O documento descreve a análise de um circuito de aquecedor de para-brisas traseiro usando resistores impressos no vidro. Ele estabelece as relações entre os resistores com base na distribuição simétrica da temperatura e calcula os valores dos resistores para um exemplo prático.

1. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Aquecedor de pára brisa traseiro: uma abordagem
prática (Fig. 3 - A1).
A análise deste circuito é fundamentada na
distribuição equalizada da temperatura na superfície
do vidro, por isso temos que estabelecer a potência de
cada resistor em função dos comprimentos dos filetes
resistivos impressos no vidro: filetes horizontais de
comprimento “x” e filetes verticais de comprimento
“y”.
I1
2
[R1
x ]= I2
2
[R2
x ]=I3
2
[R3
x ]= I4
2
[R4
x ]=I5
2
[R5
x ]
(3A.1).
I1
2
[R1
x ]= I1
2
[Ra
y ] (3A.2).
I1
2
[Ra
y ]=Ib
2
[Rb
y ]=Ic
2
[Rc
y ]= I5
2
[Rd
y ] (3A.3).
I5
2
[R5
x ]=I5
2
[Rd
y ] (3A.4).
Por se tratar de uma estrutura simétrica, podemos
simplificar o circuito com a eliminação dos braços
inferiores (por opção), pois isso não afetará as
correntes dos braços superiores: esse procedimento
só altera a corrente de saída da fonte (Fig. 3 - A2).
O nó (1) é conectado ao “positivo” da fonte, com
corrente de entrada I , e duas correntes de saída:
Ib e I3 . Essas correntes retornam para a fonte
pelo nó (2).
I3 =
Vcc
R3
(3A.5), enquanto Ib será definida
com o resistor equivalente dos braços superiores (Fig. 3 - A3): R3,4 = R2∥(2Ra + R1)
R3,4 =
[R2(2Ra + R1)
2Ra + R1 + R2
] (3A.6).
Resistência equivalente nós (1) e (2):
R1,2 =2Rb+ R3,4 (3A.7) ou R1,2 =2Rb+
[R2(2 Ra + R1)
2 Ra + R1 + R2
] .
1

2. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Ib=
Vcc
R1,2
Ib=
Vcc
2Rb +
[R2(2 Ra + R1)
2 Ra + R1 + R2
]
(3A.8).
A corrente Ib vai entrar no nó (3) e se dividir nas
correntes I1 e I2 . A queda de tensão entre (3) e (4)
é Vd3,4 =Ib(R3,4) , e assim, I1 =
(Vd3,4)
R1 + 2Ra
ou
I1 =
Ib(R3,4)
R1 + 2Ra
(3A.9). Substituindo por (3A.6) e
(3A.8), teremos:
I1 =
Vcc
2Rb +
[R2(2Ra + R1)
2Ra + R1 + R2
]
[ R2(R1 + 2Ra)
R2 +(R1 +2 Ra)]
R1 + 2 Ra
(3A.10).
I2 =
(Vd3,4)
R2
ou I2 =
Ib R3,4
R2
(3A.11) ou
I2 =
Vcc
2Rb +
[R2(2Ra + R1)
2Ra + R1 + R2
]
[ R2(R1 + 2Ra)
R2 +(R1 + 2Ra)]
R2
(3A.12).
O cálculo dos resistores pode ser feito em relação ao valor de um dos resistores, assim, vamos
aplicar as relações (3A.1), (3A.2) e (3A.3) para determinar os resistores Ra , Rb , R2 e
R3 , tendo R1 como referência.
Cálculo de Ra : de (3A.2) I1
2
[R1
x ]= I1
2
[Ra
y ] Ra x= R1 y Ra =R1
y
x
fazendo
x
y
= z teremos Ra = zR1 (3A.13).
Cálculo de R2 : de (3A.1) I1
2
[R1
x ]= I2
2
[R2
x ] I2
2
(R2 x)= I1
2
(R1 x) R2 =R1(I1
I2
)
2
(3A.14).
2

3. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
De (3A.9) e (3A.11)
I1
I2
=
Ib (R3,4)
R1 +2 Ra
Ib (R3,4)
R2
ou
I1
I2
=
[Ib(R3,4)
R1 + 2 Ra
] R2
Ib(R3,4)
ou
I1
I2
=
R2
R1 + 2Ra
(3A.15). Substituindo Ra por (3A.13)
I1
I2
=
R2
R1 + 2zR1
(3A.16).
Substituir (3A 16) em (3A.14) : R2 =R1( R2
R1 + 2R1 z)
2
. Resolver para R2
R2 =R1(4 z2
+ 4 z +1) ou R2 =R1(2z + 1)2
(3A.17).
Cálculo de Rb : de (3A.3) I1
2
[Ra
y ]=Ib
2
[Rb
y ] Ib
2
Rb y =I1
2
Ra y ou Rb =
(I1
2
Ib
2 )Ra como
(3A.13) Ra = zR1 , então Rb =
(I1
2
Ib
2 )R1 z (3A.18).
De (3A.10) I1 =
Vcc
2Rb +
[R2(2Ra + R1)
2Ra + R1 + R2
]
[ R2(R1 + 2Ra)
R2 +(R1 +2 Ra)]
R1 + 2 Ra
e (3A.8)
Ib=
Vcc
2Rb +
[R2(2 Ra + R1)
2 Ra + R1 + R2
]
teremos
I1
Ib
=
[ R2(R1 + 2Ra)
R2 +(R1 + 2 Ra)]
R1 + 2Ra
ou
I1
Ib
=
[ R2
R2 +(R1 + 2Ra)] (3A.19). Substituir (3A .19) em (3A.18), tudo em função de R1 :
Rb =
[ R1(2 z + 1)2
[ R1(2z + 1)
2
]+(R1 +2 R1 z)]
2
R1 z (3A.20) com Ra = R1 z e (3A.17)
R2 =R1(2z + 1)2
. Simplificar o termo entre colchetes
[ R1(2 z + 1)2
[ R1(2 z + 1)
2
]+(R1 +2 R1 z)]
2
R1
R1
(2 z + 1)2
4(z + 1)
2
ou Rb =
R1 z(2z +1)
2
4(z +1)2
(3A.21).
3

4. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Cálculo de R3 : de (3A.1) I3
2
[R3
x ]=I1
2
[R1
x ] I3
2
R3 x = I1
2
R1 x R3 =(I1
I3
)
2
R1 (3A.22).
Com as expressões de I3 (3A.5) e de I1 (3A.10)
I1
I3
=
[
Vcc
2 Rb+(R2(2 Ra + R1)
2 Ra + R1 + R2
)
( R2(R1 + 2Ra)
R2 +(R1 + 2 Ra))
R1 + 2Ra
]
(Vcc
R3
)
. Resolver no Symbolab (Fig. 3 - A4):
Voltar as variáveis originais
I1
I3
=
R2 R3
2Rb(R2 + 2Ra + R1)+ R2(2Ra + R1)
(3A.23).
Adequar a expressão (3A.23) em função de R1 : Ra =R1 z , (21.21) Rb =
R1 z(2z +1)2
4(z +1)2
e
(3A.17) R2 =R1(2z + 1)2
:
I1
I3
=
[
[R1(2 z + 1)2
] R3
2
(R1 z(2z + 1)2
4(z + 1)
2 ){[R1(2z + 1)2
] +[2 R1 z] + R1}+ [R1(2z +1)2
](2[ R1 z] + R1) ] (3A.24)
Substituir (3A.24) em (3A.22)
R3 =
[
[R1(2z + 1)
2
]R3
2
(R1 z(2 z + 1)
2
4(z + 1)
2 ){[ R1(2z +1)2
]+ [2 R1 z] + R1}+[ R1(2z +1)2
](2[R1 z]+ R1)]
2
R1 resolver
no Symbolab (Fig. 3 - A5):
4

5. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Voltar as variáveis originais: R3 =
R1(2 z + 1)
4
(z +1)
2
(3A.25).
Problema 3.71 – Perspectiva prática.
Especificar os valores dos resistores da rede de resistores da Fig. 21 – A:
Dados: comprimento horizontal dos filetes R1 a R5 : x=1m . Distância entre os filetes
horizontais, que determina o comprimento dos filetes verticais Ra a Rd : y =0,025m .
Potência linear especificada para os filetes resistivos impressos: 120W /m . Fonte de
alimentação 12 Vcc.
A constante dimensional, será: z=
y
x
z=
0,025
1
ou z=0,025 .
O valor de um resistor com potência e queda de tensão conhecidas, é dado por: R=
Vd2
P
.
Cálculo de R3 : Como R3 é ligado diretamente nos terminais da fonte de alimentação de 12
V e tem potência linear especificada de 120W /m , num filete impresso de 1m de comprimento,
teremos: R3 =
122
120
ou R3 =1,2Ω .
Cálculo de R1 a partir de (21.25) R3 =
R1(2 z + 1)4
(z +1)2
resolver para R1 R1 =
R3(z + 1)2
(2 z + 1)4
R1 =
1,2(0,025 +1)
2
(2(0,025)+ 1)
4
ou R1 =1,0372Ω .
Cálculo de Ra : com (21.13) Ra = zR1 , teremos Ra =0,025(1,0372) ou Ra = 0,02593Ω .
Cálculo de Rb : com (21.21) Rb =
R1 z(2z +1)2
4(z +1)
2
, teremos
Rb =
(1,0372)0,025(2(0,025)+ 1)2
4(0,025+ 1)
2
ou Rb =0,00680Ω .
5

6. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Cálculo de R2 : com (21.17) R2 =R1(2z + 1)2
, teremos R2 =1,0372(2(0,025) + 1)2
ou
R2 =1,143513Ω .
Com os valores do braço central e dos braços superiores, por simetria, vamos encontrar os valores
dos braços inferiores.
R4 = R2 =1,143513Ω , R5 =R1=1,0372Ω , Rc =Rb =0,00680Ω e
Rd = Ra =0,02593Ω .
Para verificar a potência dos resistores, dentro da relação “z”, calcular as correntes Ib , I1 e
I2 .
Cálculo de Ib : Com (21.8) Ib=
Vcc
2Rb +
[R2(2 Ra + R1)
2 Ra + R1 + R2
]
Ib=
12
2(0,0068)+
[1,143513(2(0,025)+ 1,0372)
2(0,025)+ 1,0372+ 1,143513]
ou Ib=21 A .
Cálculo de I1 : Com (21.9) I1 =
Ib(R3,4)
R1 + 2Ra
e (21.6) R3,4 =
[R2(2Ra + R1)
2Ra + R1 + R2
] Com
R3,4 =
[ 1,143513[1,0372+ 2(0,02593)]
1,143513+[1,0372+ 2(0,02593)]] ou R3,4 =0,55781Ω e
R1 + 2Ra =1,0372 + 2(0,02593) ou R1 + 2Ra =1,08906Ω , teremos I1 =
21(0,55781)
1,08906
ou
I1 =10,7561 A .
Cálculo de I2 : Com (21.11) I2 =
Ib R3,4
R2
, teremos: I2 =
21(0,55781)
1,143513
ou
I2 =10,2439 A .
Cálculo da potência distribuída
Rb : PRb = Rb .Ib
2
PRb =(0,0068)21
2
PRb =3 W .
Potência distribuída no comprimento do filete impresso: PRb/m=
PRb
y
PRb/m =
3
0,025
PRb/m =120 W /m , conforme especificado.
R1 : PR1 = R1. I1
2
PR1 =(1,0372)10,75612
PR1 =119,9974W .
6

7. Análise de circuitos elétricos CC e CA Pedro Barros Neto
Potência distribuída no comprimento do filete impresso: Pdist =
PR1
x
PR1/m =
119,9974
1
PR1/m =119,9974 W /m , próximo do valor especificado.
R2 : PR2 = R2. I2
2
PR2 =(1,143513)10,2439
2
PR2 = 119,997W .
Potência distribuída no comprimento do filete impresso: Pdist =
PR2
x
PR2/m =
119,997
1
PR2/m =119,997 W /m , próximo do valor especificado.
Ra : PRa = Ra. I1
2
PRa =(0,02593)10,7561
2
PRb =2,9999W .
Potência distribuída no comprimento do filete impresso: PRb/m =
PRb
y
PRb/m =
2,9999
0,025
PRb/m =119,997 W /m , conforme especificado.
Mapa das potências
8 resistores verticais de 3 W : 24 W .
5 resistores horizontais de 120 W: 600 W
Potência toral dissipada: 624 W.
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