Livro Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas-ponte.pdf

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1—r
170
Daniel de Lima Araújo
Projeto de ponte em concreto
armado com duas longarinas
Atualizado pela NBR 7188:2013
2a Edição
Edttora
UFG
A

Universidade Federal de Goiás
Reitor
Edward Madureira Brasil
UFG
Vtce-Reitora
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Pró-Reitor de Pós-Graduação
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Pró-Reitor de Administração e Finanças
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Everton Wirbitzki da Silveira
Daniel de Lima Araújo
Projeto de ponte em concreto
armado com duas longarinas
Atualizado pela NBR 7188:2013
Pró-Reitora de Assuntos Estudantis
Maísa Miralva da Silva
2a
Edição
Conselho Editorial da Editora UFG
Editora
UFG Coordenação Editorial —Conselho Editorial
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Antonio Carlos Novaes (secretário)
Antonio Corbacho Quintela (presidente)
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Éric de Souza Gil
Heleno Godói de Sousa
Marco Antônio de Menezes
Igor Kopcak
Marcelina Gorni
Maria José dos Santos
Maria Meire de Carvalho Ferreira
Marta Cristina Colozza Bianchi
Vânia Dolores Estevam de Oliveira
Editora
UFG

© Daniel de Lima Araújo, 2018
Direitos reservados para esta edição:
Editora UFG
Revisão
Maria Lucia Kons
Projeto Gráfico
Alanna Oliva
Editoração eletrónica
Roland E. Júnior
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
A658p Araújo, Daniel de Lima
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas :
atualizado pela NBR 7188:2013 / Daniel de Lima Araújo.
- 2a
ed. -Goiânia : Editora UFG, 2018.
240 p. : il.
Inclui referências
ISBN: 978-85-7274-492-8
1. Engenharia civil. 2. Planejamento de construção civil.
3. Construção de pontes. I. Título.
CDU 624.01.07::624.21.8
Para Roberta, minha amada esposa,
e Lucas, meu querido filho

Sumário
Apresentação
1. Elementos para elaboração do projeto
1.1 Elementos geométricos
1.1.1 Elementos geométricos das pontes
1.2 Elementos topográficos
1.3 Elementos hidrológicos
1.4 Elementos geotécnicos
1.5 Elementos acessórios
1.5.1 Existência de elementos agressivos
1.5.2 Informações de interesse construtivo ou económico
1.6 Elementos normativos
1.7 Algumas indicações para projeto de ponte sobre rios .
2. Superestrutura
2.1 Características geométricas da superestrutura
2.2 Idealização para o cálculo das solicitações
2.3 Dimensionamento da viga principal
2.3.1 Solicitações decorrentes do peso próprio
2.3.2 Solicitações decorrentes da carga móvel
2.3.3 Envoltória de solicitações em serviço
2.3.4 Dimensionamento das seções transversais
2.4 Laje do tabuleiro
11
>•••••
••••
•••••••
••••••
•
13
>
••••••
••••••••••••••
••
14
16
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30
30
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35
41
42
42
46
56
57
104

3.4.2 Cálculo das forças longitudinais no tabuleiro
3.4.3 Carga de vento
3.4.4 Distribuição, entre os pilares,das forças longitudinais no
tabuleiro
3.4.5. Distribuição, entre os pilares, das forças transversais no
tabuleiro
3.4.6 Esforços nos pilares em decorrência da retração e da variação de
temperatura
3.4.7 Força nos pilares provenientes do empuxo de água
3.4.8 Força nos pilares decorrentes do empuxo de terra..
3.4.9 Resumo dos esforços atuantes no topo dos pilares provocados
pela superestrutura
3.5 Dimensionamento dos pilares da ponte
3.5.1. Combinação de esforços
3.6 Aparelho de apoio
3.6.1 Dimensões das rótulas
3.6.2 Rotações admissíveis das rótulas
3.6.3 Esforços transversais aplicados na rótula
3.6.4 Armaduras das rótulas de concreto
173
2.4.1 Procedimento das superfícies de influência
2.4.2 Tabelas de Rúsch
2.4.3 Consideração da continuidade das lajes
2.4.4 Dimensionamento da laje da ponte sobre o rio Pau Seco
2.5 Transversinas
2.6 Alas
2.7 Vigas de fechamento
2.7.1 Dimensionamento como viga
2.7.2 Dimensionamento da viga de fechamento como laje
106
175
108
112
182
114
132
184
135
140
186
140
187
145
188
151
3. Mesoestrutura
3.1 Ações atuantes nos pilares
3.2 Solicitações nos pilares de pontes com sistema estrutural em viga
contínua
3.2.1 Distribuição, entre os pilares, das forças longitudinais que
atuam na superestrutura
3.2.2 Rigidez de pilares sujeitos a uma força horizontal aplicada na
extremidade superior
3.2.3 Rigidez de pilares com apoio elastomérico na extremidade
superior
3.2.4 Rigidez de pilares biengastados
3.2.5 Influência da posição das cargas sobre o tabuleiro na
distribuição das forças longitudinais
3.2.6 Distribuição, entre os pilares, das forças transversais que atuam
na superestrutura
3.2.7 Cálculo dos esforços decorrentes de deformações internas do
estrado
3.2.8 Empuxo de terra nos pilares
3.2.9 Pressão de vento e água nos pilares
3.2.10 Solução com o emprego de análise matricial
3.3 Solicitações na fundação ao nível do terreno
3.3.1 Solicitações no fuste de tubulões ou estacas ...
3.4 Cálculo das forças horizontais nos pilares da ponte sobre o rio
Pau Seco
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Apêndice
Referências
229
157 > ••
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168
170
3.4.1 Definição da estrutura 172

Apresentação
Este texto foi elaborado para servir como material didático aos
alunos da disciplina Projeto de Pontes, do curso de Engenharia Civil.
Ele tem por objetivo detalhar o projeto estrutural de uma ponte em
concreto armado com duas longarinas.
A primeira versão do texto foi lançada em 1999, como apostila, e
utilizada, desde então, inúmeras vezes no curso de Engenharia Civil
da Universidade Federal de Goiás - UFG. Em 2013, o texto foi revis-
to e publicado no formato livro, o qual incorporou as modificações
realizadas nas normas brasileiras ABNT NBR 6118:2007, que trata
de projeto de estruturas de concreto, e ABNT NBR 7187:2003, sobre
projeto de pontes de concreto armado e de concreto protendido, lan-
çadas em 2007 e 2003, respectivamente, e que afetam o projeto desse
tipo de estrutura.
Um dos projetos de ponte realizado por mim, quando atuava como
projetista em escritórios de cálculo em Goiânia, foi escolhido para

apresentação.Trata-se do projeto da ponte sobre o rio Pau Seco, loca-
lizada na TO-373, no trecho entre Alvorada (TO) e Araguaçu (TO), o
qual foi encomendado pela Secretaria da Infraestrutura do Estado do
Tocantins e foi desenvolvido pela Geoserv - Serviços de Geotecnia e
Construção Ltda - sob minha responsabilidade.
Essa ponte possui o comprimento total de 64 m, distribuído em um
vão central de 20 m, dois vãos adjacentes de 18 m e dois balanços de
4 m. A estrutura é simétrica, com duas vigas principais, e o tabuleiro
tem uma largura total de 9 m.Os aparelhos de apoio são constituídos
por rótulas de concreto e a fundação por tubulões encamisados
executados com auxílio de ar comprimido.
Em razão das constantes modificações nas normas nacionais, esse
projeto difere do projeto original. Nesta segunda edição, o projeto
da ponte sobre o rio Pau Seco foi modificado para incorporar as
recomendações da norma ABNT NBR 7188, publicada em 2013,
especialmente no que diz respeito à forma de amplificação do
carregamento móvel sobre a ponte. Além disso, foi ampliada a
discussão sobre a avalição da fadiga na armadura, bem como sobre
a avaliação do carregamento de vento na estrutura, de modo a
incorporar recomendações não apenas das normas nacionais, mas
também de alguns códigos de projeto internacionais.
Quero aqui agredecer aos alunos da disciplina Projeto de Pontes
do curso de Engenharia Civil da UFG, pelo apoio e contribuição, por
apontar pequenos equívocos e sugerir modificações no texto para me-
lhorar o entendimento do assunto. Agradecimento especial aos alunos
Kaio César Benedetti, Sérgio Coelho e Guilherme Lisboa que ajuda-
ram na atualização do projeto.
12
1. Elementos para elaboração do projeto1
O projeto de uma ponte inicia-se, naturalmente, pelo conhecimento
de sua finalidade, da qual decorrem os elementos geométricos
definidores do estrado, como, por exemplo, a seção transversal e o
carregamento do qual será realizado o dimensionamento da estrutura.
Além dessas informações, a execução do projeto de uma ponte exige
levantamentos topográficos, hidrológicos e geotécnicos. Outras
informações acessórias - processo construtivo, capacidade técnica das
empresas responsáveis pela execução e aspectos económicos - podem
influir na escolha do tipo de obra, contudo não serão abordadas
neste livro.
1 O autor agradece especialmente aos amigos Magid Elie Khouri e Sylvia Regina
Mesquita de Almeida, com quem trabalhou na empresa Geoserv na época
do desenvolvimento do projeto original da ponte sobre o rio Pau Seco. Dessa
convivência surgiram vários dos roteiros de cálculo aqui apresentados.
O autor
dr ponte ctu concreto armado com duas longarinas

O desenvolvimento planimétrico e altimétrico de
Primeiramente, serão apresentados alguns dos elementos
indispensáveis para a elaboração de um projeto de ponte que devem
estar disponíveis antes do início do projeto definitivo da estrutura.
14
15
uma ponte e,
n.i maior parte dos casos, definido pelo projeto da estrada, especial-
mente quando os cursos de água a ser transpostos são pequenos.
No caso de grandes rios, o projeto da estrada deve ser elaborado
considerando-se a melhor localização para a ponte. Dessa forma,
1leve-se procurar cruzar o eixo dos cursos d’água em um ângulo reto
com o eixo da rodovia. Além disso, deve-se procurar cruzar na seção
inais estreita do rio de forma a minimizar o comprimento da ponte.
Para as rodovias federais, os raios mínimos de curvatura horizontal
1.1 ELEMENTOS GEOMéTRICOS
O projeto de uma ponte deve atender aos elementos geométricos
que derivam das características da via e de seu próprio estrado. Os
elementos geométricos das vias dependem de condições técnicas
especificadas pelos órgãos públicos responsáveis pela construção
e manutenção dessas vias. No caso das rodovias federais, o
Departamento Nacional de Infraestrutura de Transportes (DNIT)
estabelece as condições técnicas para o projeto geométrico das
estradas e das pontes, já as rodovias estaduais de Goiás estão sob a
responsabilidade da Agência Goiana de Transportes e Obras (Agetop).
Segundo o DNIT, as estradas federais são divididas em:
• classe I;
• classe II;
• classe III;
As velocidades diretrizes, utilizadas para a determinação das
características do projeto de uma estrada, são definidas em função da
classe da rodovia e do relevo da região (Quadro 1.1).
s.io fixados com a finalidade de limitar a força centrífuga que atuará
no veículo viajando com a velocidade diretriz (Quadro 1.2).
Quadro1.2 - Raios mínimos de curvatura horizontal (m) em rodovias federais
Classe II
Região Classe I Classe m
Plana 345 200 110
Ondulada 210 110 50
Montanhosa 115 50 30
As rampas máximas admissíveis, até a altitude de mil metros acima
do nível do mar, são mostradas na Tabela 1.1. Esses valores poderão
cr acrescidos em 1% para extensões em planta das rampas de até 900
metros em regiões planas, 300 metros em regiões onduladas e 150
metros em regiões montanhosas, e deverão ser reduzidos em 0,5% para
altitudes superiores a mil metros.
Quadro1.1-Velocidades diretrizes (km/h) em rodovias federais
Gasse I Classe II Classe III
Região
l i bela 1.1 - Rampas máximas (%) em rodovias federais
Plana 8o 70
ÍOO
Classe I Gasse II Gasse Hl
Ondulada 6o
8o 70
Piana 3 3 3
Montanhosa 6o 40
50
Ondulada 4.5 5 5
Montanhosa 6 7 7
1
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo]

Iigura 1.1 - Exemplos de seções transversais de pontes rodoviárias federais
No caso corrente de estradas com pista de duas faixas de tráfego, as
normas do DNIT adotam as seguintes larguras de pista:
• classe I: 7,2 m;
• classes II e III: 6 m a 7,2 m.
Nas estradas com duas pistas independentes, com duas faixas
de tráfego cada uma, a largura da pista utilizada é de 7 m. Os
acostamentos têm largura mínima variável conforme a classe da estrada
e a região atravessada. Nas estradas de classe I, em geral, adotam-se
acostamentos de 2,5 m de largura, o que resulta em 12,2 m de largura
total do terrapleno,com a soma de 2,5 + 7,2 + 2,5.
17
16
10 m
82 m
-0.9 m - - 0,9 m -
a)
13 m
-0.4- 122 di -C.4-
b)
Hm regiões com pouco tráfego, alguns órgãos públicos ainda
recomendam a redução da largura da ponte para 9 m (Figura 1.2).
í.i.i ELEMENTOS GEOMéTRICOS DAS PONTES
1.1.1.1 Largura das pontes rodoviárias
As pontes rodoviárias podem ser divididas, quanto à localização,
em urbanas e rurais. As pontes urbanas possuem pistas de rolamento
com largura igual a da via e passeios com largura igual a das calçadas.
As pontes rurais são constituídas com finalidade de escoar o tráfego
nas rodovias e possuem pistas de rolamento e acostamentos.
Durante muitos anos, as pontes rodoviárias federais de classe I fo-
ram construídas com pista de 8,2 m e barreiras de concreto laterais
de 0,9 m de largura em cada lado, perfazendo a largura total de 10 m
(Figura 1.1a). Havia, portanto, um estrangulamento da plataforma da
estrada que provocava uma obstrução psicológica nos motoristas e,
consequentemente, causava acidentes. Há alguns anos, o DNIT pas-
sou a adotar para a largura das pontes rurais a largura total da es-
trada ( pista mais acostamento) e barreiras de concreto mais eficientes
(Figura 1.1b).
l isura 1.2 - Exemplo de seção transversal de ponte rodoviária com largura reduzida
9 m
-0,4- 8.2 m -0.4-
1.1.1.2 Gabarito das pontes
Denomina-se gabarito o conjunto de espaços livres que deve
apresentar o projeto de uma ponte de modo a permitir o escoamento
do fluxo. As larguras das pontes indicadas na Figura 1.1 e na Figura
1.2 são exemplos de gabaritos das pistas de pontes de modo a
permitir o fluxo de veículos sobre elas.
[Daniel de Lima Araújo]
Projeto di* ponte cm concreto armado com duas longarinas

As pontes localizadas sobre rodovias devem respeitar espaços livres
necessários para o tráfego de caminhões sob elas (Figura 1.3). As
pontes construídas sobre vias navegáveis também devem atender aos
gabaritos de navegação dessas vias. Por exemplo, em vias navegáveis
a chatas e rebocadores, é comum prever-se a altura livre de 3,5 m
a 5 m acima do nível máximo a que pode atingir o curso d’água. A
largura deve atender a, pelo menos, duas vezes a largura máxima das
embarcações mais um metro.
Nas pontes construídas sobre rios não navegáveis, adota-se,
normalmente, uma altura livre acima do nível máximo d’água de
acordo com as recomendações do órgão oficial responsável pela obra.
No estado do Tocantins, por exemplo, a altura livre recomendada era
de 1,5 m.
• Planta, em escala de 1:1.000 ou 1:2.000; perfil em escala
horizontal de 1:1.000 ou T
.2.000 e escala vertical de 1:100 ou
1:200 do trecho da rodovia em que ocorrerá a implantação
da obra em uma extensão tal que ultrapasse em, pelo menos,
1.000 metros, para cada lado,seus extremos prováveis.
• Planta do terreno no qual será implantada a ponte, em uma
extensão tal que exceda em 50 metros, em cada extremidade,
seu comprimento provável e largura de 30 metros, desenhada
na escala de 1:100 ou 1:200, com curvas de nível de metro em
metro, contendo a posição do eixo locado e a indicação de
sua esconsidade.
• Perfil ao longo do eixo locado na escala de 1:100 ou 1:200
e numa extensão tal que exceda em 50 metros, em cada
extremidade, o comprimento provável da obra.
• Seção do rio segundo o eixo locado, quando se tratar de
transposição de curso d'água, na escala 1:100 ou 1:200, com
as cotas de fundo do rio em pontos distanciados entre si cerca
de cinco metros.
18 19
Figura 1.3- Gabarito para pontes sobre rodovias federais
L 12,2 m
5,5 m
1.3 ELEMENTOS HIDROLóGICOS
Os elementos hidrológicos recomendados para um projeto
conveniente de uma ponte são os seguintes:
• Cotas de cheia e estiagem máximas observadas, com indicação
das épocas, da frequência e do período dessas ocorrências.
• Dimensões e medidas físicas suficientes para a solução dos
problemas de vazão do curso d’água sob a ponte e erosão do
leito, levando em conta o tempo de recorrência adotado e os
métodos de cálculo, preferencialmente estatísticos, quais sejam:
7,2 m
1
— 2,5 m .
..
Acostamento
2,5 m |
Pista Acostamento
1.2 ELEMENTOS TOPOGRáFICOS
No levantamento topográfico, necessário ao estudo de implantação
de uma ponte, devem constar os seguintes elementos:
!'
" "»| 1 M em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo]

- área, em km2, da bacia hidrográfica a montante da
obra até a cabeceira;
- extensão do talvegue, em km, desde o eixo da obra até
a cabeceira;
- altura média anual das chuvas, em milímetros;
- declividade média do leito do rio, ou do seu gradiente,
determinada entre dois pontos, distantes um do outro,
no mínimo, 200 m, sendo um a montante e outro a
jusante do eixo da rodovia do qual devem distar 100 m
cada um;
- indicações concernentes à permeabilidade do solo,
à existência de vegetações e retenções evaporativas
na bacia hidrográfica, ao aspecto das margens, à
rugosidade e às depressões do leito no local da obra.
• Notícias acerca de mobilidade do leito do curso d'água e,
caso exista, indicação da tendência ou do ciclo e amplitude da
divagação; álveos secundários, periódicos ou abandonados,
zonas de aluviões, bem como de avulsões e erosões, cíclicos ou
constantes; notícias sobre a descarga sólida do curso d’água
c sua natureza, no local da obra, e sobre material flutuante
eventualmente transportado.
• Se a região for de baixada ou influenciada por marés, a
indicação dos níveis máximo e mínimo das águas, velocidades
máximas de fluxo e de refluxo, na superfície, na seção
em estudo.
• Informações sobre obras de arte existentes na bacia, com
indicações de comprimento, vazão, tipo de fundação etc.
• Notícia sobre serviços de regularização, dragagem, retificações
ou proteção das margens.
De posse dessas informações, procede-se ao cálculo da cota de
máxima cheia que definirá a altura livre (ou o tirante) e a cota da face
superior do tabuleiro da ponte. Nesse momento, o projetista pode se
defrontar com duas situações. Numa primeira situação, ele já possui a
cota da face superior do tabuleiro definida pelo projetista da estrada.
Normalmente essa cota situa-se a, aproximadamente, 40 cm acima da
cota de terraplanagem; contudo, deve ser verificada para cada projeto,
com o projetista da estrada. Nesse caso, após a definição da cota de
máxima cheia calculada e depois de adicionar o valor da altura livre,
o projetista da ponte obtém a altura disponível para a construção.
Num procedimento inverso, ele pode definir a altura de construção
- em função do sistema estrutural da superestrutura - e, em seguida,
verificar se a altura livre disponível é superior ao valor mínimo do
tirante requerido para a ponte. Numa segunda situação, o projetista
da ponte calcula a cota de máxima cheia e, depois de adicionadas as
alturas livre e de construção, obtém a cota superior do tabuleiro, a
qual é repassada para o projetista da estrada. Essa situação é, sem
dúvida, a mais cômoda para o projetista da ponte.
A cota de máxima cheia calculada pode ser obtida por diversos
métodos da engenharia hidráulica. Quando a ponte for construída
sobre rios com grandes vazões, deve-se tomar o cuidado de
evitar o refluxo (ou remanso) a montante da ponte em razão do
estrangulamento da seção de escoamento pela construção do aterro
da estrada (Figura 1.4). Em alguns casos, esse refluxo pode atingir
grandes distâncias e alagar áreas a montante da ponte. O cálculo
21
30
(Daniel de Lima Araújo]
1'i •»!•*! n <!«• ponte em concreto armado com duas longarinas

pode ser feito, por exemplo, seguindo a recomendação do item 1.3 do
manual de drenagem de rodovias do DNER (Brasil,1990).
Figura 1.4 - Refluxo a montante da ponte em razão do estrangulamento da seção de
escoamento do rio
23
23
V = —Rh3 1/2
n H
V: velocidade média de escoamento (m/s);
n: rugosidade do canal;
RH = —
H
P
A: área da seção de escoamento (m2);
P: perímetro molhado (m);
I: declividade média do leito.
A vazão de escoamento é dada por: Q = VA (m3/s).
Na fórmula de Manning, a área da seção de escoamento empregada
é uma simplificação da seção real. Para ilustrar o procedimento de
cálculo, apresenta-se a determinação da cota de máxima cheia do
rio Pau Seco (Figura 1.5 e Quadro 1.3). Nesse caso, a cota superior
do tabuleiro já era conhecida do projeto de terraplanagem. A altura
de construção foi obtida pelo pré-dimensionamento da estrutura
lançada. A cota de máxima cheia foi calculada pela fórmula de
Manning e a altura livre assim obtida foi comparada com o valor
mínimo do tirante (1,5 m) exigido pelo órgão contratante do projeto.
Dados do projeto:
Q = 691,02 m3/s;
n = 0,035, determinada para arroios maiores —largura à superfície
no estágio de inundação maior que 30 m -com seção irregular e não
trabalhada, conforme Tabela 27 do manual de drenagem de rodovias
do DNER (Brasil, 1990);
I = 0,0016 (obtido da topografia);
cota de fundo = 208,68 (m).
: raio hidráulico;
Eixo da estrutura
Inicio do refluxo
Nível original
Montante
j Jusante
=///
=///
^/
''/~ ///
—///
—/A/=///=///=///==///=///==
i
a) Eixo do curso d água
Máxima cheia calculada (MCC)
Região alagada

V
///
—S/S-=/X/
—/
//
—/// s
=r///^
= ///
—//v
— Seção de escoamento
(reduzida)
b) Perfil longitudinal da estrada
No caso de pequenos rios - aqueles que possuem pequenas va-
não transbordam da sua calha, é possível calcular a cota
zoes - que
de máxima cheia pela conhecida fórmula de Manning empregada
em canais abertos (Brasil, 1990). Para tanto, é admitida a existência
de um canal regular com seção transversal igual à seção de esco-
amento sob a ponte e, por um processo de tentativas, é calculada
a área necessária para escoar a vazão máxima de projeto do curso
d’água. A fórmula de Manning é expressa por:
Projeto de ponte em concreto armado com duas longarinas

Essa metodologia deve ser aplicada com cuidado nos casos em
que o rio transborda da sua caixa, mesmo que ele possua pequena
vazão. Nesses casos, deve-se recorrer aos métodos da engenharia
hidráulica para estimar a cota da máxima cheia. Contudo, o manual
de drenagem de rodovias do DNER (Brasil, 1990) admite essa
metodologia válida também para os rios espraiados, isto é, aqueles
que não apresentam caixas definidas. Nesse caso, a seção de vazão
deve ser fixada considerando-se a imposição do greide da rodovia,
o inconveniente da erosão dos aterros próximos à ponte e a pressão
provável das águas sobre os aterros da rodovia. O manual recomenda,
ainda, se possível, a construção de bueiros de alívio calculados como
orifício, no caso de aterros altos, e como vertedores, no caso de
aterros de baixa altura.
Outra consideração importante é a possibilidade da contração
em razão da implantação de pilares no leito do curso d’água, uma
vez que, com a obstrução decorrente, há a redução da área da
seção transversal do fluxo e a formação de remanso a montante do
obstáculo que, em determinadas circunstâncias, deverá ser verificado,
de forma a estabelecer a altura livre sob a estrutura. Se o projeto da
ponte já adota uma altura livre de pelo menos 3 m acima do nível
da máxima cheia calculada, não há necessidade de calculá-la sobre a
elevação decorrente dessa obstrução (Brasil,1990).
No caso da ponte em estudo, essa sobre-elevação não foi verificada
em virtude de ainda não ter sido definido o sistema estrutural da pon-
te e se haverá obstrução no curso d’água. Contudo, a sobre-elevação
pode ser posteriormente avaliada, seguindo a recomendação presente
no manual de drenagem de rodovias do DNER (Brasil, 1990), quando
Figura1.5-Seção transversal do rio Pau Seco empregada no cálculo da máxima cheia
Cota supsnor do tsbtJeiro (220,00)
25
24
AJti*a de construção(1.8 m)
Altura livre (2,12 m) M.C.C. (216.08)
A
Quadro1.3 - Dados da seção transversal do rio Pau Seco
Ladodireito
Lado esquerdo
Afastamento (m) Cota (m)
Cota (m)
Afastamento (m)
209.00
10.00
209,00
10,23
10.80
12,60
10,60 210.00
210.00
211,00
11.00
211.00
212.00
11.70
13,60
212.00
15.9o
18,70
21.80
213.00
213.00
214.00
17.50
214.00
214.20
24.00
21440
29,00
21340
218.00
218.00 29.00
34.40
35.90
Quadro1.4 - Cálculo da máxima cheia do rio Pau Seco pela fórmula de Manning
Área (m2) ] Perímetro (m) j RH (m) V (m/s) | Q(m3/s)
10.2381
Cota (m)
2,133
16.875
0.439
4859
17,264
209.08
209,68
210,08
211,08
212.08
213,08
214,08
215.08
216.08
20,425
21.816 0.977
0.791
22,808
26,067
31.953
83.721
153,086
1.240
1.130
1.859
25.771
48453 1,728
2,058
2,326
2417
30.772
36.065
52.340
65.798
69404
74.375
104,708 243.521
319383
487.332
739.698
2.903
2.233
2.732
142,999
3,069 2414
201.915
264,955 3.818 2,792
Do Quadro 1.4 obtém-se, para a máxima cheia calculada, a cota
de 216,08, a qual fornece uma altura livre de 2,12 m, maior que o
tirante mínimo exigido de 1,5 m.
Projeto di* ponte em concreto armado com duas longarinas

já tenham sido definidos os tramos da ponte e as dimensões dos pila-
res que, eventualmente, estejam situados no curso d’água.
1.4 ELEMENTOS GEOTéCNICOS
Os elementos geotécnicos necessários à elaboração do projeto de
uma ponte são (Pfeil, 1990):
• Relatório da prospecção de geologia aplicada no local
de provável implantação da obra, considerando seu
esboço estrutural e realçando peculiaridades geológicas
porventura existentes.
• Relatório de sondagem de reconhecimento do subsolo
compreendendo os seguintes elementos:
- planta de locação das sondagens, referida ao eixo da via;
- descrição do equipamento empregado: peso, altura etc.;
- perfis em separado de todas as sondagens, nos quais
se indiquem a natureza e a espessura das diversas
camadas atravessadas, suas profundidades em relação
a uma referência de nível, índices de resistência à
penetração e nível d’água, inicial e vinte e quatro horas
após a conclusão da sondagem. A referência de nível
da sondagem deve relacionar a cota da boca do furo à
referência de nível da obra.
As sondagens de reconhecimento do subsolo devem ser realizadas
em toda a extensão provável da futura obra de arte, ao longo de
duas linhas paralelas ao eixo locado da via, uma de cada lado, e
distantes deste, aproximadamente, três metros. Elas devem ser em
número suficiente para permitir uma definição precisa quanto
à natureza e distribuição das camadas constituintes do subsolo.
Devem, ainda, atingir uma profundidade que permita a garantia de
não haver, abaixo dela, camadas de menor resistência. Conforme
a importância da obra, certo número de sondagens, ou mesmo sua
totalidade, deverá atingir a rocha, que deverá ser investigada por
meio de sondagens rotativas em uma espessura de, pelo menos, três
metros.
Quando já existir o anteprojeto da obra, poderão ser realizadas
duas sondagens em cada linha transversal de apoio. Serão realizadas
sondagens rotativas ou mistas - sondagem a percussão na parte em
solo e rotativas na parte em rocha -, no caso de fundações em rocha
ou em terreno que apresente matacão.
A fixação das profundidades das sondagens poderá ser feita com
critérios alternativos a ser obedecidos no campo como, por exemplo,
os enunciados a seguir:
• Sondagem de percussão: prosseguir até resistências à
penetração iguais ou superiores a N golpes/30 cm em cinco
cravações consecutivas, ou até atingir material impenetrável
à peça de lavagem, ou até Z m de profundidade máxima.
Os valores de N e Z poderão ser fixados, em cada caso,
conforme a natureza do solo e o tipo da obra. Em uma obra
média, pode-se adotar, por exemplo, N = 40 golpes por 30
cm e Z = 40 m;
• Sondagens rotativas: prosseguir até a recuperação igual ou
superior a XI % em três avanços consecutivos, ou recuperação
igual ou superior a X2% após penetrar 5 m em rocha
parcialmente alterada, ou, ainda, recuperação média igual ou
27
26
Ptojeto de ponte em concreto armado com duas longarinas

superior a X3% após penetrar 10 m em rocha alterada. Se
nenhuma das condições anteriores for satisfeita, a sondagem
deve ser interrompida a uma profundidade máxima Z. Os
valores de XI, X2, X3 e Z poderão ser fixados, em cada caso,
conforme o tipo de obra.
Estudos geotécnicos especiais que permitam a elaboração de
projeto do conjunto terreno-aterro-obra de arte devem ser realizados
sempre que a estabilidade dos terrenos contíguos à obra possa ser
ameaçada pelas solicitações dos aterros de acesso.
Para ilustrar, apresenta-se (Figura 1.6) um relatório típico de
sondagem do terreno, determinado em um dos eixos da ponte sobre o
rio Pau Seco.
Figura 1.6 - Relatório de sondagem do terreno - eixo1do rio Pau Seco
28 29
Responsável: Geoserv - Serviços de Geotecnia e Construção Ltda
Cliente: Secretaria da Infraestrutura do Estado do Tocantins Furo: 01
Obra: Ponte sobre o rio Pau Seco
Local: T0-373: Trecho Alvorada - Araguaçu - Estaca: 1413 + 7,50 Data: 15-10-93
Diâmetro do furo D = 2 ’/4' Diâmetro da haste D = 1 5/8“ d 1 3/8“
Amostrador Terzaghi
Profundidade N° 1 2® 3®
NA Número de golpes Descrição do solo
(m)
24 h
amostra 15 15
10 20 30 40 50 Argila pouco arenosa com
presença de matéria orgânica
00
1.00
Areia fina pouco siltosa cinza con
presença de maténa orgânica
01 26 38/26
2&L
Silte arenoso vanegado com
presença de maténa orgânica
02 16 27/23 f
3 00
Argila arenosa vanegada
03 12 V
12
4.00 -N
Silte arenoso variegado

04 20 25
5.00
Silte arenoso micàceo variegado
1.5 ELEMENTOS ACESSóRIOS 05 29 36/28
6.00
Areia grossa pouco siltosa
variegada
06 40/9 40/0
7 00
1.5.1EXISTêNCIA DE ELEMENTOS AGRESSIVOS
Informações de caráter tecnológico especial podem ser de grande
interesse para o projeto ou a construção de uma ponte, quando
constatada sua ocorrência:
agressividade da água, referida ao pH ou ao teor de substâncias
agressivas aos materiais de construção (água do mar ou
acentuadamente salobra, águas sulfatadas ou sulfídricas);
materiais de ação destrutiva sobre o concreto;
gases tóxicos de terrenos pantanosos, possíveis em cavas
de fundação.
Silte pouco arenoso micàceo
variegado
07 24 33/27
8.00
08 37/24 j
>
40/9
9,00
09 16 31/28
10,00
10 40/11 40/0
11 00
11 40/8 40«)
12.00
12.00
Gnatsse com quartzo e micaxisto
variegado
(21)
12 22
14.08
14.08
13 (20)
14.45 100
14.45
14 .w
15.45
20 40 60 80
Recuperação (%)
Fragmentos por metro (N)
100
Cota do furo: Nível d água: 2,50 m
Nível de Sondagem: 15,45 m Data do NA: 17-10-93
I'r n j r t o «IP ponte cm concreto armado com duas longarinas [Daniel de Uma Araújo]

• NBR 6118 - Projeto de estruturas de concreto - procedimento
(ABNT, 2014).
A existência, no leito do rio, de moluscos capazes de perfurar as
madeiras de escoramento poderá ser razão determinante da escolha
do método construtivo a ser adotado no projeto.
Nas regiões marinhas, a biologia das águas pode influir nos méto-
dos construtivos adotados, limitando, por exemplo, o tempo de per-
manência de armaduras dentro d’água antes de uma concretagem por
processo submerso.
1.5. 2 INFORMAçõES DE INTERESSE CONSTRUTIVO ou ECONóMICO
Algumas informações acerca do processo construtivo e que podem
influenciar no projeto de uma ponte são:
• condições de acesso ao local da obra;
• procedência dos materiais de construção, custo e confiabilida-
de do transporte;
• épocas favoráveis para a execução dos serviços, considerando
os períodos chuvosos e o regime do rio;
• possível interferência de serviços de terraplanagem ou desmon-
te de rocha nas proximidades da obra;
• condições de obtenção de água potável.
31
30
1.7 ALGUMAS INDICAçõES PARA PROJETO DE PONTE SOBRE RIOS
Como citado anteriormente, a localização de pontes sobre peque-
nos rios é definida pelo projetista de estrada quando da elaboração do
traçado da via. Contudo, quando a via cruza médios ou grandes rios,
a posição da ponte pode determinar o traçado da via. Nesse caso, al-
gumas recomendações sobre como escolher a melhor posição para a
ponte podem ser úteis (Troitsky, 1994):
• Transpor o canal principal ou o vale no ponto mais estreito
possível e não muito distante do traçado original da via.
• O canal principal ou o vale deve ser transposto, de preferên-
cia, perpendicularmente à direção de escoamento, o que per-
mite que se obtenha o menor comprimento possível para a
ponte. No caso de ela ser esconsa, os pilares em contato com
o fluxo d’água devem ter sua menor dimensão perpendicular
a esse fluxo, de forma a evitar ou diminuir a erosão localiza-
da na base do pilar (Figura 1.7). Deve-se também evitar eixos
localizados no meio do rio onde a velocidade de escoamento
d’água é maior.
1.6 ELEMENTOS NORMATIVOS
A Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) é a entidade
oficial encarregada de elaborar e editar os regulamentos técnicos adota-
dos no Brasil. As principais normas que devem ser consultadas quando
da elaboração de pontes rodoviárias em concreto armado são:
• NBR 7187 - Projeto de pontes de concreto armado e de con-
creto protendido - procedimento (ABNT, 2003a);
• NBR 7188 - Carga móvel rodoviária e de pedestres em pontes,
viadutos, passarelas e outras estruturas (ABNT, 2013);
Figura 1.7 - Erosão localizada na base de um pilar em contato com a água
,,- ///-/
"-
Vista lateral da erosão na base de um pilar Vista superior de uma ponte esconsa
Projeto <!•• ponte em concreto armado com duas longarinas

• Deve-se evitar transpor um rio logo após a região onde deságua
um afluente, de modo a evitar a deposição de sedimentos sob
a ponte (seção I-I da Figura 1.8). Também se deve evitar trans-
por a montante dessa região, uma vez que, nesse caso, haveria
a necessidade de duas pontes (seção II-II da Figura 1.8), o que
acarretaria em aumento do custo da obra. A melhor posição para
transposição do rio é um pouco a jusante da região onde deságua
seu afluente.
ser realizada uma alteração no curso natural do rio com a
construção de um canal devidamente dimensionado. Essa
solução, entretanto, deve ser evitada, sempre que possível, no
sentido de mitigar possíveis impactos ambientais.
3* 33
Figura 1.9 - Correção do leito de rios de pequena vazão
Eixo da
estrada *
Eixo da
estrada
Figura 1.8 - Transposição de rio com afluente
' *
s
1
P :1
* Canal artificial
0
II
75 x

Afluente^
Deposição de
sedimentos
• Deve-se evitar transpor em regiões onde possa haver, ao longo
da vida útil da ponte, mudanças na seção transversal do rio.
Essas mudanças normalmente ocorrem em função das caracte-
rísticas geológicas da região. Um exemplo são rios em regiões
sedimentares onde, em razão da acumulação de detritos no seu
leito, ocorre uma alteração na seção de escoamento.
• Quando do cruzamento de rios de pequena vazão, é
recomendável evitar curvas para transposição desses rios.
Em alguns casos, como os mostrados na Figura 1.9, pode

2. Superestrutura
No capítulo anterior foram apresentadas as principais informações
que o projetista deve conhecer antes de iniciar um projeto de ponte. De
posse dessas informações, ele deve definir o tipo de ponte a ser empre-
gado - ponte em viga contínua, ponte em vigas biapoiadas, ponte em
pórtico, ponte estaiada etc.-e fazer um pré-dimensionamento dos prin-
cipais elementos estruturais, baseado em sua experiência ou em projetos
de pontes semelhantes. Neste capítulo apresenta-se, inicialmente, o siste-
ma estrutural e as dimensões - definidas pelo autor - da ponte sobre o
rio Pau Seco e, em seguida, descreve-se de forma detalhada o dimensio-
namento dos principais elementos estruturais da superestrutura.
2.1 CARACTERíSTICAS GEOMéTRICAS DA SUPERESTRUTURA
O sistema estrutural empregado na ponte sobre o rio Pau Seco é
o de viga contínua com balanços. O comprimento total da ponte é
de 64 m distribuídos em dois balanços de 4 m, dois vãos extremos

Figura 2.1a - Principais dimensões da ponte sobre o rio Pau Seco (em cm)
de 18 m e um vão central de 20 m. A seção transversal é em viga
com duas longarinas e a sua altura foi pré-dimensionada em 1,8 m,
o que atende à exigência das normas do DNIT de que a altura das
longarinas deve ser maior que (J14, sendo í o comprimento do vão.
As principais dimensões da ponte podem ser visualizadas nas figuras
2.1a e 2.1b.
Para o pré-dimensionamento do comprimento do balanço, no
caso de pontes com sistema estrutural em viga contínua, devem ser
consideradas algumas recomendações dos manuais de projeto do
DNIT (Brasil, 1996):
• o aterro de acesso deve ter a sua altura limitada em 8 m,
ou menos;
• o aterro de acesso deve ser executado antes da obra de arte;
• o balanço deve ter comprimento máximo de 7,5 m e a sua flecha
deve ser menor que 2 cm;
• deve-se usar laje de transição com comprimento mínimo de 4 m.
Outras recomendações devem ser consideradas, quando do pré-
-dimensionamento da seção transversal de pontes com duas longari-
nas (Brasil, 1996):
• a largura da longarina deve ser maior que 25 cm;
• o comprimento do balanço na seção transversal (Figura 2.1b)
deve estar no intervalo entre ív/3 e Íwl2y sendo ív o vão da laje,
definido pela distância entre as longarinas;
A espessura da laje pode ser pré-dimensionada em função do vão
da laje (fv) seguindo a recomendação do Quadro 2.1 (Brasil, 1996).
36 37
900
-> '
40f 440. «-
820
- *-•
- *
:
25
- 4 ‘
80-f
. a
-i
180
•
J
;
120 140
X
4
•4
2<C
* +0 )f-
170 480 170
Seção transversal no meio do vão
900
f40F -ifAOJf-
820
35~V
I?
« .
*
- * JL
25
4 M
80
- 4
180
140
120
-
+60+ +60+
170- 440 170
Seção transversal no apoio
A i
=1
r
50
.4
l .-> 20 ^
180 1
J"s
Í
A
A
• •
J-5O4- 4zoj-
195
Vista Lateral da ala Corte AA

A norma NBR 7187 (ABNT, 2003a) também especifica dimensões
mínimas para os elementos estruturais de pontes rodoviárias. Nesse
caso, as lajes maciças destinadas à passagem do tráfego devem ter es-
pesssura mínima de 15 cm.Já a largura mínima da alma de vigas re-
tangulares e de vigas em seção T é de 20 cm. Os pilares maciços de
pontes devem ter a menor dimensão da seção transversal no mínimo
igual a 40 cm ou 1/25 da sua altura livre. No caso de pilares de seção
transversal celular, a espessura mínima das paredes é de 20 cm.
Figura 2.1b - Principais dimensões da ponte sobre o rio Pau Seco (em cm) 39
38
r
rt
§
I
Quadro 2.1 - Pré-dimensionamentoda espessura dalaje em pontes com duas longarinas
Espessura da laje (cm)
Vâo da laje (m)
2,0 15
l8
3.0
8
20
4.0
22
5.0
m
5
c
c
6,0 25
a>
3
8
—
o>
C cn
o
i2
•
e
É prática comum nos projetos de pontes com duas longarinas, exe-
cutadas com concreto moldado no local, o engrossamento da alma na
região do apoio. Dessa forma, foi prevista uma mísula horizontal para
garantir uma variação gradual da espessura da longarina, do apoio até
o meio do vão. Normalmente, a mísula estende-se da seção do apoio
até a transversina de vão mais próxima (Figura 2.2). Esse engrossamen-
to da alma tem a função de diminuir as tensões de compressão na seção
do apoio em razão dos elevados valores da força cortante, não sendo
considerada a variação de inércia obtida para o cálculo dos momentos
fletores da viga. Além disso, o engrossamento da alma aumenta a área
dc contato das longarinas com os aparelhos de apoio, bem como a re-
sistência à fadiga do concreto.
>
o
o
1
n
§
1
i
8
l
11

Observa-se, também, que tanto as transversinas de apoio quanto
as transversinas de vão são separadas da laje. Essa solução é adotada
para uniformizar a armadura de flexão -longitudinal e transversal -da
laje do tabuleiro, a qual passa a comportar-se como apoiada apenas em
dois lados, ou seja, apenas sobre as longarinas. O espaçamento adotado
entre transversinas pode ser, aproximadamente, igual ao espaçamento
entre as longarinas. Sua função é promover o travamento das
longarinas e impedir a rotação delas em torno de seu eixo longitudinal.
Figura 2.2 - Vista inferior com detalhe da mísula horizontal (em cm)
Figura 2.3 - Posição das alas na extremidade da ponte
40 41
Alas abertas
90c
Alas fechadas
Para calcular o peso da própria estrutura é necessário conhecer as
dimensões da seção transversal e as dimensões e pesos dos elementos
acessórios que estarão sobre a ponte, isto é:
• área da seção transversal no meio do vão: 3,495 m2;
• área da seção transversal no apoio: 4,135 m2;
• área da seção transversal da barreira de concreto: 0,23 m2;
• peso do guarda-corpo: 0,1 kN/m;
• espessura média da capa asfáltica: 0,08 m.
A espessura média da capa asfáltica foi estimada admitindo-se
uma espessura mínima de 4 cm junto à barreira de concreto e uma
inclinação de 2% do pavimento de modo a permitir o escoamento da
água pluvial.
/40
60
' 20 T7 480
4C, 440
/
570 620
* 40
Neste projeto foi empregada a solução de alas fechadas, ou seja,
orientadas na direção longitudinal.Todavia,frequentemente são encon-
trados projetos com alas perpendiculares ao eixo da ponte, também co-
nhecidas como alas abertas (Figura 2.3). A função das alas é conter o
aterro junto às extremidades da superestrutura. As alas fechadas têm a
vantagem de diminuir o comprimento da saia do aterro na direção do
eixo da ponte, mas possuem a desvantagem de necessitar ser dimensio-
nadas também ao empuxo de terra provocado pela carga móvel sobre
o aterro de acesso.
2.2 IDEALIZAçãO PARA O CáLCULO DAS SOLICITAçõES
As estruturas das pontes em vigas são formadas por elementos ver-
ticais (vigas) e horizontais (lajes) ligados monoliticamente. A análise
da estrutura espacial é possível e requer programas computacionais
que estão disponíveis no mercado. Para esse texto, a superestrutura

foi decomposta em elementos lineares (as vigas) e de superfície (as la-
jes) de modo a permitir o seu cálculo manual.
O cálculo do quinhão das cargas móveis que cada viga recebe é
feito de forma aproximada. Colocam-se as cargas móveis numa seção
próxima ao meio do vão, na posição transversal mais desfavorável
para a viga estudada, e obtém-se o seu trem-tipo. Para as seções pró-
ximas aos apoios, o quinhão de carga da viga - para a mesma posi-
ção da carga móvel na seção transversal-sofre alterações. Para maior
simplicidade, contudo, admite-se que o trem-tipo calculado próximo
ao meio do vão não se altera ao longo da viga.
As ações em razão do peso próprio são mais fáceis de distribuir
entre as vigas. No caso de seção transversal com duas vigas, cada uma
recebe metade do peso próprio da superestrutura.
Os esforços decorrentes do peso próprio e da carga móvel são cal-
culados em diversas seções de cálculo ao longo da viga.A quantidade
de seções adotadas em cada tramo varia com o seu vão, podendo-se
adotar cinco seções para vãos pequenos (da ordem de 10 m a 15 m) e
dez seções para vãos médios (da ordem de 25 m a 30 m).
43
42 3 495
x 25 = 43,69 kN/m
2
a.2) barreira de concreto:
^2 =0,23x 25 =5,75 kN/m
a.l) seção transversal (meio
do vão): 9l =
8,20
a.3) capa asfáltica: —x 0,08 x 22 = 7,216 kN/m
2
q4 =0,10 kN/m
q = 56,8 kN/m
q3 =
a.4) guarda-corpo:
Total:
Calculam-se, a seguir, as forças concentradas constituídas pelo
peso próprio dos alargamentos da alma das longarinas, transversinas,
alas e viga de fechamento.
b.l) Alargamento da alma das longarinas: o peso próprio dos alar-
gamentos da alma das longarinas junto aos apoios pode ser assimilado
a um carregamento triangular com uma extensão de 4 m nos balanços,
6 m nos vãos 1 e 3,e 6,5 m no vão 2 (Figura 2.4).
Figura 2.4 - Dimensões do alargamento da alma da longarina
2.3 DIMENSIONAMENTO DA VIGA PRINCIPAL
2.3.1 SOLICITAçõES DECORRENTES DO PESO PRóPRIO
Os cálculos para determinação do carregamento decorrente do peso
próprio sobre cada viga principal (ou longarina) são mostrados a seguir.
Adotaram-se os pesos específicos (y) de 25 kN/m3 para o concreto
armado e de 22 kN/m3 para a capa asfáltica.
a) Carregamento uniformemente distribuído:
0.2 m
Ksse carregamento pode ser substituído por forças concentradas
iplicadas no centro de gravidade da área triangular:

44
0,20 x 4,0 45
P2 =(0,23+ 0,2 x 0,2) x (2,45-0,2) x 25 =15,19 kN
P3 =0,1x (2,45- 0,2) = 0,225 kN
- balanços: P = x (1,8-0,2) x 25 =16 kN
2
4
ponto de aplicação: a =—=1,33 m do apoio;
0, 20 x 6,0
P = 29,025 kN
- vãos 1 e 3 ((
=18 m): P x (1,8-0,2) x 25 = 24 kN Nessas expressões, PI representa o peso da ala - descontando o
peso da viga de fechamento que se sobrepõe com a ala P2 é o peso
da barreira sobre a ala e P3 é o peso do guarda-corpo sobre a ala. A
espessura da ala é igual a 0,20 m e o peso específico adotado do con-
creto é igual a 25 kN/m3.
b.5) A terra sobre a viga inferior da viga de fechamento aplica na
ponta do balanço uma força de:
P =(0,3x1,6) x x i8 =37,2 kN
2
Logo, a força total aplicada na ponta do balanço, para cada longa-
rina, vale:
P = 47,25 + 29,025 + 37,2 = 113,5 kN
Na sequência, apresentam-se as seções de cálculo e o carregamento
decorrente do peso próprio em uma longarina (Figura 2.5);
os momentos fletores e as forças cortantes resultantes desse
carregamento (Quadro 2.2); e as reações de apoio da superestrutura
sobre a mesoestrutura (Quadro 2.3).
2
—= 2 0 rn do apoio;
3
ponto de aplicação: a =
0,20 x 6,5
x (1,8- 0,2) x 25 = 26 kN
- vão 2 (t = 20 m): P = 2
6,5
ponto de aplicação: a =
^—= 2,17 m do apoio.
b.2) Transversinas: as transversinas de vão têm 20 cm de largura e
120 cm de altura, logo:
4,8
P =(0,2 xl,2) x—^
As transversinas de apoio têm 40 cm de largura e 120 cm de altu-
ra, logo: P =(0,4 xl,2) x —
2
b.3) Viga de fechamento: a viga de fechamento aplica na ponta do
balanço uma força de:
*
•
P =(0,2 x1,8 + 0,2 x 0,3) x —x 25 = 47,25 kN
2
b.4) Alas: o peso de cada ala, incluindo a barreira e o guarda-
-corpo colocados sobre ela, vale (ver dimensões na Figura 2.1a):
x 25 =14,4 kN
4,4
x 25 =26,4 kN
Figura 2.5-Seçõesdecálculoecarregamento decorrentedo peso próprioem umalongarina
<2> ©
1 2 3 4 5 6 10 11 12 13 14 15
• b ^ 2S
+
18 20 18
t i l l 5
l 5 3
* l
z 5
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5 5
5 ! 5
a s a
5 5
:
(2,45 + 0,5)
Pj = 2,45 x 0,5 + x (1,8-0,5)-(1,8 x 0,2 + 0,3 x 0,2) -,-w, C
-, '2-, ÍA17, <- 4 33 -ft.
—« 33
—7'ZH?'
-9 ,c— 4
2 v. v'
> t f f / f t w
x 0,2 x 25 =13,61 kN A
Q =56JW4fm
Obs.: Dimensões em metro

tabuleiro, na posição mais desfavorável para a longarina em estudo.
Nessas condições, o trem-tipo é o carregamento de cálculo de uma
longarina levando-se em consideração a geometria da seção transver-
sal da ponte, como, por exemplo, o número e o espaçamento das lon-
garinas e a posição da laje do tabuleiro.
O trem-tipo, suposto constante ao longo da ponte, pode ocupar
qualquer posição na direção longitudinal. Assim, para cada seção da
viga estudada é necessário determinar as posições do trem-tipo que
produzem valores extremos das solicitações. Nos casos mais gerais,
empregam-se as linhas de influência, diagramas que permitem definir
as posições mais desfavoráveis do trem-tipo e calcular as respectivas
solicitações. Com os valores extremos das solicitações, calculados
nas diversas seções de cálculo da viga, é possível traçar as envoltórias
de solicitações da carga móvel. Como os valores das envoltórias
são determinados para as situações mais desfavoráveis das cargas,
quaisquer outras posições do carregamento produzirão solicitações
menores. Assim, se a longarina for dimensionada para os valores das
envoltórias, sua segurança fica garantida para qualquer posição da
carga móvel.
A ponte sobre o rio Pau Seco é da classe TB-450, logo deve ser
empregado, para cálculo do trem-tipo, um veículo-tipo com 450 kN
de peso total e cada roda pesando 75 kN, além de uma carga uni-
formemente distribuída com intensidade de 5 kN/m2. A distribuição
da carga móvel entre as longarinas depende da rigidez transversal do
tabuleiro. Como a ponte em estudo é constituída por apenas duas
longarinas, a posição mais desfavorável para as solicitações é quan-
do o veículo-tipo está posicionado no bordo da pista, encostado na
barreira de concreto (Figura 2.6). A reação na longarina 1 pode ser
Quadro 2.2 - Momento Hetor e força cortante, em uma longarina, decorrentes do
peso próprio
46 47
a 1 b | 0
^
j (W 1 1 1 2 1 3 4 | 5 1 6
Seção
Mg(kNm) *
136 435 817 995 979 779
-929
-254 '
542
V„ (kN) -204 -288 -356 492 390 263 161 -60 -162
42
g
7 ; 8 j 9 I 10raa | lOai, | 11 | 12 | 13 I 14 j 15
•
2011
-281 -384 -510 -612 611 497 358 244 1141
Seção
M„ (kNm) 532 881
385 -214 -1001 *
903 -70 994
g
VB(kN) o
Quadro 2.3- Reação de apoio, em uma longarina, decorrente do peso próprio
Eixo 2 3 4
1
Rg(kN) 874.7
874.7 1249.3
1249.3
2.3.2 SOLICITAçõES DECORRENTES DA CARGA MóVEL
2.3.2.1 Determinação do trem-tipo
As cargas móveis podem ocupar qualquer posição na pista
rodoviária, inclusive acostamento e faixas de segurança. Segundo
a NBR 7188:2013, a carga móvel em pontes rodoviárias é definida
por um veículo-tipo, com seis rodas e três eixos afastados 1,5 m
entre si, com área de ocupação de 18 m2, circundada por uma
carga uniformemente distribuída. Para cada longarina é necessário
procurar a posição do veículo-tipo e do carregamento distribuído que
provoque a máxima solicitação em cada uma das seções de cálculo.
Esse procedimento é por demais trabalhoso e inviável de ser realizado
manualmente. Dessa forma, utiliza-se do conceito de trem-tipo, o qual
simplifica o carregamento sobre as longarinas e torna o processo de
cálculo dos esforços menos trabalhoso.
Denomina-se trem-tipo de uma longarina o quinhão de carga pro-
duzido nela pelas cargas móveis de cálculo, colocadas na largura do
r

r
'T
obtida admitindo-se a laje apoiada sobre as duas longarinas, na dire-
ção transversal, e traçando-se a linha de influência da reação de apoio
desta longarina. Observa-se que o balanço do lado direito do tabu-
leiro não foi carregado com a carga distribuída, pois o carregamento
nessa posição tende a aliviar a reação na longarina em estudo. Em
razão da simetria da seção transversal, o trem-tipo na longarina 2 é
idêntico ao calculado para a longarina 1.
A reação de apoio na longarina 1, na região da pista carregada
apenas com a carga distribuída (seção I-I), vale:
1,289 x 6,7
4«
Figura 2.6 - Posicionamento do veículo-tipo para cálculo do trem-tipo da longarina 49
k
1 [OO oo
I 1' 1111y
^^^
M-4
0.4 0.5 1.0 1.0 0.5
T5
Seçào transversal carregada
l
1.9 m 5,2m 1,9 m
i
Esquema estrutural
R] = p A =5 x = 21,6 kN / m
s
2
H I i § S
— — o o
9
A reação de apoio na longarina 1, na região carregada com o veí-
culo-tipo e a carga distribuída (seção II-II), vale:
• apenas carga distribuída:
0,712 x 3,7
Linha de influência da reação de apoio na longarina 1
R2 = p A =5 x = 6,6 kN / m
2
• veículo-tipo:
R3 =P a,+ P a2 =75 x1,192 + 75x 0,808=150 kN
Logo, o trem-tipo das longarinas 1 e 2 tem o seu valor conforme
demonstrado na Figura 2.7.
Antes de calcular as solicitações decorrentes da carga móvel, é
conveniente calcular o coeficiente de ponderação das cargas verticais
e multiplicar o trem-tipo por esse coeficiente. Dessa forma, as soli-
citações obtidas já estarão majoradas em razão do caráter dinâmico
do carregamento móvel. Segundo a NBR 7188:2013, o coeficiente de
ponderação das cargas verticais é composto pelos coeficientes de im-
pacto vertical (CIV), de número de faixas (CNF) e de impacto adicio-
nal (CIA).
Vista superior da laje carregada
Carga móvel rodoviária padrão TB-450 (NBR 7188):
Peso de cada roda (P) = 75 kN
Carga distribuída (p) = 5 kN/m2
Obs.: Dimensões em metro

Figura 2.7 -Trem-tipo das longarinas da ponte sobre o rio Pau Seco Adota-se, para o balanço, um coeficiente de impacto vertical dife-
rente; nesse caso, segundo a NBR 7188:2013, deve-se utilizar o com-
primento do próprio balanço. Logo:
50 51
P = 150 kN P =150 kN
P =150 kN
1,5 m 1.5 m 1.5 m
1,5m
p,= 21,6 kN/m
20
CIV = l + l,06 =1,393
4 + 50
O coeficiente de número de faixas leva em consideração a proba-
bilidade de todas as faixas de um tabuleiro transversalmente contínuo
serem carregadas simultaneamente. Acostamentos e faixas de segu-
rança não são considerados faixas de tráfego da rodovia. Além disso,
esse coeficiente não se aplica ao dimensionamento de elementos estru-
turais transversais ao sentido do tráfego, tais como lajes e transver-
sinas. Segundo a NBR 7188:2013, esse coeficiente pode ser estima-
do por:
CNF =1-0,05 (n - 2) > 0,9
Nessa expressão, n representa o número de faixas de tráfego que,
no caso da ponte sobre o rio Pau Seco, são duas, já que se trata de
uma rodovia com pista simples. Portanto, para o projeto da ponte em
questão, CNF = 1,0.
Já o coeficiente de impacto adicional leva em consideração um
aumento da ação dinâmica da carga móvel nas extremidades das
obras e nas regiões de juntas estruturais. Assim, todas as seções loca-
lizadas a uma distância horizontal de até 5 m para cada lado da junta
ou extremidade da obra devem ter a carga móvel majorada por esse
coeficiente. A ponte sobre o rio Pau Seco não possui juntas no tabu-
leiro, logo, esse coeficiente será aplicado apenas às seções de cálculo
localizadas próximo às suas extremidades, isto é, as seções de cálculo
do balanço. Segundo a NBR 7188:2013, deve-se utilizar CIA = 1,25
para pontes em concreto.
pj= 6.6 kN/m
O coeficiente de impacto vertical simula o efeito da amplificação
dinâmica da carga móvel por meio da substituição dos valores carac-
terísticos da carga vertical por uma carga estática equivalente e majo-
rada. No caso de pontes com vão de até 10 m, esse coeficiente possui
um valor constante e igual a 1,35. Para vãos entre 10 e 200 metros,
esse coeficiente possui uma variação linear conforme a expressão:
20
CIV =1+1,06
Ljv + 50 j
Nessa expressão, Liv representa o vão da ponte, em metros, no
caso de estruturas com vãos isostáticos. Já nas estruturas contínuas,
pode-se tomar a média aritmética dos vãos, especialmente se os vãos
da ponte não forem muito diferentes. Apesar da NBR 7188:2013 não
especificar, pode-se tomar como referência que se o menor vão for
maior que 70% do maior vão, a ponte terá vãos aproximadamente
constantes e a utilização do vão médio para o cálculo do CIV é
admissível. Aplicando essa expressão ao projeto da ponte sobre o rio
Pau Seco, obtem-se para os vãos o seguinte CIV:
20
=1,309
CIV =1 + 1,06
18 + 20 +18
+ 50
3

o trem-tipo calculado nas posições mais desfavoráveis -ou seja, nas po-
sições que provocam os maiores esforços —, obtendo-se assim as envol-
tórias de momento fletor e força cortante. Sendo a viga dimensionada
para os valores dessas envoltórias, a resistência estará garantida para
qualquer posição da carga móvel sobre o tabuleiro, uma vez que as so-
licitações obtidas serão sempre inferiores às que foram empregadas no
dimensionamento. Apresentam-se, na ilustração (Figura 2.9), as linhas
de influência das seções 4, 10 e 15 das longarinas da ponte sobre o rio
Pau Seco, bem como as posições mais desfavoráveis do trem-tipo para
cada seção.
Exemplifica-se, a seguir, o cálculo do maior momento fletor positi-
vo na seção 4. Após o trem-tipo ser posicionado, é necessário obter as
ordenadas da linha de influência sob as forças concentradas e as áreas
compreendidas entre a linha de influência e o eixo da viga sob as forças
distribuídas. Dessa forma, obtêm-se:
Logo, os valores de cálculo do trem-tipo sobre as longarinas são
obtidos pela multiplicação dos valores mostrados na Figura 2.7 com
os coeficientes CIV, CNF e CIA. O trem-tipo final, empregado no cál-
culo dos esforços nas longarinas, é o apresentado na Figura 2.8. Vale
ressaltar que, nesse caso, como não há passeio para pedestres, multi-
plicou-se todo o trem-tipo, obtido pelo posicionamento do veículo-
-tipo na seção transversal, pelo coeficiente de ponderação das cargas
verticais. Caso houvesse contribuição no cálculo do trem-tipo de car-
regamento no passeio, essa parcela do carregamento não poderia ser
multiplicada por esse coeficiente, uma vez que o carregamento prove-
niente de pedestres sobre a ponte não provoca efeitos dinâmicos nela.
53
52
Figura 2.8 - Trem-tipo das longarinas da ponte sobre o rio Pau Seco majorado pelo
coeficiente de ponderação das cargas verticais
Q = 261,1 kN
1,5 m
Q = 261.1 kN
1.5 m
Q = 261.1 kN
1.5 m
1.5m
q,= 37,6 kN/m
m4 - Q (yi + Y2 + y3) + qi Ai + 92 A2
q
.= 11.5 kN/m
M}=196,3x (2,898 + 3,701 + 3,042) + 28,3 x 15,051
Balanços
Q = 196.3 kN Q = 196.3 kN Q = 196.3 kN
1.5m
1.5 m 1
,5 m 1.5 m
+ 8,6 x17,856 = 2472 kNm
.q,= 28.3 kN/m
Procedendo-se de modo semelhante, obtêm-se os esforços nas de-
mais seções da longarina. No Quadro 2.4 estão resumidos os mo-
mentos fletores e as forças cortantes, máximos (Mq+
e Vq+) e mínimos
(Mq“
e Vq~
), obtidos com base no carregamento móvel.
q}= 8.6 kN/m
Vãos
23.2.2 - Cálculo do momento fletor e da força cortante
Para cada seção de cálculo da longarina, são traçadas as linhas de in-
fluência de momento fletor e força cortante e, em seguida, é posicionado

Figura 2.9 - Linhas de influência das longarinas da ponte sobre o rio Pau Seco Quadro 2.4 - Momento fletor e força cortante, em uma longarina, decorrentes da
c.irga móvel
54 55
HTTTT1
6
a »> (
^ 0
* 1 2 3 4 5
Seção
M
+
4
Mq* (kNm)
Mq (kNm)
V/ (kN)
Vq- (kN)
1046 1773 2233 2472 2448 2186
T7t.
-1873 -1697 -1521 -1345 -1x69 -881
697 589 488 394 309 234 169
-458 -1115 -2049
A/
U — momento fletor na seção 4
-282 -366 -453
-540 -554 -829 - 76 - 79 - 123
num v; - 200
UL
7 8 9 j 10
^
[ 10db J 11 J 12 | 13 | 14 L 15
1714 1065 464
Mq* (kNm) 708 1116
499 1753 2155 2291
Mq” (kNm) -1369 -1038 -932 -830 -728
-1987
U — esforço cortante na seção 4 -990 - IO99 -1399
V,* (kN)
<0
l6l 155 153 795 699 599 500 404 315
íTII 173
Vq”
(kN)
lllllll M Q
-IOI * l6l -233 -315
-628 -714 -796 -91 '
93
-541
23.2.3. Cálculo das reações de apoio
As reações de apoio provocadas pela carga móvel sáo obtidas de
lorma semelhante à indicada no cálculo dos momentos fletores e for-
ças cortantes com o uso das linhas de influência de reação de apoio.
Na Figura 2.10 são mostradas a linha de influência no apoio 2 e as
posições mais desfavoráveis do trem-tipo. No Quadro 2.5 apresen-
tam-se os valores de reação de apoio das longarinas decorrentes da
carga móvel.
Figura 2.10 - Linha de influência da reação de apoio na seção 10
U — momento fletor no seçõo 10
v,<*
10
U - esforço cortante no seção 10d
M,5
M
mim
TTTT
IS
LI — momento fletor na seção 15
Uafl
ÍTTTTT1 «To
V
15
i
nu nnm <5
B
1.0
+
10
U
— esforço cortante na seção 15

56 Quadro 2.5 - Reações de apoio, em uma longarina, decorrentes da carga móvel 57
continuação
10dir | 11 12 13 | 14 15
7 8 | 9
Seção
Eixo 1 2 3 4
NW (kNm) 2099 851 -537 -4O4 IO46 2285 3036 3285
9234 1133.3 U33.3 9234 -I3O3
r (kNm) -605 -1313 -2400 *
3993 266
-1108 >
400 51
198.7 -2272
-198.7
- 743 - 743
VgTq* (kN)
V ‘
(kN)
-108 -223 *
355 -459 M06 1196 957 744 519 315
-1224 -1408 520 404 257 83 -119 -315
-822 -1012
2.3.3 ENVOLTóRIA DE SOLICITAçõES EM SERVIçO
Figura 2.11- Envoltória de momento fletor em serviço
Ao somar as solicitações decorrentes do peso próprio com as pro-
vocadas pela carga móvel, já acrescidas do efeito do coeficiente de
ponderação das cargas verticais, obtêm-se os valores das envoltórias
de solicitações, as quais são utilizadas no dimensionamento das ar-
maduras nas diversas seções da longarina (Figura 2.11). Essas soli-
citações são denominadas em serviço, uma vez que elas representam
as solicitações efetivas nas vigas principais da superestrutura. Para o
dimensionamento das armaduras deverá ser utilizada a combinação
última recomendada pela NBR 8681 (ABNT, 2003b), a qual majora
as solicitações em serviço por coeficientes adequados.
No Quadro 2.6 apresentam-se os valores para as envoltórias de
momento fletor e força cortante de uma longarina. Esse Quadro foi
obtido com a soma dos valores dos Quadro 2.2 e Quadro 2.4.
M;
0+0
A A
A y /1iNV /
à / A
/ /
s
v
A
r*
r
/
/
/
/
/ M*
g+q
2.3.4 DIMENSIONAMENTO DAS SEçõES TRANSVERSAIS
Apresenta-se, neste item, o dimensionamento das seções mais re-
presentativas das longarinas, cujas envoltórias de solicitação foram
calculadas no item anterior.
São admitidos os seguintes materiais a ser empregados na
construção da ponte:
• concreto: f**= 25 MPa;
• aço CA -50.
A escolha da resistência característica à compressão do concre-
to (fck) deu-se em função da obra encontrar-se em um ambiente ru-
ral com elevada umidade relativa, o que, segundo definição da norma
brasileira NBR 6118 (ABNT, 2014), classifica o meio como de média
Quadro 2.6 - Envoltórias de momento fletor e força cortante em uma longarina
(solicitações em serviço)
a 1 b I °dir 1
Seção 2 3 4 5 6
Mg,q
» (kNm)
Mgt£(kNm)
Vg
^
* (kN)
VgH?
~ (kN)
910 2208 3050 3466 3427 2965
-1262 -704 -350 -190 -102
-254 -542
-712 -1657
929
-2978
-204 -288 -356 1189 979 751
-744 -842 -1185 416 311 140
-2009
555 351 174 7
-426 -615
-39 -240
continua

contribui na resistência à flexão da seção. Na Figura 2.12 mostra-se
.1 determinação da largura da mesa, segundo os critérios sugeridos no
item 14.6.2.2 da norma NBR 6118 (ABNT, 2014), em uma seção si-
tuada no meio do vão central.
agressividade. Logo, pode adotar-se a classe de agressividade ambiental
II, o que implica o emprego de concreto com fck mínimo de 25 MPa.
Para o dimensionamento das seções, foram utilizados os coeficientes
recomendados pelas normas NBR 8681 (ABNT, 2003b) e NBR 6118
(ABNT, 2014) para a combinação última normal.
• Coeficientes de majoração das ações:
ação permanente: yg = 1,3;
ação variável: yq = 1,4.
A escolha do valor do coeficiente de majoração das ações perma-
nentes deu-se em função de se tratar de uma estrutura com ações per-
manentes de pequena variabilidade, já que a maior parte das ações
permanentes é decorrente do peso próprio da estrutura. Segundo a
NBR 8681 (ABNT, 2003), isso é válido quando o peso próprio da
estrutura superar 75% da totalidade das ações, o que normalmente
ocorre em grandes pontes. Nas pontes em geral, a critério do projetis-
ta, o coeficiente de majoração das ações permanentes pode ser adota-
do igual a 1,35.
• Coeficiente de minoração da resistência do concreto: yc = 1,4.
• Coeficiente de minoração da resistência do aço: ys = 1,15.
Quando a ação permanente atuar como elemento estabilizador,
isto é, como uma ação favorável, adota-se yg = 1,0.
2.3.4.1 Dimensionamento à flexão
O dimensionamento à flexão aqui apresentado é efetuado sem
levar em consideração o efeito de fadiga das armaduras, o qual será
abordado posteriormente.
As seções submetidas a momento fletor positivo comportam-se
como viga “T”, na qual a mesa representada pela laje do tabuleiro
58 59
I?igura 2.12 - Determinação da largura da mesa da viga “T" na seção do meio do vão
da longarina (em cm)
M bf
h. .= 27.5
n5 V / / / / / A k
40
.' 20
25
«'tf
b3 b1
T]' 40 ,
*
170 80
A partir das informações da Figura 2.12, têm-se:
ba = 40 + 20 + (40 - 27,5) = 72,5 cm
= 0,1 a = 0,1 x - 2000 =120 cm
5
b3
0,1 a = 120 cm
0,5 b2 = 0,5 x (480 - 40) = 220 cm
.*
. bf = ba + bj + b3 = 72,5 + 120 + 120 = 312,5 cm
b, < 4
No cálculo da largura colaborante da mesa (Figura 2.12), apare-
ce o termo “a” que depende do tipo de vinculação na extremidade
do vão. Esse termo representa a distância entre os pontos nulos do

diagrama de momento fletor. Assim, em uma viga biapoiada, o valor
desse termo é igual ao comprimento do vão. No caso de vãos com
momento fletor negativo em um dos apoios, o valor desse termo é
igual a três quartos do vão, e no caso de vãos com momento fletor
negativo nos dois apoios, o valor desse termo é igual a três quintos do
vão. Esta é a situação do vão central da ponte em estudo. Já no caso
de balanços, o valor desse termo é igual a duas vezes o comprimento
do balanço.
Vale ressaltar que a largura colaborante da mesa varia entre os
vãos, uma vez que eles têm comprimentos diferentes. Além disso, ela
também varia ao longo do vão da ponte, uma vez que a largura da
longarina é variável. Contudo, para efeito de simplificação, foi toma-
da a largura colaborante da mesa determinada no vão central para o
dimensionamento da armadura de flexão ao longo de toda a longa-
rina da ponte, uma vez que as seções da longarina se encontram no
Domínio 2 para o estado limite último, e esse parâmetro tem pouca
influência no cálculo da armadura.
Para efeito de exemplificação, é calculada a armadura de flexão na
seção 15, na qual atuam os seguintes momentos fletores:
Mg = 994 kNm;
Mq+
= 2291 kNm;
Mq'
= -728 kNm.
O momento fletor de cálculo (positivo) nessa seção vale:
Md = Yg Mg + Yq Mq
A altura total da seção vale (h) 1,8 m, a altura útil (d) é admitida
igual a 1,6 m, a qual será verificada posteriormente, e a espessura da
mesa colaborante é admitida igual a 0,20 m. O dimensionamento
6o da viga T pode ser feito seguindo-se os procedimentos usuais da
reoria do concreto armado, encontrados em Carvalho e Figueiredo
Filho (2004). De posse do momento fletor na seção 15, obtém-se a
armadura de flexão nessa seção: As+
= 67,1 cm2. O superescrito
no valor da área significa que essa armadura será colocada
para combater o momento fletor positivo, isto é, na face inferior da
viga. Ressalta-se que no dimensionamento da seção 15 não houve
necessidade da colocação de armadura de compressão e a linha
neutra no Estádio III situou-se na mesa de compressão. Essa deve ser
a solução preferencial a ser buscada no projeto da longarina, isto é,
sem armadura de compressão, para evitar maiores problemas quando
do dimensionamento da longarina aos efeitos de fadiga.
No tramo 1, a seção mais solicitada por momentos fletores positi-
vos é a de número 4, na qual atuam os seguintes momentos fletores:
Mg = 995 kNm; Mq+
= 2472 kNm.
O momento fletor de cálculo (positivo) nessa seção vale:
Md = Yg Mg -i-
yq
Ao admitir para a seção 4 as mesmas dimensões da viga T da
seção 15 (Figura 2.12), obtém-se a armadura de flexão nessa seção:
As+
= 71,0 cm2.
As seções submetidas a momento fletor negativo têm seção retan-
gular, uma vez que nessas seções a laje do tabuleiro situa-se na região
fracionada. A seção da longarina mais solicitada a momento fletor ne-
gativo é a de número 10, situada sobre o apoio entre os tramos 1
e 2. Nessa seção atuam os seguintes momentos fletores, com valores
em serviço:
Mg = -2011 kNm;
6i
=1,3 x 995 + 1,4 x 2472 = 4754 kNm
=1,3 x 994 + 1,4 x 2291=4500 kNm

Ao considerar a mesma seção transversal da Figura 2.12, chega-se a:
As+
= 45,1 cm2. Combinando Mg com Mq‘
obtém-se o momento fletor
negativo de cálculo e a seção resistente é retangular. Nessa situação, a
ação permanente atua de forma favorável, reduzindo o esforço provo-
cado pela carga móvel e, portanto, adota-se yg = 1,0.
63
Mq+
= 708 kNm;
Mq‘
= -1987 kNm.
O momento fletor de cálculo (negativo) nessa seção vale:
Md = yg Mg + yq M
"
=1,3 x (-2011) +1,4 x (-1987) =
Admite-se para a altura útil dessa seção um valor superior ao ado-
tado para as seções submetidas a momentos fletores positivos, em de-
corrência da colocação de parte da armadura de flexão da longarina
na laje do tabuleiro, o que reduz a distância entre o centro de gravida-
de das armaduras e a fibra mais tracionada. Inicialmente, será adota-
da uma altura útil (d) de 1,65 m, que será verificada posteriormente.
Sabendo que a largura da alma nessa seção (bw) vale 60 cm, chega-se
a armadura de flexão: As"
= 85,9 cm2. O superescrito no valor da
área significa que essa armadura será colocada para combater o mo-
mento fletor negativo, isto é, na face superior da viga.
As seções até aqui dimensionadas estão submetidas a momento
fletor em apenas um sentido, ou seja, momento positivo ou
momento negativo. Algumas seções, contudo, são submetidas tanto
a momento fletor positivo quanto a negativo, devendo, portanto, ser
dimensionadas para resistir a ambos. Esse é o caso, por exemplo, da
seção 2, cujos momentos fletores, com valores em serviço, são:
Mg = 435 kNm;
Mq+
= 1773 kNm;
Mq‘
= -1697 kNm.
Ao combinar Mg com Mq+ obtém-se o momento fletor positivo de
cálculo e a seção resistente é em forma de “T”.
62
-5396 kNm
Md = Yg Mg + Yq Mq =1,0 x 435 + 1,4 x (-1697) =-1941 kNm
Em razão da variação uniforme da espessura das longarinas, a lar-
gura nessa seção (bw) vale 48 cm, chegando-se assim a área de aço à
tração de: As = 28,9 cm2 (d = 1,65 m). Procedendo-se de forma aná-
loga para as demais seções, obtêm-se as áreas de aço à flexão (Quadro
2.7). Nesse Quadro, já está considerada a armadura mínima de flexão
estipulada pela norma NBR 6118 (ABNT, 2014).
Quadro 2.7 - Área de aço em uma longarina para resistir aos momentos fletores (so-
licitações de cálculo)
1 1 2 I 3 1 4 3
a b | 0
Seção 6
Md* (kNm) 1328 3048 4188 4754 4699 4072
Md~ (kNm) -972 -2266 -4077 -2799 1941 -1313
19.5 45.1 624
33.8 62,7 42^2 28.9 194
-888 -657 -454
A/ (cm2) 60.7
71.0 7CU
A (on2) 10,8 10.8
14.2 13.0
bw (cm) 48 60 48
54 54 42 40 40 40
7 8 9 10 I 11 I 12 i 13 F 14 ! 15
Seção
Md+ (kNm) 2900 1278
-1000 -1817
1492 3146 4162 4500
11
Md (kNm) -3260 -5396 -3090 -1545 -281
-772 -25
A, (cm2) 42.9 18.7 21.9 46.6 62,0 67,
1
A, (cm2) 14,6 497 85.9 47,0 22,8 10.8 10.8
27.0 112
bw (cm) 48 60
42 54 53 47 41 40 40
Mj -Yg Mg + Yq M
^
=1,3x 435 +1,4 x 1773 =3048 kNm
Projeto tie ponte em concreto armado com duas longarinas

pode ter resistência à fadiga 25% menor que uma barra com
16 mm de diâmetro, mantidas as demais condições.
c) Barras dobradas: o dobramento das barras reduz a sua
resistência à fadiga em relação às barras retas, por causa da
introdução de tensões localizadas nas regiões dobradas. Esta
redução é função da relação entre o diâmetro de dobramento e
o diâmetro da barra.
d) Emendas por traspasse: ensaios experimentais com traspasse de
20 a 35 vezes o diâmetro das barras mostraram que este tipo
de emenda não apresenta redução significativa de resistência à
fadiga, em relação às situações similares sem emendas.
e) Emendas por solda: nas barras emendadas por solda, por elé-
trodo ou por caldeamento, ocorre uma redução da resistência à
fadiga de até 50% em relação à barra sem emenda.
As estruturas de concreto armado são estruturas compostas, nas
quais o aço absorve as tensões de tração quando o concreto fissura.
Dessa forma, seu comportamento à fadiga está intimamente relaciona-
do com as propriedades de seus materiais componentes, aço e concreto,
c da interação entre eles (aderência). Assim, para elementos subarma-
dos sob a ação de momento fletor, o comportamento referente à fadiga
está diretamente relacionado com a resistência à fadiga da armadura.
Para elementos superarmados, ou aqueles em que o cisalhamento e a
aderência são fatores determinantes, a previsão do comportamento é
mais complicada.
No Brasil, esse assunto é abordado no capítulo 23 da NBR 6118
(ABNT,2014), que apresenta critérios para avaliar os danos gerados nas
estruturas de concreto por ações cíclicas que devem ser considerados nas
verificações em serviço e, ainda, critérios para verificação da segurança
65
2.3.4.2 Fadiga da armadura longitudinal
A fadiga pode ser definida como a alteração mecânica dos mate-
riais sob o efeito de solicitações repetidas.As ações que causam fadiga
são aquelas que produzem variações de solicitações com frequência
relativamente alta. Dentre elas podem ser citadas: cargas móveis, on-
das do mar, sismos, vento, variações de temperatura, congelamentos
etc. Os maiores problemas de fadiga ocorrem, normalmente, para si-
tuações com elevado número de ciclos, de 103 a 108.
O concreto, quando sujeito a ações repetidas, pode apresentar
fissuração excessiva e, eventualmente, romper após um grande
número de ciclos, mesmo se o nível de solicitação for menor que a
correspondente solicitação estática. A resistência à fadiga é definida
como uma fração da resistência estática que pode ser suportada,
para certo número de ciclos. Por exemplo, para dez milhões de
ciclos, a resistência à fadiga, para compressão, tração ou flexão,
é de aproximadamente 55% a 60% da resistência estática. A
ruptura por fadiga do concreto é caracterizada por deformações e
microfissuração bem maiores que as correspondentes à ruptura sob
solicitação estática.
A resistência à fadiga do aço depende de vários fatores (El Debs;
Takeya, 1992):
a) Conformação superficial: as nervuras das barras, projetadas
para melhorar a aderência entre o aço e o concreto, acarretam
uma redução significativa da resistência à fadiga, comparativa-
mente às barras lisas, por causa da concentração de tensões.
b) Diâmetro das barras: a resistência à fadiga das barras diminui com
o aumento do seu diâmetro; uma barra com 40 mm de diâmetro
64

no estado limite último de fadiga. É importante realizar as verificações
em serviço de estruturas submetidas a cargas cíclicas, como as pontes,
pois elas provocam uma maior microfissuração do concreto, resultando
em maiores deformações para os elementos estruturais. No caso do esta-
do limite último, essa norma aborda as ações de fadiga de média e baixa
intensidade com número de repetições de até dois milhões de ciclos. No
expectro de ações das pontes rodoviárias, são desconsiderados os veícu-
los com carga total até 30 kN.
Segundo a norma NBR 6118 (ABNT, 2014), as variações de ten-
sões das barras da armadura longitudinal, calculadas em regime elás-
tico e com o concreto no estádio II, devem ficar limitadas a valores
admissíveis a fim de prevenir a ruptura por fadiga. O limite máximo
da variação de tensão para o aço CA-50 é dado na Tabela 23.2 da re-
ferida norma. Para o caso de barras retas ou dobradas com diâmetro
de dobramento maior que 25 vezes o diâmetro da barra, a flutuação
de tensão limite para evitar a ruptura por fadiga do aço AfS(jjtl(j varia
de 150 MPa a 190 MPa, em função do diâmetro da barra. Já para o
caso de barras retas ou dobradas com diâmetro de dobramento me-
nor que 25 vezes o diâmetro da barra, o valor de Af
^^j varia de 85
MPa a 105 MPa. No caso de estribos, o valor de Af
^fad é fixo e igual
a 85 MPa, desde que o diâmetro de dobramento seja ao menos igual
a três vezes o diâmetro da barra, e este não poderá ser maior que
dez milímetros.
Os valores apresentados para Afsd?fad referem-se a barras nervura-
das de alta aderência, nas quais as saliências transversais e longitu-
dinais não se cruzam e nem apresentam
saliência e r o raio da curva de concordância da saliência com o corpo
66
da barra. Na falta de dados experimentais específicos que comprovem
que barras que não respeitam essa configuração satisfazem os limi-
tes de tensão da NBR 6118 (ABNT, 2014), permite-se utilizá-las com
uma redução de 30% da flutuação de tensão limite dada na Tabela
23.2 da referida norma.
Quando a variação de tensão nas armaduras longitudinais YfatAas
for superior à AfS(jjad, deve-se intervir para limitar a variação de ten-
são. Uma forma de reduzir essa variação de tensão é aumentar a
quantidade de armadura de flexão, pois há uma relação direta entre
a tensão na armadura e a inércia da seção transversal, a qual depende
da taxa de armadura de flexão. Como primeira estimativa, as áreas
de aço calculadas, no estádio III, para resistir aos momentos fletores
podem ser multiplicadas por um coeficiente de fadiga K, obtido por:
K ^
Yfat Aas
A
^sd.fad
As armaduras assim majoradas deverão ser verificadas novamente
para confirmar se a variação de tensão é inferior a Afscjjacj. Um aspec-
to a ser mencionado é que a NBR 6118 (ABNT, 2014) não explicita
claramente o valor do coeficiente Yfat que deve ser utilizado na verifi-
cação da segurança da fadiga da armadura de flexão, dando a enten-
der que esse coeficiente deve ser adotado igual à unidade apenas no
caso da verificação da fadiga na armadura transversal. Além disso,
na Tabela 23.2 dessa norma há dois limites de Af
^f
^ para barras
retas quando submetidas a 2x106 ciclos. Por essa razão, nos cálculos
a seguir, foi adotado Yfat = 1,5 para verificação da fadiga na arma-
dura de flexão e o valor de Afscjjad,min recomendado para barras retas
ou dobradas com diâmetro de dobramento maior que 25 vezes o
67
7- < 0,5 sendo h a altura da
h

68 diâmetro da barra. O valor adotado para o coeficiente Yfat é o reco-
mendado pela NBR 8681 (ABNT, 2003) para a ponderação de ações
em geral e era recomendado pela antiga norma NBR 7187 para pro-
jeto de pontes de concreto armado e protendido (ABNT, 1987).
Ainda segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), a variação de tensão
deve ser obtida por uma combinação frequente de ações, adotando-
-se os coeficientes de minoração específicos para o caso de pontes.
Segundo essa norma, o valor do fator de redução Tj a ser utilizado
na combinação frequente de ações em pontes rodoviárias vale 0,5
para a verificação das longarinas com vãos de até cem metros e 0,8
para a verificação da laje do tabuleiro.
Analisa-se, a seguir, a seção 12 da longarina da ponte sobre o rio
Pau Seco, por ser esta a seção que apresenta as maiores variações de
momento fletor. Os momentos fletores devidos à carga permanente
(Mg) e à carga móvel (Mq+
e Mq“
), em serviço, que atuam nessa se-
ção são:
69
s,min = Mg +
^1 Mq =-70 + 0,5 x (-1038) =-589 kNm
M
Para calcular a tensão na armadura, admite-se que a seção se
encontre no limite do estádio II, ou seja, o concreto tracionado não
resiste aos esforços e a distribuição de tensões na região comprimida
é linear. Na Figura 2.13 são mostradas as seções transversais
empregadas no cálculo, considerando a atuação de momentos
fletores positivo e negativo e os diagramas de tensão e de deformação
na seção.
Figura 2.13 - Seções de cálculo da seção 12 da longarina
§
b, = 312.5 cm T3
I <Vn
] V
A.
i
A.= 22.8 cní
I
§ s
4
8
S
«-
o
6 - §
A
£
8
8 /
£ 1
-O
XI
A:
/
A*
=21,8cm '
a,/n
Et a
.
b.=47 cm
b.= 40 cm
Mg =-70 kNm;
Mq+
= 1116 kNm;
Mq“
=-1038 kNm.
A variação de tensão na seção é definida como ACTS = crs>max - asmin.
A tensão a
(b) Seção para momento fletor negativo
(a) Seçáo para momento fletor positivo
Analisa-se, inicialmente, a seção 12 quando submetida a momen-
). Admitindo-se que a linha neutra esteja na
to fletor positivo (M
é obtida pela combinação de Mg com Mq+
, a qual
resulta em um momento que traciona as fibras inferiores (momento
s, max
mesa de compressão (o que implica em admitir bw = bf), sua posição
pode ser obtida por (Carvalho; Figueiredo Filho, 2004):
s,max
fletor positivo).
• l2
n (As 4- As)
^
= M M+
* q
s,min é obtida pela combinação de Mg com Mq"
, a qual
resulta em um momento que traciona as fibras superiores (momento
fletor negativo).
M =-70 + 0,5 x 1116 = 488 kNm n (As + As) 2 n , . . . »
x
—(d As + t As)
bw
s.max
XII
1 bw
bw
A tensão a
Essa expressão fornece a posição da linha neutra, no estádio II, em
uma seção retangular com armaduras de tração e compressão. Nessa

expressão, As é a área de aço de tração; As é a área de aço de com-
pressão; n é a relação entre os módulos de deformação longitudinal
do aço e do concreto; bw é a largura da seção; d é a altura útil da
seção, distância da armadura tracionada à fibra mais comprimida da
seção; t é o cobrimento da armadura comprimida, distância da arma-
dura comprimida à fibra mais comprimida da seção.
Quando a seção 12 está submetida ao momento fletor positivo
sjnaxK têm-se: As = As+
= 21,9 cm2; As = As'
= 22,8 cm2; n = 10
(item 23.5.3 da norma ABNT NBR 6118); bw = 312,5 cm; d = 160 cm
e t = 15 cm.Ao usar esses valores na expressão anterior, obtém-se xn =
14,32 cm, menor que a espessura da mesa colaborante (hf), o que con-
firma a hipótese inicial da linha neutra encontrar-se na mesa de com-
pressão. A inércia da seção é obtida, então, por:
b x 3
-- - 11
+ n As(d - xn)2
+ n As(t -xu)2
=> Iu = 0,0495 m4.
A expressão anterior foi obtida para uma seção retangular no
estádio II com armaduras de tração e compressão. A tensão na
armadura tracionada, que neste caso está na face inferior da longarina
(As+), vale:
Quando a seção 12 está submetida ao momento fletor negativo
(Ms,min), têm-se: As = As‘
= 22,8 cm2; As’
= As+
= 21,9 cm2; n = 10;
bw = 47 cm; d = 165 cm e t = 20 cm. Ao usar esses valores na ex-
pressão que fornece a posição da linha neutra em uma seção retangu-
lar com armaduras de tração e compressão, obtém-se xjj = 33,82 cm.
A inércia da seção é obtida pela mesma expressão empregada quan-
do a seção estava submetida ao momento fletor positivo e vale In =
0,0461 m4.
A tensão na armadura tracionada, que neste caso está na face supe-
rior da longarina (As ), vale:
n
^s,min| — XII )
70 71
(M
=167,7 MPa
^s^
max
*n
A tensão na armadura comprimida, que neste caso está na face
inferior da longarina (As+), vale:
h=
|(t - xn)
n
^s.min
=-17,7 MPa
CTs,min
III
Conhecidas as tensões nas armaduras quando a seção está subme-
tida aos momentos fletores positivo e negativo, é possível determinar
.i variação de tensão em cada uma das armaduras dessa seção. Na
armadura inferior (As+ ), a variação de tensão vale:
Yfat Atys = Yfat (CT
Ao adotar, como armadura de flexão, barras nervuradas com diâme-
tro de 25 mm, a máxima variação de tensão permitida, de modo a evitar
.i ruptura por fadiga do aço, (Afsc
|facj) vale 175 MPa, segundo a NBR
6118 (ABNT, 2014).A variação de tensão calculada na seção 12 é maior
que esse limite, logo se deve aumentar a área de aço multiplicando-a
pelo coeficiente de fadiga
|(d -xu)
n Ms,max
=143,5 MPa
as,max —
*n
-
<rnin ) =1,5 X (143,5-(-17,7)) = 241,8 MPa
s,max
A tensão na armadura comprimida, que neste caso está na face su-
perior da longarina (As~
), vale:
n M [(t - xq )
s,max
= 0,7 MPa
asjnin
Jri
Essa armadura está sendo tracionada, e não comprimida, em fun-
ção da linha neutra no estádio II estar acima do centro de gravidade
da armadura comprimida.

Por outro lado, o modelo de cálculo à fadiga da norma NBR 6118
parece ter sido baseado nas recomendações do código modelo da fib -
fédération internationale du béton (FIB, 2012). Para barras retas com
diâmetro de 25 mm, o código modelo da fib recomenda a flutuação
máxima de tensão (AaRsk) de 191,3 MPa para 106 ciclos ou de 177
MPa para 2x106 ciclos, valor muito próximo ao especificado pela
norma NBR 6118. Contudo, o código modelo da fib recomenda mi-
norar a flutuação de tensão no aço pelo coeficiente ys>fat = 1,15; para
o coeficiente Yfat é recomendado utilizar o valor de 1,1. Logo, pode-
se estimar que o valor de Af
^facj pelo código modelo da fib seria de
aproximadamente 154 MPa, que dividido pelo coeficiente Yfat, forne-
ce um valor de aproximadamente 140 MPa. Ao se utilizar Yfat = 1*5
como feito anteriormente, o valor de Afs
^fad sugerido pela NBR 6118
para as barras com 25 mm de diâmetro fica reduzido a 116,7 MPa,
valor cerca de 17% inferior ao recomendado pelo Eurocode 2 e pela
fib e, portanto, a favor da segurança.
Para garantir a segurança da seção transversal ao estado limite úl-
timo de fadiga, deve-se verificar, também, a fadiga do concreto com-
primido, o que pode ser feito seguindo a recomendação da NBR 6118
(ABNT, 2014).A verificação para o concreto à compressão é satisfeita
73 73
Yfat Ac7s 241,8
K+
= =1,38
Afsd,fad 175
Na armadura superior (As~
) a variação de tensão vale
Yfat Aos “
Yfat (as,max “
CTs,min )
Como a variação de tensão nessa armadura também é maior que
a variação limite de tensão (Afsdsfad = 175 MPa), deve-se aumentar a
área de aço multiplicando-a pelo coeficiente de fadiga
=1,5 x (167,7-0,7) = 250,5 MPa
Yfat Aas 250,5
K"
= =1,43
Afsd,fad 175
Aplicando esses coeficientes de fadiga calculados, as áreas de aço
serão aumentadas para os seguintes valores: As+
= 30,3 cm2 e As'
=
32,6 cm2. Repetindo-se o procedimento anteriormente descrito, cons-
tata-se que, com essa nova área de aço, a variação de tensão é me-
nor, porém ainda maior que a variação limite de tensão para as barras
de 25 mm de diâmetro. Neste caso, obtêm-se novos valores para os
coeficientes de fadiga, a saber: K+
= 1,05 e K"
= 1,02. Majorando no-
vamente a área de aço e repetindo-se o procedimento até os coeficien-
tes de fadiga atingirem o valor unitário, obtêm-se As+
= 31,9 cm2 e As'
= 33,5 cm2. Com essa área de aço, é respeitado o estado limite último
de fadiga da armadura de flexão nessa seção transversal.
Vale a pena comparar o limite de flutuação de tensões estipula-
do pela NBR 6118 (Afs
^fad) com o valor definido, por exemplo, pelo
Eurocode 2 (CEN, 2004). Nesta norma, o valor de cálculo da máxima
flutuação de tensão para barras retas submetidas a 106 ciclos (AOR^)
é de 141,3 MPa, valor menor que o estipulado pela NBR 6118 para
barras com diâmetro de 25 mm.
se
< fcd.fad
nc Yf
CTc,max -
em que
fCd,fad - 0,45 fcd
1
4c =
Kl
1,5-0,5
CTC2

Nesse cálculo, foi utilizada a linha neutra e a inércia fissurada obti-
das ao final do processo de verificação da fadiga na armadura longitu-
74 75
sendo:
T
|
c, o fator que considera o gradiente de tensões de compressão
no concreto;
lacjl, o menor valor, em módulo, da tensão de compressão a
uma distância não maior que 300 mm da face sob a combinação
relevante de cargas (Figura 2.14);
laC2l, o maior valor, em módulo, da tensão de compressão a uma
distância não maior que 300 mm da face sob a mesma combinação
de carga usada para cálculo de lacjl (Figura 2.14).
Figura 2.14 - Definição das tensões aci e ac2
dinal. Seguindo o procedimento anteriormente descrito, conclui-se que
bc2l= a e lacjl é igual a zero, já que a profundidade da linha neutra
no estádio II (xn = 16,97 cm) é menor que 300 mm. Logo, qc = 0,67,
podendo-se concluir que a seção está segura com relação à fadiga do
concreto comprimido, pois
c,max
25 1
=1,18 MPa < 0,45x 12 MPa
ac,max 1,4 0,67 x 1,0
No caso de momento fletor negativo, a máxima tensão de com-
pressão ocorre na fibra inferior da seção e pode ser calculada por
^s,min XI1 589 x 0,3915
=3587 kN / m2
=3,59 MPa
a+
<*c2
•li 0,0643
c,max
Novamente, nesse cálculo, foram utilizadas a linha neutra e a
inércia fissurada obtidas ao final do processo de verificação da fadiga
na armadura longitudinal. Como nesse caso a profundidade da linha
neutra no estádio II (xn = 39,15 cm) é maior que 300 mm, conclui-se
que lcrciI = 0,84 MPa. Logo, rc = 0,72, podendo deduzir-se que a seção
lambém está segura com relação à fadiga do concreto comprimido,
uma vez que
<*d
E
E
AM 8
-C
Como não há na NBR 6118 (ABNT, 2014) recomendação para o
valor de Yf na verificação do concreto à fadiga, optou-se aqui por uti-
lizar Yf = 1, tendo em vista a utilização do valor de cálculo da resistên-
cia à compressão do concreto nessa verificação.
Na sequência, é exemplificada a verificação da fadiga do concre-
to sob compressão na seção 12, tanto para momento fletor positivo
quanto para momento fletor negativo. No caso de momento fletor po-
25 1
+
=3,59 MPa < 0,45 x =11,1 MPa
a
1,4 0,72 x 1,0
Analisam-se, a seguir, as tensões na armadura inferior da seção 15.
< )s momentos fletores devidos à carga permanente (Mg) e à carga mó-
vel (Mq+
e Mq ), em serviço, que atuam nessa seção são:
Mg = 994 kNm;
Mq+
= 2291 kNm;
Mq-
=-728 kNm.
c,max
sitivo, a máxima tensão de compressão ocorre na fibra superior da
seção e pode ser calculada por
-
^s,max XEI 488 x 0,1697
=1176 kN / m2
=1,18 MPa
ac.max 0,070

A combinação frequente que produz a máxima e a mínima tensão
na armadura de tração, situada no bordo inferior da seção, é:
= Mg 4 0,5Mq+
= 2139,5 kNm
Ms> min = Mg 4- 0,5Mq~
= 630 kNm
Essa seção, ao longo da vida útil da ponte, estará sempre submetida
a momento fletor positivo com intensidade variando de 2139,5 kNm a
630 kNm. A seção transversal de cálculo empregada na avaliação das
tensões na armadura é a mesma indicada na Figura 2.13. Admitindo-se,
inicialmente, que a linha neutra esteja na mesa de compressão (bw = bf) e
sabendo-se que As = As+
= 67,1 cm2, ’
= A/ = 0, n = 10, bw = 312,5 cm,
d = 160 c m e t = 15 cm, obtém-se, pela expressão para cálculo da linha
neutra em seções retangulares com armaduras de tração e compressão,
um valor maior que a altura da mesa colaborante (hf = 20 cm). Isso in-
dica que a hipótese inicial não é válida, devendo-se recalcular a posição
da linha neutra considerando-se uma seção em forma de “T”.Se a con-
tribuição da nervura for desprezada (válido para bf > 5 bw) e não houver
armadura de compressão na seção, a posição da linha neutra pode ser
obtida (Sússekind,1989) por
76 77
bwxn + 2 [jbf bw )hf + n
^As + As j XJJ (bf bw ) hj
^Asd + Astj= 0
XJI = 24,4 cm
Neste caso, a inércia da seção no estádio II é obtida por:
(bf - bw ) hf bw xjj
111
— 1
-2n
Ms? maX
2
hf
—+ (bf -bw ) hf I xn-
^ +
12
n As(d-xu)2
+ Aj(xn -t)2
j
=> In = 0,1370 m4
Os valores obtidos por esses dois procedimentos para a seção 15
( oram próximos, razão que justifica o uso da equação simplificada,
t ontudo, para o restante do projeto, foram utilizadas as expressões
mais precisas para determinação da posição da linha neutra e da
inércia no estádio II.
As tensões máxima e mínima na armadura tracionada (As+) na
seção 15 valem:
|(d ~
xn)
n Ms,max
at
0,5 bf hf 4*
n As d = 211,7 MPa
s,max
III
> hf => xn = 24,5 cm
xn =
bf hf 4- n As
n Ms.min (d XJJ )
CTs,min =62,3 MPa
A inércia da seção no estádio II puro é obtida por
bf h
|
MI
h
( h f
4- bf hf XJJ — + nAs(d - XJJ )2
=> In = 0,1384 m4
2 1
A variação de tensão na armadura tracionada vale, portanto,
yfat Aas = Yfat I^s,max
Como a variação de tensão nessa armadura é maior que a flutua-
ção de tensão limite (Afscj,fad = 175 MPa), deve-se aumentar a área de
.iço, multiplicando-a pelo coeficiente de fadiga:
12 +
s,min ) = 224,1 MPa
-a
De forma mais precisa, a posição da linha neutra no estádio II em
uma seção em forma de T e com armadura de compressão pode ser
obtida com a raiz da seguinte equação do segundo grau:
Projrto di* ponte em concreto armado com duas longarinas [Daniel de Lima Araújo]

( .>u.tdro 2.8-Área de aço de flexão, com fadiga, em uma longarina
78 79
K+ _ Yfat ÀCTs 224,1
^sd.fad
=1,28 a j b j 0 j 1 I 2 | 3 ] 4 5 6
Seção
175
K* 1.35 1
*74 1.71 1.53 M7 M3
K 1,00 1,00 1.00 M3 1.00
Aplicando esse coeficiente de fadiga, a área de aço é aumentada para
Ag+
= 85,9 cm2. Repetindo-se o procedimento anteriormente descrito,
constata-se que, com As+
= 86,8 cm2, é respeitado o estado limite últi-
mo de fadiga da armadura de flexão nessa seção transversal, isto é,
Yfat Aas =175 MPa
No Quadro 2.8 são apresentados os coeficientes de fadiga iniciais e
as áreas de aço finais majoradas. Dessa forma, com as áreas indicadas
no referido quadro, fica atendido o estado limite último de fadiga da
armadura em todas as seções da longarina.
Da mesma forma, deve-se verificar o estado limite último de fadiga
do concreto sob compressão em todas as seções da longarina. No Qua-
dro 2.9 apresentam-se a máxima tensão de compressão e a tensão limi-
te estabelecida pela NBR 6118 (ABNT, 2014). Percebe-se que apenas
na seção 10 o estado limite último de fadiga do concreto comprimido
não foi atendido. Portanto, a largura dessa seção deve ser aumentada
para 78 cm, que é o mínimo necessário para atendê-lo. Com o aumento
da largura, haveria um aumento do peso próprio da longarina. Para mi-
nimizar este aumento, uma possibilidade seria criar uma mesa de com-
pressão na face inferior da longarina, com largura de 78 cm e altura de
50 cm. Essa mesa de compressão teria largura variável, reduzindo para
54 cm nas seções de cálculo de número 9 e 11. Dessa forma, o aumento
no peso próprio da longarina poderia ser desconsiderado, permitindo a
utilização dos esforços já calculados.
A,‘ (cm2)
A, (cm2)
28,4 82,5 108,8 110.7 104.7 88,2
33.8 62.7 61.8 28.9 19.4 13,0 10.8
14.2 10.8
9 ! 10 i 11 12 13 T 14 i 15
Seção 7 8
Kf 1.64 1.38 1.61 148
1.14 1.37
K 1.08
1.00 1.57 1.00 144 M3 1.00
A/ (cm2)
A, (cm2)
76.8 85,8 86,8
724 22,1 31.9
14.6 43.3 53-6 85.9 53.8 10.8 10.8
336 11.2
« ju.idro 2.9 - Verificação da fadiga no concreto comprimido, em uma longarina
t> 0 1 2 j 3 I 4 I 5 I 6
Seção a
(MPa) 4.6 6.8
^cjnax 8.9 4.9 2.4
®c,max <MPa) 1.0 2,2 2.9 34 34 3.0
<*c.Km <MPa > 11.6
12,1 11.1 10.5 10.5
^c.lim (MPa) 11.8
12.1 12.1 11.9 12,0 12.1
7 L8 I 9 10 11 12 13 14 15
Seção
"c.mix (MPa > 8.8 8.3 3.6
1.0 43 12,2 0.1
<Vmax (MPa ) 2A O.9 14 24 3.2 3Ó
<lim (MPa ) 10.8 10.5
12,1 10.2 10.5 11.1 12,1
«c.lim (MPa ) 12.1 12,
1 12.1 12.1 12,1 12,1

a - é o ângulo de inclinação da armadura transversal, que nesse
projeto foi adotado igual a 90°;
Vj- é a força cortante de cálculo na seção mais solicitada;
Vc - é a parcela da força cortante absorvida por mecanismos
complementares ao de treliça.
Apresenta-se, a seguir, o cálculo da decalagem (a
^) para o tramo de
20 m. A força cortante de cálculo junto ao apoio desse tramo vale:
vd =Yg vg + Yq Vq =1,3 x 611 + 1,4 x 795 =1907 kN
logo:
8i
2.3.43 Detalhamento da armadura de flexão das longarinas
O dimensionamento das armaduras das seções é completado por
um plano de distribuição das barras ao longo do tramo, garantindo,
assim,a resistência de todas as suas seções.
80
2.3.43.1 Envoltório de armação
Quando do dimensionamento à flexão, foram determinadas, em
cada seção de cálculo, as áreas de armadura positiva e negativa. A par-
tir dessas áreas, podem ser traçadas, em cada tramo, duas envoltórias
de armação (Figura 2.15). A primeira envoltória é obtida traçando-se a
envoltória simples de armação, que resulta diretamente do dimensiona-
mento (Quadro 2.7), e adicionando-se a ela o deslocamento horizontal,
destinado a cobrir as solicitações de tração do banzo inferior da treliça
empregada no cálculo da armadura transversal (decalagem).
Figura 2.15 - Envoltória de armação de uma longarina
í j{
com fctd = 0, 21 x
Vc =0,6 fctd bw d ,
Yc
25
x 0,6 x 1,65 => VC =762 kN
Vc =0,6 x 0,21 x
u Vd
d 2(Vd -Vc) 2 (1907-762)
1,4
1907
=0,83
Procedendo-se de modo semelhante, pode calcular-se o valor da
decalagem (a
^) para os outros tramos, incluindo o balanço.
Obtém-se a segunda envoltória pelo aumento da área de aço, em
t ada seção, de forma a limitar a variação de tensão nas armaduras
(envoltória com fadiga - Quadro 2.8). A envoltória final de armação
e definida pela situação mais desfavorável em cada seção, ou seja, é
definida pelo contorno externo da superposição dessas duas envoltó-
i ias, uma vez que os efeitos de fadiga e de deslocamento lateral não se
ornam -trata-se de fenômenos físicos independentes. Essa envoltória
define os pontos nos quais as barras de armação devem ser ancoradas.
Vale ressaltar que as barras de aço fornecidas comercialmente têm
comprimento entre 1 0 m e l2 m e toda vez que houver necessidade de
Envottúna simples com
decalagem
Pontos do envoltória
com fadiga
O valor da decalagem depende do modelo de cálculo utilizado
para o dimensionamento da armadura transversal. Caso seja utilizado
o modelo da treliça clássica, o deslocamento do diagrama de momen-
to fletor será, segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014),
y,
d . _ r ( 1+ cotga )-cotgct > 0,5 d
a, =
em que,

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