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LEI DE GAUSS
FÍSICA III
CAPÍTULO XXIII
Aula 3
Prof Agnaldo
Prof Marcelo Felisberto
Campus do Sertão - UFAL – Eixo de Tec
MFL/AJS : Eng Civil - Eng Produção LEI DE GAUSS Campus do Sertão - UFAL – Eixo de Tec 1 / 31

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Fluxo
3 Fluxo de um Campo Elétrico
4 Lei de Gauss
5 Lei de Gauss e Lei de Coulomb
6 Um Condutor Carregado
7 Aplicando a Lei de Gauss

Introdução
Um dos principais objetivos da física é descobrir formas simples de resolver problemas
aparentemente complexos. Um dos instrumentos usados pela física para conseguir esse objetivo é a
simetria.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) e a
Lei de Gauss
Em vez de considerar os campos d⃗
E criados
pelos elementos de carga de uma dada
distribuição de cargas, vamos considerar uma
superfície fechada imaginária que envolve a
distribuição de cargas. Chamada de Superfície
Gaussiana, pode ter qualquer forma, mas a
forma que facilita o cálculo do campo elétrico é a
que reflete a simetria da distribuição de cargas.
Assim, por exemplo, se a carga está distribuída
uniformemente em uma esfera podemos usar
uma superfície gaussiana esférica como a da
figura para envolver a esfera e, em seguida
determinar o campo elétrico.

Introdução
A Lei de Gauss relaciona o campo elétrico nos
pontos de uma superfície gaussiana à carga
total envolvida pela superfície
Ou seja, se conhecemos o campo elétrico em
uma superfície gaussiana podemos determinar a
carga total envolvida pela superfície. Para
calcular o valor da carga precisamos calcular a
quantidade de campo elétrico que é interceptada
pela superfície gaussiana. A medida da
quantidade de campo interceptada, é conhecida
como fluxo, e será discutida a seguir.

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Fluxo
4 Lei de Gauss

Fluxo
Suponha que uma espira quadrada de área A seja exposta a um vento uniforme cuja velocidade é ⃗
v, e
seja Φ a vazão (por unidade de tempo) do ar através da espira.
Se ⃗
v é paralela ao plano da espira, o ar não passa pela espira, e portanto Φ é zero. Para um ângulo
intermediário θ, a vazão depende da componente de ⃗
v normal ao plano. Então a vazão através da espira é
Φ = (vcosθ)A
= ⃗
v ·⃗
A (1)

Fluxo
A palavra “fluxo” vem do latim e pode ser definida como “ato”ou “modo de fluir”. A partir da analise do fluxo
volumétrico de ar por uma espira podemos partir para uma interpretação mais abstrata. Como o conjunto de
todos os vetores de velocidade é um campo de velocidades, podemos interpretar a equação 1 como uma
expressão para o fluxo de campo de velocidades através da espira.

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Fluxo
4 Lei de Gauss

Fluxo de um Campo Elétrico
Considere uma superfície gaussiana arbitrária
(assimétrica) imersa em um campo elétrico não-
uniforme. Divide-se a superfície em quadrados
de área ∆A suficientemente pequenos para que
a curvatura local da superfície possa ser de-
sprezada e os quadrados possam ser consider-
ados planos. Dessa forma, o campo elétrico ⃗
E
pode ser considerado constante no interior de
cada quadrado; assim, para cada quadrado, os
vetores ∆⃗
A e ⃗
E fazem um certo ângulo θ. É im-
portante perceber que os vetores de área ∆⃗
A são
perpendiculares a superfície a apontam para fora
da superfície, logo;
Φ = ∑⃗
E · ∆⃗
A (2)
Ou seja, definimos, a priori, que o fluxo do Campo
Elétrico que atravessa uma superfície arbitrária é
dada pela soma algébrica dos fluxos de campo em
cada quadrado.

Fluxo de um Campo Elétrico
A definição exata do fluxo do campo elétrico
através de uma superfície fechada é obtida
fazendo a área dos quadrados tender a zero,
tornando-se uma área diferencial dA. Nesse caso,
os vetores área se tornam vetores diferenciais
d⃗
A. O somatório se torna uma integral e temos
a definição do fluxo do campo elétrico
Φ =
I
⃗
E · d⃗
A (3)
Φ =
I
⃗
E · d⃗
A =
Z
a
⃗
E · d⃗
A +
Z
b
⃗
E · d⃗
A +
Z
c
⃗
E · d⃗
A

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Fluxo
4 Lei de Gauss

Lei de Gauss
A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada (superfície
gaussiana) à carga total qenv que é envolvida por essa superfície.
ϵ0Φ = qenv (4)
substituindo o fluxo
ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A = qenv (5)
Nas equações [4] e [5] a carga total é a soma algébrica das cargas positivas e negativas envolvidas pela
superfície gaussiana. Podendo ser positiva, negativa ou nula. Incluímos o sinal, em vez de usar o valor
absoluto da carga envolvida, porque o sinal nos diz que: se qenv é positiva, o fluxo é para fora; se qenv é
negativa, o fluxo é para dentro. A carga do lado de fora da superfície, mesmo que seja grande ou esteja
próxima, não é incluída no termo qenv da lei de Gauss. Por outro lado, ⃗
E, é o campo elétrico produzido por
todas as cargas, tanto as que estão do lado de dentro da superfície de Gauss como as que estão do lado de
fora. Porém, a contribuição do campo elétrico produzido por uma carga do lado de fora da superfície para o
fluxo através da superfície é sempre zero, já que o número de linhas de campo que entram na superfície é
igual ao número que saem.

Lei de Gauss
Superfície S1: O campo elétrico aponta para fora
em todos os pontos da superfície; assim, o fluxo é
positivo e de acordo com a lei de Gauss, a carga
envolvida é positiva.
Superfície S2: O campo elétrico aponta para den-
tro em todos os pontos da superfície; assim, o
fluxo é negativo e de acordo com a lei de Gauss,
a carga envolvida é negativa.
Superfície S3: A carga total envolvida pela super-
fície é nula, isto é razoável, já que o número de
linhas de campo que entram é igual ao número de
linhas que saem.
Superfície S4: A carga total envolvida pela super-
fície é nula, isto é razoável, já que o número de
linhas de campo que entram é igual ao número de
linhas que saem.

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Fluxo
4 Lei de Gauss

Lei de Gauss e Lei de Coulomb
Como a lei de Gauss e de Coulomb são formas diferentes de escrever a mesma relação entre cargas e
campos em situações estáticas, deve ser possível demostrar umas das leis a partir da outra. Vamos
demonstrar a lei de Coulomb a partir da lei de Gauss e algumas considerações de simetria.
ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A = ϵ0
I
EdA = qenv (6)
ϵ0E
I
dA = q (7)
A integral agora é a soma de todos os elementos
de área dA da esfera e, portanto, é igual a área
da superfície da esfera, 4πr2.
ϵ0E(4πr2
) = q (8)
ou seja
E =
1
4πϵ0
q
r2
(9)

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Fluxo
4 Lei de Gauss

Um Condutor Carregado
A lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito dos condutores: Se uma carga
em excesso é introduzida em um condutor, a carga se concentra na superfície do condutor; o interior
do condutor continua a ser neutro.
Este comportamento é razoável, já que cargas de
mesmo sinal se repelem, por exemplo, o condu-
tor ao lado é um pedaço de cobre pendurado por
um fio isolante, com uma carga em excesso q
e uma superfície gaussiana em seu interior. O
campo elétrico no interior deve ser zero; se não
fosse assim o campo exerceria uma força sobre
os elétrons de condução e isso produziria uma
corrente elétrica. Em outras palavras haveria um
movimento (corrente) perpétuo no interior do con-
dutor, como isso não é possível o campo elétrico
deve ser nulo.

Um Condutor Carregado
Um campo elétrico interno existe durante um certo
tempo, enquanto o condutor estiver sendo car-
regado. Entretanto, como a carga logo se distribui
o campo interno se anula e as cargas param de se
mover. Dizemos que as cargas estão em equilíbrio
eletrostático. Se ⃗
E é zero em todos os pontos do
interior do condutor, deve ser zero em todos os
pontos da superfície gaussiana, já que a super-
fície escolhida, embora esteja próxima da super-
fície, fica no interior do condutor. Logo, o fluxo
que atravessa a superfície gaussiana também é
zero. E, de acordo com a lei de Gauss, a carga
total envolvida deve ser zero. Então, como o ex-
cesso de cargas não está no interior da superfície
de Gauss, só pode estar na superfície do condu-
tor.

Um Condutor Carregado com uma Cavidade Interna
O mesmo condutor agora está com uma cavi-
dade interna. Quando removemos material elet-
ricamente neutro para forma a cavidade não mu-
damos a distribuição de cargas nem do campo
elétrico. Colocando uma superfície gaussiana en-
volvendo a cavidade, próximo da superfície da
cavidade. Como ⃗
E é zero no interior do condu-
tor, o fluxo através da superfície também é zero.
Assim, a superfície não pode envolver nenhuma
carga. A conclusão é que não existe carga em ex-
cesso na superfície da cavidade; toda carga em
excesso permanece na superfície externa do con-
dutor.

Remoção do Condutor
− Suponha que de alguma forma fosse possível congelar as cargas em
excesso na superfície do condutor, e que o interior do condutor pudesse
ser removido quase que totalmente, restando uma fina camada. O
equivalente a aumentar a cavidade até que ocupe todo o condutor.
− O campo elétrico não sofreria nenhuma alteração: continuaria a ser
nulo no interior e permaneceria do mesmo modo no exterior.
− Isto mostra que o campo é criado pelas cargas e não pelo condutor.
O condutor constitui apenas um veículo para que as cargas assumam
suas posições de equilíbrio.

O Campo Elétrico Externo
A carga qenv envolvida pela superfície gaussiana
está na superfície do condutor e ocupa uma área
A. Se σ é a carga por unidade de área, qenv é
igual a σA. Quando substituímos qenv por σA e Φ
por EA, a lei de Gauss se torna
ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A = qenv
ϵ0EA = σA (10)
(11)
E =
σ
ϵ0
(12)

Tópicos da Aula
1 Introdução
2 Fluxo
4 Lei de Gauss

Aplicando a Lei de Gauss
Simetria Cilíndrica
ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A = qenv
ϵ0EAcosθ = λh
ϵ0E(2πrh)cos0 = λh
ϵ0E(2πrh) = λh (13)
E =
λ
2πϵ0r
(14)

Simetria Planar: Placa não-condutora
ϵ0
I
⃗
E · d⃗
A = qenv
ϵ0(EA + EA) = σA (15)
E =
σ
2ϵ0
(16)

Simetria Planar: Duas Placas Condutoras
Analisar situações “infinitas” permite obter boas aproximações para problemas reais. A equação [16] vale
também para uma placa não-condutora finita, contanto que esteja lindado com pontos próximos da placa e
razoavelmente distantes das bordas. A equação [14] se aplica a um par de placas condutoras finitas,
contanto que não estejamos lidando com pontos muito próximo das bordas.

Simetria Esférica
Vamos usar a lei de Gauss para demostrar os dois
teoremas das cascas.
Teorema 1
Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele
uma partícula carregada situada do lado de fora
da casca como se toda a carga estivesse situada
no centro.
Teorema 2
Se uma partícula carregada está situada no
interior de uma casca uniforme de cargas a casca
não exerce nenhuma força eletrostática sobre a
partícula.

Simetria Esférica
Então, temos uma casca esférica carregada
de carga total q e raio R e duas superfícies
gaussianas concêntricas, S1 e S2. Aplicando a lei
de Gauss à superfície S2, para o qual r ≥ R, o
resultado é
E =
1
4πϵ0
q
r2
(17)
Ou seja, este campo é o mesmo que seria calcu-
lado por uma carga pontual q localizada no centro
da casca. Assim, a força produzida por uma casca
de carga q sobre uma partícula carregada local-
izada do lado de fora da casca é igual à força pro-
duzida por uma partícula pontual de carga q situ-
ada no centro da casca. Fica assim demostrado o
primeiro teorema.

Simetria Esférica
Aplicando a lei de gauss à superfície S1, para o
qual r < R, obtemos:
E = 0 (18)
já que a superfície gaussiana não envolve nen-
huma carga. Assim, se existe uma partícula car-
regada no interior da casca a casca não exerce
nenhuma força sobre a partícula. Fica demostrado
o teorema 2.

Simetria Esférica
E =
1
4πϵ0
q′
r2
(campo em r ≤ R) (19)
ρ′
= ρ
q′
4
3 πr3
=
q
4
3 πR3
(20)
(21)
q′
= q
r3
R3
(22)
E =
q
4πϵ0R3

r (23)

Simetria Esférica
E =
q
4πϵ0R3

r
E =
1
4πϵ0
q
r2

Capítulo: Campos elétricos
Tarefa obrigatória Responder as questões do livro
TAREFA OBRIGATÓRIA:
LEITURA DO CAPÍTULO 22
RESPONDER TODOS OS EXERCÍCIOS DO REFERIDO CAPÍTULO
BONS ESTUDOS!
OBRIGADO!
Até a próxima aula!!

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