Curso Geometria - Módulo2

Diretoria de Ensino Campinas-Oeste
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

Área do retângulo
Quadrado de 1 unidade de área = 1m2
Quantas unidades de área cabe nesse retângulo?
8 unidades de área= 8 m2
Área do retângulo = base x altura

..Picturesarea do triangulo.ggb

Área do triângulo
Área do triângulo= 2 áreas do retângulo
logo
Área do triângulo = base x altura / 2

..Videos_areadeumtriangulo.progra
ma.exe

• FÓRMULA DE HERON- Área de região
triangular
Se um triângulo possui os lados medindo a, b e c
e o seu perímetro é indicado por 2p=a+b+c,
então a área da região triangular será dada
por
A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]
onde R[x] é a notação para a raiz quadrada de
x>0.

b2=m2+h2
c2=n2+h2
a=m+n
b2 – c2= m2- n2
b2- c2 = (m+n)(m-n) b2-c2=a(m-n)
m+n=a
m-n=(b2-c2)/a
Se somarmos obtemos m=(a2+b2-c2)/2a
Se subtrairmos obtemos n=(a2+c2-b2)/2a
a+b-c = a+b+c-2cp= semi perímetro a+b+c=2p
a+c-b = a+b+c-2b
2p-2c = 2(p-c)
b+c-a = a+b+c-2a
2p-2b = 2(p-b)
2p-2a = 2(p-a)

4a²h²= 4a2(b2-m2) =4a2(b+m)(b-m)
= 4a2[b+(a2+b2-c2)/2a)] [b-(a2+b2-c2)/2a)]
= (2ab+a2+b2-c2)(2ab-a2-b2+c2)
= [(a+b)2-c2][-(a-b)2+c2]
= [(a+b+c)(a+b-c)][(c-a+b)(c+a-b)]
= 2p.2(p-c).2(p-a).2(p-b)
a2h2 = 4p(p-a)(p-b)(p-c)
A=a.h/2 A2=a2.h2/4
A2=4p(p-a)(p-b)(p-c)/4

Área do triangulo utilizando seno de um
dos seus ângulos

Área do trapézio
h
b
b1 b2
(b1.h/2
I
II
+b.h/2
III
+b2.h/2)
Soma das áreas I, II e III
= h(b1+b2+b)/2
Base
maior
Base
menor

Área do trapézio através de dois triângulos
b
B
(B.h/2 + b.h/2)= h(B + b) / 2
h

Área do paralelogramo
h
b B
bB
h.(B+b)/22 = (B+b).h

Área do losango
..Picturesarea do losango.ggb

Área do losango
d2
d1
Área do retângulo= d2. d1
Área do losango = d2.d1 / 2

Vamos ajudar a abelhinha pegar o
mel da florzinha, pelo menor
caminho?

..Videossim_geometria_areacirculo.zip

FÓRMULA DE PICK
Para polígonos cujos vértices são
pontos de uma malha quadriculada
A = B/2 + I - 1
B = quantidade de pontos situados
na fronteira
I = quantidade de pontos no interior
do polígono

B = 6 + 15 -1 = 20
B = 7 + 9 -1 = 15
B= 5 + 11 – 1 = 15

Área = (48 + 92) /2
Aproximadamente 70 u

Área da região circular
área graus
πr2 360°
região
verde θ

Área do segmento circular
Área do segmento circular =
Área do setor OPRQ – Área do triângulo OPQ

Uma laranja de 12 gomos iguais
assemelha-se a uma esfera de
raio R. Qual a área da superfície
total de cada gomo?

360° 4πr2
(:12)
Área externa do gomo = 4πr2 /12= πr2 /3
Área do gomo = πr2 + πr2 /3 = 4πr2 /3

• OFICINA DE GEOMETRIA.pptx

• http://ensinarevt.com/conteudos/geometria/c
onst_geometric/powerpoint/cdiv5.pps

• Planificação de um cubo em perspectiva

TRIÂNGULOS SEMELHANTES
O perfil do telhado de uma casa tem o formato de um
triângulo escaleno

• Unindo o ponto mais alto do telhado (A) à base
(BC), será colocada uma viga de madeira (AD),
de modo que o ângulo ADB seja congruente ao
ângulo BAC (α). Qual é, em metros, a medida
dessa viga?

SEMELHANÇAS:CORDAS ARCOS E
ÂNGULOS
..Picturesemelhanca1.ggb
..Picturesemelhanca2.ggb
PCOs:Inês Chiarelli Dias/ Airton Clementino

..Picturesemelhança3.ggb

• De acordo com as medidas indicadas na
figura, qual a medida de x?
x
8
10
4

4
x
10
8
C
E
A
B
D
ABCDBE 
BC
AB
BE
DB


• ..Picturestriangulo retangulo2.ggb

Vamos tirar
algumas relações?

 p + q = z
 x.y = z.k
 k2 = p.q
 x2 = p.z
 Y2 = z.q

Mostre que a.c = b.h
Mostre que a.c = b.h (utilizando área)

Duas demonstrações
do Teorema de
Pitágoras

• ..Picturestriangulo retangulo.ggb

Poesia Matemática
Às folhas tantas do livro matemático
um Quociente apaixonou-se um dia
Doidamente por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a, do Ápice à Base, uma figura
ímpar:

olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo octogonal, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela
até que se encontraram no infinito.

“Quem és tu?”, indagou ele em ânsia
radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa.”

Millôr Fernandes é um conhecido escritor
brasileiro e colunista da revista Veja.
Em 1949 escreveu “Poesia Matemática”,
uma obra-prima. Mas, num de seus versos
há um erro de definição o que,
evidentemente, não tira o brilho da sua
obra.
O texto citado é um fragmento da poesia
de Millôr, que pode ser lida, na íntegra, no
site do escritor: Millôr Online

Qual é esse erro de
definição?

O triângulo retângulo ABC é reto
em C.
O segmento CD é a altura de ABC
relativa à hipotenusa AB, e o
ponto E é o ponto médio de AB.
Se AC = 6 cm e CB = 8 cm,
quanto mede DE?

• ..Picturessolução trireto.ggb

Geometria Analítica
Plano Cartesiano

A
B
xA
yA
xB
yB
dAB
dAB = distância entre A e B
dAB
2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2

• ..Picturesinclinação.ggb

x
y
Inclinação de AB=α
tgα= (yB – yA)/(xB – xA)
m= tgα
m = (yB – yA) / (xB – xA)

tg (90° + β) = sen (90° + β)/ cos (90°+ β) =
(sen90°cosβ+sen βcos90°) / (cos90°cosβ–sen90°senβ)
1 0 0 1
RETAS
PERPENDICULARES
= cosβ / - senβ = -1/tgβ

Equação da reta
m = (y - yA)/(x – xA)
y - yA = m(x – xA)
x
y
A

(0,yA)
β
(x,y)
(x,y) representa os infinitos pontos da reta
m=(y – yA) / (x- 0)
y = mx + yA

• Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta r
r: y=3

Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta
r: x = 9

Calcular a distancia o ponto P (2;15) à reta
r: y=3x +1
d?
3.2 +1 = 77
1
3
Q M
B
APB MQB
AP/PB = QM/QB
d/8 = 1/
Logo d=

DISTÂNCIA DE UM PONTO A UMA RETA
y
x
P ax+by=c
ax + by=c’
d=?
M
N bx-ay=0
ax+by=c
bx-ay=0
(a)
(b)
acxba  )( 22
02
2


abyxb
acabyxa
22
ba
ac
x


ax+by=c
bx-ay=0
(-b)
(a)
02
2


yaabx
cbybabx
cbyba  )( 22
22
ba
cb
y



);( 2222
ba
cb
ba
ac
N


)
'
;
'
( 2222
ba
bc
ba
ac
M



2
2222
2
2222
2
)
'
)
'
(
ba
bc
ba
bc
ba
ac
ba
ac
dMN








2
222222
2
22
2
222222
2
22
)
'
(
)(
'
)(
2)(
)
'
(
)(
'
)(
2)(
ba
bc
ba
bc
ba
bc
ba
bc
ba
ac
ba
ac
ba
ac
ba
ac












22222222222
)/()''2''2( bacbbcbccbcaacacca 
)('2)'()'( 22222222
baccccbcca 

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Chiarelli Dias/ Airton Clementino
)'2)(())('( 222222
ccbabacc 
2222222
)/()'2')(( baccccba 
222222
)/()')(( baccba 
22
'
ba
cc
dMN




• Se P=(x0,y0)
ax0+by0=c’
22
00
ba
cbyax



Equação da reta em diferentes contextos
Um fazendeiro dispõe de 18 alqueires para
plantar milho e alfafa.Sabendo-se que o
fazendeiro pode optar por deixar uma parte
das terras sem plantar qualquer uma das
culturas e que devem ser plantados no
mínimo 5 alqueires de milho, qual a região do
plantio que corresponde aos pares (x,y) que
satisfazem as condições formuladas?
x - a área a ser plantada de milho e
y - a área a ser plantada de alfafa

y
x
18
185
x+y=18
x≥5

• E se tivesse que ser plantado no mínimo 5
alqueires de milho, e no mínimo 3 alqueires
de alfafa, qual a região no plano que
corresponde aos pares (x,y) que satisfazem as
condições formuladas?

y
x
18
185
x+y=18
x≥5
3 y≥3

Uma fábrica utiliza dois tipos de máquinas, M1 e
M2, para produzir dois tipos de produtos, P1 e P2.
Cada unidade de P1 exige 2h de trabalho de M1 e
2h de M2; cada unidade de P2 exige 1 hora de
trabalho de M1 e 4h de M2. Sabendo que as
máquinas M1 e M2 podem trabalhar no máximo 10
h por dia e 16 h por dia, respectivamente,e que o
lucro unitário, na venda e P1, é igual a 40 reais,
enquanto na venda de P2, o lucro unitário é de 60
reais. Representando por x a quantidade diária a
ser produzida e P1 e por y a quantidade a ser
produzida de P2, responda:

Qual a relação entre x e y de modo que o
tempo de utilização da máquina M1 não
ultrapasse as horas diárias permitidas?
x
y
2x+1y≤1010
5
2x+1y≤10

Qual a relação entre x e y de modo que o
tempo de utilização da máquina M2 não
ultrapasse as horas diárias permitidas?
2x+ 4y≤16
y
x
4
8

Represente a região do plano cartesiano que
corresponde aos pontos (x;y) que satisfazem
simultaneamente as duas restrições.
10
5
4
8
2x+y≤10
2x+4y≤16
Quadrilátero de vértices
(0,0) ; (5.0) ; (0,4) e ?
1642
102


yx
yx(4,2)

Qual a expressão do lucro total L que resulta
da venda de todas as unidades produzidas de
P1 e P2?
P1- x - lucro 40
P2- y - lucro 60
L=40x+60y

Represente os pontos do plano que
correspondem a um lucro total igual a 120
reais
L=40x+60y
120=40x+60y
y
x
2
3

Qual o ponto da região que satisfaz
simultaneamente as duas restrições e que
corresponde ao lucro máximo?
2
3
120=40x+60y
4
L
L
L=40x+60y
L= 40.4+60.2=160+120
L= 280 reais

CORREÇÃO DE ALGUNS EXERCÍCIOS

O lado do quadrado maior mede “a”.
Supondo que a seqüência d e quadrados
menores construídos em seu interior
continuem apresentando o mesmo
padrão de regularidade, indicado na
figura, conclui-se que a diagonal do
décimo quadrado, quando todos estão
ordenados em ordem decrescente de
perímetro, mede

diagonalaad a
1222
1 
2
1
2
1
222
2 )
2
()
2
()
2
()
2
(
aaaa
d 
2
2
2
2
2
3 )
2
()
2
(
aa
d 
2
9
2
9
2
10 )
2
()
2
(
aa
d 
512
2a

PRISMAS
Bases: são polígonos de mesma forma
Faces: laterais são paralelogramos
Nome: é dado pela forma de sua base
Aresta lateral :
perpendicular às bases – reto
caso contrário – oblíquo
http://www2.ucg.br/design/da2/solidosgeometricos.pdf

12cm
6cm
6cm
6cm
6cm
12cm
120°
Possuem a mesma área total?
Caixas de presente

120° 60°
H
6cm
sen60°= H/6
62
3 H

cmH 2,533 
Área total= 350,4cm2
Área total prisma reto = 360cm2

• Qual o maior lápis que se pode guardar, nas
caixas abaixo, sem que a ponta fique de fora?
• Formato de paralelepípedo reto-retângulo
com 3cm de comprimento, 4cm de
profundidade e 12cm de altura.
• Formato de prisma regular triangular de
aresta da base 12cm e altura 16cm.
• Formato de prisma regular hexagonal , com
aresta de base 6cm e altura 8cm

O Volume de um Prisma e o Princípio
de Cavalieri
Cartas

• Tomando dois sólidos com base de
mesma área e sobre um mesmo
plano, se todas as seções paralelas à
base dos dois sólidos tem a mesma
área, então os dois sólidos têm o
mesmo volume.

http://alfaconnection.
net/pag_avsm/geo160
1.htm

VOLUME INTERNO X QUANTIDADE DE
MATERIAL UTILIZADO
(DISTRIUIR 2 FOLHAS SULFITES)

Construir alvéolos:
Com uma folha a parte lateral e com
a outra as bases
Prisma triangular regular
Prisma quadrangular regular
Prisma hexagonal regular

• Perímetro: lado maior da folha
• Perímetro do triangulo: 3x
• Perímetro do quadrado: 4y
• Perímetro do hexágono: 6z
• 3x=4y=6z y=3x/4 e z= x/2
• Os 3 prismas tem a mesma altura - lado
menor da folha

• Volume do prisma: área da base x altura
Triangular regular :
Quadrangular regular:
Hexagonal regular:
h
x
.
4
32
h
x
.
16
9 2
h
x
.
8
33 2

Prisma Triangular regular: 0,4330.x2.h
Prisma Quadrangular regular: 0,5625.x2.h
Prisma Hexagonal regular: 0,6495.x2.h
7320,13 

CILINDROS: (podemos imaginar)
Prisma regular cuja base teve o número
de lados sucessivamente aumentado,
aproximando-se de um círculo.
Sólido de Revolução

Área do cilindro

Volume do Cilindro

Um tanque de álcool em formato de
um cilindro com 1m de raio de base e
4m de altura. Qual é o volume de
álcool consumido quando a régua
registra a marca de d= 30cm?

0.3m
1m
4m

R=1R=1
d=0,3m
O
θ
Área do setor circular – Área do triângulo isósceles
0,7
R=1 1
7,0
2
cos 

 45
2

 902


• Área do setor circular = 1/4 da área do círculo
= πr2/4 = π.12/4 = π/4
• Área do triângulo isósceles (retangulo)=
R.R/2 = 1.1/2= 1/2
• Área do segmento circular = π/4 – 1/2 =
0,785- 0,5= 0,285 m2

• Volume = área da base x altura
• Volume = 0,285.4= 1140 litros
Foram consumidos 1140 litros de álcool
PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton
Clementino

Pirâmide

• Uma pirâmide é todo poliedro formado por
uma face inferior e um vértice que une todas
as faces laterais. As faces laterais de uma
pirâmide são regiões triangulares, e o vértice
que une todas as faces laterais é chamado de
vértice da pirâmide.
Apótema (ou o apotegma) de um polígono
regular é a designação dada ao segmento de
reta que partindo do centro geométrico da
figura é perpendicular a um dos seus lados.

PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airon Clementino

A
C
B
Volume da Pirâmide =
 hChBhA .
3
1
.
3
1
.
3
1
 )(
3
1
CBAh
hAreadabasemideVolumePira .
3
1

h

CONE

Construção do Cone
Vamos construir setores circulares
de raio 10cm e com ângulos de :
60°, 120°, 90° e 270°.
Podemos unir os raios.
Cada figura corresponde a área
lateral de um cone

Um cone é um sólido geométrico formado por
todos os segmentos de reta que têm uma
extremidade em um ponto V (vértice) em comum
e a outra extremidade em um ponto qualquer de
uma mesma região plana R (delimitada por uma
curva suave, a base).

Observando as figuras
Ângulo
Central α
Área do setor
Circular A
Raio da base
r
Altura do cone
h
60°
90°
120°
270°

• Área do círculo (360°) =
• Área do setor (60°) =
• Comprimento do arco = comprimento da
base= comprimento do setor
• Comprimento do setor (60°) =
• 2πr = π r= cm
22
100. cmR  
2
3
50
6
100.
cm


3
10
36
2 

RR
3
10
3
5

• Altura, raio da base e geratriz formam um
triangulo retângulo
g2= R2 + h2
102= (5/3)2 + h2
100 = (25/4) + h2
h2= 100 – 25/4
h2= 375/4
h = cm
2
155
4
375


Observando as figuras
Ângulo
Central α
Área do setor
Circular A
Raio da base
r
Altura do cone
h
60° 50π/3 5/3
90° 25π 5/2
120° 100π/3 10/3
270° 75π 15/2
3
355
2
155
3
220
2
75

• Segundo estudos da ABNT, o campo de
proteção oferecido por um para-raios é aquele
abrangido por um cone, tendo por vértice o
ponto mais alto da haste vertical, cuja geratriz
forma um ângulo de 60° com esta haste.
Geralmente a medida das hastes é de 1m.
Com base nessas informações, faça uma
representação e determine a área aproximada
da base do “campo de proteção” oferecido
por um para-raios disposto sobre uma antena
de 79m de altura.

Base do campo de
proteção
1m
79m
60°
80
60
R
tg 
mR 56,1383.80 
87,19198.14,32
 ReçãoAreadeprot 
Área de aproximadamente 60 284,46 m2

R
R
h
Esfera raio R
Cilindro eqüilátero
Do cilindro, vamos subtrair dois cones iguais com base na base
do cilindro e vértices coincidentes com o centro do cilindro
Este sólido C (clépsidra) é tal que qualquer plano horizontal
distando h do seu centro (ou do centro da esfera que é o
mesmo), produz uma seção que é uma coroa circular de
raio externo é R e raio interno h.
Logo o volume da esfera é igual ao volume de C

O volume de C é o volume do cilindro de raio
R e altura 2R subtraído de dois cones de raio
R e altura R, que nos dá:
322
3
4
3
1
.22 RRRRR  

CÔNICAS

YouTube - Video Conicas LSLC -
1_2.mp4

CIRCUNFERÊNCIA
Lugar geométrico dos pontos P(x;y) de um
plano que equidistam de um mesmo
ponto fixo

222
Ryx  2
: R
2
2
2
2
2
2
R
R
R
y
R
x

R
y
sen
R
x
  ,cos
2
2
2
2
2
2
,cos
R
y
sen
R
x
 
1cos22
 sen

ELIPSE
plano onde a soma das distâncias a dois
pontos fixos F1 e F2 permanece
constante
PF1 + PF2 = constante

PCOP´s:Inês Chiarelli Dias/ Airton
Clementino
cc
aa
b
b

Se P estiver em V2
PF1 + PF2=cte= (a+c) + (a-c)= 2a
V3
V2
V1
V4
F1 F2
cc
2a

Se P estiver em V3
V3F1+V3F2=2a
V3
V1
F1F2
V3F1=V3F2
2V3F1=2a
V3F1= a
a2 = b2 + c2
c2 = a2 – b2

    ayxcyxc 22222

    2222
2 yxcaycx 
      2222222
44 yxcyxcaaycx 

  222
444 ycxaaxc  Elevando ao quadrado
224222222
xcaxayaca  c2 = a2 - b2
22242222222
)()( xbaaxabaaya 
222242222422
xbxaaxabaaya 
222222
baxbya  12
2
2
2

b
y
a
x

HIPÉRBOLE
plano onde o módulo da diferença das
distâncias a dois pontos fixos F1 e F2,
permanece constante.

OF1=OF2=c
|PF1 – PF2|= K = constante

c
b
c2=a2+ b2

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