Resoluções de Problemas Combinatórios

Professor Tiago Machado
Educação Matemática
Formado pelas Faculdades Integradas Campo-grandense – FIC RJ.
Especializado em Ensino da Matemática fundamental e Médio– FIC RJ.
Especializado em Ensino da Matemática – UERJ.
Blog =>professortiagomachado.blogspot.com
Currículo =>http://lattes.cnpq.br/0317131329053631
Exercícios de Análise combinatória – Resolvidos:
1) De quantos modos podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas, sem levar
em conta a ordem das mesmas, de modo que sempre apareçam os 4 ases?
Informações:
• Baralho de 52 cartas;
• 4 ases;
• Sempre apareçam 4 ases.
• 52-4=48 => tiramos os ases do
baralho.
Solução:
Goleiro: linha:
48
!47!1
!48
!0!4
!4
)!148(!1
!48
)!44(!4
!4
=⋅=
−
⋅
−
2) Existem 10 jogadores de futebol de salão, entre eles João que por sinal é o único que
joga como goleiro. Nesta condição quantos times de 5 pessoas podem ser escalados?
Informações:
• 10 jogadores de futebol de salão;
• João como o único goleiro do time;
• 5 pessoas serão escaladas: 1
goleiro e 4 na linha.
• 10-1=9 => tiramos o João da
seleção da linha.
Solução:
Goleiro: linha:
126
!5!4
!9
!0!1
!1
)!49(!4
!9
)!11(!1
!1
=⋅=
−
⋅
−
3) Um time de futebol de salão deve ser escalado a partir de um conjunto de 10
jogadores (entre eles Ari e Arnaldo). De quantas formas isto pode ser feito se Ari e
Arnaldo devem necessariamente ser escalados?
Informações:
• 10 jogadores;
• Entre eles Ari e Arnaldo, ou seja,
dois jogadores;
• Futebol de salão tem 5 jogadores;
• 10-2=8 <= tiramos Ari e Arnaldo;
• Ari e Arnaldo tem que
obrigatoriamente jogar.
Solução:
Ari e Arnaldo, Jogadores.
Não deixe de divulgar nosso blog e comunidade do orkut:
Blog: professortiagomachado.blogspot.com
Comunidade: http://www.orkut.com.br/Main#Community?cmm=105836066
Todos os direitos reservados ao professor Tiago Machado, referentes aos cálculos.

56
!5!3
!8
!0!2
!2
)!38(!3
!8
)!22(!2
!2
=⋅=
−
⋅
−
4) Um químico possui 10 (dez) tipos de substâncias. De quantos modos possíveis
poderá associar 6(seis) dessas substâncias se, entre as 10, duas somente não podem ser
juntadas porque produzem misturas explosivas?
Informações:
• 10 tipos de substâncias;
• Associar 6 dessas substâncias,
entre elas uma de cada das duas
que não podem se misturar.
• Duas que não podem se misturar,
pois explodem se forem.
• 10-1=9 <= retiramos uma delas.
Solução:
Com as substâncias:
168
!3!6
!9
)!69(!6
!9
==
−
<= entre elas uma
das substâncias.
Agora sem as substâncias:
10-2=8
Logo temos:
28
!2!6
!8
)!68(!6
!8
==
−
<= sem as
substancias.
Como elas não podem se misturar.
168-28 = 140
5) Um grupo consta de 20 pessoas, das quais 5 matemáticos. De quantas formas
podemos formar comissões de 10 pessoas de modo que:
Informações:
• 20 pessoas;
• 5 matemáticos.
• Comissões de 10 pessoas.
a) Nenhum membro seja matemático?
Solução:
• Extrair os matemáticos, ou seja, 20-5=5.
3003
!5!10
!15
)!1015(!10
!15
==
−
b) Todos os matemáticos participem das comissões?
Solução:

• Incluir todos os matemáticos.
3003
!10!5
!15
!0!5
!5
)!515(!5
!15
)!55(!5
!5
=⋅=
−
⋅
−
c) haja exatamente um matemático na comissão?
Solução:
• Incluir 1 matemático de 5 dos que existem.
25025
!6!9
!15
!4!1
!5
)!915(!9
!15
)!15(!1
!5
=⋅=
−
⋅
−
d) Pelo menos um membro da comissão seja matemático?
Solução:
• Pelo menos 1 seja matemática.
25025
!6!9
!15
!4!1
!5
)!915(!9
!15
)!15(!1
!5
=⋅=
−
⋅
−
64350
!7!8
!15
!3!2
!5
)!815(!8
!15
)!25(!2
!5
=⋅=
−
⋅
−
64350
!8!7
!15
!2!3
!5
)!715(!7
!15
)!35(!3
!5
=⋅=
−
⋅
−
25025
!9!6
!15
!1!4
!5
)!615(!6
!15
)!45(!4
!5
=⋅=
−
⋅
−
3003
!10!5
!15
!0!5
!5
)!515(!5
!15
)!55(!5
!5
=⋅=
−
⋅
−
25025+64350+64350+25025+3003=182753
6) De um grupo de 10 pessoas deseja-se formar uma comissão de 5 membros. De
quantas formas isto pode ser feito se duas pessoas (A e B) ou fazem parte da comissão
ou não?
Solução:
Informação:
• 10 pessoas;
• 5 membros;
• A e B devem fazer parte da comissão ou não.
Com: sem:
112
!5!3
!8
!3!5
!8
)!38(!3
!8
)!58(!5
!8
=+=
−
+
−

7) Um homem possui 8 pares de meias (todas distintas). De quantas formas ele pode
selecionar 2 meias sem que elas sejam o mesmo par?
Informação:
• 8 pares de meias;
• 2 meias.
Solução:
28
!6!2
!8
)!28(!2
!8
==
−
8 ÷ 2= 4 meias.
28x4=112 meias.
8) Temos 5 homens e 6 mulheres. De quantas formas:
Informações:
• 5 homens;
• 6mulheres.
a) Podemos formar uma comissão de 3 pessoas?
Solução:
5+6=11
165
!8!3
!11
)!311(!3
!11
==
−
b) Podemos formar uma comissão de 3 pessoas de modo que haja 2 homens e 1 mulher
na mesma?
Solução:
• 2 homens e 1 mulher.
60
!5!1
!6
!3!2
!5
)!16(!1
!6
)!25(!2
!5
=⋅=
−
⋅
−
9) Um lote contém 50 peças boas e 10 defeituosas. Extraindo-se 8 peças (sem
reposição) não levando em conta a ordem das mesmas, de quantas formas podemos
obter 4 peças boas e 4 defeituosas?
Informação:

• 50 peças boas e 10 defeituosas;
• Extrair 8 peças sem reposição;
• 4 peças boas e 4 defeituosas.
Solução:
4836300
!6!4
!10
!46!4
!50
)!410(!4
!10
)!450(!4
!50
=⋅=
−
⋅
−
10) Em uma urna existem 12 bolas das quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantos
modos podemos tirar 6 bolas da urna, das quais 2 são brancas?
Informação:
• 12 bolas;
• 7 bolas pretas;
• 5 bolas brancas;
• Tirar 6 bolas da urna das quais 2
são brancas.
Solução:
350
!3!4
!7
!3!2
!5
)!47(!4
!7
)!25(!2
!5
=⋅=
−
⋅
−
11) Quantos subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases podem ser formados
de um baralho de 52 cartas?
Informação:
• 5 cartas contendo exatamente 3
ases;
• um baralho de 52 cartas;
• Um baralho tem sempre 4 ases.
52-4=48 <= sem os ases.
Solução:
4512
!46!4
!48
1!3
!4
)!248(!2
!48
)!34(!3
!4
=⋅=
−
⋅
−
12) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 brancas. De quantas formas podemos
extrair 2 bolas, sem reposição e sem levar em conta a ordem na extração, de modo que:
Informações:
• 3 bolas vermelhas;
• extrair 2 bolas, sem reposição e sem levar em conta a ordem na extração.
a) As duas sejam vermelhas?
Solução:
3
!1!2
!3
)!23(!2
!3
==
−

b) AS duas sejam brancas?
Solução:
10
!3!2
!5
)!25(!2
!5
==
−
c) Uma seja vermelha, outra branca?
Solução:
15
!4!1
!5
!2!1
!3
)!15(!1
!5
)!13(!1
!3
=⋅=
−
⋅
−
13) Uma urna contém 10 bolas brancas e 6 pretas. De quantos modos é possível tirar 7
bolas das quais pelo menos 4 sejam pretas?
Informação:
• 6 bolas pretas;
• tirar 7 bolas das quais pelo menos
4 sejam pretas.
Solução
1800
!2!4
!6
!7!3
!10
)!24(!4
!6
)!310(!3
!10
=⋅=
−
⋅
−
270
!1!5
!6
!8!2
!10
)!56(!5
!6
)!210(!2
!10
=⋅=
−
⋅
−
10
!0!6
!6
!1!1
!10
)!66(!6
!6
)!910(!1
!10
=⋅=
−
⋅
−
1800+270+10=2080
14) A diretoria de uma firma é constituída por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses.
Quantas comissões de 3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formados?
Informação:
• 7 diretores brasileiros;
• 4 diretores japoneses;
• comissões de 3 brasileiros e 3
japoneses.
Solução:
140
!1!3
!4
!4!3
!7
)!34(!3
!4
)!37(!3
!7
=⋅=
−
⋅
−

15) Em um grupo de 15 pessoas existem 5 médicos, 7 engenheiros e 3 advogados.
Quantas comissões de 5 pessoas podemos formar, cada qual constituída de 2 médicos, 2
engenheiros e 1 advogado?
Informação:
• 5 médicos;
• 7 engenheiros;
• 3 advogados;
• comissões de 5 pessoas podemos
formar;
• comissões de 2 médicos, 2
engenheiros e 1 advogado.
Solução:
630
!1!2
!3
!5!2
!7
!3!2
!5
)!23(!2
!3
)!27(!2
!7
)!25(!2
!5
=⋅⋅=
−
⋅
−
⋅
−
16) Existem 5 pontos entre os quais não existem 3 colineares. Quantas retas ele
determinam?
Informação:
• 5 pontos;
• 3 colineares.
Solução:
10
!2!3
!5
)!35(!3
!5
==
−
17) Num plano existem 20 pontos dos quais 3 nunca são colineares, exceto 6 que estão
sobre uma mesma reta. Encontre o número de retas que esses pontos determinam.
Informação:
• 20 pontos dos quais 3 nunca são colineares;
• Exceto 6 que estão sobre uma mesma reta;
• 2 pontos determinam uma reta.
Solução:
2851
!0!3
!3
!4!2
!6
!18!2
!20
)!33(!3
!3
)!26(!2
!6
)!220(!2
!20
=+⋅=
−
+
−
⋅
−
18) Numa circunferência são tomados 8 pontos distintos.
a) Ligando-se 2 desses pontos, quantas cordas podem ser traçadas?

Solução:
28
!6!2
!8
)!28(!2
!8
==
−
b) Ligando-se 3 desses pontos, quantos triângulos podem ser formados?
Solução:
56
!5!3
!8
)!38(!3
!8
==
−
c) Ligando-se 6 desses pontos, quantos hexágonos podem ser formados?
Solução:
28
!2!6
!8
)!68(!6
!8
==
−
19) Quantos números de 6 algarismos podemos formar permutando os algarismos
2,2,3,3,3,5?
Informação:
• Numero dois aparece duas vezes;
• Numero três aparece três vezes;
• Numero cinco aparece uma vez.
Solução:
.60
!1!3!2
!6
=
20) Quantos anagramas existem da palavra AMARILIS?
Informação:
• Letra A aparece duas vezes;
• Letra I aparece duas vezes.
Solução:
10080
!2!2
!8
=
21) Se uma pessoa gasta exatamente um minuto para escrever cada anagrama da palavra
ESTATISTICA, quanto tempo levará para escrever todos, se não deve passar nenhum
estante par descansar?
Informação:
• Letra T aparece três vezes;
• Letra S aparece duas vezes;
• Letra A aparece duas vezes;
• Letra I aparece duas vezes;

Solução:
.min831600
!2!2!2!3
!11
=
Um dia tem 24h => 24x60=1440 minutos.
831600 =÷ 1440 577,5 dias
22) Uma moeda é lançada 20 vezes. Quantas seqüências de “caras” e “coroas” existem,
com 10 caras e 10 coroas?
Informação:
• Lançada 20 vezes;
• 10 caras e 10 coroas.
Solução:
184756
!10!10
!20
=
23) Quantos números de 7 algarismos existem nos quais comparecem uma só vez os
algarismos 3,4,5 e quatro vezes o algarismo 9?
Informação:
• Quantos números de 7 algarismos;
• Comparecem uma só vez os
algarismos 3,4,5;
• Quatro vezes o algarismo 9.
Solução:
210
!4!1!1!1
!7
=
24) Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 2 amarelas. Elas são extraídas uma a uma
sem reposição. Quantas seqüências de cores podem observar?
Informação:
• 3 bolas vermelhas;
• 2 bolas amarelas;
• Elas são extraídas uma a uma sem
reposição.
3+2=5 <= Bolas misturadas na urna.
Solução:
10
!2!3
!5
=
25) Uma cidade é formada por 12 quarteirões dispostos segundo a figura abaixo. Uma
pessoa sai do P e dirigi-se para o ponto Q pelo caminho mais curto, isto é movendo-se
da esquerda para direita, ou de baixo para cima. Nesta condição quantos caminhos
diferentes ele poderá fazer, se existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”?

Informação:
• Existem 2 ruas “horizontais” e 3 “verticais”.
2+3=5 <= Ruas misturadas.
Solução:
10
!3!2
!5
=
26) Um homem encontra-se na origem de um sistema cartesiano ortogonal. Ele só pode
dar um passo de cada vez, para o norte (N) ou para o leste (L). Partindo da origem e
passando pelo ponto A(3,1) quantas trajetórias existem até o ponto B(5,4)?
Solução:
A(3,1) e B(5,4)
AB=(5-3,4-1) = (2,3)
AB=(2,3)= 2+3=5 <= Ruas misturadas.
10
!3!2
!5
=
27) De Quantas formas 12 estudantes podem ser divididos e colocados em 3 salas,
sendo 4 na primeira, 5 na segunda e 3 na terceira?
Informação:
• 12 estudantes;
• 3 salas, sendo 4 na primeira, 5 na segunda e 3 na terceira.
Solução:
27720
!0!3
!3
!3!5
!8
!8!4
!12
)!33(!3
!3
)!58(!5
!8
)!412(!4
!12
=⋅⋅=
−
⋅
−
⋅
−
28) Um grupo de 10 viajantes para dormir num hotel. Só havia 2 quartos com 5 lugares
cada um. De quantas formas eles puderam se distribuir para dormir naquela noite?

Informação:
• Só havia 2 quartos com 5 lugares cada um.
Solução:
252
!0!5
!5
!5!5
!10
)!55(!5
!5
)!510(!5
!10
=⋅=
−
⋅
−
29) De quantos modos 8 pessoas podem ocupar duas salas distintas, devendo cada sala
conter pelo menos 3 pessoas?
Solução:
56
!0!5
!5
!5!3
!8
)!55(!5
!5
)!38(!3
!8
=⋅=
−
⋅
−
70
!0!4
!4
!4!4
!8
)!44(!4
!4
)!48(!4
!8
=⋅=
−
⋅
−
56
!0!3
!3
!3!5
!8
)!33(!3
!3
)!58(!5
!8
=⋅=
−
⋅
−
56+70+56=182
30) Uma pessoa quer viajar de uma cidade A a uma cidade C, passando pela cidade B.
As cidades A e B estão ligadas por 3 estradas:d1,d2,d3; as cidade B e C estão ligadas
por 5 cidades: e1,e2,e3,e4,e5. De quantos modos diferentes pode-se fazer o percurso
ABC?
Informação:
• As cidades A e B estão ligadas por
3 estradas:d1,d2,d3;
• B e C estão ligadas por 5 cidades:
e1,e2,e3,e4,e5;
• modos diferentes pode-se fazer o
percurso ABC.
Solução:
155.3
!4!1
!5
!2!1
!3
)!15(!1
!5
)!13(!1
!3
==⋅=
−
⋅
−
31) Com três tipos de macarrão e 2 tipos de molhos, quantos pratos diferentes de
macarronada podem ser preparados com 1 tipo de macarrão e 1 tipo de molho?
Informação:
• Três tipos de macarrão e 2 tipos de
molhos;
• Pratos diferentes de macarronada
podem ser preparados com 1 tipo
de macarrão e 1 tipo de molho.
Solução:
62.3
!1!1
!2
!2!1
!3
)!12(!1
!2
)!13(!1
!3
==⋅=
−
⋅
−

32) No Brasil, as placas de automóveis têm 3 letras seguidas de 4 algarismos. Quantas
são as possibilidades de placas diferentes.
Informação:
• têm 3 letras seguidas de 4 algarismos.
Solução:
26 . 26 . 26 . 10 . 10 . 10 . 10 =26 3
.10 4
Letra Letra Letra n° n° n° n°
33) Quantos números pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal?
Informação:
• Sistema decimal;
• 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 => 10 numeros.
Solução:
9 . 5 =45
n° pares
34) De quantos modos 3 pessoas podem se sentar em 5 cadeiras?
Informação:
• Modos 3 pessoas podem se sentar;
• 5 cadeiras.
Solução:
5 . 4 . 3 = 60
Cadeira1 cadeira2 cadeira3
35) Simplifique:
a) =
+
!
)!2(
n
n
Solução:

21212)1).(2(
!
!).1).(2(
!
)!22).(12).(02( 22
++=+−+=++=
++
=
−+−+−+
nnnnnnn
n
nnn
n
nnn
b) =
− )!2(
!
n
n
Solução:
nnnn
n
nnn
−=−=
−
−−− 2
)1.(
)!2(
)!2).(1).(0(
36) Calcule o valor de n na equação 10
!
)!1(
=
−
n
n
.
Solução:
10
1
10
1
10
)!1).(0(
)!1(
=
=
=
−−
−
n
n
nn
n
37) Considere a palavra DILEMA e determine:
a) O número total de anagramas.
Informação:
• Seis letras.
Solução:
6!=720.
b) O número de anagramas que começam com a letra L e terminam com a letra M.
Solução:
L . 4 . 3 . 2 . 1 . M = 24
1ª letra ultima letra
Ou podemos:

1 . 4 . 3 . 2 . 1 . 1 = 24
1ª letra ultima letra
38)Em uma estante temos 8 livros, dos quais 3 são de matemática. De quantas formas
podemos organizá-los, de modo que fiquem sempre juntos?
Informação:
• Estante temos 8 livros;
• 3 são de matemática.
3 . 3 . 3 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 =720
M1 M2 M3 L1 L2 L3 L4 L5
Ou podemos:
8-3 = 5 <= separamos os livros de matemática.
3!x5!=720
39) Da palavra LIVRO, quantos são os anagramas que começam com consoantes?
Informação:
• 5 letras;
• Começam com consoantes, temos 3 letras.
Solução:
L . 4 . 3 . 2 . 1 =24
V . 4 . 3 . 2 . 1 =24
R . 4 . 3 . 2 . 1 =24
24X3=72
Ou podemos:
1 conjunto de 3 consoantes, temos então: 5-1=4.
3!x4!=72
40) Quantos anagramas da palavra VIDRO possuem as vogais juntas e no começo?
Informação:

• 5 letras;
• Começam com consoantes, temos 3 letras.
Solução:
IO . IO . 3 . 2 . 1 =12
41) Calcule o numero de anagramas da palavra LÁPIS, lembrando que um anagrama é
uma palavra formada com as mesmas letras da palavra dada, podendo ter ou não sentido
na linguagem usual.
Informação:
• Temos 5 letras.
Solução:
5!=5x4x3x2x1=120
42) Num carro com 5 lugares viajarão 4 passageiros e o motorista. De quantos modos
distintos os 4 passageiros podem ocupar os assentos do veiculo?
Informação:
• 4 passageiros podem ocupar os assentos do veiculo.
Solução:
4! = 4x3x2x1=24
43) Sendo S={0,1,2,3,4,6,8,9}, a quantidade de números pares de três algarismos, sem
repetição, que se pode formar com os elementos de S é:
Informação:
• Sendo S={0,1,2,3,4,6,8,9}, temos
10 números.
• A quantidade de números pares de
três algarismos.
• O zero não pode ocupar a primeira
casa.
Solução:
7 . 6 . 0 =42
fixo
6 . 6 . 2 =36
fixo

6 . 6 . 4 =36
fixo
6 . 6 . 6 =36
fixo
6 . 6 . 8 =36
fixo
42+36+36+36+36=186
44) Da olimpíada de matemática, na escola de Fernando, participaram 10 alunos. O
número que corresponde às diferentes maneiras de se arrumarem os três primeiros
colocados é:
Informação:
• Na escola de Fernando, participaram 10 alunos;
• Os três primeiros colocados.
Solução:
10 . 9 . 8 =720
45) A escola X, por uma questão administrativa, identifica cada professor por uma letra,
um algarismo e um símbolo grego. As letras são A,B,C, os algarismos 1,2,3,4,5 e os
símbolos gregos são ά,β,γ. Utilizando essas identificações, o numero máximo de
professores dessa escola é:
Informação:
• As letras são A,B,C. Três elementos;
• Os algarismos 1,2,3,4,5. Cinco elementos;
• Os símbolos gregos são ά,β,γ. Três elementos.
Solução:
3 . 5 . 3 =45
A,B,C 1,2,3,4,5 ά,β,γ
46) A quantidade de números naturais de três algarismos que podem ser formados com
os algarismos 1,3,5,7,9 é:
Informação:
• Três algarismos;
• Formados com os algarismos 1,3,5,7,9.
Solução:
5 . 5 . 5 =125

47) Quantos números naturais ímpares, de três algarismos distintos, podem ser
formados com os algarismos do conjunto {2,3,4,5}?
Informação:
• Números naturais ímpares;
• Três algarismos distintos formados
com os algarismos do conjunto
{2,3,4,5}.
Solução:
3 . 2 . 2 =12
3 ou 5
48) Quantos números pares de três algarismos distintos e maiores que 400, podem ser
formados com os algarismos do conjunto {2,3,4,6,7,8,9}?
Informação:
• Números pares de três algarismos
distintos e maiores que 400;
• Formados com os algarismos do
conjunto {2,3,4,6,7,8,9}=> 7
elementos.
Solução:
4 . 5 . 3 =15
fixo
6 . 5 . 3 =15
fixo
7 . 5 . 4 =20
fixo
8 . 5 . 3 =15
fixo
9 . 5 . 4 =20
fixo
15+15+20+15+20=85
49) Para organizar os arquivos com todos os funcionários de uma escola, a direção
utilizou fichas identificadas, cada uma, por 2 vogais distintas, seguidas de 3 algarismos
distintos. O número máximo de fichas confeccionadas foi igual a:
Informação:
• 2 vogais distintas;
• De 3 algarismos distintos.
Solução:

5 . 4 . 10 . 9 . 8 =14400
Vogais vogais Alg. Alg. Alg.
50) Com os algarismos 2,3,5,6,7 e 8, você poderá formar x números de 4 algarismos
distintos. O valor de x é:
Informação:
• Formar x números de 4 algarismos distintos.
• Com os algarismos 2,3,5,6,7 e 8 <= total de seis algarismos.
Solução:
6 . 5 . 4 . 3 =360
Alg.1 Alg.2 Alg.3 Alg.4
51) Para fabricar placas de automóveis, constituídas de duas letras iniciais seguidas de
quatro algarismos, um determinado município está autorizado a utilizar somente as
letras A,B,C,D e E e os algarismos 0,1 e 2. Nessas condições, o numero máximo de
automóveis que o município poderá emplacar é:
Informação:
• Utilizar somente as letras A,B,C,D e E <= cinco letras.
• E os algarismos 0,1 e 2 <= três algarismos.
Solução:
5 . 5 . 3 . 3 . 3 =2025
Letras Letras alg. Alg. Alg.
52) Uma sala deve ser iluminada com 5 lâmpadas e com interruptores independentes
para acende-las. De quantas maneiras possíveis poderemos iluminar essa sala?
Informação:
• 5 lâmpadas;
• Interruptores independentes para acendê-las;
• 1 poderá apagada.
Solução:
2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
On/off On/off On/off On/off On/off
32-1 =31.
53) Calcular o numero de anagramas da palavra ARARA.
Informação:

• Cinco letras;
• Três letras A, duas R.
Solução:
10
!3!2
!5
=
54) Uma escola possui 15 professores. Entre eles, serão escolhidos: Um diretor, um
vice-diretor e um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha?
Informação:
• A escola possui 15 professores;
• serão escolhidos: Um diretor, um vice-diretor e um coordenador pedagógico.
Solução:
2730
!12
!15
)!315(
!15
==
−
55) Uma escola tem 9 professores de Matemática. Quatro deles deverão representar a
escola em um congresso. Quantos grupos de 4 são possíveis?
Informação:
• A tem 9 professores de Matemática.
• Deles deverão representar a escola em um congresso.
• Grupos de 4 possíveis.
Solução:
126
!5!4
!9
)!49(!4
!9
==
−
56) Calcule o número de anagramas da palavra CONSTITUI.
Informação:
• A palavra CONSTITUI possui 9 letras;

• A letra T aparece 2 vezes;
• A letra T aparece 2 vezes.
Solução:
90720
!2!2
!9
=
57) Calcule o numero de anagramas da palavra URUGUAI.
Informação:
• A palavra URUGUAI possui 7
letras;
• A letra U aparece 3 vezes.
Solução:
840
!3
!7
=
58) Dispomos de oito cores, e queremos pintar uma bandeira de cinco listras, cada listra
com uma cor. De quantas formas isso pode ser feito?
Informação:
• Dispomos de oito cores;
• Pintar uma bandeira de cinco listras;
• Cada listra com uma cor.
Solução:
6720
!3
!8
)!58(
!8
==
−
59) Uma sala possui seis portas. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por uma
porta e sair por outra diferente?
Informação:
• A sala possui seis portas.
• Pessoa pode entrar por uma porta e sair por outra diferente.
Solução:
30
!4
!6
)!26(
!6
==
−
60) Cinco cavalos disputam um páreo. Qual é o numero de possíveis resultados para três
primeiras, colocações?
Informação:

• Cinco cavalos disputam um páreo.
• O numero de possíveis resultados para três primeiras, colocações.
Solução:
60
!2
!5
)!35(
!5
==
−
61) Para a seleção Brasileira de futebol, foram convocados 5 laterais. De quantas
maneiras a seleção pode escalar esses jogadores para atuar na esquerda, ou na direita?
Informação:
• Foram convocados 5 laterais.
• Para atuar na esquerda, ou na
direita.
Solução:
20
!3
!5
)!25(
!5
==
−
62) Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão
escolhidos 3 que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De
quantas maneiras pode ser feita a escolha?
Informação:
• A empresa possui 16 funcionários administrativos;
• Serão escolhidos 3 que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro.
Solução:
3360
!13
!16
)!316(
!16
==
−
63) Sebastião deseja pintar a palavra LIVRE, em um cartaz de publicidade, usando uma
cor em cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de seis cores de
tinta?
Informação:
• A palavra LIVRE possui 5 letras;
• Ele dispõe de seis cores de tinta.
Solução:
720
!1
!6
)!56(
!6
==
−

64) De quantos modos pode-se arrumar 4 livros de Matemática, 3 geografia e 2
biologia, numa estante, de modo que os livros de mesmo assunto fiquem juntos?
Informação:
• Pode-se arrumar 4 livros de Matemática;
• Pode-se arrumar 3 geografia;
• Pode-se 2 biologia.
• São 3 tipos de livros diferentes.
Solução:
4!x3!x2!=24x6x2x6=1728
65) Uma prova consta de quinze questões, das quais o aluno deve resolver dez. De
quantas formas ele poderá escolher as dez questões?
Informação:
• Consta de quinze questões,das quais o aluno deve resolver dez.
• De quantas formas ele poderá escolher as dez questões.
Solução:
3003
!10!5
!15
)!515(!5
!15
==
−
66) Sobre uma circunferência são marcados nove pontos distintos. Quantos triângulos
podem ser construídos com vértices nos nove pontos marcados?
Informação:
• Uma circunferência é marcado nove pontos distintos.
• Triângulos podem ser construídos com vértices nos nove pontos marcados.
Solução:
84
!3!6
!9
)!69(!6
!9
==
−

67) Quantas comissões de três pessoas podem ser formadas com um grupo de sete
pessoas?
Informação:
• Comissões de três pessoas;
• Um grupo de sete pessoas.
Solução:
35
!4!3
!7
)!37(!3
!7
==
−
68) Ao sair de uma festa, dez amigos se despediram com um aperto de mão. Quantos
apertos de mão foram trocados?
Informação:
• Dez amigos se despediram com um aperto de mão.
• Apertos de mão foram trocados, sabemos que uma pessoa pode dar dois apertos ao
mesmo tempo.
Solução:
45
!8!2
!10
)!210(!2
!10
==
−
69) Um fabricante de doces dispõe de embalagens com capacidades para seis doces
cada uma. Sabendo-se que ele fabrica quinze tipos de doces diferentes, quantos tipos de
embalagem, com seis doces diferentes, e ele poderá organizar?
Informação:
• Com capacidades para seis doces cada uma.
• Ele fabrica quinze tipos de doces diferentes.
• Tipos de embalagem, com seis doces diferentes.
Solução:
5005
!9!6
!15
)!615(!6
!15
==
−

70) Em um congresso de Educação, há seis professores de Física e seis de Matemática.
Quantas comissões de 5 professores podem ser formadas, havendo em cada uma dois
professores de Matemática e três de Física?
Informação:
Há seis professores de Física e seis de Matemática;
Comissões de 5 professores podem ser formadas;
Havendo em cada uma dois professores de Matemática e três de Física.
Solução:
3001520
!4!2
!6
!3!3
!6
)!26(!2
!6
)!36(!3
!6
=⋅=⋅=
−
⋅
−
71) Quantos grupos diferentes de 4 lâmpadas podem ficar acesos num galpão que tem
10 lâmpadas?
Informação:
• 4 lâmpadas podem ficar acesos;
• O galpão tem 10 lâmpadas.
Solução:
210
!6!4
!10
)!410(!4
!10
==
−
72) Há 12 inscritos em um campeonato de boxe. Calcule o número total de lutas que
podem ser realizadas entre os inscritos.
Informação:
• Há 12 inscritos em um campeonato de boxe.
• AS lutas são dadas de dois a dois.
Solução:
66
!10!2
!12
)!212(!2
!12
==
−
73) Seis pessoas decidem formar 2 comissões com 3 pessoas cada. De quantas formas
diferentes isso pode ser feito?

Informação:
• Seis pessoas;
• Formar 2 comissões com 3
pessoas cada.
Solução:
20
!3!3
!6
)!36(!3
!6
==
−
74) Sobre uma reta marcam-se 3 pontos e sobre outra reta, paralela a primeira, marcam-
se 5 pontos. Calcule o número de triângulos que obteremos unindo 3 quaisquer desses 8
pontos.
Informação:
• Marcam-se 3 pontos e sobre
outra reta, paralela a primeira.
• Calcule o número de triângulos
que obteremos unindo 3
quaisquer desses 8 pontos.
Solução:
3010.3
!3!2
!5
!2!1
!3
)!25(!2
!5
)!13(!1
!3
==⋅=
−
⋅
−
155.3
!4!1
!5
!1!2
!3
)!15(!1
!5
)!23(!2
!3
==⋅=
−
⋅
−
30+15=45
75) Anagrama de uma palavra é toda e qualquer ordenação de suas letras. Assim
BACO, COBA, BCOA,..., são anagramas da palavra CABO. O numero de anagramas
da palavra SAPUCAIA é:
Informação:
• A palavra CABO possui 4 letras.
Solução:
4!=4x3x2x1=24
76) LAMA, AMAL, LMAA, ALMA,.., são anagramas da palavra MALA. O número de
anagramas da palavra MACACU é:
Informação:
• A palavra MACACU possui 6 letras;
• A letra A aparece duas vezes.
• A letra C aparece duas vezes.
Solução:
180
!2!2
!6
=
77) Numa maratona escolar, 8 alunos disputam os 3 primeiros lugares. Não acontecendo
empates, o numero de resultados possíveis para as 3 primeiras colocações é:
Informação:
• Numa maratona escolar, 8 alunos disputam os 3 primeiros lugares.

• O numero de resultados possíveis para as 3 primeiras colocações.
Solução:
336
!5
!8
)!38(
!8
==
−
78) No campeonato de vôlei de praia havia 13 duplas. Cada dupla jogou com as demais
duas partidas, uma em cada fim de semana. No final, duas duplas ficaram empatadas
tendo sido realizadas então a partida de desempate. O número de partidas disputadas
nesse campeonato foi:
Solução:
78
!11!2
!13
)!213(!2
!13
==
−
78x2partidas+1 desempates = 157
79) Uma banca examinadora de um concurso será formada por 5 professores, escolhidos
entre 8 de matemática e 4 língua Portuguesa. O numero de composições que é possível
formar com esta banca examinadora de modo que ela tenha, no mínimo, 2 professores
de língua Portuguesa é:
Informação:
• Será formada por 5 professores.
• Escolhidos entre 8 de matemática e 4 língua Portuguesa.
• Ela tenha, no mínimo, 2 professores de língua Portuguesa.
Solução:
336
!2!2
!4
!5!3
!8
)!24(!2
!4
)!38(!3
!8
=⋅=
−
⋅
−
112
!1!3
!4
!6!2
!8
)!34(!3
!4
)!28(!2
!8
=⋅=
−
⋅
−
8
!0!4
!4
)!18(!1
!8
=⋅
−
336+112+8=456
80) Dispõe-se de 15 jogadores de voleibol sendo, um deles, André. O numero de duplas
diferentes que podem ser formadas, nas quais não apareça o jogador André, é:
Informação:

• André não irá aparecer, então temos 14 jogadores.
• Duas pessoas por duplas.
Solução:
91
!12!2
!14
)!214(!2
!14
==
−
81) Num campeonato de ping-pong, estão inscritos 16 alunos. Numero total de partidas
que podem ser realizadas entre esses inscritos é:
Solução:
120
!14!2
!16
)!216(!2
!16
==
−
82) Imagine que todos os 285 candidatos classificados neste concurso, reunidos em um
salão, resolvam cumprimentar-se uma única vez. O numero de cumprimentos que serão
trocados será dado pelo resultado de:
Solução:
40470
!283!2
!285
)!2282(!2
!285
==
−
83) De um grupo de 6 homens e 4 mulheres, deseja-se escolher 5 pessoas, incluindo,
pelo menos, 2 mulheres. O numero de escolhas distintas que se pode fazer é:
Informação:
• Um grupo de 6 homens e 4
mulheres;
• Deseja-se escolher 5 pessoas;
• Ter pelo menos 2 mulheres.
Solução:
120
!2!2
!4
!3!3
!6
)!24(!2
!4
)!36(!3
!6
=⋅=
−
⋅
−
60
!1!3
!4
!4!2
!6
)!34(!3
!4
)!26(!2
!6
=⋅=
−
⋅
−
6
!0!4
!4
!5!1
!6
)!44(!4
!4
)!16(!1
!6
=⋅=
−
⋅
−
120+60+6=186.
84) Seja n o numero total de anagramas da palavra BOTAFOGO, que contém as 4
consoantes em ordem alfabética. Valor de n é igual a:
Informação:
• A palavra BOTAFOGO tem oito
letras.
• A letra O aparece 3 vezes.
• Contém as 4 consoantes BTGF em
ordem alfabética.
Solução:

6720
!3
!8
=
As quatro consoantes BTGF:
4x3x2x1=24
Logo temos:
280
24
6720
=
História Matemática:
“Através da lei matemática podemos provar sem erro que nosso universo foi projetado e foi executado por
uma grande inteligência de engenharia.”(site da internet.)
“Porque O eterno Amou o mundo de tal maneira que deu seu filho unigênito para que todo aquele
que nele crê não pereça, mas tenha vida eterna!” (Jô 3:16)

Resoluções de Problemas Combinatórios

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Resoluções de Problemas Combinatórios

Semelhante a Resoluções de Problemas Combinatórios (20)

Último

Último (20)

Resoluções de Problemas Combinatórios