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Matemática
PROFESSOR: NASA SOARES SANTANA
1
 Algumas pessoas gostam de dançar, outras não.
Há quem vibre ao dirigir automóveis e quem
sinta sono na direção. Como tudo na vida, há
quem goste de Matemática e quem não a veja
com bons olhos. Mas, para gostar de alguma
coisa, é preciso conhecê-la. É preciso
experimentá-la e ter a chance de sentir alguma
prazer neste contato.
Luiz Márcio
2
Contagem 3
Quantos 4
Quantos
pares de
sapatos
você tem?
Quantos dias
faltam para o
seu
aniversário?
Quantos!!!
Quantos
irmãos
você tem? Quantos
animais
você tem
em casa?
 Frequentemente nos vemos diante dessa pergunta:
Quantos?
 E ao respondê-la, fazemos contagens e cálculos usando o nosso
sistema de numeração.
5
Tenho
4 anos!
O álbum tem 100
figurinhas , e eu já
tenho 72. Logo,
faltam 28.
 Estamos tão acostumados a contar e a usar o nosso sistema de
numeração, que o fazemos mecanicamente. Mas, afinal, o que é a
contagem? O que é o sistema de numeração decimal? Como ele
funciona?
 É a todas essas perguntas que procuraremos responder ao longo
desta aula.
 Fique atento!
6
UM DAQUI COM UM DE LÁ
 Ao contarmos, por exemplo, as pessoas presentes numa sala,
costumamos apontá-las uma por uma, dizendo: “um, dois, três,
quatro, cinco, seis”
 Exemplo:
7
um
Dois QuatroTrês
Cinco
Seis
 Claro que, para contar corretamente, não podemos esquecer
nenhuma pessoa, nem contar a mesma duas vezes.
8
Exercício
1) Quantos alunos tem na sala?
 Lembre-se: não podemos esquecer de contar nenhuma pessoa,
nem contar a mesma pessoa duas vezes.
9
Correspondência um a um entre as moças
e os rapazes que vão dançar quadrilha.
 Ao associarmos a cada objeto de uma coleção um só objeto de uma
outra coleção, fazemos uma correspondência um a um.
 Exemplo:
10
 Fazemos correspondência um a um sempre que realizamos uma
contagem.
 Há milhares de anos, os pastores controlavam seus rebanhos com
pedrinhas, fazendo a correspondência um a um entre pedras e
ovelhas.
11
A contagem por marcas
 É comum usarmos marcas para fazer uma contagem.
 Certa vez observei o caseiro de um sítio que, para contar os dias
trabalhados, fazia riscos na viga de madeira do telhado com um
pedaço de carvão.
12
 Na contagem por marcas, os sinais podem ser agrupados de modo
mais conveniente para melhor visualizar o resultado.
 Exemplo: compare estes dois registro
13
• No segundo registro, onde as marcas foram agrupadas
de cinco em cinco, é mais fácil visualizar o total treze.
 Provavelmente você já deve ter anotado uma contagem desta
maneira:
14
• Assim é fácil perceber o total dezessete
 Os jogadores de sinuca (ou bilhar) costumam usar um
quadro especial com fileiras de bolinhas para contar e
anotar os pontos ou um quadro pequeno normal.
15
• Nesse quadro, há vinte bolinhas em cada fileira.
 Veja como é feita a contagem.
 No início, todas as bolinhas ficam do lado direito. Cada
vez que um jogador faz um ponto, uma bolinha é
deslocada para a esquerda. Ao completar vinte pontos, é
feito um traço com giz e todas as bolinhas voltam para
a direita, recomeçando a contagem
16
 A contagem por marcas é uma prática muito
antiga. Em escavações arqueológicas foram
encontrados ossos e pedaços de pau com marcas
que, provavelmente, se referiam a contagens.
17
 Na Inglaterra, até o século XVII, era costume
registrar quantidades em barras de madeira
conhecidas por talhas.
 A contagem por marcas revela que, muitas vezes, é preciso
registrar um determinado valor.
 O registro de valores varia muito dependendo da necessidade de
cada um.
 A necessidade de registrar quantidades deu origem à numeração
escrita. Diversas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas
numéricos.
18
Sistemas numéricos
 Sistema Egípcio
19
 Sistema Romano
Sistemas numéricos
 Sistema Chinês
20
 Sistema maia
A contagem por grupos
 Um processo usado por indígenas sul-africanos para contar um
rebanho numeroso, descrito num livro de Paul Karlson:
 Eram necessário alguns homens para realizar a contagem.
 O primeiro homem levantava seus dedos um a um, para cada animal
que passava.
21
 Ao passar o décimo animal, o primeiro homem, em vez de
permanecer com os dez dedos levantados, abaixava os seus dedos
levantados, abaixava os seus, enquanto um segundo homem
entrava em cena levantando um dedo
22
 Para continuar a contagem, o primeiro homem
levantava os seus dedos novamente, um a um, para
cada animal que passava.
23
Aqui já passaram treze bois.
 Ao passarem mais dez animais, o segundo homem levantava mais
um dedo, enquanto o primeiro abaixava os seus. E assim prosseguia
a contagem.
24
 Observe que cada dedo do primeiro homem
representa um animal, enquanto um dedo do
homem representa um grupo de dez.
 Quando o segundo homem já tivesse todos os seus
dedos levantados, então um terceiro homem entrava
em cena.
25
 Nessa situação, um dedo do terceiro homem representa dez grupo
de dez animais, ou seja, cem cabeças.
26
 (Exemplo) suponha que, terminada a contagem do rebanho, a
situação seja esta:
27
• Vamos esquematizar essa situação num quadro,
representando cada animal com uma bolinha:
3° homem 2° homem 1° homem
 No nosso sistema de numeração, a
representação é esta: 28
3° homem 2° homem 1° homem
Centenas Dezenas Unidades
2 3 6
• O rebanho tem, portanto, duzentas e trinta e seis
cabeças.
236 = 200 + 30 + 6 = 2 𝑋 100 + 3 𝑋 30 + 6 𝑋 1
6 unidades
3 grupos de 10
2 grupos de 100
 É curioso notar que, apesar do emprego generalizado do
sistema decimal, ás vezes contamos por grupos de doze. Por
exemplo, contamos laranjas, bananas e ovos agrupando-os em
dúzias. A grossa, que atualmente é pouca conhecida, é
formada por doze grupos de doze, isto é, 144 unidades , ou
seja, uma grossa.
29
O Ábaco
 Para contar, os homens já usaram pedrinhas e seus próprios dedos,
já fizeram riscos no chão, marcas em ossos, pedaços de pau e placas
de barro, e até nós em cordões.
30
Contagem utilizada pelos
Muçulmanos para prática religiosas. Quipo peruano
 Foram criados diversos instrumentos para auxiliar os cálculos.
Dentre eles, o ábaco se destaca pela sua simplicidade e eficiência.
31
Ábaco aberto Ábaco fechado.
Vamos construir um ábaco!
 01 Caixa de ovos vazia
 06 Palitos de churrasco (cuidado com as pontas)
 Miçangas coloridas
 01 Papel colorido
 01 Folha A4
 Tesoura (sem ponta)
 Fita grepe (durex)
 Cola
 Canetinhas
32
Materiais necessários:
 Encape a caixa de ovos com o papel colorido.
33Passo 01
 Espete (cuidado com as pontas, chame o professor) a caixa de ovos
com os palitos de churrasco lado a lado.
34Passo 02
 Coloque em cada palito a quantidade de dez miçangas, é
importante colocar em cada palito cores de miçangas deferentes
para a criança entender melhor a noção de quantidade das
centenas, dezenas e unidades e demais divisões.
35Passo 03
 Faça quadradinhos de papéis com as siglas: U,D,C,UM e
DM.
 Que significam Unidade , Dezena , Centena, Unidade
de Milhar e Dezena de Milhar.
36Passo 04
 O Ábaco pode ter mais divisões (exemplo: centena de milhar= CM),
mas para crianças entenderem os níveis que cada divisão que
representa os números, deve se seguir o conteúdo adequado ao
público escolhido.
37Passo 05
 Pronto! Com o ábaco na mão, vamos por exemplo contar o
número de alunos na sala.
38
Material Dourado 39
 Material Dourado
40
Atividade
41
Vai uma bolinha pra lá
 Desta vez vamos somar 68 com 47.
42
 Pronto. Eis o resultado: 115!
De fato, 68 + 47 = 115
43
68
+47
8 + 7 = 151
511
Atividades
 Efetue as atividades abaixa com a ajuda do ábaco/material dourado,
depois efetue o mesmo cálculo com algarismos, usando a técnica do
“vai um”.
44
5 + 10 = ?
11 + 21 =?
22 + 49 = ?
37 + 78 = ?
81 + 72 = ?
100 + 23 = ?
123 + 208= ?
Zero: uma conquista difícil!
 Estamos tão habituados com o nosso sistema de
numeração, que ele nos parece muito simples e
natural. No entanto, desde os tempos em que foram
realizadas as primeiras contagens até o aparecimento
de nosso sistema numérico, decorreram milhares de
anos.
 Por que tanto tempo?
 Provavelmente a razão dessa demora tenha sido a
dificuldade para se inventar o zero.
 O zero nos é tão familiar que não sentimos a menor
estranheza em raciocinar com ele. Entretanto, nem
sempre foi assim.
45
Você tem algum jacaré em casa?
 Levou muito tempo para que o zero fosse inventado, e
mesmo depois, esse símbolo não foi aceito com facilidade.
Vejamos por quê.
 Os números foram criados a partir de necessidades concretas,
nas diversas contagens que se apresentavam no dia-a-dia. Os
números surgiram como resposta à pergunta: “Quantos”?
 Ora, quem não tem coisa alguma, que necessidade pode ter
de contar o que não tem?
46
 Imagino que não! Assim sendo, também não há necessidade
de contar quantos jacaré você tem.
 Veja que, enquanto se tratasse apenas de responder à
pergunta “ quantos?”, ninguém sentiria falta de um símbolo
para o nada.
 Por outro lado, num sistema de numeração que procura
retratar o que se passa no ábaco, é imprescindível que haja
um símbolo para representar as casas vazias.
 Nesse sentido, podemos dizer que o zero viabilizou, isto é,
tornou possível o sistema de numeração posicional que
usamos hoje.
47
Mudança na escrita dos algarismos
 Antes da invenção da imprensa, no século XV, os livros
eram copiados manualmente, um a um. Como cada
copista tinha a sua caligrafia, as letras e os símbolos
para representar números foram sofrendo muitas
modificações durante todos esses séculos de
copiagem manual.
 Além disso, como o sistema de numeração criado na
Índia foi adotado pelos árabes e passado aos
europeus, é natural que a forma de escrever os dez
algoritmos fosse sofrendo alterações.
48
49
Atividade completar
 1- Escreve em seu caderno o que o número zero (0) significa/
representa?
 2 – Resolva os problemas abaixo no caderno e utilizando ábaco/
cubo mágico.
50
55 + 43 = ?
89+ 101= ?
111 + 102 = ?
105 + 306 = ?
201 + 102 + 2 = ?
• Desafio :
21 – 10 = ?
15 – 4 = ?
Referências Bibliográficas 51
 A numeração indo-arábica, Luiz Marcio Imenes.
 Google Imagens.
 Apredendomatematicanaweb.blogspot.com.br
Obrigado! 52

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Matemática contagem.

  • 2.  Algumas pessoas gostam de dançar, outras não. Há quem vibre ao dirigir automóveis e quem sinta sono na direção. Como tudo na vida, há quem goste de Matemática e quem não a veja com bons olhos. Mas, para gostar de alguma coisa, é preciso conhecê-la. É preciso experimentá-la e ter a chance de sentir alguma prazer neste contato. Luiz Márcio 2
  • 4. Quantos 4 Quantos pares de sapatos você tem? Quantos dias faltam para o seu aniversário? Quantos!!! Quantos irmãos você tem? Quantos animais você tem em casa?
  • 5.  Frequentemente nos vemos diante dessa pergunta: Quantos?  E ao respondê-la, fazemos contagens e cálculos usando o nosso sistema de numeração. 5 Tenho 4 anos! O álbum tem 100 figurinhas , e eu já tenho 72. Logo, faltam 28.
  • 6.  Estamos tão acostumados a contar e a usar o nosso sistema de numeração, que o fazemos mecanicamente. Mas, afinal, o que é a contagem? O que é o sistema de numeração decimal? Como ele funciona?  É a todas essas perguntas que procuraremos responder ao longo desta aula.  Fique atento! 6
  • 7. UM DAQUI COM UM DE LÁ  Ao contarmos, por exemplo, as pessoas presentes numa sala, costumamos apontá-las uma por uma, dizendo: “um, dois, três, quatro, cinco, seis”  Exemplo: 7 um Dois QuatroTrês Cinco Seis
  • 8.  Claro que, para contar corretamente, não podemos esquecer nenhuma pessoa, nem contar a mesma duas vezes. 8
  • 9. Exercício 1) Quantos alunos tem na sala?  Lembre-se: não podemos esquecer de contar nenhuma pessoa, nem contar a mesma pessoa duas vezes. 9
  • 10. Correspondência um a um entre as moças e os rapazes que vão dançar quadrilha.  Ao associarmos a cada objeto de uma coleção um só objeto de uma outra coleção, fazemos uma correspondência um a um.  Exemplo: 10
  • 11.  Fazemos correspondência um a um sempre que realizamos uma contagem.  Há milhares de anos, os pastores controlavam seus rebanhos com pedrinhas, fazendo a correspondência um a um entre pedras e ovelhas. 11
  • 12. A contagem por marcas  É comum usarmos marcas para fazer uma contagem.  Certa vez observei o caseiro de um sítio que, para contar os dias trabalhados, fazia riscos na viga de madeira do telhado com um pedaço de carvão. 12
  • 13.  Na contagem por marcas, os sinais podem ser agrupados de modo mais conveniente para melhor visualizar o resultado.  Exemplo: compare estes dois registro 13 • No segundo registro, onde as marcas foram agrupadas de cinco em cinco, é mais fácil visualizar o total treze.
  • 14.  Provavelmente você já deve ter anotado uma contagem desta maneira: 14 • Assim é fácil perceber o total dezessete
  • 15.  Os jogadores de sinuca (ou bilhar) costumam usar um quadro especial com fileiras de bolinhas para contar e anotar os pontos ou um quadro pequeno normal. 15 • Nesse quadro, há vinte bolinhas em cada fileira.
  • 16.  Veja como é feita a contagem.  No início, todas as bolinhas ficam do lado direito. Cada vez que um jogador faz um ponto, uma bolinha é deslocada para a esquerda. Ao completar vinte pontos, é feito um traço com giz e todas as bolinhas voltam para a direita, recomeçando a contagem 16
  • 17.  A contagem por marcas é uma prática muito antiga. Em escavações arqueológicas foram encontrados ossos e pedaços de pau com marcas que, provavelmente, se referiam a contagens. 17  Na Inglaterra, até o século XVII, era costume registrar quantidades em barras de madeira conhecidas por talhas.
  • 18.  A contagem por marcas revela que, muitas vezes, é preciso registrar um determinado valor.  O registro de valores varia muito dependendo da necessidade de cada um.  A necessidade de registrar quantidades deu origem à numeração escrita. Diversas civilizações antigas criaram seus próprios sistemas numéricos. 18
  • 19. Sistemas numéricos  Sistema Egípcio 19  Sistema Romano
  • 20. Sistemas numéricos  Sistema Chinês 20  Sistema maia
  • 21. A contagem por grupos  Um processo usado por indígenas sul-africanos para contar um rebanho numeroso, descrito num livro de Paul Karlson:  Eram necessário alguns homens para realizar a contagem.  O primeiro homem levantava seus dedos um a um, para cada animal que passava. 21
  • 22.  Ao passar o décimo animal, o primeiro homem, em vez de permanecer com os dez dedos levantados, abaixava os seus dedos levantados, abaixava os seus, enquanto um segundo homem entrava em cena levantando um dedo 22
  • 23.  Para continuar a contagem, o primeiro homem levantava os seus dedos novamente, um a um, para cada animal que passava. 23 Aqui já passaram treze bois.
  • 24.  Ao passarem mais dez animais, o segundo homem levantava mais um dedo, enquanto o primeiro abaixava os seus. E assim prosseguia a contagem. 24
  • 25.  Observe que cada dedo do primeiro homem representa um animal, enquanto um dedo do homem representa um grupo de dez.  Quando o segundo homem já tivesse todos os seus dedos levantados, então um terceiro homem entrava em cena. 25
  • 26.  Nessa situação, um dedo do terceiro homem representa dez grupo de dez animais, ou seja, cem cabeças. 26
  • 27.  (Exemplo) suponha que, terminada a contagem do rebanho, a situação seja esta: 27 • Vamos esquematizar essa situação num quadro, representando cada animal com uma bolinha: 3° homem 2° homem 1° homem
  • 28.  No nosso sistema de numeração, a representação é esta: 28 3° homem 2° homem 1° homem Centenas Dezenas Unidades 2 3 6 • O rebanho tem, portanto, duzentas e trinta e seis cabeças. 236 = 200 + 30 + 6 = 2 𝑋 100 + 3 𝑋 30 + 6 𝑋 1 6 unidades 3 grupos de 10 2 grupos de 100
  • 29.  É curioso notar que, apesar do emprego generalizado do sistema decimal, ás vezes contamos por grupos de doze. Por exemplo, contamos laranjas, bananas e ovos agrupando-os em dúzias. A grossa, que atualmente é pouca conhecida, é formada por doze grupos de doze, isto é, 144 unidades , ou seja, uma grossa. 29
  • 30. O Ábaco  Para contar, os homens já usaram pedrinhas e seus próprios dedos, já fizeram riscos no chão, marcas em ossos, pedaços de pau e placas de barro, e até nós em cordões. 30 Contagem utilizada pelos Muçulmanos para prática religiosas. Quipo peruano
  • 31.  Foram criados diversos instrumentos para auxiliar os cálculos. Dentre eles, o ábaco se destaca pela sua simplicidade e eficiência. 31 Ábaco aberto Ábaco fechado.
  • 32. Vamos construir um ábaco!  01 Caixa de ovos vazia  06 Palitos de churrasco (cuidado com as pontas)  Miçangas coloridas  01 Papel colorido  01 Folha A4  Tesoura (sem ponta)  Fita grepe (durex)  Cola  Canetinhas 32 Materiais necessários:
  • 33.  Encape a caixa de ovos com o papel colorido. 33Passo 01
  • 34.  Espete (cuidado com as pontas, chame o professor) a caixa de ovos com os palitos de churrasco lado a lado. 34Passo 02
  • 35.  Coloque em cada palito a quantidade de dez miçangas, é importante colocar em cada palito cores de miçangas deferentes para a criança entender melhor a noção de quantidade das centenas, dezenas e unidades e demais divisões. 35Passo 03
  • 36.  Faça quadradinhos de papéis com as siglas: U,D,C,UM e DM.  Que significam Unidade , Dezena , Centena, Unidade de Milhar e Dezena de Milhar. 36Passo 04
  • 37.  O Ábaco pode ter mais divisões (exemplo: centena de milhar= CM), mas para crianças entenderem os níveis que cada divisão que representa os números, deve se seguir o conteúdo adequado ao público escolhido. 37Passo 05
  • 38.  Pronto! Com o ábaco na mão, vamos por exemplo contar o número de alunos na sala. 38
  • 42. Vai uma bolinha pra lá  Desta vez vamos somar 68 com 47. 42
  • 43.  Pronto. Eis o resultado: 115! De fato, 68 + 47 = 115 43 68 +47 8 + 7 = 151 511
  • 44. Atividades  Efetue as atividades abaixa com a ajuda do ábaco/material dourado, depois efetue o mesmo cálculo com algarismos, usando a técnica do “vai um”. 44 5 + 10 = ? 11 + 21 =? 22 + 49 = ? 37 + 78 = ? 81 + 72 = ? 100 + 23 = ? 123 + 208= ?
  • 45. Zero: uma conquista difícil!  Estamos tão habituados com o nosso sistema de numeração, que ele nos parece muito simples e natural. No entanto, desde os tempos em que foram realizadas as primeiras contagens até o aparecimento de nosso sistema numérico, decorreram milhares de anos.  Por que tanto tempo?  Provavelmente a razão dessa demora tenha sido a dificuldade para se inventar o zero.  O zero nos é tão familiar que não sentimos a menor estranheza em raciocinar com ele. Entretanto, nem sempre foi assim. 45
  • 46. Você tem algum jacaré em casa?  Levou muito tempo para que o zero fosse inventado, e mesmo depois, esse símbolo não foi aceito com facilidade. Vejamos por quê.  Os números foram criados a partir de necessidades concretas, nas diversas contagens que se apresentavam no dia-a-dia. Os números surgiram como resposta à pergunta: “Quantos”?  Ora, quem não tem coisa alguma, que necessidade pode ter de contar o que não tem? 46
  • 47.  Imagino que não! Assim sendo, também não há necessidade de contar quantos jacaré você tem.  Veja que, enquanto se tratasse apenas de responder à pergunta “ quantos?”, ninguém sentiria falta de um símbolo para o nada.  Por outro lado, num sistema de numeração que procura retratar o que se passa no ábaco, é imprescindível que haja um símbolo para representar as casas vazias.  Nesse sentido, podemos dizer que o zero viabilizou, isto é, tornou possível o sistema de numeração posicional que usamos hoje. 47
  • 48. Mudança na escrita dos algarismos  Antes da invenção da imprensa, no século XV, os livros eram copiados manualmente, um a um. Como cada copista tinha a sua caligrafia, as letras e os símbolos para representar números foram sofrendo muitas modificações durante todos esses séculos de copiagem manual.  Além disso, como o sistema de numeração criado na Índia foi adotado pelos árabes e passado aos europeus, é natural que a forma de escrever os dez algoritmos fosse sofrendo alterações. 48
  • 49. 49
  • 50. Atividade completar  1- Escreve em seu caderno o que o número zero (0) significa/ representa?  2 – Resolva os problemas abaixo no caderno e utilizando ábaco/ cubo mágico. 50 55 + 43 = ? 89+ 101= ? 111 + 102 = ? 105 + 306 = ? 201 + 102 + 2 = ? • Desafio : 21 – 10 = ? 15 – 4 = ?
  • 51. Referências Bibliográficas 51  A numeração indo-arábica, Luiz Marcio Imenes.  Google Imagens.  Apredendomatematicanaweb.blogspot.com.br