O documento discute o planejamento de transportes, abordando a modelagem da oferta e demanda de transporte. A oferta é representada por uma rede de simulação com ligações, nós, zonas de tráfego e centróides. A demanda é modelada em quatro etapas: geração, distribuição, divisão modal e alocação de viagens. A primeira etapa usa regressão linear múltipla ou análise de categorias para estimar viagens por zona.

1. PLANEJAMENTO DE TRANSPORTE
1. Modelo de Transportes
1.1 Representação da Oferta de Transporte
1.2 Modelagem da Demanda por Transporte
1.2.1 1a Etapa: processo de geração de viagens
1.2.2 2ª Etapa: distribuição das viagens geradas
1.2.3 3ª Etapa: divisão modal das viagens
1.2.4 4ª Etapa: alocação das viagens

2. 1. Modelo de Transportes
O Modelo de Transportes envolve a representação da oferta de transporte e um
processo para a modelagem de demanda. Este último costuma ser tratado em quatro
etapas, ou estágios:
geração de viagens ou da demanda;
distribuição de viagens ou da demanda;
divisão ou escolha modal;
alocação de viagens
Nestes estágios são usadas várias equações e processos de cálculo os quais, em face
do elevado número de variáveis utilizadas e da complexidade das redes de transporte
urbano, exigem a utilização de ferramentas computacionais.

3. 1.1. Representação da oferta de transporte
A representação da oferta de transporte é feita através de um modelo, conhecido como
rede de simulação ou rede básica de transporte e é composta dos elementos básicos
detalhados a seguir:
− ligação: corresponde a uma entidade geográfica representada por uma linha ou
curva a qual corresponde ao segmento que é utilizado por um modo de transporte
(auto, ônibus, trem,..) para a união entre dois pontos na área de estudo. Cada
ligação contém informações como tipo da infra-estrutura, extensão, velocidade ou
tempo de percurso, e capacidade, podendo também serem codificadas outras
informações, dependendo dos objetivos do estudo.
− nós: corresponde a uma interseção de ligações ou a um ponto representativo de
início de uma ligação isolada. Pode representar um cruzamento de vias ou um ponto
de transferência.

4. − zona de tráfego: corresponde a uma área definida por um perímetro traçado de
modo a representar uma porção do território da área estudada que reúna algumas
características de homogeneidade quanto às características fisiográficas, de uso e
ocupação do solo e de perfil socio-econômico da população residente, de tal forma a
condicionar características, também, homogêneas de comportamento de
deslocamentos.
A divisão da área de estudo em zonas deve tentar identificar regiões que
apresentem características homogêneas em relação à demanda por transporte e
acessibilidade aos serviços de transporte privado ou público. A desagregação maior
ou menor depende da precisão requerida para representar adequadamente as
interações importantes e obter resultados com a qualidade pretendida em cada parte
da área de estudo.

5. Há que se observar, também, que o zoneamento de tráfego está intimamente ligado
às informações de demanda, ou seja, aos fluxos de viagens entre as mesmas.
Nesta situação, é necessário analisar se é possível obter os dados referentes à
demanda no nível de desagregação que se pretende e com que confiabilidade e
precisão eles de apresentarão.
A capacidade de análise e os recursos de computação também deverão ser
considerados como limites práticos ao número de zonas a ser considerado.

6. − centróide: é um nó com característica especial, localizado no baricentro estimado da
zona de tráfego (tendo como parâmetro a densidade populacional), o qual
representa a zona de tráfego. Isto quer dizer que toda a demanda de viagens da
zona de tráfego origina-se ou destina-se a este nó.
− acesso: é um tipo especial de ligação que une o centróide a um nó da rede de
transporte. Esta é a única ligação onde ocorrem fluxos representando os
deslocamentos originados ou destinados à zona de tráfego, ou seja, do seu
centróide. A sua representação exige o conhecimento das características físicas
da zona de tráfego para a melhor representação da conexão desta com a rede de
transportes. Por exemplo, não se representa uma conexão sobre rios, morros,
rodovias, ferrovias etc., a não ser que haja uma ligação efetiva de transposição como
pontes, túneis e viadutos.

7. − rotas: correspondem a uma seqüência de ligações que são utilizadas pelos veículos
de um determinado modo de transporte coletivo para estabelecer a união entre dois
nós da rede de transporte. Para a representação das rotas, portanto, é necessário
que a intra-estrutura esteja previamente representada, por exemplo, a rede viária
(composta por um conjunto de ligações e nós como visto anteriormente) por onde
passam as rotas de transporte sobre pneus, a rede ferroviária por onde passam as
rotas sobre trilhos ou a rede hidroviária por onde passam as hidrovias. Tais rotas
devem conter informações sobre freqüência, tipo de veículo que a utiliza,
capacidades, tarifa e condições de transbordo (tempos médios e tarifa para acesso).

8. O nível de detalhamento da rede depende, também, dos objetivos do estudo. Os
planos de natureza estratégica, como costumam ser os Planos Diretores de
Transporte, normalmente identificam os grandes movimentos da população e,
conseqüentemente, tornam interessante, a representação do sistema viário principal
de uma cidade ou região e os seus principais corredores de transporte público.
Devido às facilidades computacionais que evoluem a cada dia, tem-se aumentado o
nível de detalhes da representação das ligações, porém esta prática, nem sempre se
traduz em mais precisão nos resultados, pois são muitos e diversos os fatores que
influem nos deslocamentos das pessoas, como se verá no decorrer deste curso.

10. 1.2 Modelagem da Demanda
A demanda de transporte é definida pela realização de um desejo ou de uma
necessidade de deslocamento de uma pessoa de um determinado ponto (origem) a
outro (destino) devido a um motivo específico. Assim, a demanda de transporte é
dada por uma origem, um destino e a quantidade de pessoas que desejam se deslocar
entre esses dois pontos.
A representação dos dados quantitativos da demanda é feita através de matrizes
contendo alguma medida da intensidade da demanda por deslocamentos entre zonas
de tráfego. A sua determinação é feita no que chamamos de modelo de 4 etapas
que serão a seguir detalhadas.

11. 1.2.1 1a Etapa: processo de geração de viagens
É na primeira etapa (geração da demanda ou de viagens) que se define a demanda
total por transportes de cada zona de tráfego em função de seu potencial como pólo
produtor ou atrator de deslocamentos.
Isto é realizado através da determinação de várias equações que estabelecem
correlações entre o total de viagens geradas em uma zona e as variáveis sócio-
econômicas e de uso do solo nela presentes, tanto no aspecto de produção, como de
consumo ou atração de viagens.
Para tanto, há que se ter uma base de dados confiável sobre a qual será determinado
o modelo de geração obtida de uma pesquisa domiciliar origem e destino de viagens.
A pesquisa domiciliar origem e destino fornece dados sobre as características do
domicílio, das pessoas e dos deslocamentos realizados pelos seus moradores.

12. Dos domicílios tem-se:
Zona de tráfego;
Características físicas do imóvel: quantidade de cômodos, tipo de construção;
Indicadores de conforto: posse de auto, posse de eletrodomésticos, consumo de
energia, ligação de esgoto etc;
Quantidade de famílias;
Quantidade de moradores por família.
Das pessoas tem-se:
Idade e Gênero;
Posição: chefe, cônjuge, filho, agregado;
Grau de instrução;
Ocupação e endereço da ocupação;
Renda.

13. Dos deslocamentos tem-se:
Quem realiza a viagem;
Horário de saída;
Endereço de origem;
Motivo na origem;
Horário de chegada;
Endereço de destino;
Motivo no destino;
Modo de transporte utilizado;
A partir desta base de dados é possível construir o modelo de geração e os métodos
comumente utilizados são o de análise de regressão linear múltipla e o de análise de
categorias.

14. − regressão linear múltipla: é uma técnica que procura estabelecer uma relação
linear entre um conjunto de variáveis explicativas (denominadas independentes –
variáveis sócio-econômicas) e uma variável que se pretende explicar (denominada
dependente), no caso a produção ou a atração de demanda por zona;
− análise de categorias: é um método onde há a agregação dos usuários de
transporte em grupos bem definidos (categorias). Como exemplo, pode-se definir
categorias através da combinação de um critério de renda, com outro de quantidade
de moradores e com viagens de base domiciliar e não-domiciliar. A partir da
desagregação efetuada, obtém-se, dos dados levantados nas pesquisas, a
quantidade de viagens geradas em cada categoria, determinando-se taxas de
geração por família.

15. Exemplo de aplicação: análise de categorias para determinação da produção de
viagens por zona de tráfego.
Determinação das categorias de viagens:
Viagens com base domiciliar motivo trabalho - BDT: todas as viagens que
tenha uma das pernas com motivo domicílio e a outra com motivo trabalho;
Viagens com base domiciliar motivo escola – BDE: todas as viagens que
tenha uma das pernas com motivo domicílio e a outra com motivo estudo;
Viagens com base domiciliar motivo outros – BDO: todas as viagens que
tenha uma das pernas com motivo domicílio e a outra com motivo outros
(negócio, lazer, saúde etc.);
Viagens com base não-domiciliar – BND: todas as viagens que não tenha o
motivo residência em nenhuma das pernas.

16. Determinação das categorias de famílias:
Tamanho de família: classificação das famílias segundo a quantidade de
moradores (1, 2, 3, ..... moradores). A quantidade de moradores influi na
quantidade de viagens geradas pela família;
Renda da família: classificação das famílias segundo a renda média familiar
ou algum critério, por exemplo, da ABIPEME que estratifica as famílias de
acordo com a posse de itens como automóvel, utensílios domésticos e o grau
de instrução do chefe.
ITENS DE POSSE Não Tem 1 2 3 4 5 Mais de 6 Grau de Instrução do Chefe de Família Pontuação
Automóvel 0 4 7 9 9 9 9 1º grau incompleto 0
Televisor em cores 0 1 2 3 4 4 4 1º grau completo 1
Banheiro 0 4 5 6 7 7 7 2º grau completo 2
Empregada mensalista 0 3 4 4 4 4 4 Superior incompleto 4
Rádio (excluindo do carro) 0 1 2 3 4 4 4 Superior completo 8
Máquinas de lavar roupa 0 2 2 2 2 2 2
Videocassete 0 2 2 2 2 2 2
Aspirador de pó 0 0 0 0 0 0 0 CLASSES CRITÉRIO
Abipeme
Geladeira comum ou com freezer 0 4 4 4 4 4 7 A 46
Freezer 0 2 2 2 2 2 2 B 34
C 22
D 13
E 7

17. Tabulando-se os domicílios por categoria de renda e por quantidade de moradores, de
uma determinada pesquisa origem e destino obteve-se os dados como representados
na Tabela 1.2.1.
Tabela 1.2.1 – Domicílios por categoria de renda e tamanho da família
Moradores Classe de renda Total
A,B C D,E
1 5.045 12.098 15.268 32.411
2 14.003 50.152 26.442 90.596
3 23.804 80.496 21.208 125.509
4 23.286 74.899 14.349 112.535
5+ 16.568 53.714 17.975 88.257
Total geral 82.706 271.359 95.242 449.307
Tabulando-se, a seguir, a quantidade de viagens geradas pelas mesmas categorias de
renda e tamanho de família, das viagens motorizadas e de base domiciliar (BDT, BDE,
BDO), têm-se os dados conforme representados na Tabela 1.2.2.
Tabela 1.2.2 – Viagens motorizadas por categoria de renda e tamanho de família
Moradores Classe de renda Total
AB C DE
1 5.039 7.197 3.930 16.165
2 29.084 42.016 11.771 82.871
3 68.958 101.638 12.130 182.725
4 82.383 114.805 14.623 211.811
5+ 78.242 88.732 14.215 181.188
Total geral 263.705 354.387 56.669 674.761

18. A quantidade motorizada de viagens produzidas por cada domicílio de uma categoria
de renda e com determinado número de moradores é obtida dividindo-se o total de
viagens pelo total de domicílios da respectiva categoria. A Tabela 1.2.3 representa os
dados calculados.
Tabela 1.2.3 – Taxa de viagens motorizadas por domicílio
Classe de renda
Moradores Total
A,B C D,E
1 1,00 0,59 0,26 0,50
2 2,08 0,84 0,45 0,91
3 2,90 1,26 0,57 1,46
4 3,54 1,53 1,02 1,88
5+ 4,72 1,65 0,79 2,05
Total geral 3,19 1,31 0,59 1,50
Os resultados indicam que um domicílio com um morador da classe de renda A,B produz, em
média, 1 viagem motorizada por dia, enquanto que, um domicílio de um morador da classe de
renda D,E produz apenas 0,26 viagens motorizadas por dia.

19. Observe-se que na medida em que aumenta a quantidade de moradores aumentam-se
as taxas de viagens produzidas por dia. Enquanto que, na medida em que decresce a
renda, decresce a taxa de viagens produzidas por dia. A taxa geral obtida foi de 1,50
viagens/dia motorizada por cada domicílio da área pesquisada.
Os resultados obtidos nem sempre são consistentes, pois dependem do tamanho da
amostra dos domicílios e da qualidade da pesquisa efetuada. No exemplo mostrado,
nota-se que apenas uma categoria não obedeceu à lógica mostrada pelos resultados,
ou seja, a categoria de classe de renda C com 4 moradores que produz 1,02
viagens/dia, mais viagens do que com 5 ou mais moradores, com 0,79 viagens/dia.
Neste caso, busca-se analisar os dados verificando se não houve algum erro de
transcrição ou, em não se observando esta hipótese, efetuar agregações, por exemplo,
juntando-se os domicílios de 4 moradores com as de 5 ou mais moradores.

20. Como o modelo resultante deverá ser posteriormente testado para validação dos
resultados, pode-se assumir um valor intermediário como, por exemplo, a média entre
os dois valores vizinhos neste caso (0,57+0,79)/2=0,68. Há que se observar que nas
tabulações acima não entraram as viagens de base não domiciliar, ou seja, as que não
estão relacionadas diretamente com os domicílios. Estas serão modeladas através de
regressão, conforme se verá a seguir.
− Regressão linear múltipla: para determinação da atração de viagens por zona de
tráfego.
A Tabela 1.2.4 a seguir mostra os dados obtidos de uma pesquisa origem destino,
mostrando as viagens por categoria atraídas pelas zonas de tráfego e os dados de
população, emprego e matrículas em um determinado ano-base.

21. Tabela 1.2.4 – Dados de viagens atraídas, população, emprego e matrícula por zona de tráfego.
Total
Região BDT BDE BDO BND geral População Empregos Matriculas
1 55.750 6.789 37.696 5.763 105.999 12.847 30.513 5.252
2 26.008 9.690 21.409 4.596 61.703 35.058 14.517 13.311
3 26.423 12.820 13.451 5.800 58.494 14.062 19.795 15.308
4 19.102 5.900 12.085 2.076 39.163 39.928 5.433 8.836
5 26.853 13.003 15.357 5.354 60.567 33.401 14.378 12.282
6 22.405 5.605 14.031 2.708 44.749 33.186 16.287 8.872
7 22.465 6.345 10.839 3.857 43.506 24.233 26.841 9.505
8 29.876 20.967 18.000 5.083 73.926 41.413 18.805 23.466
9 10.372 4.568 5.131 1.686 21.756 15.728 6.235 4.893
10 47.362 20.026 22.532 5.992 95.913 64.915 32.065 21.760
11 18.312 9.841 8.557 2.610 39.319 45.416 11.499 11.887
12 19.173 9.252 10.618 524 39.567 47.020 12.132 13.402
13 19.307 4.634 10.286 1.515 35.743 37.425 15.605 6.695
14 24.157 6.925 13.304 1.406 45.791 62.599 12.833 10.687
15 12.667 3.884 8.103 526 25.179 33.222 7.188 8.842
16 14.894 7.087 11.196 1.007 34.184 71.514 8.630 12.025
17 6.642 3.609 2.629 100 12.980 20.843 3.849 3.950
18 9.657 2.374 5.069 320 17.421 33.380 6.192 8.545
19 24.593 11.495 18.854 2.379 57.320 33.542 18.006 20.065
20 5.574 2.280 6.013 159 14.026 19.435 2.656 3.331
21 17.658 3.261 8.498 2.301 31.718 28.858 13.427 8.670
22 7.004 2.321 3.135 574 13.033 19.988 4.776 5.158
23 10.219 3.738 5.273 663 19.893 44.803 4.048 11.048
24 9.737 4.405 4.871 914 19.927 40.795 6.559 9.703
25 3.707 1.352 2.187 459 7.705 11.883 2.828 3.615
26 4.496 41 458 471 5.465 - 9.017 119
27 21.373 7.768 10.104 1.881 41.127 24.001 14.435 5.108
28 10.151 4.006 5.935 1.084 21.176 12.669 6.170 5.711
29 10.514 3.160 6.853 917 21.444 38.208 7.462 7.025
30 22.897 5.419 7.585 2.410 38.311 32.057 17.405 11.106
31 19.976 6.163 5.777 669 32.585 54.830 7.659 14.174
32 19.579 7.997 10.318 2.482 40.376 32.961 8.990 11.161
33 5.465 2.073 1.515 148 9.200 20.175 2.229 3.817
34 12.408 7.195 6.245 1.735 27.583 47.136 8.253 13.726
35 13.258 3.378 3.995 67 20.698 47.108 4.874 9.848
36 8.323 1.404 5.112 692 15.530 22.746 5.962 5.756
37 10.236 3.587 5.203 297 19.323 39.189 5.827 7.992
38 791 270 595 14 1.669 3.665 814 798
Total
649.380 234.631 358.818 71.237 1.314.066 1.240.239 414.190 357.449
geral

22. As regressões múltiplas baseiam-se na determinação dos coeficientes associados às
variáveis dependentes de uma função do tipo:
y i = α 1 × vi + α 2 × v 2 + ... + α n × v n (1.2.1)
Onde: yi = variável dependente da categoria i que se quer calcular, por exemplo, BDT
α 1 , α 2 ,.., α n = coeficiente a ser determinado
v1 , v 2 ,...., v n = variáveis explicativas independentes
São testadas regressões múltiplas com variáveis para a seleção daquelas que melhor
explicam cada categoria.
Por exemplo, as viagens BDT (Base Domiciliar Trabalho) são dependentes da
quantidade de empregos e da população. O teste feito com estas duas variáveis
apresentou o seguinte resultado:
y BDT = 0,0973*população + 1,283*emprego > A correlação apresentou um R2 = 0,84

23. Da mesma forma para as viagens BDE (Base Domiciliar Estudo) o teste apresentou o
seguinte resultado:
y BDE = -0,069*população + 0,903*matrícula > R2 = 0,786
Para as viagens BDO (Base Domiciliar Outros) o teste apresentou o seguinte
resultado:
y BDO = 0,035*população + 0,763 empregos > R2 = 0,69
Finalmente, com referência as viagens não domiciliares (BND), a variável que
apresentou uma correlação razoável foi a quantidade de empregos, com a seguinte
relação:
y BND = 0,181*Empregos > R2 = 0,71
O modelo assim determinado poderá ser utilizado para as projeções das viagens
atraídas com base nas projeções de população, emprego e matrícula para cada zona
de tráfego do estudo.

24. .

26. DADOS GLOBAIS REGIÃO METROPOLITANA DE SÃO
PAULO
Variáveis 1967 1977 1987 1997 2002
População (milhares de
7.097 10.273 14.248 16.792 18.345
habitantes)
Total de Viagens
- 21.399 29.400 31.432 38.660
(milhares/dia)
Viagens Motorizadas
7.187 15.999 18.750 20.619 24.466
(milhares/dia)
Frota de Autos (milhares) 493 1.384 2.014 3.092 3.099
Índice de Mobilidade Total¹ 2.08 2.06 1.87 2.11
Índice de Mobilidade
1.01 1.56 1.32 1.23 1.33
Motorizada²
Taxa de Motorização³ 70 135 141 184 169
Empregos (milhares) - 3.960 5.647 6.959 7.983
Matrículas (milhares) 1.088 2.523 3.676 5.011 5.448
Fonte: Metrô-Pesquisa OD/67/77/87/97 e Aferição da OD/2002
¹ Índice de Mobilidade Total: Número de viagens totais por habitante
² Índice de Mobilidade Motorizada: Número de Viagens motorizadas por habitante
³ Taxa de Motorização: Número de automóveis particulares por 1.000 habitantes

27. GRÁFICOS DE CORRELAÇÃO
Mil Viagens geradas
120 ‘
.
90 . . . . . .
. .‘. ...
60 ... . ... Viagens produzidas
. .. . .
30 . . . +
+
0 50 100 150 + +++
+
Densidade populacional (hab/ha)
Viagens atraídas
+ +
+
+ ++ +
+ + +
++
+
+ ++
Número de carros
++ +
+ ++
++
+ +
+
Densidade de matrículas

28. 1.2.2 2a Etapa: Distribuição das Viagens Geradas
Uma vez conhecidas as quantidades de viagens produzidas ou atraídas de cada zona
de tráfego (totais das colunas e linhas da matriz de viagens) realiza-se sua distribuição,
já no segundo estágio, que corresponde à estimativa da intensidade do intercâmbio
existente entre cada par de zonas.
Os modelos adotados utilizam as estimativas de produção e atração por zona de
tráfego e algum tipo de informação sobre a estrutura da distribuição de demanda. No
caso de estudos baseados em pesquisas de origem e destino, utilizam-se os próprios
dados expandidos como referência para a determinação do modelo.

29. A idéia básica dos procedimentos incorporados nesses modelos é a de que a demanda
produzida em cada zona é "distribuída" entre as zonas atratoras. Esta etapa pode
ser associada à escolha do destino, realizada em função do potencial atrator de cada
possível zona de destino.
100
P=300 P=500
300
A=700 A=250
200
150
400 200
P=550
A=400

30. Existem duas classes mais utilizadas de modelos de distribuição, diferenciadas em
função do tipo de informação sobre a estrutura da interação entre as zonas: modelos
de fator de crescimento (ou de expansão) e modelos gravitacionais.
− modelos de fator de crescimento: usam uma matriz atual (ou de um período
anterior) como base para realizar a projeção da distribuição da demanda. Esta matriz
é corrigida utilizando-se fatores de crescimento baseados na evolução estimada das
produções e atrações em cada zona, da situação base para o ano-horizonte. Nesses
casos, a estrutura da matriz base influencia decisivamente na solução final.
− modelos gravitacionais: baseiam a estrutura da matriz de distribuição de demanda
projetada, em informações sobre a oferta de transportes prevista. Esta é descrita, em
geral, em termos dos tempos ou custos associados ao deslocamento entre cada par
de zonas. É comum se adotar uma combinação destes fatores, denominada
genericamente de impedância ou custo generalizado.

31. 1.2.2.1 Modelo de Fator de Crescimento
Aplicado em projeções de curto prazo, quando não se prevê mudanças significativas
na rede de transportes, pois ela reproduz um padrão de distribuição de viagens de um
determinado ano-base. Existem vários métodos que podem ser aplicados:
Fator de crescimento uniforme: aplica-se um fator único de crescimento às células
da matriz, conforme mostra a equação a seguir:
Tij = g ij × t ij (1.2.1)
Onde: Tij = a estimativa do fluxo da zona i para a zona j g ij = fator de expansão
t ij = o fluxo original do ano base

32. Exemplo 1.1.1 – Fator de crescimento uniforme g ij = 20% para todo i e j
Matriz ano-base
1 2 3 4 5 P
1 200.000 100.000 15.000 3.500 11.000 329.500
2 99.000 230.000 63.000 18.000 49.000 459.000
Viagens
3 13.000 56.000 106.000 5.000 4.000 184.000 produzidas
4 3.500 30.000 2.500 225.000 7.000 268.000
5 10.000 46.000 4.200 3.000 143.000 206.200
A 325.500 462.000 190.700 254.500 214.000 1.446.700
Viagens atraídas
1 2 3 4 5 P
1 240.000 120.000 18.000 4.200 13.200 395.400
2 118.800 276.000 75.600 21.600 58.800 550.800
3 15.600 67.200 127.200 6.000 4.800 220.800
4 4.200 36.000 3.000 270.000 8.400 321.600
5 12.000 55.200 5.040 3.600 171.600 247.440
A 390.600 554.400 228.840 305.400 256.800 1.736.040

33. Fator de crescimento com restrição simples na produção ou na atração:
aplicam-se taxas de tal maneira que a soma das viagens de uma linha (ou coluna)
seja igual à produção (atração) projetada. Para se obter os valores de cada célula a
equação a seguir se refere à situação de restrição na produção de viagens:
 
Tij =  ×t
Pi
 ∑ t  ij
 todas.as. zonas 

iz

Onde: Tij = a estimativa do fluxo da zona i para a zona j
Pi = a produção estimada para a zona i
tiz = o fluxo original do ano base

34. Assim, as viagens produzidas por cada zona são iguais ao total estimado para cada
zona, conforme mostra o Exemplo a seguir.
Matriz ano-base
1 2 3 4 5 P
1 200.000 100.000 15.000 3.500 11.000 329.500
2 99.000 230.000 63.000 18.000 49.000 459.000
3 13.000 56.000 106.000 5.000 4.000 184.000
4 3.500 30.000 2.500 225.000 7.000 268.000
5 10.000 46.000 4.200 3.000 143.000 206.200
A 325.500 462.000 190.700 254.500 214.000 1.446.700
Restrição pela Produção
1 2 3 4 5 P estimada
1 220.000 110.000 16.500 3.850 12.100 362.450
2 113.850 264.500 72.450 20.700 56.350 527.850
3 13.650 58.800 111.300 5.250 4.200 193.200
4 4.200 36.000 3.000 270.000 8.400 321.600
5 11.000 50.600 4.620 3.300 157.300 226.820
A 362.700 519.900 207.870 303.100 238.350 1.631.920
Processo análogo é aplicado quando se tem a estimativa da atração de viagens.

35. Fator de crescimento com restrição dupla na produção e na atração - Fratar:
aplicam-se taxas de tal maneira que a somas das viagens de uma linha e de uma
coluna sejam iguais à produção e atração projetadas. Para se obter os valores de
cada célula, aplica-se o modelo Fratar de balanceamento, cuja meta é resolver a
seguinte equação:
Tij = tij × ai × b j
Sujeita às seguintes restrições: ∑ T ij = Pi ∑T ij = Aj , onde:
j i
Tij = fluxo estimado produzido pela zona i e atraída pela zona j
tij = fluxo do ano-base produzido pela zona i e atraída pela zona j
ai = fator de balanceamento para a linha i
bj = fator de balanceamento para a coluna j
Pi = número de viagens produzidas pela zona i
Aj = número de viagens atraídas pela zona j

36. A solução deste problema é por processo de convergência feito iterativamente. Cada
iteração consiste em balancear as linhas para chegar aos valores de Pi ’s e depois as
colunas para chegar aos valores de A j ’s. Este processo se repete até que um critério
de convergência é satisfeita ou até que um número máximo de iterações seja atingido.
Exemplo 1.1.3 - Fratar
Matriz ano-base
1 2 3 4 5 P P estimada
1 200.000 100.000 15.000 3.500 11.000 329.500 362.450
2 99.000 230.000 63.000 18.000 49.000 459.000 527.850
3 13.000 56.000 106.000 5.000 4.000 184.000 193.200
4 3.500 30.000 2.500 225.000 7.000 268.000 321.600
5 10.000 46.000 4.200 3.000 143.000 206.200 226.820
A 325.500 462.000 190.700 254.500 214.000 1.446.700
A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920
1ª Iteração
1 2 3 4 5 P P estimada Diferença
1 220.000 110.000 16.500 3.850 12.100 362.450 362.450 0
2 113.850 264.500 72.450 20.700 56.350 527.850 527.850 0
3 13.650 58.800 111.300 5.250 4.200 193.200 193.200 0
4 4.200 36.000 3.000 270.000 8.400 321.600 321.600 0
5 11.000 50.600 4.620 3.300 157.300 226.820 226.820 0
A 362.700 519.900 207.870 303.100 238.350 1.631.920 0
A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920
-34 41.648 -6.985 -19.541 -15.088
Diferença

37. 2ª Iteração
1 2 3 4 5 P P estimada Diferença
1 219.980 118.812 15.946 3.602 11.334 369.673 362.450 7.223
2 113.839 285.688 70.015 19.365 52.783 541.692 527.850 13.842
3 13.649 63.510 107.560 4.912 3.934 193.565 193.200 365
4 4.200 38.884 2.899 252.593 7.868 306.444 321.600 -15.156
5 10.999 54.653 4.465 3.087 147.342 220.547 226.820 -6.273
A 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920
A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920
Diferença 0 0 0 0 0
3ª Iteração
1 2 3 4 5 P P estimada Diferença
1 215.682 116.490 15.634 3.531 11.113 362.450 362.450 0
2 110.931 278.388 68.226 18.871 51.434 527.850 527.850 0
3 13.623 63.391 107.357 4.902 3.927 193.200 193.200 0
4 4.407 40.807 3.043 265.086 8.257 321.600 321.600 0
5 11.312 56.208 4.592 3.175 151.533 226.820 226.820 0
A 355.954 555.284 198.852 295.565 226.264 1.631.920 0
A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920
Diferença 6.712 6.263 2.033 -12.006 -3.002
4ª Iteração
1 2 3 4 5 P P estimada Diferença
1 219.749 117.804 15.794 3.388 10.965 367.700 362.450 5.250
2 113.022 281.528 68.924 18.104 50.752 532.330 527.850 4.480
3 13.880 64.106 108.455 4.703 3.875 195.018 193.200 1.818
4 4.490 41.267 3.074 254.318 8.148 311.297 321.600 -10.303
5 11.525 56.842 4.639 3.046 149.523 225.574 226.820 -1.246
A 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920
A estimada 362.666 561.548 200.885 283.559 223.262 1.631.920
Diferença 0 0 0 0 0

38. 1.2.2.2 Modelo Gravitacional
O modelo de gravidade é do tipo analógico pois se baseia, por analogia, na lei
gravitacional de Newton e é o mais utilizado na distribuição.
Suponhamos duas zonas de tráfego i e j, cuja distância de percurso entre os centróides
é d ij .
i=29 e j=18 d ij = distância entre 29 e 18

39. As viagens geradas pela zona i e com destino a j podem ser assim explicadas:
> A taxa de produção de viagens na zona i é proporcional à sua “massa”, no caso
medida através de variáveis explicativas da produção, conforme visto anteriormente:
domicílio, renda etc.;
> A taxa de atração de viagens da zona j deve ser também proporcional à sua “massa”,
no caso medida através de variáveis como emprego, matrícula e população, conforme
visto anteriormente;
> Admite-se, também, que a atração recíproca das duas zonas tende a se enfraquecer
com o afastamento entre elas. Sendo d ij a distância de percurso entre i e j, podemos
admitir que o número de viagens entre as duas zonas seja inversamente proporcional a
uma potência positiva de d ij . Na lei clássica de Newton o expoente é dois; trata-se, na
verdade, de um fenômeno físico cujo comportamento é determinístico e regido por uma
propriedade universal. No caso do transporte a lei é apenas uma aproximação
analógica, o que nos leva a relaxar um pouco as premissas.

40. Assim as viagens entre i e j serão calculadas através da seguinte relação:
Pi × A j
Tij = β
d ij
Onde β é um parâmetro maior que a unidade, a ser estimado através de calibração do
modelo.
O modelo de gravidade pode ser calibrado através de regressão, aplicando para tanto
logaritmo à expressão:
Tij 1
g ij = = β
(4)
Pi × A j d ij
Onde g ij se refere ao fator de expansão aplicado às viagens geradas em i com destino j

41. Aplicando-se logaritmos, tem-se:
log g ij = − β log d ij
O valor de β pode ser calculado através de regressão simples, como poderá ser
acompanhado através do Exemplo 1.1.4.
Um ponto importante a se notar é que a distância d ij pode ser substituída por outros
parâmetros tais como tempo de viagem, custo de transporte etc. ou por funções
compostas por diversos fatores, funções essas denominadas de impedância, custo
generalizado etc.

42. O custo generalizado consiste em se converter em unidades monetárias todos os
parâmetros que entram na função de impedância, atribuindo pesos aos fatores, com
base na percepção do usuário em relação aos diversos atributos. Por exemplo, o
tempo de espera e de transferência, que se observa no transporte coletivo integrado é
sentido pelo usuário com peso aproximadamente igual ao dobro do peso atribuído ao
tempo de viagem. Assim, ao se converter os tempos em custo (multiplicando-se pelo
valor monetário da unidade tempo), os valores correspondentes aos tempos de espera
e transferência seriam multiplicados por dois.

43. Suponhamos, como exemplo, que a função custo generalizado é dada por:
CG = w1 × c + w2 × tv + w3 × te
Onde: c = custo direto da viagem tv = tempo gasto dentro do veículo
te = tempo de espera e transferência w1 , w2 , w3 = pesos
Na expressão acima w1 pode ser admitido igual à unidade. O valor de w2 seria igual
ao custo atribuído a um minuto do tempo do usuário.
O valor de w3 por sua vez, seria, por exemplo, igual a 2 w . 2
Normalmente os totais de viagens Pi produzidos pelas zonas e as atrações Aj são
projetados exogenamente ao modelo.

44. Assim a calibração fica condicionada a uma série de vínculos, cujo modelo típico é
representado por:
Pi Aj
Tij = λi µ j (0)
(R )
ij
β
Tij = viagens distribuídas
Pi = Total de viagens produzido pela zona i
Aj = Total de viagens atraída pela zona j
Rij = função impedância, envolvendo tempo de viagem, custo, etc.
λi = coef. de calibração, um valor diferente para cada linha da matriz
µj = coef. de calibração, um valor diferente para cada coluna da matriz
β = constante, com valor ajustado através de calibração

45. Os vínculos são estabelecidos através das somas ao longo das linhas e das colunas.
Somando-se ao longo de uma linha i qualquer:
µ j Aj
∑T
j
ij = Pi = λi × Pi × ∑
j (R ) β
ij
−1
 µ j × Aj 
Obtendo-se: λi = ∑ β 
(i = 1, 2, ....) (1)
 j (Rij ) 
 
Somando-se ao longo de uma coluna j qualquer:
λi Pi
∑T
i
ij = Aj = µ j × A j × ∑
i (R ) β
ij
−1
 λ ×P
Obtendo-se: µ j = ∑ i β i  (i = 1, 2, ....) (2)
 i (Rij ) 
 

46. A calibração do modelo de gravidade vinculado segue as seguintes etapas:
(i) Calibra-se a constante β como será visto;
(ii) Atribui-se, inicialmente o valor unitário a todos os coeficientes µj , ou seja, faz-se:
µj = 1 para j = 1, 2,....
(iii) Determinam-se os valores de λi através da equação (1), entrando com os valores
iniciais de µj ;
(iv) Calculam-se a seguir novos valores de µj através da relação (2);
(v) Repetem-se as iterações até que o processo convirja dentro de um nível de
precisão desejado.
Vejam a seguir o Exemplo 1.2.5 de Modelo de gravidade geral

47. Considere-se uma cidade hipotética dividida em cinco zonas de tráfego. A distância
entre as diversas zonas é apresentada na Tabela 1.2.1.
Tabela 1.2.1 – Distâncias entre zonas
Zona Distância entre zonas (km)
i/j 1 2 3 4 5
1 1,6 4,5 7,0 4,5 8,8
2 4,5 1,2 4,1 7,0 11,7
3 7,0 4,1 1,2 11,1 15,8
4 4,5 7,0 11,1 1,4 4,7
5 8,8 11,7 15,8 4,7 1,3
As viagens diárias Tij entre as zonas de tráfego foram levantadas diretamente através
de uma pesquisa domiciliar O-D (origem/destino) e são apresentadas na Tabela 1.2.2.
Tabela 1.2.2 – Viagens diárias Tij
Zona Viagens Diárias
i/j 1 2 3 4 5 Pi
1 43.927 1.456 314 3.754 365 49.816
2 47.219 45.437 3.326 11.651 1.396 109.029
3 19.151 7.218 16.907 4.150 591 48.017
4 84.116 6.665 1.355 181.585 8.285 282.006
5 16.664 1.623 484 19.574 31.162 69.507
Aj 211.077 62.399 22.386 220.714 41.799

48. Inicialmente determinam-se os valores de g ij , dados pela relação (4), dividindo-se cada
elemento da matriz da Tabela 1.2.2 pelo produto entre Pi da zona produtora de viagem
e Aj da zona atratora de viagem. Os resultados são apresentados na Tabela 1.2.3.
Tabela 1.2.3 – Valores de g ij
Zona
g ij
i/j 1 2 3 4 5
1 4,18,E-06 4,68,E-07 2,82,E-07 3,41,E-07 1,75,E-07
2 2,05,E-06 6,68,E-06 1,36,E-06 4,84,E-07 3,06,E-07
3 1,89,E-06 2,41,E-06 1,57,E-05 3,92,E-07 2,94,E-07
4 1,41,E-06 3,79,E-07 2,15,E-07 2,92,E-06 7,03,E-07
5 1,14,E-06 3,74,E-07 3,11,E-07 1,28,E-06 1,07,E-05

49. A calibração do modelo é feita por meio de regressão simples, tendo sido obtidos os
valores de β = 1,379 e R2 = 0,762, conforme apresentado no Gráfico 1.2.1.
Gráfico 1.2.1 – Regressão para determinação de β
7,00
6,50
6,00
-log(gij)
5,50
5,00
y = 1,3792x + 5,0433
R 2 = 0,7623
4,50
4,00
- 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40
log(dij)

50. Determinam-se, a seguir, os coeficientes de distribuição de λi e µj através de processo
iterativo descrito nesta seção. Define-se, como medida da precisão do processo, a
(k )
diferença relativa entre dois valores sucessivos dos parâmetros, digamos λ(i k −1) e λi .
Sendo ε a precisão desejada, deve-se ter:
λ(i k ) − λi( k −1)
≤ε
λ(i k −1)
µ (j k ) − µ (j k −1)
≤ε
µ (j k −1)
Apresenta-se na Tabela 1.2.4 a seguir as primeiras iterações.
Tabela 1.2.4 – Cálculo dos coeficientes de distribuição
µ j × Aj λi × Pi µ j × Aj
zona µ1 ∑ (R )β λ1 ∑ (R )β
i
µ2 ε ∑ (R )β λ2 Ε
j ij ij j ij
1 1 149588,2 6,685E-06 0,6377 1,5682 57% 204739,7 4,88E-06 -27%
2 1 94739,0 1,0555E-05 1,2191 0,8203 -18% 97696,5 1,02E-05 -3%
3 1 49663,3 2,0136E-05 1,0199 0,9805 -2% 54157,49 1,85E-05 -8%
4 1 175323,6 5,7037E-06 1,2872 0,7769 -22% 158774,3 6,3E-06 10%
5 1 68348,8 1,4631E-05 0,9754 1,0252 3% 68844,41 1,45E-05 -1%

51. Com nível de precisão ε =5%, foram necessárias 5 iterações para se chegar à
convergência, tendo sido obtidos os seguintes valores de λi e µj representados na
Tabela 1.2.5.
Tabela 1.2.5 – Valores dos coeficientes de distribuição ajustados
Zona λi µj
1 4,6243E-06 1,6857
2 9,7092E-06 0,8840
3 1,7262E-05 1,1097
4 6,5512E-06 0,7072
5 1,4734E-05 1,0027
Aplica-se o modelo ajustado para alguns pares de zonas, através da relação (0).
Para i=1 e j=3 tem-se da Tabela 1.2.4 λ1 =4,6243E-06 e µ 3 =1,1097.
Os totais de viagens produzidas e atraídas são apresentados na Tabela 1.2.2, ou seja,
P1 =49.816 e A3 =22.386.

52. Aplicando-se a relação (0), com R1,3 =7,0 km (Tabela 1.2.1) e β =1,379, obtem-se
T1,3 =391, contra o valor observado de 314, indicado na Tabela 1.2.2.
Há uma opção para utilização de um fator denominado k-fator para ajustar os fluxos
estimados pelo modelo de distribuição. O fator é utilizado quando, por alguma razão o
fluxo i,j não é estimado corretamente. O uso intensivo dos k-fatores podem
incrementar o ajuste ano base, porém pode diminuir o poder de previsão para os anos
futuros.
Ti , j
ki, j =
Ti , j
Onde
Ti , j = fluxo observado
Ti , j = fluxo estimado.

53. 1.2.3 3a Etapa: Divisão Modal das Viagens
A divisão ou escolha modal é a terceira etapa do processo de planejamento de
transportes. Seu objetivo é estimar os fluxos de passageiros entre os pares de zonas
de tráfego, para cada modo de transporte analisado.
Suponhamos, por exemplo, que a análise contemple duas alternativas:
(i) transporte coletivo, representado pelo sufixo C;
(ii) transporte individual (auto), representado pelo sufixo I.
Sendo φij(C ) a fração das viagens entre as zonas i e j que se utiliza de transporte público
e φij( I ) a fração que se desloca em transporte individual, tem-se:
Tij(C ) = φijC ) × Tij
(
Tij( I ) = φij( I ) × Tij
Com φij(C ) + φij( I ) = 1

54. Os valores de Ti , j nestas expressões correspondem às viagens obtidas através do
modelo de distribuição.
A definição do modelo de divisão modal se faz através do ajuste via regressão múltipla
φij(C )
de uma função do tipo: = f (t ijC ) , t ijI ) , cijC ) , cijI ) , E i , E j )
( ( ( (
φ (I )
ij
Onde:
tijC ) , tijI )
( (
= tempo de deslocamento entre as zonas i e j pelos modos C e I;
cijC ) , cijI ) =
( (
custos de deslocamento entre as zonas i e j pelos modos C e I;
Ei , E j = variáveis sócio-econômicas (renda, empregos etc) das zonas i e j.
Vamos a seguir analisar um tipo de função utilizado na divisão modal baseado em
modelos comportamentais.

55. Modelos Comportamentais
O enfoque comportamental à análise de demanda parte da Teoria do Consumidor,
constituindo uma extensão dos conceitos da Economia Geral ao estudo de sistemas de
transportes.
Admite-se, para tanto, que o usuário seja um consumidor do serviço de transporte,
enquanto que nas análises clássicas da Economia são consumidos produtos físicos
como manufaturados, alimentos, etc.
As decisões adotadas pelos indivíduos em relação ao consumo de um bem ou um
serviço envolvem uma parcela de subjetivismo, mas incorporam também fatores
racionais. Por exemplo, se uma pessoa resolve adquirir um televisor de um
determinado tipo é claro que a decisão não pode ser explicada totalmente em termos
econômico-financeiros. Ou seja, não existe estudo de viabilidade econômica que
aponte essa ou aquela solução. Pesam aí fatores eminentemente subjetivos, gerados
pela propaganda, pelas aspirações sociais de “status”, de conforto etc.

56. Há, no entanto, fatores econômicos-financeiros que influem na seleção da marca, do
próprio tipo de televisor, da casa comercial e das condições de financiamento. Isso
porque o indivíduo tem restrições orçamentárias e define, subjetiva ou objetivamente,
uma hierarquização pessoal de gastos (alimentação, habitação, educação, vestuário
etc).
Uma das premissas do enfoque comportamental é a de que o indivíduo estabelece
subjetiva ou objetivamente um elenco de opções na ordem de preferência, e escolherá
sempre a mais desejável, dado um conjunto de inclinações e dadas as condicionantes
de ordem econômico-financeira e de oportunidade disponíveis. Por trás dessa
premissa está se fazendo a hipótese de que os indivíduos, embora incorporem fatores
subjetivos às suas decisões, mantém o mesmo padrão comportamental ao longo do
tempo.

57. Para se estabelecerem modelos comportamentais desse tipo é necessário, antes de
mais nada, medir quantitativamente as preferências do usuário, que é o consumidor do
transporte. Essa medida quantitativa é baseada no conceito de utilidade e se formaliza
através de uma função de utilidade. Essa, por sua vez, está vinculada a uma série de
atributos do produto consumido (o transporte).
Atributos e nível de serviço
O usuário, ao considerar diferentes opções, leva em consideração, objetiva ou
subjetivamente, um certo número de variáveis ou atributos. Esses atributos que influem
na decisão são chamados de variáveis de serviço.

58. As variáveis que mais comumente compõem o nível de serviço são:
(i) Variáveis ligadas ao tempo
Tempo total de deslocamento;
Tempo despendido nos pontos de transferência;
Tempo de espera
(ii) Variáveis ligadas ao custo
Tarifa;
Combustível;
Pedágios; Estacionamento etc;
(iii) Variáveis ligadas ao conforto
Distância percorrida a pé;
Número de transferências;
Conforto físico

59. Função de utilidade
Para se entender o conceito de utilidade vamos considerar como exemplo simples uma
situação em que as variáveis de serviço relevantes são apenas duas (i) o tempo total
de deslocamento e (ii) o custo de transporte.
A função de utilidade normalmente utilizada em estudos de transporte tem a forma:
U = f ( X ,α )
Onde
X = {x1 , x 2 ,......, x n } é o vetor das variáveis de serviço e
α = {α 1 , α 2 ,......, α n } é o vetor de parâmetros (usualmente ajustado por calibração)

60. Exemplo 1.3.1
Tomemos como exemplo, o caso de um indivíduo isolado que enfrenta um processo de
decisão entre duas opções de transportes: marítmo ou rodoviário. As variáveis de
decisão do usuário são as seguintes:
(i) custo direto de transporte (C) representado pelas despesas desembolsadas
diretamente pelo usuário;
(ii) tempo de transporte (t) como atrasos, congestionamento nos portos, entraves
burocráticos etc.
(iii) variação do tempo de transporte (∆t) devido a imprevistos tais como atrasos,
congestionamentos etc.

61. Essa última variável (iii) é introduzida porque o confronto dos tempos médios não é
suficiente para comparar as duas opções, visto que o transporte marítmo apresenta
uma variabilidade nas previsões que não pode ser ignorada pelo usuário ao decidir
entre os dois modos.
Os dados referentes às duas alternativas (i e ii) são apresentados na Tabela 1.3.1.
A função utilidade adotada é do tipo linear:
U = α o + α 1t + α 2 C + α 3 ∆t (5)
Tabela 1.3.1 – Custos e tempos de transporte
Transporte Transporte
Item
rodoviário marítmo
C - custo direto (R$/t) 115 85
t - tempo de transporte (dias) 3 20
∆t - variação do tempo de transporte (dias) 1 10

62. O valor de α0 adotou-se 0 neste exemplo. No processo de calibração dos modelos será
analisado o significado deste parâmetro.
Os valores dos parâmetros α1 , α 2 e α3 são estimados através de métodos indiretos, a
serem analisados posteriormente.
No presente exemplo, vamos admitir que os parâmetros já foram ajustados, com os
valores α 1 =-1, α 2 =-1,5 e α 3 =-2. Observar que os sinais negativos estão ligados à
variação de utilidade em função da variável considerada.
Assim, se o custo de transporte é aumentado, a utilidade U deve diminuir; o sinal
negativo traduz este valor. O mesmo ocorre em relação a t e ∆t.

63. Se, por exemplo, a velocidade média v fosse uma das variáveis de serviço, era de se
esperar que seu coeficiente tivesse sinal positivo, pois quanto mais rápido o transporte
mais satisfeito ficará o usuário.
Aplicando a função de utilidade (5) a duas opções obtemos os seguintes resultados:
(i) Transporte marítmo:
U M = α 1C M + α 2 t M + α 3 ∆t M = -1 x 85,00 – 1,5 x 20 – 2X10 = -135,00
(ii) Transporte rodoviário:
U R = α 1C R + α 2 t R + α 3 ∆t R = -1 x 115,00 – 1,5 x 3 – 2 x 1 = -121,50
De acordo com uma das premissas da teoria do consumidor o usuário decide sempre
pela alternativa que apresentar maior valor da utilidade.
No caso U R 〉U M e portanto o usuário escolherá o transporte rodoviário.

64. Mas como os valores são bem próximos é admissível indagar se a opção seria a
mesma se a diferença fosse de apenas de uma unidade.
Ou seja, se UM fosse igual a -121,49 a metodologia adotada indicaria sempre o
transporte marítmo uma vez que U M 〉U R .
Esse problema ocorre porque estamos atribuindo ao comportamento do usuário um
comportamento nitidamente determinístico.

65. Na prática os indivíduos atribuem utilidades diferentes aos atributos, seja porque
percebem de forma diferente os efeitos sobre si das diversas variações de serviço, seja
porque alocam pesos diversos aos vários atributos. Assim, a utilidade final,
considerando agora os vários indivíduos que constituem uma determinada categoria
analisada, passa a ser uma variável aleatória dada por:
Wi = U i + ε i (6)
Onde
Ui = parcela determinística da função utilidade
εi = parcela aleatória

66. A escolha da alternativa k passa a ser regida agora por um processo probabilístico. A
probabilidade de escolha da alternativa k é dada agora por:
[
Pk = prob Wk ≥ W j ] para i = 1,2, ....,n
Substituindo Wk e Wj pela expressão (6)
[
Pk = prob U k + ε k ≥ U j + ε j ] (7)
Ou [
Pk = prob ε j − ε k ≤ U k − U j ] com j = 1, 2, ..., n
Admite-se que a variável aleatória εk seja regida por uma distribuição de Weibull, que
tem a seguinte formulação:
prob[ε k ≤ ε ] = exp[− exp(λε )] (8)
Com ε variando no intervalo - ∞ , +∞, sendo λ um parâmetro a ser ajustado por
calibração.

67. Partindo da distribuição de Weibull dada pela expressão (8) e combinando com a
expressão (7), Domenich e McFaden1 deduzem o modelo multinomial, que é dado por:
exp[U k ]
Pk =
∑ exp[U ]
n
j
j =1
No caso de haver apenas dois modos têm-se o modelo logit binomial:
exp[U k ]
Pk = com k = 1, 2
exp[U 1 ] + exp[U 2 ]
Dividindo-se o numerador e o denominador da expressão acima por exp[U k ] obtem-se:
1 1
P1 = = (9)
1 + exp[U 2 − U 1 ] 1 + exp[∆U ]
1 1
P2 = =
1 + exp[− (U 2 − U 1 )] 1 + exp[− ∆U ]
1
Domenich, T. e D. McFadden. “Urban Travel Demand: A behavioral Analysis”. North Holland, Holanda, 1975

68. Exemplo 1.3.2
Deseja-se estimar a divisão da demanda entre o transporte individual (auto) e o
transporte coletivo (metrô) numa ligação urbana entre dois pontos A e B com as
seguintes variáveis de serviço:
Tabela 1.3.2 – Variáveis de serviço dos modos Auto e Metrô
Item Auto Metrô
x1 - tempo consumido dentro do veículo (min) 15 25
x 2 - tempo consumido fora do veículo em 5 18
esperas, deslocamentos a pé etc (min)
x3 - custo direto total de transporte (R$) 11 2

69. A função utilidade adotada é linear, associada a um modelo logit:
U = α 1 x1 + α 2 x 2 + α 3 x3
Com α 1 = −0,325 × 10 −2 , α 2 = −0,650 × 10 −2 , α 3 = −0,350 × 10 −2
Tem-se [ ] [ ] [
∆U = α 1 x1( B ) − x1( A) + α 2 x 2B ) − x 2 A) + α 3 x3B ) − x3 A)
( ( ( (
]
Substituindo os valores das variáveis na expressão acima:
∆U = −0,325 × 10 −2 × (25 − 15) − 0,650 × 10 −2 × (18 − 5) − 0,350 × 10 −2 × (2,00 − 11,00) = 0,0085
Aplicando agora a expressão (9)
1
PA = = 0,48 e PB = 1 − PA = 0,52
1 + exp[− ∆U ]
Dessa forma 48% da demanda se utilizaria do automóvel enquanto que 52% se
deslocaria através do metrô.

70. Calibração do modelo logit binomial
O modelo logit binomial pode ser linearizado de forma a ter seus coeficientes ajustados
por meio de regressão múltipla. Consideremos, para isso, a expressão
1
PA =
1 + exp[∆U ]
Invertendo ambos os membros da expressão acima se obtêm:
1
= 1 + exp(∆U )
PA
Explicitando ∆U através de logaritmos:
 1 
 P −1 = ∆U
ln 
 A 
Substitui-se ∆U pela sua forma expandida:
 1 
[ ]
n

ln − 1 = α 0 + ∑ α i xi( B ) − xi( A)
 (10)
 PA  i =1

71. O coeficiente α0 , que foi introduzido na expressão de ∆U representa os fatores
subjetivos não captados pelo modelo e, eventualmente, alguma variável de serviço não
considerada na análise.
Seja:
λi = xi( B ) − xi( A)
Substituindo em (10) tem-se
 1 
 P − 1 = α 0 + α 1λ1 + α 2 λ 2 + α 3 λ3 + ... + α n λ n
y = ln 
 A 
Através da expressão acima podem-se ajustar, através de regressão múltipla, os
coeficientes α 0 , α 1 , α 2 , α 3 ...α n .

72. Exemplo 1.3.3
Uma determinada região urbana é subdividida em 8 zonas de tráfego. Através de
pesquisa direta levantou-se o número de pessoas que usam automóvel e ônibus na
viagem residência-trabalho. Admite-se, no caso, que os empregos estejam
concentrados no centro da cidade.
Os dados são apresentados na Tabela 1.3.3
Modo A - auto Modo B - ônibus
tempo Custo
(min) (R$)
Viagens
tempo Custo
(min) (R$)
Viagens λ1 λ2 PA y
zona
1 15 6,65 3.320 25 1,50 2.180 10 -5,15 0,604 -0,42064
2 20 8,35 5.248 40 1,50 2.512 20 -6,85 0,676 -0,73677
3 10 5,00 2.020 20 1,50 1.250 10 -3,50 0,618 -0,47995
4 25 9,90 7.902 50 2,00 2.920 25 -7,90 0,730 -0,99553
5 35 13,15 8.723 60 2,50 4.702 25 -10,65 0,650 -0,61798
6 10 4,20 3.470 27 1,50 1.809 17 -2,70 0,657 -0,65138
7 18 7,60 1.812 35 1,50 970 17 -6,10 0,651 -0,62489
8 22 9,20 2.690 35 1,50 2.140 13 -7,70 0,557 -0,22874

73. Os parâmetros λ1 e λ2 são as variáveis independentes e y a variável dependente.
Aplicando-se a regressão múltipla têm-se os valores para α 0 =0,1783, α 1 =-0,04524 e
-2
α 2 =-0,5675x10 e R2 = 0,81 considerado relativamente alto.
Deve-se ressaltar, no entanto, que não é possível determinar uma função de utilidade
absoluta: sempre se trabalha com a utilidade diferencial ∆U e assim a inferência obtida
é válida para a comparação entre dois modos analisados, no contexto em que os
dados foram levantados. Ou seja, o conceito de utilidade aqui utilizado é
eminentemente relativo.
Quando o número de modos supera dois o modelo logit resultante é do tipo
multinomial, não sendo possível a sua linearização. É necessário, para calibrá-lo,
lançar mão de técnicas de cálculo numérico, que permitam a determinação dos
coeficientes αi da função de utilidade. Este modelo não será objeto deste curso.

74. 1.2.4 4a Etapa: Alocação das Viagens
Uma vez efetuada a divisão modal dos fluxos pelos diversos modos alternativos,
passa-se à alocação dos mesmos às redes modais. Essas últimas são representadas
pelas ligações e nós que formam uma rede de transportes como visto anteriormente.
Os modelos de alocação consideram, basicamente, os parâmetros: tempos de
deslocamento para cada caminho alternativo; a capacidade das ligações; e custo do
deslocamento.
Usualmente procura-se escolher o caminho correspondente ao menor tempo de
percurso ou ao menor custo generalizado. O rateio do fluxo pelos diversos caminhos
alternativos leva em conta a menor impedância ao deslocamento bem como os efeitos
de restrição de capacidade no escoamento do tráfego.

75. Exemplo 1.4.1
Apresentamos, a seguir um exemplo de modelo de alocação de fluxo.
Suponhamos que foram estimadas 300 viagens diárias por automóvel entre as zonas
10 e 15 de uma região urbana em estudo. A rede viária (simplificada) é mostrada na
Figura 1.4.1. Para cada tramo da rede foi calculado o custo generalizado, que é função
da distância d (km) e do tempo t (min). Os valores de d, t e do custo generalizado são
apresentados na Tabela 1.4.1.
Tabela 1.4.1 – Distâncias, tempos de percurso e custos generalizados
Nó Nó
d (km) t (min) C (R$)
origem destino
10 1001 0,42 0,84 1,43
10 1002 0,33 0,66 1,12
15 1501 0,73 1,46 2,47
15 1502 0,63 1,26 2,14
15 1503 0,93 1,86 3,16
1001 1503 1,40 2,80 4,77
1002 1501 0,32 0,64 1,10
1002 1502 0,70 1,40 2,37
1502 1503 0,50 1,00 1,71

76. Figura 1.4.1 – Rede simplificada
1501
Centróide da
zona de
1002 15
origem 2,47
0
1,1 Centróide da
1,12 zona de
10 destino
2 ,3
1,43 7 14
2,
3,16
1502
1001 4,77
1,
1,
71
1
1503

77. A seguir são calculados os caminhos de menor custo generalizado a partir de cada um
dos nós à zona de destino 15. Isso é feito através de algoritmo de busca, resultando
para o exemplo nos seguintes valores:
Tabela 1.4.2 – Custos generalizados mínimos de cada nó à zona de destino
Custo generalizado
Nó origem
mínimo (R$)
10 4,69
15 0,00
1001 7,93
1002 3,57
1501 2,47
1502 2,14
1503 3,16

78. Nem todos os caminhos que ligam o nó 10 ao nó 15 devem ser considerados. Na rede
da Figura 1.4.1 tem-se seis caminhos alternativos a saber:
(i) 10 – 1002 – 1501 – 15
(ii) 10 - 1002 – 1502 – 15
(iii) 10 – 1001 – 1503 – 15
(iv) 10 – 1002 – 1502 – 1503 – 15
(v) 10 – 1001 – 1503 – 1502 – 15
(vi) 10 – 1001 – 1503 – 1502 – 1002 – 1501 – 15
O critério para se excluir caminhos sem interesse para alocação do fluxo é o de
garantir o decréscimo sistemático do custo generalizado que falta até a zona de
destino. Ou seja, à medida que se vai caminhando de um nó para outro, o custo
generalizado à zona de destino deve ir decrescendo continuamente.

79. Suponhamos, para exemplificar, o nó inicial 10. Há dois nós adjacentes: 1001 e 1002.
O custo generalizado mínimo de 10 a 15, conforme a Tabela 1.4.2 é 4,69.
Considerando agora os custos generalizados mínimos a partir de 1001 e 1002 vê-se
que o primeiro, igual a 7,93 é maior do que o correspondente ao custo generalizado do
nó 10.
O custo do nó 1002 é igual a 3,57, portanto, menor do que o nó inicial. Dessa forma
os caminhos que partem do nó 10 passando pelo nó 1001 são todos eliminados, já que
envolvem um retrocesso, ou seja, um aumento no custo generalizado até o destino.
Considerando agora o nó 1002, o custo generalizado mínimo dado pela Tabela 1.4.2 é
igual a 3,57. Os caminhos possíveis do nó 1002 até o destino 15, passam pelos nós
10, 1501 e 1502. O primeiro passando pelo nó 10 está eliminado pois seu custo, 4,69,
é maior do que 3,57.

80. Os outros dois caminhos, por 1501 e 1502 são viáveis, já que os respectivos custos
(2,47 e 2,14 respectivamente) são menores do que 3,57.
Consideremos agora o nó 1502, com custo generalizado mínimo igual a 2,14. Esse nó
está ligado aos nós 1002, 1503 e 15, com custos generalizados mínimos iguais a 3,57,
3,16 e 0 respectivamente.
Vê-se, portanto, que a única ligação viável é 1502-15, pois os caminhos via nós 1002 e
1503 apresentam custos generalizados mínimos maiores do que 2,14.
O processo acima descrito, que nas redes de maior porte é realizado
computacionalmente, leva a dois caminhos alternativos viáveis entre as zonas 10 e 15:
(i) 10 – 1002 - 1501 – 15
(ii) 10 – 1002 – 1502 – 15

81. Os demais não são considerados para a alocação de fluxos. O rateio dos fluxos em
cada nó é feito considerando os custos generalizados daquele nó até o destino,
através dos caminhos alternativos viáveis que saem daquele nó.
Consideremos, por exemplo, o nó 1002. Há dois caminhos viáveis a partir de 1002 e
terminando na zona 15: (i) 1002 – 1501 – 15 e (ii) 1002 – 1502 – 15. Os custos
generalizados respectivos são iguais a 3,57 e 4,51.
A divisão do fluxo que sai do nó 1002 com destino à zona 15 pode ser feita através de
um modelo “logit”, do tipo:
exp[β C1 ]
φ1 =
exp[β C1 ] + exp[β C 2 ]
exp[β C 2 ]
φ2 =
exp[β C1 ] + exp[β C 2 ]
Onde C1 e C2 são os custos generalizados 3,57 e 4,51 respectivamente e β é um
parâmetro ajustado por calibração.

82. No exemplo β =-0,75, levando à φ =0,669 e φ =0,331. Multiplicando-se o total de viagens
1 2
que sai da zona 10 com destino à zona 15 tem-se:
F1 = 0,669 × 300 = 201
F2 = 0,331 × 300 = 99
Dessa forma são alocadas 201 viagens ao caminho 1002-1501-15 e 99 viagens ao
caminho 1002-1502-15. O resultado da alocação é mostrado na Figura 1.4.2.

83. Figura 1.4.2 – Resultado da alocação de fluxos
1501
Centróide da 201
zona de 201
300 1002 15
origem
Centróide da
zona de
destino
10
99
99
1502
1001
1503

84. O congestionamento crescente de cada tramo, à medida que o fluxo aumenta em
relação à capacidade da via é levado em consideração através de funções de restrição
de capacidade do tipo:
β
 V  
t = t0 1 + α ×   

 C  
Onde
t0 = tempo de percurso no tramo quando não há restrição de capacidade
t = tempo de percurso para o fluxo V
C = capacidade da via e
α,β = coeficientes.

85. Por exemplo, adotando-se para um determinado tipo de tramo os valores de α = 0,5 e
V
β =4 para uma solicitação = 0,9 tem-se:
C
t = t 0 (1 + 0,5 × 0,9 4 ) = 1,328
Portanto o tempo inicial deve ser acrescido de 32,8%. Os novos tempos levam a novos
valores de custo generalizado, que são re-introduzidos no modelo, provocando novas
alocações. O processo continua iterativamente até que se obtenha a convergência.

86. FIM DA PARTE B
Alberto Lima - curso.transporte@uol.com.br
Agradecimentos: Oficina Consultores e Metrô SP
www.cursodetransporte.com.br