últiplos e divisores Parte 1.pdf

1. 1o bimestre
Aula 13
Ensino Fundamental:
Anos Finais
Matemática
Múltiplos e divisores –
Parte 1

2. ● Conceitos de múltiplo e de divisor
de um número natural.
● Conceituar múltiplo natural de um
número natural.
● Conceituar divisor natural de um
número natural (resto igual a zero).

3. Para começar 10 minutos
1. Um paciente precisa tomar dois medicamentos. Um medicamento deve ser tomado a
cada 6 horas, e o outro, a cada 8 horas.
a) Depois de quanto tempo os dois medicamentos serão tomados juntos novamente?
b) Considerando que os dois medicamentos foram tomados juntos, pela primeira vez, às 8h
da manhã, que horas isso acontecerá novamente?
2. Uma professora está organizando 12 pessoas para a apresentação de um trabalho. De
quantas maneiras ela pode formar grupos com a mesma quantidade de pessoas, sem
que nenhuma fique de fora?
Com um colega, proponham uma estratégia para resolver as seguintes situações:

4. Para começar
Resolução
a) Para determinar em quantas horas os dois medicamentos serão tomados juntos novamente
pela primeira vez, precisamos encontrar um múltiplo comum de 6 e 8.
Os múltiplos de 6 são: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, ...
Os múltiplos de 8 são: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...
O menor múltiplo comum de 6 e 8 é 24.
Portanto, os dois medicamentos serão tomados juntos novamente após 24 horas, ou seja, às
8h da manhã do dia seguinte.
b) Os medicamentos foram tomados às 8h da manhã e eles são tomados juntos a cada 1 dia.
Para descobrir o horário que eles serão tomados juntos novamente, basta somar 1 dia às 8h
da manhã. Portanto isso ocorrerá às 8h da manhã do dia seguinte.
2. Para determinar de quantas maneiras a professora pode formar grupos com a mesma
quantidade de pessoas sem que ninguém fique de fora, precisamos encontrar os divisores de
12. Os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Portanto, a professora pode formar grupos de: 1 pessoa (12 grupos); 2 pessoas (6 grupos); 3
pessoas (4 grupos); 4 pessoas (3 grupos); 6 pessoas (2 grupos); 12 pessoas (1 grupo).
Assim, a professora pode formar grupos de 1, 2, 3, 4, 6 ou 12 pessoas, sem deixar
ninguém de fora.

5. Foco no conteúdo
5 minutos
Definição: Um múltiplo de um número natural é todo número obtido pelo produto entre ele e
os números naturais.
Múltiplos de um número natural
Exemplo:
Vamos calcular os múltiplos de 3.
• Quando multiplicamos 3 ∙ 0, obtemos 0.
• Quando multiplicamos 3 ∙ 1, obtemos 3.
• Quando multiplicamos 3 ∙ 2, obtemos 6.
• Quando multiplicamos 3 ∙ 3, obtemos 9.
• Quando multiplicamos 3 ∙ 4, obtemos 12.
Assim, os múltiplos naturais de 3 são: 0, 3, 6, 9, 12, 15, e assim por diante.

6. Foco no conteúdo
5 minutos
Definição: Um divisor de um número natural é todo número que o divide sem deixar resto.
Divisores de um número natural
Exemplo: Vamos calcular os divisores de 12.
• Quando dividimos 12 por 1, o resultado é 12 e o resto é 0.
• Quando dividimos 12 por 2, o resultado é 6 e o resto é 0.
• Quando dividimos 12 por 3, o resultado é 4 e o resto é 0.
• Quando dividimos 12 por 4, o resultado é 3 e o resto é 0.
• Quando dividimos 12 por 6, o resultado é 2 e o resto é 0.
• Quando dividimos 12 por 12, o resultado é 1 e o resto é 0.
Portanto, os divisores de 12 são: 1, 2, 3, 4, 6 e 12.
Dizer que 272 é múltiplo
de 8, é equivalente a
dizer que:
• 8 é divisor de 272;
• 8 é fator de 272;
• 272 é divisível por 8.

7. Pause e responda
Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre
o conceito de múltiplos e resto da divisão?
Um número é múltiplo de outro se
o resto da divisão desse número
pelo outro é maior que zero.
Um número é múltiplo de outro se
o resto da divisão desse número
pelo outro é menor que zero.
Um número é múltiplo de outro se
e somente se o resto da divisão
desse número pelo outro é zero.
Um número é múltiplo de outro se
e somente se o resto da divisão
desse número pelo outro é o
próprio número.

8. Pause e responda
Qual das seguintes afirmações é verdadeira sobre
o conceito de múltiplos e resto da divisão?
Um número é múltiplo de outro
se o resto da divisão desse
número pelo outro é maior que
zero.
Um número é múltiplo de outro
se o resto da divisão desse
número pelo outro é menor que
zero.
Um número é múltiplo de outro
se e somente se o resto da
divisão desse número pelo
outro é zero.
Um número é múltiplo de outro
se e somente se o resto da
divisão desse número pelo
outro é o próprio número.

9. Na prática
1. Você está organizando um torneio de futebol com 36 times. Você quer que todos os
times joguem o mesmo número de partidas e que todos os grupos tenham a mesma
quantidade de times. De quantas maneiras você pode organizar os times em grupos
iguais?
5 minutos
Veja no livro!
Atividade 1

10. Na prática
Veja no livro!
Atividade 1
Para determinar a quantidade de grupos, devemos determinar os divisores de 36, ou seja,
1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,18 e 36.
Cada divisor representa uma maneira de organizar os times em grupos iguais, logo você
pode organizar os times em:
• 1 grupo de 36 times
• 2 grupos de 18 times
• 3 grupos de 12 times
• 4 grupos de 9 times
• 6 grupos de 6 times
• 9 grupos de 4 times
• 12 grupos de 3 times
• 18 grupos de 2 times
• 36 grupos de 1 time
Resolução

11. Na prática
5 minutos
Veja no livro!
Atividade 2
2. Um ônibus sai da estação a cada 15 minutos e outro sai a cada 20 minutos. Ambos saem
juntos às 6h da manhã. Após quanto tempo os dois ônibus sairão juntos novamente?

12. Na prática
Veja no livro!
Atividade 2
Queremos encontrar o próximo horário em que ambos os ônibus sairão juntos novamente.
Para isso, precisamos encontrar o menor tempo que é múltiplo tanto de 15 quanto de 20
minutos.
• Múltiplos de 15: 0, 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, ...
• Múltiplos de 20: 0, 20, 40, 60, 80, 100, 120, ...
Podemos observar que 60 é o primeiro número a aparecer em ambas as listas.
Isso significa que, após 60 minutos, os ônibus sairão juntos novamente. Se ambos saem
às 6h da manhã, então, sairão juntos novamente às 7h da manhã, 8h da manhã, e assim
por diante.
Resolução

13. Na prática
5 minutos
Veja no livro!
Atividade 3
3. Marta tem 72 livros para organizar em prateleiras. Ela quer organizar os livros de maneira
que cada prateleira tenha a mesma quantidade de livros e que nenhuma prateleira fique
vazia. É possível distribuir os livros em:
• 4 prateleiras? Explique.
• 6 prateleiras? Explique.
• 10 prateleiras? Explique.
• 8 prateleiras? Explique.

14. Na prática
Veja no livro!
Atividade 3
Marta tem 72 livros e deseja organizá-los em prateleiras de modo que cada prateleira tenha a
mesma quantidade de livros e nenhuma prateleira fique vazia. Para verificar se ela pode
distribuir os livros em um número específico de prateleiras, precisamos verificar se esse
número é um divisor de 72.
● Sim, pois 72 dividido por 4 é igual a 18, e o resto é 0. Isso significa que 4 é divisor de 72.
● Sim, pois 72 dividido por 6 é igual a 12, e o resto é 0. Isso significa que 6 é divisor de 72.
● Não, pois 72 dividido por 10 é igual a 7, e o resto é 2. Isso significa que 10 não é divisor
de 72.
● Sim, pois 72 dividido por 8 é igual a 9, e o resto é 0. Isso significa que 8 é divisor de 72.
Nesse contexto, Marta conseguiria organizar os livros em 4, 6 ou 8 prateleiras.
Resolução

15. Encerramento
5 minutos
● Como obtemos os múltiplos e os divisores de um número natural?
● Qual é a relação entre múltiplos e divisores?

16. A seguir, você encontra uma seleção de exercícios extras,
que ampliam as possibilidades de prática, de retomada e
aprofundamento do conteúdo estudado.
Aprofundando

17. A
B
C
D
12 é múltiplo de 2, de 3 e de 9.
2, 3 e 7 são divisores de 7.
2, 3 e 6 são divisores de 12.
12 é múltiplo de 24 e de 39.
1. (SARESP, 2005) Indique, dentre estas opções, aquela que
apresenta todas as informações corretas.
Aprofundando
Veja no livro!

18. A
B
C
D
Aprofundando
12 é múltiplo de 2, de 3 e de 9.
2, 3 e 7 são divisores de 7.
2, 3 e 6 são divisores de 12.
12 é múltiplo de 24 e de 39.
Veja no livro!
1. (SARESP, 2005) Indique, dentre estas opções, aquela que
apresenta todas as informações corretas.

19. 1. (SARESP, 2005) Resolução
Aprofundando Veja no livro!
Analisando cada uma das alternativas, temos:
• 12 é múltiplo de 2 e de 3, mas não é de 9, pois, 2 ∙ 6 = 12 𝑒 3 ∙ 4 = 12, contudo não há um
número multiplicado por 9 que resulte em 12. Logo, a alternativa (a) está incorreta.
• Somente 7 e 1 são divisores de 7. Ao dividir 7 por 2 ou por 3, a divisão não é exata. Logo,
a alternativa (b) está incorreta.
• 2, 3 e 6 são divisores de 12, pois, ao dividir o 12 por esses números, a divisão é
exata com resto zero. Logo, a alternativa (c) está correta.
• 12 não pode ser múltiplo de 24 nem de 39 porque é menor do que eles. O único múltiplo
de um número que é menor do que ele mesmo é o 0.

20. Aprofundando Veja no livro!
2. (OBMEP, 2017) Ana, Beatriz,
Carolina, Diana e Elaine, em roda,
brincam de falar números
consecutivos. Ana começa falando 1,
depois Beatriz fala 2 e assim por
diante, conforme ilustrado na figura.
Elas iniciam a brincadeira no sentido
horário e mudam o sentido toda vez
que o número falado for múltiplo de 7.

21. B
C
D
E
A Ana
Eliane
Diana
Carolina
Beatriz
2. (OBMEP, 2017) Qual delas vai falar o número 32?
Aprofundando
Veja no livro!

22. B
C
D
E
A Ana
Eliane
Carolina
Diana
Beatriz
Aprofundando
2. (OBMEP, 2017) Qual delas vai falar o número 32?
Veja no livro!

23. • Usando a figura e lembrando que o sentido da contagem muda aos serem falados os
números 7, 14, 21, 28, podemos verificar que os números a serem falados por Ana e
Beatriz serão:
Ana: 1, 6, 8, 13, 15, 20, 22, 27, 29, ...
Beatriz: 2, 7, 12, 16, 21, 26, 30, ...
• Como a contagem 29, 30, 31, 32 será feita no sentido horário, concluímos que Carolina
dirá o número 31 e Diana falará o número 32.
• Ou, como o sentido muda em Beatriz ao dizer 7, muda em Elaine ao dizer 14, muda em
Beatriz ao dizer 21, muda em Elaine ao dizer 28. Voltando ao sentido horário, Ana dirá 29,
Beatriz, 30, Carolina, 31 e Diana, 32.
2. (OBMEP, 2017) Resolução
Aprofundando
Veja no livro!

24. Referências
ANDRADE, T. M. de. Jornadas: novos caminhos – Matemática, v. 6. São Paulo: Saraiva
Educação, 2022.
LEMOV, D. Aula nota 10 3.0: 63 técnicas para melhorar a gestão da sala de aula. Porto
Alegre: Penso, 2023.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Currículo Paulista, 2019. Disponível em:
https://efape.educacao.sp.gov.br/curriculopaulista/wp-content/uploads/2019/09/curriculo-
paulista-26-07.pdf. Acesso em: 17 nov. 2024.
Identidade visual: imagens © Getty Images

25. Para professores

26. Slide 2
Habilidade: (EF06MA05) Classificar números naturais em primos e compostos,
estabelecer relações entre números, expressas pelos termos “é múltiplo de”, “é divisor
de”, “é fator de”, e estabelecer, por meio de investigações, critérios de divisibilidade por 2,
3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 100 e 1000. (SÃO PAULO, 2019)

27. Slide 9
Dinâmica de condução: Leia com a turma o enunciado da atividade 1 e pergunte aos
estudantes sobre estratégias para resolver a atividade. Assim que o primeiro estudante
sugerir um caminho para resolução, pergunte se alguém pensa diferente. Ajude-os a
construir pelo menos duas estratégias de resolução. Converse que registrar hipóteses e
conferi-las é uma forma de organizar o pensamento.