O capítulo descreve a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada com a carga elétrica contida no interior dessa superfície. A lei é aplicada para distribuições de cargas pontuais, esféricas, cilíndricas, planas e em condutores, calculando o campo elétrico em cada caso. Exemplos ilustram o cálculo do fluxo e campo elétrico para diferentes configurações de cargas.
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
Aplicações da equação de Schrödinger independente do tempoLucas Guimaraes
Equação de Schrödinger; Interpretação probabilística da função de onda; Normalização; Equação de Schrödinger independente do tempo; Poço potencial quadrado infinito; Poço potencial quadrado finito.
(apresentação publicada com autorização do autor).
Física – Exercícios Resolvovidos Dinâmica dos Movimentos Curvos - Parte 1Joana Figueredo
Física - VideoAulas Sobre Exercícios Resolvovidos Dinâmica dos Movimentos Curvos - Parte 1 – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeFisicaApoio.com
Sumário
• Fluxo de um campo elétrico
• Resolução de um exemplo envolvendo cálculo de fluxo
• Lei de Gauss na forma integral
• Resolução de exemplos envolvendo a lei de Gauss
• Resolução de problemas da Lista 3
• Lei de Gauss na forma diferencial
• Resolução de problemas da Lista
Meterial de Estudo
Capítulo 23 do Halliday volume 3 e capítulo 3 do
Moysés volume 3
Considere um campo elétrico atravessando uma superfície
de área
A. O fluxo de campo elétrico
Φ através das áreas 1,
2 e 3, com tamanho
ΔA, é representado por:
em que
θ é o ângulo entre os vetores
E
e
ΔA. Essa equação
mostra que:
Φ = ⋅∆ = ∆ E A E A (
)cos
θ
•
Φ > 0: positivo – o fluxo sai da superfície,
•
Φ < 0: negativo – o fluxo entra na superfície,
•
Φ = 0: não há fluxo atravessando a superfície.
fluxo de campo elétrico
exemplo: O cubo tem 1,40 m de aresta e está orientado da forma mostrada na figura em uma
região onde existe um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo elétrico através
da face direita do cubo se o campo elétrico, em newtons por coulomb, é dado por
(a) 6,00i, (b) –2,00j, (c) –3,00i + 4,00k. (d) Qual é a o fluxo total através do cubo
nos três casos
Aplicação da Lei de Gauss
Considere uma carga +q isolada no vácuo. Calcule o campo elétrico gerado
por essa carga em um ponto localizado a uma distância
r. Use a lei de Gauss.
Como uma carga pontual gera um campo elétrico com simetria radial, deve-se
envolver a carga com uma superfície gaussiana esférica de raio
r. O fluxo será
calcula através da superfície, logo o seu raio deve ser igual à distância em o
exercício solicita o cálculo do campo. Portanto:
∫ E. dA= q/ε
em que dA é o vetor elemento de área da superfície esférica e tem direção radial positiva, igual o campo
E (1ª
condição). Considerando que a partícula está no centro da esfera, todos os elementos dA são equidistantes da
carga. Isso significa que o campo elétrico é constante através de toda a superfície (2ª condição). Assim,
E não
depende de dA na integral acima e podemos escrever
exercício
Assumindo valores arbitrários
a = 1,0 m,
b = 3,0 m,
c = 3,5 m,
ρ = 10 nC/m3, podemos esboçar o
comportamento do campo elétrico em função do raio
r com as soluções apresentadas abaixo.
Para encontrar o campo elétrico na região
r
≥
c, devemos
envolver toda a esfera de raio
a mais a casca esférica com uma
superfície gaussiana de raio
r, conforme descrito pela figura ao
lado. A simetria esférica do problema e da superfície gaussiana
permitem a aplicação das condições 1 e 2:
Física – Exercícios Resolvovidos Dinâmica dos Movimentos Curvos - Parte 1Joana Figueredo
Física - VideoAulas Sobre Exercícios Resolvovidos Dinâmica dos Movimentos Curvos - Parte 1 – Faça o Download desse material em nosso site. Acesse www.AulasDeFisicaApoio.com
Sumário
• Fluxo de um campo elétrico
• Resolução de um exemplo envolvendo cálculo de fluxo
• Lei de Gauss na forma integral
• Resolução de exemplos envolvendo a lei de Gauss
• Resolução de problemas da Lista 3
• Lei de Gauss na forma diferencial
• Resolução de problemas da Lista
Meterial de Estudo
Capítulo 23 do Halliday volume 3 e capítulo 3 do
Moysés volume 3
Considere um campo elétrico atravessando uma superfície
de área
A. O fluxo de campo elétrico
Φ através das áreas 1,
2 e 3, com tamanho
ΔA, é representado por:
em que
θ é o ângulo entre os vetores
E
e
ΔA. Essa equação
mostra que:
Φ = ⋅∆ = ∆ E A E A (
)cos
θ
•
Φ > 0: positivo – o fluxo sai da superfície,
•
Φ < 0: negativo – o fluxo entra na superfície,
•
Φ = 0: não há fluxo atravessando a superfície.
fluxo de campo elétrico
exemplo: O cubo tem 1,40 m de aresta e está orientado da forma mostrada na figura em uma
região onde existe um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo elétrico através
da face direita do cubo se o campo elétrico, em newtons por coulomb, é dado por
(a) 6,00i, (b) –2,00j, (c) –3,00i + 4,00k. (d) Qual é a o fluxo total através do cubo
nos três casos
Aplicação da Lei de Gauss
Considere uma carga +q isolada no vácuo. Calcule o campo elétrico gerado
por essa carga em um ponto localizado a uma distância
r. Use a lei de Gauss.
Como uma carga pontual gera um campo elétrico com simetria radial, deve-se
envolver a carga com uma superfície gaussiana esférica de raio
r. O fluxo será
calcula através da superfície, logo o seu raio deve ser igual à distância em o
exercício solicita o cálculo do campo. Portanto:
∫ E. dA= q/ε
em que dA é o vetor elemento de área da superfície esférica e tem direção radial positiva, igual o campo
E (1ª
condição). Considerando que a partícula está no centro da esfera, todos os elementos dA são equidistantes da
carga. Isso significa que o campo elétrico é constante através de toda a superfície (2ª condição). Assim,
E não
depende de dA na integral acima e podemos escrever
exercício
Assumindo valores arbitrários
a = 1,0 m,
b = 3,0 m,
c = 3,5 m,
ρ = 10 nC/m3, podemos esboçar o
comportamento do campo elétrico em função do raio
r com as soluções apresentadas abaixo.
Para encontrar o campo elétrico na região
r
≥
c, devemos
envolver toda a esfera de raio
a mais a casca esférica com uma
superfície gaussiana de raio
r, conforme descrito pela figura ao
lado. A simetria esférica do problema e da superfície gaussiana
permitem a aplicação das condições 1 e 2:
LIVRO MPARADIDATICO SOBRE BULLYING PARA TRABALHAR COM ALUNOS EM SALA DE AULA OU LEITURA EXTRA CLASSE, COM FOCO NUM PROBLEMA CRUCIAL E QUE ESTÁ TÃO PRESENTE NAS ESCOLAS BRASILEIRAS. OS ALUNOS PODEM LER EM SALA DE AULA. MATERIAL EXCELENTE PARA SER ADOTADO NAS ESCOLAS
Slides Lição 9, Betel, Ordenança para uma vida de santificação, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 9, Betel, Ordenança para uma vida de santificação, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, 2° TRIMESTRE DE 2024, ADULTOS, EDITORA BETEL, TEMA, ORDENANÇAS BÍBLICAS, Doutrina Fundamentais Imperativas aos Cristãos para uma vida bem-sucedida e de Comunhão com DEUS, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Comentários, Bispo Abner Ferreira, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Slides Lição 9, Central Gospel, As Bodas Do Cordeiro, 1Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 9, Central Gospel, As Bodas Do Cordeiro, 1Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Revista ano 11, nº 1, Revista Estudo Bíblico Jovens E Adultos, Central Gospel, 2º Trimestre de 2024, Professor, Tema, Os Grandes Temas Do Fim, Comentarista, Pr. Joá Caitano, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique
Sequência Didática - Cordel para Ensino Fundamental ILetras Mágicas
Sequência didática para trabalhar o gênero literário CORDEL, a sugestão traz o trabalho com verbos, mas pode ser adequado com base a sua realidade, retirar dos textos palavras que iniciam com R ou pintar as palavras dissílabas ...
Slides Lição 10, CPAD, Desenvolvendo uma Consciência de Santidade, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 10, CPAD, Desenvolvendo uma Consciência de Santidade, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Lições Bíblicas, 2º Trimestre de 2024, adultos, Tema, A CARREIRA QUE NOS ESTÁ PROPOSTA, O CAMINHO DA SALVAÇÃO, SANTIDADE E PERSEVERANÇA PARA CHEGAR AO CÉU, Coment Osiel Gomes, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, de Almeida Silva, tel-What, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
livro em pdf para professores da educação de jovens e adultos dos anos iniciais ( alfabetização e 1º ano)- material excelente para quem trabalha com turmas de eja. Material para quem dar aula na educação de jovens e adultos . excelente material para professores
Projeto de articulação curricular:
"aLeR+ o Ambiente - Os animais são nossos amigos" - Seleção de poemas da obra «Bicho em perigo», de Maria Teresa Maia Gonzalez
proposta curricular para educação de jovens e adultos- Língua portuguesa- anos finais do ensino fundamental (6º ao 9º ano). Planejamento de unidades letivas para professores da EJA da disciplina língua portuguesa- pode ser trabalhado nos dois segmentos - proposta para trabalhar com alunos da EJA com a disciplina língua portuguesa.Sugestão de proposta curricular da disciplina português para turmas de educação de jovens e adultos - ensino fundamental. A proposta curricular da EJa lingua portuguesa traz sugestões para professores dos anos finais (6º ao 9º ano), sabendo que essa modalidade deve ser trabalhada com metodologias diversificadas para que o aluno não desista de estudar.
2. O Fluxo de um Campo Elétrico
A Lei de Gauss
A Lei de Gauss e a Lei de Coulomb
Um Condutor Carregado
A Lei de Gauss: Simetria Cilíndrica
A Lei de Gauss: Simetria Plana
A Lei de Gauss: Simetria Esférica
Cap. 23: Lei de Gauss
3. Cap. 23: Lei de Gauss
Definição
Definição:
A Lei de Gauss considera uma superfície fechada
(imaginária) que envolve a distribuição de cargas.
Essa superfície gaussiana, como é chamada, pode ter
qualquer forma, por isso devemos optar por uma
que facilite o calculo do campo, levando em
consideração as simetrias do problema.
4. Cap. 23: Lei de Gauss
O Fluxo
cosAvAvFluxo
cosAEAE
No caso do Fluxo Elétrico:
Onde: θ é o ângulo entre o vetor Campo Elétrico e o vetor normal à área A.E
5. Cap. 23: Lei de Gauss
O fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana
é proporcional ao número de linhas de campo
elétrico que atravessam a superfície.
Definição:
O Fluxo Elétrico
P/ Superfícies
Gaussianas:
dAnE ˆ
dAnE ˆ
O vetor Normal, , sempre aponta para fora
da superfície Gaussiana
nˆ
6. Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo:
1. Um disco com raio r = 10 cm está orientado de
modo que seu vetor normal faça um ângulo de 30°
com o campo elétrico uniforme de módulo 2 x 103
N/C. (a) Qual é o fluxo do campo elétrico do disco? (b)
Qual o fluxo de campo elétrico depois que ele gira e a
normal fica perpendicular ao vetor campo elétrico? (c)
Qual o fluxo elétrico através do disco quando sua
normal é paralela à E? (54 N.m2/C; 0; 63 N.m2/C)
2. Um campo elétrico dado ela expressão abaixo
atravessa um cubo gaussiano com 2,0 m de aresta,
posicionado como na figura ao lado. Determine o
fluxo de campo elétrico através das faces: (a)
superior; (b) inferior; (c) esquerda ; (d) traseira. (e)
Qual o fluxo elétrico total através do cubo?
a)-12 N.m2/C; b) 12 N.m2/C; c) -16N.m2/C; d) 0;
e) 0
CNjiyE /ˆ3ˆ4
7. Cap. 23: Lei de Gauss
Definição:
0
intˆ
q
dAnE
A Lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico em uma
superfície fechada (Gaussiana) com a carga elétrica contida no
interior dessa superfície.
O fluxo elétrico não depende da geometria da
superfície fechada, apenas da carga elétrica
contida no seu interior.
Se a carga for positiva, o campo elétrico aponta
para fora da superfície.
Se a carga for negativa, o campo elétrico
aponta para dentro da superfície.
O vetor normal à superfície, , sempre aponta
para fora da superfície.
nˆ
8. Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo:
1. Sabendo que q1 = q4 = 3,1 nC, q2 = q5 = - 5,9 nC e q3 =
- 3,1 nC, determine o fluxo do campo elétrico através da
superfície S. (- 670 N.m2/C)
0
intˆ
q
dAnE
23 – 9. Observa-se experimentalmente que o campo elétrico em uma certa região da
atmosfera terrestre aponta para baixo. A uma altura de 300 m o campo tem módulo de 60
N/C, e a uma altura de 200 m o campo tem módulo de 100 N/C. Determine a carga em
excesso contida em um cubo de 100 m de aresta e faces horizontais a 200 m e 300 m. (3,54
μC)
9. Cap. 23: Lei de Gauss
Obtendo a Lei de Coulomb para uma Carga Pontual
0
intˆ
q
dAnE
Cuidados na Escolha da Superfície
Gaussiana!
Escolher uma superfície que envolve a carga
que facilite o calculo da área.
Essa superfície deve conter o ponto no qual o
campo elétrico deve ser determinado.
Ao longo dessa superfície o campo deve
apresentar uma dependência espacial conhecida
(de preferência constante).
2
int
04
1
r
q
E
0
int2
)4(
q
rE r
r
q
E ˆ
4
1
2
int
0
10. Cap. 23: Lei de Gauss
Um Condutor Carregado
Em um condutor as cargas em excesso se
movimentam com bastante facilidade.
Devido a repulsão coulombiana essas cargas
migram para a superfície externa do condutor.
Isso ocorre em um intervalo de tempo muito
curto, quase instantaneamente.
As cargas se distribuem na superfície externa de
modo a minimizar a energia do sistema.
q
1
2
q
3
E1 = 0
E2 = 0
E3 ≠ 0
A gaiola de Faraday
Em um
condutor no
regime estático
E = 0
11. Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo: Esfera Condutora
2
04
1
r
q
E
Campo elétrico de uma carga puntiforme
Rr Ser
Superfície
Gaussiana
Ad
E
R
Uma casca uniforme de cargas atrai ou repele uma
partícula carregada situada do lado de fora da casca
como se toda a carga estivesse situada no centro.
Rr Se
0E
r Superfície
Gaussiana
R
2
1
r
E
R
Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca uniforme
de cargas a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula.
12. Cap. 23: Lei de Gauss
Distribuição Esférica de Cargas (Isolantes)
Apenas as cargas contidas no
interior da esfera de raio r
contribuem para gerar campo
elétrico no ponto p.
int
3
3
3
4
3
4
q
r
Q
R
0
intˆ
q
dAnE
3
3
int
R
Qrq
Se r < R:
3
0
3
2
)4(
R
QrrE
3
04 R
QrE
13. Cap. 23: Lei de Gauss
Distribuição Esférica
23.19) Uma esfera condutora uniformemente carregada com
1,2m de diâmetro possui uma densidade de carga superficial
de 8,1 µC/m2. (a) determine a carga da esfera. (b) Determine o
fluxo elétrico através da superfície da esfera. (3,66 x 10-5 C;
4,14x106 Nm2/C)
Duas cascas esféricas concêntricas carregadas tem raios de
10cm e 15cm. A carga da casca menor é 4x10-8 C, e da casca
maior é 2x10-8 C. Determine o campo elétrico (a) em r = 5 cm,
(b) r = 12 cm e (c) r = 20 cm. (0 N/C; 2,5x104 N/C; 1,35x104
N/C)
Exemplos:
14. Cap. 23: Lei de Gauss
Distribuição Esférica
23.51) Na figura uma esfera maciça não-
condutora de raio a a = 2 cm é concêntrica
com uma casca esférica condutora de raio
interno b = 2a e raio externo c = 2,5 a. A
esfera possui um carga q1 = +5 fC e a casca
possui uma carga q2 = -5 fC. Determine o
módulo do campo elétrico (a) em r = 0; (b)
em r = a/2; (c) em r = a; (d) em r =1,5 a; (e)
em r =3,5 a.
(a) 0; b) 5.62x10-2 N/C ;c) 0.112 N/C; d)
0.0499 N/C; e) 0)
Exemplos:
15. Cap. 23: Lei de Gauss
Distribuição Linear Infinita de Cargas
0
intˆ
q
dAnE
nE ˆ//
h
qint
0
)2(
hrhE
r
r
E ˆ
2
1
0
16. Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo: Distribuição Linear de Cargas
Uma casca cilíndrica de comprimento 200m e raio 6cm tem uma
densidade superficial de carga uniforme de 9 nC/m2.(a) Qual a carga
total na casca? Determine o campo elétrico nas seguintes distâncias
radiais do eixo do cilindro. (b) 2 cm; (c) 5,9 cm, (d) 6,1 cm e (e) 10 cm.
(679 nC; 0; 0; 1000 N/C; 610 N/C).
rhA 2
r
r
E ˆ
2
1
0
0
intˆ
q
dAnE
17. Cap. 23: Lei de Gauss
Superfície Condutora Infinita
0
intˆ
q
dAnE
nE ˆ//
0
AEA
0
E
18. Cap. 23: Lei de Gauss
0
intˆ
q
dAnE
nE ˆ//
0
AEAEA
02
E
Superfície Fina, não Condutora, Infinita
19. Cap. 23: Lei de Gauss
Entre Duas Placas Condutora Infinita
0
intˆ
q
dAnE
nE ˆ//
0
12
A
EA
0
E
A
q12
20. Cap. 23: Lei de Gauss
Exemplo: Placas Infinitas
A figura mostra partes de duas placas de grande extensão, paralelas, não-
condutoras, ambas com uma carga uniforme dos lados. Os valores das
densidades superficiais de cargas são σ+ = 6,8µC/m2 e σ- = -4,3µC/m2
.Determine o campo elétrico (a) à esquerda; (b) entre e (c) à direita das
placas. (1,4x105 N/C; 6,3x105 N/C)
21. Cap. 23: Lei de Gauss
Lista de Exercícios
1, 3, 6, 7, 12, 13, 15, 19, 21, 25,
27, 31, 39, 41, 43, 49, 51, 53, 57, 81
Referências
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J.; Fundamentos de Física:
Eletromagnetismo. 8a ed. Rio de janeiro: LTC, 2009. v3.
TIPLER, P. A.; Física para Cientistas e Engenheiros. 4a ed, LTC, 2000. v2.
SEARS, F.; ZEMANSKY, M.W.; YOUNG, H.; FREEDMAN, R.A.; Física:
Eletromagnetismo. 12a ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley, 2008. v3.