Apostila de concreto protendido epusp

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Concreto Protendido
Fundamentos Iniciais
Hideki Ishitani
Ricardo Leopoldo e Silva França
Escola Politécnica – USP
Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações
2002

Escola Politécnica – Universidade de São Paulo
PEF – Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica
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1
Conceitos Básicos
CONCRETO PROTENDIDO
1. Introdução
O concreto resiste bem à compressão, mas não tão bem à tração. Normalmente a
resistência à tração do concreto é da ordem de 10% da resistência à compressão do
concreto. Devido a baixa capacidade de resistir à tração, fissuras de flexão aparecem para
níveis de carregamentos baixos. Como forma de maximizar a utilização da resistência à
compressão e minimizar ou até eliminar as fissuras geradas pelo carregamento, surgiu a
idéia de se aplicar um conjunto de esforços auto-equilibrados na estrutura, surgindo aí o
termo protensão.
Figura 1. Fila de livros.
Na figura 1 temos um exemplo clássico de como funciona a protensão. Quando se quer
colocar vários livros na estante, aplicamos forças horizontais comprimindo-os uns contra
os outros a fim de mobilizar as forças de atrito existente entre eles e forças verticais nas
extremidades da fila, e assim, conseguirmos colocá-los na posição desejada.
Tecnicamente o concreto protendido é um tipo de concreto armado no qual a armadura
ativa sofre um pré-alongamento, gerando um sistema auto-equilibrado de esforços (tração
no aço e compressão no concreto). Essaé adiferençaessencial entre concreto protendido e
armado. Deste modo o elemento protendido apresenta melhor desempenho perante às
cargas externas de serviço.

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(a) Concreto Simples
(b) Concreto Armado
(c) Concreto Protendido
Figura 2. Diferença de comportamento de umtirante
Na figura 2 observamos o comportamento do gráfico Carga-Deformação de um tirante
tracionado sem armadura (Concreto Simples), com armadura sem protensão (Concreto
Armado) e com armadura protendida (Concreto Protendido). A pré-compressão,

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decorrente do pré-alongamento da armadura ativa do tirante, aumenta substancialmente a
capacidade de resistir ao carregamento externo necessário antes de iniciar a fissuração.
Figura 3. Carga deslocamento em peças fletidas de concreto armado e concreto protendido.
Na figura 3, mostra-se a diferença da curva carga-flecha em uma viga de concreto armado
(CA) e em uma viga com armadura de protensão (CP). Ambas têm a mesma capacidade
última (Mu), mas a peça protendida tem um momento de fissuração (Mr”) muito maior que
a viga de concreto armado. Devido a contraflecha inicial da viga protendida, suas
deformações iniciais são menores do que a viga de concreto armado, para um mesmo nível
de carregamento.

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1.1. Noções Preliminares
Considere-se a viga esquematizada na figura 4:
Figura 4. Viga comcarregamento permanente (g) e variável (q).
a) Considere-se a atuação isolada da carga acidental q = 22,2 kN/ m.
A esta carga corresponde o momento fletor máximo no meio do vão:
×
= = =
2
q,max
2
ql 22,2 6
M 100 kN.m
8 8
Nesta seção, emregime elástico linear, as tensões extremas valem:
−
− × 
= ⋅ = = = = = −  × 
− −
σ
3
q,max q,max q,max q,max
sup 3 2 2
sup
q,sup
M M M Mh 100 10
y . 12 MPa
bh bh 0,2 0,5I 2 W
12 6 6
e
3
q,max q,max q,max q,max
inf 3 2 2
inf
q,inf
M M M Mh 100 10
y . 12 MPa
bh bh 0,2 0,5I 2 W
12 6 6
−
× 
= ⋅ = = = = =  × 
σ
conforme mostra a fig. 5. Os sinais atribuídos aos módulos de resistência Wsup e Winf
permitem compatibilizar as convenções clássicas adotadas para momento fletor e tensões
normais. A tensão máxima de tração vale 12 MPa junto à borda inferior e a de compressão,
-12 MPa junto à borda superior.
Figura 5 – Diagrama de Tensões Normais – Viga de Concreto Armado

5
Para o material concreto, tensões desta ordem de grandeza provocam, seguramente, a
ruptura da seção transversal por tração. No concreto armado, a resistência da seção é
obtida pela utilização de uma armadura aderente posicionada junto à borda tracionada. No
concreto protendido, lança-se mão da “protensão” para alterar o diagrama de tensões
normais tornando-o mais apropriado à resistência do concreto.
A idéia básica da protensão está ligada à redução (e eventualmente, à eliminação) das
tensões normais de tração na seção. Entende-se por peça de concreto protendido aquela
que é submetida a um sistema de forças especial e permanentemente aplicadas chamadas
forças de protensão tais que, em condições de utilização, quando agirem simultaneamente
com as demais ações, impeçam ou limitem a fissuração do concreto. Normalmente, as
forças de protensão são obtidas utilizando-se armaduras adequadas chamadas armaduras de
protensão.
b) Considere-se a aplicação da força de protensão P = 1200 kN centrada na seção
mais o efeito da carga acidental do item a).
Para isso, imagine-se que a viga seja de concreto com uma bainha metálica flexível e vazia
posicionada ao longo de seu eixo. Após o endurecimento do concreto introduz-se uma
armadura nesta bainha, fig. 6A. Através de macacos hidráulicos apoiados nas faces da viga,
aplique-se à armadura a força de protensão P = 1200 kN. Naturalmente, a seção de
concreto estará comprimida com a força P = -1200 kN. Esta pré-compressão aplicada ao
concreto corresponde ao que se denomina de protensão da viga. A tensão de compressão
uniforme, decorrente desta protensão, vale:
3
cpsup cpinf
c
P P 1200 10
12 MPa
A bh 0,2 0,5
−
− ×
σ = σ = = = = −
×
onde desprezou-se a redução da área Ac devido ao furo (vazio correspondente à bainha).
Acrescentando-se o efeito do carregamento do item a), o diagrama de tensões normais na
seção do meio do vão será inteiramente de compressão, com exceção da borda inferior
onde a tensão normal é nula.
( )σ = σ + σ = − + − = −sup cpsup qsup 12 12 24 MPa
( )σ = σ + σ = − + =inf cpinf qinf 12 12 0

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Figura 6 – Diagrama de Tensões Normais – Viga de Concreto Protendido
A tensão máxima de compressão vale -24 MPa junto à borda superior da seção e a tensão
mínima será nula na borda inferior. Desta forma a tensão normal de tração foi eliminada.
Observa-se que a tensão máxima de compressão corresponde ao dobro da tensão devida à
carga acidental q.
O diagrama de tensões normais ao longo do vão da viga varia entre os valores
esquematizados nas figuras 6B e 6D, pois o momento fletor aumenta de zero nos apoios ao
valor máximo no meio do vão.
c) Considere-se a protensão P = 600 kN aplicada com excentricidade ep = 8,33 cm,
mais o efeito da carga acidental do item a)
De maneira análoga ao que foi visto no item b), se a posição da bainha for deslocada
paralelamente ao eixo da viga de 8,33 cm, conforme mostra a fig. 7A, e reduzir-se a força
de protensão P para 600 kN, as seções da viga ficam submetidas à força normal Np = -600
kN e ao momento P.ep:
p pM Pe 600 0,0833 50 kN.m= = − × = −
As tensões normais extremas devidas à protensão passama valer:

7
p p
cpsup 2
c sup c sup
P.e eP 1 1 0,0833 6
P 600 0
A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5
  × 
σ = + = + = − − =     × ×  
e
p p
cpinf 2
c inf c inf
P.e eP 1 1 0,0833 6
P 600 12 MPa
A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5
  × 
σ = + = + = − + = −   × ×  
resultando umdiagrama triangular de tensões normais de compressão.
Figura 7 – Diagrama de Tensões Normais – Viga de Concreto Protendido (Protensão Excêntrica)
Se for acrescentado o carregamento do item a), o diagrama resultante de tensões normais,
na seção do meio do vão, será triangular e inteiramente de compressão.
( )σ σ σsup sup sup= + = + − = −cp q MPa0 12 12
( )σ σ σinf inf inf= + = − + =cp q 12 12 0
A tensão máxima de compressão vale -12 MPa junto à borda superior da seção e a tensão
mínima será nula na borda inferior. A máxima tensão de compressão final coincide com a
máxima tensão de compressão devido apenas à protensão, havendo apenas troca das
bordas. A tensão máxima final de compressão foi reduzida à metade do caso b), mostrando
a indiscutível vantagem desta solução sobre a anterior. O diagrama de tensões normais ao
longo do vão da viga varia entre os valores esquematizados nas figuras 7B e 7D, pois o
momento fletor aumenta de zero junto aos apoios ao valor máximo no meio do vão.

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d) Acrescente-se ao caso do item c) o efeito da carga permanente total g = 14,22
kN/ m.
O momento fletor máximo no meio do vão vale:
2 2
g
gl 14,22 6
M 64 kN.m
8 8
×
= = =
e as tensões normais extremas:
g
gsup
sup
M
7,68 MPa
W
σ = = −
g
ginf
inf
M
7,68 MPa
W
σ = =
Superpondo-se o efeito deste carregamento à situação do item c), o diagrama de tensões
normais na seção mais solicitada passa a ser o indicado na fig. 8, pois
( ) ( )sup cpsup qsup gsup 0 12 7,68 19,68MPaσ = σ + σ + σ = + − + − = −
( ) ( )inf cpinf qinf ginf 12 12 7,68 7,68MPaσ = σ + σ + σ = − + + =
Figura 8 – Diagrama de Tensões Normais (G + Q) – Viga de Concreto Protendido (Protensão Excêntrica)
Nota-se o aparecimento de uma tensão de tração de 7,68 MPa junto à borda 2, e a tensão
máxima de compressão aumenta, atingindo - 19,68 MPa na borda 1.
É importante observar que a tensão de tração resultante pode ser eliminada simplesmente
aumentando a excentricidade da armadura de protensão para ep = 0,19 m. O aumento de
excentricidade vale exatamente eg = -Mg / Np = -64 / (-600) = 0,107 m. De fato, as novas
tensões normais devidas à protensão valem:

9
p p
cpsup 2
c sup c sup
P.e eP 1 1 0,19 6
P 600 7,68 MPa
A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5
  × 
σ = + = + = − − =     × ×  
e
p p
cpinf 2
c inf c inf
P.e eP 1 1 0,19 6
P 600 19,68 MPa
A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5
  × 
σ = + = + = − + = −   × ×  
e, portanto,
( ) ( )sup cpsup qsup gsup 7,68 12 7,68 12 MPaσ = σ +σ + σ = + − + − = −
( ) ( )inf cpinf qinf ginf 19,68 12 7,68 0σ = σ + σ + σ = − + + =
Assim, o efeito do peso próprio foi compensado simplesmente pelo aumento da
excentricidade da força de protensão (aumento da distância da armadura de protensão em
relação ao CG da seção) sem gasto adicional de material. Naturalmente, esta compensação
apresenta um limite pois é necessário manter um cobrimento mínimo de proteção desta
armadura.
Da análise do diagrama de tensões normais ao longo da viga, pode-se observar que nas
proximidades dos apoios aparecem tensões de tração. Particularmente, na seção do apoio
esta tensão atinge 7,68 MPa. Para anular esta tensão, a excentricidade da força de protensão
deve reassumir o valor ep = 8,33 cm. Na prática, isto pode ser obtido, de maneira
aproximada, alterando-se o perfil reto da armadura ao longo da viga por um perfil curvo
(em geral parabólico). Conforme mostra a fig. 9, o trecho parabólico pode ter o seu início
no meio do vão e passar pelo ponto A junto ao apoio.
Figura 9 – Perfil da armadura de protensão
O perfil parabólico procura acompanhar a variação da excentricidade eg = -Mg/Np ao longo
da viga.
Em estruturas isostáticas, o fato da armadura de protensão ser curva não altera o ponto de
aplicação da força correspondente à protensão. Este continua sendo o ponto de passagem
da armadura na seção transversal. De fato, com base na fig. 10, o equilíbrio separado da
armadura (suposta flexível) exige a presença da força P junto à seção analisada e, também,
da pressão radial

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p
P
rr =
onde r é o raio de curvatura local. As cargas atuantes na armadura isolada agem, como
carregamento de sentido contrário, sobre a viga de concreto. As reações de apoio são nulas,
pois a estrutura é isostática (a estrutura deforma-se livremente sob ação da protensão).
Desta forma, o esforço resultante na seção transversal é exatamente -P, aplicado no ponto
de passagemda armadura na seção transversal e coma inclinação do cabo neste ponto.
Em estruturas hiperestáticas, a protensão pode gerar reações de apoio (reações
hiperestáticas de protensão) que geram esforços (hiperestáticos) adicionais de protensão
nas seções.
Figura 10 – Diagrama de Equilíbrio de uma Viga de Concreto Protendido Isostática
Convém observar que, mesmo sendo admitida a constância da força de tração (P) na
armadura de protensão, a força normal equivalente é variável no trecho curvo desta
armadura, pois:
pN Pcos= − α
como, em geral, o ângulo α é pequeno pode-se admitir Np ≈ - P, pelo menos para efeito de
pré-dimensionamento das seções. Vale observar, também, o aparecimento da força
cortante equivalente:
pV Psen= − α

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Na realidade, como será visto mais adiante, a força normal de tração na armadura de
protensão também varia um pouco ao longo do cabo por causa das inevitáveis perdas de
protensão.
Normalmente, a força de protensão é obtida pela utilização de umgrupo de cabos que, por
sua vez, são constituídos de várias cordoalhas. Cada cabo tem um desenvolvimento
longitudinal próprio. Contudo, as análises podem ser efetuadas com o “cabo equivalente”
(ou “cabo resultante”). Este cabo virtual tem a força de protensão P e o seu ponto de
passagemé dado pelo centro de gravidade das forças de protensão de cada cabo na seção.
Figura 11 – Cabo de Protensão Equivalente
De qualquer forma, a utilização adequada de cabos curvos permite eliminar as tensões
normais de tração nas seções transversais ao longo do vão.
e) Considere-se a viga constituída de concreto armado
Admita-se que a viga faça parte do sistema estrutural para uma biblioteca com
carregamento constituído de g = 14,22 kN/m e q = 22,22 kN/m. O dimensionamento
como concreto armado, segundo a NBR6118:2003, admitindo-se fck= 35 MPa e aço CA50,
conduz aos seguintes resultados:
Estado Limite Último (momento fletor):
34x
lim= 34= =0,438
d
ξ ξ
Mg+q = 164,4 kN.m → ξ = 0,42 < ξlim
As = 12 cm2
(6φ16)
Estado Limite de Utilização, para a Combinação Freqüente com ψ1=0,7:
MCF = Mg + 0,7Mq = 134,0 kN.m
ηb =1,5 → w= 0,12 < 0,3 ( OK, admitindo-se fissura admissível de 0,3 mm)
a = 1,56 cm≈ l/270 (flecha no estádio II, de valor aceitável)

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f) Considere-se, agora, a protensão obtida com armadura CA60 (apenas para efeito
de análise comparativa, pois não se utiliza protensão com aço CA60)
Para se obter a força de protensão de 600 kN, se for admitida uma tensão útil no aço de 50
kN/cm2
(500 MPa), seriam necessários Ap = 12 cm2
de armadura de protensão. Desta
forma, aparentemente, ter-se-ia atendido às condições vistas nas análises dos itens c) e d).
Veja-se contudo, o que acontece com o valor da força de protensão ao longo do tempo.
Admitindo-se a atuação do carregamento utilizado no item e), resulta o diagrama de
tensões normais indicado na fig. 12.
Figura 12 – Diagrama de Tensões Normais
Devido à protensão e à carga permanente, a tensão normal no concreto junto à armadura
vale
c,g+p=-10,56 MPaσ
que corresponde a uma deformação imediata da ordemde
ic,g+p
-10,56
=-0,00053
20000
ε ≅
onde se admitiuEc = 20 GPa.
Sabe-se que, a retração do concreto emambiente normal é equivalente a cerca de - 15ºC de
queda de temperatura, isto é:
-5
cs=-10 15=-0,00015ε ×
onde se admitiuo coeficiente de dilatação térmica αt = 10-5
ºC-1
.
Por outro lado, a deformação imediata provocada pela carga permanente pode chegar a
triplicar devido ao fenômeno da fluência. Assim, pode ocorrer ao longo do tempo uma
deformação total de encurtamento da ordem de
co cs ic,g+p+3 =-0,00015-3 0,00053=-0,00174ε ≅ ε ε ×
Normalmente, após as operações de protensão, as bainhas são injetadas com nata de
cimento garantindo-se a aderência entre a armadura e o concreto. Desta forma, a armadura
de protensão passa a ter a mesma deformação adicional que o concreto adjacente. Para a
deformação de encurtamento estimado anteriormente, tem-se uma queda de tensão na
armadura de

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5 -3
cop Ep =-2,1 l0 1,74 10 =-365,4 MPa∆σ ≅ ε × × ×
Onde adotou-se para o módulo de elasticidade da armadura o valor Ep = 2,1 × 105
MPa.
Essa redução na tensão normal de tração na armadura provoca a queda da força efetiva de
protensão para
Pef = 600 - 36,54 × 12 = 161,52 kN.
É inviável, na prática, considerar esta redução da protensão no dimensionamento.
Como conclusão, pode-se afirmar que armaduras usuais de concreto armado com
resistências de escoamento limitadas a cerca de 600 MPa ficam automaticamente excluídas
para uso como armadura de protensão por causa das perdas inevitáveis que, praticamente,
anulam o efeito de protensão.
g) Considere-se, agora, a viga de concreto armado utilizando armadura de
protensão (aço de alta resistência).
Admita-se a situação do item d) com armadura de alta resistência com fyk = 1500 MPa. A
solução em armadura simples é obtida no domínio 4 com As = 6,32 cm2
, nos estados
limites de utilização tem-se fissuras de cerca de 3,6 décimos de mm(φ16) e flecha da ordem
de 3,5 cm (≈ l/170), ambas, seguramente, além dos limites aceitáveis. Neste caso particular,
o dimensionamento conduziu a uma peça com pouca dutilidade (Domínio 4), onde não se
consegue deformar a armadura de modo a permitir a exploração de sua elevada resistência.
A conclusão é de que as armaduras de alta resistência não são apropriadas para o uso em
concreto armado, ouseja, sem a pré-tensão.
h) Finalmente, considere-se a viga protendida com armadura de alta resistência
A protensão através de armaduras de alta resistência permite a utilização de tensões de
protensão da ordem de 1300 MPa. Neste nível de solicitação da armadura, as perdas de
protensão mencionadas são perfeitamente assimiladas resultando em tensões efetivas de
cerca de 1000 MPa. Garante-se, assim, o efeito da protensão na peça, a fissuração é
praticamente inexistente e a flecha é substancialmente reduzida pois a rigidez à flexão
corresponde ao momento de inércia da seção não fissurada. Umoutro aspecto, tambémde
importância, é o fato da oscilação de tensão na armadura devida à atuação da carga
acidental ser percentualmente pequena reduzindo o efeito da fadiga.
Figura 13 – Diagrama de Goodman
A fig. 13 apresenta, esquematicamente, o clássico diagrama de Goodman.

14
1.2. Breve histórico
Datam do final do século passado, as primeiras experiências de uso do concreto
protendido. Foram tentativas fracassadas provocadas pelas perdas provenientes da retração
e fluência do concreto que praticamente anularamas forças iniciais de protensão.
Eugene Freyssinet (França, 1928) utilizou arames refilados de alta resistência resolvendo o
problema gerado pela perda progressiva de protensão.
Hoyer, na Alemanha, fez as primeiras aplicações práticas do concreto protendido com
aderência inicial utilizando fios de alta resistência.
A primeira ponte protendida foi a de Aue, na Alemanha, projetada por Dischinger (1936)
com protensão sem aderência (cabos externos).
Com os equipamentos e ancoragens de protensão (fabricados inicialmente por Freyssinet
na França em 1939 e Magnel na Bélgica em 1940), divulgou-se o uso do concreto
protendido nas obras.
Ulrich Finsterwalder, desenvolveu a aplicação do protendido às pontes construídas em
balanços sucessivos, processo originalmente utilizado por Emílio Henrique Baumgart no
projeto e construção da ponte de concreto armado sobre o Rio do Peixe em Herval, Santa
Catarina.
No Brasil, a primeira ponte protendida foi construída no Rio de Janeiro em1949, projetada
por Freyssinet.
Inicialmente, procurava-se eliminar totalmente as tensões normais de tração com a
protensão (protensão completa). Atualmente, existe a tendência em utilizar a protensão
parcial onde, em situações de combinações extremas de ações, permite-se a fissuração da
peça como ocorre no concreto armado. Desta forma tem-se, hoje, aunificação do concreto
2armado com o concreto protendido constituindo o concreto estrutural.
1.3. Vantagens do concreto protendido
a) Emprego de aços de alta resistência. Estes aços não são viáveis no concreto armado
devido à presença de fissuras de abertura exagerada provocadas pelas grandes
deformações necessárias para explorar a sua alta resistência; além disso, em certas
situações existem dificuldades para se conseguir estas deformações. Ao mesmo tempo
que a alta resistência constitui uma necessidade para a efetivação do concreto
protendido (por causa das perdas progressivas), ela elimina os problemas citados.
b) Eliminação das tensões de tração. Havendo necessidade, consegue-se eliminar as
tensões de tração e, portanto, a fissuração do concreto. De qualquer forma, constitui
ummeio eficiente de controle de abertura de fissuras quando estas forempermitidas.
c) Redução das dimensões da seção transversal. O emprego obrigatório de aços de
alta resistência associado a concretos de maior resistência, permite a redução das
dimensões da seção transversal com redução substancial do peso próprio. Tem-se,

15
assim, estruturas mais leves que permitem vencer maiores vãos. Também, a protensão
favorece a resistência ao cisalhamento, alémde reduzir a força cortante efetiva.
d) Diminuição da flecha. A protensão, praticamente, elimina a presença de seções
fissuradas. Tem-se, assim, redução da flecha por eliminar a queda de rigidez à flexão
correspondente à seção fissurada.
e) Desenvolvimento de métodos construtivos. A protensão permite criar sistemas
construtivos diversos: balanço sucessivo, pré-moldados, etc.
1.4. Problemas com armaduras ativas e desvantagens do concreto protendido
a) Corrosão do aço de protensão. Como nos aços de concreto armado as armaduras de
protensão também sofrem com a corrosão eletrolítica. No entanto nas armaduras
protendidas apresentam outro tipo de corrosão - denominada corrosão sob tensão
(stress-corrosion) - fragilizando a seção da armadura, além de propiciar a ruptura frágil.
Por este motivo a armadura protendida deve ser muito protegida.
b) Perdas de protensão. São todas as perdas verificadas nos esforços aplicados nos
cabos de protensão.
b.1) Perdas imediatas, que se verificam durante a operação de estiramento e
ancoragem dos cabos:
b.1.1) Perdas por atrito, produzidas por atrito do cabo compeças adjacentes, durante a
protensão;
b.1.1.2) Perdas nas ancoragens, provocadas por movimentos nas cunha de
ancoragem, quando o esforço no cabo é transferido do macaco para a placa de apoio;
b.1.1.3) Perdas por encurtamento elástico do concreto.
b.2) Perdas retardadas, que ocorrem durante vários anos:
b.2.1) Perdas por retração e fluência do concreto. Produzidas por encurtamentos
retardados do concreto, decorrentes das reações químicas e do comportamento viscoso.
b.2.2) Perdas por relaxação do aço, produzidas por queda de tensão nos aços de alta
resistência, quando ancoradas nas extremidades, sob tensão elevada.
c) Qualidade da injeção de nata nas bainhas e da capa engraxada nas cordoalhas
engraxadas.
d) Forças altas nas ancoragens.
e) Controle de execução mais rigoroso.
f) Cuidados especiais em estruturas hiperestáticas.

16
1.5 Exemplos de aplicação da protensão em estruturas da construção civil.
Edifícios:
Vigas mais esbeltas Lajes comvãos maiores
Pontes
Estaiadas Arcos
Reservatórios: (minimizar fissuras)
Obras marítimas. (ambiente agressivo –
concreto pouco permeável)

17
Barragens Muros de arrimo
Elevação de reservatórios.

19
2
Materiais e sistemas para protensão
DEFINIÇÕES
2.1Definições (conforme a Norma NBR6118:2003 - Projeto de
Estruturas de Concreto - Procedimento).
2.1.1. Elementos de concreto protendido.
“Aqueles nos quais parte das armaduras é previamente alongada por equipamentos especiais de
protensão com a finalidade de, em condições de serviço, impedir ou limitar a fissuração e os
deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aços de alta resistência no ELU”.
A resistência usual do concreto (fck) varia de 25 MPa a 50 MPa.
Normalmente, as forças de protensão são obtidas utilizando-se armaduras de alta
resistência chamadas armaduras de protensão ou armaduras ativas. A resistência usual de
ruptura (fptk) varia de 1450 MPa a 1900 MPa.
2.1.2. Armadura de protensão.
Aquela constituída por barras, por fios isolados, ou por cordoalhas destinada à produção de forças de
protensão, isto é, na qual se aplica umpré alongamento inicial. (O elemento unitário da armadura ativa
considerada no projeto pode ser denominado cabo, qualquer que seja seu tipo (fio, barra, cordoalha ou
feixe).
A fig. 14 ilustra os diferentes tipos de aço para protensão.

20
Figura 14 – Tipos de Fios, Barras e Cabos para Protensão
As barras de aço para protensão são, geralmente, apresentadas em forma de barras
rosqueadas comnervuras laminadas a quente. Uma bitola típica é a barra DYWIDAG φ 32.
Os fios de aço para concreto protendido são padronizados pela NBR-7482. As cordoalhas
são constituídas de 2, 3 ou7 fios de aço de protensão e são padronizadas pela NBR-7483.
As armaduras de protensão são submetidas a tensões elevadas de tração em geral acima de
50% da sua resistência de ruptura (fptk). Nessas condições, costumamapresentar uma perda
de tensão (∆σpr) sob deformação constante, denominada relaxação do aço. Deste ponto
de vista os aços de protensão são classificados em aços de relaxação normal (RN) quando
∆σpr pode atingir cerca de 12% da tensão inicial (σpi) e aços de relaxação baixa (RB) onde:
pr pi3,5%∆σ ≤ σ
Os aços de protensão são designados conforme ilustramos exemplos seguintes:
CP 170 RB L
Concreto
Protendido
fptk Resistência característica de
ruptura emkN/ cm2
RB Relaxação
Baixa
RN Relaxação
Normal
L – Fio liso
E – Fio entalhe
Figura 15 – Diagrama Tensão-Deformação de Aços para Protensão

21
Conforme a NBR-7482 têm-se os fios padronizados listados a seguir onde fpyk é o valor
característico da resistência convencional de escoamento, considerada equivalente à tensão
que conduz a 0,2% de deformação permanente, e o módulo de elasticidade é admitido
como sendo de Ep = 210 GPa.
Tabela 1. Características físicas e mecânicas de fios produzidos pela Belgo Mineira.
TENSÃO
MÍNIMA DE
RUPTURA
TENSÃO MÍNIMA A
1% DE
ALONGAMENTOFIOS
DIÂMETRO
NOMINAL
(mm)
ÁREAAPROX.
(mm2)
ÁREAMÍNIMA
(mm2)
MASSAAPROX.
(kg/km)
(MPa) (kgf/mm2) (MPa) (kgf/mm2)
ALONG.APÓS
RUPTURA(%)
CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0
CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0
CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0
CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0
CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0
CP 175RBE
CP 175RBE
CP 175RBE
4,0
5,0
6,0
12,6
19,6
28,3
12,3
19,2
27,8
99
154
222
1.750
1.750
1.750
175
175
175
1.580
1.580
1.580
158
158
158
5,0
5,0
5,0
CP 175RBL
CP 175RBL
5,0
6,0
19,6
28,3
19,2
27,8
154
222
1.750
1.750
175
175
1.580
1.580
158
158
5,0
5,0
CP 175RNE
CP 175RNE
CP 175RNE
4,0
5,0
6,0
12,6
19,6
28,3
12,3
19,2
27,8
99
154
222
1.750
1.750
1.750
175
175
175
1.490
1.490
1.490
149
149
149
5,0
5,0
5,0
Dependendo do fabricante outras bitolas de fios são encontradas, tais como:
Fios de aço de relaxação normal (fpyk = 0,85 fptk)
CP 150 RN - φ 5; 6; 7; 8 (mm)
CP 160 RN - φ 4; 5; 6; 7
CP 170 RN - φ 4
Fios de aço de relaxação baixa (fpyk = 0,9 fptk):
CP 150 RB - φ 5; 6; 7; 8 (mm)
CP 160 RB - φ 5; 6; 7
As cordoalhas são padronizadas pela NBR-7483. O módulo de deformação Ep = 195.000
MPa. A resistência característica de escoamento é considerada equivalente à tensão
correspondente à deformação de 0,1 %.

22
Tabela 2 Características físicas e mecânicas das cordoalhas produzidas pela Belgo Mineira.
DIÂM
NOM.
ÁREA
APROX
ÁREA
MÍNIMA
MASSA
APROX
CARGA
MÍNIMA DE
RUPTURA
CARGA MÍNIMAA
1% DE
ALONGAMENTO
ALONG
APÓS
RUPT.
CORDOALHAS
(mm) (mm2) (mm2) (kg/km) (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%)
CORD CP 190 RB 3x3,0
6,5
7,6
8,8
9,6
11,1
21,8
30,3
39,6
46,5
66,5
21,5
30,0
39,4
46,2
65,7
171
238
312
366
520
40,8
57,0
74,8
87,7
124,8
4.080
5.700
7.480
8.770
12.480
36,7
51,3
67,3
78,9
112,3
3.670
5.130
6.730
7.890
11.230
3,5
3,5
3,5
3,5
3,5
CORD CP 190 RB 7
CORD CP 190 RB 7
CORD CP 190 RB 7
CORD CP 190 RB 7
CORD CP 190 RB 7
CORD CP 190 RB 7
6,4*
7,9*
9,5
11,0
12,7
15,2
26,5
39,6
55,5
75,5
101,4
143,5
26,2
39,3
54,8
74,2
98,7
140,0
210
313
441
590
792
1.126
49,7
74,6
104,3
140,6
187,3
265,8
4.970
7.460
10.430
14.060
18.730
26.580
44,7
67,1
93,9
126,5
168,6
239,2
4.470
6.710
9.390
12.650
16.860
23.920
3,5
3,5
3,5
3,5
3,5
3,5
Dependendo do fabricante outras bitolas de cordoalhas são encontradas, tais como:
Cordoalhas de 2 e 3 fios (fpyk = 0,85 fptk):
CP 180 RN - 2 × φ (2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 3,5)
CP 180 RN - 3 × φ (2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 3,5)
Cordoalhas de 7 fios de relaxação normal (fpyk = 0,85 fptk):
CP 175 RN - φ 6,4 ; 7,9 ; 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2
CP 190 RN - φ 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2
Cordoalhas de 7 fios de relaxação baixa (fpyk = 0,9 fptk):
CP 175 RB - φ 6,4 ; 7,9 ; 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2
CP 190 RB - φ 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2
Normalmente, os cabos de protensão são constituídos por um feixe de fios ou cordoalhas.
Assim, por exemplo, pode-se ter cabos de:
2 cordoalhas de 12,7 mm ; 3 cordoalhas de 12,7 mm;
12 cordoalhas de 12,7 mm; 12 cordoalhas de 15,2 mm, etc.
2.1.3. Armadura passiva.
“Qualquer armadura que não seja usada para produzir forças de protensão, isto é, que não seja
previamente alongada”.
Normalmente são constituídas por armaduras usuais de concreto armado padronizadas pela
NBR-7480 (Barras e fios de aço destinados a armadura para concreto armado).
Usualmente, a armadura passiva é constituída de estribos (cisalhamento), armaduras
construtivas, armaduras de pele, armaduras de controle de aberturas de fissuras e,

23
eventualmente, armaduras para garantir a resistência última à flexão, complementando a
parcela principal correspondente à armadura de protensão.
2.1.4. Concreto com armadura ativa pré-tracionada (protensão com aderência
inicial).
Aquele em que o pré-alongamento da armadura (ativa de protensão) é feito utilizando-se apoios
independentes da peça, antes do lançamento do concreto, sendo a ligação da armadura de protensão com
os referidos apoios desfeita após o endurecimento do concreto; a ancoragem no concreto realiza-se só por
aderência.
Figura 16 - Pista de protensão.
2.1.5. Concreto com armadura ativa pós-tracionada (protensão com aderência
posterior).
Aquele em que o pré-alongamento da armadura (ativa de protensão) é realizado após o endurecimento
do concreto, utilizando-se, como apoios, partes da própria peça, criando-se posteriormente aderência com
o concreto de modo permanente, através da injeção das bainhas.
• Concretagem com a bainha
embutida na peça.
• Colocação da armadura
• Aplicação da protensão
• Fixação da armadura estirada
(ancorada)
• Injeção de nata de cimento
(grout), estabelecendo aderência
entre armadura e concreto.
Figura 17 - Viga comprotensão a posteriori.

24
Figura 18 - Bainhas para protensão
2.1.6. Concreto com armadura ativa pós-tracionada sem aderência (protensão sem
aderência)
Aquele obtido como em(e), mas emque, após o estiramento da armadura ativa, não é criada aderência
com o concreto, ficando a mesma ligada ao concreto apenas em pontos localizados. Concreto protendido
semaderência (armadura de protensão pós-tracionada)
Figura 19 - Cordoalha não aderente.
2.2. Níveis de protensão
“Os níveis de protensão estão relacionados com os níveis de intensidade da força de protensão, que por
sua vez é função da proporção de armadura ativa utilizada emrelação à passiva”.
Deste modo, usualmente pode-se ter três níveis de protensão:
♣ Nível 1 – Protensão Completa
♣ Nível 2 – Protensão Limitada
♣ Nível 3 – Protensão Parcial

25
Figura 20 – Diagrama Carga-Deformação dos diferentes níveis de protensão
A escolha adequada do nível de protensão em uma estrutura irá depender de critérios pré-
estabelecidos, onde se levará em conta a agressividade do meio ambiente e/ou limites para
a sua utilização, quando posta emserviço.
2.2.1. Estados Limites de Serviço (ou de utilização):
“Estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, aparência, conforto do
usuário e boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários, seja às máquinas e aos
equipamentos utilizados”.
A garantia do atendimento destes Estados Limites de Serviço (ELS) se faz com a garantia,
conforme a situação de não se exceder os Estados Limites Descritos a seguir:
2.2.1.1. Estado limite de descompressão (ELS-D):
Estado no qual toda seção transversal está comprimida, e emapenas umoumais pontos da
seção transversal a tensão normal é nula, calculada no estádio I, não havendo tração no
restante da seção (exceto junto à região de ancoragem no protendido com aderência inicial
onde se permite esforços de tração resistidos apenas por armadura passiva, respeitadas as
exigências referentes à fissuração para peças de concreto armado).
2.2.1.2. Estado limite de formação de fissuras (ELS-F): estado limite que é atingido
quando a máxima tensão de tração na seção, calculada no Estádio I (concreto não fissurado
e comportamento elástico linear dos materiais) é igual a resistência à tração do concreto na
flexão. A resistência à tração na flexão é dado por fct,fl = 1,2 fctk,inf para peças de seção T e,
igual a fct,fl = 1,5 fctk,inf para peças de seção retangular, sendo:
( )
2/3
ctk,inf ckf 0,21 f=

26
2.2.1.3. Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W):
Estado em que as fissuras apresentam-se com aberturas iguais aos máximos especificados
na tabela 4. A verificação da segurança aos estados limites de abertura de fissuras deve ser
feita calculando-se as tensões nas barras da armadura de tração no estádio II (concreto
fissurado à tração e comportamento elástico linear dos materiais).
Isto será feito para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e de
protensão (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro da bainha ou cordoalha
engraxada, os quais não são levados em conta no cálculo da fissuração). Esta postura é
tomada devido ao controle da fissuração ser propiciado pela aderência da armadura passiva
e da ativa (pré-tração) com o concreto que a envolve. Nos outros casos a influência da
protensão no controle de fissuração é desprezível, do ponto de vista da aderência.
Será considerada uma área Acr do concreto de envolvimento, constituída por um retângulo
cujos lados não distam mais de 7 φi do contorno do elemento da armadura, conforme
indicado na fig. 21:
Figura 21 – Área Acr do concreto de envolvimento
A grandeza da abertura de fissuras - wk - determinada para cada parte da região de
envolvimento, é dada pela menor dentre aquelas obtidas pelas duas expressões que seguem:
ct
S
S
Si
k
fE
w ii
σσ
η
φ 3
)75,02(10
1
1 −
=






+
−
= 45
4
)75,02(10
1
1 riS
Si
k
E
w i
ρ
σ
η
φ
Sendo σsi, φi, Esi, ρr definidos para cada área de envolvimento em exame:

27
Acri é a área da região de envolvimento protegida pela barra φi
φi é o diâmetro da barra que protege a região de envolvimento considerada
ρri é a taxa de armadura passiva ou ativa aderente ( que não esteja dentro de bainha) em
relação a área da região de envolvimento (Acri)
σs é a tensão de tração no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no
Estádio II. Nas peças com protensão, σs é o acréscimo de tensão, no centro de gravidade
da armadura, entre o Estado Limite de Descompressão e o carregamento considerado.
Deve ser calculada no Estádio II, considerando toda armadura ativa, inclusive aquela
dentro de bainhas.
O cálculo no Estádio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a
resistência à tração do concreto) pode ser feito considerando a relação αe = 15.
Figura 22 – Diagrama Carga-Deformação e os Estados Limites
2.2.2. Combinações de carregamento
Na determinação das solicitações referentes a estes estados limites devem ser empregadas
as combinações de ações estabelecidas em Normas. A NB1-2003 considera as seguintes
combinações nas verificações de segurança dos estados limites de utilização:
2.2.2.1. Combinação rara (CR):
d gk pk (cc cs te)k qlk 1 qik
i 1
F F F F F F+ +
>
= + + + + ψ ∑
2.2.2.2. Combinação freqüente (CF):
d gk pk (cc cs te)k 1 qlk 2 qik
i 1
F F F F F F+ +
>
= + + +ψ + ψ ∑

28
2.2.2.3. Combinação quase permanente (CQP):
>
d gk pk (cc cs te)k 2 qik
i 1
F F F F F+ += + + + ψ ∑
2.2.2.4. Situação de protensão.
d gk pkF F F= +
As ações parciais são as seguintes:
Fgk → peso próprio e demais ações permanentes, excetuando-se aforçade protensão
e as coações;
Fpk → protensão (incluindo os “hiperestáticos de protensão”);
F(cc+cs+te) → retração, fluência e temperatura;
Fqlk → ação variável escolhida como básica;
Fqik → demais ações variáveis (i> 1) concomitantes comFqlk.
Os valores de ψ1 e ψ2 dependem do tipo de uso, e são dados por:
Tabela 3 – Fatores de Redução ψ1 e ψ2
Ações ψ1 ψ2
Cargas acidentais de edifícios
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que
permaneçam fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas
concentrações de pessoas
0,4 0,3
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que
permanecem fixos por longos períodos de tempo, ou de elevada
concentração de pessoas
0,6 0,4
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,7 0,6
Cargas acidentais de Pontes 0,5 0,3
Observação: os valores de ψ1 e ψ2 são os recomendados pela última redação da nova NB1-2003
(NBR6118:2003 – Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento)
Nas verificações, a NB1-2003 estabelece graduação de níveis de protensão mínimos para
que se observem valores característicos (wk) das aberturas de fissuras. Estes valores são
definidos em função das condições do meio ambiente e da sensibilidade das armaduras à
corrosão (tabela 4). Assim, por exemplo, para meio ambiente pouco agressivo com
protensão parcial nível 1, o valor característico da abertura da fissura é de 0,2 mm e deve
ser verificado pela combinação de ações do tipo freqüente.

29
Tabela 4. Classes de agressividade ambiental e exigências relativas a fissuração excessiva e a proteção da
armadura ativa
Tipos de concreto estrutural
Classe de agressividade
ambiental
Exigências
relativas ao E.
L.. de
fissuração
excessiva
Combinação de
ações a considerar
Concreto simples
(semprotensão e sem
armadura)
I a IV Não há -
I
ELS-W
ωk ≤ 0,4mm
Freqüente
Concreto armado
(semprotensão)
II a IV
ELS-W
ωk ≤ 0,3mm
Freqüente
Concreto protendido nível 1
(protensão parcial)
Pré-tração ou Pós-Tração
I I e II
ELS-W
ωk ≤ 0,2mm
Freqüente
ELS-F Freqüente
Concreto protendido nível 2
(protensão limitada)
Pré-tração ou Pós-Tração
II III e IV ELS-D
Quase
permanente
ELS-F RaraConcreto protendido nível 3
(protensão completa)
Pré-tração
III e IV ELS-D. Freqüente
NOTA - ELS-W – Estado Limite de Serviço - Abertura de fissuras; ELS-F – Estado Limite de
Serviço – Formação de fissuras; ELS-D – Estado Limite de Serviço – Descompressão
2.3. Escolha do tipo de protensão
A escolha do tipo de protensão deve ser feita em função do tipo de construção e da
agressividade do meio ambiente. Na falta de conhecimento mais preciso das condições
reais de cada caso, pode adotar-se a seguinte classificação do nível de agressividade do meio
ambiente:
♣ Não agressivo, como no interior dos edifícios em que uma alta umidade relativa pode
ocorrer durante poucos dias por ano, e em estruturas devidamente protegidas;
♣ Pouco agressivo, como no interior de edifícios em que uma alta umidade relativa pode
ocorrer durante longos períodos, e nos casos de contato da face do concreto próxima à
armadura protendida com líquidos, exposição prolongada a intempéries ou a alto teor
de umidade;
♣ Muito agressivos como nos casos de contato com gases ou líquidos agressivos ou com
solo e em ambiente marinho.

30
Na ausência de exigências mais rigorosas feitas por normas peculiares à construção
considerada, a escolha do tipo de protensão deve obedecer às exigências mínimas indicadas
a seguir:
2.3.1. Protensão completa Ambientes muito agressivos
Existe protensão completa quando se verificamas duas condições seguintes:
♣ Para as combinações freqüentes de ações (CF), previstas no projeto, é respeitado o
estado limite de descompressão (ELD);
♣ Para as combinações raras de ações (CR), quando previstas no projeto, é respeitado o
estado limite de formação de fissuras (ELF).
2.3.2. Protensão limitada Ambientes medianamente agressivos
Existe protensão limitada quando se verificamas duas condições seguintes:
♣ Para as combinações quase permanentes de ações (CQP), previstas no projeto, é
respeitado o estado limite de descompressão (ELD);
estado limite de formação de fissuras (ELF).
2.3.2. Protensão parcial Ambientes pouco agressivos
Existe protensão parcial quando se verifica a condição seguinte:
estado limite de aberturas de fissuras (ELW), comwk = 0,2 mm.
Observação importante:
Nas pontes ferroviárias e vigas de pontes rolantes só é admitida protensão com aderência.

Prof. Ricardo Leopoldo e Silva França / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano
PEF – Departamento de Estruturas e Fundações
31
3
Perdas de Protensão
DEFINIÇÕES
3.1. Introdução
A força efetiva de protensão é variável ao longo do cabo e menor do que a aplicada pelo
dispositivo de protensão. Esta redução de força é chamada de perda de protensão. Ela é
devida a várias causas. Costuma-se agrupar as perdas em dois conjuntos:
A. Perdas imediatas que ocorrem durante o estiramento e ancoragem dos cabos
B. Perdas progressivas, que ocorrem ao longo do tempo.
No caso comum de concreto protendido com aderência posterior, constituem perdas
imediatas, aquelas provenientes de:
̇ Atrito entre o cabo e a bainha;
̇ Acomodação do cabo nas ancoragens;
̇ Encurtamento do concreto durante a operação de protensão.
As perdas progressivas são provocadas pela:
̇ Retração e fluência do concreto
̇ Relaxação da armadura de protensão.
3 2. Perdas por atrito em cabos pós-tracionados
As perdas por atrito variam ao longo do cabo. O fenômeno envolvido é o do atrito entre o
cabo e a bainha e é similar ao problema de uma polia que recebe um momento torçor
através de uma correia.
Figura 23

32
Conforme o esquema da fig. 23, pode-se escrever:
p. .ds + dP = 0
onde:
= coeficiente de atrito entre a correia e a polia.
Substituindo
r
P
p e ds=r.d
na expressão anterior, tem-se:
P
. .r.d dP 0
r
ou d.
P
dP
Portanto,
C.)Pln(
Sendo P=P0, para = 0, vem
)Pln(=C 0
e, portanto
-)Pln(-)Pln( 0 ou e.PP 0 .
Figura 24
Em situações usuais, ilustradas na fig.24, 0,2 e 20° (0,35 rad). Portanto, o produto
0,07. Para valores desta ordem pode-se tomar
e 1
resultando
g1PP 0 .

33
Na realidade, o cabo apresenta ondulações inevitáveis ao longo do seu comprimento,
inclusive no trecho curvo. Em um comprimento projetado x (incluindo trechos retos e
curvos), pode-se pensar num ângulo equivalente às ondulações do trecho, dado por k x .
Portanto, a força de protensão num ponto de abscissa x (normalmente, para o cálculo das
perdas por atrito, pode-se adotar como comprimento aproximado do cabo o valor de sua
projeção sobre o eixo x da peça) é dada por:
xkg1PP gi .
Pode-se definir:
k k
resultando
kxg1PP 0
A nova NB-1 (NBR6118:2003 – Projeto de Estruturas de Concreto Armado –
Procedimento) estabelece os seguintes valores para o coeficiente (coeficiente de atrito
aparente entre o cabo e a bainha), quando não existirem dados experimentais:
= 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha);
= 0,30 entre barras ou fios com mossas ou saliências e bainha metálica;
= 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica;
= 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metálica lubrificada;
= 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada.
A unidade de é 1/radianos ou rad-1
O coeficiente k é o coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas não
intencionais do cabo. Na falta de dados experimentais pode ser adotado o valor 0,01 ,
sendo a unidade de k igual a 1/m ou m-1
.
A tabela 5 apresenta os valores de e k apresentados pelo CEB e ACI:
Tabela 5. Coeficientes e k segundo o CEB e o ACI
k
0,50 0,005 CEBCabos em dutos
de concreto 0,15 a 0,25 0,0033 a 0,0049 ACI
0,20 0,002 CEBCordoalhas em
bainha metálica 0,15 a 0,25 0,00066 ACI
0,20 0,002 CEBMonocordoalhas
engraxadas 0,05 a 0,15 0,00066 ACI

34
Costuma-se determinar o valor da força de protensão nas extremidades de cada trecho
(reto ou curvo) a partir da força já definida para a extremidade inicial do respectivo trecho.
Normalmente, admite-se que, em cada trecho, o diagrama de força possa ser aproximado
por uma variação linear.
Considere-se o cabo esquematizado na fig. 25:
Figura 25
Admitindo-se:
= 0,2 ; k = 0,002 m-1
; PA = 1733 KN; Ap = 11,84 cm2
a1 = 10 m ; a2 = 5 m ; = 8,5°= 0,148 rad.; Ep = 19500 kN/cm2
resulta
1AB kag1PP
1647KN0,002.100,2.0,14811733PB
2BC ka1PP 1631KN,002.5011647PC
O alongamento do cabo no final da protensão vale
l
1733 1647 1647 1631 1
10 5 108,7 mm
2 2 11,84 19500
A fig. 26 apresenta o diagrama de força de protensão ao longo da viga com a aplicação de
P0 nas extremidades.
Figura 26
A
B C

35
3.3. Perda por acomodação das cunhas de ancoragem
Geralmente, a ancoragem do cabo é feita por encunhamento individual das cordoalhas.
Este encunhamento é acompanhado de um recuo do cabo ( ), de alguns milímetros
acarretando uma queda na força de protensão, num trecho de comprimento x junto à
ancoragem, e mobilizando forças de atrito em sentido contrário àquelas da operação de
protensão. A figura 27 apresenta as diversas situações que podem ocorrer com a
acomodação nas ancoragens de um cabo simétrico, protendido simultaneamente pelas suas
extremidades.
Figura 27
Para o cálculo da influência do encunhamento serão descrito dois métodos; o primeiro é de
simples interpretação e entendimento, fácil e de utilidade prática; já o segundo é mais
aprimorado e preciso. Deste modo, será resolvido o seguinte problema:
Determinar o diagrama de força de protensão após o encunhamento para o cabo de
protensão da viga esquematizada na figura 27. As perdas durante a protensão foram
determinadas no item 3.2. Dados:
= 0,2 (coeficiente de atrito - trechos curvos)
k = 0,002 / m (coeficiente de atrito ao longo do cabo)
fptk = 1900 MPa (valor característico da resistência à ruptura)
0,77 fptk = 1463 MPa (tensão normal máxima no ato de protensão)
Ap = 11,844 cm2
(área da seção do cabo de 12 cordoalhas de 12,7 mm)
P0 = 0,77 fptk Ap = 1733 kN (força inicial de protensão)
Ep = 195000 MPa (módulo de elasticidade da armadura de protensão)
= 6 mm (recuo do cabo devido à cravação da cunha de ancoragem)

36
P0 = 1733kN ; P1 = 1647kN ; P2= 1631 kN
Figura 28
1° Método
O efeito do encunhamento pode ser feito conforme o procedimento indicado a seguir:
1. Determinar A = Ep Ap = 0,006 19500 11,844 = 1385,75
2. Determinar a área do triângulo (P0P1A) = A1 = 860, figura 29 (caso A);
Figura 29
2.1. Se A1 for maior ou igual do que A , a influência do encunhamento está restrita ao
trecho curvo inicial e pode ser definida através da igualdade [área da figura
(P0PP01)]=A , resultando
2
0 0 1
1
2 P P x P ka x
A
2 a

37
1
0 1
A a
x
P ka
0 1
1
1
P P
P P x
a
01 0P 2P P
2.2. Se A1 for menor do que A , a influência do recuo na ancoragem estende-se além de P1
e deve-se prosseguir com o item 3;
3. Determinar a área da figura (P0P1P2BC) = A2 = 1260, da figura 30 (caso B);
Figura 30
3.1. Se A2 for maior ou igual do que A , a extensão da influência do encunhamento pode
ser definida através da igualdade [área da figura (P0P1PP11P01)] = A = 1385,7,
resultando;
1 1 1 1 1
y y
2 P P a 2Pky a A A
2 2
de onde se obtém y e, portanto, x e os valores de P11 e P01;
3.2. Se A2 for menor do que A , todo o cabo é afetado pelo encunhamento, figura 9 e os
valores da força de protensão podem ser obtidos a partir da expressão (caso C):
1 2 22 P a a A A P 4,19 kN .

38
Figura 31
A. Nos cabos protendidos por uma das extremidades (ancoragem fixa na outra
extremidade), o diagrama de força de protensão pode ser definido (a partir da
extremidade que recebe a protensão) aplicando-se, por exemplo, o procedimento visto
no item anterior.
2° Método
a) Caso A, em que x < a1
Figura 32

39
Nesta situação o encunhamento afeta apenas o trecho curvo do cabo. A variação de
comprimento de um elemento de cabo (dx), sujeito à força de protensão de valor P, é dada
por:
p p
Pdx
dl
E A
onde:
Ep = módulo de deformação do aço de protensão
Ap = área da seção transversal da armadura de protensão.
Desta forma, o valor do recuo é dado pela área da figura triangular hachurada dividida pela
rigidez normal do cabo (Ep Ap). Isto é,
0 0 1
p p 1 p p
2 P P x 2P ka x x 1
2E A a 2 E A
ou
p p 1
0 1
E A a
x
P ka
[para (x < a1)]
resultando
o
1
x
P P 1 kx
a
01 0P 2P P .
b) Caso B, em que (a1 < x al + a2)
Figura 33
A área da figura hachurada dividida pela rigidez normal do cabo fornece o valor do recuo
do cabo. Assim

40
p p0 1 1 1
1 1 1
E AP ka a x a
Pk x a a
2 2 2
logo
2
p p 0 1 1 1 1
1
E A P P a Pka
x
P k
resultando
1 1P P 1 k x a
01 0P 2P P
11 1P 2P P
c) Caso C em que (x = a1 + a2)
Figura 34
Tem-se:
p p0 1 1 2
1 2 1 1 2
E AP P a a
P P a P a a
2 2 2
ou
0 1 2
p p 1 1 2 1
1 2
P P a
E A a P P a
2 2 2
P
a a
01 2 0P 2P P 2 P
11 2 1P 2P P 2 P
P.2PP 222

41
Resolvendo o exemplo anteriormente proposto pelo 2o
método
Não se sabe a priori, até onde chega a influência do recuo nas ancoragens. A solução pode
ser encontrada por tentativas. Pode-se começar, por exemplo, admitindo-se tratar do caso
A (item 3.3) onde a influência é restrita ao trecho curvo. Assim,
p p 1
0 1
E A a
x
P ka
19500 11,844 0,006 10
12,70 m
1733 0,2 0,148 0,002 10
O valor obtido mostra que o recuo afeta além do trecho curvo inicial (x > a1 = 10 m). Caso
se admita o caso B (influência até um ponto do trecho reto), vem:
2
p p 0 1 1 1 1
1
E A P P a Pka
x
P k
2
19500 11,844 0,006 1733 1647 10 1647 0,002 10
x 16,1 m
1647 0,002
Este valor ultrapassa a metade do comprimento do cabo (simetria) que é de 15 m. Conclui-
se, assim, tratar-se do caso c, resultando:
0 1 2
p p 1 1 2 1
1 2
P P a
E A a P P a
2 2 2
P
a a
0,006 1733 1647 5
19500 11,844 10 1647 1631 10
2 2 2
P 4,19 kN
10 5
01 2 0P 2P P 2 P 2 1631 1733 2 4,19 1521 kN
11 2 1P 2P P 2 P 2 1631 1647 2 4,19 1607 kN
21 2P P 2 P 1631 2 4,19 1623 kN
A figura 35 apresenta o diagrama de força normal no cabo:

42
Figura 35
3.4. Perda de protensão por encurtamento do concreto durante a
fase de protensão dos cabos (concreto protendido com
armadura pós-tracionada)
Figura 36
Considere-se a seção transversal esquematizada na figura 36 de uma viga protendida com
armadura pós-tracionada, constituída de 5 cabos (n = 5).
Normalmente, a protensão total é obtida estirando-se, seqüencialmente, um cabo por vez
num total de cinco operações. A protensão de um cabo provoca uma deformação imediata
do concreto e, consequentemente, afrouxamento dos cabos anteriormente protendidos. A
perda média de protensão pode ser estimada através da expressão:

43
p p g cp
n 1
2n
onde:
g
g p
c
M
e
I
tensão no concreto ao nível do baricentro da armadura de
protensão, devida à carga permanente mobilizada pela protensão;
2
p
cp
c c
e1
P
A I
tensão no mesmo ponto anterior, devida à protensão simultânea
dos n cabos;
p
p
c
E
E
coeficiente de equivalência;
Ac , Ic área e momento de inércia da seção transversal;
ep excentricidade da resultante de protensão.
A deformação total, junto à fibra de passagem da resultante dos n cabos de protensão, é
dada por
g c,p
c,pg g c,p
cE
portanto, a protensão de cada cabo provoca a deformação
c,pg
c,pg1
n
Admitindo-se a protensão seqüencial dos n cabos, pode-se construir a seguinte tabela:
Tabela 6
Encurtamento dos cabos
Protensão C1 Protensão C2 Protensão C3 Protensão C4 Protensão C5 Total
C1 c,pg1 c,pg1 c,pg1 c,pg1 4 c,pg1
C2 c,pg1 c,pg1 c,pg1 3 c,pg1
C3 c,pg1 c,pg1 2 c,pg1
C4 c,pg1 1 c,pg1
C5
Portanto, a deformação total vale
c,pg1 c,pg1
n n 1
1 2 ... n 1
2

44
que é a soma dos n - 1 primeiros termos da progressão aritmética ( 1,2,...,n - 1).
A perda total de protensão correspondente é dada por
c,pg1 p p,1
n n 1
P E A
2
onde:
Ap,1 é a área da seção transversal de um cabo
ou
c,pg g cp p
p p,1 p
c
An n 1 n n 1
P E A E
2 n 2 nE n
onde
Ap é a área total dos n cabos.
Finalmente, tem-se:
p p g cp
p
P n 1
A 2n
Considere-se o exemplo com os seguintes dados:
P1 = 1614 kN ; P2 = 1621 kN ; P3 = 1623 kN; P4 = P5 = 1624 kN
p = 5,85 ; Ic = 0,519 m4
; Ac = 0,944 m2
; ep = 0,816 m ; Mg = 3000 kN.m
Ap = 11,84 cm2
(de cada cabo) ; P0 = 1733 kN (força inicial de protensão por cabo)
Tem-se:
iP P 8106kN
g
g p
c
M 3000
e 0,816 4,72MPa
I 0,519
2 2
p
c,p
c c
e1 1 0,816
P 8106 18,99MPa
A I 0,944 0,519
Logo
p p g cp
n 1 5 1
5,85 4,72 18,99 33,4MPa
2n 2 5
A tensão inicial de tração na armadura de protensão vale:
0
p0
p
P 1733
1464MPa
A 11,84

45
A perda percentual é de
p
p0
33,4
2,3%
1464
P 8106 3,34 5 11,84 7908 kN
O percentual devido à perda imediata vale, portanto
0 0P P /P 8665 7908 /8665 9%
3.5. Perdas progressivas em armaduras aderentes
Encerradas as operações de protensão da peça de concreto protendido, os cabos são
injetados com nata de cimento, estabelecendo-se a aderência entre a armadura de protensão
e o concreto. Admite-se que esta aderência seja perfeita, isto é, podem ser consideradas
iguais às deformações adicionais no concreto e na armadura de protensão.
As perdas progressivas são devidas à fluência e retração do concreto e à relaxação da
armadura de protensão. A fluência e a relaxação exprimem a influência do tempo nos
campos de tensões e deformações.
O fenômeno da fluência pode ser caracterizado através da seguinte experiência: Considere-
se uma barra (fig. 37) à qual é aplicada, num certo instante t0 , a força de tração permanente
de valor P0 que, portanto, será mantida constante ao longo do tempo. No instante t0 tem-se
um alongamento inicial de valor a0. No material sujeito a fluência, este alongamento
aumenta ao longo do tempo para um valor assintótico a . A fluência acarreta, portanto, um
aumento da deformação sob tensão constante.
Figura 37
L0 a
A B
A B’
Pi = cte
t
a
to
a0
P
to
Pi
t
Pi = constante
Fluência

46
O fenômeno da relaxação pode ser caracterizado através da seguinte experiência.
Considere-se uma barra (fig. 38) à qual é aplicada, num certo instante t0 , um alongamento
permanente de valor a0 mantido constante ao longo do tempo. Para isto, é necessário
aplicar uma força de tração de intensidade Pi. No material viscoelástico, esta força diminui
ao longo do tempo para um valor assintótico P . A viscoelasticidade acarreta, neste caso,
diminuição da tensão sob deformação constante que é chamada de relaxação.
Figura 38
Pode-se admitir que o efeito do tempo em uma peça de concreto protendido transcorra em
condições que se aproximam da fluência pura no concreto e da relaxação pura na armadura
de protensão.
De fato, no concreto, as solicitações de caráter permanente são devidas à carga permanente
(constante) e à protensão que relativamente varia pouco; as tensões normais
correspondentes no concreto acabam gerando deformações adicionais semelhantes a
fluência pura.
A grande deformação inicial aplicada na armadura para se obter a força de protensão,
mantém-se praticamente constante ao longo do tempo provocando perdas de tensão
semelhantes a relaxação pura.
L0
P
A B
A B’
a0 = cte
t
P
to
Pi
a
to
a0
t
a0 = constante
Relaxação

47
3.5.1.Perdas por retração no concreto (Shrinkage p,s)
Figura 39
Deformação por retração
cs= Equivale a uma diminuição de temperatura entre 15°C a 38°C
- Umidade relativa do ambiente (U)
Umidade Relativa do Ar (Diminui) Retração (aumenta)
Rio de Janeiro
São Paulo
U= 78% cs=-20x 10-5
- Consistência do concreto no lançamento:
a
c
0,45 0,50 0,55 0,65 0,65
Porosidade aumenta
Índice de vazios aumenta
- Espessura fictícia da peça hfic;
Figura 40

48
Idade fictícia do concreto no instante (to) da aplicação da carga
(Diminui) .
Retração
(Aumenta)
- Idade fictícia do concreto no instante considerado (t)
Figura 41
p cs
p
E
é um fator de correção ( 1,0 ), pode ser usado =1 a favor da segurança
3.5.2. Perdas por fluência do concreto, (Creep cc)
Figura 42
c 0 0
c
cc
cc 0 c
l (t ,t) l
l
l
(t ,t)

49
Figura 43
Figura 44
po pg po
p p
c c c
c,pog
F eM F
e e
I A I
.
g po c
p
c c c
2
pc,pog
M F A
e
I A I
1 e
'*(*)
positivo negativo
c,pog c,g c,po
p c,pog
p,c
onde:

50
p,c é a perda no aço de protensão devido a fluência
p é a razão entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto s
c
E
E
.
A seguir apresenta-se o critério aproximado da Nova Norma NB1-2003 para se estimar a
deformação por fluência e retração.
Em casos onde não é necessária grande precisão, os valores finais do coeficiente de fluência (t ,to) e da
deformação específica de retração cs(t ,to) do concreto, submetido a tensões menores que 0,5 fc quando do
primeiro carregamento, podem ser obtidos, por interpolação linear, a partir da tabela 7.
Esta tabela fornece o valor do coeficiente de fluência (t ,to) e da deformação específica de retração
cs(t ,to) em função da umidade ambiente e da espessura equivalente 2Ac/u, onde Ac é a área da seção
transversal e u é o perímetro desta seção em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela são
relativos a temperaturas do concreto entre 10ºC e 20ºC, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas
entre 0ºC e 40ºC. Esses valores são válidos para concretos plásticos e de cimento Portland comum.
Tabela 7 Valores característicos superiores da deformação específica de retração cs(t
,to) e do coeficiente de fluência (t ,to)
Umidade ambiente (%) 40% 55% 75% 90%
Espessura Equivalente c2A
u
(cm) 20 60 20 60 20 60 20 60
5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1
(t ,to) to(dias) 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6
60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4
5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09
cs(t ,to) ‰ to(dias) 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09
60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09
3.5.3. Perdas por relaxação do aço, ( p,r)
A relaxação da armadura de protensão é a perda de protensão quando os fios ou
cordoalhas estão sujeitos essencialmente com uma deformação constante. Por
simplificação, pode-se considerar o efeito da relaxação da armadura semelhante à fluência
do concreto, lembrando somente que a fluência caracteriza-se pelo aumento das
deformações ao passo que a relaxação do aço é uma diminuição da tensão com o tempo.

51
Figura 45
O valor da força de protensão em uma determinada época, considerada somente a
relaxação do aço, é dado por:
))t,t(1.(F)t,t(F 00p0p portanto PFp
15,0
0
10000
1000
tt
)t,t(
Onde:
pi e Pi são respectivamente a tensão e a força no macaco;
p0 e P0 são respectivamente a tensão e a força no tempo t = to;
p e P são respectivamente a tensão e a força no tempo t = ;
(to,t) é o coeficiente de relaxação do aço no instante t para protensão e carga permanente
mobilizada no instante tº
1000 é a relaxação de fios e cordoalhas, após 1000 h a 20ºC e para tensões variando de 0,5 a
0,8 fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, não devendo ultrapassar os valores
dados na NBR 7482 e na NBR 7483,respectivamente.
Para efeito de projeto, os valores médios da relaxação para as perdas de tensão, referidas a
valores básicos da tensão inicial, de 50% a 80% da resistência característica fptk ( 1000), são
reproduzidos na tabela 8.
Tabela 8 Valores de 1000, em %
Cordoalhas Fios Barras
po RN RB RN RB
0,5 fptk 0 0 0 0 0
0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5
0,7 fptk 7 2,5 5 2 4
0,8 fptk 12 3,5 8,5 3 7

52
Para tensões inferiores a 0,5 fptk, admite-se que não haja perda de tensão por relaxação.
Para tensões intermediárias entre os valores fixados na tabela 7, permite-se a interpolação
linear.
Pode-se considerar, para o tempo infinito (t=50 anos), o valor é 2,5 1000.
3.5.3.1. Fluência da armadura de protensão, ( p,c)
A fluência e a relaxação do aço são o mesmo fenômeno, medido somente em diferentes
circunstâncias. A fluência do aço é dado por:
o o(t ,t) ln 1 (t ,t)
(to,t) é o coeficiente de fluência do aço
As perdas por relaxação da armadura protendida poder ser avaliada por:
po
p,r
ou
po 1000
p,r Para aplicações usuais.
3.6. Perdas progressivas totais.
A perda progressiva total considerando a fluência e a retração do concreto e a relaxação da
armadura ativa é fornecida por:
o1000ou
c,pog p p cs po
p
E
ppp
2
1g1
2
p
c
c
g po
c,pog p
c c
e
1 A
I
Varia em cada seção
M F
e
I A

53
4
Flexão simples (ELU)
DEFINIÇÕES
4.1 Introdução
Basicamente a diferença entre o concreto armado e o concreto protendido é a existência do
pré-alongamento na armadura de protensão. No caso de solicitações normais, pode-se
dizer que o procedimento de cálculo no Estado Limite Último (ELU) para estruturas
protendidas é o mesmo que aqueles do concreto armado.
A Nova NB1-2003 refere-se a estado limite último como:
Estados Limites Últimos são aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma de
ruína estrutural, que determine a paralisação do uso da estrutura.
Como as estruturas de concreto armado, as de concreto protendido devem atender a dois
tipos de condições:
1. Comportamento dúctil e coeficiente de segurança satisfatório, na ruptura.
2. Comportamento satisfatório sob efeito de cargas permanentes e cargas de serviço.
No caso da flexão simples de vigas de concreto protendido, o item 2 obedecerá às mesmas
condições das adotadas no concreto armado.
No caso da análise dos esforços resistentes de uma seção, admitem-se as seguintes
hipóteses de cálculo:
a) As seções transversais se mantém planas após deformação;
b) A deformação das barras aderentes (passivas ou ativas), em tração ou compressão, é a
mesma do concreto em seu entorno;
c) Para armaduras ativas não-aderentes, o eventual acréscimo de força deve ser calculado
através do efeito de viga-armada para a combinação de ações em estudo, sendo que para
estruturas de edifícios, permite-se aproximar esse acréscimo por 50% do que se obteria
para armadura aderente;

54
d) As tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas;
e) A distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-
retângulo, com tensão de pico igual a 0,85 fcd permitindo-se a substituição desse diagrama
pelo retângulo de altura 0,8.x (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte
tensão:
̇ 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a
partir dessa para a borda comprimida.
̇ 0,80 fcd no caso contrário.
f) A tensão nas armaduras é obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com os
respectivos valores de cálculo:
s
Es
fyd
fyk
s
fyd
uk
Figura 46: Diagrama tensão-deformação
para aços de armaduras passivas
s
Ep
fpyk
fpyd
p
uk
fptk
fptd
para aços de armaduras ativas
s
Ep
fpyk
fpyd
p
uk
fptk
fptd
simplificado para aços de armaduras ativas
O módulo de elasticidade do aço passivo pode ser admitido igual a 210 GPa
O módulo de elasticidade para fios e cordoalhas pode ser considerado igual a 200 GPa.

55
g) O Estado Limite Último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção
transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 49 a seguir:
Figura 49. Domínios de deformação.
4.2. Dimensionamento a flexão simples de vigas de seção retangular
composta por armadura protendida aderente e por armadura passiva
simples.
4.2.1. Dados de entrada:
Figura 50 – Esquema para Dimensionamento
Esforços solicitantes
Msd
Fp
Nsd=0
Geometria e armadura protendida
Incógnitas:
x = ? (Posição da linha neutra)
As = ? (Armadura Passiva)
Tal que os esforços resistentes
Nrd e Mrd sejam Nrd = Nsd = 0
e Mrd Msd

56
bw; h; d; dp; Ap;P
Materiais
fck; fy (armadura passiva) e Es; fpyk (armadura ativa) e Ep
4.2.2. Seqüência geral de solução.
A seqüência dada a seguir é mais geral e resolve todos os problemas, embora a rigor seja
mais complexa.
a) Arbitra-se um valor para x (ou
x
d
), por exemplo
x
0,30
d
b) Para este valor de x (ou
x
d
) calcula-se a deformada de Estado Limite Último (ELU)
correspondente. Os domínios de deformação no ELU são 1 a 5.
Assim se:
c
c
c
x x
0,259 10‰
d d x
x h
0,259 3,5‰
d d
h x 2‰
3 hd d 1
7 x
Onde c é a deformação na fibra mais comprimida ou menos tracionada do concreto.
c) Por compatibilidade, calcular s e p
alongamentoencurtamento alongamento
pc s
px d x d x
Logo:
s c c
x
1
d x d
xx
d
Alongamento da armadura passiva de tração.
x
(d-x)
(dp-x)
dp
d
s
Figura 51 – Esquema para cálculo dos
alongamentos
p
c

57
p
p
p c c
d x
d x d d
xx
d
Alongamento adicional (ao pré-alongamento da
armadura protendida)
O alongamento total da armadura aderente será dado por:
p pré p
Onde pré é o pré-alongamento da armadura de protensão, na data em estudo; usualmente
se toma PF O valor de pré é dado no caso da pré-tração e aproximado na pós-tração por:
pp
P
ppré
A.E
F
. Na prática é adotado p = 0,90.
O cálculo mais rigoroso do pré-alongamento na pós-tração é dado por;
.pp
pp
P
ppré .1.
A.E
F
. com p = 0,90.
sendo:
p p 2 c
p p p
c c c
E A A
; ; 1 e
E A I
d) Dado s e p podem ser calculadas, pelas equações constitutivas, as tensões sd e pd.
yd sd s s ydf E f (+ alongamento)
pd p p pydE f (+ alongamento), admitindo o patamar fictício de escoamento
para o aço de protensão
Pode-se tomar fpyk 0,90fptk
Logo
pyk ptk
pyd s
s s
f f
f 0,90 com 1,15
e) Dados x, sd e pd podem ser calculadas as resultantes no concreto e no aço e seus
pontos de aplicação.

58
Figura 52. Esquema para cálculo das resultantes
cd cd wR 0,85f b 0,8x
sd sd sR A “Que não pode ser calculado, pois As não é conhecido”
pd pd pR A
f) Dados Rcd, sd, e Rpd e seus pontos de aplicação, podem ser calculados os esforços
resistentes Nrd e Mrd.
m
s sd
rd cd sd pd
A
N R R R (1)
rd cd sd s pd p
h h h
M R 0,4x A d R d
2 2 2
(2)
Na verdade os dois valores ficam calculados em função de As (incógnita).
g) Imposição do equilíbrio com os esforços solicitantes Nsd e Msd..
Deve-se ter:
rd sdN N 0 (caso de flexão simples) (3)
rd sdM M (4)
De (3) em (1) tiramos o valor de As, que satisfaz.
cd pd
s
sd
R R
A
Atenção: mesmo que As seja um valor negativo ele será utilizado.
rd cd sd
h
M R 0,4x
2
cd pd
sd
R R
pd p
h h
d R d
2 2
(d-h/2)
(h/2-0,4x)
0,4x
0,8x
0,85fcd
(dp-h/2)
Rcd
Rpd
Rsd
CG
Ap
As
d
dp
h/2
CG
h/2
Nrd
Mrd

59
Se o valor de Mrd calculado for igual a Msd teremos a solução, se não, podemos repetir o
processo iterativamente até obtermos Mrd = Msd.
No item 14.6.4.3, Limites para redistribuição de momentos e condições de dutilidade, da
Nova NB1-2003, a capacidade de rotação das peças é função da posição da linha neutra no
ELU e quanto menor é x/d, maior é essa capacidade.
Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros
elementos estruturais, mesmo quando não se fizerem redistribuições de esforços solicitantes , deve-se
garantir para a posição da linha neutra no ELU, os limites seguintes:
̇x/d 0,50 para concretos com fck 35 MPa; ou
̇x/d 0,40 para concretos com fck 35 MPa.
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por
exemplo os que produzem confinamento nessas regiões.
Outra variante desta solução consiste em tomarmos dois , três ou mais valores de
x
d
, por
exemplo 0,10; 0,30 e 0,50.
Calcularemos os pares As e Mrd correspondentes e montaremos o gráfico da figura 53:
0,1
0,3
0,5
A’
B’
C’
B
C
A
D
As (cm
2
)
Msd,Mrd
x
d
Msd
As,sol
Figura 53 – Gráfico As x Mrd

60
Com estes três ou mais pares, traçamos a curva aproximada que correlaciona Mrd com As,
entrando com Msd e interpolando entre os valores calculados, mais próximos, achamos
As,sol, aproximado.
Por exemplo, se Msd está entre os pontos B e C, temos:
sd rd,B
s,sol s,B s,C s,B
rd,C rd,B
M M
A A A A
M M
O gráfico também fornece qual é o momento resistente para As igual a zero (ponto D). ou
seja, se Msd Mrd,D não é necessária, teoricamente, armadura passiva As, devendo-se adotar a
armadura mínima dada por:
s s min cA A A para armaduras aderentes
min,CA p min,CA0,5 0,5
onde
p
p
c
A
A
A Nova NB1-2003 especifica os valores mínimos de min,CA conforme a Tabela 9:
Tabela 9
fck (MPa)
T
(mesa comprimida)
T
(mesa tracionada)
45 50
mín
Retangular 0,15 0,15
Valores de min* (As,min/Ac)
%
20 25 30 35 40
0,197
0,173 0,201 0,23 0,259
0,15 0,15 0,153
0,288
0,15 0,15 0,15 0,15 0,158 0,177
0,178 0,204 0.229 0,255
0,46 0,518Circular 0,23 0,288
Forma da seção
0,575
* Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses fatores sejam
diferentes, min deve ser recalculado com base no valor de mín dado.
NOTA: Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.
0,035
0,024
0,031
0,07 0,345 0,403

61
4.2.1. Exemplo F-ELU-1
Calcular a armadura de flexão para a viga de seção retangular com os dados a seguir.
Ap=11,80cm2
PF =129,8 tf
As=? Aço CP-190 RB
fck=25 MPa Es=210 GPa
Ac=0,48m2
Ep=195 GPa
Ic=0,0576m4
Ec=23,8 GPa
Figura 54 – Seção da Viga do Exemplo F-ELU-1
Seguindo a seqüência de cálculo anteriormente descrita:
(a) Dados 50,0
d
x
(Depois será feito para
x
d
=0,30 e
x
d
=0,10)
cm5,57115.50,0x
(b)Calcular c
Para 00
0
c 5,3259,050,0
d
x
(c) Calcular p, s, pré e p
00
0
00
0
cs 5,3
50,0
)50,01(
5,3
d
x
d
x
1
00
0
00
0
p
cp 2,3
50,0
50,0
115
110
5,3
d
x
d
x
d
d
‰08,500508,0
8,11.1950
8,129
.90,0
A.E
F
.
pp
P
ppré
Ep=195 GPa = 1950 tf/cm2

62
Opcionalmente, o cálculo do pré-alongamento poder ser feito da maneira mais correta:
p
pré p p p
p p
p
p
c
p
p
c
22 c
p
c
p p
F
1 5,08‰ 1 8,19.0,00246.3,08 5,40‰
E A
com
E 195
8,19
E 23,8
A 11,80
0,00246
A 40.120
A 0,48
1 e 1 1,10 0,60 3,08
I 0,0576
h
e d
2
00
0
00
0
00
0
pprép 28,82,308,5
Ou de maneira mais exata:
00
0
00
0
00
0
pprép 60,82,340,5
Só vale para armadura de
protensão ADERENTE
(d)Dados s e p calcular sd e pd
2pd
2p
2
2
s
pyd
pydpppd
2sd2sd
00
0
s
2
2
ydydsssdyd
cm
tf87,14
1000
60,8.1950
cm
tf1950GPa195E
cm
tf87,14
15,1
cm
tf19
9,0
f9,0
f.E
cm
tf35,4
cm
tf35,4
1000
5,3
2100
1000
5,3
5,3
cm
tf35,4
15,1
cm
tf0,5
ff.Ef

63
(e) Calcular Rcd, Rsd e Rpd
tf3,2795,57.8,0.40.
4,1
25,0
.85,0x8,0.b.f.85,0R wcdcd
sd sd s sR A 4,35.A
pd pd pR A 14,87.11,8 175,5 tf
(f) Calcular Mrd e Nrd
1) 5,175A.35,43,279RRRN spdsdcdrd
2) rd cd sd s pd p
h h h
M R 0,4x A d R d
2 2 2
)60110(5,17560115A.35,45,57.4,0603,279M srd
srd A.2,23919209M
(g) Calcular As e Mrd tal que Nrd=Nsd=0 (flexão simples)
De 1), temos;
2pdcd
s cm86,23
35,4
5,1753,279
35,4
RR
A
e
m.tf2,249cm.tf24917)86,23.(2,23919209M 2
rd
Repetindo a seqüência para
x
d
=0,30 e
x
d
=0,10, temos:
Tabela 10
Pontos
x
d
As (cm2
) Mrd (tfm) c Rcd Rpd
A 0,10 -27,5 52,93 1,11% 55,94 175,5
B 0,30 -1,82 160,81 3,50% 167,64 175,5
C 0,50 23,88 248,17 3,50% 279,39 175,5

64
0,1
0,3
0,5
A’
B’
C’
B
C
A
D
As (cm
2
)
Msd,Mrd
x
d
Msd
As,sol=10,60 cm
2
Figura 54 – Gráfico As x Mrd do Exemplo F-ELU-1
Para Msd=203,2 tfm a solução está entre os pontos B e C, logo;
2
s,sol
203,2 160,81
A 23,88 1,82 1,82 10,60 cm
248,17 160,81
Se buscássemos a solução exata obteríamos As=9,91 cm2
para x=45 cm.
Checagem de As,min:
min,ca 0,15% p/fck 25
smin p c
0,15%
A 0,15% 0,5 A
2
,-.
%25,00025,0
120.40
118
p logo 2
min, 60,3120.40.
2
%15,0
cmAs
Observação: Caso a solução exigisse x/d >0,50 não seria possível e teríamos que aumentar
a seção, ou o fck ou colocar '
sA (armadura de compressão).

65
4.3. Dimensionamento ou verificação, a flexão simples, de vigas de
seção retangular composta por armadura protendida aderente e por
armadura passiva dupla.
4.3.1. Dados de entrada:
Figura 55 – Seção de Viga com Armadura Passiva Dupla
Esforços solicitantes:
Msd Mrd
PF
Nsd=Nrd=0
Geometria e armadura protendida
bw; h; d; d’; dp; Ap;P
Materiais
fck; fy (armadura passiva) e Es; fpyk (armadura ativa) e Ep
4.3.2. Seqüência geral de solução.
Existem dois caminhos possíveis, pois temos três incógnitas e somente 2 equações (Nrd e
Mrd), portanto deveremos fixar uma das incógnitas.
Incógnitas:
x = ? (Posição da linha neutra)
As = ? (Armadura Passiva de Tração)
'
sA = ? (Armadura Passiva de Compressão)

66
1° Caminho
Fixa-se
x
0,50
d
, isto é possível quando já temos a solução com '
sA 0 , que não foi
viável.
Fixando
x
d
seguiremos os passos dados anteriormente calculando, também, ’
s e ’
sd,
dados por:
'
'
s c
' '
yd sd s s yd
de compressão
x d
x
e
f E f
Na seqüência obteremos:
m m
' '
s sd
s sd
'
rd cd sd sd pd
AA
N R R R R (1)
msd s
'
sd
' ' '
rd cd sd s pd p
R
h h h h
M R 0,4x A d A d R d
2 2 2 2
(2)
Impondo Nrd=Nsd=0 e Mrd=Msd , temos de (1) e (2);
pdsdssdscd R.A'.'AR0
sd s
' ' '
rd cd sd s pd p
h h h h
M R 0,4x A d A d R d
2 2 2 2
Duas equações a duas incógnitas: A’
s e As.
Destas duas equações teremos um par solução A’
s e As para o valor
x
d
fixado.
Cabe ao projetista escolher o par mais conveniente, desde que:
x
d
0,50 para concretos com fck 35 MPa; ou
x
d
0,40 para concretos com fck 35 MPa.

67
2° Caminho
Arbitrar A’
s e repetir os passos da solução com armadura simples, para vários
x
d
e calcular
qual As fornece Mrd=Msd.
Ou seja aqui tem-se um par de soluções: As e
x
d
- para cada A’
s arbitrado - e cada par é uma
solução válida se 50,0
d
x
.
Repetir o exemplo F-ELU-1 com Msd= 260,1 tfm, onde será necessário usar As
’
0, para se
garantir
x
0,50
d
. Usar d’
=5 cm.
1º Caminho
Impondo
x
d
=0,50, Nrd=Nsd=0 e Mrd=Msd=260,1 tfm=26010tfcm, teremos;
A’
s=2,45 cm2
e As=26,36 cm2
.
2º Caminho
Repetir a seqüência dada em F-ELU-1 para
x
d
=0,10; 0,30 e 0,50, teremos, portanto:
Para
x
0,10 x 11,5 cm
d
' ' 2
s sd
11,5 5 0,63
1,11‰ 0,63‰ 2100 1,32 tf cm
11,5 1000
e
s
'
rd sN 55,9 A 1,32 A 4,35 175,5
s
'
rd s
120 120 120 120
M 55,9 0,4.11,5 1,32 A 5 4,35 A 115 175,5 110
2 2 2 2
Para
x
0,50 x 57,5 cm
d

68
2'
s
'
s00
0
00
0'
s cm/tf35,4
1000
2,3
.21002,3
5,57
)55,57(
5,3
e
5,175A.35,4'A.35,43,279RR'RRN sspdsdsdcdrd
s
'
rd s
120 120 120 120
M 279,5 0,4.57,3 4,15 A 5 4,35 A 115 175,5 110
2 2 2 2
Arbitrando A’s, obteremos pares de soluções
x
d
e As, que serão soluções válidas sempre
que
x
d
0,50.

69
4.4. Dimensionamento ou verificação, a flexão simples, de vigas de
seção retangular composta por armadura de protensão NÃO-
ADERENTE e por armadura passiva dupla.
Na armadura de protensão não-aderente o que se modifica na marcha de cálculo,
anteriormente descrita, é o ganho de alongamento p. Isto decorre pelo fato da armadura
deslizar ao longo de toda a viga, sendo que não é o ganho de alongamento da seção
transversal em estudo que deve ser calculado, mas sim uma média destes ganhos ao longo
de toda viga.
Para avaliar p neste caso temos três opções:
A. Abordagem da Nova Norma NBR6618/2003 – Item 17.2.2 (adaptado do ACI-318)
Sendo p o ganho incremental de tensões, temos que:
- Para 35
d
l
(l é o vão em estudo)
p
p
p
fck
70 MPa 420 MPa
A
100
b.d
- Para 35
d
l
p
p
p
fck
70 MPa 210 MPa
A
300
b.d
resultando:
p p pré p pydE f
B. Abordagem aproximada
Utiliza-se a mesma seqüência já discutida para o cálculo, sendo p dado por:
p pré p
Com 0,50 para vigas e lajes isostáticas (1 vão).
0,20 para vigas e lajes contínuas (mais de 1 vão).

70
é um fator que leva em conta a parcela de ganho de protensão em uma
armadura não-aderente em relação ao que se obteria com armadura aderente (o
valor de para armadura aderente é igual a 1,0).
C. Despreza-se o acréscimo de protensão no cálculo de Rsp
Ou seja, deve-se tomar:
Ppsp F.R
Resolver a viga apresentada no exemplo F-ELU-1, porém considerando que a armadura de
protensão é do tipo não aderente.
Conforme exposto, a seqüência de cálculo é a mesma, modificando-se porém o cálculo de
p, sp e Rsp.
a) Cálculo do acréscimo de protensão com a opção A:
Supondo que o vão seja menor que 38,5 m, ou seja 35
dP
l
(dP=1,10 m)
p
p
p
fck
70 MPa 420 MPa
A
100
b.d
p
25
70 MPa 163,2 MPa 420 MPa
11,8
100
40.110
2
pyd
2
pprépp tf/m87,14ftf/m16,1263,1
1000
40,5
.1950.E
e
tf5,14316,12.8,11.AR ppsp para qualquer x/d
Para
x
d
=0,10

71
De 1: 5,143A.35,49,55N srd
De 2: )60110(5,14360115A.35,45,11.4,060.9,55M srd
Como estamos na flexão simples temos:
Nrd=Nsd=0 e aplicando em 1 temos:
As= -20,14 cm2
De 2 temos; Mrd=54,5 tfm.
Repetindo a sequência para
x
d
=0,30 e
x
d
=0,50 temos:
Tabela 11
x/d As (cm2
) Mrd (tfm)
0,10 -20,14 54,5
0,30 5,54 162,41
0,50 31,23 249,77
Para Mrd=203,2 tfm, interpolando entre 0,30 e 0,50, obtemos As=17,54 cm2
.
b) Cálculo do acréscimo de protensão pela opção B:
Nesta opção, o acréscimo de protensão é dado por p, ou seja, o alongamento p é:
Supondo que esta viga tenha mais de 1 vão, temos: =0,20, e para
x
d
=0,10
p pré p 5,08‰ 0,20.9,51‰ = 6,98‰
2
pyd
2
ppp tf/m87,14ftf/m6,13
1000
98,6
.1950.E
tf6,1608,11.6,13.AR ppsp
Logo Nrd e Mrd ficam:
De 1: 6,160A.35,49,55N srd
De 2: rd sM 55,9 60 0,4.11,5 4,35A 115 60 160,6 110 60
Impondo Nrd=Nsd=0 e aplicando em 1 temos:

72
As=-24,06 cm2
De 2 temos; Mrd=53,7 tfm
Analogamente podemos montar, com
x
d
=0,30 e
x
d
=0,50, a tabela abaixo:
Tabela 12
x/d As (cm2
) Mrd (tfm)
0,10 -24,064 53,7
0,30 3,55 162,0
0,50 33,97 250,4
Para Mrd=203,2 tfm, interpolando entre 0,30 e 0,50, obtemos As=17,72 cm2
.
A tabela 13 e a figura 56 abaixo apresentam um resumo das opções calculadas nos
exemplos F-ELU-1, F-ELU-2 e F-ELU-3:
Tabela 13
Tipo de
Protensão
A’s
d
x
As Mrd
0,10 -27,52 52,89
0,30 -1,82 160,81Aderente 0
0,50 23,88 248,17
0,10 -22,52 64,85
0,30 3,18 172,76Aderente 5,00
0,50 28,88 260,13
0,10 -20,14 54,50
0,30 5,54 162,41
Não-aderente
Opção A
0
0,50 31,23 249,77
0,10 -24,06 53,70
0,30 3,55 162,00
Não-aderente
Opção B
0
0,50 33,97 250,40

73
Figura 56
Resolver a viga apresentada no exemplo F-ELU-1, com a colaboração de uma mesa de
compressão com bf=100 cm e hf=10 cm, e considerando que a armadura de protensão é do
tipo aderente.
Figura 57
Ap=11,8 cm2
; Aço CP-190-RB; Ep=195 GPa; P =129,8 tf; As = ?; CA-50; Es=210 GPa;
fck=25 MPa; Ec=23,8 MPa
Cálculo da posição do CG:
cm9,53
10).40100(120.40
2
10
.10).40100(
2
120
.120.40
h).bb(h.b
2
h
.h).bb(
2
h
.h.b
y
fwfw
f
fwfw
s
0
50
100
150
200
250
300
-30 -20 -10 0 10 20 30 40
Aderente Aderente (As'=5 )
Não-Aderente (Opção A ) Não-Aderente (Opção B)

74
A sequência de cálculo é a mesma apresentada no exemplo F-ELU-1, com a adição do
cálculo da resultante de compressão do concreto nas abas (partes laterais da mesa de
compressão).
a) Dados
x
0,10
d
(Depois será feito para
x
d
=0,30 e
x
d
=0,50)
x 0,10.115 11,50 cm ,
Obs: o melhor é começar com x/d = 0,50 pois é dada uma noção de qual o maior valor de
Mrd suportado por esta configuração.
b) Calcular c
Para
c
x x 11,5
0,10 0,259 10‰ 10‰ 1,11‰
d x d 115-11,5
(Domínio 2)
c) Calcular p, s, pré e p (análogo ao exemplo F-FLU-1)
s
1 0,10
1,11‰ 10‰
0,10
p
110
0,10
115
1,11‰ 9,51‰
0,10
pré
129,8
0,90 0,00508 5,08‰
1950.11,8
Ep=195 GPa = 1950 tf/cm2
Ou da maneira mais correta.
p
pré p p p
p p
F
1 5,08‰ 1 8,19.0,00246.3,08 5,40‰
E A
p pré p 5,08‰+9,51‰ =14,59‰
p pré p 5,40‰+9,51‰ =14,91‰
Só vale para armadura de
protensão ADERENTE
d) Dados s e p calcular sd e pd
2sd s s yd sd
2pd p p pyd pd
tfE f 4,35
cm
tfE f 14,87
cm
e) Cálculo das forças resultantes Rcd, Rsd e Rp
A resultante de compressão no concreto será dividida em duas partes Rcd, alma e Rcd,abas como
mostrado a seguir:

75
Se f0,8x h
Figura 58
cd,alma cd w
cd,abas cd f w
R 0,85f b 0,8x
R 0,85f b b 0,8x
Se f0,8x h
Figura 59
cd,alma cd w
cd,abas cd f w f
R 0,85f b 0,8x
R 0,85f b b h
As duas situações podem ser expressas pelas resultantes Rcd,alma e Rcd,aba com ft 0,8x h (e
se x<0, Rcd,alma=Rcd,aba=0 e t=0 )
Assim, para x=11,5 temos ft 0,8.11,5 h 10 t 9,2 cm
Figura 60
cd,alma
cd,abas
pd pd p
sd sd s s
0,25
R 0,85 40.0,8.11,5 55,9 tf
1,4
0,25
R 0,85 100 40 9,2 83,8 tf
1,4
R A 14,87.11,8 175,5 tf
R A 4,35.A
f) Cálculo dos esforços Resistentes NR e MR
1 5,175A.5,438,839,55RRRRN spdsdabas,cdalma,cdrd
2 )yd(RydR
2
t
y.Rx.4,0y.RM sppdssdsabas,cdsalma,cdrd
)9,53110(5,1759,53115A.35,4
2
2,9
9,53.8,835,11.4,09,53.9,55M srd
srd A.8,2655,16732M

76
g) Cálculo de As tal que NRd=NSd=0 (flexão simples):
De 1:
cd,alma cd,abas pd 2
s
sd
R R R 55,9 83,8 175,5
A 8,23 cm
4,35
e
rdM 16732 265,8. 8,3 14544 tf.cm 145,44 tfm
Repetindo a sequência para
x
d
=0,30 e
x
d
=0,50 obtemos:
Tabela 14
Ponto
x
d
As
cm2
MRd
tfm
Rcd,alma
tf
Rcd,abas
tf
Rpd
tf
sd
tf/cm2
A 0,10 -8,23 145,4 55,9 83,8 175,5 4,35
B 0,30 19,11 267,5 167,6 91,1 175,5 4,35
C 0,50 44,80 332,3 279,3 91,1 175,5 4,35
0,1
0,3
0,5
A’
B’
C’
B
C
A
As (cm2
)
Mrd
tfm
x
d
Msd=203,2
As,sol=4,71 cm
2
Figura 61
Para o momento solicitante MSd=203,2 tfm, a solução está entre os pontos A e B, e por
interpolação linear temos:

77
2
sd,s cm71,4)23,8())23,8(11,19.(
)4,1455,267(
)4,1452,203(
A
Para o momento solicitante MSd=260,1 tfm, que para a seção retangular foi solucionada
com armadura de compressão A’s (exemplo F-ELU2), a solução por interpolação linear é:
2
sd,s cm50,17)23,8())23,8(11,19.(
)4,1455,267(
)4,1451,260(
A
4.6. Tabela com adimensionais para a solução de problemas de flexão
simples com armadura de protensão aderente.
Figura 62
Para a seção da Figura 61, obtém-se as seguintes relações:
1 Rd cd w sd s pd p sdN 0,85f b 0,8.x A A N 0
No caso da flexão simples (Nsd=0) pode-se fazer o momento das resultantes Rcd e Rpd em
relação à armadura As, assim:
2 Rd cd w pd p pM 0,85f b 0,8.x d 0,4x A d d
Dividindo as expressões 1 por bwd.fcd e a 2 por bwd2
.fcd obtemos;
1’
s yd pd p ptdcd w sd
w cd yd w cd ptd w cd
A f A .0,9f0,85f b 0,8.x.d
0
b d.f d f b d.f 0,9f b d.f
2’
pd p ptdRd cd w
p2 2 2
w cd w cd ptd w cd
A 0,9fM 0,85f b 0,8.x
d 0,4x d d
b d f b d f 0,9f b d f
Definindo as variáveis adimensionais:
Rd
d 2
w cd
M
b d f
Atenção, aqui usamos d, e não h como se faz em pilares.

78
s yd
s
w cd
A f
b df
p ptd
p
w cd
A 0,9f
b df
Com estes adimensionais as expressões 1’ e 2’ se transformam em:
1’’
pdsd
s p
yd ptd
x
0,68 0
d f 0,9f
2’’
pd p
d p
ptd
dx x
0,68 1 0,4 1
d d 0,9f d
Ou seja, dado um
x
d
obtemos sd e pd por:
c sd yd
p
p
p
x
0,259 10‰ =f
d
d x
d x d d10‰ 10‰
xd x 1
d
Domínio 2
c sd s s yd
p
p
x
1
x d0,259 3,5‰ = E f
xd
d
d x
d d3,5‰
x
d
Domínios 3 e 4
E das expressões 1’’ e 2’’;
pd
p
ptd
s
sd
yd
x
0,68
d 0,9f
f
1’’’
pd p
d p
ptd
dx x
0,68 1 0,4 1
d d 0,9f d
O valor de pd é dado por;
pd p pré p pyd ptdE f 0,9f

79
Podem ser consideradas tabelas auxiliares para o dimensionamento como a apresentada
abaixo:
Dados Resultados
pd
d
p
x
d d s
p
‰
0,95 0,09 0,30 0,175 0,114 7,58
Exemplos
0,75 0,09 0,30 0,157 0,114 2,25
Para a construção foram fixados:
pré 5‰ para aços CP-190 RN ou RB e Ep = 200 GPa
Es = 210 GPa para aço CA-50
Um exemplo deste tipo de tabela encontra-se a seguir, para
pd
d
=0,95;
pd
d
=0,85;
pd
d
=0,75.

Tabela de adimensioais para f lexão simples em seções retangulares comarmaduras aderentes
Dado de entrada Resultados obtidos Válido para as seguintes condições
f py d=0,9f ptd 14,87
s Pré alongamento maior que 5°/oo
fyd (tf/cm²)= 4,35 p p Aços; CP 190 RN ou RB
Es= 2100 dp/d CA 50
Ep= 1950 x/d
dp/d p s p s p s p s p s p s p s
0,950 0,090 0,029 0,000 0,120 0,027 0,000 0,150 0,026 0,000 0,180 0,024 0,000 0,210 0,023 0,000 0,240 0,021 0,000 0,270 0,020 0,000
0,950 0,090 0,061 0,000 0,120 0,059 0,000 0,150 0,058 0,000 0,180 0,056 0,000 0,210 0,055 0,000 0,240 0,053 0,000 0,270 0,052 0,000
0,950 0,090 0,091 0,012 0,120 0,090 0,000 0,150 0,088 0,000 0,180 0,087 0,000 0,210 0,085 0,000 0,240 0,084 0,000 0,270 0,082 0,000
0,950 0,090 0,121 0,046 0,120 0,119 0,016 0,150 0,118 0,000 0,180 0,116 0,000 0,210 0,115 0,000 0,240 0,113 0,000 0,270 0,112 0,016
0,950 0,090 0,149 0,080 0,120 0,147 0,050 0,150 0,146 0,020 0,180 0,144 0,000 0,210 0,143 0,000 0,240 0,141 0,000 0,270 0,140 0,050
0,950 0,090 0,175 0,114 0,120 0,174 0,084 0,150 0,172 0,054 0,180 0,171 0,024 0,210 0,169 0,000 0,240 0,168 0,000 0,270 0,166 0,084
0,950 0,090 0,200 0,148 0,120 0,199 0,118 0,150 0,197 0,088 0,180 0,196 0,058 0,210 0,194 0,028 0,240 0,193 0,000 0,270 0,191 0,118
0,950 0,090 0,224 0,182 0,120 0,222 0,152 0,150 0,221 0,122 0,180 0,219 0,092 0,210 0,218 0,062 0,240 0,216 0,032 0,270 0,215 0,152
0,950 0,090 0,246 0,216 0,120 0,245 0,186 0,150 0,243 0,156 0,180 0,242 0,126 0,210 0,240 0,096 0,240 0,239 0,066 0,270 0,237 0,186
0,950 0,090 0,268 0,250 0,120 0,266 0,220 0,150 0,265 0,190 0,180 0,263 0,160 0,210 0,262 0,130 0,240 0,260 0,100 0,270 0,259 0,220
0,850 0,090 0,020 0,000 0,120 0,015 0,000 0,150 0,011 0,000 0,180 0,006 0,000 0,210 0,002 0,000 0,240 -0,003 0,000 0,270 -0,007 0,000
0,850 0,090 0,052 0,000 0,120 0,047 0,000 0,150 0,043 0,000 0,180 0,038 0,000 0,210 0,034 0,000 0,240 0,029 0,000 0,270 0,025 0,000
0,850 0,090 0,082 0,012 0,120 0,078 0,000 0,150 0,073 0,000 0,180 0,069 0,000 0,210 0,064 0,000 0,240 0,060 0,000 0,270 0,055 0,000
0,850 0,090 0,112 0,046 0,120 0,107 0,016 0,150 0,103 0,000 0,180 0,098 0,000 0,210 0,094 0,000 0,240 0,089 0,000 0,270 0,085 0,016
0,850 0,090 0,140 0,080 0,120 0,135 0,050 0,150 0,131 0,020 0,180 0,126 0,000 0,210 0,122 0,000 0,240 0,117 0,000 0,270 0,113 0,050
0,850 0,090 0,166 0,114 0,120 0,162 0,084 0,150 0,157 0,054 0,180 0,153 0,024 0,210 0,148 0,000 0,240 0,144 0,000 0,270 0,139 0,084
0,850 0,090 0,191 0,148 0,120 0,187 0,118 0,150 0,182 0,088 0,180 0,178 0,058 0,210 0,173 0,028 0,240 0,169 0,000 0,270 0,164 0,118
0,850 0,090 0,215 0,182 0,120 0,210 0,152 0,150 0,206 0,122 0,180 0,201 0,092 0,210 0,197 0,062 0,240 0,192 0,032 0,270 0,188 0,152
0,850 0,090 0,237 0,216 0,120 0,233 0,186 0,150 0,228 0,156 0,180 0,224 0,126 0,210 0,219 0,096 0,240 0,215 0,066 0,270 0,210 0,186
0,850 0,090 0,259 0,252 0,120 0,254 0,223 0,150 0,250 0,193 0,180 0,246 0,164 0,210 0,241 0,135 0,240 0,237 0,106 0,270 0,232 0,223
0,750 0,090 0,011 0,000 0,120 0,003 0,000 0,150 -0,004 0,000 0,180 -0,012 0,000 0,210 -0,019 0,000 0,240 -0,027 0,000 0,270 -0,034 0,000
0,750 0,090 0,043 0,000 0,120 0,035 0,000 0,150 0,028 0,000 0,180 0,020 0,000 0,210 0,013 0,000 0,240 0,005 0,000 0,270 -0,002 0,000
0,750 0,090 0,073 0,012 0,120 0,066 0,000 0,150 0,058 0,000 0,180 0,051 0,000 0,210 0,043 0,000 0,240 0,036 0,000 0,270 0,028 0,000
0,750 0,090 0,103 0,046 0,120 0,095 0,016 0,150 0,088 0,000 0,180 0,080 0,000 0,210 0,073 0,000 0,240 0,065 0,000 0,270 0,058 0,016
0,750 0,090 0,131 0,080 0,120 0,123 0,050 0,150 0,116 0,020 0,180 0,108 0,000 0,210 0,101 0,000 0,240 0,093 0,000 0,270 0,086 0,050
0,750 0,090 0,157 0,114 0,120 0,150 0,084 0,150 0,142 0,054 0,180 0,135 0,024 0,210 0,127 0,000 0,240 0,120 0,000 0,270 0,112 0,084
0,750 0,090 0,182 0,148 0,120 0,175 0,118 0,150 0,167 0,088 0,180 0,160 0,058 0,210 0,152 0,028 0,240 0,145 0,000 0,270 0,137 0,118
0,750 0,090 0,206 0,182 0,120 0,198 0,152 0,150 0,191 0,122 0,180 0,183 0,092 0,210 0,176 0,062 0,240 0,168 0,032 0,270 0,161 0,152
0,750 0,090 0,229 0,219 0,120 0,222 0,191 0,150 0,215 0,162 0,180 0,208 0,133 0,210 0,200 0,104 0,240 0,193 0,075 0,270 0,186 0,191
0,750 0,090 0,252 0,260 0,120 0,245 0,234 0,150 0,239 0,207 0,180 0,232 0,181 0,210 0,226 0,154 0,240 0,219 0,128 0,270 0,212 0,234
0,650 0,090 0,002 0,000 0,120 -0,009 0,000 0,150 -0,019 0,000 0,180 -0,030 0,000 0,210 -0,040 0,000 0,240 -0,051 0,000 0,270 -0,061 0,000
0,650 0,090 0,034 0,000 0,120 0,023 0,000 0,150 0,013 0,000 0,180 0,002 0,000 0,210 -0,008 0,000 0,240 -0,019 0,000 0,270 -0,029 0,000
0,650 0,090 0,064 0,012 0,120 0,054 0,000 0,150 0,043 0,000 0,180 0,033 0,000 0,210 0,022 0,000 0,240 0,012 0,000 0,270 0,001 0,000
0,650 0,090 0,094 0,046 0,120 0,083 0,016 0,150 0,073 0,000 0,180 0,062 0,000 0,210 0,052 0,000 0,240 0,041 0,000 0,270 0,031 0,016
0,650 0,090 0,122 0,080 0,120 0,111 0,050 0,150 0,101 0,020 0,180 0,090 0,000 0,210 0,080 0,000 0,240 0,069 0,000 0,270 0,059 0,050
0,650 0,090 0,148 0,114 0,120 0,138 0,084 0,150 0,127 0,054 0,180 0,117 0,024 0,210 0,106 0,000 0,240 0,096 0,000 0,270 0,085 0,084
0,650 0,090 0,173 0,148 0,120 0,163 0,118 0,150 0,152 0,088 0,180 0,142 0,058 0,210 0,131 0,028 0,240 0,121 0,000 0,270 0,110 0,118
0,650 0,090 0,199 0,187 0,120 0,189 0,159 0,150 0,179 0,131 0,180 0,169 0,102 0,210 0,159 0,074 0,240 0,149 0,046 0,270 0,139 0,159
0,650 0,090 0,224 0,229 0,120 0,215 0,203 0,150 0,206 0,177 0,180 0,197 0,151 0,210 0,188 0,125 0,240 0,179 0,100 0,270 0,170 0,203
0,650 0,090 0,247 0,269 0,120 0,239 0,245 0,150 0,230 0,221 0,180 0,222 0,197 0,210 0,214 0,173 0,240 0,205 0,150 0,270 0,197 0,245

81
Dimensionar a armadura passiva do exemplo F-ELU-1 com auxílio das tabelas com
adimensionais para seções retangulares.
Para este exemplo podemos usar a tabela pois pré 5,4‰ > 5‰ e os aços utilizados são
CA-50 e o CP 190 RB, este aderente.
Os dados de entrada são:
pd 110
0,957
d 115
214,0
4,1
tf/cm25,0
.cm115.cm40
tf/cm87,14.cm8,11
f.d.b
f.9,0.A
2
22
cdw
ptdp
p
215,0
4,1
tf/cm25,0
.cm115.cm40
tf.cm03202
f.d.b
M
2
2cd
2
w
Rd
d
Entrando com os dados na tabela com;
p
p s
d
d
0,95
d
0,21 0,059
mi 0,215
Logo
2
2
2
w
yd
cd
ss cm11,14cmcm.11540.
tf/cm,354
4,1
tf/cm25,0
.059,0d.b.
f
f
.A
Note que no exemplo F-ELU-1 a armadura calculada foi de 10,60 cm2
, semelhante a obtida
neste exemplo.

82
Dimensionar a armadura passiva do exemplo F-ELU-3 (com protensão não-aderente)
fazendo uma adaptação para o uso das tabelas com adimensionais.
Podemos usar a tabela, com adaptações, pois pré 5,4‰ > 5‰ e os aços utilizados são
CA-50 e o CP 190 RB.
A adaptação necessária, com armadura não-aderente (cordoalhas engraxadas) usa a opção
A, exposta no item 4.4, onde se calcula pd por:
p p pré p pydE f
p
p
p
fck
70 MPa 420 MPa
A
100
b.d
Supõe-se aqui que 35
dP
l
2
p
25
70 MPa 163,2 MPa 1,63 tf cm 420 MPa
11,8
100
40.110
e
3 2
p
5,4
1,95.10 1,63 12,16 tf cm
1000
As adaptações para o uso da tabela é considerar os seguintes adimensionais:
175,0
4,1
tf/cm25,0
.cm115.cm40
tf/cm16,12.cm8,11
f.d.b
.A
2
22
cdw
pdp
p
215,0
4,1
tf/cm25,0
.cm115.cm40
tf.cm03202
f.d.b
M
2
2cd
2
w
Rd
d
Entrando com os dados na tabela obtemos:

83
p
p s
d
d
0,95
d
0,175 0,18 0,088
mi 0,215
Logo
2
2
2
w
yd
cd
ss cm16,62cmcm.11540.
tf/cm,354
4,1
tf/cm25,0
.088,0d.b.
f
f
.A
Valor próximo ao obtido no exemplo F-ELU-3

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