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Capítulo 23:
Lei de Gauss
 O Fluxo de um Campo Elétrico
 A Lei de Gauss
 A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb
 Um Condutor Carregado
 A Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica
 A Lei de Gauss: Simetria Plana
 A Lei de Gauss: Simetria Esférica
Cap. 23: Lei de Gauss
Cap. 23: Lei de Gauss
Definição
Definição:
A Lei de Gauss considera uma superfície fechada
(imaginária) que envolve a distribuição de cargas.
Essa superfície gaussiana, como é chamada, pode ter
qualquer forma, por isso devemos optar por uma
que facilite o calculo do campo, levando em
consideração as simetrias do problema.
Cap. 23: Lei de Gauss
O Fluxo
cosAvAvFluxo


cosAEAE

No caso do Fluxo Elétrico:
Onde: θ é o ângulo entre o vetor Campo Elétrico e o vetor normal à área A.E

Cap. 23: Lei de Gauss
O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana
é proporcional ao número de linhas de campo
elétrico que atravessam a superfície.
Definição:
O Fluxo Elétrico
P/ Superfícies
Gaussianas:
  dAnE ˆ

  dAnE ˆ

O vetor Normal, , sempre aponta para fora
da superfície Gaussiana
nˆ
Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo:
1. Um disco com raio r = 10 cm está orientado de
modo que seu vetor normal faça um ângulo de 30°
com o campo elétrico uniforme de módulo 2 x 103
N/C. (a) Qual é o fluxo do campo elétrico do disco? (b)
Qual o fluxo de campo elétrico depois que ele gira e a
normal fica perpendicular ao vetor campo elétrico? (c)
Qual o fluxo elétrico através do disco quando sua
normal é paralela à E? (54 N.m2/C; 0; 63 N.m2/C)
2. Um campo elétrico dado ela expressão abaixo
atravessa um cubo gaussiano com 2,0 m de aresta,
posicionado como na figura ao lado. Determine o
fluxo de campo elétrico através das faces: (a)
superior; (b) inferior; (c) esquerda ; (d) traseira. (e)
Qual o fluxo elétrico total através do cubo?
a)-12 N.m2/C; b) 12 N.m2/C; c) -16N.m2/C; d) 0;
e) 0
  CNjiyE /ˆ3ˆ4 

Cap. 23: Lei de Gauss
Definição:
0
intˆ

q
dAnE  

A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico em uma
superfície fechada (Gaussiana) com a carga elétrica contida no
interior dessa superfície.
 O fluxo elétrico não depende da geometria da
superfície fechada, apenas da carga elétrica
contida no seu interior.
Se a carga for positiva, o campo elétrico aponta
para fora da superfície.
 Se a carga for negativa, o campo elétrico
aponta para dentro da superfície.
 O vetor normal à superfície, , sempre aponta
para fora da superfície.
nˆ
Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo:
1. Sabendo que q1 = q4 = 3,1 nC, q2 = q5 = - 5,9 nC e q3 =
- 3,1 nC, determine o fluxo do campo elétrico através da
superfície S. (- 670 N.m2/C)
0
intˆ

q
dAnE  

23 – 9. Observa-se experimentalmente que o campo elétrico em uma certa região da
atmosfera terrestre aponta para baixo. A uma altura de 300 m o campo tem módulo de 60
N/C, e a uma altura de 200 m o campo tem módulo de 100 N/C. Determine a carga em
excesso contida em um cubo de 100 m de aresta e faces horizontais a 200 m e 300 m. (3,54
μC)
Cap. 23: Lei de Gauss
Obtendo a Lei de Coulomb para uma Carga Pontual
0
intˆ

q
dAnE  

Cuidados na Escolha da Superfície
Gaussiana!
 Escolher uma superfície que envolve a carga
que facilite o calculo da área.
Essa superfície deve conter o ponto no qual o
campo elétrico deve ser determinado.
 Ao longo dessa superfície o campo deve
apresentar uma dependência espacial conhecida
(de preferência constante).
2
int
04
1
r
q
E


0
int2
)4(
 q
rE  r
r
q
E ˆ
4
1
2
int
0


Cap. 23: Lei de Gauss
Um Condutor Carregado
 Em um condutor as cargas em excesso se
movimentam com bastante facilidade.
 Devido a repulsão coulombiana essas cargas
migram para a superfície externa do condutor.
Isso ocorre em um intervalo de tempo muito
curto, quase instantaneamente.
As cargas se distribuem na superfície externa de
modo a minimizar a energia do sistema.
q
1
2
q
3
E1 = 0
E2 = 0
E3 ≠ 0
A gaiola de Faraday
Em um
condutor no
regime estático
E = 0
Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo: Esfera Condutora
2
04
1
r
q
E


Campo elétrico de uma carga puntiforme
Rr Ser
Superfície
Gaussiana
Ad
E
R
Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma
partícula carregada situada do lado de fora da casca
como se toda a carga estivesse situada no centro.
Rr Se
0E
r Superfície
Gaussiana
R
2
1
r
E 
R
Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca uniforme
de cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula.
Cap. 23: Lei de Gauss
Distribuição Esférica de Cargas (Isolantes)
Apenas as cargas contidas no
interior da esfera de raio r
contribuem para gerar campo
elétrico no ponto p.
int
3
3
3
4
3
4
q
r
Q
R




0
intˆ

q
dAnE 

3
3
int
R
Qrq 
Se r < R:
3
0
3
2
)4(
R
QrrE

 
3
04 R
QrE


Cap. 23: Lei de Gauss
Distribuição Esférica
23.19) Uma esfera condutora uniformemente carregada com
1,2m de diâmetro possui uma densidade de carga superficial
de 8,1 µC/m2. (a) determine a carga da esfera. (b) Determine o
fluxo elétrico através da superfície da esfera. (3,66 x 10-5 C;
4,14x106 Nm2/C)
Duas cascas esféricas concêntricas carregadas tem raios de
10cm e 15cm. A carga da casca menor é 4x10-8 C, e da casca
maior é 2x10-8 C. Determine o campo elétrico (a) em r = 5 cm,
(b) r = 12 cm e (c) r = 20 cm. (0 N/C; 2,5x104 N/C; 1,35x104
N/C)
Exemplos:
Cap. 23: Lei de Gauss
Distribuição Esférica
23.51) Na figura uma esfera maciça não-
condutora de raio a a = 2 cm é concêntrica
com uma casca esférica condutora de raio
interno b = 2a e raio externo c = 2,5 a. A
esfera possui um carga q1 = +5 fC e a casca
possui uma carga q2 = -5 fC. Determine o
módulo do campo elétrico (a) em r = 0; (b)
em r = a/2; (c) em r = a; (d) em r =1,5 a; (e)
em r =3,5 a.
(a) 0; b) 5.62x10-2 N/C ;c) 0.112 N/C; d)
0.0499 N/C; e) 0)
Exemplos:
Cap. 23: Lei de Gauss
Distribuição Linear Infinita de Cargas
0
intˆ

q
dAnE 

nE ˆ//

h
qint
0
)2(

 hrhE 
r
r
E ˆ
2
1
0




Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo: Distribuição Linear de Cargas
Uma casca cilíndrica de comprimento 200m e raio 6cm tem uma
densidade superficial de carga uniforme de 9 nC/m2.(a) Qual a carga
total na casca? Determine o campo elétrico nas seguintes distâncias
radiais do eixo do cilindro. (b) 2 cm; (c) 5,9 cm, (d) 6,1 cm e (e) 10 cm.
(679 nC; 0; 0; 1000 N/C; 610 N/C).
rhA 2
r
r
E ˆ
2
1
0



0
intˆ

q
dAnE 

Cap. 23: Lei de Gauss
Superfície Condutora Infinita
0
intˆ

q
dAnE 

nE ˆ//

0
AEA 
0
E
Cap. 23: Lei de Gauss
0
intˆ

q
dAnE 

nE ˆ//

0
AEAEA 
02
E
Superfície Fina, não Condutora, Infinita
Cap. 23: Lei de Gauss
Entre Duas Placas Condutora Infinita
0
intˆ

q
dAnE 

nE ˆ//

0
12

 A
EA 
0
E
A
q12
Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo: Placas Infinitas
A figura mostra partes de duas placas de grande extensão, paralelas, não-
condutoras, ambas com uma carga uniforme dos lados. Os valores das
densidades superficiais de cargas são σ+ = 6,8µC/m2 e σ- = -4,3µC/m2
.Determine o campo elétrico (a) à esquerda; (b) entre e (c) à direita das
placas. (1,4x105 N/C; 6,3x105 N/C)
Cap. 23: Lei de Gauss
Lista de Exercícios
1, 3, 6, 7, 12, 13, 15, 19, 21, 25,
27, 31, 39, 41, 43, 49, 51, 53, 57, 81
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física:
Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3.
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2.
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física:
Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.

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Cap 23 lei de gauss

  • 2.  O Fluxo de um Campo Elétrico  A Lei de Gauss  A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb  Um Condutor Carregado  A Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica  A Lei de Gauss: Simetria Plana  A Lei de Gauss: Simetria Esférica Cap. 23: Lei de Gauss
  • 3. Cap. 23: Lei de Gauss Definição Definição: A Lei de Gauss considera uma superfície fechada (imaginária) que envolve a distribuição de cargas. Essa superfície gaussiana, como é chamada, pode ter qualquer forma, por isso devemos optar por uma que facilite o calculo do campo, levando em consideração as simetrias do problema.
  • 4. Cap. 23: Lei de Gauss O Fluxo cosAvAvFluxo   cosAEAE  No caso do Fluxo Elétrico: Onde: θ é o ângulo entre o vetor Campo Elétrico e o vetor normal à área A.E 
  • 5. Cap. 23: Lei de Gauss O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana é proporcional ao número de linhas de campo elétrico que atravessam a superfície. Definição: O Fluxo Elétrico P/ Superfícies Gaussianas:   dAnE ˆ    dAnE ˆ  O vetor Normal, , sempre aponta para fora da superfície Gaussiana nˆ
  • 6. Cap. 23: Lei de Gauss Exemplo: 1. Um disco com raio r = 10 cm está orientado de modo que seu vetor normal faça um ângulo de 30° com o campo elétrico uniforme de módulo 2 x 103 N/C. (a) Qual é o fluxo do campo elétrico do disco? (b) Qual o fluxo de campo elétrico depois que ele gira e a normal fica perpendicular ao vetor campo elétrico? (c) Qual o fluxo elétrico através do disco quando sua normal é paralela à E? (54 N.m2/C; 0; 63 N.m2/C) 2. Um campo elétrico dado ela expressão abaixo atravessa um cubo gaussiano com 2,0 m de aresta, posicionado como na figura ao lado. Determine o fluxo de campo elétrico através das faces: (a) superior; (b) inferior; (c) esquerda ; (d) traseira. (e) Qual o fluxo elétrico total através do cubo? a)-12 N.m2/C; b) 12 N.m2/C; c) -16N.m2/C; d) 0; e) 0   CNjiyE /ˆ3ˆ4  
  • 7. Cap. 23: Lei de Gauss Definição: 0 intˆ  q dAnE    A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico em uma superfície fechada (Gaussiana) com a carga elétrica contida no interior dessa superfície.  O fluxo elétrico não depende da geometria da superfície fechada, apenas da carga elétrica contida no seu interior. Se a carga for positiva, o campo elétrico aponta para fora da superfície.  Se a carga for negativa, o campo elétrico aponta para dentro da superfície.  O vetor normal à superfície, , sempre aponta para fora da superfície. nˆ
  • 8. Cap. 23: Lei de Gauss Exemplo: 1. Sabendo que q1 = q4 = 3,1 nC, q2 = q5 = - 5,9 nC e q3 = - 3,1 nC, determine o fluxo do campo elétrico através da superfície S. (- 670 N.m2/C) 0 intˆ  q dAnE    23 – 9. Observa-se experimentalmente que o campo elétrico em uma certa região da atmosfera terrestre aponta para baixo. A uma altura de 300 m o campo tem módulo de 60 N/C, e a uma altura de 200 m o campo tem módulo de 100 N/C. Determine a carga em excesso contida em um cubo de 100 m de aresta e faces horizontais a 200 m e 300 m. (3,54 μC)
  • 9. Cap. 23: Lei de Gauss Obtendo a Lei de Coulomb para uma Carga Pontual 0 intˆ  q dAnE    Cuidados na Escolha da Superfície Gaussiana!  Escolher uma superfície que envolve a carga que facilite o calculo da área. Essa superfície deve conter o ponto no qual o campo elétrico deve ser determinado.  Ao longo dessa superfície o campo deve apresentar uma dependência espacial conhecida (de preferência constante). 2 int 04 1 r q E   0 int2 )4(  q rE  r r q E ˆ 4 1 2 int 0  
  • 10. Cap. 23: Lei de Gauss Um Condutor Carregado  Em um condutor as cargas em excesso se movimentam com bastante facilidade.  Devido a repulsão coulombiana essas cargas migram para a superfície externa do condutor. Isso ocorre em um intervalo de tempo muito curto, quase instantaneamente. As cargas se distribuem na superfície externa de modo a minimizar a energia do sistema. q 1 2 q 3 E1 = 0 E2 = 0 E3 ≠ 0 A gaiola de Faraday Em um condutor no regime estático E = 0
  • 11. Cap. 23: Lei de Gauss Exemplo: Esfera Condutora 2 04 1 r q E   Campo elétrico de uma carga puntiforme Rr Ser Superfície Gaussiana Ad E R Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga estivesse situada no centro. Rr Se 0E r Superfície Gaussiana R 2 1 r E  R Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca uniforme de cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula.
  • 12. Cap. 23: Lei de Gauss Distribuição Esférica de Cargas (Isolantes) Apenas as cargas contidas no interior da esfera de raio r contribuem para gerar campo elétrico no ponto p. int 3 3 3 4 3 4 q r Q R     0 intˆ  q dAnE   3 3 int R Qrq  Se r < R: 3 0 3 2 )4( R QrrE    3 04 R QrE  
  • 13. Cap. 23: Lei de Gauss Distribuição Esférica 23.19) Uma esfera condutora uniformemente carregada com 1,2m de diâmetro possui uma densidade de carga superficial de 8,1 µC/m2. (a) determine a carga da esfera. (b) Determine o fluxo elétrico através da superfície da esfera. (3,66 x 10-5 C; 4,14x106 Nm2/C) Duas cascas esféricas concêntricas carregadas tem raios de 10cm e 15cm. A carga da casca menor é 4x10-8 C, e da casca maior é 2x10-8 C. Determine o campo elétrico (a) em r = 5 cm, (b) r = 12 cm e (c) r = 20 cm. (0 N/C; 2,5x104 N/C; 1,35x104 N/C) Exemplos:
  • 14. Cap. 23: Lei de Gauss Distribuição Esférica 23.51) Na figura uma esfera maciça não- condutora de raio a a = 2 cm é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b = 2a e raio externo c = 2,5 a. A esfera possui um carga q1 = +5 fC e a casca possui uma carga q2 = -5 fC. Determine o módulo do campo elétrico (a) em r = 0; (b) em r = a/2; (c) em r = a; (d) em r =1,5 a; (e) em r =3,5 a. (a) 0; b) 5.62x10-2 N/C ;c) 0.112 N/C; d) 0.0499 N/C; e) 0) Exemplos:
  • 15. Cap. 23: Lei de Gauss Distribuição Linear Infinita de Cargas 0 intˆ  q dAnE   nE ˆ//  h qint 0 )2(   hrhE  r r E ˆ 2 1 0    
  • 16. Cap. 23: Lei de Gauss Exemplo: Distribuição Linear de Cargas Uma casca cilíndrica de comprimento 200m e raio 6cm tem uma densidade superficial de carga uniforme de 9 nC/m2.(a) Qual a carga total na casca? Determine o campo elétrico nas seguintes distâncias radiais do eixo do cilindro. (b) 2 cm; (c) 5,9 cm, (d) 6,1 cm e (e) 10 cm. (679 nC; 0; 0; 1000 N/C; 610 N/C). rhA 2 r r E ˆ 2 1 0    0 intˆ  q dAnE  
  • 17. Cap. 23: Lei de Gauss Superfície Condutora Infinita 0 intˆ  q dAnE   nE ˆ//  0 AEA  0 E
  • 18. Cap. 23: Lei de Gauss 0 intˆ  q dAnE   nE ˆ//  0 AEAEA  02 E Superfície Fina, não Condutora, Infinita
  • 19. Cap. 23: Lei de Gauss Entre Duas Placas Condutora Infinita 0 intˆ  q dAnE   nE ˆ//  0 12   A EA  0 E A q12
  • 20. Cap. 23: Lei de Gauss Exemplo: Placas Infinitas A figura mostra partes de duas placas de grande extensão, paralelas, não- condutoras, ambas com uma carga uniforme dos lados. Os valores das densidades superficiais de cargas são σ+ = 6,8µC/m2 e σ- = -4,3µC/m2 .Determine o campo elétrico (a) à esquerda; (b) entre e (c) à direita das placas. (1,4x105 N/C; 6,3x105 N/C)
  • 21. Cap. 23: Lei de Gauss Lista de Exercícios 1, 3, 6, 7, 12, 13, 15, 19, 21, 25, 27, 31, 39, 41, 43, 49, 51, 53, 57, 81 Referências HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física: Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3. TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2. SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física: Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.