O documento discute a estrutura e evolução de estrelas, incluindo: 1) Equações que descrevem o equilíbrio hidrostático de estrelas e como massa e raio afetam a estabilidade. 2) Diferentes tipos de estrelas como anãs brancas, estrelas de nêutrons e estrelas supermassivas. 3) Colapso gravitacional de estrelas massivas e a formação possível de buracos negros.

1. ESTRUTURA ESTRELAR
Equilíbrio Estrelar & Colapso

2. NÚCLEO DE UM
QUASAR
 Estrelas de Nêutrons são estrelas frias
compostas de nêutrons e suportada antes
de seu colapso pela pressão da
degenerescência de nêutrons.
 Estrelas supermassiva são gigantes
que são suportadas pela pressão de
radiação. Sua estabilidade é balanceada
por efeitos da Relatividade Geral.
 1960 Descobrimento de Objetos
Quase-estrelares e Pulsares.

3. 1-EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
PARA ESTRUTURA
ESTRELAR

4. EQUAÇÕES DE
EINSTEIN
𝑅 𝑟𝑟 = −4𝜋𝐺 𝜌 − 𝑝 𝐴
𝑅 𝜃𝜃 = −4𝜋𝐺 𝜌 − 𝑝 𝑟2
𝑅𝑡𝑡 = −4𝜋𝐺 𝜌 + 3𝑝 𝐵
Métrica
 𝑔 𝑟𝑟 = 𝐴 𝑟
 𝑔 𝜃𝜃 = 𝑟2
 𝑔 𝜑𝜑 = 𝑟2
sin 𝜃2
 𝑔𝑡𝑡 = −𝐵 𝑟
 𝑔 𝜇ν = 0
EQUILÍBRIO
HIDROSTÁTICO
𝐵′
𝐵
= −
2𝑝′
𝑝 + 𝜌
𝑟
𝐴
′
= 1 − 8𝜋𝐺𝜌𝑟2
𝑈𝑡 = − −𝑔 𝑡𝑡 −1 2 = − 𝐵(𝑟)

5. E Q UA Ç Ã O F U N DA M E N T A L DA A S T R O F Í S I C A
N E W T O N I A N A C O M C O R R E Ç Õ E S DA
R E L A T I V I DA D E G E R A L
 −𝑟2
𝑝′
𝑟 = 𝐺ℳ(𝑟)𝜌(𝑟) 1 +
𝑝(𝑟)
𝜌(𝑟)
1 +
4𝜋𝑟3 𝑝(𝑟)
ℳ(𝑟)
1 −
2𝐺ℳ(𝑟)
𝑟
−1
ℳ′
𝑟 = 4𝜋𝑟2
𝜌(𝑟)
Uma vez encontrados p(𝜌(r)), 𝜌 e ℳ 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 𝐴 𝑒 𝐵

6.  e(r)=𝜌 𝑟 − 𝑚 𝑁 𝑛(𝑟)
 𝑇 = 0
𝑅
4𝜋𝑟2 1 −
2𝐺ℳ 𝑟
𝑟
−1 2
𝑒 𝑟 𝑑𝑟
 𝑉 = 0
𝑅
4𝜋𝑟2 1 − 1 −
2𝐺ℳ 𝑟
𝑟
−1 2
𝜌 𝑟 𝑑𝑟

7. 2-ESTABILIDADE

8. TEOREMA 1
 Uma estrela, consiste de um fluido perfeito com constante
composição química e entropia por nucleons, podem somente passar
de estabilidade à instabilidade com respeito à algum modo normal
radial particular, cujo valor da densidade central para que o equilíbrio
da energia e o numero de nucleons estejam estacionários

9. TEOREMA 2
 Uma configuração particular de estrelas, com entropia por
nucleons e composição química uniformes, irá satisfazer as equações
para o equilíbrio, se e somente se a quantidade M é estacionaria com
respeito a todas variações de 𝜌 que façam N ser inalterado.

10. 3- ESTRELAS NEWTONIANAS:
POLYTROPES & ANÃS BRANCAS

11. POLYTROPES
 A Densidade total é domina pela densidade de massa de
repouso.
 −𝑟2 𝑝′ 𝑟 = 𝐺ℳ(𝑟)𝜌(𝑟)
 𝑒 = 𝜌 − 𝑚 𝑁 𝑛 = γ − 1 −1
𝑝
 0 =
1
γ−1
γ𝑝
𝑑
𝑑𝑟
1
𝑛
+
1
𝑛
𝑑𝑝
𝑑𝑟
𝑝 ∝ 𝑛γ
𝑝 = 𝐾𝜌γ

12. ANÃS BRANCAS
 Estrelas velhas que exauriram seu combustível nuclear e que começaram a esfriar
e contrair
 𝐾𝐹 = ℏ
3𝜋2 𝜌
𝑚 𝑁 𝜇
1
3
 Não podem existir com uma massa menor que o Limite Chandrasekhar (
ℏ
3
2
𝑚 𝑁
2 𝐺
3
2 )
 Para relatividade Geral o valor de GM/R caracteriza uma anã branca que não pode ser
maior que 𝑚 𝑒
𝑚 𝑁.

13. 4-ESTRELAS DE
NÊUTRON

14.  Uma estrela com massa acima do limite de Chandrasekhar no fim da
sua evolução termonuclear e esfriando, sua pressão interna deixa de
suporta-la e ela colapsa. A estrela colapsa para sempre ou esquenta e
explode tornando-se uma supernova. A massa reminiscente fortemente
comprimida numa superdensa estrela de nêutron.
 Se parecem muito com anãs brancas exceto que a degenerescência de
neutros pressiona para troca da massa dos elétrons para massa dos
nêutrons nas formulas. Mas são mais densas e de raio menor.

15.  As semelhanças param quando a massa da estrela de nêutron se
aproxima da massa solar que consiste de nucleons de energia cinética
comparáveis a energia de repouso.
 Outra diferença é que o potencial gravitacional na superfície é da
ordem de 1 sendo necessário levar em conta a relatividade geral.

16. GAS IDEL DE FERMI
 𝜌 = 3𝜌𝑐 0
𝑘 𝐹 𝑚 𝑛
𝑢2
+ 1 1 2
𝑢2
𝑑𝑢
 𝑝 = 𝜌𝑐 0
𝑘 𝐹 𝑚 𝑛
𝑢2
+ 1 −1 2
𝑢4
𝑑𝑢
 Abaixo da densidade crítico vale a analogia com as anãs brancas.
Acima 𝑝 = 𝜌
3
 Limite de Oppenheimer-Volkoff: 𝑀 𝑚𝑎𝑥 = 0,36𝑀ʘ~0,7𝑀ʘ
 𝑅 𝑚𝑎𝑥 = 3,2 𝑅ʘ
𝑝
𝜌𝑐
= 𝐹
𝜌
𝜌𝑐

17. Possui elétrons, nêutrons, prótons e os neutrinos
escapam, mas a neutralidade fica inalterada.
O mínimo da massa de estrelas de nêutron é 0.2
massas solares.
Contaminação de hidrogênio bloqueia
decaimentos de varias partículas.
Possui realmente um crosta cristalina, um interior
superflúido, u poderoso campo magnético e
grande rotação(Pulsares).

18. 5- ESTRELAS
SUPERMASSIVAS

19.  Com massas maiores que 7200 vezes a massa solar, são os possíveis
lugares para produção de energia radiante através do colapso gravitacional.
 Sua estrutura é dada pela equação polytrope newtoniana com 𝛾 = 4/3
 Não é necessário a relatividade geral.
 O Raio é tão grande que podemos negligenciar efeitos da RG e trata-
la como uma polytrope newtoniana.

20. 6-ESTRELAS DE
DENSIDADE UNIFORME

21.  Consiste num fluído incompressível de densidade constante.
 Não existe mas servem para estimar um limite superior ao red shift
gravitacional nas superfície de qualquer estrela.

𝑀𝐺
𝑅
<
4
9
para um red shift 𝑧 =
∆λ
λ
= 𝐵−1 2
− 1 = 1 −

22. 7-CAMPOS ESFERICAMENTE
SIMÉTRICOS E DEPENDENTES
NO TEMPO

23.  𝑑𝜏2
= 𝐵 𝑟, 𝑡 𝑑𝑡2
− 𝐴 𝑟, 𝑡 𝑑𝑟2
− 𝑟2
(𝑑𝜃2
+ sin 𝜃2
𝑑𝜑2
)
 𝑔 𝑟𝑟 = 𝐴
 𝑔 𝜃𝜃 = 𝑟2
 𝑔 𝜑𝜑 = 𝑟2
sin 𝜃2
 𝑔𝑡𝑡 = −𝐵

24. TEOREMA DE BIRKHOFF
 O campo gravitacional fora de um corpo esfericamente simétrico
comporta-se como se toda massa esteja concentrada no centro. Mas
um corpo não estático irá radiar ondas gravitacionais.
 Para o interior oco existe um corolário que para estes casos é
equivalente a um espaço chato de Minkowski.

25. 8- COORDENADAS
COMOVEIS

26.  Uma densa nuvem de partículas em queda livre, carregando um
relógio e um conjuntos fixo de coordenadas. A posição e o tempo da
partícula defini onde um evento ocorre. Uma nuvem de partículas por
onde o intervalo de tempo de cada trajetória de partícula não se cruza.
 Uma métrica comovel caracteriza-se por um tempo próprio de
relógios em queda livre e a trajetória satisfaz a equação de queda livre.
 Os relógios seguem a transformação 𝑡′ = 𝑡 + 𝑓(𝑥) e 𝑥′ = 𝑥

27.  A nova métrica é da forma 𝑔𝑡𝑖
′
= 𝑔𝑡𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥 𝑖 mas podemos escolher
f de tal modo que se cancele a métrica.
 Isso é possível tomando t=0 quando todas as partículas estão em
repouso.
 Sistemas de coordenadas gaussianas e normal gaussianas.
 Se a métrica for esfericamente simétrica .

28. 9-COLAPSO
GRAVITACIONAL

29.  Uma estrela massiva sempre ejetará matéria até o fim de sua evolução
termonuclear. Essa massa perdida acima do limite de Chandrasekhar e Oppenheimer-
Volkoff. Se não ela colapsa.
 Simetricamente esférico colapso de poeira com negligência de pressão. A poeira
entra em queda livre, e daí a importância de uma coordenada comovel.

30.  𝑑𝜏2
= 𝑑𝑡2
− 𝑈 𝑟, 𝑡 𝑑𝑟2
− 𝑉 𝑟, 𝑡 𝑑𝜃2
+ sin 𝜃2
𝑑𝜑2
 𝑇 𝜇ν
= 𝜌𝑈 𝜇
𝑈ν
 Usando uma solução de variáveis independentes podemos achar U
e V nas equações de Einstein
 𝑈 = 𝑅2
𝑡 𝑓 𝑟 e 𝑉 = 𝑅2
(𝑡)𝑟2
 𝑑𝜏2 = 𝑑𝑡2 − 𝑅 𝑡 2 𝑑𝑟2
1−𝑘𝑟2 − 𝑟2 𝑑𝜃2 + 𝑟2 sin 𝜃2 𝑑𝜑2

31.  Um fluido esférico com densidade inicial e zero de pressão irá
colapsar do repouso para um estado de infinita densidade energia
própria dentro de um tempo T.
 O colapso para um raio de Schwarzschild portanto aparece para
um observador de fora tomando um tempo infinito, e o colapso para
R=0 não é observado para alguém de fora.

32.  Embora não seja conhecido se uma estrela massiva real desenvolve
uma armadilha superficial, ou simplesmente explode em fragmentos
com massa pequena o bastante para formar estrelas de nêutrons e
anãs brancas estáveis.