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Modelagem Matemática de Sistemas Térmicos 1

12 Modelagem Matemática de Sistemas
Térmicos

1 INTRODUÇÃO

Sistemas térmicos são sistemas nos quais estão envolvidos o armazenamento e o fluxo de calor
por condução, convecção ou radiação. A rigor, sempre estão envolvidas simultaneamente as três
formas de transferência de calor. Entretanto, na prática, tem-se em geral a preponderância de
uma forma sobre as demais ou então a preponderância de duas formas sobre a terceira, o que é
mais comum. Exemplos clássicos de sistemas térmicos são o sistema de arrefecimento do motor
de um automóvel, o refrigerador doméstico, o sistema de condicionamento de ar de um
escritório, etc.

Há três maneiras pelas quais o calor pode fluir de uma substância para outra: condução,
convecção e radiação. Na transferência de calor por condução ou convecção, o fluxo de calor q,
em kcal/s, é dado por

(1) q = K∆θ

onde ∆θ = diferença de temperatura, em K
K = coeficiente de proporcionalidade, em kcal/s.K, dado por

kA
(2) K= na condução
∆X

(3) K = hA na convecção

onde k = condutividade térmica, em kcal/m.s.K
A = área normal ao fluxo de calor, m2
∆X = espessura do condutor, em m
h = coeficiente de transferência de calor por convecção, kcal/m2.s.K

Na transferência de calor por radiação, o fluxo de calor q, em kcal/s, é dado por

4 4
(4) q = Kr ( θ 1 − θ 2 )

onde Kr = coeficiente de proporcionalidade, em kcal/s.K4, que depende da emissividade,
tamanho e configuração da superfície
θ1 = temperatura do emissor, em K
θ1 = temperatura do emissor, em K

1


Na modelagem que será feita a seguir, serão consideradas apenas as transferências de calor por
condução e por convecção, desprezando-se o efeito da radiação.

2 VARIÁVEIS TÉRMICAS

As variáveis usadas para descrever o comportamento de um sistema térmico são:

o
θ = temperatura em Kelvins [K] C = K - 273,15

q = fluxo de calor em Watts [W] 1 W = 1 J/s

As temperaturas em vários pontos de um corpo variam com a localização, o que significa que o
sistema térmico é inerentemente um sistema com parâmetros distribuídos. Em conseqüência, os
modelos matemáticos são constituídos por equações diferenciais parciais, pois as propriedades
são distribuídas e não concentradas. Na modelagem e na análise, entretanto, para simplificar o
problema, é conveniente admitir que um sistema térmico possa ser representado por um modelo
de parâmetros concentrados, no qual as substâncias que são caracterizadas pela resistência ao
fluxo de calor têm capacitância térmica desprezível e que as substâncias que são representadas
pela capacitância térmica têm resistência desprezível ao fluxo de calor. Isso nos conduzirá a
modelos regidos por equações diferenciais ordinárias, com as suas já conhecidas vantagens.

3 NÚMERO DE BIOT

Existe um parâmetro adimensional, denominado Número de Biot, que serve de critério para
definir se um sistema térmico pode ser admitido como de parâmetros concentrados. Ele é
definido como

hLc
(5) Bi =
k

onde h e k já foram definidos e onde Lc é o comprimento característico do sólido, definido por

V
(6) Lc =
As
onde V = volume do sólido, em m3
As = é a área da superfície de contato entre sólido e fluido, no caso de transferência de
calor por convecção, em m2

Evidentemente, Lc depende da forma do sólido.

Assim, para esferas de raio r, temos:

2


4 3
πr
1
Lc = 3 2 = r
4 πr 3

Para cilindros maciços de raio r e comprimento L:

πr 2 L rL
Lc = =
2πrL + 2πr 2 2(r + L)

Para cubos de aresta L:
L3 L
Lc = =
6L 2 6

Um critério aceitável para que a temmperatura no interior de um sólido não varie com a
localização é que
hL
(7) Bi = c < 0,1
k

4 VARIÁVEIS INCREMENTAIS

Para a maioria dos sistemas térmicos existe uma condição de equilíbrio que define o ponto de
operação do sistema. Assim, podemos definir uma temperatura incremental e um fluxo de calor
incremental como
^ −
(8) θ( t ) = θ( t ) − θ
^ −
(9) q( t ) = q( t ) − q

− -
onde θ e q são os valores das variáveis no ponto de operação.

5 CAPACITÂNCIA TÉRMICA

Existe uma relação entre a temperatura de um corpo físico e o calor nele armazenado. Não
havendo mudança de fase e desde que a faixa de temperaturas não seja excessiva, tal relação
pode ser considerada linear. Assim, sendo qi(t) o fluxo de calor que entra em um corpo e qo(t) o
fluxo de calor que sai do mesmo corpo, o calor líquido (no sentido contábil) armazenado no corpo
entre dois instantes de tempo t0 e t é dado por

t
∫
t0
[ qi ( λ ) − qo ( λ )]dλ

onde λ é uma variável muda usada na integração.

3


Vamos assumir que o calor armazenado durante esse intervalo de tempo seja igual a uma certa
constante C multiplicada pela variação de temperatura, ou seja

t
∫t0
[ qi ( λ ) − qo ( λ )]dλ = C [ θ( t ) − θ( t 0 )]

onde θ(t0) é a temperatura do corpo no instante de referência t0. Podemos rescrever a equação
acima como
1 t
(10) θ( t ) = θ( t 0 ) +
C t0 ∫
[ qi ( λ ) − qo ( λ )]dλ

onde a constante C é definida como a capacitância térmica do corpo, dada em [J/K]. Para um
corpo de massa M e calor específico c, a capacitância térmica é dada por C = Mc, para M em [kg]
e c em [J/kg.K].

Diferenciando a eq. (10), obtemos
. 1
(11) θ( t ) = [ qi ( t ) − qo ( t )]
C

equação que é muito usada quando o sistema é modelado no espaço de estados.

6 RESISTÊNCIA TÉRMICA

No caso de transferência de calor por condução, a Lei de Fourier estabelece que o fluxo de calor
q(t) entre dois corpos com temperatura θ1(t) > θ2(t), separados por um meio condutor, é dado por

θ1 ( t ) − θ 2 ( t )
q( t ) = αA
d

onde α = condutividade térmica do material condutor [J/m.s.K] ou [W/m.K] (tabelada)
A = área normal ao fluxo de calor [m2]
d = espessura do condutor [m]

Podemos rescrever a equação acima como

1
(12) q( t ) = [ θ ( t ) − θ 2 ( t )]
R 1

onde R é definida como a resistência térmica e é função do material e das dimensões do meio
condutor, sendo dada por
d
(13) R =
Aα

4


Só podemos usar a eq. (12) quando não há armazenamento de energia térmica no meio condutor.
Caso isso não aconteça, devemos então incluir a capacitância térmica do meio condutor no
modelo.

Resistências térmicas em série

Consideremos dois corpos com temperaturas θ1(t) > θ2(t), separados por duas resistências
térmicas em série R1 e R2, conforme ilustra a fig. 1(a):

Fig. 1

Sendo q(t) o fluxo de calor através das mesmas e estando as resistências perfeitamente isoladas
termicamente, queremos achar uma resistência térmica equivalente Req, conforme a fig. 1(b).
Chamando θB a temperatura na interface das duas resistências, podemos escrever a eq. (12) duas
vezes:
1
q = (θ − θ B )
R1 1
1
q = (θ − θ 2 )
R2 B

Eliminando θB nas equações acima, chegamos a

1
q = (θ − θ 2 )
R1 + R2 1

que, comparada com a eq. (12), permite que escrevamos

Req = R1 + R2

donde podemos concluir que existe uma analogia com as resistências elétricas em série.
Podemos estender o resultado para n resistências térmicas em série:

n
(14) Req = ∑R
i =1
i

5


Resistências térmicas em paralelo

Aproveitando a analogia citada, podemos estabelecer uma expressão para n resistências
térmicas em paralelo:
1
(15) Req = n
1
i =1
∑
Ri

7 FONTE TÉRMICA

A fonte térmica ideal adiciona ou retira energia térmica do sistema. No primeiro caso, o fluxo de
calor qi(t) é positivo e, no segundo caso, qi(t) é negativo. A fonte térmica ideal é representada
pela fig. 2:

Fig. 2

Vamos estudar, a seguir, a modelagem matemática de alguns sistemas térmicos através de
exemplos.

8 MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS TÉRMICOS

Exemplo 1

A fig. 3 mostra uma capacitância térmica C isolada do ambiente por uma resistência térmica
equivalente R. A temperatura interna é θ, considerada uniforme, enquanto que a temperatura
ambiente é θa, também uniforme. Calor é adicionado ao interior do sistema com um fluxo qi(t). No
− -
ponto de operação, os valores de qi e θ são q i e θ , respectivamente. Desenvolver um modelo
matemático para o sistema em termos das variáveis incrementais.

Fig. 3

6


Solução

1
Aplicando a eq. (12): qo ( t ) = [ θ( t ) − θ a ]
R

. 1 1
Substituindo na eq. (11): θ( t ) = { qi ( t ) − [ θ( t ) − θ a ]}
C R
ou
.
RC θ( t ) + θ( t ) = Rqi ( t ) + θ a

onde reconhecemos uma EDOL de 1a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, com
duas entradas qi(t) e θa e saída θ(t). A constante de tempo do sistema é dada por τ = RC.

^ −
Em termos das variáveis incrementais θ( t ) = θ( t ) − θ e
^ −
q( t ) = q( t ) − q

podemos obter um modelo matemático substituindo θ(t), qi(t) e suas derivadas na EDOL acima,
chegando a .
^ ^ ^
RC θ( t ) + θ( t ) = R q i ( t )

Vemos, agora, que temos um sistema com apenas uma entrada e uma saída.

Exemplo 2 - Termômetro de mercúrio

A fig. 4 ilustra um sistema térmico constando de um termômetro de mercúrio que está,
−
inicialmente, à temperatura ambiente θ e é mergulhado em um reservatório cujo líquido está a
−
uma temperatura θ + θb, isto é, θb acima da temperatura ambiente.

Fig. 4

O reservatório tem capacitância térmica C e o termômetro tem resistência térmica R.
Desenvolver um modelo matemático para o sistema em termos das variáveis incrementais.

7


Solução

1
Aplicando a eq. (12) para o termômetro: qi ( t ) =
[ θ − θ( t )]
R b
. 1 1
Substituindo na eq. (11): θ( t ) = { [ θ − θ ( t )]}
C R b
ou
.
(16) RC θ( t ) + θ( t ) = θ b

onde reconhecemos uma EDOL de 1a ordem com coeficientes constantes, não homogênea, com
entrada θb e saída θ(t). A constante de tempo do sistema é dada por τ = RC.

Comparando a eq. (16) com a EDOL modelo matemático do circuito elétrico RC paralelo mostrado
na fig. 5, dada por
d eo
RC + e o = ei
dt

Fig. 5

vemos que existe uma analogia entre o sistema térmico e o sistema elétrico, denominada analogia
eletrotérmica, dada pela tabela seguinte:

Sistema elétrico Sistema térmico

voltagem e temperatura θ
corrente elétrica i fluxo de calor q
resistência elétrica R resistência térmica R
Capacitância C capacitância térmica C

Exemplo 3

A fig. 6 mostra um vaso indeformável de volume V, no qual um líquido de massa específica ρ e
calor específico c escoa através dele. Um "mixer" assegura que a temperatura do líquido
permaneça uniforme em todo o reservatório e igual a θ(t). O líquido entra no reservatório com
−
uma vazão volumétrica constante w à temperatura θi(t). Ele sai do reservatório com a mesma
vazão volumétrica à temperatura θo(t), considerada igual à temperatura do líquido θ(t), devido à
mistura perfeita feita pelo "mixer". A resistência térmica do vaso é R e a temperatura ambiente
é constante e igual a θa.

8


Fig. 6

É adicionado um fluxo de calor qh(t) ao líquido por meio de um aquecedor. Desenvolver um modelo
matemático para o sistema.
Solução

−
Calor que entra no vaso: qi (t) = qh (t) + w ρcθ i (t)
1 _
Calor que sai do vaso: q0 ( t ) = [θ(t) − θ a ] + w ρcθ(t)
R
Capacitância térmica: C = Mc = ρVc

Levando na eq. (11):

. 1 1 − 1 −
θ(t) = [qi (t) − qo (t)] = {[qh (t) + w ρcθ i (t)] − [ (θ(t) − θ a ) + w ρcθ(t)]}
C ρcV R

Rearrumando a equação acima, chegamos à EDOL de 1a ordem
− −
. w 1 w 1 1
θ( t ) + ( + )θ( t ) = θi (t) + qh ( t ) + θa
V RC V C RC

1
onde a constante de tempo é dada por τ = −
.
w 1
+
V RC

Podemos observar que temos três entradas, θi(t), qh(t) e θa, e apenas uma saída, θ(t).

Exemplo 4

Uma esfera de cobre (ρ = 8954 kg/m3, c = 383,1 J/kg.0C e k = 385 W/m. 0C), de diâmetro 0,06
m, é subitamente colocada em um reservatório que contem um líquido quente a uma temperatura
θo. Em conseqüência, a temperatura da esfera, θ(t), cresce com o tempo. O coeficiente de
transferência de calor por convecção é h = 25 W/ m. 0C. Pedem-se:

9


(a) É válido usar um modelo com parâmetros concentrados? Justifique;
(b) Caso positivo, obter um modelo matemático para o sistema;
(c) Calcular a constante de tempo do sistema.

Solução

1 1 0,06
(a) Lc =
r= . = 0,01 m
3 3 2
hL 25x0,01
Bi = c = = 6,49x10 − 4 < 0,1
k 385
Logo, é possível.

(b) Aplicando a eq. (11):
. 1
θ( t ) = [ qi ( t ) − qo ( t )]
C

onde C = Mc = ρVc

qi = hAs [θ o − θ(t)]

qo = 0

. 1
Logo: θ(t) = {hAs [θ o − θ(t)] − 0}
ρVc

ρVc .
θ(t) + θ(t) = θ o
hAs

ρVc ρcLc 8954x383,1x0,01
(c) τ= = = = 1372 s = 22,87 h
hAs h 25

10


EXERCÍCIOS

1 A figura mostra um vaso fechado, isolado, cheio de líquido e contendo um aquecedor
elétrico imerso no líquido. A resistência elétrica do aquecedor, por sua vez, está colocada
dentro de uma jaqueta metálica de resistência térmica RHL. A resistência térmica do vaso
e de seu isolamento é RLa. O aquecedor tem uma capacitância térmica CH e o líquido uma
capacitância térmica CL. A temperatura do aquecedor é θH e a do líquido é θL, a qual é
considerada uniforme devido ao "mixer".

Dados numéricos:

CH = 20 x 103 J/K
CL = 1 x 106 J/K
RHL = 1 x 10-3 K/W
RLA = 5 x 10-3 K/W
θa = 300 K

O aquecedor elétrico e o líquido estão inicialmente à temperatura ambiente θa, estando o
aquecedor desligado. No instante t = 0, o aquecedor é ligado, de modo que o fluxo de calor
fornecido ao sistema é qi(t). Pedem-se:
(a) modelo matemático no espaço de estados, usando as variáveis de estado θH(t) e θL(t), as quais
podem ser obtidas diretamente a partir da eq. (9);
(b) usando o VisSim, graficar as temperaturas θH(t) e θL(t) para as entradas θa = 300 K e qi(t)
sendo um degrau de amplitude 1,5 x 104 W;
(c) a partir do gráfico do item (b), achar o tempo que leva o líquido para atingir a temperatura
desejada θd = 365 K.
Obs.: para os itens (b) e (c) usar os dados numéricos mostrados ao lado da figura.

2 Uma esfera de alumínio de diâmetro 0,08 m encontra-se em um forno à temperatura de
200 0C. Ela é retirada do forno e colocada ao ar livre que se encontra à temperatura de
20 0C. Conhecendo as propriedades do alumínio, dadas abaixo, pedem-se:
(a) É válido usar um modelo com parâmetros concentrados? Justifique;
(b) Caso positivo, obter um modelo matemático para o sistema;
(c) Calcular a constante de tempo do sistema.

Dados do Alumínio: ρ = 2707 kg/m3; c = 896 J/kg.0C; k = 204 W/m. 0C;
0
h = 3,5 W/ m. C
ρVc .
Resp.: (a) Sim; (b) θ(t) + θ(t) = θ ar (c) 2,56 h
hAs

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