Aulas de estruturas

1. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Requisitos:
Equações de Equilíbrio Estático;
Condições de apoio, vinculações;
Condições de carregamento;
Esforços Seccionais;
Tópicos Abordados:
Barras;
Vigas Isostáticas;
Diagramas Momento;
Diagramas Esforço Cortante;
Diagramas Esforço Normal;

2. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Requisitos:
Equações de Equilíbrio Estático;
Condições de apoio, vinculações;
Condições de carregamento;
Esforços Seccionais;
Tópicos Abordados:
Barras;
Vigas Isostáticas;
Diagramas Momento;
Diagramas Esforço Cortante;
Diagramas Esforço Normal;

3. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Definições:
A viga é um dos elementos estruturais mais utilizados em pontes, passarelas,
edifícios principalmente pela facilidade de construção.
Uma viga pode ser exemplificada por meio de uma barra horizontal que, apoiada em
seus extremos e submetida a forças transversais, tem seu eixo deformado
verticalmente, ou seja, a configuração geométrica de seu eixo se modifica.
A forma de carregamento da viga faz que ela seja solicitada, preponderantemente,
pelo momento fletor e pela força cortante. Por outro lado, as barras de treliças são
solicitadas apenas por forças normais de tração ou compressão, desde que
atendidas as hipóteses que permitam considerar seus nós como ideais.

4. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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5. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Diagramas:
Os diagramas de esforços internos mostram, graficamente, como os esforços
internos (N, Q e M) variam ao longo do eixo do elemento estrutural.
Convenção de Sinais:
• O esforço normal (N) positivo é marcado para o lado de dentro (ou de baixo) do
elemento estrutural, enquanto o negativo é marcado para o lado de fora (ou de cima).
• O esforço cortante (Q) positivo é marcado para o lado de fora do elemento
estrutural, enquanto o negativo é marcado para o lado de dentro.
•O momento fletor (M) positivo é marcado para o lado de dentro do elemento
estrutural, enquanto o negativo é marcado para o lado de fora.

6. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Convenção de Sinais:
• A força normal (N) é considerada positiva se for de tração.
• A força cortante (V) é considerada positiva quando percorre o elemento no sentido
horário.
• O momento fletor (M) é considerado positivo quando traciona o lado de baixo da
viga.

7. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Diagramas de esforços internos:

8. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Exemplos:
em aula, exercícios pg 97, exemplos pg 114 Soriano.

9. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Vigas Gerber
• Aplicações principais – Pontes;
• Surgiram por motivos de ordem estrutural e de ordem construtiva;
• Vigas Gerber Isostáticas serão decompostas nas diversas vigas isostáticas que as
constituem:
- Vigas com estabilidade própria;
- Vigas que se apóiam sobre as demais;
Exemplos de Decomposição:
Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resolução, para obtenção
das reações de apoio.

10. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Vigas Gerber
Exemplos de Decomposição:
Os algarismos romanos I, II, III e IV indicam a ordem de resolução, para obtenção
das reações de apoio.
• Os diagramas podem ser traçados separadamente, juntando-os em seguida;
• As rótulas transmitem forças verticais e horizontais, mas não transmitem
momento;
• Basta que um dos apoios resista a forças horizontais na viga Gerber. Apenas as
cargas verticais provocam esforço cortante e momento fletor nas vigas, portanto, na
decomposição não é necessário distinguir apoios do 1° ou 2 ° gênero. Usa-se
apenas: Δ

11. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Vigas Gerber

12. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Vigas Gerber
Agradecimento ao Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas – GRUPEX e ao Programa de Educação Tutorial – PET, e Prof a. Ângela do
Valle e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)

13. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Exemplos:
1) Determinar as reações de apoio da viga
representada na figura:

14. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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15. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Checagem

16. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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2) Determinar as reações de apoio da viga
representada na figura:

17. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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18. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Verificação dos resultados anteriores:

19. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Viga com rótula interna:
A viga com rótula interna têm uma equação de
equilíbrio adicional de momento nulo.
É útil identificar uma ordem de escrita das
equações de equilíbrio que forneça direta e
sequencialmente uma reação por equação.

20. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Exemplo:
3) Determinar as reações de apoio da viga
representada na figura seguinte.

21. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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22. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas

23. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
Para checar essas reações, fazemos:
As reações de equilíbrio podem ser escritas
de diversas outras formas, como por
exemplo:

24. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
Que é um sistema de resolução mais
trabalhosa do que no caso anterior.

25. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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4) Na próxima figura está esquematizado, de
forma simplista, um guindaste que suporta uma
carga bruta de 100 kN com auxílio do tirante
AC. A seguir, calculam-se as reações de apoio
e o esforço no tirante.

26. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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27. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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28. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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No apoio A, optou-se por representar a reação
na direção do tirante, com a notação R1, por se
saber que o tirante trabalha sob tração. Logo, a
partir do diagrama de corpo livre.
Equações de equilíbrio:

29. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Verificação:
Poderiam, ainda, ser utilizadas diversas outras
formas de cálculo, como, por exemplo:

30. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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As diferenças devem-se a arredondamentos.

31. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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5) Na próxima figura, está esquematizada a
estrutura de suporte de um reservatório
cilíndrico de 150 kN de peso, apoiada nos
pilares P1, P2 e P3. com a idealização em
grelha de apoios rotulados e a consideração
do citado peso no centróide da base do
reservatório, como mostrado em perspectiva
no diagrama de corpo livre, calculam-se as
reações de apoio.

32. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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33. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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34. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Para essa grelha, escrevem-se as seguintes
equações de equilíbrio (escolhidas de forma a
fornecer sequencialmente uma reação por
equação) e respectivas soluções:

35. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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A equação (Σ FZ = 0) pode ser substituída por
outra de somatório de momento nulo em
relação a um eixo não coincidente com os
anteriormente adotados, como por exemplo:
Este resultado confere o anteriormente obtido
para a reação R1.

36. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Em verificação das reações calculadas, faz-se:
Este resultado indica resultados R1 e R3
corretos. Para confrontar simultaneamente
as 3 reações de apoio, escreve-se:

37. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
6) Determinar as reações de apoio da figura:

38. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas

39. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
Com as notações de apoio representadas,
escrevendo as equações de equilíbrio (em
ordem que fornece uma reação por equação):

40. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
Em checagem desses resultados, calcula-se:

41. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
7) Determinar as reações de apoio no pórtico
trirotulado ACB esquematizado na figura, que
suporta uma ponte rolante DE, cujo
impedimento a deslocamento horizontal não é
representado, por simplicidade. Considerando
que esta ponte se descarregue como viga
biapoiada em consolos curtos desse pórtico.

42. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas

43. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas

44. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
A força de intensidade 30 kN atuante no meio da
ponte rolante pode ser transferida para o pórtico,
como indicado no diagrama de corpo livre. Logo,
para esse pórtico, escrevem-se as seguintes
equações de equilíbrio (em ordem que fornece uma
reação por equação) e respectivas soluções:

45. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas

46. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
Em verificação desses resultados, faz-se:

47. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
8) Na figura está esquematizada uma viga
com apoios rotulados móveis inclinados
quanto ao referencial global. Determinar as
reações de apoio.

48. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas

49. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
Com as notações da figura, há as seguintes
relações geométricas:

50. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
Ainda com as notações da figura, escrevem-se as
equações de equilíbrio e respectivas soluções:

51. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
Em checagem desses resultados, faz-se:

52. Estruturas Isostáticas – Teoria de Estruturas
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Vigas Gerber
Agradecimento ao Grupo de Experimentação e Análise de Estruturas – GRUPEX e ao Programa de Educação Tutorial – PET, e Prof a. Ângela do
Valle e Prof a. Henriette Lebre La Rovere (ECV/CTC/UFSC)