1. O documento discute o dimensionamento de eixos, especificamente para engrenagens. Ele explica como calcular as tensões nos eixos considerando fatores como carga, material, tratamentos térmicos e geometria. 2. É apresentada uma tabela com coeficientes de segurança para diferentes situações de teste de materiais e condições ambientais. 3. A fadiga em eixos devido a cargas repetidas é analisada, com gráficos mostrando como a geometria e acabamento de superfície afetam a resistência à fad

1. 1
DIMENSIONAMENTO DE EIXOS
Os eixos de máquinas submetidos á esforços de flexão e torção como ocorre com eixos de
árvores de engrenagens devem ser dimensionados considerando-se as tensões atuantes sobre aquela
peça com aquele material escolhido e sob as condições de utilização previstas.
Tensões
As tensões normais são causadas por esforços de tração, compressão ou flexão, são simbolizas
pela letra grega σ (sigma), sendo obtidas dos ensaios de tração e flexão do material, já as tensões
cisalhantes, simbolizadas pela letra grega δ (tau), resultam de esforços cortantes e de torção e
normalmente são obtidas dos ensaios de torção do material.
Os materiais considerados dúcteis são aqueles que possuem alongamento maior que 5%, tais
como aços carbono, alumínio, latão, etc. e os materiais considerados frágeis são aqueles com
alongamento abaixo de 5%, tais como; ferro fundido, bronze, baquelita, vidro, etc.
TABELA 3.1 – PROPRIEDADES DE MATERIAIS DÚCTEIS
Material Condição T. Escoam.
σe 0,2% (MPa)
T. Res. Tração
σr (MPa)
Alongamento
(%)
Dureza
HB
Aço ABNT 1020 Laminado a Quente 207 379 25 111
Laminado a Frio 393 469 15 131
Aço ABNT 1045 Laminado a Quente 310 565 16 163
Laminado a Frio 531 627 12 179
Aço ABNT 1060 Laminado a Quente 372 676 18 200
Normalizado 899 °c 421 772 26 229
Aço ABNT 4140 Recozido 788 °c 421 655 18 197
Normalizado 899 °c 655 1020 26 302
AÇO INOX 316 Recozido 276 621 50 85 HRB
Alumínio
ABNT 1100
Laminado a Frio 152 165 5 44
Fonte: Norton, R., Projeto de Máquinas, 2004.
Coeficiente de segurança
Para encontrarem-se quais as tensões admissíveis para uma peça, em uma determinada
situação precisa-se considerar, além dos tipos de esforços estáticos as quais a peça a ser dimensionada
estará submetida, onde as forças estarão atuando, os tipos de apoios que a peça possui e também o
Coeficiente de segurança.
Para encontrar-se o Coeficiente de segurança, fs, devem-se considerar os Fatores que
influenciam a segurança do perfeito funcionamento da peça. Alguns dos fatores são:
Dados das propriedades dos materiais
Condições Ambientais
Modelos analíticos para forças e tensões

2. 2
Tabela 3.2 – COEFICIENTES DE SEGURANÇA SEGUNDO NORTON (2004)
Dados das propriedades dos materiais fs – Coef. Segurança
O material já foi testado plenamente 1,3
O material foi testado 2
O material foi pouco testado 3
O material ainda não foi testado 5 ou mais
Condições Ambientais fs – Coef. Segurança
As condições em que o material foi testado são idênticas ás condições em
que será utilizado.
1,3
As condições em que o material foi testado são próximas ás condições em
que será utilizado.
2
As condições em que o material será utilizado são diferentes das condições
em que foi testado.
3
As condições em que o material será utilizado é desafiador 5 ou mais
Modelos analíticos para forças e tensões fs – Coef. Segurança
Os modelos já foram testados. 1,3
Os modelos são muito próximos da realidade. 2
Os modelos são apenas uma aproximação. 3
Os modelos são apenas esquemáticos. 5 ou mais
As tensões admissíveis para uma determinada peça, feita de um material específico e sujeitas a
cargas estáticas, podem ser obtidas a partir da seguinte equação:
fs
e
adm

 
Eq. 3.1 fs
e
adm

 
Eq. 3.2
Onde:
σadm - Tensão admissível para tensões normais
σe - Tensão de escoamento para tensões normais
ƒs - Coeficiente de segurança (adimensional)
δadm - Tensão admissível para tensões cisalhantes
δe - Tensão de escoamento para tensões cisalhantes
Tensões combinadas
Os esforços de tração, compressão e flexão geram tensões normais, enquanto que a torção e
corte geram tensões de cisalhamento. No caso específico do dimensionamento de eixos para
engrenagens como temos ambas as tensões combinadas precisa-se dimensioná-las considerando-se
esta combinação de tensões.
Fadiga
A fadiga é causada por esforços repetidos por certo número de vezes, denominados de ciclos.
Estes esforços podem ser do tipo alternativo, oscilante ou pulsante.

3. 3
Quando esta quantidade de ciclos ultrapassa certo valor, diz-se que há uma tendência a uma
vida infinita. Este valor geralmente é acima de 10
6
ciclos.
O tempo de vida das peças submetidas a cargas variáveis que geram fadiga no material
depende diretamente da forma geométrica da peça e dos detalhes desta peça, por exemplo;
acabamento superficial, rasgo de chaveta, entalhes, furos, diferença de diâmetros, e o raio entre eles,
etc. Pois, causam concentração de tensões elevadas nas proximidades dos detalhes e assim reduzem
drasticamente o tempo de vida da peça.
Figura 3.1 - Gráfico da variação do limite resistência á fadiga por flexão, N, de eixos em aços carbono
com diâmetros d = 10 mm, em função do limite de resistência á tração, r, do material para eixos com
ressalto e uma curva de eixo com entalhe em “V” . Fonte: Niemann, G., 1971, (modificado).
Entenda-se como ressalto a diferença entre diâmetros de um mesmo eixo, com raio de concordância.
As curvas do gráfico anterior representam:
A – Eixo com ressalto onde D/d = 2 e Y = R/d =0,5
B – Eixo com ressalto onde Y = R/d =0,3
C – Eixo com ressalto onde Y = R/d =0,2
Eixo com entalhe em “V” com 1 mm de profundidade
D – Eixo com ressalto onde Y = R/d =0,1
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
LIMITEDEFADIGAÁFLEXÃO(MPa).
RESISTÊNCIA Á TRAÇÃO (MPa)
RELAÇÃO DO LIMITE DE FADIGA EM FUNÇÃO DA RESISTÊNCIA Á TRAÇÃO PARA
EIXOS COM RESSALTO
A
B
C
D
E
F
ENTALHE V
A
B
C
Entalhe V
D
E
F

4. 4
E – Eixo com ressalto onde Y = R/d =0,05
F – Eixo com ressalto onde Y = R/d =0
Figura 3.2 - Gráfico da variação do limite resistência á fadiga por flexão, N ,de eixos em aços carbono
com diâmetros d = 10 mm, em função do limite de resistência á tração,r , e do acabamento superficial.
Fonte: Niemann, G., 1971, (modificado).
Segundo Lehr, o aumento de diâmetros de eixos lisos de aço acarreta reduções das respectivas
resistências á fadiga por flexão e por torção, as quais assumem valores proporcionais aos coeficientes
b0 para a equação 3.8.
TABELA 3.3 – Coeficiente de correção do tamanho do eixo – b0
Diâmetro d (mm) 10 20 30 50 100 200 250 300
Coeficiente b0 1 0,965 0,928 0,888 0,843 0,829 0,824 0,824
Fonte: Niemann, G. 1971, (modificada).
Com o eixo da árvore de engrenagens em rotação se apresentam diferentes estados de carga
por este motivo deve-se ter em conta o coeficiente de atuação, α0.
Segundo Bach, o coeficiente de atuação α0 depende do tipo de esforço causador de fadiga, ou seja,
alternativo, pulsante ou oscilante.
RELAÇÃO ENTRE A FADIGA E A RESISTÊNCIA Á TRAÇÃO EM FUNÇÃO DO
ACABAMENTO SUPERFICIAL DE EIXOS LISOS
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
550
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
1100
1200
1300
RESISTÊNCIA Á TRAÇÃO (MPa)
LIMITEDEFADIGAÁFLEXÃO(MPa)
POLIDO
RETIFICADO
DESBASTADO

5. 5















oscilante
aalternativpara7,1...5,1
pulsante
aalternativpara2,1...1
t
f
t
f
adm
adm
0







Eq. 3.3
Os esforços de flexão rotativa como ocorrem nos eixos de engrenagens são alternados entre
tração e compressão. Já os esforços de torção em eixos de engrenagens são oscilantes.
Figura 3.3 – Ciclo Alternativo
Figura 3.4 – Ciclo Pulsante
Figura 3.5 – Ciclo Variado ou Oscilante
As tensões geradas por forças que variam durante o tempo causam a fadiga do material e
consequentemente a ruptura da peça com tensões bem abaixo das tensões causadas em condição
Carga +
Carga -
t
Tração
Compressão
Carga +
t
Carga +
t

6. 6
estática. Isto impõe a utilização de mais um coeficiente de segurança, C, que represente a condição de
aplicação específica da peça no equipamento e garanta adequadamente o funcionamento com o mínimo
de perdas materiais e não haja risco de ferimentos ou perdas humanas.
Os tratamentos térmicos dos materiais, como a têmpera, aumentam a resistência á fadiga do
material, mas, também torna este material mais frágil e suscetível a ruptura abrupta da peça. Enquanto
que um material recozido, o aço, por exemplo, deforma mais facilmente, diminuindo a possibilidade de
ruptura abrupta.
Fator de segurança em função do risco na aplicação
Quando as peças são submetidas a cargas dinâmicas ou de choque não previstas no projeto
pode haver deformação permanente ou ruptura abrupta da peça, o que normalmente não é desejável.
Isto impõe a utilização de um fator de segurança C. que represente a condição de aplicação específica
da peça no equipamento e garanta adequadamente o funcionamento com a mínima possibilidade de
perdas materiais e não haja risco de ferimentos ou perdas humanas.
A utilização de valores elevados de fatores de segurança aumenta a quantidade de material ou materiais
mais caros e consequentemente aumentam o custo das máquinas, devendo, portanto serem utilizados
de maneira criteriosa.
TABELA – Fator de risco em função dos riscos na aplicação, C.
Possibilidade de risco na aplicação Fator C
Pequeno risco de prejuízo material 1
Com médio prejuízo material 1,5
Com médio prejuízo material e/ou risco de acidentes 3
Com grande prejuízo material, risco de graves acidentes e/ou perdas humanas 5 ou mais
Dimensionamento de eixos para engrenagens
Os esforços das forças tangenciais, radiais e axiais das engrenagens causam flexão e torção
nos eixos onde estão as engrenagens e estes momentos geram tensões de flexão e torção.
Para o dimensionamento de eixos de engrenagens ou de árvore de engrenagem tem-se que
considerar o maior valor de momento fletor devido á forças tangenciais e radiais existentes no eixo, bem
como o momento torçor naquele trecho do eixo.
Dos momentos fletores máximos pode-se obter o momento resultante MR, pela equação que
segue.
2
r
2
tR MfMfM 
Eq. 3.4
E da combinação do momento fletor resultante MR e o momento torçor Mt, obtém-se o Momento
Ideal, Mi, dado pela equação seguinte.

7. 7
2
02
Ri Mt
2
MM 







Eq. 3.5
Para dimensionamento de engrenagens tem-se a situação em que o coeficiente de atuação, 0
é:
7,1...5,1
adm
adm
0 



Eq. 3.3 (repetida)
Para encontrar a tensão admissível á fadiga para eixos confeccionados em aço pode-se
proceder da seguinte forma:
Determina-se a forma geométrica e acabamento superficial do eixo e o material com o qual se
pretende fabricar a peça e consultando-se a tabela 3.1 com as propriedades dos materiais dúcteis,
encontra-se o valor de tensão de resistência, σr para o material desejado e no gráfico da figura 3.1 ou
3.2, encontra-se o valor limite de resistência á fadiga do material, σN.
Com esta tensão, o Coeficiente de segurança, fs, da tabela 3.2 e o fator C de aplicação da tabela
3.4, pode-se determinar a tensão admissível, σNadm, com a equação a seguir.
EQ. 3.6
Para dimensionar o diâmetro do eixo adequadamente utilizam-se as seguintes equações:
√ EQ. 3.7
EQ. 3.8
Onde:
d é o diâmetro do eixo, em metros, antes da correção do tamanho.
b é o fator de forma do eixo, geralmente um pouco maior que 1 para eixos maciços e que pode
ser obtido mais exatamente pela equação a seguir, segundo Fratschner (1969).
df é o diâmetro final, em metros, que será utilizado na fabricação da peça.
b0 é o coeficiente que corrige o diâmetro para resistir a fadiga, obtido da tabela 3.3.
√ ( ) EQ. 3.9
( ⁄ )
(Apenas para eixos vazados) EQ. 3.9.1
Onde:
di é o diâmetro interno do eixo, em metros, antes da correção do tamanho.
D é o diâmetro externo do eixo, em metros, antes da correção do tamanho.

8. 8
Exemplo:
Dimensionamento de um eixo de redutor de engrenagens para elevação de cargas, sem
choques, em aço ABNT 1045 - Laminado a quente, sem ressalto e acabamento retificado, mas em um
ambiente onde poderão estar passando pessoas sob as cargas portanto, tem-se:
Consultando a tabela 3.1 – o limite de resistência σr = 565 MPa.
Consultando o gráfico da figura 3.2 encontra-se, σN = 230 MPa.
Sabendo-se que o material realmente utilizado já foi testado plenamente tem-se, fs = 1,3.
E o fator de aplicação deve ser, C = 5.
Substituindo os valores na equação 3.6, tem-se:
Portanto a tensão admissível para fadiga é 35,4 MPa.
Supondo-se que MR é 18 Nm e Mt é 28,2 Nm e o coeficiente de atuação, 0 = 1,7 tem-se para
o fator de forma, b:
√ ( )
O momento ideal, Mi em Nm, obtido pela equação 3.5:
NmMi 302,28
2
7,1
18
2
2







O diâmetro do eixo é obtido por:
√
Consultando-se a tabela 3.3 encontra-se o coeficiente de correção do eixo e o diâmetro mínimo
final do eixo será determinado por:
TABELA 3.3 (Repetida) – Coeficiente de correção do tamanho do eixo – b0
Diâmetro d (mm) 10 20 30 50 100 200 250 300
Coeficiente b0 1 0,965 0,928 0,888 0,843 0,829 0,824 0,824
Fonte: Lehr apud Niemann, G. 1971, (modificada).
Portanto, o diâmetro mínimo do eixo é 22,2 mm. Para a escolha do rolamento adequado á utilizar
é necessário considerar este diâmetro mínimo.

9. 9
Exemplo 3.1 – No dimensionamento de um eixo para engrenagens os momentos fletores podem
ser obtidos conforme o procedimento descrito abaixo:
Sabendo-se que:
Ft = Rbt +Rct temos:
N7,166Rct
120
1000.20
120
Ft.20
Rct


Portanto:
Rbt = Ft – Rct = 1000 – 166,7
Rbt = 833,3 N
Temos então o momento fletor:
Rbt . 20 = Rct . 100
833,3 . 0,02 = 166,7 . 0,1
Mft = 16,67 Nm
Neste caso específico o Momento
Torçor Mt, existe apenas no trecho entre
a engrenagem e o mancal C, é o mesmo em toda a extensão do trecho.
Para determinar o momento fletor devido a força radial Fr, toma-se o mesmo procedimento.
E tem-se então: Fr = Rbe + Rce como Fr = 364 N
N7,60Rce
120
364.20
120
Fr.20
Rce


Então:
Rbe = Fr – Rce = 364 – 60,7 = 303,3 N
Rbe = 303,3 N
O momento fletor é:
Mfr = Rbe.0,02 = Rce.0,1 = 6,07 Nm
B C
20 mm 100 mm
Ft = 1000 N
Fr = 364 N
Ft
Rbt Rct
V
Mft
Mt

10. 10
Mfr = 6,07 Nm
Portanto o Momento Resultante é:
Nm8,17M
07,67,16M
R
22
R


Supondo que o Momento Torçor, Mt, seja 11,7 Nm, tem-se:
Nm8,20M
7,11
2
7,1
8,17M
i
22
i


Neste momento tem-se que considerar o material que a utilizar, as características geométricas
do eixo, o coeficiente de segurança e as tensões máximas que este material pode suportar sob condição
de fadiga.
Os eixos para engrenagens podem ser maciços ou tubulares sendo que, os eixos tubulares com
50% do peso de um eixo maciço consegue suportar até 94% dos esforços.
Dimensionamento de um eixo de redutor de engrenagens para um triturador de barras, com
choques, em aço ABNT 1060 - Laminado a quente, com ressalto e acabamento retificado, em um
ambiente onde provavelmente não haverão pessoas, portanto tem-se:
Consultando a tabela 3.1 – o limite de resistência σr = 676 MPa.
Consultando o gráfico da figura 3.2 encontra-se, σN ≈ 280 MPa, entretanto haverá um ressalto
para encosto de rolamento e estima-se que Y = R/d seja de aproximadamente 0,1, portanto σN ≈ 180
MPa.
Sabendo-se que o material realmente utilizado já foi testado plenamente tem-se, fs = 1,3.
Considerando-se o pequeno prejuízo material, ausência de risco de acidentes, mas levando-se
em conta os impactos do sistema durante o trabalho, o fator de aplicação deve ser, C = 3.
Substituindo os valores na equação 3.6, tem-se:
Portanto a tensão admissível para fadiga é 46,2 MPa.
Os valores obtidos são MR é 17,8 Nm e Mt é 11,7 Nm e o coeficiente de atuação, 0 = 1,7 tem-
se para o fator de forma, b:
√ ( )
O momento ideal, Mi em Nm, obtido pela equação 3.5:

11. 11
NmMi 8,207,11
2
7,1
8,17
2
2







O diâmetro do eixo é obtido por:
√
Consultando-se a tabela 3.3 encontra-se o coeficiente de correção do eixo por interpolação e o
diâmetro mínimo final do eixo será determinado por:
TABELA 3.3 (Repetida) – Coeficiente de correção do tamanho do eixo – b0
Diâmetro d (mm) 10 20 30 50 100 200 250 300
Coeficiente b0 1 0,965 0,928 0,888 0,843 0,829 0,824 0,824
Fonte: Lehr apud Niemann, G. 1971, (modificada).
Portanto, o diâmetro mínimo do eixo é 18,6 mm. Para a escolha do rolamento adequado á utilizar
é necessário considerar este diâmetro mínimo. O rolamento deve suportar as cargas estáticas e
dinâmicas, bem como, ter o tempo de vida mínimo para o serviço á que se destina.