sistema de equações

pág. 1 Douglas O de Lima
Sistema de Equações
Um conjunto de duas ou mais
equações denomina-se SISTEMA DE
EQUAÇÕES.
Ex:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=+
1xy
7yx2
Solução de um sistema de equações
Chama-se SOLUÇÃO de um sistema
de equações a todo conjunto de valores
atribuídos às incógnitas que verificam, ao
mesmo tempo, cada uma das equações.
Ex: O sistema
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=+
1xy
7yx2
apresenta, como
uma de suas soluções, o par ordenado (2, 3),
pois os valores x = 2 e y = 3 satisfazem às
duas equações.
Conjunto-Verdade
O CONJUNTO-VERDADE ( ou
conjunto solução ) de um sistema de equações
é o conjunto constituído por todas as soluções
do sistema.
Ex: O sistema
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=+
1xy
7yx2
possui os pares
(2, 3) e ( -3, -2) como soluções, por isso o
conjunto-verdade ( ou conjunto-solução) deste
sistema é:
S = { (2, 3) , (-3, -2) }
Sistemas Equivalentes
Dois sistemas de equações são ditos
EQUIVALENTES quando possuem o mesmo
conjunto-solução.
Métodos de solução de um sistema de
equações
1) Método de Adição:
As operações deste método nos permite
eliminar uma das incógnitas somando as
equações do sistema. Devemos observar que
uma incógnita só pode ser eliminada, pela
adição de equações, quando seus coeficientes
são números opostos.
Ex:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=−⎯⎯ →⎯=−
=+⎯⎯ →⎯=+
)II(26y6x413y3x2
)I(9y6x33y2x
2x
3x
Somando-se as equações (I) e (II) obtemos:
7x = 35 → x = 5
Substituindo o valor encontrado para x na 1ª.
equação do sistema, obtemos:
5 + 2y = 3 → 2y = - 2 → y = - 1
S= { (5, -1) }
2) Método de Substituição:
Consiste em tirar o valor de uma das
incógnitas numa das equações e substituir nas
outras equações do sistema, obtendo-se,
assim, um sistema equivalente com menos uma
incógnita.
Ex:
⎩
⎨
⎧
=+
=−
30x5y2
7yx3
Na 1ª. equação, podemos tirar o valor de y em
função de x: y = 3x – 7 (I)
Substituindo o valor de y na 2ª. equação,
obtemos:
2(3x – 7) + 5x = 30 → 11x = 44 → x = 4
Substituindo o valor encontrado para x em (I),
obtemos: y = 3.4 – 7 = 5 → S = { (4, 5) }
3) Método de Comparação:
Obtém-se a eliminação de uma incógnita
tirando em cada equação o valor desta
incógnita e igualando os resultados.
Ex:
⎩
⎨
⎧
=+
−=−
7y4x
8y3x2
Da 1ª. equação, obtemos: x =
2
8y3 −
Da 1ª. equação, obtemos: x = 7 – 4y
Comparando os dois valores, temos:
2
8y3 −
= 7 – 4y → 3y – 8 = 14 – 8y → 11y = 22
→ y = 2 → x = 7 – 4.2 = -1 → S = { (- 1, 2) }

Discussão de um Sistema Linear com Duas
Incógnitas
Dado o sistema
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
feydx
cbyax
, temos:
i)
e
b
d
a
≠ → Sistema Possível e Determinado
(o sistema possui uma única solução)
ii)
f
c
e
b
d
a
== → Sistema Possível e
Indeterminado (o sistema possui infinitas
soluções).
iii)
f
c
e
b
d
a
≠= → Sistema Impossível (o
sistema não possui soluções, ou seja, seu
conjunto solução é vazio).
EXERCÍCIOS
E.1) Achar dois números, sabendo-se que a
sua soma é 30 e a diferença, 6.
E.2) Calcular dois números, sabendo que a
razão entre eles é de 3/5 e a sua diferença é 4.
E.3) A soma de dois termos de uma fração é
49. Escrever a fração sabendo-se que ela é
equivalente a 3/4.
E.4) Achar dois números, sabendo-se que a
metade do primeiro mais dois quintos do
segundo é igual a 17 e que o dobro do primeiro
menos três quartos do segundo é igual a 21.
E.5) Dividir 220 em duas partes, de modo que
2/5 da primeira seja igual a 3/8 da segunda
menos 5.
E.6) A soma de dois números é 224. Dividindo
o maior por 18, encontra-se o mesmo
quociente que o da divisão do menor por 14.
Quais são esses números?
E.7) Um número é composto de dois
algarismos. O valor absoluto do algarismo das
unidades é igual a 2/3 do das dezenas.
Subtraindo 9 desse número obtém-se um
outro com os mesmos algarismos, porém, em
ordem inversa. Achar o número.
E.8) Uma pilha de 40 tábuas tem 1,7 m de
altura; sabendo-se que as tábuas têm umas 2
cm e outras 5 cm de espessura, diga quantas
são as de 2 cm.
E.9) Uma motocicleta parte de um ponto A
com a velocidade média de 80 km/h. Meia hora
depois sai uma segunda moto, desse mesmo
ponto, no mesmo sentido e com a velocidade
média de 90 km/h. Quanto tempo depois da
partida desta última elas se encontrarão e
qual a distância percorrida desde o ponto A?
E.10) Newton nasceu no século XVII e
morreu no século XVIII. Qual foi o ano do seu
nascimento e o de sua morte, sabendo-se que
o número formado pelos dois últimos
algarismos da data do seu nascimento,
aumentado de 12 é o dobro do número
formado pelos dois últimos algarismos do ano
da sua morte e, este último número de dois
algarismos aumentados de uma unidade é os
2/3 do primeiro?
E.11) Um negociante comprou alguns sapatos
por R$ 720,00 e vendeu-os a R$ 65,00 cada
um, ganhando, na venda de todos os sapatos, o
preço de custo de um deles. O preço de custo
de cada sapato foi de:
(a) R$ 12,00 (d) R$ 40,00
(b) R$ 75,00 (e) R$ 15,00
(c) R$ 60,00
E.12) Em certa associação cada membro era
presidencialista ou parlamentarista. Certo dia,
um dos parlamentaristas resolveu tornar-se
presidencialista e após isso o número de
presidencialistas e parlamentaristas ficou o
mesmo. Algumas semanas depois o novo
presidencialista resolveu tornar-se
parlamentarista novamente e assim as coisas
voltaram a normalidade. Então outro
presidencialista decidiu tornar-se
parlamentarista e, então, o número de
parlamentaristas ficou igual ao dobro do
número de presidencialistas. Quantos
membros tinha essa associação?
(a) 15 (b) 12 (c) 3 (d) n.d.a
E.13) Em um restaurante, todas as pessoas
de um grupo pediram um mesmo prato
principal e uma mesma sobremesa. Com o
prato principal o grupo gastou R$ 56,00 e com
a sobremesa R$ 35,00; cada sobremesa
custou R$ 3,00 a menos do que o prato
principal.
(a) Encontre o número de pessoas neste
grupo.
(b) Qual o preço do prato principal?

E.14) Num escritório de advocacia trabalham
apenas dois advogados e uma secretária. Como
o Dr. André e o Dr. Carlos sempre advogam em
causas diferentes, a secretária, Cláudia,
coloca 1 grampo em cada processo do Dr.
André e 2 grampos em cada processo do Dr.
Carlos, para diferenciá-los facilmente no
arquivo. Sabendo-se que, ao todo, são 78
processos nos quais foram usados 110
grampos, podemos concluir que o número de
processos do Dr. Carlos é igual a:
(a) 64 (b) 46 (c) 40 (d) 32 (e) 28
E.15) Um feirante separou um número inteiro
de dúzias de tangerinas (t), de maçãs (m) e de
pêras (p). Observou que, para cada maçã
arrumada, havia 2 tangerinas. Com 90 dúzias,
ele fez lotes com 6 tangerinas, lotes com 6
maçãs e lotes com 4 peras. Colocou em cada
lote, indistintamente, o preço de R$ 0,50.
Arrecadou R$ 105,00 na venda de todos eles.
Calcule: t, m e p.
E.16) Em um ônibus, transportando crianças,
se sentassem duas em cada banco 9 ficariam
em pé. No entanto, se sentassem 3 em cada
banco sobrariam 3 bancos vazios. Qual é o
número de bancos e quantas crianças estavam
no ônibus, respectivamente?
(a) 18 e 45 (d) 17 e 55
(b) 15 e 54 (e) 13 e 62
(c) 19 e 48
E.17) Determinar quantos passageiros viajam
em um certo ônibus, sabendo-se que se dois
passageiros ocupassem cada banco 26
ficariam em pé, e que se 3 ocupassem cada
banco 2 bancos ficariam vazios.
(a) 90 (b) 40 (c) 35 (d) 32 (e) 30
E.18) Um colégio quer premiar os melhores
alunos, distribuindo entre eles um certo
número de livros. Se der seis livros para cada
um restarão dez, se der oito livros a cada um
faltarão 4. Quantos são os alunos premiados e
quantos são os livros?
(a) 7 e 52 (d) 5 e 68
(b) 8 e 60 (e) 7 e 48
(c) 9 e 58
E.19) O IBGE contratou um certo número de
entrevistadores para realizar o
recenseamento em um cidade. Se cada um
deles recenseasse 100 residências, delas 60
não seriam visitadas. Como, no entanto, todas
as residências foram visitadas e cada
recenseador visitou 102 residências, quantas
residências tem a cidade?
(a) 3000 (b) 3020 (c) 3040 (d) 3060 (e) 3080
E.20) Um homem divide um saquinho de balas
entre crianças. Se o homem entra na divisão
todos recebem 24 balas. Mas se o homem dá a
sua parte as crianças, cada uma recebe 4
balas a mais. Quantas são as crianças?
(a) 168 (b) 88 (c) 68 (d) 12 (e) 6
E.21) Certa quantidade de sacos precisam ser
transportados e para isso dispõem-se de
jumentos. Se colocarmos 2 sacos em cada
jumento, sobram 13 sacos; se colocarmos 3
sacos em cada jumento, sobram 3 jumentos.
Quantos sacos precisam ser transportados?
(a) 44 (b) 45 (c) 57 (d) 22 (e) 30
E.22) Temos 3 pacotes com igual número de
balas e mais um com 10 balas apenas. Tirando-
se 6 balas de cada pacote ficamos ao todo
com 61 balas. Quantas balas tinha em cada um
dos 3 pacotes?
(a) 23 (b) 25 (c) 28 (d) 31 (e) 34
E.23) Um fazendeiro cria galinhas e coelhos.
Em um dado momento, esses animais somam
um total de 50 cabeças e 140 pés. Pode-se
concluir que o número de coelhos e galinhas é:
(a) 20 e 30 (d) 35 e 15
(b) 25 e 25 (e) 40 e 10
(c) 30 e 20
E.24) Uma pessoa tem 65 notas, umas de
R$ 50,00 e outras de R$ 20,00, possuindo ao
todo R$ 2.320,00. Quantas notas há de cada
espécie?
(a) 31 e 34 (d) 40 e 25
(b) 30 e 31 (e) 28 e 27
(c) 35 e 30
E.25) Temos, entre galinhas e carneiros, ao
todo 21 cabeças e 50 pés. Quantos animais há
de cada espécie?
(a) 17 e 4 (d) 14 e 7
(b) 16 e 5 (e) 13 e 8
(c) 15 e 6

E.26) O valor de x + y no sistema:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
+
−
−
=
+
+
−
4
3
3
2
2
5
3
2
2
1
yx
yx
é:
2
1
6)(
2
1
5)(
2
1
4)(
2
1
3)(
2
1
2)( edcba
E.27) Resolvendo o sistema
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=+
−
822474
6
1
2
1
xyyx
yx encontramos que
x + y vale:
(a) 2
4
3
2)(
2
1
2)(
4
1
2)( dcb (e) 3
E.28) Resolvendo o sistema
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
11464573221342134
670213457322134
7866213421345732
zyx
zyx
zyx
obtemos
para x – y – z o valor:
(a) – 2 (b) – 1 (c) 0 (d) 1 (e) 2
E.29) Os valores reais de x e y que verificam
a equação (4x – y – 8)2
+ (3x + 2y – 17)2
= 0 são
tais que x + y é igual a:
(a) 5 (b) 6 (c) 7 (d) 8 (e) 9
E.30) Para todo (x, y) de Z2
seja
f(x, y) = ( 4x + 2y + 12)2
– 4 (x + y + 4)2
. O
número de soluções em Z2
da equação
f(x, y) = 4 é:
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4
E.31) Um cavalo e um burro caminhavam
juntos, levando sobre os lombos pesadas
cargas. Lamentava-se o cavalo de seu
revoltante fardo ao que obtemperou-lhe o
burro: “De que te queixas? Se eu te tomasse
um saco, minha carga passaria a ser o dobro
da tua. Por outro lado, se eu te desse um saco,
tua carga igualaria a minha.”
Ao todo quantos sacos os animais levavam?
(a) 10 (b) 12 (c) 14 (d) 15 (e) 16
E.32) Tomam-se G exemplares de um livro de
geometria e A exemplares de um livro de
álgebra, com número de páginas maior que os
de geometria, para encher completamente
uma prateleira de uma estante. Além disso, N
dos livros de geometria e D dos livros de
álgebra, também enchem completamente a
mesma prateleira. Finalmente, se I dos livros
de geometria sozinhos enchem completamente
a mesma prateleira e se G, A, N, D, I são
inteiros positivos distintos, o valor de I é:
22
22
22
22
)(
)()(
)()(
AD
NAGD
c
AD
NAGD
e
AD
NAGD
b
AD
NDGA
d
AD
NAGD
a
−
−
−
−
−
+
−
−
+
+
E.33) Um relojoeiro vendeu dois relógios pelo
mesmo preço, ganhando 20% em um deles e
perdendo 20% no outro. Se ele perdeu
R$ 800,00 na transação podemos afirmar que:
(a) O relógio mais barato custou R$ 4.000,00
(b) O relógio mais barato custou R$ 6.000,00
(c) O relógio mais caro custou R$ 10.000,00
(d) O relógio mais caro custou R$ 12.000,00
(e) Os relógios juntos custaram R$ 18.000,00
E.34)Numa corrida de d metros, se A e B
competem sozinhos, A vence B com 20m de
frente; se B e C competem sozinhos B vence C
com 10m de frente; se A e C competem
sozinhos A vence C com 28m de frente. O
valor de d é:
(a) 58 (b) 60 (c) 100 (d) 116 (e) 120
E.35) João percorre uma distância com
velocidade constante, Se aumentasse sua
velocidade em 0,5 km/h percorreria a mesma
distância em
5
4
do tempo e se diminuísse sua
velocidade em 0,5 km/h gastaria mais 2h
30min para percorrer a mesma distância. O
valor da distância, em km, é:
25)(20)(
2
1
17)(15)(
2
1
13)( edcba
E.36) Um omelete feito com 2 ovos e 30
gramas de queijo contém 280 calorias,
enquanto que um omelete feito com 3 ovos e
10 gramas de queijo contém também 280
calorias. O número de calorias contida num ovo
é:
(a) 80 (b) 70 (c) 60 (d) 50 (e) 40
E.37) Tenho o dobro da idade que tu tinhas
quando eu tinha a idade que tu tens. Quando
tu tiveres a idade que tenho teremos juntos
99 anos. Minha idade é:
(a) 40 (b) 42 (c) 44 (d) 46 (e) 48

E.38) 15 meninas saem de um grupo de
meninos e meninas. No grupo restante, ficam
dois meninos para cada menina. Aí então, 45
meninos abandonam o grupo. Ficam então cinco
meninas para cada menino. O número de
meninas no grupo inicial era:
(a) 29 (b) 40 (c) 43 (d) 50 (e) 55
E.39) Quatro números inteiros são tais que
quando adicionados três a três obtemos as
somas 180, 197, 208 e 222. Logo, podemos
afirmar que o maior dos quatro números é:
(a) 77 (b) 83 (c) 89 (d) 91 (e) 95
E.40) O preço de venda de um vestido é tal
que o lucro é 20% deste preço. Aumentando-
se o preço de 20 mil, o lucro passa a ser um
terço do novo preço de venda. O preço de
venda do vestido é:
(a) 100 mil (d) 70 mil
(b) 90 mil (e) 60 mil
(c) 80 mil
E.41) Para um teste de 30 questões, duas
Escolas utilizam critérios distintos de
avaliação. Na primeira, o aluno começa com 30
pontos; ganha 4 pontos por resposta correta e
perde 1 ponto por resposta errada. Na
segunda, o aluno ganha 5 pontos por resposta
correta; não perde nem ganha se errar a
resposta e ganha 2 pontos por questão
deixada sem resposta. Sabendo que 84 pontos
segundo o primeiro critério equivalem a 93
pontos segundo o outro, o número de questões
que um aluno deve deixar em branco para
obter os 93 pontos é:
(a) 6 (b) 9 (c) 11 (d) 14 (e) 15
E.42) Adicionando-se um litro de água a uma
mistura de ácido e água, obtemos uma nova
mistura com 20% de ácido. Quando um litro de
ácido é adicionado à mistura, o resultado é
uma mistura com 33
3
1
% de ácido. O
percentual de ácido na mistura original era:
(a) 21% (b) 22% (c) 23% (d) 24% (e) 25%
E.43) A área de um retângulo permanece
inalterada quando ele fica 2
2
1
mais comprido
e
3
2
mais fino ou quando ele fica 2
2
1
mais
curto e
3
4
mais largo. A área do retângulo é:
(a) 30 (b)
3
80
(c) 24 (d)
2
45
(e) 20
E.44) Uma estudante e seu professor
completaram uma tarefa em dois dias. No
primeiro dia eles fizeram três quintos da
tarefa, tendo a estudante trabalhando
durante seis horas e o professor vinte horas.
No outro dia, para fazer os outros dois
quintos, a estudante trabalhou três horas e o
professor quinze horas. O número de horas
que a estudante levaria para fazer a tarefa
trabalhando sozinha é igual a:
(a) 10 (b) 20 (c) 30 (d) 40 (e) 50
E.45) Renata desce andando uma escada
rolante que se move para cima e conta 150
degraus. Sua irmã Fernanda sobe andando a
mesma escada e conta 75 degraus. Se a
velocidade de Renata (em degraus por unidade
de tempo) é três vezes a velocidade de
Fernanda, o número de degraus visíveis na
escada rolante em qualquer instante é:
(a) 100 (b) 120 (c) 140 (d) 150 (e) 180
E.46) Um menino gosta de brincar numa das
escadas rolantes, em movimento, que leva ao
segundo piso de um Shopping Center. Quando
sobe caminhando ele conta dez degraus e leva
vinte segundos para chegar ao topo. Quando
desce correndo conta cinqüenta degraus e
demora trinta segundos para chegar ao pé da
escada. O número de degraus visíveis na
escada rolante em qualquer instante é:
(a) 20 (b) 22 (c) 24 (d) 26 (e) 28
E.47) Para julgar um fora da lei, foi formado
um júri popular com 500 pessoas. O
julgamento foi feito em duas etapas: na
primeira ele seria julgado culpado ou inocente
e então (se o veredicto fosse culpado) na
segunda etapa seria votada a pena a ser
cumprida. Sabendo que o fora da lei foi
condenado à morte com a seguinte votação:
(1) Não houve abstenções.

(2) A pena de morte obteve 80 votos a mais
que o veredicto culpado.
(3) A soma do número de votos com veredicto
inocente e o número de votos contra a
pena de morte foi igual ao número de
votos a favor da pena de morte.
A diferença entre o número de votos a favor
da pena de morte e o número de votos a favor
da inocência do fora da lei foi:
(a) 110 (b) 120 (c) 130 (d) 140 (e) 150
E.48) Uma Bióloga, desejando calcular o
número de peixes de um lago, captura no dia
primeiro de Maio uma amostra de 60 peixes e
após marcá-los os solta. No dia primeiro de
Setembro ela captura uma amostra de 70
peixes e constata que 3 deles estão marcados.
Para calcular o número de peixes existentes
no lago no dia primeiro de Maio ela supõe que
25% desses não estavam no lago em primeiro
de Setembro (em virtude de morte ou
emigrações); que 40% dos peixes presentes no
lago em primeiro de Setembro não estavam no
lago em primeiro de Maio (em virtude de
nascimentos e imigrações) e que o número de
peixes marcados e não marcados na amostra
do dia primeiro de Setembro sejam
representativos da população total. O número
de peixes que a Bióloga calculou que havia no
lago no dia primeiro de Maio é:
(a) 810 (b) 820 (c) 830 (d) 840 (e) 850
E.49) 400 deputados estavam presentes a
uma sessão na Câmara dos Deputados para a
votação de uma Lei Salarial. Sabe-se que na
primeira votação a nova Lei foi rejeitada.
Entretanto, numa segunda votação na qual
estavam presentes os mesmos 400 deputados
a nova Lei foi aprovada com uma margem de
aprovação igual ao dobro da margem com que
ela tinha sido rejeitada. Sabendo que o
número de votantes a favor da aprovação da
Lei na segunda votação foi
11
12
do número
daqueles que votaram pela rejeição na
primeira votação, quantos deputados a mais
votaram pela aprovação da Lei na segunda
votação?
(a) 75 (b) 60 (c) 50 (d) 45 (e) 20
E.50) Quatro maçãs custam tanto quanto
cinco ameixas; três pêras custam tanto quanto
sete maçãs; oito damascos custam tanto
quanto quinze pêras. Se cinco maçãs são
vendidas por 2 reais, qual o menor número
inteiro de reais que comprará um número igual
de cada um dos quatro tipos de frutas?
(a) 1021 (d) 1024
(b) 1022 (e) 1025
(c) 1023
Gabarito
E.1) 12 e 18
E.2) 6 e 10
E.3) 21/28
E.4) 18 e 20
E.5) 100 e 120
E.6) 98 e 126
E.7) 32
E.8) 10 tábuas
E.9) 4 horas 360 km
E.10) nasceu em 164, morreu em 1727
E.11) C
E.12) B
E.13) (a) 7 pessoas / (b) R$ 8,00
E.14) D
E.15) t = 40 dúzias / m= 20 dúzias / p = 30 dúzias
E.16) A
E.17) A
E.18) A
E.19) D
E.20) E
E.21) C
E.22) B
E.23) A
E.24) A
E.25) A
E.26) E
E.27) D
E.28) C
E.29) C
E.30) C
E.31) B
E.32) D
E.33) D
E.34) C
E.35) B
E.36) A
E.37) C
E.38) B
E.39) C
E.40) A
E.41) B
E.42) E
E.43) E
E.44) C
E.45) B
E.46) D
E.47) D

E.48) D
E.49) B
E.50) A

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