derivadas

1. MATERIAL PARA ESTUDO DAS DERIVADAS DE UMA FUNÇÃO
DADA UMA FUNÇÃO F(X) , A DERIVADA DESTA FUNÇÃO É A TAXA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO “Y”
PARA PEQUENAS VARIAÇÕES EM “X” (VARIÁVEL)
‫ܨ‬ሺܺሻ = ܻ
Δ‫ݕ‬
Δ‫ݔ‬
=
݀‫ݕ‬
݀‫ݔ‬
= ‫ܨ‬ᇱሺܺሻ ݁‫ܽݑݍ‬çã‫1 ݋‬
O valor da taxa de variação é definido para o “em torno” de um ponto específico da função Y.
Da equação 1 temos: dy = F’ሺxሻ. dx
Quando as variações são pequenas, ∆‫ݕ‬ ≅ ݀‫ݔ∆ ݁ ݕ‬ ≅ ݀‫ ݔ‬ , portanto podemos calcular o impacto
em y (ou seja ∆y) de uma pequena variação em x (ou seja ∆x) pela fórmula:
∆y = F’ሺxሻ . ∆x
Exemplo 1
Depois de um longo período de seca, um pedreiro decidiu construir uma cisterna de concreto no formato
de um cubo no fundo do quintal de sua casa. O cubo deveria ter como medida interna uma aresta de 4
metros, para que o volume armazenado de água fosse de 64 m³ de água (64.000 litros). O volume de um
cubo é calculado pela fórmula V = a³ , onde “a” é a medida da aresta do cubo. Responda:
1) Qual o significado de
ௗ௏
ௗ௔
? Qual o valor de
ௗ௏
ௗ௔
para a = 4 metros e seu significado?
Temos inicialmente que V = a³ , ou seja V = V(a) = a³ (o volume V é uma função da variável aresta “a”).
ܸ݀
݀ܽൗ é a derivada do Volume em função da aresta . Mede a variação do Volume em função de uma
pequena variação na aresta “a”.
ܸ = ܸሺܽሻ = ܽ³ a
ௗ௏
ௗ௔
= ܸᇱሺܽሻ = 3ܽ² portanto V’(a) = 3a² e V’(4) = 3.(4)² = 48
V’(4) = 48 é a taxa de variação do volume quando temos variações na aresta “em torno” dos 4 metros.
2) Se o pedreiro fez a aresta interna do cubo com a medida de 4,01metros (ou seja, fez 1 cm além da
medida ), qual será o aumento de volume esperado da cisterna? Resolver utilizando I) derivadas e
II) diferenças de volume. Explique a diferença nos resultados.
I) Resolvendo utilizando o cálculo de derivadas.
ௗ௏
ௗ௔
= ܸᇱ
ሺܽሻ portanto dV = V’ሺaሻ . da ou seja ∆∆∆∆V = VV = VV = VV = V’ሺaሻ . ’ሺaሻ . ’ሺaሻ . ’ሺaሻ . ∆a∆a∆a∆a
Para aresta = 4 metros, como V’(a) = 3a², temos que V’(4) = 48
A variação na aresta (∆a) foi de 1 cm, ou seja 0,01 m, portanto a variação no volume será de
aproximadamente:

2. ∆V = V’(a) . ∆a
∆V = 48 . (0,01) = 0,48 m³ = 484848480 litros0 litros0 litros0 litros
Houve o aumento de 480 litros no volume total, provocado pelo aumento de 1 cm na aresta do cubo.
II) Resolvendo pela diferença dos volumes:
Volume de água para a cisterna de aresta 4 metros: V = a³ , portanto V(4) = 64 m³ = 64.000 litros
Volume de água para a cisterna de aresta 4,01 metros: V = a³ , portanto V(4,01) = 64,481 m³ = 64.481 L
∆V = variação do volume = 64,481 – 64 = 0,481 m³ = 481 litros
Houve uma diferença entre os resultados obtidos nos itens I e II devido ao fato da taxa de variação
(derivada) ser calculada para uma variação infinitesimal da aresta “a”.
∆a = 0,01 m e da = 0,000000000000000000000000000....001 m
Fizemos uma aproximação no item I de ∆a = da , com isso calculamos um resultado aproximado de ∆V.
3) Se o pedreiro fez a aresta interna do cubo com a medida de 3,98 metros (ou seja, fez 2 cm a
menos do que a medida planejada), qual será a diminuição de volume esperado da cisterna?
Resolver utilizando I) derivadas e II) diferenças de volume.
I) Resolvendo utilizando o cálculo de derivadas.
ௗ௏
ௗ௔
= ܸᇱ
(ܽ) portanto dV = V’(a) . da ou seja ∆V = V’(a) . ∆a
Para aresta = 4 metros, como V’(a) = 3a², temos que V’(4) = 48
A variação na aresta (∆a) foi de -2 cm, ou seja -0,02 m, portanto a variação no volume será de
aproximadamente:
∆V = V’(a) . ∆a
∆V = 48 . (-0,02) = -0,96 m³ = 960 litros a menos
Houve uma diminuição de 960 litros no volume total, provocado pela redução de 2 cm na aresta do cubo.
II) Resolvendo pela diferença dos volumes:
Volume de água para a cisterna de aresta 4 metros: V = a³ , portanto V = 64 m³ = 64.000 litros
Volume de água para a cisterna de aresta 3,98 metros: V = a³ , portanto V = 63,045 m³ = 63.045 litros
∆V = variação do volume = 63.045 – 64 = - 0,955 m³ = - 955 litros
4) Se o cubo era para ter 2 metros de aresta interna, qual a variação do volume caso a medida real
fosse: I) aresta = 1,97m (∆a= -0,03) e II) aresta = 2,04m (∆a= 0,04) ?
Volume do cubo para aresta = 2 m: V(a)= a³ , V(2)= 8 m³ = 8.000 litros , V’(a) = 3a², temos que V’(2) =12
∆V = V’(a) . ∆a
I) ∆V = 12 . (-0,03) = -0,36 m³ = -360 litros II) ∆V = 12 . (0,04) = 0,48 m³ = 480 litros

3. Exercício 2
Um tanque de armazenamento de petróleo, na forma cilíndrica, será pintado com uma tinta para
impermeabilização especial. Todo o seu interior será impermeabilizado. O tanque foi projetado para ter
raio de 15 metros e altura de 12 metros (medidas internas).
I) Qual a área da superfície que deverá ser pintada (em m²)?
r = raio do cilindro h = altura do cilindro π = 3,14
Área do círculo = Ac = π r²
Área lateral do cilindro = Al = 2 π r h
Área da superfície interna total do cilindro em função do raio e altura: As(r,h) = 2 π r² + 2 π r .h
Para as questões de II até VI , iremos adotar que a altura ficou constante (h = 12m), variando apenas o
raio, portanto:
A(r) = 2 π r² + 2 π r . 12 Área interna total em função do raio r
A(r) = 2 π r² + 24 π r A(15) =
II) Qual o significado de dA/dr ? Determine A’(r) e A’(15) .
III) Se o raio do cilindro for 15,03 m, aproximadamente quantos m² de área a mais deverão ser
pintados? Resolver utilizando a) derivadas e b) diferenças de superfícies.
IV) Se o raio do cilindro for 14,99 m, aproximadamente quantos m² de área a menos deverão ser
pintados? Resolver utilizando a) derivadas e b) diferenças de superfícies.
V) Se o projeto do cilindro fosse para ser construído com raio de 9 metros (e altura 12m),
aproximadamente quantos m² a mais de área seria pintada se a medida real do raio for 9,03 m?
VI) Se o projeto do cilindro fosse para ser construído com raio de 20 metros (e altura 12m),
aproximadamente quantos m² a menos de área seria pintada se a medida real do raio for 19,97 m?
Para as questões de VII até XI , iremos adotar que o raio ficou constante (r = 15m), variando apenas a
altura (h), portanto:
A(h) = 2 π (15)² + 2 π .15 . h Área interna total em função da altura h
A(h) = 450 π + 30 π h A(12) =
VII) Qual o significado de dA/dh ? Determine A’(h) e A’(12) .
VIII) Se a altura for 12,03 m, aproximadamente quantos m² de área a mais deverão ser pintados?
Resolver utilizando a) derivadas e b) diferenças de superfícies.
IX) Se a altura for de 11,98 m, aproximadamente quantos m² de área a menos deverão ser pintados?
Resolver utilizando a) derivadas e b) diferenças de superfícies.
X) Se o projeto do cilindro fosse para ser construído com altura de 7 metros (e raio 15m),
aproximadamente quantos m² a mais de área seria pintada se a medida real da altura for 7,05 m?
XI) Se o projeto do cilindro fosse para ser construído com altura de 18 metros (e raio 15m),
aproximadamente quantos m² a menos de área seria pintada se a medida real do raio for 17,96 m?

4. Exercício 3
Um tanque de armazenamento de gás liquefeito, na forma de uma esfera, será pintado com uma tinta de
impermeabilização especial. Todo o seu interior será impermeabilizado. O tanque esférico foi projetado
para ter raio de 5 metros (medida interna).
I) Qual a área da superfície interna que deverá ser pintada (em m²) e qual a sua capacidade
máxima de armazenamento (volume em m³) de gás.
r = raio interno da esfera π = 3,14
Área da esfera = A(r) = 4 π r²
Volume da esfera = V(r) =
ସగ௥³
ଷ
II) Qual o significado de dA/dr ? Determine A’(r) e A’(5) .
III) Se o raio real da esfera for 5,03 m, aproximadamente quantos m² de área a mais deverão ser
pintados?
IV) Se o raio real da esfera for 4,96 m, aproximadamente quantos m² de área a menos deverão ser
pintados?
V) Se o projeto da esfera fosse para ser construído com raio de 6 metros, aproximadamente quantos
m² a mais de área seria pintada se a medida real do raio for 6,01 m?
VI) Se o projeto da esfera fosse para ser construído com raio de 4 metros , aproximadamente quantos
m² a menos de área seria pintada se a medida real do raio for 3,97 m?
VII) Qual o significado de dV/dr ? Determine V’(r) e V’(5) .
VIII) Se o raio real da esfera for 5,03 m, aproximadamente quantos m³ de volume a mais poderão ser
armazenados?
IX) Se o raio real da esfera for 4,96 m, aproximadamente quantos m³ de volume a menos poderão ser
armazenados?
X) Se o projeto da esfera fosse para ser construído com raio de 6 metros, aproximadamente quantos
m³ de volume a mais poderão ser armazenados se a medida real do raio for 6,01 m?
XI) Se o projeto da esfera fosse para ser construído com raio de 4 metros , aproximadamente quantos
m³ de volume a menos poderão ser armazenados se a medida real do raio for 3,97 m?
XII) Se a esfera tiver 2 metros de raio e for construída com chapas de aço inox, com espessura de 3
cm, qual o peso da estrutura? Densidade do inox = 7,85 g/cm³
XIII) Se a esfera tiver 3,5 metros de raio e for construída com chapas de aço inox, com espessura de 4
cm, qual o peso da estrutura? Densidade do inox = 7,85 g/cm³

5. Exercício 4
Um tanque de plástico na forma de um paralelepípedo de base quadrada, com aresta de base de 3
metros, está com 45 m³ de água (45.000 litros). Com isso o nível da água marca uma altura h em relação
ao solo.
Nível da água VOLUME = (Área da base). (altura)
V = a² . h
h
a
a = aresta = 3 m
I) Qual a altura do nível da água em relação ao solo?
II) Com a pressão da água, como o tanque é feito de um material plástico, a aresta de base “a” sofre
uma pequena deformação. Se a aresta “a” ficar com 3,07 m , qual a nova altura do nível da água. Resolver
pelo cálculo de derivadas ( variação da altura em função da variação da aresta: determinar a função h(a)
e dh/da ).
Exercício 5
Um gás ideal está preso dentro de um cilindro, cuja parte superior pode subir ou descer (o volume pode
variar).
Equação do gás ideal : P V = K T
P = pressão (N/cm²)
V = volume (cm³)
K = constante de proporcionalidade (N/cm o
C)
T = temperatura (o
C)
Num certo momento, o sistema está em equilíbrio com os seguintes valores:
P = 9 N/cm²
V = 50 cm³
T = 80◦C
I) Determine o valor da constante K ?
Se a temperatura permanecer constante em 80 o
C , determine:
II) Qual a variação provocada na pressão se o volume aumentar em 1 cm³? Qual o novo valor
da pressão? Resolver pelo cálculo de derivadas ( variação da pressão em função da variação do
volume: determinar a função P(V) e dP/dV ).
III) Se o volume diminuir 2 cm³, qual a variação provocada na pressão?Qual o novo valor da
pressão? Resolver pelo cálculo de derivadas.