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Fundamentos da Eletrostática
Aula 10
Condutores, Capacitores
Prof. Alex G. Dias
Prof. Alysson F. Ferrari
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1
Condutores / Isolantes
Material isolante: são aqueles que em geral têm os elétrons de valência
fortemente ligados aos núcleos atômicos. Tais elétrons não se deslocam facilmente
de uma região a outra ao se aplicar um campo elétrico.
Material condutor: são aqueles que em geral possuem elétrons de va-
lência fracamente ligados aos núcleos atômicos. Tais elétrons se deslocam quase
livremente pelo material ao se aplicar um campo elétrico externo.
Essas são apenas duas classicações bastante gerais, existem outras depen-
dendo de propriedades adicionais dos materiais, como a temperatura a que são
submetidos. Também existem materiais com características intermediárias entre
isolantes e condutores, os chamados semicondutores, que são de fundamental
importância para a indústria eletrônica.
Nesta aula, vamos discutir condutores e suas propriedades na presença de
campos eletrostáticos. Vamos considerar a idealização de um condutor perfeito,
onde há um suprimento ilimitado de elétrons que podem se mover livremente pelo
condutor, sem qualquer resistência.
O primeiro fato fundamental sobre condu-
tores é: quando um condutor é submetido a um
campo elétrico externo Eext, os elétrons rapida-
mente se movem de modo a criar uma densidade
supercial de carga tal que o campo elétrico no
seu interior é nulo, ou seja,
Einterno = Eext + Einduzido = 0 (dentro do condutor) .
O campo induzido Einduzido é criado pela redistribuição de cargas no condutor,
que é gerada por Eexterno.
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 1
Uma vez que Einterno = 0, a densidade volumétrica de carga no condutor
é zero, i.e., ρ = 0 dentro do condutor. Contudo, σ = 0, ou seja, existe uma
distribuição de cargas na superfície do condutor, responsável por gerar Einduzido.
Segue também que o volume e a superfície do condutor são uma equipotencial,
ou seja, todos os pontos do condutor estão no mesmo potencial eletrostático.
De fato, considere a diferença de potencial entre dois pontos ra e rb quaisquer,
localizados no condutor. Podemos sempre calcular a diferença de potencial entre
ra e rb através de uma integral de linha de E por um caminho que passa por
dentro do condutor (tanto para pontos internos quanto pontos na superfície), e
obtemos
ϕ (rb) − ϕ (ra) = −
ˆ rb
ra
Einterno · d = 0 ,
já que Einterno = 0. Lembre-se que a diferença de potencial independe do
caminho usado para calculá-la. Isso nos permite concluir que
ϕ (rb) = ϕ (ra) ,
para quaisquer dois pontos no condutor.
Além disso, num condutor com uma densidade su-
percial de carga σ = 0, as linhas de campo imediata-
mente fora do condutor são perpendiculares à superfície.
Isto você vai mostrar na Lista 05.
Uma forma de explicar o fato de que as cargas de
um condutor carregado e/ou que está sob a ação de um
campo externo se concentram na sua superfície, criando
uma densidade de carga supercial σ, ao invés de uma distribuição volumétrica
pelo condutor, é que esta última possibilidade levaria a uma energia maior. E a
natureza apresenta uma propriedade geral de sempre procurar a conguração de
menor energia possível.
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 2
De fato, considere uma esfera condutora de raio R e carga total q. Suponha
que a distribuição de carga fosse volumétrica, tal que
ρ (r) = ρ0r
α
; 0 ≤ r ≤ R, α ≥ 0
e
q =
ˆ
ρ (r) d
3
V = 4πρ0
rα+3
α + 3
.
Neste caso, a energia eletrostática da distribuição de carga, que já calculamos, é
Uα =
ρ2
0
ε0
4πR2α+5
(2α + 5) (α + 3)
=
q2
4πε0R
(α + 3)
(2α + 5)
.
Agora, se a distribuição de carga fosse supercial e constante, σ (r) = σ0
teríamos,
q = 4πR
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σ0
e
U =
q2
8πε0R
.
E vale que Uα  U para qualquer α, já que
(α + 3)
(2α + 5)

(α + 3)
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=
1
2
(α + 3)
(α + 3)
⇒
(α + 3)
(2α + 5)

1
2
.
Um condutor neutro se polariza na presença de um campo elétrico
externo, como o criado por uma carga pontual externa. Surge uma
força entre o condutor e a carga, apesar do condutor permanecer
neutro (=carga total igual a zero).
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 3
Considere um condutor neutro, contendo uma cavidade, dentro da
qual existe uma carga pontual q.
Dentro da cavidade, E = 0.
No interior do contudor, tem que ser Eint = 0.
A carga induzida na cavidade: qind = −q. Para perceber isso,
aplique o teorema de Gauss numa superfície contida no condutor,
englobando a cavidade.
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 4
Capacitores
Visto que o condutor (neutro ou carregado) é uma equipotencial, perguntemos:
qual a diferença de potencial entre dois condutores carregados?
Imagine o seguinte sistema de duas placas condutoras car-
regadas com carga +q e −q, separadas por uma distância d.
Vamos imaginar que as placas são muito grandes, de forma a
desprezar os efeitos de bordas. Entre as placas, o campo elétrico
é dado simplesmente por
E =
σ
ε0
ˆx .
A diferença de potencial entre as placas, que denotaremos por
Vd, é calculada através de uma integral de linha, por um caminho
qualquer indo da placa negativa para a placa positiva,
Vd = ϕ+ − ϕ− = −
ˆ +
−
E · d .
Escolhemos, por simplicidade, um caminho retilíneo, na direção
de ˆx, i.e.,
d = dx ˆx .
Neste caso, temos que E · d = σ
ε0
dx e
Vd = −
ˆ 0
d
σ
ε0
dx =
σd
ε0
(lembre que vamos da placa negativa para a positiva).
Seja A a área do condutor e q a carga total de cada placa,
Vd = σ
d
ε0
= (q/A)
d
ε0
= q
„
d
Aε0
«
.
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 5
A grandeza entre parêntesis depende unicamente da geometria (as dimensões) das
placas, e portanto é uma constante do sistema considerado, que denotaremos
1
C
=
d
Aε0
⇒ C = ε0
A
d
;
C é dita a capacitância do sistema de placas. Usando a capacitância, podemos
escrever simplesmente,
q = CVd .
Esta é a conhecida relação entre a carga acumulada num capacitor e sua diferença
de potencial.
Estes cálculos usaram uma geometria muito
simples e muito simétrica, por isso conseguimos
calcular tudo exatamente com facilidade. Num
caso mais geral, de dois condutores carrega-
dos de forma qualquer, podemos em princípio
calcular a diferença de potencial entre os dois
condutores,
V = ϕ+ − ϕ− = −
ˆ +
−
E · d ,
escolhendo um caminho qualquer que vai do condutor negativo ao positivo. Em
geral, V será uma função linear da carga acumulada nos condutores, i.e.,
V =
1
C
q,
onde C é uma constante que depende da geometria do sistema, e obviamente não
será tão fácil de calcular como no exemplo simples que apresentamos!




Unidades (sistema MKS)
[C] =
ˆ q
V
˜
= Coulomb
Volt
= Farad
NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 6
Energia do Capacitor
Existindo um campo elétrico entre as placas do capacitor, signica que existe
uma densidade de energia associada. Se você se lembra como denimos a energia
eletrostática, a energia do capacitor corresponde ao trabalho necessário para
carregá-lo, partindo de uma conguração inicial em que as duas placas condutoras
são neutras.
O trabalho para transportar um elemento de carga −dq do condutor de carga
+q até o condutor de carga −q é dado por
dW = (ϕ− − ϕ+) (−dq)
=
q
C
dq ,
logo, a energia necessária para se carregar um capacitor com carga total Q é
W =
ˆ Q
0
q
C
dq =
Q2
2C
=
CV 2
2
.
Podemos entender que esta energia está armazenada no campo elétrico do capaci-
tor.
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  • 1. Fundamentos da Eletrostática Aula 10 Condutores, Capacitores Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 Condutores / Isolantes Material isolante: são aqueles que em geral têm os elétrons de valência fortemente ligados aos núcleos atômicos. Tais elétrons não se deslocam facilmente de uma região a outra ao se aplicar um campo elétrico. Material condutor: são aqueles que em geral possuem elétrons de va- lência fracamente ligados aos núcleos atômicos. Tais elétrons se deslocam quase livremente pelo material ao se aplicar um campo elétrico externo. Essas são apenas duas classicações bastante gerais, existem outras depen- dendo de propriedades adicionais dos materiais, como a temperatura a que são submetidos. Também existem materiais com características intermediárias entre isolantes e condutores, os chamados semicondutores, que são de fundamental importância para a indústria eletrônica. Nesta aula, vamos discutir condutores e suas propriedades na presença de campos eletrostáticos. Vamos considerar a idealização de um condutor perfeito, onde há um suprimento ilimitado de elétrons que podem se mover livremente pelo condutor, sem qualquer resistência. O primeiro fato fundamental sobre condu- tores é: quando um condutor é submetido a um campo elétrico externo Eext, os elétrons rapida- mente se movem de modo a criar uma densidade supercial de carga tal que o campo elétrico no seu interior é nulo, ou seja, Einterno = Eext + Einduzido = 0 (dentro do condutor) . O campo induzido Einduzido é criado pela redistribuição de cargas no condutor, que é gerada por Eexterno. NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 1
  • 2. Uma vez que Einterno = 0, a densidade volumétrica de carga no condutor é zero, i.e., ρ = 0 dentro do condutor. Contudo, σ = 0, ou seja, existe uma distribuição de cargas na superfície do condutor, responsável por gerar Einduzido. Segue também que o volume e a superfície do condutor são uma equipotencial, ou seja, todos os pontos do condutor estão no mesmo potencial eletrostático. De fato, considere a diferença de potencial entre dois pontos ra e rb quaisquer, localizados no condutor. Podemos sempre calcular a diferença de potencial entre ra e rb através de uma integral de linha de E por um caminho que passa por dentro do condutor (tanto para pontos internos quanto pontos na superfície), e obtemos ϕ (rb) − ϕ (ra) = − ˆ rb ra Einterno · d = 0 , já que Einterno = 0. Lembre-se que a diferença de potencial independe do caminho usado para calculá-la. Isso nos permite concluir que ϕ (rb) = ϕ (ra) , para quaisquer dois pontos no condutor. Além disso, num condutor com uma densidade su- percial de carga σ = 0, as linhas de campo imediata- mente fora do condutor são perpendiculares à superfície. Isto você vai mostrar na Lista 05. Uma forma de explicar o fato de que as cargas de um condutor carregado e/ou que está sob a ação de um campo externo se concentram na sua superfície, criando uma densidade de carga supercial σ, ao invés de uma distribuição volumétrica pelo condutor, é que esta última possibilidade levaria a uma energia maior. E a natureza apresenta uma propriedade geral de sempre procurar a conguração de menor energia possível. NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 2 De fato, considere uma esfera condutora de raio R e carga total q. Suponha que a distribuição de carga fosse volumétrica, tal que ρ (r) = ρ0r α ; 0 ≤ r ≤ R, α ≥ 0 e q = ˆ ρ (r) d 3 V = 4πρ0 rα+3 α + 3 . Neste caso, a energia eletrostática da distribuição de carga, que já calculamos, é Uα = ρ2 0 ε0 4πR2α+5 (2α + 5) (α + 3) = q2 4πε0R (α + 3) (2α + 5) . Agora, se a distribuição de carga fosse supercial e constante, σ (r) = σ0 teríamos, q = 4πR 2 σ0 e U = q2 8πε0R . E vale que Uα U para qualquer α, já que (α + 3) (2α + 5) (α + 3) (2α + 6) = 1 2 (α + 3) (α + 3) ⇒ (α + 3) (2α + 5) 1 2 . Um condutor neutro se polariza na presença de um campo elétrico externo, como o criado por uma carga pontual externa. Surge uma força entre o condutor e a carga, apesar do condutor permanecer neutro (=carga total igual a zero). NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 3
  • 3. Considere um condutor neutro, contendo uma cavidade, dentro da qual existe uma carga pontual q. Dentro da cavidade, E = 0. No interior do contudor, tem que ser Eint = 0. A carga induzida na cavidade: qind = −q. Para perceber isso, aplique o teorema de Gauss numa superfície contida no condutor, englobando a cavidade. NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 4 Capacitores Visto que o condutor (neutro ou carregado) é uma equipotencial, perguntemos: qual a diferença de potencial entre dois condutores carregados? Imagine o seguinte sistema de duas placas condutoras car- regadas com carga +q e −q, separadas por uma distância d. Vamos imaginar que as placas são muito grandes, de forma a desprezar os efeitos de bordas. Entre as placas, o campo elétrico é dado simplesmente por E = σ ε0 ˆx . A diferença de potencial entre as placas, que denotaremos por Vd, é calculada através de uma integral de linha, por um caminho qualquer indo da placa negativa para a placa positiva, Vd = ϕ+ − ϕ− = − ˆ + − E · d . Escolhemos, por simplicidade, um caminho retilíneo, na direção de ˆx, i.e., d = dx ˆx . Neste caso, temos que E · d = σ ε0 dx e Vd = − ˆ 0 d σ ε0 dx = σd ε0 (lembre que vamos da placa negativa para a positiva). Seja A a área do condutor e q a carga total de cada placa, Vd = σ d ε0 = (q/A) d ε0 = q „ d Aε0 « . NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 5
  • 4. A grandeza entre parêntesis depende unicamente da geometria (as dimensões) das placas, e portanto é uma constante do sistema considerado, que denotaremos 1 C = d Aε0 ⇒ C = ε0 A d ; C é dita a capacitância do sistema de placas. Usando a capacitância, podemos escrever simplesmente, q = CVd . Esta é a conhecida relação entre a carga acumulada num capacitor e sua diferença de potencial. Estes cálculos usaram uma geometria muito simples e muito simétrica, por isso conseguimos calcular tudo exatamente com facilidade. Num caso mais geral, de dois condutores carrega- dos de forma qualquer, podemos em princípio calcular a diferença de potencial entre os dois condutores, V = ϕ+ − ϕ− = − ˆ + − E · d , escolhendo um caminho qualquer que vai do condutor negativo ao positivo. Em geral, V será uma função linear da carga acumulada nos condutores, i.e., V = 1 C q, onde C é uma constante que depende da geometria do sistema, e obviamente não será tão fácil de calcular como no exemplo simples que apresentamos! Unidades (sistema MKS) [C] = ˆ q V ˜ = Coulomb Volt = Farad NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 6 Energia do Capacitor Existindo um campo elétrico entre as placas do capacitor, signica que existe uma densidade de energia associada. Se você se lembra como denimos a energia eletrostática, a energia do capacitor corresponde ao trabalho necessário para carregá-lo, partindo de uma conguração inicial em que as duas placas condutoras são neutras. O trabalho para transportar um elemento de carga −dq do condutor de carga +q até o condutor de carga −q é dado por dW = (ϕ− − ϕ+) (−dq) = q C dq , logo, a energia necessária para se carregar um capacitor com carga total Q é W = ˆ Q 0 q C dq = Q2 2C = CV 2 2 . Podemos entender que esta energia está armazenada no campo elétrico do capaci- tor. NH2801 - Fundamentos da Eletrostática - 2009t1 7