O documento discute conceitos básicos de geometria projetiva, incluindo: 1) Definições de ponto, reta e plano no espaço tridimensional. 2) Elementos de projeção como planos de projeção, centro de projeção e projetantes. 3) Representação de pontos no espaço através de suas coordenadas descritivas de abscissa, afastamento e cota.

1. Noções de geometria projetiva
Desenho e construçõesDesenho e construções
π
π’
INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO
RIO GRANDE DO NORTE - Campus Apodi

2. Noções de geometria descritiva
• Ponto
• Reta
• Plano

3. Estudo do Ponto:
Não tem definição. Além disso, não tem dimensão.
Graficamente, expressa-se o ponto pelo sinal obtido quando se
toca a ponta do lápis no papel. Sua representação também se dá
pelo cruzamento de duas linhas, que podem ser retas ou curvas.
Figura geométrica sem dimensão, que representa um
local no plano, é a intersecção entre duas linhas. A localização
de uma cidade no mapa, a marca de uma ponta de giz no
quadro, por exemplo, nos dão a idéia de ponto. Designamos
os pontos com letras maiúsculas A, B, C, ... e sua
representação gráfica é:

4. Estudo do ponto
O espaço:
• Planos de projeção:
Planos de projeção são dois planos perpendiculares
entre si; um deles chama-se plano horizontal e o outro plano
vertical. Os dois planos são ilimitados em todos os sentidos.
Linha de terra: a interseção ente os planos horizontal (π)
e vertical de projeção (π’), representada por LT ou (π π’).
(π’)(π)

5. ELEMENTOS DE PROJEÇÃO
A projeção de um objeto é sua
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA num plano
- Plano de projeção
- Objeto
- Projetante, ou raio projetante
- Centro de projeção
Desenho – Professora Dr. Sc. Danila Neri

6. Elementos de projeção:

7. Conceitos:
Projetante: é a reta que passa pelos pontos do objeto e
intercepta o plano de projeção.
Centro de projeção: é o ponto fixo de onde partem ou por
onde passam as projetantes.
Um ponto se projeta num plano quando a
projetante intercepta o plano de projeção

8. Elementos de projeção:

9. - A lanterna é o centro
de projeção;
- Os raios de luz são as
projetantes;
- A sombra é a
representação do objeto
em projeção.
O CENTRO DE PROJEÇÃO É PRÓPRIO: PROJEÇÃO
CÔNICA OU SISTEMA CÔNICO DE PROJEÇÃO

10. - O centro de projeção
está no infinito;
- Os raios solares
podem ser considerados
raios projetantes;
- A sombra
é a representação da
projeção do objeto.
O CENTRO DE PROJEÇÃO É IMPRÓPRIO:
PROJEÇÃO CILINDRICA
OU SISTEMA CÔNICO DE PROJEÇÃO

11. As projeções no PLANO VERTICAL são diferentes das projeções no PLANO
HORIZONTAL, isto faz com que os objetos fiquem melhor definidos.
Veja agora como é possível determinar a forma e a posição dos
objetos no espaço

12. Fazer o plano de projeção com papel.
π’
π

13. • Semi-planos de projeção:
A linha de terra divide cada plano de projeção em duas
partes iguais ou dois semi-planos, sendo:
•Semi-plano horizontal anterior (HA ou πA): a parte do plano
horizontal de projeção à direita da linha de terra.
•Semi-plano horizontal posterior (HP ou πP): a parte do plano
horizontal de projeção à esquerda da linha de terra.
• Semi-plano vertical superior (VS ou π’S): a parte do plano
vertical de projeção acima da linha de terra.
•Semi-plano vertical inferior (VI ou π’I): a parte do plano
vertical de projeção abaixo da linha de terra.

14. π’
π
π’S
πAπP
π’I
Preencher o plano de projeção com as novas informações

15. • Diedros:
As regiões compreendidas ente os semi-planos de
projeção, sendo:
• 1º d = 1º diedro: a região compreendida entre πA e π’S
• 2º d = 2º diedro: a região compreendida entre πP e π’S
• 3º d = 3º diedro: a região compreendida entre πP e π’I
• 4º d = 4º diedro: a região compreendida entre πA e π’I

16. ESTUDO DO PONTO: O ESPAÇO
3º Diedro
SPVI
4º Diedro
1º Diedro
SPVS
SPHA
2º Diedro
SPHP
Linha de Terra

17. π’
π
π’S
πAπP
π’I
1º d2º d
3º d 4º d
Preencher o plano de projeção com as novas informações

18. Representação de um ponto no espaço por suas
coordenadas descritivas:
Para representar um ponto (P) no espaço, obtêm as
suas projeções ortogonais horizontal (P) e vertical (P’),
respectivamente nos planos horizontal (π) e vertical (π’).
π
π’

19. Coordenadas:
Afastamento de um ponto (y): a posição da projeção
horizontal do ponto A em relação a linha de terra. Se
medido no semi-plano HA é positivo logo y> 0, se medido
no semi-plano HP é negativo logo y< 0.
y< 0
y< 0
y > 0
y > 0

20. Coordenadas:
Cota de um ponto (Z): a posição da projeção vertical
do ponto A’ em relação a linha de terra. Se medido no
semi-plano VS é positivo logo Z> 0, se medido no semi-
plano VI é negativo logo Z< 0.
Z < 0
Z > 0Z > 0
Z < 0

21. Coordenadas:
Abscissa de um ponto (X): a posição da projeção do
ponto A na linha de terra, é necessário estabelecer um
referencial. Se a abscissa for medida a direita da origem
ela é positiva logo X > 0, se for medida a esquerda da
origem ela é negativo logo X< 0.

22. Representação de um ponto por suas
coordenadas descritivas:
As coordenadas: abscissa, afastamento e cota
de um ponto são denominadas coordenadas
descritivas de um ponto.
Um ponto é representado numericamente pel
expressão (P) [x; y; z), onde: (P): significa o ponto
objeto, X: abscissa, Y: afastamento, Z: cota.
separados por ; e entre [].

23. Representação de um ponto por suas
coordenadas descritivas:
Um ponto P está determinado quando se conhece
abscissa, afastamento e cota.
Exemplo: P [1,4,2].

24. REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
LT
Y > 0 e Z >0
0 X
(A)
z(A)
(A)
y (A)
Afastamento
Cota
Plano de perfil
A0
abscissa
A`
A
Um ponto é caracterizado numericamente pela expressão:
(P) [x; y; z]
SPVI
SPVS
SPHP
SPHA
1º Diedro

25. REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
2º Diedro
Y< 0 e Z >0
0 X
(B)
z(B)
(B)
y (B)
B0
B`
B
LT
(B) [x; y<0; z>0]
SPVI
SPVS
SPHP
SPHA

26. REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
3º Diedro
Y< 0 e Z <0
0
X
(C)
z(C)
(C)
y (C)
C0
C`
C
(B) [x; y<0; z<0]
SPVI
SPVS
SPHP
SPHA
0
LT

27. REPRESENTAÇÃO DE UM PONTO NO ESPAÇO
4º Diedro
Y> 0 e Z <0
0
X
(D)
z(D)
(D)
y (D)
D0
C`
D
(D) [x; y>0; z<0]
SPVI
SPVS
SPHP
SPHA
D´
LT

28. Representação de um ponto por suas
coordenadas descritivas:
Exemplos:
A [3; 4; 2]
B [6; -3; 7]
C [8; -6; -3,5]
D [10; 5; -2]
E [5; 5; 5]
F [7; -5; 9]
G [4; 5; 1]
H [9; -6; 7]
I [8; -1,5; -5,5]
J [2; 6; -6]
L [0; 10; 5]
M [7; -10; 3]

29. Épura
Figura plana que representa a superposição dos planos
de projeção horizontal e vertical.
O interessante da épura é observar a figura no plano e
imaginar como essa figura se apresenta no espaço.

30. Representação de um ponto na Épura
1º diedro

31. Representação de um ponto na Épura
2º diedro

32. Representação de um ponto na Épura
3º diedro

33. Representação de um ponto na Épura
4º diedro

34. Representação de um ponto por suas
coordenadas descritivas na ÉPURA:
Exemplos:
A [3; 4; 2]
B [6; -3; 7]
C [8; -6; -3,5]
D [10; 5; -2]
E [5; 5; 5]
F [7; -5; 9]
G [4; 5; 1]
H [9; -6; 7]
I [8; -1,5; -5,5]
J [2; 6; -6]
L [0; 10; 5]
M [7; -10; 3]

35. EXERCÍCIOS
1) Representar por suas projeções os seguintes
pontos:
A [2; 3; 1]
B [4; -2; 5]
C [6; -4; -2,5]
D [8; 3; -1]
E [1; 4; 2]
F [6; -5; 10]
G [2; 3; -3]
H [4; -3; -6]
I [-6; -4; -2,5]
J [10; 1; -5]
L [1; 7; 2]
M [-2; -2;-2]

36. 2) Construir e ler as épuras dos seguintes pontos,
utilizando uma só linha de terra:
A [4;4;0]
B [6;0;-5]
C [8;0;0]
D [10;-5; 0]
E [ 12; 4; -4]
F [ 14; 3; 3]
G [16; -5; 5]
H [ 18; -2; -2]
I [ 20; 0; 5]