O documento descreve quatro modelos de probabilidades discretas: 1) Modelo uniforme, onde cada valor tem probabilidade igual de 1/k; 2) Modelo de Bernoulli, com probabilidade de sucesso p e fracasso q=1-p; 3) Modelo binomial, generalização de Bernoulli para n tentativas com probabilidade de sucesso p; 4) Modelo de Poisson, aproximação do binomial quando n é grande e p pequeno.

1. Modelos de Probabilidades de Variáveis Aleatórias Discretas.
Prof. João Marcelo
1. Modelo Uniforme de Probabilidades
Seja X uma variável aleatória discreta com k valores inteiros consecutivos 𝑎, 𝑎 + 1, 𝑎 +
2, … , 𝑏. Afirmamos que X segue um modelo uniforme discreto de probabilidades, se atribui
a mesma probabilidade
1
𝑘
a cada um desses k valores, isto é, sua função de probabilidades
é definida por; 𝑓(𝑥) =
1
𝑘
.
𝐴 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝜇 = 𝐸(𝑋) =
𝑎+𝑏
2
e a 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜎2
= 𝑉𝑎𝑟(𝑋) =
(𝑏−𝑎+1)2−1
12
2. Modelo Bernoulli de Probabilidades
Consideremos uma única tentativa de um experimento aleatório, em que temos dois
resultados, sucesso ou fracasso. Seja X a variável que representa o número de sucesso,
então X assume dois valores 0 ou 1.
A probabilidade de sucesso =𝑃(𝑋 = 1) = 𝑝
A probabilidade de fracasso = 𝑃(𝑋 = 0) = 𝑞 , então 𝑝 + 𝑞 = 1
Sua função de probabilidades é definida por, 𝑓(𝑥) = 𝑝 𝑥
. 𝑞1−𝑥
𝐴 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑝 e a 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜎2
= 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑝𝑞
3. Modelo Binomial de Probabilidades
Trata-se do modelo Bernoulli quando são realizadas n tentativas ( repetições do mesmo
experimento). Seja X o número de sucessos.
Sua função de probabilidades é definida por, 𝑓(𝑥) =
𝑛
𝑥
.𝑝 𝑥
. 𝑞 𝑛−𝑥
Assim a variável X tem distribuição Binomial com parâmetros n e p, pela notação:
𝑋: 𝐵(𝑛, 𝑝) 𝑐𝑜𝑚 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 e a 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜎2
= 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑛𝑝𝑞.
4. Modelo Poisson de Probabilidades
É uma aproximação que se faz do modelo Binomial quando n é muito grande, ou seja 𝑛→∞
e p muito pequeno, 𝑝→0. Se 𝑋: 𝐵(𝑛, 𝑝), então lim 𝑛→∞
𝑛
𝑥
𝑝 𝑥
𝑞 𝑛−𝑥
=
𝑒−𝜆 .𝜆 𝑥
𝑥!
, então a função
de probabilidades de Poisson é dada por 𝑓(𝑥) =
𝑒−𝜆 .𝜆 𝑥
𝑥!
, 𝑐𝑜𝑚 𝑛. 𝑝 = 𝜆.
𝐴 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝜇 = 𝐸(𝑋) = 𝜆 e a 𝑉𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝜎2
= 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜆.