www.AulasEnsinoMedio.com.br - Matemática - Análise Combinatória

Objetivos da aula
• Princípio Fundamental da Contagem
• Arranjo Simples
• Permutações: simples e com repetição
• Combinação simples

Princípio Fundamental da
Contagem
Vamos imaginar o caso de uma montadora
de carros que dispõe de 5 cores (preto,
vinho, azul, vermelho e prata) para fabricar
3 modelos de carros diferentes (Sapoti, Figo
e Amora).
Para saber quantos tipos de carros
diferentes podem ser fabricados, basta
cruzar cada cor, com cada tipo de carro.
Usando o esquema a seguir fica mais fácil!

Temos 15
diferentes tipos de
carro.

Análise
Combinatória
Princípio Fundamental
da contagem
Evento que depende
de evento anterior

Tente fazer sozinho
1) Se jogarmos uma moeda
para o alto 3 vezes, quantas
sequências diferentes
podemos obter?

Solução
Logo, temos 8 resultados diferentes

Fatorial de um número
natural
Representamos o fatorial de um
número colocando um ponto de
exclamação depois desse número (n!)
Exemplos:
4! 7! 20!

Cálculo do Fatorial
O fatorial de um número natural n é
dado pelo seguinte produto:
n! = n . (n-1) . (n-2) . (n-3). ... . 2.1
Exemplos:
• 4! = 4.3.2.1 = 24
• 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1= 3628800

O fatorial de zero
é igual a 1
0! = 1

Tente fazer sozinho
2) Calcule:
!6!15
!3!17

Solucão
15
34
4.5.6
16.17
!3.4.5.6!.15
!3.15.16.17
!3.4.5.6!.15
!3!.15.16.17
!6!15
!3!17
==
==

Tente fazer sozinho
3) (UEMG) Simplificando a expressão
, obtemos:( )
( )!2
!1!
+
++
n
nn
111
1
)
1
)
−+−− n
n
d)
n
n
c)
n
b
n
n
a

Solução
Letra D
( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( ) 1
1
!12
2!
!12
2!
!12
11!
!12
!1!
!2
!1!
+
=
++
+
=
++
+
=
++
++
=
++
++
=
+
++
nnnn
nn
nnn
nn
nnn
nn
nnn
nnn
n
nn

Arranjo Simples
O arranjo simples acontece quando
fazemos qualquer agrupamento com todos
ou alguns elementos de um conjunto, cuja
ordem dos elementos é considerada.
Exemplo: Quantos números de 3 algarismos
distintos podemos formar com os algarismos
2, 3, 4, 5 e 6.
= 60 números
5 4 3

Sendo:
n  número total de elementos do conjunto
p  quantidade de algarismos pedida
( )!
!
pn
n
A
p
n
−
=
( )
60
!3
!3.4.5.6
!3
!6
!36
!63
6
===
−
=A
Também podemos usar a fórmula de
arranjo simples:

Análise
Combinatória
da contagem
Arranjo
Simples
Definição
Fórmula
Agrupamento de pelo
menos 2 elementos
Importa a ordem
Evento que depende
de evento anterior
( )!
!
pn
n
A
p
n
−
=

Tente fazer sozinho
4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
e 9.
a)Quantos números de 3 algarismos distintos
podemos escrever?
b)Quantos números de 4 algarismos distintos
que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos
que iniciem com 3 e terminem com 8
podemos escrever?

Tente fazer sozinho
4) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
e 9.
a) Quantos números de 3 algarismos distintos
podemos escrever?
b) Quantos números de 4 algarismos distintos
que terminem com 7 podemos escrever?
c) Quantos números de 7 algarismos distintos
que iniciem com 3 e terminem com 8
podemos escrever?

Solução
a) = 504
b) = 336
c) = 840
9 8 7
8 7 6 1
7 6 5 41 1
7
83

Permutação
A permutação é um caso particular do
arranjo simples, pois acontece quando
agrupamos todos os elementos do conjunto
dado.
Exemplo: dados 1, 2, 3, 4, 5, se queremos
formar números de 3 algarismos, temos um
caso de arranjo. Se queremos formar
números de 5 algarismos, temos um caso de
arranjo, particularmente, a permutação.

Permutação Simples
A permutação simples acontece quando
fazemos qualquer agrupamento com todos
os elementos de um conjunto.
Exemplo:
A palavra AMOR apresenta 4 letras e com
elas, podemos formar alguns anagramas:
ROMA – MORA – ROAM - ARMO

Permutação Simples
Para calcular o número total de
anagramas, podemos seguir o seguinte
raciocínio:
= 24
Também podemos usar a fórmula de
permutação simples: Pn = n!
P4 = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
4 3 2 1

Tente fazer sozinho
5) (UF Pel. – RS Adaptado) Tomando como
base a palavra UFPEL, resolva as
seguintes questões:
a)Quantos anagramas podemos formar?
b)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que comece e termine com vogal?
c)Quantos anagramas podemos formar, de
modo que as letras UF apareçam sempre
juntas?

Solução
a) = 120
b) = 12
c) = 6 ; 6 .4 = 24
= 2 ;
2 x 24 = 48
1 3 2 1
4 3 2 15
3 2 1 12
UF
2 1

Tente fazer sozinho
6) (UNIRIO) Uma família formada por 3 adultos
e 2 crianças vai viajar, sendo 2 na frente e 3
atrás. Sabendo-se que apenas 2 pessoas
podem dirigir e que as crianças devem ir atrás
e na janela, o número total de maneiras
diferentes através das quais estas 5 pessoas
podem ser posicionadas, não permitindo as
crianças irem no colo de ninguém, é igual a:
a) 120 b) 96 c) 48 d) 24 e) 8

Solução
= 82 2 2 1 1

bancos
da frente
bancos
de trás

janelas
carona
motorista

Permutação com Repetição
Caso o conjunto dado apresente
elementos repetidos, usaremos a seguinte
fórmula:
Sendo:
n  o número total de elementos
α, β, γ  número que indica a quantidades
de elementos repetidos de cada tipo.
!!!
!,,
γβα
γβα n
Pn
=

Permutação com Repetição
Exemplo: A palavra ARARAQUARA apresenta
um total de 10 letras, sendo 5A, 3R, 1Q e 1U
5040
2.3!5
!5.6.7.8.9.10
2.3!5
!5.6.7.8.9.10
!3!5
!103,5
10
=
===P

Tente fazer sozinho
7) Apresente a quantidade
de anagramas da palavra
MISSISSIPI.

Solução
MISSISSIPI: 10 letras, sendo
1M, 4I, 4S, 1P
6300
2.3.4!4
!4.5.6.7.8.9.10
2.3.4!4
!4.5.6.7.8.9.10
!4!4
!104,4
10
=
===P

Análise
Combinatória
da contagem
Arranjo
Simples
Definição
Fórmula
Agrupamento de pelo
menos 2 elementos
Importa a ordem
Caso
Particular Permutação
Evento que depende
de evento anterior
( )!
!
pn
n
A
p
n
−
=

Arranjo
Simples
Definição
Fórmula
Agrupamento de pelo menos 2 elementos
Importa a ordem
Permutação
Definição
Tipos
Com
repetição
simples
Agrupamento de todos
elementos dados
P!
Caso
Particular
característica
( )!
!
pn
n
A
p
n
−
=
!!!
!,,
γβα
γβα n
Pn
=

Combinação Simples
A combinação simples acontece
quando agrupamos uma quantidade p de
elementos de um conjunto com n elementos,
sem importar a ordem que esses elementos
são escolhidos.
Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoas
dentre as 5 que se candidataram a uma
viagem, não importa a ordem que as 3 serão
escolhidas, pois todas as 3 irão da mesma
forma.

Combinação Simples
Para resolver problemas que ocorrem a
combinação simples, usaremos a fórmula:
Exemplo: Se devemos sortear 3 pessoas
dentre 5.
( )!!
!
pnp
n
C
p
n
−
=
( )
10
2!3
!3.4.5
2!3
!3.4.5
!2!3
!5
!35!3
!53
5
====
−
=C

Tente fazer sozinho
8) (UERJ)Sete diferentes figuras foram criadas para
ilustrar, em grupo de 4 distintas, o Manual do
Candidato do Vestibular Estadual de 2007. Um
desses grupos está apresentado a seguir:
Considere que cada grupo de 4 figuras que
poderia ser formado é distinto de outro somente
quando pelo menos uma de suas figuras for
diferente. Nesse caso, o número total de grupos
distintos entre si que poderiam ser formados para
ilustrar o Manual do Candidato é igual a:

Solução
( )
35
2.3!4
!4.5.6.7
!3!4
!7
!47!4
!74
7
==
==
−
=C

Tente fazer sozinho
9) (IME-RJ) Com 10 espécies de frutas,
quantos copos de salada, contendo 6
espécies diferentes, podem ser feitos?

Solução
( )
210
2.3.4!6
!6.7.8.9.10
!4!6
!10
!610!6
!106
10
==
==
−
=C

Análise
Combinatória
da contagem
Arranjo
Simples
Definição
Fórmula
Combinação
Simples
Definição
Fórmula
Agrupamento de pelo
menos 2 elementos
Importa a ordem
( )!
!
pn
n
A
p
n
−
=
( )!!
!
pnp
n
C
p
n
−
=
Caso
Particular Permutação
Agrupamento de pelo
menos 2 elementos
Importa a ordem
Evento que depende
de evento anterior

Bibliografia
• http://www.colegioweb.com.br/matematica/principio-fun
• http://matematica-online-clc.blogspot.com/2009/07/ana
• Dante, Luiz Roberto: Matemática Contexto &
Aplicações 2 – Ensino Médio, Editora Ática – 3ª
edição. Págs: 308 a 325

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