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Termodinamica v-3.0-aula-06-modelo-gas-ideal
- 1. Modelo de GásIdeal Departamento de Ciências Exatas – Engenharia Termodinâmica – Aula 06 11/05/2021 FMU - Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 1 Prof. MSc. PhD. Alberto Lozéa Feijó Soares E-mail: alberto.soares@fmu.br
- 2. Equação de estadopara um Gás Ideal 11/05/2021 FMU - Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 2 Seja um GÁS qualquer confinado em uma montagem pistão-cilindro com TEMPERATURA 𝑇1 constante conforme a Figura abaixo. O pistão mover-se livremente sem ATRITO e quase- estaticamente (lentamente), de modo que uma série de ESTADOS TERMODINÂMICOS em EQUILÍBRIO à 𝑇1 = Const. podem ocorrer. Puxando-se o pistão (tampa) isotermicamente, o VOLUME MOLAR ҧ 𝑣 aumenta, e a PRESSÃO 𝑝 diminui. É a chamada Lei de Boyle. (𝑝1, ҧ 𝑣1, 𝑇1) (𝑝2, ҧ 𝑣2, 𝑇1) Expansão Isotérmica ( ҧ 𝑣 ↑, 𝑝 ↓) ҧ 𝑣 → ∞ ⇒ 𝑝 → 0 ⇒ 𝑝 ∝ 1 ҧ 𝑣
- 3. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 3 Suponha que o valor de 𝑝 ҧ 𝑣/𝑇, pode ser experimentalmente determinado. Os resultados do experimento podem ser organizados em um gráfico: 𝑝 ҧ 𝑣 𝑇 𝑝 𝑇1 𝑇2 𝑇3 𝑇4 ത 𝑅 ⟹ lim 𝑝→0 𝑝 ҧ 𝑣 𝑇 = ത 𝑅 Extrapolação para 𝑝 = 0 Valor limite, vale para qualquer gás sobre certas condições! Se o experimento for refeito para diferentes TEMPERATURAS, obtemos as curvas 𝑇2, 𝑇3, 𝑇4 e etc. Para diferentes gases, obteremos o mesmo limite ത 𝑅, o que mostra que a maioria dos gases se comportam de maneira igual sob condições semelhantes. Equação de estado para um Gás Ideal
- 4. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 4 A constante ത 𝑅 é denominada CONSTANTE UNIVERSAL DOS GASES IDEAIS e seu valor determinado experimentalmente é: ത 𝑅 = 8,314 kJ kmol ⋅ K Dependendo das unidades das PROPRIEDADES 𝑝, 𝑣 e 𝑇 do gás, teremos ത 𝑅 em várias unidades diferentes. ത 𝑅 = 83,14 bar ⋅ L/kmol ⋅ K 0,083 bar ⋅ m3 /kmol ⋅ K 1,987 kcal/kmol ⋅ K 0,082 atm ⋅ L/mol ⋅ K 1545,4 lbf ⋅ ft/lbmol ⋅ °R 1,9859 Btu/lbmol ⋅ °R No SI a TEMPERATURA ABSOLUTA é dada em Kelvin, mas em alguns casos, a TEMPERATURA é dada na escala Rankine (𝑇𝑅 = 𝑇𝐹 + 460). Equação de estado para um Gás Ideal
- 5. 𝑍 = 𝑝 ҧ 𝑣 ത 𝑅𝑇 ⇒𝑝 ҧ 𝑣 = ത 𝑅𝑇𝑍 11/05/2021 FMU - Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 5 A razão adimensional 𝑝 ҧ 𝑣/ ത 𝑅𝑇 é denominada FATOR DE COMPRESSIBILIDADE (𝑍): Onde 𝑅 é uma constante para um gás em particular cujo MASSA MOLECULAR é 𝑀 = 𝑚/𝑛. Com o VOLUME MOLAR dado por ҧ 𝑣 = 𝑀𝑣, onde 𝑀 é o MASSA ATÔMICA ou MOLECULAR do gás, o FATOR DE COMPRESSIBILIDADE também pode ser dado por: ҧ 𝑣 = 𝑀𝑣 ⇒ 𝑝𝑀𝑣 = ത 𝑅𝑇𝑍 ⇒ 𝑝𝑣 = ത 𝑅 𝑀 𝑇𝑍 ⇒ 𝑅 = ത 𝑅 𝑀 ⇒ 𝑅 = kJ/kmol ⋅ K kg/kmol = kJ kg ⋅ K Logo, teremos a Eq. de Estado para um Gás específico: 𝑝𝑣 = 𝑅𝑇𝑍 (2) (1) Equação de estado para um Gás Ideal
- 6. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 6 Exemplo: Use a Eq. (2) e determine o VOLUME ESPECÍFICO do vapor d’água superaquecido, à 1 bar (105 Pa) de PRESSÃO e 120 ℃ de TEMPERATURA. Considere 𝑍 = 1. Consultando a Tabela T-4 temos 𝑣 = 1,793 m3 /kg, o que resulta 1,16 % de erro relativo. Diferentes substâncias, têm diferentes constantes do gás: Substância 𝑴(𝐤𝐠/𝐤𝐦𝐨𝐥) 𝑹(𝒌𝐉/𝐤𝐠 ⋅ 𝐊) Ar 28,97 0,2870 Hélio 4,003 2,0769 Oxigênio 32 0,2598 Metano 16,04 0,5183 𝑅Vapor = ത 𝑅 𝑀𝐻2𝑂 ⇒ 𝑅Vapor = 8,314 kJ kmol ⋅ K 18,02 kg kmol ⇒ 𝑅Vapor ≅ 0,4614 kJ kg ⋅ K 𝑣 = 𝑅𝑇𝑍 𝑝 ⇒ 𝑣 = 461,4 J kg ⋅ K ⋅ 120 + 273,15 K ⋅ 1 105 Pa Equação de estado para um Gás Ideal ≅ 1, 814 N ⋅ m kg N m2 ≅ 1,8 m3 kg
- 7. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 7 Logo, concluímos que para 𝑍 = 1, e para BAIXAS PRESSÕES e/ou ALTAS TEMPERATURAS o vapor d’água se comporta como um GÁS IDEAL. Podemos comprovar este comportamento na área azul do diagrama 𝑇 × 𝑣 da água. 𝑇(℃) 𝑣(m3 /kg) Equação de estado para um Gás Ideal
- 8. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 8 Este comportamento também é observado para outros gases. O FATOR DE COMPRESSIBILIDADE 𝑍 tente à unidade conforme a PRESSÃO tende a zero para uma TEMPERATURA fixa. A Figura abaixo ilustra isso para o Hidrogênio à 1 atm. lim 𝑝→0 𝑝 ҧ 𝑣 ത 𝑅𝑇 = lim 𝑝→0 𝑍 = 1 ⟹ Equação de estado para um Gás Ideal
- 9. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 9 Gráficos semelhantes ao anterior foram preparados para outros gases. Ao serem analisados, veremos que são qualitativamente semelhantes. Estudos adicionais mostram que, escolhendo coordenadas convenientes, as curvas de vários gases diferentes ficam semelhantes quando representadas juntas no mesmo sistema de coordenadas e, portanto, a semelhança quantitativa também se verifica. Esse fato é conhecido como PRINCÍPIO DOS ESTADOS CORRESPONDENTES. Em tal abordagem, o FATOR DE COMPRESSIBILIDADE 𝑍 é representado graficamente em função de uma PRESSÃO REDUZIDA adimensional 𝑝𝑟 e de uma TEMPERATURA REDUZIDA 𝑇𝑟, definidas pelas expressões: Onde 𝑝𝐶 e 𝑇𝐶 representam PRESSÃO e TEMPERATURA CRÍTICAS, respectivamente. As grandezas reduzidas 𝑝𝑟 e 𝑇𝑟 podem ser encontradas nas Tabelas apropriadas de cada substância. Estes dados permitem uma boa aproximação para as PROPRIEDADES de gases. 𝑝𝑟 = 𝑝 𝑝𝐶 𝑇𝑟 = 𝑇 𝑇𝐶 Tabelas Equação de estado para um Gás Ideal
- 10. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 10 T-9: Propriedades do Ar como gás ideal. Volume específico reduzido Pressão reduzida Entalpia específica Energia interna específica Equação de estado para um Gás Ideal
- 11. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 11 O resultado é um gráfico de COMPRESSIBILIDADE GENERALIZADA do tipo 𝑍 = 𝑓(𝑝𝑟, 𝑇𝑟). A Figura abaixo mostra dados experimentais de 10 gases diferentes. As linhas cheias denotando curvas ISOTÉRMICAS REDUZIDAS ajustadas mais adequadas aos dados. 𝑍 𝑝𝑟 Equação de estado para um Gás Ideal
- 12. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 12 Um gás é considerado IDEAL se ele encontra-se a uma pressão pequena em relação a PRESSÃO CRÍTICA e/ou a uma temperatura elevada em relação a TEMPERATURA CRÍTICA. Para esses casos o FATOR DE COMPRESSIBILIDADE é próximo de 𝑍~1, logo a Eq. (1) torna- se: 𝑝𝑣 = 𝑅𝑇 (3) ቊ ҧ 𝑣 = 𝑣𝑀 ത 𝑅 = 𝑅𝑀 Onde, 𝑝 ҧ 𝑣 = ത 𝑅𝑇 (4) Já a Eq. (2) torna-se: Da Eq. (4) e (5), temos que: 𝑣 = 𝑉 𝑚 ⟶ 𝑝𝑉 = 𝑚𝑅𝑇 ҧ 𝑣 = 𝑉 𝑛 ⟶ 𝑝𝑉 = 𝑛 ത 𝑅𝑇 (5) (6) Equação de estado para um Gás Ideal
- 13. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 13 Devido ao fato de estar a baixa PRESSÃO, as moléculas de um gás ideal ficam bem dispersas no ambiente. Por causa disso, a ENERGIA INTERNA ESPECÍFICA depende apenas da TEMPERATURA. Modelo de Gás Ideal Observações experimentais (Joule, 1843), mostram, que a EQUAÇÃO DE ESTADO é dada realmente por 𝑝𝑣 = 𝑅𝑇 em boa aproximação. Logo a ENTALPIA do SISTEMA também dependerá somente da TEMPERATURA, ou seja, 𝑢 = 𝑢(𝑇) ℎ = 𝑢 + 𝑝𝑣 ⇒ ℎ = 𝑢(𝑇) + 𝑅𝑇 ℎ = ℎ(𝑇) Logo, Claro que 𝑢 e ℎ não dependem exclusivamente de 𝑇, mesmo assim, GASES REAIS (𝑍 ≠ 1), podem ser tratados em boa aproximação como GASES IDEAIS (𝑍 = 1). (7)
- 14. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 14 Calores específicos de gases ideias Corpos com diferentes TEMPERATURAS trocam CALOR até entrarem em EQUILÍBRIO TÉRMICO. CALOR 𝑄 somente é trocado quando existe uma diferença de temperatura Δ𝑇. Durante muitos anos, a natureza do calor foi um mistério. No século XVII, Galileu, Newton e outros cientistas concordavam (mas não tinham certeza) com as teorias dos antigos gregos que consideravam a energia térmica, ou seja, o calor, como uma manifestação do movimento molecular. As moléculas, mesmo nos sólidos, possuem vibração mesmo a baixas temperaturas A temperaturas mais altas, as moléculas permanecem do mesmo tamanho, a vibração cresce e o corpo se expande.
- 15. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 15 O CALOR SENSÍVEL é quantidade de calor recebida ou cedida por um corpo para variar sua TEMPERATURA. Verifica-se experimentalmente que esta quantidade de CALOR é dada por: Calores específicos de gases ideias 𝑄𝑆 = 𝑐 ⋅ 𝑚 ⋅ ∆𝑇 Onde 𝑐 é denominado CALOR ESPECÍFICO da substância que constitui o corpo. Se Δ𝑇 0, o corpo perde CALOR, se Δ𝑇 0, o corpo ganha CALOR. Qual o significado físico de 𝒄? O CALOR ESPECÍFICO é a quantidade de calor que se deve fornecer ou retirar de um corpo com 1 kg para variar sua temperatura em 1 °C. A Eq. (8) é conhecida como Eq. Fundamental da Calorimetria. Isolando 𝑐 nesta expressão e fazendo a análise dimencional temos que no S.I. e no S. Inglês a unidade de 𝑐 será: (8) 𝑐 = 𝑄 𝑚 ⋅ ∆𝑇 ⇒ 𝑐 = kJ kg ⋅ K ou Btu lb ⋅ ℉
- 16. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 16 O CALOR ESPECÍFICO é uma característica de cada substância e assim como a ENERGIA INTERNA ESPECÍFICA e a ENTALPIA depende da TEMPERATURA. Normalmente considera- se 𝒄 constante dentro de uma certa faixa de TEMPERATURA. Equação de estado para um gás ideal Considerando o gás como um GÁS IDEAL e admitindo o CALOR ESPECÍFICO como constante para pequenas variações da TEMPERATURA, é possível avalia-lo de duas maneiras diferentes: à VOLUME constante e a PRESSÃO constante, 𝑐 = 𝑐(𝑇) 𝑣 = Const. ⇒ 𝑐𝑣(𝑇) = ∆𝑢 ∆𝑇 𝑝 = Const. ⇒ 𝑐𝑝(𝑇) = ∆ℎ ∆𝑇 (9) (10) É possível encontrar 𝑐𝑣 e 𝑐𝑝 para diversas substâncias nas Tabelas T-10 e T-10E.
- 17. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 17 Da Eq. (7) podemos mostrar que: Equação de estado para um gás ideal (11) ∆ℎ = ∆𝑢 + 𝑅∆𝑇 ⇒ ∆ℎ ∆𝑇 = ∆𝑢 ∆𝑇 + 𝑅 ⇒ 𝑐𝑝(𝑇) = 𝑐𝑣(𝑇) + 𝑅 Embora 𝑐𝑝 e 𝑐𝑣 de um GÁS IDEAL seja apenas função da TEMPERATURA, a Eq. (11) mostra que os CALORES ESPECÍFICOS diferem apenas por uma constante, a constante 𝑅 do gás, o que permite saber um deles conhecendo o outro. A Eq. (11) também mostra que 𝑐𝑝 > 𝑐𝑣. Para um GÁS IDEAL, a razão entre os CALORES ESPECÍFICOS, 𝑘, também é função apenas da TEMPERATURA. 𝑘 = 𝑐𝑝(𝑇) 𝑐𝑣(𝑇) (12) Como 𝑐𝑝 > 𝑐𝑣, significa que 𝑘 > 1. Combinando as Eqs. (12) e (11), temos, 𝑐𝑝(𝑇) = 𝑘𝑅 𝑘 − 1 e 𝑐𝑣(𝑇) = 𝑅 𝑘 − 1 (13)
- 18. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 18 Para um PROCESSO POLITRÓPICO de um SISTEMA TERMODINÂMICO fechado temos que: O processo Politrópico para um Gás Ideal 𝑝 ⋅ 𝑉𝑛 = Const. Onde 𝑛 é um número constante entre um e dois. No caso de um Estado inicial 1 e final 2, 𝑝1 ⋅ 𝑉1 𝑛 = 𝑝2 ⋅ 𝑉2 𝑛 ⇒ 𝑝2 𝑝1 = 𝑉1 𝑉2 𝑛 Já o TRABALHO no PROCESSO POLITRÓPICO é: 𝑊 = 𝑝2𝑉2 − 𝑝1𝑉1 1 − 𝑛 Essas equações se aplicam para qualquer gás ou líquido (Fenômenos de Transporte III) submetido a um PROCESSO POLITRÓPICO e/ou ADIABÁTICO. (14) (15)
- 19. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 19 Quando a idealização adicional do comportamento de um GÁS IDEAL for acrescentada a essas equações, outras relações entre PROPRIEDADES do SISTEMA podem ser deduzidas. Então, introduzindo as Eqs. (5) ou (6) na Eq. (14) do PROCESSO POLITRÓPICO, obtemos os seguintes resultados, O processo Politrópico para um Gás Ideal 𝑇2 𝑇1 = 𝑝2 𝑝1 𝑛−1 𝑛 = 𝑉1 𝑉2 𝑛−1 (16) 𝑊 = 𝑚𝑅(𝑇2 − 𝑇1) 1 − 𝑛 (17) Aplicando a aproximação para o GÁS IDEAL para o TRABALHO do PROCESSO POLITRÓPICO obtemos, Ou, 𝑊 = 𝑛 ത 𝑅(𝑇2 − 𝑇1) 1 − 𝑛 (18)
- 20. 11/05/2021 FMU -Termodinâmica V3.0 - Prof. A. Lozéa 20 Também podemos aplicar a aproximação para um GÁS IDEAL para os PROCESSOS ISOTÉRMICO, ISOCÓRICO e ISOBÁRICO, Processos Isotérmico, Isocórico e Isobárico para um gás ideal 𝑝𝑉 𝑇 = 𝑚𝑅 = const. ⇒ 𝑝1𝑉1 𝑇1 = 𝑝2𝑉2 𝑇2 PROCESSO ISOTÉRMICO ISOCÓRICO ISOBÁRICO 𝑝1𝑉1 = 𝑝2𝑉2 𝑊 = 𝑚𝑅 ln 𝑉2 𝑉1 𝑝1 𝑇1 = 𝑝2 𝑇2 𝑊 = 0 𝑉1 𝑇1 = 𝑉2 𝑇2 𝑊 = 𝑚𝑅 𝑇2 − 𝑇1