catetos igual a 30
mm e o “x” está representando o outro cateto. Aplicando o teorema de Pitágoras
temos:
hip 2     cat 2        cat 2
50 2     30 2        x2
2500         900       x2
2500 900               x2
1600         x2
     1600          x
40      x ou
x      40 mm
                                         6
Nesses tipos de cálculos as funções que utilizamos na calculadora científica são:
Tecla para elevar ao quadrado:




Tecla para extrair a raiz quadrada:




               Relações trigonométricas num triângulo retângulo
Conhecendo o valor de um lado e de um ângulo (exceto o de 90º que já é
conhecido) de um triângulo retângulo, podemos calcular os valores dos outros
lados deste triângulo através das relações trigonométricas, assim como, podemos
calcular um ângulo de referência conhecendo-se dois lados de um triângulo
retângulo também pelas relações trigonométricas.
O primeiro passo para trabalhar com as relações trigonométricas num triângulo
retângulo é verificar qual o ângulo deste triângulo que será utilizado e, a partir dele
nomear os catetos, isto é, o lado do triângulo que estiver oposto a esse ângulo é
denominado cateto oposto (co) e o lado que está formando esse ângulo, isto é, que
é vizinho do ângulo, é chamado de cateto adjacente. Já a hipotenusa é sempre o
lado oposto ao ângulo de 90º do triângulo.
Assim, do triângulo a seguir temos:




a = hipotenusa;
b = cateto oposto ao ângulo ;
c = cateto adjacente ao ângulo .
                                          7
Caso seja utilizado o outro ângulo como referência, altera-se apenas o cateto
oposto e o adjacente, a hipotenusa é a mesma. Assim:




a = hipotenusa;
b = cateto adjacente ao ângulo ;
c = cateto oposto ao ângulo .
Agora que já sabemos nomear os lados do triângulo retângulo, devemos conhecer
as relações trigonométricas que podem ser aplicadas neste tipo de triângulo.
Dois triângulos retângulos semelhantes (mesmos ângulos internos, mas lados com
tamanhos diferentes) possuem o mesmo resultado para a razão (divisão) entre dois
de seus lados, conforme ilustrado a seguir:




1) b    b'     , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto ao ângulo
   a    a'
pela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de seno, portanto:
                         cateto oposto
seno do ângulo
                          hipotenusa




                                         8
De maneira simplificada:
            co
sen
            hip


2) c      c'         , observe que aqui está sendo dividido o cateto adjacente ao ângulo
   a      a'
     pela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de cosseno,
portanto:
                                  cateto adjacente
cos seno do ângulo
                                     hipotenusa
De maneira simplificada:
               ca
cos
               hip


2) b     b'          , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto pelo cateto
   c     c'
adjacente ao ângulo          de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de tangente,
portanto:
                                    cateto oposto
tan gente do ângulo
                                   cateto adjacente
De maneira simplificada:
          co
tg
          ca
Portanto, seno, cosseno e tangente de um ângulo nada mais é do que a divisão
entre dois lados de um triângulo retângulo. A tabela 2 indica alguns valores para
seno, cosseno e tangente, mas a calculadora científica pode fornecer valores para
qualquer ângulo através das teclas:



Figura 1: Teclas para utilizar as funções seno, cosseno e tangente na calculadora científica.


                                              9
Deve-se tomar o cuidado de verificar se a calculadora está adequada para calcular
em graus (D), radianos (R) ou gradianos (G). Isso é verificado na parte superior do
visor da calculadora.




  Figura 2: Visor de uma calculadora científica. Observe que aparece a letra D na parte
superior do visor, indicando que a calculadora está programada para trabalhar em graus.

                  Ângulo        seno        cosseno       tangente
                    0o            0             1             0
                    10o         0,174        0,985          0,176
                    20o         0,342        0,940          0,364
                    30o         0,500        0,866          0,577
                    40o         0,643        0,766          0,839
                    50o         0,766        0,643          1,192
                    60o         0,866        0,500          1,732
                    70o         0,940        0,342          2,747
                    80o         0,985        0,174          5,671
                    90o           1             0         Não existe
                   180o           0            -1             0
                   270o           -1            0         Não existe
                   360o           0             1             0
            Tabela 2: Valores de seno, cosseno e tangente de alguns ângulos.
Exemplos:
1) Determine os valores de X nos triângulos retângulos a seguir:
a)
                          O primeiro passo é identificar o que foi fornecido no
                          triângulo:
                          Hipotenusa (hip) = 8 mm
                          Ângulo ( ) = 20o
                          Cateto oposto (co) = X


                                          10
Das três relações trigonométricas a que devemos utilizar é a do seno, pois a do
     cosseno e da tangente utiliza o cateto adjacente e ele não foi fornecido, assim:
             co
     sen
             hip
               X
     sen 20o
               8
     Multiplicando em “cruz”, temos:
     X     8.sen 20 o
     X     2, 74 mm
b)
                                        Dados:
                                        Hipotenusa (hip) = X
                                        Ângulo ( ) = 40o
                                        Cateto adjacente (ca) = 12 cm

     A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que tem hipotenusa
     e cateto adjacente, assim:
             ca
     cos
             hip
               12
     cos 40o
               X
     X .cos 40o      12
               12
     X
           cos 40o
     X     15, 66 cm
c)
                                          Dados:
                                          Ângulo ( ) = 31,9o
                                          Cateto oposto (co) = 16 mm
                                          Cateto adjacente (ca) = X


                                              11
A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui cateto
oposto e cateto adjacente, assim:
            co
tg
            ca
                 16
tg 31, 9o
                 X
Multiplicando em “cruz”, temos:
X .tg 31, 9o 16
        16
X
     tg 31, 9o
X         25, 71 cm
2) Determine os ângulos       dos seguintes triângulos retângulos:
     a)

                                     Dados:
                                     Hipotenusa (hip) = 15 mm
                                     Cateto oposto (co) = 10 mm


A relação trigonométrica adequada é o seno, pois é a única que possui cateto
oposto e hipotenusa, assim:
              co
sen
             hip
             10
sen
             15
sen          0, 667
Mas queremos calcular o ângulo         e não o seno do ângulo        , assim, devemos
utilizar as teclas “shift” + “sin” da calculadora, pois a tecla “shift” (ou qualquer
outra tecla que ative a segunda função da calculadora) irá ativar o inverso do seno
que é a função “sin-1”. Portanto:
      sen 1 (0, 667)
      41,84o


                                          12
Apertando a tecla da calculadora indicada a seguir teremos o resultado em graus,
minutos e segundos:




     41o50´24´´
b)

                                    Dados:
                                    Cateto adjacente (ca) = 74 mm
                                    Cateto oposto (co) = 82 mm




A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui cateto
oposto e cateto adjacente, assim:
       co
tg
       ca
         82
sen
         74
          82
    tg 1
          74
     47, 94o
     47o 56 ' 24 ''
c)
                                    Dados:
                                    Cateto adjacente (ca) = 10 mm
                                    Hipotenusa (hip) = 32 mm




A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que possui cateto
adjacente e hipotenusa, assim:
                                       13
ca
cos
         hip
         10
cos
         32
           10
    cos 1
           32
      71, 79o
      71o 47 ' 24 ''

                Relações trigonométricas num triângulo qualquer
As relações trigonométricas estudadas no capítulo anterior servem apenas para
triângulos retângulos. Quando um triângulo não é retângulo, existem outras
relações para calcular algum lado e/ou algum ângulo do triângulo. Essas relações
são conhecidas como lei dos senos e lei dos cossenos.

                                   Lei dos senos
Observe o triângulo a seguir:




Se dividirmos um lado pelo seno do ângulo oposto, teremos os seguintes
resultados:
  12
        18, 66
sen40o
 9, 33
        18, 66
sen30o
 17, 54
         18, 66
sen110o
Observe que os resultados são iguais, isto é, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Esta é a lei dos senos e ela pode ser
utilizada em qualquer triângulo, inclusive o retângulo.
                                         14
lado 1                                       lado 2
seno do ângulo oposto ao lado 1              seno do ângulo oposto ao lado 2

Ou
            lado 1                                       lado 3
seno do ângulo oposto ao lado 1              seno do ângulo oposto ao lado 3

Ou
            lado 2                                       lado 3
seno do ângulo oposto ao lado 2              seno do ângulo oposto ao lado 3

Exemplos:
1) Monte a expressão da lei dos senos para o triângulo a seguir:




  a           b        c
sen         sen      sen
2) Calcule o valor de x nos triângulos a seguir:
a)




                                        15
X       80
sen 400 sen 1200
X .sen 1200 80.sen 400
     80.sen 400
X
      sen 1200
X    59, 38 mm
b)




Como a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 1800, então o
triângulo terá os seguintes ângulos:

                                             Aplicando a lei dos senos:
                                                 X       40
                                                    0
                                             sen 70    sen 600
                                             X .sen 600 40.sen 700
                                                     40.sen 700
                                             X
                                                      sen 600
                                             X       43, 41 mm


3) Calcule os valores de X e Y no triângulo a seguir:

                        Aplicando a lei dos senos:
                             X       25                       Y             25
                                0
                         sen 50    sen 300               sen 1000         sen 300
                         X .sen 300 25.sen 500           Y .sen 300       25.sen 1000
                              25.sen 500                     25.sen 1000
                         X                               Y
                                sen 300                        sen 300
                         X    38, 30 mm                  Y   49, 24 mm

                                        16
4) Calcule o ângulo    nos triângulos a seguir:
a)

                                                        60      25, 789
                                                      sen      sen 200
                                                      25, 789.sen      60.sen 200
                                                                  60.sen 200
                                                      sen
                                                                    25, 789
                                                                  1   60.sen 200
                                                            sen
                                                                        25, 789
                                                            52, 720     52o 43'12 ''

b)



                                                  13        30
                                                sen      sen 1050
                                                30.sen     13.sen 1050
                                                        13.sen 1050
                                                sen
                                                             30
                                                          13.sen 1050
                                                    sen 1
                                                               30
                                                    24, 740    24o 44 ' 24 ''


                                 Lei dos cossenos
A lei dos cossenos é menos empregada que a lei dos senos devido à simplicidade
da equação da lei dos senos, mas em algumas situações, a resolução através da lei
dos cossenos se torna a forma mais rápida.
A lei dos cossenos também pode ser aplicada em um triângulo qualquer, inclusive
o retângulo. Sua definição é a seguinte:
O quadrado da medida de um lado é igual à soma das medidas dos quadrados dos
outros dois lados (até aqui lembra o teorema de Pitágoras) menos duas vezes o
produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles.
                                           17
Para simplificar a definição da lei dos cossenos, vamos utilizar como exemplo o
triângulo abaixo:




Traduzindo a definição, têm-se:
a2    b2    c2   2.b.c.cos
Exemplos:
1) Calcule o valor de X no triângulo a seguir:


                                                  Aplicando a lei dos cossenos:
                                                  X2    502    602    2.50.60.cos 1000
                                                  X2    2500 3600 1041,89
                                                  X        7141,89
                                                  X    84, 5 mm



2) Calcule o valor de    no triângulo a seguir:




Observe que o triângulo tem todos os lados iguais, isto é, ele é equilátero. Assim, o
triângulo também terá todos os ângulos iguais e como a soma dos ângulos internos


                                         18
é igual a 1800, então cada ângulo tem 600, isto é o ângulo   vale 600. Utilizando a
lei dos cossenos, vamos provar que seu valor é de 600.
Neste caso, nós temos os três lados e queremos calcular o ângulo, assim:
302     302    302     2.30.30.cos
900     900 900 1800.cos
900     1800 1800.cos
900 1800             1800.cos
   900
         cos
  1800
0, 5 cos
      cos 1 (0, 5)
      600
                           Área dos principais polígonos
O cálculo de área é utilizado com muita frequência na Engenharia e, portanto, todo
engenheiro deve dominar esse assunto.
Área do retângulo: O retângulo é um quadrilátero (polígono de quatro lados) que
possui os quatro ângulos internos iguais a 900. Sua área é definida como o produto
da medida da base (b) pela medida da altura (h).



                                               A    b.h




Área do quadrado: O quadrado é um retângulo que possui o mesmo valor para a
base (b) e para a altura (h=b). Assim, sua área também é dada pelo produto da base
pela altura.


                                  A   b.b
                                  A   b2



                                        19
Área do paralelogramo: O paralelogramo é um quadrilátero que não possui
ângulos internos de 90º, mas possui seus lados opostos paralelos. A sua área
também é calculada como o produto da base (b) pela altura (h).


                                             A   b.h



Área do triângulo: É calculada pelo produto da base (b) pela altura (h) dividido
por dois, pois se dividirmos o quadrado, ou o retângulo, ou o paralelogramo ao
meio, teremos dois triângulos iguais, e por isso que a área do triângulo tem essa
divisão por dois.


                                  b.h
                             A
                                   2



Área do losango: O losango é um quadrilátero com os quatro lados iguais e não
paralelos. Sua área é definida como o produto de sua diagonal maior (D) pela
diagonal menor (d) dividido por dois.


                                                       D.d
                                                 A
                                                        2



Área do trapézio: O trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos e
dois lados não paralelos, sendo que os seus lados paralelos recebem os nomes de
base. Sua área é calculada pelo produto da altura (h) pela soma de suas bases (B+b)
divididos por dois.




                                        20
(B     b).h
                                   A
                                             2
                             Perímetro dos polígonos
O perímetro de um polígono é definido como a soma de todos os seus lados
Exemplos:
1)

                                        p     10 10,921 10,573
                                        p     31, 494 mm




2)

                                        p      4     4 8 8
                                        p      24 cm


                             Circunferência e círculo
Circunferência é uma figura geométrica representada por uma linha contida num
plano que possui uma mesma distância de um ponto que é denominado de centro
da circunferência. Círculo é toda região que compreende a circunferência, isto é,
circunferência é somente a linha externa enquanto círculo é região interna da
circunferência.




                  Circunferência                        Círculo

                                        21
A distância do centro da circunferência (0) até a linha periférica (externa) é
denominada de raio (R) e o dobro do raio é denominado diâmetro (d).




                 Comprimento da circunferência (perímetro)
Curvando uma linha podemos fazer uma circunferência de diâmetro d, sendo que o
comprimento dessa linha é chamado de perímetro ou comprimento da
circunferência (p). Existe uma relação muito interessante e importante entre o
comprimento da linha (perímetro) e o diâmetro da circunferência formada pela
linha: Se dividirmos qualquer comprimento de linha pelo diâmetro que ela forma,
teremos sempre o mesmo resultado, e esse resultado tem um valor muito
conhecido   e   utilizado   na   matemática,   o   número       (3,14159265...),
matematicamente:
p
d
p    d.
Como d      2.R, então :
p    2 R
Exemplos:
1) Qual o perímetro de uma circunferência de raio 20 m?
p    2 R
p    2 20
p    40
p   125, 66 m



                                       22
2) Qual o diâmetro que conseguimos formar com uma linha de 300 mm de
comprimento?
Resposta: O perímetro da circunferência é o comprimento da linha (300 mm),
então:
p d.
300 d .
300
     d

p    95, 49 mm
3) Determine a distância em linha reta percorrida por uma roda de 250 mm de raio
quando ela realiza uma volta completa.
Resposta: A distância percorrida em uma volta é exatamente o perímetro da roda,
assim:
p    2 R
p    2 250
p    500
p    1570,8 mm

                              Área de um círculo
A área de um círculo é definida como o produto de    pelo quadrado da medida de
seu raio.



                         A     .R 2



Exemplo: Calcule a área de um círculo de diâmetro igual a 20 mm.
Resposta: O raio vale 10 mm, pois ele é a metade do diâmetro, assim:
A        .R 2
A     .10 2
A    100.
A    314,16 mm
                                         23
Radiano
Um radiano é o valor que ângulo central (              adquire quando o comprimento do
arco da circunferência possui o mesmo valor do raio da circunferência.




Em uma metade de qualquer circunferência (1800) é observado que o comprimento
do arco equivale a 3,14159... raios de circunferência, isto é:
1800 =       rad (relação entre graus e radianos).


Exemplo:


1) Converta para radianos as seguintes medidas de ângulos:
a) 300                                           b) 450

1800                                             1800
300      x                                       450      x
Multiplicando em “cruz”:                         Multiplicando em “cruz”:
180.x 30.                                        180.x 45.
    30.                                              45.
x                                                x
    180                                              180

x         rad                                    x         rad
      6                                                4
x     0, 52 rad                                  x     0, 79 rad




                                            24
c) 600                                         d) 2700

1800                                           1800
600         x                                  2700         x
180.x 60.                                      180.x 270.
    60.                                            270.
x                                              x
    180                                             180
                                                   3
x            rad                               x       rad
          3                                         2
x        1, 05 rad                             x 4, 71 rad


2) Converta as seguintes medidas de ângulos em graus:


a) 0,76 rad                                      b) 4,73 rad

1800                                             1800
x 0, 76                                          x 4, 73
    .x     180.0, 76                                 .x     180.4, 73
         180.0, 76                                        180.4, 73
x                                                x

x        43, 540                                 x        271, 010
x        43032 ' 24 ''                           x        2710 0 '36 ''


                         Volume de alguns sólidos geométricos
Para finalizar essa introdução à Geometria, é necessário estudarmos o volume dos
sólidos que são muito utilizados em projetos de Engenharia, o paralelepípedo, o
cilindro e a esfera.
Paralelepípedo: São sólidos cujas bases são paralelogramos. Os paralelepípedos
que iremos estudar são os retos-retângulos e o cubo.
O paralelepípedo reto-retângulo possui todos os ângulos internos iguais a 900.
Todos os cantos de qualquer paralelepípedo são chamados de arestas.

                                          25
aresta
O volume deste tipo de paralelepípedo é calculado multiplicando-se todos os seus
lados:
                                    V       a.b.c


O cubo é um paralelepípedo que possui todos os seus lados iguais e, também,
possui todos os ângulos internos iguais a 900.




O seu volume também é calculado multiplicando-se todos os seus lados:
                                    V       a.a.a
                                    V       a3


Cilindro: Muito parecido com os paralelepípedos, mas apresenta bases circulares.




O seu volume é calculado pelo produto (multiplicação) da área da base circular
(Ab) pela sua altura (h).
                                         26
V     Ab .h

Como a área de um círculo é dada por Ab          .R2 , então:

                                    V      .R2 .h
Esfera: É um sólido que possui uma superfície externa que está a uma mesma
distância até o seu centro, sendo esta distância denominada raio da esfera.




O seu volume é calculado pela seguinte expressão:
                                         4. .R3
                                   V
                                            3
A área da superfície esférica é calculada por:
                                    V    4. .R 2




                                         27

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Apostila mat fund 1

  • 1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL PARA INICIANTES DE ENGENHARIA GEOMETRIA Prof. Luciano Galdino
  • 2. SUMÁRIO Noções de Geometria........................................................................................................ 02 Polígono................................................................................................................................. 02 Triângulo .............................................................................................................................. 03 Relações métricas num triângulo retângulo ........................................................... 05 Teorema de Pitágoras ...................................................................................................... 05 Relações trigonométricas num triângulo retângulo.............................................. 07 Relações trigonométricas num triângulo qualquer............................................... 14 Lei dos senos ........................................................................................................................ 14 Lei dos cossenos ................................................................................................................. 17 Área dos principais polígonos ....................................................................................... 19 Perímetro dos polígonos.................................................................................................. 21 Circunferência e círculo .................................................................................................. 21 Comprimento da circunferência (perímetro).......................................................... 22 Área de um círculo............................................................................................................ 23 Radiano ................................................................................................................................. 24 Volume de alguns sólidos geométricos ....................................................................... 25
  • 3. Noções de Geometria A geometria está muito presente nas aplicações em Engenharia e, portanto, o seu estudo apresenta uma grande importância. Em diversos projetos de Engenharia utilizam-se conceitos de geometria, sendo os de maior destaque as aplicações com triângulos e circunferências, os cálculos de área e os cálculos de volume. Polígono É uma figura geométrica fechada e formada por segmentos de reta. Pode ser classificado segundo a sua quantidade de segmentos de retas (lados), sendo que alguns deles recebem nomes especiais, conforme pode ser observado na tabela 1. Número de Nomes lados 3 Triângulo 4 Quadrilátero 5 Pentágono 6 Hexágono 7 Heptágono 8 Octógono 9 Eneágono 10 Decágono 11 Undecágono 12 Dodecágono 15 Pentadecágono 20 Icoságono Tabela 1: Nomenclatura dos polígonos especiais. Os demais polígonos não recebem nomes especiais, assim, caso ele tenha 13 lados, será chamado de polígono de 13 lados, se tiver 21 lados, será chamado de polígono de 21 lados, e assim sucessivamente. Os polígonos mais utilizados na Engenharia são os triângulos e os quadriláteros (em especial o quadrado e o retângulo). 2
  • 4. Triângulo O triângulo, por ser o polígono mais simples, é a figura geométrica mais estudada na geometria. Eles podem ser classificados segundo os seus lados e também segundo os seus ângulos. Classificação quanto aos lados: 1) Triângulo equilátero: Possui os três lados iguais e, consequentemente, os três ângulos iguais. Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos internos deve ser igual a 180º, assim, o triângulo equilátero possui três ângulos de 60º. 2) Triângulo isósceles: Possui dois lados iguais e, consequentemente, dois ângulos iguais. 3) Triângulo escaleno: Possui todos os lados diferentes e consequentemente os três ângulos diferentes. 3
  • 5. Classificação quanto aos ângulos: 1) Triângulo acutângulo: Possui os três ângulos agudos (menores que 90º). 2) Triângulo retângulo: Possui em um de seus ângulos o valor de 90º. 3) Triângulo obtusângulo: Possui um dos seus ângulos obtuso (maior que 90º). 4
  • 6. Relações métricas num triângulo retângulo Conforme já mencionado, o que caracteriza um triângulo retângulo é o fato dele possuir um ângulo interno de 90º. Por ser um triângulo especial, ele recebe nomes específicos para os seus lados. Os lados que formam o ângulo de 90º são chamados de catetos já o lado oposto ao ângulo de 90º é chamado de hipotenusa. Teorema de Pitágoras Este teorema mostra uma relação matemática entre os lados do triângulo retângulo, isto é, se conhecemos dois lados do triângulo retângulo, podemos calcular o terceiro lado aplicando o teorema de Pitágoras que é definido como: (hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2 Exemplo: Determine os valores de x nos triângulos retângulos a seguir: a) Observe que os catetos (lados que formam o ângulo de 90º) são 6 cm e 8 cm e que o “x” está representando a hipotenusa. Aplicando o teorema de Pitágoras temos: 5
  • 7. hip 2 cat 2 cat 2 x2 62 82 x2 36 64 x2 100 x 100 x 10 cm Observe que na penúltima linha da resolução foram colocados os sinais de +/-, pois (-10)2=100 e (+10)2=100, isto é, existem duas respostas uma positiva e a outra negativa, mas nesse caso, sabemos que é impossível uma medida de comprimento ter valor negativo, por isso que a resposta final é 10 cm positivo. Portanto, daqui por diante, iremos considerar somente o resultado positivo. b) Neste exemplo nós temos a hipotenusa igual a 50 mm, um dos catetos igual a 30 mm e o “x” está representando o outro cateto. Aplicando o teorema de Pitágoras temos: hip 2 cat 2 cat 2 50 2 30 2 x2 2500 900 x2 2500 900 x2 1600 x2 1600 x 40 x ou x 40 mm 6
  • 8. Nesses tipos de cálculos as funções que utilizamos na calculadora científica são: Tecla para elevar ao quadrado: Tecla para extrair a raiz quadrada: Relações trigonométricas num triângulo retângulo Conhecendo o valor de um lado e de um ângulo (exceto o de 90º que já é conhecido) de um triângulo retângulo, podemos calcular os valores dos outros lados deste triângulo através das relações trigonométricas, assim como, podemos calcular um ângulo de referência conhecendo-se dois lados de um triângulo retângulo também pelas relações trigonométricas. O primeiro passo para trabalhar com as relações trigonométricas num triângulo retângulo é verificar qual o ângulo deste triângulo que será utilizado e, a partir dele nomear os catetos, isto é, o lado do triângulo que estiver oposto a esse ângulo é denominado cateto oposto (co) e o lado que está formando esse ângulo, isto é, que é vizinho do ângulo, é chamado de cateto adjacente. Já a hipotenusa é sempre o lado oposto ao ângulo de 90º do triângulo. Assim, do triângulo a seguir temos: a = hipotenusa; b = cateto oposto ao ângulo ; c = cateto adjacente ao ângulo . 7
  • 9. Caso seja utilizado o outro ângulo como referência, altera-se apenas o cateto oposto e o adjacente, a hipotenusa é a mesma. Assim: a = hipotenusa; b = cateto adjacente ao ângulo ; c = cateto oposto ao ângulo . Agora que já sabemos nomear os lados do triângulo retângulo, devemos conhecer as relações trigonométricas que podem ser aplicadas neste tipo de triângulo. Dois triângulos retângulos semelhantes (mesmos ângulos internos, mas lados com tamanhos diferentes) possuem o mesmo resultado para a razão (divisão) entre dois de seus lados, conforme ilustrado a seguir: 1) b b' , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto ao ângulo a a' pela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de seno, portanto: cateto oposto seno do ângulo hipotenusa 8
  • 10. De maneira simplificada: co sen hip 2) c c' , observe que aqui está sendo dividido o cateto adjacente ao ângulo a a' pela hipotenusa de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de cosseno, portanto: cateto adjacente cos seno do ângulo hipotenusa De maneira simplificada: ca cos hip 2) b b' , observe que aqui está sendo dividido o cateto oposto pelo cateto c c' adjacente ao ângulo de cada triângulo. A essa razão dá-se o nome de tangente, portanto: cateto oposto tan gente do ângulo cateto adjacente De maneira simplificada: co tg ca Portanto, seno, cosseno e tangente de um ângulo nada mais é do que a divisão entre dois lados de um triângulo retângulo. A tabela 2 indica alguns valores para seno, cosseno e tangente, mas a calculadora científica pode fornecer valores para qualquer ângulo através das teclas: Figura 1: Teclas para utilizar as funções seno, cosseno e tangente na calculadora científica. 9
  • 11. Deve-se tomar o cuidado de verificar se a calculadora está adequada para calcular em graus (D), radianos (R) ou gradianos (G). Isso é verificado na parte superior do visor da calculadora. Figura 2: Visor de uma calculadora científica. Observe que aparece a letra D na parte superior do visor, indicando que a calculadora está programada para trabalhar em graus. Ângulo seno cosseno tangente 0o 0 1 0 10o 0,174 0,985 0,176 20o 0,342 0,940 0,364 30o 0,500 0,866 0,577 40o 0,643 0,766 0,839 50o 0,766 0,643 1,192 60o 0,866 0,500 1,732 70o 0,940 0,342 2,747 80o 0,985 0,174 5,671 90o 1 0 Não existe 180o 0 -1 0 270o -1 0 Não existe 360o 0 1 0 Tabela 2: Valores de seno, cosseno e tangente de alguns ângulos. Exemplos: 1) Determine os valores de X nos triângulos retângulos a seguir: a) O primeiro passo é identificar o que foi fornecido no triângulo: Hipotenusa (hip) = 8 mm Ângulo ( ) = 20o Cateto oposto (co) = X 10
  • 12. Das três relações trigonométricas a que devemos utilizar é a do seno, pois a do cosseno e da tangente utiliza o cateto adjacente e ele não foi fornecido, assim: co sen hip X sen 20o 8 Multiplicando em “cruz”, temos: X 8.sen 20 o X 2, 74 mm b) Dados: Hipotenusa (hip) = X Ângulo ( ) = 40o Cateto adjacente (ca) = 12 cm A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que tem hipotenusa e cateto adjacente, assim: ca cos hip 12 cos 40o X X .cos 40o 12 12 X cos 40o X 15, 66 cm c) Dados: Ângulo ( ) = 31,9o Cateto oposto (co) = 16 mm Cateto adjacente (ca) = X 11
  • 13. A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui cateto oposto e cateto adjacente, assim: co tg ca 16 tg 31, 9o X Multiplicando em “cruz”, temos: X .tg 31, 9o 16 16 X tg 31, 9o X 25, 71 cm 2) Determine os ângulos dos seguintes triângulos retângulos: a) Dados: Hipotenusa (hip) = 15 mm Cateto oposto (co) = 10 mm A relação trigonométrica adequada é o seno, pois é a única que possui cateto oposto e hipotenusa, assim: co sen hip 10 sen 15 sen 0, 667 Mas queremos calcular o ângulo e não o seno do ângulo , assim, devemos utilizar as teclas “shift” + “sin” da calculadora, pois a tecla “shift” (ou qualquer outra tecla que ative a segunda função da calculadora) irá ativar o inverso do seno que é a função “sin-1”. Portanto: sen 1 (0, 667) 41,84o 12
  • 14. Apertando a tecla da calculadora indicada a seguir teremos o resultado em graus, minutos e segundos: 41o50´24´´ b) Dados: Cateto adjacente (ca) = 74 mm Cateto oposto (co) = 82 mm A relação trigonométrica adequada é a tangente, pois é a única que possui cateto oposto e cateto adjacente, assim: co tg ca 82 sen 74 82 tg 1 74 47, 94o 47o 56 ' 24 '' c) Dados: Cateto adjacente (ca) = 10 mm Hipotenusa (hip) = 32 mm A relação trigonométrica adequada é o cosseno, pois é a única que possui cateto adjacente e hipotenusa, assim: 13
  • 15. ca cos hip 10 cos 32 10 cos 1 32 71, 79o 71o 47 ' 24 '' Relações trigonométricas num triângulo qualquer As relações trigonométricas estudadas no capítulo anterior servem apenas para triângulos retângulos. Quando um triângulo não é retângulo, existem outras relações para calcular algum lado e/ou algum ângulo do triângulo. Essas relações são conhecidas como lei dos senos e lei dos cossenos. Lei dos senos Observe o triângulo a seguir: Se dividirmos um lado pelo seno do ângulo oposto, teremos os seguintes resultados: 12 18, 66 sen40o 9, 33 18, 66 sen30o 17, 54 18, 66 sen110o Observe que os resultados são iguais, isto é, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. Esta é a lei dos senos e ela pode ser utilizada em qualquer triângulo, inclusive o retângulo. 14
  • 16. lado 1 lado 2 seno do ângulo oposto ao lado 1 seno do ângulo oposto ao lado 2 Ou lado 1 lado 3 seno do ângulo oposto ao lado 1 seno do ângulo oposto ao lado 3 Ou lado 2 lado 3 seno do ângulo oposto ao lado 2 seno do ângulo oposto ao lado 3 Exemplos: 1) Monte a expressão da lei dos senos para o triângulo a seguir: a b c sen sen sen 2) Calcule o valor de x nos triângulos a seguir: a) 15
  • 17. X 80 sen 400 sen 1200 X .sen 1200 80.sen 400 80.sen 400 X sen 1200 X 59, 38 mm b) Como a soma dos ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 1800, então o triângulo terá os seguintes ângulos: Aplicando a lei dos senos: X 40 0 sen 70 sen 600 X .sen 600 40.sen 700 40.sen 700 X sen 600 X 43, 41 mm 3) Calcule os valores de X e Y no triângulo a seguir: Aplicando a lei dos senos: X 25 Y 25 0 sen 50 sen 300 sen 1000 sen 300 X .sen 300 25.sen 500 Y .sen 300 25.sen 1000 25.sen 500 25.sen 1000 X Y sen 300 sen 300 X 38, 30 mm Y 49, 24 mm 16
  • 18. 4) Calcule o ângulo nos triângulos a seguir: a) 60 25, 789 sen sen 200 25, 789.sen 60.sen 200 60.sen 200 sen 25, 789 1 60.sen 200 sen 25, 789 52, 720 52o 43'12 '' b) 13 30 sen sen 1050 30.sen 13.sen 1050 13.sen 1050 sen 30 13.sen 1050 sen 1 30 24, 740 24o 44 ' 24 '' Lei dos cossenos A lei dos cossenos é menos empregada que a lei dos senos devido à simplicidade da equação da lei dos senos, mas em algumas situações, a resolução através da lei dos cossenos se torna a forma mais rápida. A lei dos cossenos também pode ser aplicada em um triângulo qualquer, inclusive o retângulo. Sua definição é a seguinte: O quadrado da medida de um lado é igual à soma das medidas dos quadrados dos outros dois lados (até aqui lembra o teorema de Pitágoras) menos duas vezes o produto destes lados pelo cosseno do ângulo formado entre eles. 17
  • 19. Para simplificar a definição da lei dos cossenos, vamos utilizar como exemplo o triângulo abaixo: Traduzindo a definição, têm-se: a2 b2 c2 2.b.c.cos Exemplos: 1) Calcule o valor de X no triângulo a seguir: Aplicando a lei dos cossenos: X2 502 602 2.50.60.cos 1000 X2 2500 3600 1041,89 X 7141,89 X 84, 5 mm 2) Calcule o valor de no triângulo a seguir: Observe que o triângulo tem todos os lados iguais, isto é, ele é equilátero. Assim, o triângulo também terá todos os ângulos iguais e como a soma dos ângulos internos 18
  • 20. é igual a 1800, então cada ângulo tem 600, isto é o ângulo vale 600. Utilizando a lei dos cossenos, vamos provar que seu valor é de 600. Neste caso, nós temos os três lados e queremos calcular o ângulo, assim: 302 302 302 2.30.30.cos 900 900 900 1800.cos 900 1800 1800.cos 900 1800 1800.cos 900 cos 1800 0, 5 cos cos 1 (0, 5) 600 Área dos principais polígonos O cálculo de área é utilizado com muita frequência na Engenharia e, portanto, todo engenheiro deve dominar esse assunto. Área do retângulo: O retângulo é um quadrilátero (polígono de quatro lados) que possui os quatro ângulos internos iguais a 900. Sua área é definida como o produto da medida da base (b) pela medida da altura (h). A b.h Área do quadrado: O quadrado é um retângulo que possui o mesmo valor para a base (b) e para a altura (h=b). Assim, sua área também é dada pelo produto da base pela altura. A b.b A b2 19
  • 21. Área do paralelogramo: O paralelogramo é um quadrilátero que não possui ângulos internos de 90º, mas possui seus lados opostos paralelos. A sua área também é calculada como o produto da base (b) pela altura (h). A b.h Área do triângulo: É calculada pelo produto da base (b) pela altura (h) dividido por dois, pois se dividirmos o quadrado, ou o retângulo, ou o paralelogramo ao meio, teremos dois triângulos iguais, e por isso que a área do triângulo tem essa divisão por dois. b.h A 2 Área do losango: O losango é um quadrilátero com os quatro lados iguais e não paralelos. Sua área é definida como o produto de sua diagonal maior (D) pela diagonal menor (d) dividido por dois. D.d A 2 Área do trapézio: O trapézio é um quadrilátero que possui dois lados paralelos e dois lados não paralelos, sendo que os seus lados paralelos recebem os nomes de base. Sua área é calculada pelo produto da altura (h) pela soma de suas bases (B+b) divididos por dois. 20
  • 22. (B b).h A 2 Perímetro dos polígonos O perímetro de um polígono é definido como a soma de todos os seus lados Exemplos: 1) p 10 10,921 10,573 p 31, 494 mm 2) p 4 4 8 8 p 24 cm Circunferência e círculo Circunferência é uma figura geométrica representada por uma linha contida num plano que possui uma mesma distância de um ponto que é denominado de centro da circunferência. Círculo é toda região que compreende a circunferência, isto é, circunferência é somente a linha externa enquanto círculo é região interna da circunferência. Circunferência Círculo 21
  • 23. A distância do centro da circunferência (0) até a linha periférica (externa) é denominada de raio (R) e o dobro do raio é denominado diâmetro (d). Comprimento da circunferência (perímetro) Curvando uma linha podemos fazer uma circunferência de diâmetro d, sendo que o comprimento dessa linha é chamado de perímetro ou comprimento da circunferência (p). Existe uma relação muito interessante e importante entre o comprimento da linha (perímetro) e o diâmetro da circunferência formada pela linha: Se dividirmos qualquer comprimento de linha pelo diâmetro que ela forma, teremos sempre o mesmo resultado, e esse resultado tem um valor muito conhecido e utilizado na matemática, o número (3,14159265...), matematicamente: p d p d. Como d 2.R, então : p 2 R Exemplos: 1) Qual o perímetro de uma circunferência de raio 20 m? p 2 R p 2 20 p 40 p 125, 66 m 22
  • 24. 2) Qual o diâmetro que conseguimos formar com uma linha de 300 mm de comprimento? Resposta: O perímetro da circunferência é o comprimento da linha (300 mm), então: p d. 300 d . 300 d p 95, 49 mm 3) Determine a distância em linha reta percorrida por uma roda de 250 mm de raio quando ela realiza uma volta completa. Resposta: A distância percorrida em uma volta é exatamente o perímetro da roda, assim: p 2 R p 2 250 p 500 p 1570,8 mm Área de um círculo A área de um círculo é definida como o produto de pelo quadrado da medida de seu raio. A .R 2 Exemplo: Calcule a área de um círculo de diâmetro igual a 20 mm. Resposta: O raio vale 10 mm, pois ele é a metade do diâmetro, assim: A .R 2 A .10 2 A 100. A 314,16 mm 23
  • 25. Radiano Um radiano é o valor que ângulo central ( adquire quando o comprimento do arco da circunferência possui o mesmo valor do raio da circunferência. Em uma metade de qualquer circunferência (1800) é observado que o comprimento do arco equivale a 3,14159... raios de circunferência, isto é: 1800 = rad (relação entre graus e radianos). Exemplo: 1) Converta para radianos as seguintes medidas de ângulos: a) 300 b) 450 1800 1800 300 x 450 x Multiplicando em “cruz”: Multiplicando em “cruz”: 180.x 30. 180.x 45. 30. 45. x x 180 180 x rad x rad 6 4 x 0, 52 rad x 0, 79 rad 24
  • 26. c) 600 d) 2700 1800 1800 600 x 2700 x 180.x 60. 180.x 270. 60. 270. x x 180 180 3 x rad x rad 3 2 x 1, 05 rad x 4, 71 rad 2) Converta as seguintes medidas de ângulos em graus: a) 0,76 rad b) 4,73 rad 1800 1800 x 0, 76 x 4, 73 .x 180.0, 76 .x 180.4, 73 180.0, 76 180.4, 73 x x x 43, 540 x 271, 010 x 43032 ' 24 '' x 2710 0 '36 '' Volume de alguns sólidos geométricos Para finalizar essa introdução à Geometria, é necessário estudarmos o volume dos sólidos que são muito utilizados em projetos de Engenharia, o paralelepípedo, o cilindro e a esfera. Paralelepípedo: São sólidos cujas bases são paralelogramos. Os paralelepípedos que iremos estudar são os retos-retângulos e o cubo. O paralelepípedo reto-retângulo possui todos os ângulos internos iguais a 900. Todos os cantos de qualquer paralelepípedo são chamados de arestas. 25
  • 27. aresta O volume deste tipo de paralelepípedo é calculado multiplicando-se todos os seus lados: V a.b.c O cubo é um paralelepípedo que possui todos os seus lados iguais e, também, possui todos os ângulos internos iguais a 900. O seu volume também é calculado multiplicando-se todos os seus lados: V a.a.a V a3 Cilindro: Muito parecido com os paralelepípedos, mas apresenta bases circulares. O seu volume é calculado pelo produto (multiplicação) da área da base circular (Ab) pela sua altura (h). 26
  • 28. V Ab .h Como a área de um círculo é dada por Ab .R2 , então: V .R2 .h Esfera: É um sólido que possui uma superfície externa que está a uma mesma distância até o seu centro, sendo esta distância denominada raio da esfera. O seu volume é calculado pela seguinte expressão: 4. .R3 V 3 A área da superfície esférica é calculada por: V 4. .R 2 27