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ELETROMAGNETISMO I 66
8 RESISTÊNCIA E CAPACITÂNCIA
8.1 - RESISTÊNCIA E LEI DE OHM
A expressão para a densidade de corrente de condução
r r
J = σE , vista no capítulo 6, descreve
também a lei de Ohm na sua forma pontual. Consideremos a condução de uma corrente I em um
meio de condutividade σ por uma seção transversal e regular S. Tomando então a equação pontual
da lei de Ohm e multiplicando ambos os lados pela área S, teremos:
)A(ESSJ
rr
σ= (8.1)
Em termos de intensidade de corrente, podemos escrever que:
)A(SEI σ= (8.2)
Vimos no capítulo 5 que o campo elétrico é o gradiente negativo da distribuição dos potenciais. Se
admitirmos o campo elétrico como uniforme, seu módulo será o quociente da diferença entre dois
potenciais V distantes de um comprimento L. Então:
I
SV
L
A=
σ
( ) (8.3)
O termo σS / L é apenas dependente da geometria e do meio por onde a corrente passa.
Independente da tensão e da corrente, é ainda o inverso da resistência elétrica R deste meio com
condutividade σ. A corrente I e a resistência R são então:
)(
I
V
R;)A(
R
V
I Ω== (8.4)
Mesmo que os campos elétricos não sejam uniformes, a resistência ainda é definida como a relação
entre V e I, em que V é a diferença de potencial entre duas superfícies equipotenciais no meio
condutivo e I a intensidade de corrente que atravessa estas superfícies: Podemos então, de modo
genérico, escrever que:
)(
SdE
LdE
I
V
R
S
a
bab
Ω
⋅σ
⋅−
==
∫
∫ rr
rr
(8.5)
A resistência elétrica assim definida implica em admitir a corrente percorrendo o meio no sentido
decrescente dos potenciais. Enquanto que o numerador exprime o trabalho realizado contra o
campo por unidade de carga, o denominador desta fração indica o fluxo das linhas de corrente que
cruzam uma determinada secção em um meio de condutividade σ.
É importante ressaltar que a resistência se opõe à passagem da corrente com uma conseqüente
transformação de energia elétrica em térmica, sem armazenamento de energia no campo elétrico que
distribui os potenciais. Repetindo, depende apenas da geometria e do meio ou do material em que
ela é constituída.
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
ELETROMAGNETISMO I 67
Exemplo 8.1
Considere um cabo coaxial com dois cilindros condutores concêntricos de raios a m e b m, conforme
a figura 8.1. Uma diferença de potencial aplicada entre eles é responsável por uma corrente de fuga
entre os condutores interno e externo que constituem o cabo. Se a corrente de fuga por unidade de
comprimento for I A/m, e a condutividade do material entre os condutores for igual a σ S/m, calcule o
valor da resistência de fuga da isolação entre os condutores.
Solução
Figura 8.1 Cabo coaxial e corrente radial.
A tensão aplicada define superfícies
equipotenciais cilíndricas em que a corrente
de fuga entre os dois condutores se distribui
radialmente.
Vamos inicialmente calcular a densidade de
corrente
r
J em um ponto genérico, distante r
m do eixo do cabo entre os dois condutores.
Para um metro de cabo, a corrente de fuga
total será então:
)A(SdJI
)r(S
∫ ⋅=
rr
Para uma determinada distância radial r,
observamos que a densidade de corrente tem
seu módulo constante e está alinhada a cada
elemento de área da secção S(r). Daí para um
comprimento unitário vem que:
)A(1.r2JI π=
Logo o vetor densidade de corrente é radial e
vale para cada r
r
J
I
r
a A mr=
2
2
π
. $ ( / )
O campo elétrico em um ponto r será,
portanto:
r
E
r
r
E
J
V m=
σ
( / )
r
E
I
r
a V mr=
2π σ
. $ ( / )
Se a diferença de potencial aplicada entre os
dois cilindros condutores for Vab, teremos:
)V(ldEVVV
a
b
baab ∫ ⋅−=−=
rr
Pelas condições do problema a diferença de
potencial e a corrente consideram apenas a
componente radial do deslocamento, onde
raˆdrld =
r
. Então
V
I
r
dr Vab
b
a
= − ∫ 2π σ
. ( )
Ou seja:
V
I b
a
Vab =
2πσ
ln ( )
Portanto, a resistência de fuga por metro será:
R
V
I
b
a
ab
= =
1
2πσ
ln ( )Ω
Na realidade a corrente é determinada em função de uma dada posição radial r por
r
1
0
2
0
r aˆdzrdaˆJI ∫ ∫
π
φ⋅= , onde r é admitida constante.
a
b
a
b
I
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
ELETROMAGNETISMO I 68
Exemplo 8.2
Considere agora que o dielétrico entre os dois condutores seja formado por dois meios distintos,
conforme mostra a figura 8.2. Calcule a resistência de fuga por metro deste cabo coaxial.
Solução
Figura 8.2 Cabo co-axial com 2 dielétricos em
paralelo.
Como no exemplo anterior, a corrente se
distribui radialmente e há dois meios
diferentes sob a mesma tensão elétrica.
Podemos então considerar que a corrente
total é a soma de duas correntes I1 e I2.
I I I A= +1 2 ( )
A diferença de potencial entre os dois
condutores é constante. Portanto:
R
V
I
R
V
I
1
1
2
2
= =( ) ; ( )Ω Ω
)(
II
V
I
V
R
21
Ω
+
==
)(
R
V
R
V
V
R
21
Ω
+
=
Como poderíamos esperar a resistência total
é:
)(
RR
R.R
R
21
21
Ω
+
=
Por analogia com o exemplo anterior podemos
escrever as expressões para R1 e R2:
R
b
a
R
b
a
1
1
2
2
1 1
= =
πσ πσ
ln ( ) ; ln ( )Ω Ω
A resistência (equivalente) será então dada
por:
)(
a
b
ln
)σσ(π
1
R
21
Ω
+
=
Observe que agora para r constante temos e .r
1
0 0
r11 aˆdzrdaˆJI ∫∫
π
φ⋅= r
1
0 0
r22 aˆdzrdaˆJI ∫∫
π
φ⋅=
Exemplo 8.3
Considere agora a configuração mostrada na figura 8.3. Calcular a resistência de fuga.
a σ2σ1
b
Solução
Figura 8.3 Cabo co-axial com 2 dielétricos em
série.
Todas as linhas de corrente são radiais e
passam tanto pelo condutor 1 como pelo
condutor 2. Podemos então assumir que as
correntes nos meios 1 e 2 são iguais e:
σ2
b
c
I I I A= =1 2 ( )
a
Porém a diferença de potencial aplicada entre
os condutores é:σ1
V V V V= +1 2 ( )
V R I V V R I V1 1 2 2= =. ( ) ; . ( )
)V(I.RI.RI.R 21 =+
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ELETROMAGNETISMO I 69
)(RRR 21 Ω+=
)V(rd.EV 1
a
c1
rr
∫−=
)V(
a
c
ln
2
I
V
1
1
πσ
=
)V(rd.EV
c
b 22 ∫−=
rr
V
I b
c
V2
22
=
πσ
ln ( )
R
c
a
R
b
c
1
1
2
2
1
2
1
2
= =
πσ πσ
ln ( ) ; ln ( )Ω Ω
)(
c
b
ln
σ
1
a
c
ln
σ
1
π2
1
R
21
Ω⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+=
8.2 - CAPACITÂNCIA
Sejam dois condutores imersos em um meio dielétrico homogêneo, conforme ilustra a figura 8.4. O
condutor M1 possui uma carga positiva de Q coulombs e o condutor M2 uma carga de mesma
magnitude, porém de sinal contrário. Podemos dizer então que existe, pois, uma diferença de
potencial V (V1 em M1 maior do que V2 em M2) entre esses dois condutores, exprimindo a idéia de
capacitância.
A capacitância C deste sistema é definida como:
)F(
V
Q
C= (8.6)
Considerando uma carga elétrica livre Q em valor absoluto presente em cada condutor, podemos,
empregando ∫ ⋅=
S
SdDQ
rr
, escrever que:
)F(
Ld.E
Sd.E
C
1
2
M
M
S
∫
∫
−
ε
= rr
rr
(8.7)
E
M1 M2
Figura 8.4 Dois condutores carregados, imersos em um meio dielétrico.
Podemos notar que tanto a carga Q com a diferença de potencial V entre os condutores, são obtidas
em função do campo que se estabelece no dielétrico. Lembre que cargas positivas determinam
potenciais positivos e cargas negativas determinam potenciais negativos ao estabelecer os extremos
de integração na equação (8.7).
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
ELETROMAGNETISMO I 70
Exemplo 8.4
Considere o capacitor da figura 8.5 com duas placas paralelas iguais de área S, separadas por uma
distância d. O dielétrico entre elas tem permissividade ε. Calcular a capacitância C deste arranjo.
Solução
Figura 8.5 Capacitor de placas paralelas.
Pela definição de capacitância:
C
Q
V
F)= (
Como a carga se distribui na superfície plana
e condutora de cada placa
Q Ss= ρ . (C)
Vemos que esta distribuição de cargas
superficiais gera um campo no dielétrico e
conseqüentemente uma tensão elétrica dada
por:
V E dL dzs
d
= − = − ∫∫
r r
. .
inf
sup ρ
ε
0
V( )
Os extremos de integração foram
determinados segundo a orientação do eixo z.
No caso, foi desprezado o efeito das bordas
para o campo elétrico. Assim:
V
d
Vs
=
ρ
ε
( )
Daí:
( )
C
S
d
S
d
F)s
s
= =
ρ
ρ ε
ε
(
Independente de Q e V.
Conhecendo a configuração do campo no dielétrico, podemos determinar tanto a carga como a
diferença de potencial, exigidas para o cálculo da capacitância.
Exemplo 8.5
Suponha agora que o dielétrico tenha a configuração mostrada na figura 8.6. Calcular a capacitância
C.
Solução
Figura 8.6 Capacitor com 2 dielétricos em paralelo.
d VE
z
+ σ ds
σs
E
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
71
O campo elétrico neste caso possui somente
a componente tangencial na interface entre
os dielétricos. Pelas condições de fronteira
entre os dielétricos:
E Et t1 2=
r r
E E E1 2= =
r
r r r
D E E C m1 1 1 1
2
= =ε ε ( / )
r r r
D E E C m2 2 2 2
2
= =ε ε ( / )
Pela lei de Gauss:
r r
D dS Q C
s
. (∫ = )
r r
D dS Q C
s
1 1
1
. (∫ = )
r r
D dS Q C
s
2 2
2
. (∫ = )
Q Q Q C= +1 2 ( )
r r r r
D dS D dS Q C
s s
1 2
1 2
. .∫ ∫+ = ( )
D S D S Q C1 1 2 2+ = ( )
ε ε1 1 2 2E.S E.S Q C+ = ( )
( )ε ε1 1 2 2S S
V
d
Q C+ = ( )
ε ε1 1 2 2S
d
S
d
Q
V
F)+ = (
C C C F1 2+ = ( )
Exemplo 8.6
Tendo o dielétrico entre as placas a configuração da figura 8.7, calcular a capacitância C.
Solução
Fig. 8.7 - Capacitor com 2 dielétricos em série
O campo elétrico neste caso possui somente
a componente normal na interface entre os
dielétricos. Pelas condições de fronteira entre
os dielétricos:
D Dn n1 2= = D
ε ε1 1 2 2
2
E E C m= ( / )
V E d V V E d V1 1 1 2 2 2= =( ) ; ( )
V V V V= +1 2 ( )
V
D
d
D
d V= +
ε ε1
1
2
2 ( )
Pela lei de Gauss:
r r
D dS Q C. (=∫ )
D S Q C D
Q
S
C m. ( ) ( /= ⇒ = 2
)
V Q
d
S
Q
d
S
V= +1
1
2
2ε ε
( )
V
Q
d
S
d
S
= +1
1
2
2ε ε
1 1 1
1
1 2C C C
F)= + ( /
V2
D Vd
V1
ELETROMAGNETISMO I 72
EXERCÍCIOS
1) Mostre que a resistência elétrica de qualquer material com condutividade σ vale R = L / (σA),
admitindo-se que uma distribuição uniforme de corrente atravessa uma secção reta de área
constante A ao longo do seu comprimento L.
2) Determine a resistência que existe entre as superfícies curvas, interna e externa de um bloco
de prata, definido por raios de curvatura com 0,2 m e 3,0 m respectivamente, uma abertura
angular de 5º e espessura de 0,05 m. Dado: condutividade da prata σ = 6,17 x 107
S/m.
3) Uma dada chapa de alumínio possui 1,0 mil de espessura, 5,0 cm de lado e condutividade
38,2 MS/m. Calcule a resistência elétrica desta chapa (a) entre os lados que se opõem às
faces quadradas e (b) entre as duas faces quadradas.
4) Calcule a resistência de isolação de um cabo coaxial de comprimento l e raios interno e
externo ra e rb respectivamente.
5) Determine a resistência oferecida por um condutor de cobre ao longo de 2 m de comprimento
por uma secção reta circular de raio de 1 mm em uma extremidade e que vai aumentando
linearmente até um raio de 5 mm na outra. A condutividade do cobre é 58 MS/m.
6) Mostre que a energia armazenada entre as armaduras de um capacitor é maior quando
existe um dielétrico, comparativamente ao espaço-livre. Demonstre também que a energia
armazenada por um capacitor quando este se encontra carregado com uma carga Q e
submetido a uma tensão V é dada por CV2
/2.
7) Calcule a capacitância que existe entre duas placas paralelas, uma superior com carga + Q e
uma inferior com carga – Q, existindo entre elas um dielétrico de permissividade ε. Despreze
o espraiamento do campo elétrico nas bordas das placas condutoras.
8) Determine a capacitância de um cabo coaxial de comprimento finito L, onde o condutor
interno tem raio a e o externo raio b, tendo entre eles um dielétrico de permissividade ε.
9) Calcule a capacitância que existe entre duas placas planas que formam um ângulo de 5º
definidas por raios de curvatura com 1 mm e 30 mm respectivamente e uma altura de 5 mm,
cuja região entre elas encontra-se preenchida por um dielétrico de permissividade relativa
4,5.
10) Retomando o problema anterior, qual a separação d que leva à mesma capacitância quando
as placas encontram-se paralelas?
11) Calcule a resistência por unidade de comprimento entre duas superfícies curvas
concêntricas, uma de raio r = 0.2 m, outra de raio 0.4 m, limitadas por um ângulo de 30º. O
material entre elas possui uma condutividade σ = 6,17×107
S/m.
12) Calcule a resistência de um condutor de alumínio com condutividade 35 MS/m, de 2 m de
comprimento, seção reta quadrada de 1 mm2
em uma extremidade, aumentando linearmente
para 4 mm2
na outra extremidade.
13) Por um defeito de fabricação, um cabo coaxial possui um deslocamento entre os centros dos
condutores interno e externo conforme mostrado na figura a seguir. Tendo o dielétrico uma
condutividade de 20 µS/m, determine a resistência de isolação por metro desse cabo.
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
ELETROMAGNETISMO I 73
Figura para o problema 13
14) Resolver o problema anterior, considerando agora os cabos concêntricos. Compare os
resultados.
15) Encontre a capacitância entre as superfícies condutoras do capacitor mostrado na figura
abaixo, preenchido por um dielétrico de permissividade relativa 5,5.
Figura para o problema15
16) Calcule a capacitância por unidade de comprimento entre um condutor cilíndrico de 6 cm de
diâmetro e um plano condutor, paralelo ao eixo desse cilindro, distante 10 m do mesmo.
17) Um capacitor de placas paralelas com área de 0,30 m2 e separação 6 mm contém três
dielétricos assim distribuídos : εr1 = 3.0, com espessura de 1 mm. εr2 = 4.5 com espessura de
2 mm e εr3 = 6,0 com espessura de 3 mm. Aplicando-se uma ddp de 1200 V sobre o
capacitor, encontre a diferença de potencial e o gradiente do potencial (intensidade do campo
elétrico) em cada dielétrico.
18) A figura a seguir mostra um cabo coaxial cujo condutor interno possui raio de 0,6 mm e o
condutor externo raio de 6 mm. Calcule a capacitância por unidade de comprimento incluindo
os espaçadores como indicado com constante dielétrica 6,0.
4 cm
0.8 cm
2 cm
εr = 5,5
30º
60 mm
5 mm
4 mm
UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
ELETROMAGNETISMO I 74
12.5mm
50 mm
Figura para o problema 18
19) Um cabo de potência blindado opera com uma tensão de 12,5 kV no condutor interno em
relação à capa cilíndrica. Existem duas isolações: a primeira tem permissividade relativa igual
a 6,0, e é do condutor interno em r = 0,8 cm a r = 1,0 cm, enquanto que a segunda tem
permissividade relativa igual a 3,0 e vai de r = 1,0 cm a r = 3,0 cm, que corresponde à
superfície interna da capa externa. Encontre o máximo gradiente de tensão em cada isolação
empregada.
20) Um certo cabo de potência blindado tem isolação de polietileno para o qual εr = 3,26 e rigidez
dielétrica 18,1 MV/m. Qual é o limite superior de tensão sobre o condutor interno em relação
à blindagem quando o condutor interno possui raio de 1 cm e o lado interno da blindagem
concêntrica apresenta raio de 8,0 cm ?
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Cap08

  • 1. ELETROMAGNETISMO I 66 8 RESISTÊNCIA E CAPACITÂNCIA 8.1 - RESISTÊNCIA E LEI DE OHM A expressão para a densidade de corrente de condução r r J = σE , vista no capítulo 6, descreve também a lei de Ohm na sua forma pontual. Consideremos a condução de uma corrente I em um meio de condutividade σ por uma seção transversal e regular S. Tomando então a equação pontual da lei de Ohm e multiplicando ambos os lados pela área S, teremos: )A(ESSJ rr σ= (8.1) Em termos de intensidade de corrente, podemos escrever que: )A(SEI σ= (8.2) Vimos no capítulo 5 que o campo elétrico é o gradiente negativo da distribuição dos potenciais. Se admitirmos o campo elétrico como uniforme, seu módulo será o quociente da diferença entre dois potenciais V distantes de um comprimento L. Então: I SV L A= σ ( ) (8.3) O termo σS / L é apenas dependente da geometria e do meio por onde a corrente passa. Independente da tensão e da corrente, é ainda o inverso da resistência elétrica R deste meio com condutividade σ. A corrente I e a resistência R são então: )( I V R;)A( R V I Ω== (8.4) Mesmo que os campos elétricos não sejam uniformes, a resistência ainda é definida como a relação entre V e I, em que V é a diferença de potencial entre duas superfícies equipotenciais no meio condutivo e I a intensidade de corrente que atravessa estas superfícies: Podemos então, de modo genérico, escrever que: )( SdE LdE I V R S a bab Ω ⋅σ ⋅− == ∫ ∫ rr rr (8.5) A resistência elétrica assim definida implica em admitir a corrente percorrendo o meio no sentido decrescente dos potenciais. Enquanto que o numerador exprime o trabalho realizado contra o campo por unidade de carga, o denominador desta fração indica o fluxo das linhas de corrente que cruzam uma determinada secção em um meio de condutividade σ. É importante ressaltar que a resistência se opõe à passagem da corrente com uma conseqüente transformação de energia elétrica em térmica, sem armazenamento de energia no campo elétrico que distribui os potenciais. Repetindo, depende apenas da geometria e do meio ou do material em que ela é constituída. UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
  • 2. ELETROMAGNETISMO I 67 Exemplo 8.1 Considere um cabo coaxial com dois cilindros condutores concêntricos de raios a m e b m, conforme a figura 8.1. Uma diferença de potencial aplicada entre eles é responsável por uma corrente de fuga entre os condutores interno e externo que constituem o cabo. Se a corrente de fuga por unidade de comprimento for I A/m, e a condutividade do material entre os condutores for igual a σ S/m, calcule o valor da resistência de fuga da isolação entre os condutores. Solução Figura 8.1 Cabo coaxial e corrente radial. A tensão aplicada define superfícies equipotenciais cilíndricas em que a corrente de fuga entre os dois condutores se distribui radialmente. Vamos inicialmente calcular a densidade de corrente r J em um ponto genérico, distante r m do eixo do cabo entre os dois condutores. Para um metro de cabo, a corrente de fuga total será então: )A(SdJI )r(S ∫ ⋅= rr Para uma determinada distância radial r, observamos que a densidade de corrente tem seu módulo constante e está alinhada a cada elemento de área da secção S(r). Daí para um comprimento unitário vem que: )A(1.r2JI π= Logo o vetor densidade de corrente é radial e vale para cada r r J I r a A mr= 2 2 π . $ ( / ) O campo elétrico em um ponto r será, portanto: r E r r E J V m= σ ( / ) r E I r a V mr= 2π σ . $ ( / ) Se a diferença de potencial aplicada entre os dois cilindros condutores for Vab, teremos: )V(ldEVVV a b baab ∫ ⋅−=−= rr Pelas condições do problema a diferença de potencial e a corrente consideram apenas a componente radial do deslocamento, onde raˆdrld = r . Então V I r dr Vab b a = − ∫ 2π σ . ( ) Ou seja: V I b a Vab = 2πσ ln ( ) Portanto, a resistência de fuga por metro será: R V I b a ab = = 1 2πσ ln ( )Ω Na realidade a corrente é determinada em função de uma dada posição radial r por r 1 0 2 0 r aˆdzrdaˆJI ∫ ∫ π φ⋅= , onde r é admitida constante. a b a b I UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
  • 3. ELETROMAGNETISMO I 68 Exemplo 8.2 Considere agora que o dielétrico entre os dois condutores seja formado por dois meios distintos, conforme mostra a figura 8.2. Calcule a resistência de fuga por metro deste cabo coaxial. Solução Figura 8.2 Cabo co-axial com 2 dielétricos em paralelo. Como no exemplo anterior, a corrente se distribui radialmente e há dois meios diferentes sob a mesma tensão elétrica. Podemos então considerar que a corrente total é a soma de duas correntes I1 e I2. I I I A= +1 2 ( ) A diferença de potencial entre os dois condutores é constante. Portanto: R V I R V I 1 1 2 2 = =( ) ; ( )Ω Ω )( II V I V R 21 Ω + == )( R V R V V R 21 Ω + = Como poderíamos esperar a resistência total é: )( RR R.R R 21 21 Ω + = Por analogia com o exemplo anterior podemos escrever as expressões para R1 e R2: R b a R b a 1 1 2 2 1 1 = = πσ πσ ln ( ) ; ln ( )Ω Ω A resistência (equivalente) será então dada por: )( a b ln )σσ(π 1 R 21 Ω + = Observe que agora para r constante temos e .r 1 0 0 r11 aˆdzrdaˆJI ∫∫ π φ⋅= r 1 0 0 r22 aˆdzrdaˆJI ∫∫ π φ⋅= Exemplo 8.3 Considere agora a configuração mostrada na figura 8.3. Calcular a resistência de fuga. a σ2σ1 b Solução Figura 8.3 Cabo co-axial com 2 dielétricos em série. Todas as linhas de corrente são radiais e passam tanto pelo condutor 1 como pelo condutor 2. Podemos então assumir que as correntes nos meios 1 e 2 são iguais e: σ2 b c I I I A= =1 2 ( ) a Porém a diferença de potencial aplicada entre os condutores é:σ1 V V V V= +1 2 ( ) V R I V V R I V1 1 2 2= =. ( ) ; . ( ) )V(I.RI.RI.R 21 =+ UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
  • 4. ELETROMAGNETISMO I 69 )(RRR 21 Ω+= )V(rd.EV 1 a c1 rr ∫−= )V( a c ln 2 I V 1 1 πσ = )V(rd.EV c b 22 ∫−= rr V I b c V2 22 = πσ ln ( ) R c a R b c 1 1 2 2 1 2 1 2 = = πσ πσ ln ( ) ; ln ( )Ω Ω )( c b ln σ 1 a c ln σ 1 π2 1 R 21 Ω⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ += 8.2 - CAPACITÂNCIA Sejam dois condutores imersos em um meio dielétrico homogêneo, conforme ilustra a figura 8.4. O condutor M1 possui uma carga positiva de Q coulombs e o condutor M2 uma carga de mesma magnitude, porém de sinal contrário. Podemos dizer então que existe, pois, uma diferença de potencial V (V1 em M1 maior do que V2 em M2) entre esses dois condutores, exprimindo a idéia de capacitância. A capacitância C deste sistema é definida como: )F( V Q C= (8.6) Considerando uma carga elétrica livre Q em valor absoluto presente em cada condutor, podemos, empregando ∫ ⋅= S SdDQ rr , escrever que: )F( Ld.E Sd.E C 1 2 M M S ∫ ∫ − ε = rr rr (8.7) E M1 M2 Figura 8.4 Dois condutores carregados, imersos em um meio dielétrico. Podemos notar que tanto a carga Q com a diferença de potencial V entre os condutores, são obtidas em função do campo que se estabelece no dielétrico. Lembre que cargas positivas determinam potenciais positivos e cargas negativas determinam potenciais negativos ao estabelecer os extremos de integração na equação (8.7). UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
  • 5. ELETROMAGNETISMO I 70 Exemplo 8.4 Considere o capacitor da figura 8.5 com duas placas paralelas iguais de área S, separadas por uma distância d. O dielétrico entre elas tem permissividade ε. Calcular a capacitância C deste arranjo. Solução Figura 8.5 Capacitor de placas paralelas. Pela definição de capacitância: C Q V F)= ( Como a carga se distribui na superfície plana e condutora de cada placa Q Ss= ρ . (C) Vemos que esta distribuição de cargas superficiais gera um campo no dielétrico e conseqüentemente uma tensão elétrica dada por: V E dL dzs d = − = − ∫∫ r r . . inf sup ρ ε 0 V( ) Os extremos de integração foram determinados segundo a orientação do eixo z. No caso, foi desprezado o efeito das bordas para o campo elétrico. Assim: V d Vs = ρ ε ( ) Daí: ( ) C S d S d F)s s = = ρ ρ ε ε ( Independente de Q e V. Conhecendo a configuração do campo no dielétrico, podemos determinar tanto a carga como a diferença de potencial, exigidas para o cálculo da capacitância. Exemplo 8.5 Suponha agora que o dielétrico tenha a configuração mostrada na figura 8.6. Calcular a capacitância C. Solução Figura 8.6 Capacitor com 2 dielétricos em paralelo. d VE z + σ ds σs E UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
  • 6. 71 O campo elétrico neste caso possui somente a componente tangencial na interface entre os dielétricos. Pelas condições de fronteira entre os dielétricos: E Et t1 2= r r E E E1 2= = r r r r D E E C m1 1 1 1 2 = =ε ε ( / ) r r r D E E C m2 2 2 2 2 = =ε ε ( / ) Pela lei de Gauss: r r D dS Q C s . (∫ = ) r r D dS Q C s 1 1 1 . (∫ = ) r r D dS Q C s 2 2 2 . (∫ = ) Q Q Q C= +1 2 ( ) r r r r D dS D dS Q C s s 1 2 1 2 . .∫ ∫+ = ( ) D S D S Q C1 1 2 2+ = ( ) ε ε1 1 2 2E.S E.S Q C+ = ( ) ( )ε ε1 1 2 2S S V d Q C+ = ( ) ε ε1 1 2 2S d S d Q V F)+ = ( C C C F1 2+ = ( ) Exemplo 8.6 Tendo o dielétrico entre as placas a configuração da figura 8.7, calcular a capacitância C. Solução Fig. 8.7 - Capacitor com 2 dielétricos em série O campo elétrico neste caso possui somente a componente normal na interface entre os dielétricos. Pelas condições de fronteira entre os dielétricos: D Dn n1 2= = D ε ε1 1 2 2 2 E E C m= ( / ) V E d V V E d V1 1 1 2 2 2= =( ) ; ( ) V V V V= +1 2 ( ) V D d D d V= + ε ε1 1 2 2 ( ) Pela lei de Gauss: r r D dS Q C. (=∫ ) D S Q C D Q S C m. ( ) ( /= ⇒ = 2 ) V Q d S Q d S V= +1 1 2 2ε ε ( ) V Q d S d S = +1 1 2 2ε ε 1 1 1 1 1 2C C C F)= + ( / V2 D Vd V1
  • 7. ELETROMAGNETISMO I 72 EXERCÍCIOS 1) Mostre que a resistência elétrica de qualquer material com condutividade σ vale R = L / (σA), admitindo-se que uma distribuição uniforme de corrente atravessa uma secção reta de área constante A ao longo do seu comprimento L. 2) Determine a resistência que existe entre as superfícies curvas, interna e externa de um bloco de prata, definido por raios de curvatura com 0,2 m e 3,0 m respectivamente, uma abertura angular de 5º e espessura de 0,05 m. Dado: condutividade da prata σ = 6,17 x 107 S/m. 3) Uma dada chapa de alumínio possui 1,0 mil de espessura, 5,0 cm de lado e condutividade 38,2 MS/m. Calcule a resistência elétrica desta chapa (a) entre os lados que se opõem às faces quadradas e (b) entre as duas faces quadradas. 4) Calcule a resistência de isolação de um cabo coaxial de comprimento l e raios interno e externo ra e rb respectivamente. 5) Determine a resistência oferecida por um condutor de cobre ao longo de 2 m de comprimento por uma secção reta circular de raio de 1 mm em uma extremidade e que vai aumentando linearmente até um raio de 5 mm na outra. A condutividade do cobre é 58 MS/m. 6) Mostre que a energia armazenada entre as armaduras de um capacitor é maior quando existe um dielétrico, comparativamente ao espaço-livre. Demonstre também que a energia armazenada por um capacitor quando este se encontra carregado com uma carga Q e submetido a uma tensão V é dada por CV2 /2. 7) Calcule a capacitância que existe entre duas placas paralelas, uma superior com carga + Q e uma inferior com carga – Q, existindo entre elas um dielétrico de permissividade ε. Despreze o espraiamento do campo elétrico nas bordas das placas condutoras. 8) Determine a capacitância de um cabo coaxial de comprimento finito L, onde o condutor interno tem raio a e o externo raio b, tendo entre eles um dielétrico de permissividade ε. 9) Calcule a capacitância que existe entre duas placas planas que formam um ângulo de 5º definidas por raios de curvatura com 1 mm e 30 mm respectivamente e uma altura de 5 mm, cuja região entre elas encontra-se preenchida por um dielétrico de permissividade relativa 4,5. 10) Retomando o problema anterior, qual a separação d que leva à mesma capacitância quando as placas encontram-se paralelas? 11) Calcule a resistência por unidade de comprimento entre duas superfícies curvas concêntricas, uma de raio r = 0.2 m, outra de raio 0.4 m, limitadas por um ângulo de 30º. O material entre elas possui uma condutividade σ = 6,17×107 S/m. 12) Calcule a resistência de um condutor de alumínio com condutividade 35 MS/m, de 2 m de comprimento, seção reta quadrada de 1 mm2 em uma extremidade, aumentando linearmente para 4 mm2 na outra extremidade. 13) Por um defeito de fabricação, um cabo coaxial possui um deslocamento entre os centros dos condutores interno e externo conforme mostrado na figura a seguir. Tendo o dielétrico uma condutividade de 20 µS/m, determine a resistência de isolação por metro desse cabo. UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
  • 8. ELETROMAGNETISMO I 73 Figura para o problema 13 14) Resolver o problema anterior, considerando agora os cabos concêntricos. Compare os resultados. 15) Encontre a capacitância entre as superfícies condutoras do capacitor mostrado na figura abaixo, preenchido por um dielétrico de permissividade relativa 5,5. Figura para o problema15 16) Calcule a capacitância por unidade de comprimento entre um condutor cilíndrico de 6 cm de diâmetro e um plano condutor, paralelo ao eixo desse cilindro, distante 10 m do mesmo. 17) Um capacitor de placas paralelas com área de 0,30 m2 e separação 6 mm contém três dielétricos assim distribuídos : εr1 = 3.0, com espessura de 1 mm. εr2 = 4.5 com espessura de 2 mm e εr3 = 6,0 com espessura de 3 mm. Aplicando-se uma ddp de 1200 V sobre o capacitor, encontre a diferença de potencial e o gradiente do potencial (intensidade do campo elétrico) em cada dielétrico. 18) A figura a seguir mostra um cabo coaxial cujo condutor interno possui raio de 0,6 mm e o condutor externo raio de 6 mm. Calcule a capacitância por unidade de comprimento incluindo os espaçadores como indicado com constante dielétrica 6,0. 4 cm 0.8 cm 2 cm εr = 5,5 30º 60 mm 5 mm 4 mm UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino
  • 9. ELETROMAGNETISMO I 74 12.5mm 50 mm Figura para o problema 18 19) Um cabo de potência blindado opera com uma tensão de 12,5 kV no condutor interno em relação à capa cilíndrica. Existem duas isolações: a primeira tem permissividade relativa igual a 6,0, e é do condutor interno em r = 0,8 cm a r = 1,0 cm, enquanto que a segunda tem permissividade relativa igual a 3,0 e vai de r = 1,0 cm a r = 3,0 cm, que corresponde à superfície interna da capa externa. Encontre o máximo gradiente de tensão em cada isolação empregada. 20) Um certo cabo de potência blindado tem isolação de polietileno para o qual εr = 3,26 e rigidez dielétrica 18,1 MV/m. Qual é o limite superior de tensão sobre o condutor interno em relação à blindagem quando o condutor interno possui raio de 1 cm e o lado interno da blindagem concêntrica apresenta raio de 8,0 cm ? UNESP – Naasson Pereira de Alcantara Junior – Claudio Vara de Aquino