aula-5-AVA-Fisica3.pdf

CAPACITÂNCIA
FÍSICA III
CAPÍTULO XXV
Aula 5
Prof Agnaldo
Prof Marcelo Felisberto
Campus do Sertão - UFAL
MFL/AJS : Eng Civil - Eng Produção CAPACITÂNCIA Campus do Sertão - UFAL 1 / 36

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Capacitância
3 Cálculo da Capacitância
4 Capacitores em Série e em Paralelo
5 Energia Armazenada em um Campo Elétrico
6 Capacitor com um Dielétrico

Introdução
Breve Resumo
Um dos objetivos da física é fornecer os princípios básicos para os dispositivos
práticos projetados pelos engenheiros. O Capacitor é um exemplo comum, trata-se
de um dispositivo usado para armazenar energia elétrica.
Por exemplo:
as pilhas de uma máquina fotográfica, armazenam energia na unidade de flash
carregando um capacitor. Como as pilhas só podem fornecer energia aos
poucos, não seria possível produzir uma luz muito forte usando diretamente a
energia das pilhas.
O campo elétrico existente na atmosfera da Terra é modelado por
meteorologistas como se fosse produzido por um gigantesco capacitor esférico
que descarrega parcialmente através de relâmpagos.
A carga que os esquis acumulam quando deslizam na neve seca. Descarregam
através de centelhas que podem ser vistas à noite.
O nosso primeiro passo na discussão sobre capacitores é determinar a quantidade
de carga que um capacitor é capaz de armazenar. E que propriedade está por trás
desta capacidade.

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Capacitância

Capacitância
A figura 1 mostra alguns dos muitos tipos e tamanhos de capacitores. A figura 2
mostra os elementos básicos de qualquer capacitor: dois condutores isolados
entre si. Seja qual for a forma desses condutores, eles recebem o nome de
placas e podem assumir diversas geometrias.
Figura 1 Figura 2

Capacitância
A figura a mostra um capacitor de placas paralelas, é formado por duas placas
paralelas condutoras de área A separadas por uma distância d. Quando um
capacitor está carregado as placas contêm cargas de mesmo valor absoluto e
sinais opostos +q e −q. Entretanto, quando nos referimos à carga de um
capacitor estamos falando de q. Como as placas são feitas de material condutor,
são superfícies equipotenciais. Como mostram as linhas de campo da figura b, o
campo elétrico produzido pelas placas carregadas é uniforme na região central
entre as placas. Nas bordas das placas o campo não é uniforme.

Capacitância
A carga q e a diferença de potencial
entre as placas de um capacitor são
proporcionais, ou seja,
q = CV (1)
A constante de proporcionalidade C é
chamada de capacitância do capac-
itor; seu valor depende da geometria
das placas, mas não depende da carga
nem da diferença de potencial.
A capacitância é uma medida da quan-
tidade de carga acumulada nas placas
necessária para produzir uma certa
diferença de potencial entre elas.
Unidade: “farad (F)”
1F = 1 coulomb por volt = 1C/V

Carga de um Capacitor
Uma forma de carregar um capacitor é colocá-lo em um circuito elétrico com
uma bateria. Circuito elétrico é um caminho fechado que pode ser percorrido por
uma corrente elétrica. Bateria é um dispositivo que mantém uma certa diferença
de potencial entre dois terminais (pontos nos quais cargas podem entrar ou sair
da bateria) através de reações eletroquímicas nas quais forças elétricas
movimentam cargas no interior do dispositivo.
A bateria mantém uma diferença de potencial V entre
os terminais. O terminal de maior potencial é o posi-
tivo, sendo o negativo o de menor potencial. Quando
a chave S é fechada os elétrons são colocados em
movimento nos fios pelo campo elétrico criado pela
bateria. Esse campo faz os elétrons se deslocarem
da placa a do capacitor para o terminal positivo da ba-
teria; a perda de elétrons faz com que a placa a fique
positivamente carregada. O campo desloca o mesmo
número de elétrons do terminal negativo da bateria
para a placa b do capacitor; o ganho de elétrons faz
com que a placa b fique negativamente carregada.

Carga de um Capacitor
No instante em que a chave é fechada, as duas placas estão descarregadas e a
diferença de potencial é zero. Enquanto as placas estão sendo carregadas, a
diferença de potencial aumenta até se tornar igual a diferença de potencial V entre os
terminais da bateria. Neste momento existe equilíbrio, e a placa do terminal positivo
da bateria têm o mesmo potencial que a placa a do capacitor. Não ecistirá mais o
campo elétrico no fio. Como o campo elétrico nos fio do circuito é zero, os elétrons
param de se deslocar e dizemos que o capacitor está totalmente carregado com uma
diferença de potencial V e uma carga q.
Vamos supor que durante a carga de um capacitor e depois que estiver totalmente
carregado, nenhuma carga poderá passar de uma placa para outra através do espaço
que as separa. Vamos também supor que um capacitor é capaz de conservar a carga
indefinidamente, a menos que seja descarregado através de um circuito externo.
Na prática, estas duas hipóteses constituem uma boa aproximação na maioria dos
casos.

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Capacitância

Cálculo da Capacitância
Vamos agora discutir o cálculo da capacitância de um capacitor a partir da sua forma
geométrica. Como serão analisadas diferentes formas geométricas, é conveniente
definir um método único para facilitar o trabalho.
Método:
1 Supomos que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q;
2 calculamos o campo elétrico ⃗
E entre as placas em função da carga, usando a
lei de Gauss;
3 a partir de ⃗
E, calculamos a diferença de potencial V entre as placas;
4 calculamos C usando a equação [1]

Cálculo do Campo Elétrico e da Diferença de Potencial
Para relacionar o campo elétrico ⃗
E entre as placas de um capacitor à carga q de uma
das placas, usamos a lei de Gauss:
ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A = q (2)
onde q é a carga envolvida por uma superfície gaussiana e
H
⃗
E · d⃗
A é o fluxo elétrico
que atravessa a superfície. Por conveniência, vamos sempre desenhar a superfície
gaussiana de forma a envolver totalmente a carga da placa positiva.
Vf − Vi = −
Z f
i
⃗
E · d⃗
s (3)
onde a integral deve ser calculada ao longo de uma trajetória que começa em uma
das placas e termina na outra. Vamos sempre escolher uma trajetória que coincida
com uma linha de campo elétrico, da placa negativa até a placa positiva. Assim,
⃗
E · d⃗
s = −Eds.

Capacitor de Placas Paralelas
Vamos supor que as placas sejam tão extensas e tão próximas que podemos
desprezar o efeito de bordas e supor que ⃗
E é constante em toda região entre as
placas.
q = ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A = ϵ0EA (4)
Vf − Vi = −
Z f
i
⃗
E · d⃗
s =
Z +
−
Eds
V = E
Z d
0
ds = Ed → E =
V
d
q = ϵ0
V
d
!
A
q =
ϵ0A
d
V
C =
ϵ0A
d
(5)

Capacitor Cilíndrico
A figura mostra uma vista de perfil de um capacitor cilíndrico de comprimento L
formado por dois cilindros coaxiais de raio a e b. Supondo que L >> b de modo
que os efeitos de bordas sejam desprezados. As duas placas contêm cargas de
valor absoluto q.
q = ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A
= ϵ0EA = ϵ0E(2πrL) (6)
E =
q
2πϵ0rL
(7)
V =
Z +
−
Eds =
q
2πϵ0rL
Z a
b
(−dr)
r
=
q
2πϵ0L
ln

b
a

(8)
C = 2πϵ0
L
ln(b/a)
(9)

Capacitor Esférico
A figura também pode ser interpretada como uma vista de perfil de um capacitor
formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b. Como superfície
gaussiana escolhemos uma esfera de raio r concêntrica com as placas do
capacitor.
q = ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A
= ϵ0EA
= ϵ0E(4πr2
)
E =
1
4πϵ0
q
r2
V =
Z +
−
Eds =
q
4πϵ0
Z a
b
(−dr)
r2
=
q
4πϵ0

1
a
−
1
b

=
q
4πϵ0
b − a
ab
C = 4πϵ0
ab
b − a
(10)

Esfera Isolada
Podemos uma capacitância a uma única esfera de raio R feita de material
condutor supondo que a “placa que falta” é uma casca esférica condutora de
raio infinito.
Para determinar a capacitância da esfera, escrevemos a equação [10] na forma
C = 4πϵ0
ab
b − a
= 4πϵ0
a
1 − a
b
(11)
Fazendo a = R e b → ∞, obtemos:
C = 4πϵ0R (12)

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Capacitância

Capacitores em Paralelo
Os capacitores de um circuito às vezes podem ser substituídos por um capacitor
equivalente, isto é, um único capacitor com a mesma capacitância que o
conjunto de capacitores. Usando este tipo de configuração podemos simplificar
o circuito e calcular com mais facilidade os seus parâmetros.
Temos um circuito elétrico com três ca-
pacitores ligados em paralelo à bateria B.
A expressão “em paralelo” significa que
cada placa de um dos capacitores é ligada
a uma das placas do outro capacitor, de
modo que existe a mesma diferença de po-
tencial V entre as placas dos capacitores.
q1 = C1V, q2 = C2V, e q3 = C3V
q = q1 + q2 + q3 (13)
= (C1 + C2 + C3)V (14)
Ceq =
q
V
= (C1 + C2 + C3) (15)
Ceq =
n
∑
j=1
Cj (16)

Capacitores em Série
Temos agora 3 capacitores ligados em série à bateria B.
Esta expressão significa que os capacitores são ligados em
sequência, um após o outro, e uma diferença de potencial V
é aplicada às extremidades do conjunto. As diferentes difer-
enças de potencial entre as placas fazem com que todos os
capacitores armazenem a mesma quantidade de carga q.
V1 =
q
C1
, V2 =
q
C2
, e V3 =
q
C3
(17)
V = V1 + V2 + V3 = q

1
C1
+
1
C2
+
1
C3

(18)
Ceq =
q
V
=
1
1/C1 + 1/C2 + 1/C3
=
1
∑n
j=1
1
Cj
(19)
1
Ceq
=
n
∑
j=1
1
Cj
(20)

Podemos explicar por que todos os capacitores armazenam a mesma carga
acompanhando uma reação em cadeia de eventos, na qual o carregamento de
um capacitor provoca o carregamento do capacitor seguinte. Começamos pelo
capacitor 3.
Quando uma bateria é ligada aos capacitores
em série ela faz com que uma carga −q se
acumule na placa inferior do capacitor 3. Essa
carga repele as cargas negativas da placa su-
perior do capacitor 3, deixando-a com uma
carga +q. A carga que foi repelida é transferida
para a placa inferior do capacitor 2, fazendo
com que acumule uma carga −q. Essa carga
repele as cargas negativas da placa superior,
deixando-a com uma carga +q. A carga que
foi repelida é transferida para a placa inferior
do capacitor 1, fazendo que se acumule uma
carga −q. Finalmente, essa carga repele as
cargas negativas da placa superior do capaci-
tor 1, deixando-a com uma carga +q.

Dois fatos importantes a respeito dos capacitores em série são os
seguintes:
1 Quando a carga é transferida de um capacitor para outro em um conjunto de
capacitores em série pode haver apenas um percurso para a carga de um
capacitor para outro. se houver mais de um percurso isso significa que os
capacitores não estão em série.
2 A bateria produz cargas apenas nas duas placas às quais está ligada
diretamente. As carga produzidas nas outras placas se deve ao deslocamento
de cargas já existentes nessas placas. Assim, por exemplo, a parte do circuito
envolvida por linhas tracejadas está isolada eletricamente do resto do circuito.
Logo, a carga total dessa parte do circuito não pode ser modificada pela bateria,
embora posse ser redistribuída.

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Capacitância

Energia Armazenada em um Campo Elétrico
Imagine que de alguma forma fosse possível remover elétrons, um de cada vez, de
uma das placas de um capacitor inicialmente descarregado, e depositá-los na outra
placa. O campo elétrico que essa transferência produz no espaço entre as placas tem
um sinal tal que se opõe a novas transferências de cargas. Assim, à medida que a
carga fosse sendo acumulada nas placas do capacitor, seria necessário realizar um
trabalho cada vez maior para transferir novos elétrons. O equipamento utilizado para
realizar esse trabalho é uma bateria, à custa de sua reserva de energia química.
O trabalho necessário para carregar um capacitor se transforma na energia potencial
elétrica U do campo elétrico que existe entre as placas. Podemos recuperar essa
energia descarregando o capacitor através de um circuito elétrico.
Suponha que, em um dado instante, uma carga q′ = CV′ tenha sido transferida de
uma placa de um capacitor para outra. A diferença de potencial V′ entre as placas
nesse instante é q′/C. Se uma carga adicional dq′ é transferida, o trabalho adicional
necessário para essa transferência é dado por

Energia Armazenada em um Campo Elétrico
dW = V′
dq′
=
q′
C
dq′
(21)
W =
Z
dW
=
1
C
Z q
0
q′
dq′
=
q2
2C
(22)
Como esse trabalho é armazenado na
forma de energia potencial U do ca-
pacitor, temos:
U =
q2
2C
(23)
=
1
2
CV2
(24)
Sabendo que dW = dU, podemos cal-
cular a potencia que a bateria precisa
ter para carregar o capacitor até pro-
duzir uma diferença de potencial V.
dU = Vdq = Vidt (25)
dU
dt
= iV
P = iV (26)
Sabendo que R=V/i
P = i2
V (27)
=
V2
R
(28)
Onde temos que P pode ser in-
terpretada como sendo a potência
necessária para estabelecer uma cor-
rente i num circuito de resistência R.

Densidade de Energia
Podemos calcular a densidade de energia u dividindo a energia potencial total pelo
volume Ad do espaço entre as placas paralelas do capacitor. Temos:
u =
U
Ad
=
CV2
2Ad
(29)
Lembrando que a capacitância de um capacitor de placas paralelas é C = ϵ0A/d,
temos
u =
1
2
ϵ0
V
d
!2
(30)
Além disso, sabendo que V/d é igual ao módulo do campo elétrico E = −∆V/∆s,
teremos
u =
1
2
ϵ0E2
(31)
Embora tenhamos chegado a esse resultado para o caso particular de um capacitor,
ele se aplica a qualquer campo elétrico. Se existe um campo elétrico ⃗
E em um ponto
do espaço podemos pensar nesse ponto como uma fonte de energia potencial
elétrica.

Explosões de Nuvens de Pó
Em muitas indústrias que trabalham com pós, como as de alimentos e de cosméticos,
centelhas podem ser muito perigosas. Mesmo que a substância de que é feito o pó
não seja inflamável, quando pequenos grãos estão em suspensão no ar e, portanto,
cercados de oxigênio podem queimar tão depressa que a nuvem de pó explode. Os
engenheiros de segurança não podem eliminar todas as causas possíveis de
centelhas das indústrias que lidam com pós, mas procuram manter a quantidade de
energia disponível nas centelhas bem abaixo do valor-limite Ul (≈ 150 mJ), acima do
qual os grãos de pó se incendeiam.
Suponha que uma pessoa adquire uma carga elétrica ao entrar em contato com
várias superfícies ao caminhar no interior de um depósito. Podemos modelar a
pessoa como um capacitor esférico de raio R = 1, 8 m. Sabendo que Cesf = 4πϵ0R
e U = 1
2 CV2, a energia da pessoa é
U =
1
2
(4πϵ0R)V2
=⇒ V =
s
2Ul
4πϵ0R
(32)
V =
s
2(150 × 10−3 J)
4π(8, 85 × 10−12C2/N · m2)(1, 8 m)
= 3, 9 × 104
V
O potencial dos operários precisa ficar abaixo desse valor, “drenando” as cargas
através, por exemplo de um piso condutor.

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Capacitância

Capacitor com um Dielétrico
Experimentos de Faraday
Capacitores esféricos usado por Faraday em suas experiências. O dispositivo envolve
uma esfera central de bronze e uma casca concêntrica feita do mesmo material.
Faraday colocou vários dielétricos diferentes no espaço entre a esfera e a casca.

Faraday constatou que a capacitância era multiplicada por um fator numérico κ,
que chamou de constante dielétrica do material isolante.
O efeito da introdução de um dielétrico é limitar a diferença de potencial que
pode ser aplicada entre as placas a um valor Vmax , conhecido como potencial
de ruptura.
Quando o potencial de ruptura é excedido, o material sofre o que é conhecido
como ruptura dielétrica e passa a permitir a passagem de cargas de uma placa
para outra.
A todo material dielétrico pode ser atribuída uma rigidez dielétrica, que
corresponde ao máximo valor do campo elétrico que o material pode tolerar sem
que ocorra o processo de ruptura,
A capacitância de qualquer capacitor pode ser escrita em função do fator
L = A/d
C = ϵ0L (33)
No caso em que o dielétrico preencher totalmente o espaço entre as placas
C = κϵ0L = κCar (34)

Na figura a: a bateria mantém uma diferença de potencial V entre as placas.
Quando uma placa de dielétrico é introduzida enter as placas a carga q das
placas é multiplicada por κ; a carga adicional é fornecida pela bateria.
Na figura b: não há nenhuma bateria e, portanto, a carga q permanece
constante quando a placa de dielétrico é introduzida; nesse caso, a diferença de
potencial entre as placas é dividida por κ.

Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de constante
dielétrica κ, a permissividade do vácuo ϵ0 deve ser substituída por κϵ0 em todas
as equações.
Assim, o campo elétrico produzido por uma carga pontual no interior de um
dielétrico é dado por
E =
1
4πκϵ0
q
r2
(35)
Da mesma forma, a expressão para o campo nas proximidades da superfície de
um condutor imerso em um dielétrico é
E =
σ
κϵ0
(36)
Como κ é sempre maior que a unidade, essas equações mostram que para uma
dada distribuição de cargas o efeito de um dielétrico é diminuir o valor do campo
elétrico que existe no espaço entre as cargas.

Dielétricos uma Visão Atômica
Em termos atômicos e moleculares, o que acontece quando submetemos um
dielétrico a um campo elétrico ?
1 Dielétrico polares: As moléculas de alguns
dielétricos, como a água, possuem momentos
dipolares elétricos permanentes. Nesses materiais
(conhecidos como dielétrico polares) os dipolos
elétricos tendem a se alinhar com um campo
elétrico externo. Como as moléculas estão
constantemente se chocando devido à agitação
térmica, o alinhamento não é perfeito, mas tende a
aumentar quando o campo aumenta (ou quando a
temperatura diminui). O alinhamento dos dipolos
produz um campo no sentido oposto ao do campo
aplicado e, em geral, com módulo menor.
2 Dielétrico apolares: Moléculas que não possuem
momento dipolar permanente. Porém, podem
adquirir momento de dipolo por indução quando
são submetidas a campos elétricos externos
suficientemente fortes.

Dielétricos uma visão Atômica
1 Figura a: Dielétrico apolar. Os círculos representam os átomos eletricamente
neutros do material
2 Figura b: As placas carregadas de um capacitor produzem um campo elétrico; o
campo separa ligeiramente as cargas positivas do material.
3 Figura c: A separação produz cargas nas superfícies do material; as cargas
criam um campo E′ que se opõe ao campo aplicado E0. O campo ⃗
E no interior
do material é resultante da soma vetorial de ⃗
E0 e ⃗
E′, tem a mesma direção que
⃗
E0, mas um módulo menor.

Dielétricos e a Lei de Gauss
Na figura a:
ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A = ϵ0E0A = q → E0 =
q
ϵ0A
(37)
Figura b:
ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A = ϵ0E0A = q − q′
→ E =
q − q′
ϵ0A
(38)
Como o efeito do dielétrico é dividir o campo elétrico orig-
inal por κ
E =
E0
κ
=
q
κϵ0A
(39)
comparando as equações 38 e 39
q − q′
=
q
κ
(40)
Assim, podemos ter a Lei de Gauss na sua forma mais
geral
ϵ0
I
κ⃗
E · d⃗
A = q (41)

Dielétricos e a Lei de Gauss
1 A integral do fluxo agora envolve o produto κ⃗
E em vez de ⃗
E. O vetor ϵ0κ⃗
E
recebe o nome de deslocamento elétrico e é representado pelo símbolo ⃗
D;
assim a lei de gauss pode ser escrita na forma
I
⃗
D · d⃗
A = q (42)
2 A carga q envolvida pela superfície gaussiana é tomada com sendo apenas a
carga livre. A carga induzida nas superfícies do dielétrico é deliberadamente
ignorada no lado direito, pois seus efeitos já foram levados em conta quando a
constante dielétrica κ foi introduzida no lado direito.
3 A diferença entre as equações 37 e 41 é que mantemos κ no integrando para
incluir os casos em que κ não é a mesma em todos os pontos da superfície
gaussiana.

Capacitância
Tarefa obrigatória Responder as questões do livro
TAREFA OBRIGATÓRIA:
LEITURA DO CAPÍTULO 25
RESPONDER TODOS OS EXERCÍCIOS DO REFERIDO CAPÍTULO
BONS ESTUDOS!
OBRIGADO!
Até a próxima aula!!
Corrente e Resistência

aula-5-AVA-Fisica3.pdf

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Semelhante a aula-5-AVA-Fisica3.pdf

Semelhante a aula-5-AVA-Fisica3.pdf (20)

Mais de Agnaldo Santos

Mais de Agnaldo Santos (20)

aula-5-AVA-Fisica3.pdf