1) O documento apresenta os principais conceitos da gravitação universal, incluindo as leis de Kepler e a lei da gravitação de Newton. 2) São descritas características das órbitas planetárias elípticas em torno do Sol de acordo com as leis de Kepler. 3) São apresentadas fórmulas para cálculo de velocidade orbital, energia gravitacional e velocidade de escape.

1. Técnico Integrado Física 3 Prof. Viriato
Gravitação Guia de Estudos 3
Módulo: 3 – Manhã / Tarde.
1. As Leis de Kepler 5. Velocidade de Escape (vo)
Mínima velocidade inicial que se dá a um
I – Lei das Órbitas: Os planetas giram em corpo na superfície de um planeta (ou corpo
torno do Sol celeste) para que ele escape do campo
descrevendo gravitacional, chegando ao “infinito” com
órbitas elípticas velocidade nula.
com o Sol 2.G.M
ocupando um dos vo 
R
focos.
6. Imponderabilidade
II – Lei das Áreas: O raio vetor que liga o Situação em que o corpo sofre apenas a
Sol ao planeta, cobre áreas iguais em ação da gravidade e que se move com mesma
tempos iguais. aceleração que seu referencial.
TESTANDO/FIXANDO O CONTEÚDO
1. Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa
t1 = t 2  A 1 = A 2 que condiz com a 1a Lei de Kepler da Gravitação
Universal (Lei das órbitas):
III – Lei dos Períodos: O cubo do raio a) As órbitas planetárias são curvas quaisquer, desde
médio de cada órbita dividida pelo que fechadas.
quadrado do período é constante. b) As órbitas planetárias são espiraladas.
R3 c) As órbitas planetárias não podem ser circulares.
K d) As órbitas planetárias são elípticas, com o Sol
T2 ocupando o centro da elipse.
e) As órbitas planetárias são elípticas, com o Sol
2. Lei de Newton da Gravitação ocupando um dos focos da elipse.
a) Gravidade: propriedade geral da matéria 2. Na figura a seguir, está representada a órbita elíptica de
de exercer atração mútua entre partes da um planeta em torno de Sol:
mesma.
a) Se os arcos de
b) Lei da Gravitação órbita PQ e RS
são percorridos
G.M .m em intervalos de
F
d2 tempos iguais,
qual a relação
G  Constante de atração universal de
entre as áreas A1
valor:
e A2?
G = 6,67 x 10-11 N.m²/kg
b) Em qual lei física se baseou para responder ao item a
?
Obs.: Não existe isoladamente para a
gravidade. 3. (OSEC-SP) A 2a Lei de Kepler (Lei das áreas) permite
concluir que um planeta possui:
3. Velocidade Orbital a) maior velocidade quando se encontra mais longe do
GM Sol.
FG  FC  v  ; onde r = raio da órbita.
r b) maior velocidade quando se encontra mais perto do
Obs.: Em problemas de gravitação em geral, Sol.
de inicia com FC  FG . c) menor velocidade quando se encontra mais perto do
Sol.
d) velocidade constante em toda sua trajetória
4. Energia em Gravitação e) velocidade areolar variável.
1 G.M .m 4. Assinale a alternativa que está em desacordo com as
EC  .
2 r Leis de Kepler da Gravitação Universal:
G.M .m a) O quociente do cubo do raio médio da órbita pelo
EP   quadrado do período de revolução é constante para
r
qualquer planeta de um dado sistema solar.
IFPE / Gravitação/ Guia de Estudos 3

2. Gravitação Prof. Viriato
b) Quadruplicando-se o raio médio da órbita de um
satélite em torno da Terra, seu período de revolução
fica oito vezes maior.
c) Quanto mais próximo de uma estrela (menor raio
médio de órbita) gravita um planeta, menor é seu
período de revolução.
d) Satélites diferentes gravitando em torno da Terra, na Sabendo que as massas de A, B e C valem,
mesma órbita, têm períodos de revolução iguais. respectivamente, 5M, 2M e M, determine a relação
e) Devido à sua maior distância do Sol (maior raio entre as intensidades das forças gravitacionais que B
médio de órbita), o ano de Plutão tem duração maior recebe de A e de C.
que o da Terra.
11. Analise as proposições seguintes:
5. Com relação às leis de Kepler, podemos afirmar que: I – Independentemente da posição considerada, o
a) não se aplicam ao estudo da gravitação da Lua em módulo da aceleração da gravidade da terrestre vale 9,8
torno da Terra. m/s2.
b) só se aplicam ao nosso Sistema Solar. II – A intensidade do campo gravitacional terrestre
c) aplicam-se à gravitação de quaisquer corpos em torno decresce com a altitude.
de uma grande massa central. III – No centro de massa da Terra, a aceleração da
d) contrariam a Mecânica de Newton. gravidade é nula.
e) não prevêem a possibilidade da existência de órbitas IV – Se a Terra perdesse seu movimento de rotação, o
circulares. peso (aparente) dos corpos situados fora das regiões
polares aumentaria.
6. Considere um planeta hipotético gravitando em órbita
circular em torno do Sol. O raio da órbita do planeta é Responda mediante o código:
suposto quatro vezes maior que o raio da órbita a) Se todas forem corretas.
terrestre, também suposta circular. Qual o período de b) Se todas forem incorretas.
translação do referido planeta, medido em anos c) Se apenas II e III forem corretas.
terrestres? d) Se apenas II, III e IV forem corretas.
e) Se apenas I e IV forem corretas.
7. Dois satélites artificiais 1 e 2 gravitam em órbitas
circulares em torno de um planeta. É sabido que o raio 12. Sabe-se que a massa da Terra é cerca de 81 vezes
da órbita do satélite 2 é quatro vezes maior que o do maior que a massa da Lua e que o raio da Terra é
satélite 1 e que o satélite 1 gasta 40 min para realizar aproximadamente 3,7 vezes o da Lua. Desprezando-se
uma volta completa em sua órbita. Calcule, para o os efeitos ligados a rotação, calcular o módulo da
satélite 2, o período de revolução em torno desse aceleração da gravidade na superfície da Lua (g l) em
planeta. função do módulo da aceleração da gravidade na
superfície da Terra (gT).
8. Em torno de uma estrela fictícia gravitam em órbitas
circulares e coplanares dois satélites naturais: Taurus e 13. Em um planeta X, onde o campo gravitacional tem
Centaurus. Sabendo que o período de revolução de intensidade de 4,0 N/kg, uma pessoa pesa 240 N.
Taurus é 27 vezes maior que o de Centaurus e que o Adotando para a gravidade terrestre o valor 10 m/s²,
raio da órbita de centaurus vale R, determine: qual a massa e qual o peso da pessoa na Terra?
a) o raio da órbita de Taurus.
b) o intervalo de valores possíveis para a distância que 14. Na Terra, onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s²,
separa os dois satélites, durante seus movimentos em um astronauta vestido com seu traje espacial pesa 2,0 .
torno da estrela. 103 N. Sabendo que o diâmetro de Marte é a metade do
da Terra e que a Massa de Marte é dez vezes menor que
9. Duas partículas de massas respectivamente iguais a M e a da Terra, determine:
m estão no vácuo, separadas por uma distância d. A
respeito das forças de interação gravitacional entre as 15. Uma pequena esfera de 1,0 kg de massa, inicialmente
partículas, podemos afirmar que: em repouso no ponto A do trilho circular indicado, é
a) têm intensidade inversamente proporcional a d. abandonada, passando a oscilar com pequeno
b) têm intensidade diretamente proporcional ao afastamento lateral. O trilho, perfeitamente liso, tem
proporcional ao produto Mm. raio de curvatura R = 40 cm e está postado
c) não constituem entre si um par ação-reação. verticalmente:
d) podem ser atrativas ou repulsivas.
e) teriam intensidade maior se o meio fosse o ar.
10. Num determinado instante, três corpos celestes A, B e
C têm seus centros de massa alinhados e distanciados,
conforme mostra o esquema abaixo:
IFPE / Gravitação/ Guia De Estudos 3 2

3. Gravitação Prof. Viriato

Considere desprezível a resistência do ar e adote | g | = gravidade tem módulo 10 m/s². Calcule o módulo da
10 m/s². aceleração do meteorito, quando estiver a uma altitude
a) Qual o menor período de oscilação da esfera? de nove raios terrestres.

b) Qual o módulo de g para que a esfera oscile com
22. (UCGO) Um foguete atinge um ponto A a uma altura h
período de 0,20 s? = (2/5)R da superfície terrestre, onde R é o raio da
Terra. Qual a relação entre a aceleração da gravidade
16. A figura representa a configuração estacionária da Lua na superfície terrestre (g0) e a aceleração da gravidade
(massa M) e da Terra (massa 81M), supostas esféricas e no ponto A (gA)?
homogêneas:
23. Um objeto é lançado verticalmente a partir da
superfície da Terra, suposta esférica, estacionária,
homogênea e com raio R. Depois de percorrer, sob a
ação exclusiva do campo gravitacional, uma distância
igual ao quádruplo do raio terrestre, o objeto pára
instantaneamente. Sendo G a constante da gravitação e
Um foguete lançado da Terra dirige-se para a Lua, M a massa da Terra, calcular o módulo da velocidade
percorrendo a reta que passa pelos centros de massa de lançamento do objeto.
destes dois corpos celestes. Determine em função de d
(indicado na figura) a que distância x da Lua a força 24. (ITA – SP) Um corpo lançado verticalmente da
resultante no foguete, devido às atrações da Terra e da superfície da Terra atinge uma altitude máxima igual a
Lua, é nula. três vezes o raio R da Terra. Calcule a velocidade
inicial do corpo.
17. A constante da gravitação universal vale,
aproximadamente, 6,7 . 1011 N.m²/kg². Nessas 3GM
a) v  , onde M é a massa da Terra e G a
condições, qual a ordem de grandeza, em newtons, da 2R
força de atração gravitacional entre dois navios de 50 constante gravitacional.
toneladas de massa cada um, separados por uma 4GM
distância de 1,0 km? b) v  .
a) 10-11 b) 10-7 c) 10-1 d) 105 e) 1010.
3R
2GM 3GM GM
18. Um planeta perfeitamente esférico A tem raio R e c) v  . d) v  . e) v  .
3R 4R R
densidade absoluta , enquanto outro planeta B, 25. Num determinado sistema solar, um planeta de massa
também perfeitamente esférico, tem raio 5R e m gravita em órbita circular de raio R em torno do seu
densidade absoluta 2. Sendo gA o módulo da Sol, cuja massa vale M. G é a constante da gravitação
aceleração da gravidade na superfície de A e gB o universal.
módulo da aceleração da gravidade na superfície de B, a) Qual o ano do planeta?
calcular a relação gA/gB. Desprezar os efeitos ligados às b) Qual o valor da constante de Kepler para o referido
rotações de A e B. sistema solar?
19. A aceleração da gravidade na superfície de um planeta 26. É sabido que no interior de uma nave em órbita da
hipotético, suposto esférico, vale 16 m/s². Se o volume Terra os corpos “flutuam”. Essa “ausência” de
do planeta for multiplicado por oito, mantida a mesma gravidade ocorre principalmente pelo fato de:
massa, qual a nova aceleração da gravidade na a) a nave estar muito afastada da Terra.
superfície do mesmo? Despreze os efeitos ligados à b) Haver ausência de atmosfera.
rotação. c) Haver atração exercida pela Lua.
d) A nave está “caindo livremente” ao percorrer sua
20. Considere a Terra esférica, homogênea, com raio R e órbita circular.
densidade absoluta . Lança-se do solo terrestre, e) A nave estar livre de quaisquer ações
verticalmente para cima, uma bolinha de tênis com gravitacionais.
velocidade de módulo 10 m/s. Experiência similar é
repetida num outro planeta também esférico, 27. Depois de permanecer por alguns dias em órbita
homogêneo, com raio 8R e densidade absoluta 2. circular em torno da terra, uma nave espacial rumou
Qual deve ser, neste planeta, o módulo da velocidade para a Lua em movimento retilíneo e uniforme. Um dos
de lançamento da bolinha para que esta atinja a mesma astronautas tripulantes da nave usou como “teste de
altura máxima que na Terra? Despreze as resistências gravidade” um pêndulo simples (pequena massa presa a
atmosféricas e os efeitos ligados à rotação dos planetas. um fio), que na Terra oscilava com período T.
Admitindo que as oscilações do pêndulo sejam
21. Um meteorito adentra o campo gravitacional terrestre e, induzidas exclusivamente pelo campo gravitacional,
sob a ação exclusiva do mesmo, passa a se mover de aponte a alternativa correta:
encontro à Terra, em cuja superfície a aceleração da a) Durante a permanência em órbita da Terra, o
pêndulo oscilou com período menor que T.
IFPE / Gravitação/ Guia De Estudos 3 3

4. Gravitação Prof. Viriato
b) Durante a permanência em órbita da Terra, o a) a velocidade de escape no planeta Marte, cuja
pêndulo deixou de oscilar. massa e raio valem, respectivamente, 0,11 M e 0,55
c) Durante a viagem da Terra para a Lua, o pêndulo R, onde M e R são, respectivamente, a massa e o
oscilou com período constante igual a T. raio da Terra:
d) Na Lua, o pêndulo oscilou com período menor que b) a aceleração da gravidade nos pólos do planeta
T. Marte.
e) Todas as anteriores são incorretas. Dados: G = 6,67 . 10-11 N.m²/kg², M = 6,0 . 1024 kg e R
= 6,4 . 10³ km.
28. (EFOMM – RJ) A equação que determina o período de
l RESPOSTAS
oscilação de um pêndulo simples é T  2 . Que
g 01. (E). # 02. a) (A1/A2)=1; b) 2a Lei de Kepler. #
03. (b). # 04. (e). # 05. (c). # 06. TH = 8TT # 07. 320
aumento percentual teríamos que dar ao comprimento
do fio para que a freqüência de oscilação do pêndulo min. # 08. a) 9R; b) 8R d  10R # 09. (b). # 10. 20
caísse a 1/3 do seu valor inicial? # 11. (d). # 12. gL  (1/6)gT. # 13. 60 kg e 600 N. # 14.
a) 2 . 10² kg; b) 8 . 10² N. # 15. a) 0,40 ; b) 40 m/s². #
29. (Fatec – SP) As quatro estações do ano podem ser 16. X = d/10. # 17. (b) # 18. gB/gA = 10 # 20. 40 m/s.
explicadas: # 21. 0,10 m/s² # 22. (g0/gA) = 49/25. # 23.
a) pela rotação da Terra em torno de seu eixo. 2GM R3 GM
b) Pela órbita elíptica descrita pela Terra em torno do vA  2 . # 24. (a). # 25. a) 2 ; b)
5R GM 4 2
Sol.
26. (d). # 27. (b). # 28. 800%. # 29. (d). # 30. a) 250
c) Pelo movimento combinado de rotação e translação
anos; b) 4,8 km/s. # 31. a) 24 h; b) Porque a força
da Terra.
d) Pela inclinação do eixo principal da Terra durante a gravitacional tem função de resultante centrípeta no
translação. 3
movimento do satélite. # 32. . # 33. R. # 34. a)
e) Pelo movimento de translação da Terra. GT 2
5,0 . 103 m/s; b) g = 3,6 m/s².
30. Considere o raio médio da órbita de Plutão 100 vezes
maior que o raio médio da órbita de mercúrio e 40
vezes maior que o raio médio da órbita da Terra.
Sabendo que a duração aproximada do ano de mercúrio
é de três meses terrestres e que a velocidade orbital da
terra tem módulo de 30 km/s, determine:
a) a duração do ano de Plutão, expressa em anos
terrestres;
b) o módulo da velocidade orbital de Plutão.
31. (Fuvest – SP) Um satélite artificial move-se em órbita
circular ao redor da Terra, ficando permanentemente
sobre a cidade de Macapá.
a) Qual o período do satélite?
b) Por que o satélite não cai sobre a cidade?
32. (Fuvest – SP) Se fosse possível colocar em órbita
rasante em torno da Terra, o seu período seria T. Sendo
G a constante de gravitação universal, expresse a massa
específica média (densidade média) da Terra em função
de T e G.
33. (OSEC – SP) Um satélite artificial descreve uma órbita
2R
circular em torno da Terra com período T  4 ,
g
onde R é o raio da Terra e g é a aceleração da
gravidade na superfície terrestre. A que altura acima da
superfície se encontra o satélite?
34. (FAAP –SP) Sabendo que a velocidade de escape de
um corpo lançado de um dos pólos d Terra
(desprezando a resistência do ar) é 11,2 km/s e que a
aceleração da gravidade ao nível do mar, no mesmo
local, vale aproximadamente 9,83 m/s2, determine:
IFPE / Gravitação/ Guia De Estudos 3 4