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Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015

1. O documento apresenta informações sobre os diferentes mecanismos de transferência de calor, incluindo condução, convecção e radiação. 2. São fornecidas as equações que quantificam a taxa de transferência de calor para cada mecanismo, assim como as propriedades associadas como condutibilidade térmica, coeficiente de convecção e emissividade. 3. O conceito de resistência térmica é introduzido como uma abordagem útil para analisar sistemas onde ocorrem trocas de calor entre vários meios.

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Transferência de Calor Apontamentos José Carlos P. Lopes da Costa Versão 2014/2015
INDICE Versão 2014/2015 2 © J. Carlos Lopes da Costa Índice Introdução à Transferência de Calor 5 Fenómenos de Transporte 6 Mecanismos de Transporte 7 Quantidade de Calor Transferido 8 Resumo dos Mecanismos de Transferência de Calor 12 Resistência Térmica 13 Condução 17 Equação de Fourier e Equação Geral da Condução 17 Condutibilidade Térmica 18 Equação Geral da Condução 20 Casos Particulares da Equação Geral da Condução 23 Condução Monodimensional Estacionária 25 Condução Cilíndrica 27 Condução Esférica (Radial) 29 Raio crítico de isolamento 30 Resistência de contacto 16 Condução em Regime Transiente 32 Convecção 44 Modelos Físico-Matemáticos 45 Números AdimensionaisRelevantes na Convecção 48 Correlações Experimentais 53 Convecção Natural 60 Solução Numérica das Equações da Convecção Natural 64 Coorrelações para Conv. Natural 65 Cavidades Rectangulares (Fendas) 68 Permutadores de Calor 70 Introdução 70 Principais tipos de permutadores 70 Permutadores de Correntes paralelas vs. Contracorrente 74 Determinação da Transferência de Calor 75 Diferença Média Logarítmica de Temperaturas 77 Factores de Deposição 77 Radiação Térmica 87 Introdução 87 Variação espectral e direccional 88
INDICE Versão 2014/2015 3 © J. Carlos Lopes da Costa Definições fundamentais 89 Propriedades Radiativas das Superfícies Reais 91 Trocas de Energia por Radiação entre Superfícies de um Volume Fechado 97 Volume Fechado com duas Superfícies 106 Analogia Reo-eléctrica para Radiação Térmica 107 Volume Fechado com Várias Superfícies 109
INDICE Versão 2014/2015 5 © J. Carlos Lopes da Costa Introdução à Transferência de Calor O que é a Transferência de Calor? Trocas de energia (calor) que se estabelecem entre duas ou mais substâncias a diferentes temperaturas. NECESSÁRIA COMPREEÇÃO PARA: • Desenvolvimento de Máquinas Térmicas e outras de Produção de Energia: Turbinas, Caldeiras, Condensadores, Permutadores de calor, Bombas de calor - Maquinas frigorificas, Motores de combustão interna, Sistemas solares, etc. • Estudo de Soluções para poupança de Energia: Isolamentos para redes de transporte de calor, Optimização térmica de edifícios, etc. • Estudo de Processos e Problemas Industriais diversos: Isolamento térmico de componentes em máquinas, etc. • Compreensão de diversos tipos de Fenómenos: Metabolismo dos seres vivos, Meteorologia e Clima, Culinária, Trocas de Energia entre planetas, estrelas, etc. Capítulo 1 T1 T2 q Nota: T1 > T2 dt dQ q = em J/s ou W Nota Importante: Iremos adoptar a notação usada no Incropera: Q - Energia Térmica, J q - Taxa de transf. de calor, W (ou J/s) q&- Taxa de transf. de calor por unid. de volume, W/m3 q′- Taxa de transf. de calor por unid. de comprimento, W/m q ′′ - Fluxo térmico, W/m2
INDICE Versão 2014/2015 6 © J. Carlos Lopes da Costa Fenómenos de Transporte • Transferência de Quantidade de Movimento • Transferência de Calor • Transferência de Massa • ... Transferência de Quantidade de Movimento Fluido V r Q. mov. Transferência de Calor T1 T2 q′′Meio condutor x T Transferência de Massa ρΑ1 (elevado) ρΑ2 (Baixo) Am& x ρA x V ∂ ∂ −= µτ Notas: Enquanto houver desequilíbrio de velocidades (V), τ (tensão) mantém-se! A q. de m. é transportada das partículas com velocidade mais alta para aquelas com velocidade mais baixa. x T kq ∂ ∂ −=′′ Enquanto houver diferença de temperatura o fluxo de calor mantém- se! O calor flui das temperaturas mais altas para as mais baixas. x Dm A A ∂ ∂ −= ρ & A substância A avança das zonas de maior densidade (ρ) para as zonas de menor densidade.
INDICE Versão 2014/2015 7 © J. Carlos Lopes da Costa Mecanismos de Transporte Modos Mecanismos Meios Difusão (Condução) Para o calor Agitação entre Moléculas • Sólidos • Fluidos em repouso (Exemplo: Ar nos poros da esferovite ou da cortiça) Convecção Fluido em movimento Fluidos Convecção natural Convecção forçada Radiação APENAS NA TRANSFERÊNCIA DE CALOR Transporte sem matéria Meios transparentes q′′ Sem Mudança de Fase Com Mudança de Fase
INDICE Versão 2014/2015 8 © J. Carlos Lopes da Costa Quantidade de Calor Transferido Condução ( )21 TT e A kqCD −= Condutibilidade térmica do material da parede - k UNIDADES CDq - [W] (isto é J/s]) A - [m2 ] e – [m] T∆ – [ºC] ou [K] T1 T(°C) e x CDq A T2 Parede Plana É do senso comum que o fluxo de calor entre duas faces de uma parede de material uniforme, CDq , é proporcional à superfície da parede A, á diferença de temperaturas nas faces da parede (T1-T2), e inversamente proporcional à espessura e. k - [W/(m.ºC)] ou [W/(m.K)] A condutibilidade térmica é uma propriedade física das substâncias e dos materiais. Traduz a maior ou menor capacidade que um material tem em deixar passar calor. Materiais bons condutores têm k altos (metais); materiais maus condutores têm k baixos (cortiça). Nota: Em muita bibliografia aparece a letra λλλλ (minúscula) no lugar de k a representar condutibilidade térmica.
INDICE Versão 2014/2015 9 © J. Carlos Lopes da Costa Convecção Coefic. de Convecção de um escoamento – h ( )∞−= TTAhq pCV UNIDADES CVq - [W] (isto é J/s]) A - [m2 ] ∆T – [ºC] ou [K] Outros exemplos de geometrias de CONVECÇÃO T(y) Tp y T(y) Tp T∞ CVq Vejamos um qualquer escoamento de um fluido sobre uma superfície. Neste caso, a temperatura á superfície (Tp) é diferente da temperatura do fluido (T∞). Tal como se desenvolve uma camada limite de velocidades, que junto á superfície são inferiores, também se desenvolve um gradiente de temperaturas, desde Tp até T∞, que constitui a Camada Limite Térmica. É previsível que CVq seja proporcional à superfície da parede A e á diferença de temperaturas nas faces da parede (T1-T2). h - [W/(m2 .ºC)] ou [W/(m2 .K)] O coeficiente de convecção h é função do escoamento em causa. É função do fluido, da geometria do escoamento, e de outros factores, como veremos. Poderemos ter uma infinidade de escoamentos diferentes do exemplo apresentado em que haja trocas de calor (Exemplo: água que aquece ou arrefece dentro de tubos num radiador). Nota: Em muita bibliografia aparece a letra α no lugar de h a representar coeficiente de convecção. ∞∞ vT ; pT Tp Tmédia do fluido
INDICE Versão 2014/2015 10 © J. Carlos Lopes da Costa Radiação Radiação Electromagnética →Não necessita de meio. Desenvolve-se no vácuo ou em meios transparentes. Uma superfície emite radiação independentemente do que o rodeia. Dois corpos trocam sempre radiação nos dois sentidos independentemente das temperaturas (desde que uma das temperaturas não seja 0K). A radiação solar chega até nós através do vácuo no espaço. Uma boa parte chega à superfície terrestre, porque a atmosfera é transparente para uma parte dessa radiação. Se houver um obstáculo não transparente, os efeitos da radiação são eliminados ou atenuados. Qualquer corpo que “veja” outro recebe uma parte da sua radiação. Este emite a sua radiação independentemente daquele(s) que a recebem, quer estejam mais quentes ou mais frios. O corpo mais quente emite mais radiação que o corpo mais frio. No final o balanço é positivo para o mais frio e negativo para o mais quente, pelo que acaba por haver transferência de calor do corpo mais quente para o corpo mais frio.
INDICE Versão 2014/2015 11 © J. Carlos Lopes da Costa hRAD=ε.σ.(T1+T2).(T1 2 +T2 2 ) [hRAD] - W/m2 K Radiação – Calor Emitido CORPO EmitidaRadq . ..EmRadq é proporcional a A e a T4 Nota: T em K (Kelvin) Valor Absoluto (em K)Superfície do Corpo T Corpo Negro (Radiador Ideal) 4 . .. TAq EmitidaRad σ= Corpo Real 4 . ... TAq EmitidaRad σε= Radiação – Calor trocado Caso Particular: Quando uma superfície 1 se encontra envolvida por uma superfície muito maior (sup. 2), - Exemplo: Objecto 1 rodeado pelas paredes de uma sala 2 - pode-se demonstrar (como veremos) que o calor trocado entre as duas por radiação é: σσσσ – Constante de Steffan-Boltzmann σσσσ=5.67*10-8 W/(m2 K4 ) Constante física. εεεε– Emissividade do Corpo Indica a eficiência do corpo real relativamente ao corpo negro. (0<ε<1) Um corpo negro é um corpo que absorve toda a radiação que nele incide. Pode-se demonstrar que um corpo negro também emite toda a radiação que é possível um corpo emitir a uma dada temperatura. Um corpo real emite apenas uma fracção dessa radiação. T1>T2 A2>>A1 Superfície 1: A1, ε e Superfície 2: T2 Quando se calculam situações que envolvem vários meios de transferência de calor, pode ser mais prático utilizar uma expressão para a radiação que envolva ∆T no lugar de ∆(T4 ) (ver Resistências Térmicas). Daí surge a necessidade da grandeza Coeficiente de Radiação - hRAD. ( )4 2 4 121 ... TTAqRAD −=− σε ( )2121 .. TTAhq RADRAD −=−
INDICE Versão 2014/2015 12 © J. Carlos Lopes da Costa Resumo dos Mecanismos de Transferência de Calor Mecanismo Equações Propriedades Associadas Condução Equação de Fourier ⇒ ∂ ∂ −=′′ x T kqx e TT Akq 21 − ⋅−= k (W/m.K) Convecção Lei de Newton do Arrefecimento ( )21 TTAhq −⋅⋅= hCV (W/m2 .K) Radiação Aplicação da Lei de Steffan- Boltzmann 4 ... TAq σε= Caso particular: 2 superfícies, A2 >>A1: ( )4 2 4 111 TTAq −= σε ( )211 TTAhRAD −= ε σ (W/m2 .K4 ) hRAD (W/m2 K)
INDICE Versão 2014/2015 13 © J. Carlos Lopes da Costa Resistência Térmica Esta abordagem facilita a análise de sistemas onde existem trocas de calor entre váriosmeios: Permite a análise de sistemas mais complexos. Permite a obtenção de resistências térmicas equivalentes a conjuntos de resistências. & &V ou m p∆ .HidrR p m ∆ =& SISTEMA HIDRÁULICO .ElectR V I = SISTEMA ELÉCTRICO Ex: Quartos de uma casa ou edifício T1 T1 T1 T1 T1 T1 T1 T2 T3 T4 T5 T5 T1 T2 qRtérmica SISTEMA TÉRMICO térmicaR T q ∆ = Meio onde se dá a transferência de calor (convecção, condução ou radiação) V I R
INDICE Versão 2014/2015 14 © J. Carlos Lopes da Costa Quantificação das Resistência Térmicas • Condução ⇒∆= T e kA q kA e q T RCond = ∆ =     W K ⇒∆=′′ T e k q k e q T RCond = ′′ ∆ =′′       ⋅ W mK 2 • Convecção ⇒∆⋅⋅= TAhq Ahq T RConv ⋅ = ∆ = 1     W K ⇒∆⋅=′′ Thq hq T RConv 1 = ′′ ∆ =′′       ⋅ W mK 2 • Radiação Uma vez que qnão é proporcional a ∆T mas sim a ∆(T 4 ), a definição de RRad não é tão evidente. Pode-se, como aproximação, considerar hRD e adoptar a mesma definição de RRade RadR′′ que foi utilizada para a convecção. RRad = 1 hRD A     W K ; RD 1 h RRad =′′       ⋅ W mK 2 Para uma situação concreta (A está definida). Quando se pretende determinar o fluxo de calor por unidade de área (A indefinida). Para uma situação concreta (A está definida). Quando se pretende determinar o fluxo de calor por unidade de área (A indefinida).
INDICE Versão 2014/2015 15 © J. Carlos Lopes da Costa Combinação de Resistência Térmicas Semelhantes ás aplicadas aos circuito eléctricos: Resistências em Série: 21 RRReq += ou ∑= = n i ieq RR 1 Resistências em Paralelo: 21 /1/1/1 RRReq += ou 1 321 ... 111 −       +++= RRR Req Generalizando: 1 1 1 − =       = ∑ n i i eq R R T1 T2 q R1 T3 T1 T3 q R2 Req Exemplo: Parede de um edifício Exemplo: Janela de um edifício &Q T1 T2 T1 T2 T1 T2 21 qqq += 1q 2q R1 R2 Req T1 T2 Vidro Caixilharia ...321 :ImportanteNota RRRReq ′′+′′+′′=′′ 1 321 ... 111 :ImportanteNota −       ′′ + ′′ + ′′ =′′ RRR Req
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 16 © J. Carlos Lopes da Costa Resistência de contacto Em sistemas com vários materiais pode haver queda de temperatura na interface entre materiais: Deve-se então considerar a existência de uma resistência suplementar e localizada a que se chama resistência de contacto. Rcontacto↑ se: • rugosidade ↑ • pressão de contacto ↓ Tabela de valores experimentais: Rc×104 (m2 K/W) - Para condições de vácuo Pressão de contacto 100 kN/m2 10000 kN/m2 Aço 6 … 25 0,7 … 4 Cobre 1 … 10 0,1 … 0,5 Alumínio 1,5 … 5 0,2 … 0,4 Deve-se á rugosidade das superfícies - na maioria dos casos os interstícios têm ar (que é mau condutor). Podem-se obter mais dados sobre resistência de contacto em bibliografia sobre Transferência de Calor
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 17 © J. Carlos Lopes da Costa Condução Equação de Fourier e Equação Geral da Condução O que è a Condução? O transporte molecular de calor (difusão) através de um meio sólido ou em repouso. A condução é proporcional ao gradiente de temperaturas nesse meio. x T kqx ∂ ∂ −=′′ r Equação de Fourier O fluxo de calor é uma grandeza vectorial, isto é, podemos encarar q ′′ como um vector q r ′′ que aponta das temperaturas mais altas para as mais baixas. Capítulo 2 x T1 T2 T 0>′′q r x T1 T2 T 0<′′q r Nota: A q q =′′ em W/m2 k – Constante física do meio onde se desenvolve a condução do calor. ( ) x T kq x T x T x x T k T e k q x ∂ ∂ −=′′ ∂ ∂ → ∆ ∆ ⇒→∆ ∆ ∆ −= ∆−=′′ r r 0
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 18 © J. Carlos Lopes da Costa Num caso geral em que a temperatura varie em 3 dimensões, dentro de um dado meio:       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−=∇⋅−=′′ z T y T x T kTkq ,, r O fluxo de calor desenvolve-se em linhas perpendiculares ás superfícies isotérmicas. 90º IsotérmicasIsotérmicasIsotérmicas q r ′′ q r ′′ q r ′′ Condutibilidade Térmica A equação de Fourier pressupõe a existência de uma grandeza física - k - que é uma propriedade do meio onde se desenvolve o fluxo de calor por condução. Esta propriedade designa-se por condutibilidade térmica. x T q k ∂ ∂ ′′ −= (num meio monodimensional) Unidades S.I. para a condutibilidade térmica:     =      → mK W K/m W/m 2 k
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 19 © J. Carlos Lopes da Costa Interpretação da Condutibilidade Térmica A condução ou difusão de energia térmica (isto é, passagem de calor através de um meio sem movimentação de massa) deve-se á: • Agitação entre átomos que é transmitida através das ligações atómicas. • Migração de eletrões livres através das ligações atómicas. Consequências: k sólidos>k líquidos>k gases – uma vez que as ligações atómicas são mais fortes nos sólidos que nos líquidos, e as destes, por sua vez, mais fortes que as dos gases. k metais >k maus condutores eléctricos – uma vez que os metais dispõem de grande quantidade de electrões livres, que navegam facilmente através das ligações atómicas. 0.01 0.1 1 10 100 1000 λ Gases Líquidos Mat. Isolantes Sólidos não Metálicos Ligas Metal. Metais Puros GeloPlásticos Óxidos Zinco Prata Óleos MercúrioÁgua CO2 H2 A condutibilidade térmica varia com a temperatura, sobretudo nos líquidos e gases. Nota: Quando se fala na condutibilidade de fluidos (líquidos e gases), admite-se que estes se encontram em repouso sem qualquer movimentação de massa. Para efeitos de cálculos, determina-se geralmente valores médios de k para as temperaturas em causa. k [W/(mK)]
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 20 © J. Carlos Lopes da Costa Equação Geral da Condução Tomemos um determinado volume elementar (com um volume dV= dx.dy.dz) num dado meio onde a temperatura é variável. Fazendo um balaço á energia térmica neste pequeno volume elementar: gdzzdyydxxzyx Qdqqqqqq dt dQ &+++−++= +++ )( Passemos a analisar cada um destes termos individualmente. VARIAÇÃO da Energia Interna (CALOR) por unidade de Tempo = Calor que ENTRA por unidade de tempo - Calor que SAI por unidade de tempo + Calor que é GERADO no seu interior por unidade de tempo Nota: gQ& - Calor que “brota” do material (gerado) por unidade de tempo. T(x,y,z,t) dV x y z dx dydz gQd & x x+dx xdq dxxdq + dyydq + ydq zdq dzzdq + x
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 21 © J. Carlos Lopes da Costa • Variação da energia interna por unidade de tempo Pode-se exprimir da seguinte forma: t TcV t Tcm t Q pp ∆ ∆⋅⋅⋅ = ∆ ∆⋅⋅ = ∆ ∆ ρ Como falamos de um intervalo de tempo e de um volume elementares, os Δ tornam-se infinitamente pequenos (Δ passa a d ou ∂). t T cdzdydx t T cdV dt dQ pp ∂ ∂ ⋅⋅⋅⋅⋅= ∂ ∂ ⋅⋅⋅= ρρ • Fluxos que ENTRAM – Fluxos que SAEM Analisemos o fluxo de calor ao longo da direcção x: (a análise será semelhante para as restantes direcções y e z) =⋅⋅      ⋅ ∂ ′′∂ +′′−⋅⋅′′=− + dzdydx x q qdzdyqqq x xxdxxx =⋅⋅      ⋅ ∂ ′′∂ −′′−′′= dzdydx x q qq x xx =⋅ ∂ ′′∂ −=⋅⋅      ⋅ ∂ ′′∂ −= dV x q dzdydx x q xx dV x T kdT x x T k ⋅ ∂ ∂ ⋅=⋅ ∂     ∂ ∂ ⋅∂ = 2 2 Considerado todas as direcções: = k ∂2 T ∂x2 + ∂2 T ∂y2 + ∂2 T ∂z2       dV = k ∇2 T dV Nota: Δ… – Variação de... Exemplo: ΔQ = Qfinal – Qinicial O volume do cubo elementar é: dV = dx . dy . dz Segundo a equação de Forier: x T kqx ∂ ∂ ⋅−=′′ Laplaciano de uma função de x, ye z: 2 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 22 © J. Carlos Lopes da Costa • Calor GERADO Assumindo que conhecemos gq& (em W/m3 ),a quantidade de calor gerado por unidade de volume (ou potência calorífica por unidade de volume): dVqQd gg && = Por fim, juntando todos estes termos na equação de Balanço Energético: dVqdVTkdV t T c gp &+∇= ∂ ∂ 2 ρ ou Equação Geral da Condução k q T t T k c gp & +∇= ∂ ∂ 2 ρ Difusibilidade Térmica Nesta equação evidencia-se o termo k cpρ . O inverso deste termo k ρ cp é muitas vezes designado por difusibilidade térmica do meio ou do material – α : pc k ρ α = Estabelece uma relação entre a facilidade com que o calor evolui nesse meio (k) e a forma como ele é retido ou acumulado nesse meio (ρ cp). Nota: Não esqueça: 2 2 2 2 2 2 2 z T y T x T T ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ A Equação Geral da Condução pode então ser escrita da seguinte forma: k q T t T g & +∇= ∂ ∂ 21 α
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 23 © J. Carlos Lopes da Costa Casos Particulares da Equação Geral da Condução Regime Permanente Quando um fluxo de calor se encontra numa situação estabilizada, nada varia com o tempo. Então: ⇒= ∂ ∂ 0 t T 02 =+∇ k q T g & Regime Permanente sem Fontes de Calor Na maior parte das situações, o calor não é gerado no seio do material que conduz o calor. Assim: ⇒     = = ∂ ∂ 0 0 gq t T & 02 =∇ T Equação de Laplace Regime Instacionário sem Fontes de Calor ⇒= 0gq& t T k c T p ∂ ∂ =∇2 ρ Ao contrário das situações anteriores esta situação não permite uma solução analítica. Notas: Um fluxo de calor em regime permanente estabelece-se quando a fonte de calor não arrefece e quando a fonte fria não aquece. Existem muitas situações práticas em que isto se verifica; por exemplo, quando a fonte de calor é uma chama, e o calor se escapa para a atmosfera. Quando estamos numa situação monodimensional: 02 2 =→ dx Td Exemplo: quando o calor flui através de uma parede plana, da face mais quente para a face mais fria, não há razão para pensar em variações de temperatura em direcções paralelas á parede. Assim a única direcção onde interessa considerar variações é a direcção x perpendicular á parede. Quando estamos numa situação monodimensional, em que o fluxo de calor se dá segundo a direcção x: t T k c dx Td p ∂ ∂ =2 2 ρ
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 24 © J. Carlos Lopes da Costa Condições Limite A equação geral da condução é, na sua forma geral, uma equação diferencial de 2ª ordem, de derivadas parciais. A obtenção do perfil de temperaturas no meio em causa é feita por integração, da qual resulta o aparecimento de constantes de integração. Estas são obtidas por aplicação das condições limite. - Há 2 tipos de condições limite: • Condição inicial (tempo) • Condições fronteira (espaço) - Há 3 espécies de condições fronteiras: 1ª Espécie Condições de temperatura: Sabe-se a T na fronteira. 2ª Espécie Condições de fluxo: Sabe-se o fluxo na fronteira. k q x T x T kq x xx x − ′′ = ∂ ∂ ⇔ ∂ ∂ −=′′ = == = 0 00 0 Inclui o caso de uma superfície isolada: 00 0 0 = ∂ ∂ ⇔=′′ = = x x x T q 3ª Espécie Condições de convecção: Conhece-se h e T∞. ( ) 0 00 = =∞= ∂ ∂ −=−=′′ x xx x T kTThq Relação para Tx=0 Nota: Condição inicial (tempo) - diz respeito ao conhecimento da distribuição de temperatura para t = 0 (para cada caso só é necessária 1). Condições fronteira (espaço) - reportam-se ao que se passa nas fronteiras físicas do domínio (são necessárias 2 condições para cada coordenada espacial - fronteira inicial e final). xTx=0 x 0=xq& x T∞ h
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 25 © J. Carlos Lopes da Costa Condução Monodimensional Estacionária A equação geral da condução em coordenadas cartesianas é: k q T t T g & +∇= ∂ ∂ 21 α Em regime estacionário 0= ∂ ∂ t T . Para uma só dimensão (x): 02 2 =+ k q dx Td g & Condução plana Considere uma placa plana, com uma espessura L. A integração da equação anterior dá (sendo qg & independente de x): 21 2 2 )( cxcx k q xT g ++−= & Sendo as constantes c1 e c2 calculadas a partir das condições fronteira (x=0e x=L). • Sendo 0≠qg & a distribuição de T é parabólica. • Se 0=qg & (ausência de fontes): distribuição linear (note-se que k é constante). T(x) = c1x +c2 ⇒ x x=0 x=L Nota: O fluxo de calor pode ser obtido por derivação de T, ou através da definição de resistência de condução plana (já conhecida): R T q kA e R planacond ∆ =→= Note-se que a resistência só faz sentido se não houver fontes.
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 26 © J. Carlos Lopes da Costa Parede plana com Geração de Calor Exemplo: Barramento de cobre atravessado por uma corrente eléctrica, “gera” uma quantidade de calor (Efeito de Joule) proporcional a I 2 . Distribuição da Temperatura: 21 2 2 )( cxcx k q xT g ++−= & Parede Plana sem Geração de Calor Ex.: Parede exterior de uma habitação CVeCDCVi ei eq RRR TT R T q ++ − = ∆ = x h2 T q ′′ x=Lx=0 T2 T1 h1 Ti Te x T1 h 2, T∞ T x=Lx=-L x=0 T2h 1, T∞ h 1= h 2⇒T1=T2 Fronteira com Condições Simétricas T1 T x=Lx=-L x=0 T2 h 1, T∞ h 1 ≠h 2⇒T1 ≠ T2 Fronteira com Condições Não Simétricas Tmax Qd & Tmax Qd & x h, T∞ T Tmax=Tx=0 Fronteira isolada: 00 =′′=xq Tmax raIsolamento x=0 x=L q ′′ q ′′ q ′′ q ′′ q ′′ x 21.)( cxcxT +=
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 27 © J. Carlos Lopes da Costa Condução Cilíndrica De modo semelhante ao que foi feito em coordenadas cartesianas, pode traduzir-se a equação geral da condução em coordenadas cilíndricas (fazendo o balanço de um volume elementar em coordenadas cilíndricas). Obter-se-ia, no caso geral: t T k q z TT rr T r rr g ∂ ∂ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ αθ 111 2 2 2 2 2 & No caso monodimensional estacionário - condução radial - s/ fontes ; A solução é do tipo: 21 ln)( crcrT += • Pode deduzir-se a resistência de condução radial cilíndrica: (dR – resistência de uma fatia elementar dr) ∫∫∫ === e i e i e i r r r r r r r dr kLkrL dr Ak dr R ππ 2 1 2     W K Nota: para determinar q’ [W/m] – Fluxo de calor por unidade de comprimento de tubo: ( ) k rr R ie π2 ln CilíndricaParede =′     W Km ∂ ∂r r ∂T ∂r       = 0 dR = dr k Ar RParede Cilíndrica = ln re ri( ) 2πkL z + ∂z r z θθθθ r + ∂r r θ θ + ∂θ z ∂r ∂z r∂θ Para um cilindro oco (tubo) as constantes c1 e c2 determinam-se pelas condições fronteira nas 2 superfícies (interior e exterior).
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 28 © J. Carlos Lopes da Costa Comparação entre Condução Cilíndrica e Condução Plana Para a determinação do fluxo de calor através de uma parede cilíndrica poderíamos eventualmente aplicar o valor determinado para a resistência de uma parede plana R = e A k no lugar de ( ) Lk R i e r r ..2 ln π = . No entanto, para um tubo cilíndrico a área é variável. Assim, a expressão R = e A k só poderá ser usada como aproximação e sob certas condições. Por exemplo, quando a espessura do tubo é muito reduzida (Ai≈Ae), utilizando-se uma Amédia, como 2 ei m AA A + = . Exemplo: um tubo de aço (k=15W/mK, L=1m) Erro cometido, para diferentes espessuras (ri= 15) e (mm) 2 4 6 8 10 15 20 re ( mm) 17 19 21 23 25 30 35 Am (m2 ) 0,100 0,107 0,113 0,119 0,126 0,141 0,157 e Am k ( mK W ) 0,00133 0,00250 0,00354 0,00447 0,00531 0,00707 0,00849 ln re /ri( ) 2πkL ( mK W ) 0,00133 0,00251 0,00357 0,00454 0,00542 0,00735 0,00899 Erro (%) 0 0,4 0,8 1,5 2 4 6 e q re ri qq q Nota: Ai– Área Interior Ae – Área Exterior LrA ii ...2 π= LrA ee ...2 π=
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 29 © J. Carlos Lopes da Costa r θθθθ r θ ∂r ∂θ φ ∂φ φφφφ Condução Esférica (Radial) A equação geral da condução em coordenadas esféricas é: t T k qT r T rr T r rr g ∂ ∂ =+      ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ αφ φ φφθφ 1 sin sin 1 sin 11 22 2 22 2 2 & • Condução radial permanente e sem fontes: 1 r2 ∂ ∂r r2 ∂T ∂r       = 0 • Resistência de condução radial (esfera oca): ∫∫∫ === e i e i e i r r r r r r r dr krk dr Ak dr R 22 4 1 4 ππ       −= ei rrk R 11 4 1 EsféricaParede π     W K r dr
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 30 © J. Carlos Lopes da Costa Raio crítico de isolamento Caso Típico: Isolamento térmico de um tubo metálico, onde circula um fluido. • O fluxo do interior para o exterior é: eeisol e t i ii ei AhLk r r Lk r r Ah TT q 1 2 ln 2 ln 1 +       +       + − = ππ • Ao aumentar re: Ae↑⇒R conve↓ re/r↑⇒R condisol↑ • Há um valor de Req mínimo: dq dre = 0 ⇒ q(re ) = qmax para re=rcrítico. Trabalhando-se a equação anterior obtemos que: is crítico e k r h = Raio crítico de isolamento Efeitos diferentes em Req Rconvi Rcondtubo Rcondisol Rconve Isolamento Metal ri r re re e=0 re=r 0 q máxq rcrítico rOK Nota: Se o isolamento não for suficientemente eficiente (kisol baixo), a colocação de material isolante sobre o tubo pode aumentar a perda de calor (área exterior aumenta). Só valerá a pena colocar isolamento para raios re superiores a rOK.
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 31 © J. Carlos Lopes da Costa • Nota Importante: Se kis/he = rcr<r tal significa que já o máximo para ( )erfq = se encontrará para re=r, isto é e=0. Nesta situação vale a pena aplicar qualquer espessura de isolamento, uma vez que q diminui sempre. • Conclusão: Deverá se ter em conta o raio crítico de isolamento quando este for pouco eficiente (kisol pouco baixos), ou quando o raio exterior do tubo a isolar for relativamente baixo. Esfera Oca Uma análise equivalente feita para esferas ocas conduz á seguinte definição de raio crítico de isolamento: 2 is crítico e k r h = re e=0 re=r 0 q máxq rcrítico não existe na prática! Nota: Repare na figura que se o raio exterior do tubo sem isolamento (r) fosse muito pequeno, aí entraríamos numa região em que teríamos um raio crítico de isolamento.
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 32 © J. Carlos Lopes da Costa Condução em Regime Transiente Neste ponto vamos analisar a equação geral da condução, mas para situações que evoluem no tempo. Para tornar essa análise mais simples vamos considerar uma situação de condução mono dimensional (em x) sem geração de calor. t T αx T ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 2 2 Resolúvel através de: Métodos Analíticos (solução exacta) Métodos Numéricos (não abordados aqui) Se atemperaturafor Uniforme – Sistema Global ∂T ∂x ≈ 0       Solução Exacta Placa Plana θ(x,t) θ(x,t = 0) = Cn n=1 ∞ ∑ cos ζn x L      e − ζ n 2 αt L2       h, T∞∞∞∞ x0 h, T∞∞∞∞ x=-L x=L Em que: • θ ( x,t) = T ( x,t) − T∞ • nC e ζn são funções de hL k .
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 33 © J. Carlos Lopes da Costa A dedução matemática da equação anterior é relativamente complicada, no entanto a sua dedução põe em relevo duas grandezas adimensionais: Nº. de Fourier - 2 CL t Fo α = Nº. de Biot - k Lh Bi C = LC é um comprimento característico da geometria em estudo. Tipicamente LC = V Asuperfície . Assim: T(x,t) −T∞ Tinicial −T∞ = θ(x,t) θinicial = f (x,Fo,Bi) O mesmo tipo de análise pode ser feito para outro tipo de geometrias: Tempo adimensional para a condução. Capacidade de se transmitir calor por convecção face à capacidade de se transmitir calor por condução. 0 h, T∞ r=r0 r Cilindro infinito– comprimento muito grande (→∞). A uma temperatura inicial uniforme, arrefece (ou aquece) por acção de um fluido (h, T∞). Esfera –A uma temperatura inicial uniforme, arrefece (ou aquece) por acção de um fluido (h, T∞). h, T∞ r=r0 r 0 θ(x,t) θ(x,t = 0) = Cn n=1 ∞ ∑ e − ζn 2 αt ro       J0 ζn r ro ( ) θ(x,t) θ(x,t = 0) = Cn n=1 ∞ ∑ e − ζn 2 αt ro       1 ζn r ro sin ζn r ro ( ) Em que : Cn e ζn são funções de Bi ; J0 - Função de Bessel do primeiro tipo. Nota IMPORTANTE: • Placa Plana: Espessura2 1 == LLC • Cilindros: LC = ro 2 • Esferas: LC = ro 3
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 34 © J. Carlos Lopes da Costa Analisando os resultados de θ(x,t) θ(x,t = 0) , verifica-se: Se Bi < 0,1 ⇒ T (x,t) ≈ T (t) 0≈ ∂ ∂ x T A convecção no exterior do sólido é mais intensa que a condução que se dá no seu interior. Para cada instante de tempo, no interior do sólido, a temperatura é praticamente uniforme. Todo o sólido comporta-se um sistema único com uma só temperatura para cada instante de tempo – Sistema de Capacitância Global – ver secção seguinte. Se Bi > 0,1⇒ T (x,t) diversos para cada x e t Existem para cada instante gradientes de temperatura importantes no interior do sólido. x T T inicial T t=0 t=∞∞∞∞ Arrefecimento x T T inicial Tt=∞∞∞∞ t=0 Aquecimento x T T inicial T∞∞∞∞ t=0 t=∞∞∞∞ Arrefecimento x T T inicial T∞∞∞∞ t=∞∞∞∞ t=0 Aquecimento Exemplos em que isto pode ocorrer: • Material sólido muito bom condutor • Sólido muito fino (agulha, chapa fina) • Coeficiente de convecção h muito elevado. Soluções de Cálculo: • Solução Aproximada a partir da Solução exacta. • Recurso às Cartas de Heisler para as geometrias mais elementares (placa e cilindro infinitos, e esfera). • Recurso a Métodos Numéricos. Não abordado na disciplina.
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 35 © J. Carlos Lopes da Costa ( ) ⇒ − =⇒ =⇒−=− ⇒−=−=⇒−=      −−=⇒−= ∫∫ ∞∞ −= t pcV hA dt d dt dT e t t cV hA dt cV hA dθ θ dt cV hA dhA dt d cV TtThA dt dT cVq dt dQ ip i t p θ θp p psai i TtTθ(t) ρ θ θ θ ρ θθ ρρ θ θ θ θ ρ ρ )( lnln 11 )( 0 :Integrando )(:Adoptando Sistema de Capacitância Global O que traduz 0,1Bi < ? RCD = L kA ; RCV = 1 hA RCD RCV = L kA 1 hA = hL k = Bi Se Bi<0,1, a diferença de temperaturas entre o núcleo (T0) e a superfície (TP) é pouco significativa, em comparação com a diferença global (T0-T∞). Quanto menor for Bi, mais nos aproximamos da seguinte situação: Dedução de T(t) Balanço energético: ∆Energia Interna = Energia que sai RCV Tcorpo T∞ Corpo Sólido O corpo sólido forma um só sistema global de temperatura uniforme T(t). Exemplo: Placa plana RCVRCD T∞ TP T0 x L0 Se Bi<0,1, é porque a resistência de condução é inferior a 10% da resistência de convecção. θ(t) θi = e−Bi⋅Fo Nota : θ(t) θi = T(t)−T∞ Ti −T∞ dQ dt… se consideramos arrefecimento qsaiqentra
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 36 © J. Carlos Lopes da Costa Análise de um Sistema Global (cont.) θ(t) θi = e−Bi⋅Fo Calor transferido durante um período 0 →t: ( ) [ ]JouleJ)( −−= ip TtTcmQ Analogia reo-eléctrica Vρcp dT dt = −hA T(t) − T∞( ) C – Capacidade Térmica/Eléctrica do Corpo R – Resistência Térmica/Eléctrica T≡V – Potencial Térmico/Eléctrico (Temperatura) C dV dt = 1 R V(t) −V0( )⇒ ∆V (t) ∆Vi = e − 1 RC t = e − 1 τ t Nota: 1 RC τ = - constante de tempo; R↑ ou C↑ – resposta mais lenta. Maior inércia. RCV=1/(hA) C=ρVcp T∞=V0 T=V No início (t=0)… Ti T∞ T t θ 0 θι Ti T∞ T t θ 0 θι AquecimentoArrefecimento
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 Solução Aproximada Para a generalidade dos casos, nomeadamente quando € Bi > 0.1, a solução passa pelo cálculo de soluções aproximadas. As equações das soluções exactas têm uma extensão infinita. No entanto, passada uma fase muito inicial do aquecimento/arrefecimento, temperatura pode ser obtida considerando apenas o primeiro termo das equações: ( ) ( Fo L x eC 2 1 cos* 11 ζ ζθ − ≈ ( ) ( )or rFo JeC 10 * 1 2 1 * ζθ ζ− ≈ ( ) ( or r Fo eC 1 * 1 sin 1 * 2 1 ζ ζ θ ζ− ≈ As funções C1 e ζ1e as funções de Bessel ncontram 37 © J. Carlos Lopes da Costa Solução Aproximada Para a generalidade dos casos, nomeadamente quando , a solução passa pelo cálculo de soluções As equações das soluções exactas têm uma extensão ita. No entanto, passada uma fase muito inicial do aquecimento/arrefecimento, para valores de € Fo > 0.2, a temperatura pode ser obtida considerando apenas o primeiro termo das equações: )Fo - Placa Plana - Cilindros ( )or r 1ζ - Esferas e as funções de Bessel ncontram-se tabeladas. J. Carlos Lopes da Costa Nota IMPORTANTE: • θ*= θ(x,t) θ(x,t = 0) • Placa Plana: Fo = αt L2 ; Bi = h L k L − 1 2 Espessura • Cilindros e Esferas: Nestas equações e tabelas os números de Biot e Fourier são calculados usando LC = ro: Fo* = αt ro 2 ; Bi* = h ro k Na tabela: Bia = Bi Placas planas Bia = Bi* Cilindros e Esferas Tabelas - Fonte: Incropera, Frank P. e David P. DeWitt, Fundamentals of heat and mass transfer (4th.Edition) x T θθθθi(T inicial) T∞∞∞∞ t=0 t =∞∞∞∞ Exemplo: Arrefecimento t θθθθ0 θθθθ
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 38 © J. Carlos Lopes da Costa x T θθθθi(T inicial) T∞∞∞∞ t=0 t =∞∞∞∞ Exemplo: Arrefecimento t θθθθ0 θθθθ A energia transferida nestes processos de aquecimento/arrefecimento pode ser obtida com base nestas equações: ( ) * 1 1sin 1 o oQ Q θ ζ ζ −= - Placa Plana ( )11 1 * 2 1 ζ ζ θ J Q Q o o −= - Cilindros ( ) ( )[ ]1113 1 * cossin 3 1 ζζζ ζ θ −−= o oQ Q - Esferas em que: ( )∞−TTVcQ inicialpo = ρ , θo * − θ * no núcleo, para x = 0 ou r = 0 , J1 - Funções de Bessel. Quando os meios de cálculo eram limitados, estes cálculos poderiam ser feitos por estimativas através do... Recurso ás cartas de Heisler Notas Prévias Nota 1: Geralmente pretende-se determinar uma temperatura T para um instante t, que equivale a uma temperatura θθθθ para um instante Fo. Nestas cartas lida-se com: θi = Tinicial −T∞ θ0 = Tnúcleo −T∞ θ = Tqualquer − T∞ Nota 2: As cartas de Heisler usam os mesmos números Bi* e Fo*, referidos atrás LC = ro( )nas equações aproximadas.
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 39 © J. Carlos Lopes da Costa Leitura das cartas de Heisler Quando se pretende conhecer a temperatura T para um ponto x no instante t: Calcula-se Bi*, Fo*, e θi. Em seguida… Quando se pretende conhecer o instante tem que no ponto x a temperatura é T: Calcula-se Bi*, θ, e θi. Em seguida… Fo*→ t 1 *Bi iθ θ0 * 1 Bi 0θ θ or r L x ou iθ θ θθ θ θ 0 0 0 ese-determinaeConhecendo → Determinado! Fo* * 1 Bi iθ θ0 * 1 Bi 0θ θ or r L x ou ∞ ∞ − − == TT TT iii θ θ θ θ θ θ 0 0 Determinada! As cartas de Heisler permitem resolver outros tipos de problemas e a sua aplicação não se cinge a situações em que Bi<0,1. Também existem cartas de Heisler para determinar o calor trocado para cada instante de tempo durante um aquecimento ou arrefecimento.
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 40 © J. Carlos Lopes da Costa Apêndice: Cartas de Heisler Estas cartas podem ser consultadas em: Incropera, Frank P. e David P. DeWitt, Fundamentos da transferência de calor e de massa (4ª Edição), LTC Editora. Placa Plana * * *
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 Cilindro 41 © J. Carlos Lopes da Costa * * J. Carlos Lopes da Costa *
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 Esfera 42 © J. Carlos Lopes da Costa * * J. Carlos Lopes da Costa *
CONDUÇÃO Versão 2014/2015 Cartas para determinar a energia trocada * * * 43 © J. Carlos Lopes da Costa Cartas para determinar a energia trocada * * ** * * J. Carlos Lopes da Costa
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 44 © J. Carlos Lopes da Costa Convecção O que é a Convecção? É o transporte de calor através de um meio fluido, feito principalmente devido à movimentação de massa – fluido mais quente transporta consigo calor. Se esse movimento for provocado (forçado) por um sistema exterior ao fluido (ventiladores, bombas, movimento de veículos), diz-se convecção forçada. Se esse movimento for induzido pelo próprio fluido, devido à diferença de densidades (provocada pela diferença de temperaturas) do fluido na presença de um campo gravítico (ou outro tipo de aceleração), então diz-se convecção natural. No estudo da convecção, vamo-nos debruçar sobre a entrada ou a saída de calor de um dado sítio, devido à presença de um fluído ou melhor, devido à presença de um escoamento. Iremos estudar a passagem de calor de/para um fluido para/de uma superfície. Capítulo 3 T(y)Tp y T(y) Tp T∞ q T∞
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 45 © J. Carlos Lopes da Costa Modelos Físico-Matemáticos A convecção pressupõe um meio fluido ou um escoamento onde existem gradientes de temperatura – fluxo de calor. Equação da Energia para um dado Escoamento Analisando o que se passa no ponto (x,y,z)… rodeiaoqueocomTroca emactuantesForças em Pot TotalEnergia dM dM dM q t + = ∆ ∆ Esta equação pode ser expressa para uma situação genérica por … Massa dM dx dy dz(x,y,z) x y z 0 Campo de Temperaturas Equação da Conservação da Quantidade de Movimento (Navier-Stokes) (insuficiente) Condiciona Campo de Velocidades Equação da Energia
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 46 © J. Carlos Lopes da Costa ( ) ( )TkTk VfepVVp V uv V u t turb diss ∇⋅∇+∇+ ++∇+⋅∇−=           +∇⋅+           + ∂ ∂ 2 22 22 rr & rr r r r ρρρρ Decomposição desta expressão: Variação da Energia Total em dM por unidade de tempo (potência): CinéticaEnergia- 2 calor);(incluidoInternaEnergia- adevidoEnergiadeTransporte 2 TempoocomVariação 2 2 . 2 V u v V uV V u t r r 44 344 21 r r 44 344 21 r           +∇+           + ∂ ∂ ρρ Potência das forças que actuam em dM: ( ) 876 rr4444444 84444444 76 321 & 44 344 21 rr ExterioresForçasdasPot.isSuperficiaForçasdasPot. ViscosoAtritodeForçasaRelativoPressãodeForçasaRelativo VfepVVp diss ρρ ++∇+⋅∇− Fluxo de calor (potência calorífica) que entra e sai de dM: Para conhecermos o que se passa num escoamento em termos de fluxo de calor, será necessário integrar esta equação – equação da energia. Nota: Operadores Cartesianos Derivativos • Gradiente: _ _ _ _ , , x y z  ∂ ∂ ∂ ∇ ≡   ∂ ∂ ∂  Aplica-se a uma grandeza escalar _. • Divergente: zyx zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡∇ ___ _. Aplica-se a uma grandeza vectorial _ ur . ( )zyx _,_,__ = ( )43421321 TurbulentaCondução-PseudoporCalordeFluxo)(MolecularConduçãoporCalordeFluxo 2 TkTk turb∇⋅∇+∇
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 47 © J. Carlos Lopes da Costa Integração da Equação da Energia • Resolução Analítica: só viável em muito poucos casos em que é possível muitas simplificações. Exemplo: Em Regime Estacionário, e Escoamento Laminar a simplificação resulta em… Tk x V uV disse i i ij 2 2 v 2 ∇+ ∂ ∂ =           +∇⋅ 876r r &ρ τρ Numa situação monodimensional, pode-se integrar analiticamente. • Recurso a Métodos Numéricos Computacionais: Aplicável à maior parte das situações. No entanto padece dos problemas e da complexidade das modelações numéricas em Mecânica de Fluidos. • Obtenção de Correlações Experimentais em Laboratório: Existem em publicações da especialidade correlações semi-empíricas obtidas experimentalmente, para as geometrias e situações mais comuns em engenharia. – Iremos sobretudo abordar esta via. Em qualquer dos casos: Para quantificar os fluxos de calor por convecção, é necessário conhecer: conhecer. • Características do Escoamento • Condições Fronteira Geometria Regime (Laminar ou Turbulento)
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 48 © J. Carlos Lopes da Costa Números Adimensionais Relevantes na Convecção Quando se analisa um dado sistema físico, é vantajoso o recurso a variáveis adimensionais: • Diminuem o número de variáveis independentes. • A escala dos fenómenos é irrelevante (podem-se aplicar os mesmos conceitos a situações dimensionalmente diferentes). Escoamentos em regime estacionários: Número de Reynolds – Re .. .v.v. Re refrefrefref MovimdeQdaDissipação MovimentodeQuantidadeLL ≡== νµ ρ Número de Grashof – Gr ViscosoAtritodeForças ImpulsãodeForças... Gr densidadedediferençaàDevido 2 3 refref 444 8444 76 ≡ ∆ = ν β LTg ⇒⇒⇒⇒ Eq. da Cons. Energia ⇒⇒⇒⇒ Eq. da Cons. Q. de Mov. Adimensionalização 5 parâmetros adimensionais Re, Gr, Ec, Pr, Prturbulento Nota Importante: Convecção Natural Convecção Forçada 1 Re Gr 2 << - Convecção Forçada – Forças ascensionais muito menores que as forças de inércia. 1 Re Gr 2 >> - Convecção Natural – Os gradientes de temperatura impõem as movimentações do fluido. 2 Gr 1 Re ≈ - Convecção Mista – Natural+Forçada.
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 49 © J. Carlos Lopes da Costa Número de Eckert – Ec ( ) FluidodoTérmicaEnergia FluidodoCinéticaEnergia Tc Ec TérmicaEnergiaemtranformarpodeseQue p 44444 844444 76 ≡ ∆ = ref 2 ref . v Número de Prantl – Pr 4444 34444 21 4444 84444 76 calordomoleculardifusãoparaAptidão massademoviementoporcalordoeotransportparaAptidão pp k c k c TérmicadadeDifusibili CinemáticadadeDifusibili... Pr ≡=== α νρνµ Número de Nuselt – Nu FluidodoidadeCondutibil CausaemConvecção fluido Ref ≡= k Lh Nu Nota: Número de Prandtl “Turbulento” Em escoamentos em regime turbulento, a agitação turbilhonar de pequena escala pode ser encarada como um fenómeno difusivo, complementar à difusibilidade molecular. Daí, podem-se criar novas propriedades difusivas: a Viscosidade Turbulenta- turbµ ou turbν - e a Condutibilidade Turbulenta- turbk . Daí que certos modelos de convecção considerem um Número de Prandtl Turbulento. turb turb turb . Pr pc k µ = Não iremos abordar Nota: Fluido a Alta Velocidade Dissipação Significativa Se a velocidade do fluido for muito elevada, a energia dissipada pelo atrito nas superfícies (que se transforma em calor) começa a ser significativa. Esse calor começa a alterar o campo de temperaturas. Este factor começa a ser notório para valores do número de Eckert muito elevados. Exemplo 1: Ar a 45m/s (162 km/h) faz subir a temperatura junto ás superfícies cerca de 1ºC, apenas devido à dissipação de energia por atrito. Não iremos abordar Notas: • Há convecção significativa se Nu>1. • Basicamente podemos interpretar Nu como sendo o coeficiente de convecção (h) adimensional, de uma dada situação.
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 50 © J. Carlos Lopes da Costa T∞, v∞ x v(y) v∞ y Camada Limite Dinâmica v(y) v∞ T∞, v∞ x y Camada Limite Térmica T∞ T(y) Tp T∞ T(y) Tp Camada Limite Dinâmica q Conceito de camada limite térmica Exemplo: Escoamento sobre uma Placa Plana Camada limite dinâmica: Zona de um escoamento, junto a uma parede, onde os gradientes de velocidade são importantes, devido à viscosidade do fluido. Camada limite Térmica: Zona do escoamento junto a uma superfície, mais quente (ou mais fria), onde os gradientes de temperatura são importantes. Nota: Na figura Tp>T∞ ; Se Tp<T∞ o raciocínio será semelhante. O fluxo de calor será de cima para baixo.
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 51 © J. Carlos Lopes da Costa Definição do Nº de Nusselt Junto à parede (y=0):       =′′′′=′′ A q qxqxq CVCD )()( Para uma dada situação, o número de Nusselt pode ser determinado pela resolução da equação da Energia, ou (mais geralmente) por via experimental. (Geometria,Re,Pr,condições de fronteira)Nu f= Existem vários trabalhos científicos que determinaram coorelações empíricas para a determinação do nº de Nusselt para um grande número de situações práticas. ( ) ( ) ( ) ⇒ ∂ ∂− −=− ⇒ ∂ ∂− = ∂ ∂               − ∂ =∂⇒ − − = =∂⇒= → ∂ ∂ −=−      ←−=′′ ← ∂ ∂ −=′′ = ∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞ = ∞ ∞ = = 0 0 0 )()( )()( Convecção)()()( Condução)( :aisadimensioneparavaloresAdoptemos )0emparadoestáfluido(o Yref p fluidop ref p pp refref y fluidop p y fluido YL TT kTxTxh YL TT y T TT T TT TT L dy Y L y Y Ty y T kTxTxh TxTxhxq y T kxq y θ θ θθ (x) fluido k ref h(x)L Y θ Nu== ∂ ∂ − T∞, v∞ x y Camada Limite Térmica T∞ T(y) Tp T∞ T(y) Tp 0 q Nota: O número de Nusselt traduz assim o fluxo de calor adimensional numa situação em que existe convecção junto a uma superfície.
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 52 © J. Carlos Lopes da Costa Coeficiente de Convecção – Valores Locais e Valores Médios A camada limite aumenta de espessura com x; logo: ∞ = ==== − ∂ ∂ =         ∂ ∂ <         ∂ ∂ TT y T k xh y T y T p y fluido xxyxxy 0 00 )(:Como 12 Então h(x) decresce com x. Nota: h(x) é o coeficiente de convecção local (para um dado x). Se pretendermos calcular o fluxo de calor total numa placa plana: Coef. de Convecção Médio - Nº de Nusselt Médio - Na maior parte das situações práticas o valor que mais nos interessa é o valor médio do calor trocado. Por isso, na generalidade dos casos iremos sobretudo nos preocupar com o cálculo do coeficiente de convecção médio. x y Camada Limite Térmica T∞ T(y) Tp T∞ T(y) Tp 0 x2x1 )( 1xq′′ )( 2xq′′ sup sup sup 1 ( ). A h h h x dA A = = ∫ sup sup sup 1 Nu Nu Nu . ref xA fluido hL dA A k = = =∫
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 53 © J. Carlos Lopes da Costa Camada Limite Laminar e Camada Limite Turbulenta Se o comprimento da placa for suficientemente grande, a partir de xcrítico, a camada limite dinâmica torna-se turbulenta. Se a Camada Limite cresce, em princípio a resistência à passagem de calor também cresce. No entanto, a agitação na camada limite turbulenta aumenta muito, o que quase uniformiza a temperatura acima da sub-camada limite laminar. Daí que os gradientes de temperatura vão quase só existir nesta sub-camada mais fina. Isto é: O cálculo do coeficiente de convecção médio (para toda a placa) deve ter em consideração estas duas zonas: Admitindo a zona de xcrítico muito pequena. aumenta)(aumentaaumenta xhq y T oy ⇒′′⇒ ∂ ∂ = x y T∞ Tp 0 C. L. Laminar C. L. TurbulentaTransição Sub-Camada Laminar Transição ZonaTurbulenta v∞ v∞ T∞ Tp T(y) T(y) xcrítico x y 0 C. L. Laminar C. L. TurbulentaTrans. xcrítico h h(x) h(x) lam turb 0 1 ( ) ( ) critico critico x L x h h x dx h x dx L    = +     ∫ ∫
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 49 © J. Carlos Lopes da Costa Camada Limite Laminar e Camada Limite Turbulenta (cont.) O desenvolvimento de camadas limite dinâmica e térmica ocorre em outros tipos de escoamentos: Escoamentos Externos Corpos completamente imersos no fluido. Placa Plana: Cilindro Perpendicular a um escoamento: Escoamentos Internos: Tubos e Condutas: Regime TurbulentoRegime Laminar Regime TurbulentoRegime Laminar Regime TurbulentoRegime Laminar
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 50 © J. Carlos Lopes da Costa Especificidades na Análise de Escoamentos Internos É usual definir-se Tm – Temperatura média do Fluido Para um dado x: ( )mp TTxhxq −=′′ )()( Sendo Te e Ts as respectivas temperaturas médias, na entrada e saída. Como os mp TTT −=∆ variam ao longo do tubo (de x), demonstra-se que o mais indicado para todo o tubo será usar um T∆ médio designado por Diferença de Temperaturas Média Logarítmica: ln.. TAhq ∆= Em todo o tubo Interior       ∆ ∆ ∆−∆ =∆ saída entrada saídaentrada ln ln :Sendo T T TT T Tmax1 T r Tp Tmax2 T r Tp Tm Tm Te Ts Tmin1 T r Tp Tmin2 T r Tp Tm Tm Te Ts Admitindo Tp uniforme: Te>Tmax1>Tmax2>Ts Admitindo Tp uniforme: Te<Tmin1>Tmin2>Ts Caso II: Parede quente aquece o fluido Caso I: Parede fria arrefece o fluido x x Nota: Para mais detalhes acerca de lnT∆ , consultar o capítulo relativo a Permutadores de Calor.
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 51 © J. Carlos Lopes da Costa Correlações Experimentais para a Convecção Notas Prévias • Para os cálculos dos fluxos de calor em problemas de convecção forçada geralmente basta-nos conhecer: (Geometria,Re,Pr,Condições de Fronteira)Nu f= • Iremos apenas analisar escoamentos: Em regime permanente Escoamentos incompressíveis (isobáricos no caso de gases) Dissipação desprezável ( 0Ec ≈ ) • Normalmente iremos determinar Nu através de funções do tipo: Nu .Re Prb c a= a, b e c são constantes para : Cada geometria Cada Regime (Re laminar ou turbulento) Tipo de condição fronteira ( )etc;const;const ≅′′≅ qTp Fluido que banha a superfície • Existirão expressões para valores locais e para valores médios: 1 2Nu ( ); Nu ( )x f f= =K K • Em diferentes publicações poderemos encontrar diferentes expressões de Nu para um mesmo caso. Tratam-se de resultados experimentais semi- empíricos, que podem diferir conforme o trabalho cientifico. Não esquecer que este tipos de cálculos fazem estimativas e não determinam valores exactos. • As propriedades dos fluidos (k, µ, ν, etc) são supostos valores constantes e uniformes nos cálculos. No entanto, variam com T!
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 52 © J. Carlos Lopes da Costa As correlações são muitas vezes definidas com base em propriedades à temperatura T∞ ou Tp (na parede), A sua contabilização pode ser feita de dois modos: Com base numa das temperaturas nas fronteiras - T∞∞∞∞ ou Tp (na parede). Com base numa temperatura média de referência (maior parte dos casos). Por vezes, as correlações já trazem um factor que contabiliza a variação das propriedades com a temperatura. Apresentam a seguinte forma: No entanto pT ou mT não são conhecidos à partida. Nestes casos é preferível partir para valores estimados, que serão rectificados iterativamente, até o resultado do cálculo convergir. • As grandezas adimensionais que caracterizam um (Re, Nu, Gr) escoamento são determinadas com base num comprimento característico Lref do escoamento. Esse valor é indicado como índice destas grandezas: v. . Re ; Nux D fluido x h D kν = = Como é óbvio, que num mesmo cálculo acerca de um dado escoamento, é conveniente manter sempre o valor de Lref para as diversas grandezas Re, Nu ou Gr. Exemplos: Escoamento sobre uma placa plana: Lref = L (comprim.) …ou Lref = x (posição) Escoamento dentro de um tubo: Lref = D (diâmetro hidráulico) Escoamento à volta de um cilidro: Lref = D (diâmetro) ( ou ) ( ou ) ( ) ( ) .Re Pr ;líquidos .Re Pr ;gases m m p p T T T T b c b c T T Nu a k Nu a k µ µ ∞ ∞   =      →   =      internossescoamentonos, 2 externossescoamentonos, 2 mp ref p ref TT T TT T + = + = → ∞
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 53 © J. Carlos Lopes da Costa Correlações Experimentais Placa plana com escoamento paralelo Regime Laminar ReL<5×105 50Pr6,0 PrRe664,0Nu PrRe332,0Nu ~~3/11/2 3/11/2 <<     = = L xx 6,0Pr PrRe906,0Nu PrRe453,0Nu ~3/11/2 3/11/2 >     = = L xx Outras correlações: Exemplo: Líquidos viscosos, metais líquidos – Pr baixos. Nux = 0,565 Re.Pr( ) 1 2 = 0,565.Pe1 2 ← Pr % < 0,05 1 2 1 3 valores de elevadosNu 0,339.Re Pr Prx = ← Regime Turbulento ReL>5×105 ( )     ←−=     =→     ←= <<< > <<< )e0(entreplacaatodaPara 10 ~ Re;60 ~ Pr ~ 6,0 8 3/14/5 3/14/5 8 3/14/5 Pr871Re037,0Nu PrRe0308,0NuPrRe0296,0Nu 10 ~ Re;60 ~ Pr ~ 6,0 L L xx crítico xx xx y 0 x h h(x) L x uniformeq ′′ Fluxo de calor uniforme em toda a placay 0 x h h(x) L x T uniforme Temperatura uniforme em toda a placa y 0 x h h(x) L x uniformeq ′′ Fluxo de calor uniforme em toda a placay 0 x h h(x) L x T uniforme Temperatura uniforme em toda a placa Notas: • Em regime laminarOs valores de Nu são 36% superiores para Tp uniforme. Em regime turbulento não há praticamente diferenças. • Pode-se demonstrar que Nu 2.Nu parax x L= = • Para alguns autores Re.Pr Pe= - Nº. de Peclet
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 Escoamento no Interior de Tubos Para a região de escoamento desenvolvido camadas limite ao longo do tubo x constanteNuNu == Regime Laminar Em regime laminar, Nu é independente de Secção T Equilátero ∞ a 2a a a xe Zona de Entrada Camada Limite Térmica 05,0:queEm e Dx ≅ x O Nu varia com o crescimento da camada limite térmica e/ou dinâmica. (Ver caixa abaixo, á direita). 54 © J. Carlos Lopes da Costa Escoamento no Interior de Tubos e Condutas Para a região de escoamento desenvolvido, uma vez que existirá limite ao longo do tubo, e considerando kfluido xemconstante Regime Laminar ReDh<2300 é independente de Re ou Pr: Tp Uniforme NuDh = pq ′′ Uniforme NuDh = 3,66 4,36 2,98 3,63 3,39 4,11 7,54 8,23 2,47 3,11 Escoamento Desenvolvido Dh Zona mais relevante para a maior parte dos casos! Até porque geralmente L>>x L PrRehD varia com o crescimento da camada limite térmica e/ou dinâmica. Zona de Entrada: Nusselt local, nos diferentes tipos de zon J. Carlos Lopes da Costa e Condutas , uma vez que existirá estabilização das fluido constante, então: Escoamento Desenvolvido para a maior L>>xe! Zona de Entrada: Nusselt local, nos diferentes tipos de zona de entrada:
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 55 © J. Carlos Lopes da Costa Escoamento no Interior de Tubos e Condutas (cont.) Regime Turbulento ReDh>10 4 Hipóteses consideradas: • Escoamento desenvolvido • Tubos lisos interiormente (ou de baixa rugosidade) Em regime turbulento não existirão diferenças de h ou Nu entre situações de Tp uniforme ou pq ′′ uniforme. Correlação 1 (Equação de Dittus-Boelter):       <<←= = = fluidodontoarrefecimeopara fluidodooaquecimentopara 3,0 4,0 100Pr7,0PrRe023,0Nu 8,0 n n n Dh Correlação 2 (Sieder e Tate): A utilizar quando houver grande variação de propriedades.       <<←      = paredederatemperatuàfluidodoeViscosidad referênciaderatemperatuàfluidodoeViscosidad 16700Pr7,0PrRe027,0Nu 14,0 3/18,0 P P Dh µ µ µ µ Nota: 60seNuNu >≅ D L , uma vez que o que se passa na zona de entrada é irrelevante. Lembrete: 4.Secção Perímetro HD =
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 56 © J. Carlos Lopes da Costa Escoamento Perpendicular a um Cilindro Regime Laminar ReD≤ 105 Regime Turbulento ReD>105 Valores Locais: Coeficiente de transferência de calor adimensionalNu para diferentes posições θθθθ. Note-se as diferenças entre a evolução para regimes laminares e regimes turbulentos. Ângulo de Separação θθθθsep θθθθ T∞∞∞∞ Ts Ângulo de Separação θθθθsep θθθθ T∞∞∞∞ Ts Tp 80ºsepθ ≈ 500 600 700 800 0 40 80 120 1600 180 θθθθ Nuθθθθ 100 200 300 400 0 ReD=2,2×105 ReD=105 ReD=0,71×10 5 ReD=1,4×105 140ºsepθ ≈ 2 2 876médiaT s p ref TT T T + + = ∞
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 57 © J. Carlos Lopes da Costa • Valores Médios (Tpou pq ′′ uniformes): Correlação proposta por Hilpert (1933), amplamente utilizada: 1/3 Nu = .Re Prm D DC Cilindros Não Circulares (Jakob – 1949) ReD C m Quadrado 5×103 – 105 0,246 0,588 5×103 – 105 0,102 0,675 Hexágono 5×103 – 1,95×104 0,160 0,638 1,95×104 – 105 0,0385 0,782 5×103 – 105 0,153 0,638 Placa Vertical 4×103 – 1,5×104 0,228 0,731 Outras correlações (Cilindros Circulares): Zhukauskas (1972): …em que todas as propriedades são obtidas para T∞, excepto Prp, que é obtido à temperatura da parede. Churchill e Bernstein (1977) : Cilindro Circular ReD C m 0,4 – 4 0,989 0,330 4 - 40 0,911 0,385 40 – 4 000 0,683 0,466 4 000 – 40 000 0,193 0,618 40 000 – 400 000 0,027 0,805 ReD C m 1 – 40 0,75 0,4 40 – 1 000 0,51 0,5 1 000 – 200 000 0,26 0,6 200 000 – 106 0,076 0,7 v D v D v D v D v D 36,010Pr;37,010Pr 500Pr7,0 10Re1 Pr Pr PrReNu 6 4/1 =→>=→≤    << << ←         = nn C D p nm DD    << > ←               +               + += 7 5/48/5 4/13/2 3/12/1 10Re100 2,0PrRe 282000 Re 1 Pr 4,0 1 PrRe62,0 3,0Nu D DDD D
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 58 © J. Carlos Lopes da Costa Escoamento em Torno de uma Esfera Equação mais geral – Whitaker (1972): ( )              ++= << ×<< << ← 2,3/0,1 4 106,7Re5,3 380Pr71,04/1 4,03/22/1 PrRe06,0Re4,02Nu p D p DDD µµ µ µ Todas as propriedades à temperatura de T∞, excepto µp (à temperatura da parede). Fluido gasoso – McAdams (1954): 4 107Re17 6,0 Re37,0Nu ×<<←= DDD      << ×<< << 2,3/0,1 4 106,7Re5,3 380Pr71,0 p D µµ Fluido líquido – Kramers (1946): ( ) 2000Re1 3,05,0 PrRe68,097,0Nu <<←+= DDD Existem muitas outras correlações, para diversas situações práticas, na bibliografia relativa a este ramo da engenharia. A título de exemplo, no “Fundamentos de transferência de calor e de massa” – Incropera e DeWitt, podemos encontrar correlações para: Jactos colidentes Leito de partículas sólidas
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 Escoamento num Feixe de Tubos = Re13,1Nu 1CD Nota:        = = = SD D 2 vv vv v Re max max max v, max ν No caso de termos menos que 10 linhas de tubos: Alinhados 59 © J. Carlos Lopes da Costa Escoamento num Feixe de Tubos      ≥ << ≥ ← 7,0Pr 40000Re2000 10linhas)de(nº PrRe 3/1 v, max D NL m D ( ) ( ) ( ) ( ) (<−← −    −>−− SDS DS S DSDSDS S TD D T TDT T 2comAlternados 2 2comAlternados Alinhados No caso de termos menos que 10 linhas de tubos: Alternados 10 10 Nu Nu L L D D N N< ≥ J. Carlos Lopes da Costa ) )− D 2 10 10 Nu Nu L L D D N N C < ≥ =
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 60 © J. Carlos Lopes da Costa Convecção Natural A convecção natural pressupõe a presença da gravidade – g ou outra aceleração (*) - que induza o deslocamento das massas mais pesadas na sua direcção (para baixo, no caso da gravidade). Geralmente, as velocidades em jogo são menores. vConv. Natural < vConv. Forç. ⇒⇒⇒⇒ hC.Nat. < hC. Forç. Interesse do estudo da Convecção Natural: • Dissipação de Calor (radiadores, equipamentos, electrónicos). • Equipamentos de captação solar. • Aquecimento de edifícios. • Ciências do ambiente (meteorologia, correntes de ar atmosférico, correntes marítimas). Capítulo 4 Nota: (*)Forças centrifugas, aceleração de Coriolis, por exemplo. • Convecção Forçada •Convecção Natural Movimento do Fluido Imposto exteriormente (bomba, ventilador, vento exterior ao volume de controle) Devido a forças mássicas associadas a gradientes de temperatura (fluido mais frio, é geralmente mais pesado)
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 61 © J. Carlos Lopes da Costa Exemplos de escoamentos em Convecção Natural: Nota importante: a existência de gradientes de densidade (ou ρ) não implica correntes de convecção importantes. Exemplo: Camada Limite Dinâmica • • x, vx y Fio Aquecido Tp> T∞∞∞∞ Tp> T∞ vx(y) T∞ ρ∞ y, vy Convecção Natural Placa Vertical Aquecida Camada Natural Formação de um Penacho x vx ρjunto à parede<ρ∞ Tp T∞ ρ∞ Há forte Convecção Natural Duas Placas Horizontais Separadas por Fluido Convecção Natural muito baixa. Há sobretudo Condução. x Placa Friaρρρρ2 T2 Placa Quenteρρρρ1 T1 T, ρ x Placa Friaρρρρ2 T2 Placa Quenteρρρρ1 T, ρ T1
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 62 © J. Carlos Lopes da Costa Equações necessárias ao estudo da Convecção Natural Pressupostos da seguinte análise: • Regime permanente e laminar • Escoamento bidimensional • Força gravítica actua na direcção negativa do eixo dos x. Equação da conservação da quantidade de movimento: ( ) } ( )( ) ( ) ⇒+−+=× 87648476r48476 rr AtritodeForçasPressãodeForçasExteriores Forças Mov.deQuat.de FluxodoVariação divgradvgradv τρρ pf 4444444 84444444 76 y yx yx p g yx y p x e y dedirecçãoNa 2 x 2 yx yy v1v v v v 0 0 vv ∂ ∂ + ∂ ∂ −−= ∂ ∂ + ∂ ∂       ≈ ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ ∂ ∂ ν ρ ( )maxUma vez que: p p gh g x x g x ρ ρ ρ∞ ∞ ∞ ∂ = = − ⇒ = − ∂ ( ) 2 x 2 ImpulsãodeForça yx vv v v v y g yx yx ∂ ∂ +−= ∂ ∂ + ∂ ∂ ⇒ ∞ νρρ ρ 43421 Formulação Diferencial Equações do Movimento Equação da Energia Equações da Quantidade de Movimento Equação da Continuidade x y T∞∞∞∞ Tp ρρρρ∞∞∞∞
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 63 © J. Carlos Lopes da Costa Coeficiente de Dilatação Térmica - ββββ Nota Importante: β líquidos – Tabelados βgases perfeitos ≈ T 1 (T em K) Por fim: Equação da conservação da quantidade de movimento: ( ) 2 2 vv v v v yx x x y g T T x y y β ν∞ ∂∂ ∂ ⇒ + = − + ∂ ∂ ∂ Equação da Energia: 2 2 v vx y T T T x y y α ∂ ∂ ∂ ⇒ + = ∂ ∂ ∂ Equação da continuidade 0 vv = ∂ ∂ + ∂ ∂ yx yx 1 1 . . T T T T ρ ρ ρ β ρ ρ β ρ ρ ∞ ∞ ∂ −  = − ≈ − ⇒ −∆ = ∆  ∂ −  Considerando: • Dissipação desprezável (velocidades baixas) • Condução segundo x<< convecção ••••Equação da Quantidade de Movimento ••••Equação da Energia ••••Equação da Continuidade Efeitos da Impulsão (diferença de densidades) Influencia do campo de velocidades no campo de temperaturas Solução para o campo de velocidades e temperaturas exige a resolução simultânea das três equações.
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 64 © J. Carlos Lopes da Costa Solução Numérica das Equações da Convecção Natural Placa plana quente e vertical, Tp uniforme. Para a mesma situação com pq ′′ uniforme, os resultados são semelhantes aos anteriores (5% de erro).→ Para o cálculo dos coeficientes de convecção (Nu) podemos então utilizar as mesmas correlações para Tp uniforme e pq ′′ uniforme. Turbulência na C.L. em Convecção Natural Como na convecção forçada, se o fluxo de calor se tornar muito intenso, poderemos gerar um escoamento em regime turbulento. Tal é função de Gre Pr (em conv. natural o Re não se aplica) • Para uma placa vertical: Transição: 9 Ra Gr .Pr 10x x= ≈ • Tal como na conv. Forçada: ↑ Turbulência ⇒↑h (Taxa de transferência de calor) 1 ∞ ∞∗ − − = TT TT T p 4 1 4       Gr x y 4 1 4       Gr x y 5,0 2 x x Gr xv ν Campo de TemperaturasCampo de Velocidades 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 61 0,4 0,6 0,8 0,2 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Pr = 0,01 0,72 10 100 0,72 10 Pr = 0,01 ←Distância à parede y adimensional → Temperatura T adimensional Velocidade vx adimensional
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 65 © J. Carlos Lopes da Costa Coorrelações para Convecção Natural Placa vertical (aquecida ou arrefecida): Regime Laminar ( )9 Ra =Gr Pr 10L L < : 4 9 ___ 10 Ra 10 1/4 Nu 0,59.Ra LL L ← < <= – McAdams (1954) Nu ___ L = 0,68+ 0,670.RaL 1/4 1+ 0,492 Pr( ) 9/16    4/9 ← RaL < 10 9 – Churchill e Chu (1975) Regime Turbulento( )9 Ra =Gr Pr 10L L > ___ 1/3 Nu 0,10.RaL L= –Warner e Arpaci (1968) 2 5Nu 0,021.RaL L= – Eckert e Jackson (1951) Para toda a gama de RaL=GrLPr: Nu ___ L = 0,825+ 0,387.RaL 1/6 1+ 0,492 Pr( )9/16    8/27               10−1 <RaL <1012 1 24444444 34444444 2 – Churchill e Chu (1975) Tp> T∞ T∞ ρ∞ y, vy Tp L Tp< T∞ T∞ ρ∞ x vx Tp L y, vy x vx
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 66 © J. Carlos Lopes da Costa Cilindro Vertical Se 4 1 35 LGr L D ≥ → Análise semelhante ao da placa vertical – Lref=L Se 4 1 35 LGr L D ≤ : Placas Inclinadas Placas inclinadas podem ser abordadas da mesma forma que as placas verticais (em ambas as faces), desde que: • 0º<θθθθ<60º • Se utilizeg.cosθθθθ no lugar deg, quando se calcula o número de Grashoff -Gr. 1 2 3 4 5 1 2 3 1/ 4 4 2 L L DGr ξ = Pr = 0,01 0,1 0,72 1 10 100 ____ ____ cilindro placa vert. Nu Nu 4 L D L θθθθ L θθθθ
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 67 © J. Carlos Lopes da Costa Placa Horizontal ( ) ___ Nu Gr .Pr m LrefC= Área PerímetrorefL = Tipo de escoamento Orientação da Placa Intervalo Ra Gr PrL L= C m Laminar 104 a 107 0,54 4 1 Turbulento 107 a1011 0,15 3 1 Laminar 105 a 1010 0,27 4 1 Cilindro horizontal ( ) ___ Nu Gr .Pr n D DC= - Morgan (1975) Churchill e Chu (1975) Esfera ( ) 1/ 4____ 4/99/16 0,589.Ra Nu 2 1+ 0,469/Pr D D = +     - Churchill (1983) Cilindro Circular Horizontal RaD=GrD.Pr C n 10-10 – 10-2 0,675 0,058 10-2 – 102 1,02 0,148 102 – 104 0,850 0,188 104 – 107 0,480 0,250 107 – 1012 0,125 0,333 q ou q q ou q q ou q ( ) 2 1/ 6 12 8/ 279/16 0,387.Ra Nu 0,60 Ra 10 1 0,559 / Pr D D D     = + ← <    +   
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 68 © J. Carlos Lopes da Costa Espaços Confinados (Fendas) Existem casos práticos de Convecção Natural em que esta se dá entre duas superfícies. Fluxo de calor (q) depende da resistência térmica da cavidade. Se H for muito pequeno (para um dado ∆T=T1-T2) ⇒Condução(o ar pouco se movimenta) Se H aumentar, o ar movimenta-se melhor ⇒Convecção Natural O Hcrítico também depende de ∆T Valores normalmente adaptados para exemplos indicados acima: • Hcaixa de ar = 4 - 5 cm • Hcolector solar =2,5 cm ( 1 ____ >∆T ) Caixa de Ar de uma Parede Dupla Colector Solar 2T∞ q Tijolos Ar 1T∞ H T1 T2 Ar q T2 T1 H Vidro Água Radiação H <Hcrítico→ TA H k q ar ∆= H>Hcrítico→ TA H k TAhq efectivo ∆=∆= Para que as duas situações sejam comparáveis criamos kefectivo: kefec.=h.H ∆Tconstante HH crítico q mínimoq Convecção NaturalCondução
CONVECÇÃO Versão 2014/2015 69 © J. Carlos Lopes da Costa Espaços confinados rectangulares Correlações Experimentais(extraídas do “Incropera”): Para τ = 0°°°°⇒ Se Ra 1708 Nu 1H H≤ ⇒ = ; Temos condução pura. 5 90,074 3 10 Ra 7 10 1/3 Nu 0,069.Ra Pr HH H ← × < < ×= Para τ = 180°°°°⇒Fluido fica estático: Nu 1H = ; Temos condução pura. Para τ = 90°°°°⇒ Se 3 Ra 10 Nu 1H H≤ ⇒ = ; Temos condução pura. Para 0°°°°<τ<90°°°°⇒ NuH = NuH (τ =0º) NuH (τ =90º) NuH (τ =0º)         τ /τ* sinτ *( ) τ 4τ* ← L / H ≤12 0 < τ < τ *    NuH = NuH (τ =90º) sinτ( ) 1/4 ←τ*<τ < 90º Ângulos críticos (τ∗τ∗τ∗τ∗) para cavidades rectangulares inclinadas: Para 90°°°°<τ<180°°°°⇒NuH =1+ NuH (τ =90º) −1    sinτ L/H 1 3 6 12 >12 τ∗τ∗τ∗τ∗ 25º 53º 60º 67º 70º → g Fluido W H T1 τ L T2> T1 H<<L H<<W Lref = H q Nu k Hh T Th q q H k cond conv == ∆ ∆ = ′′ ′′ 3 10 5 0,28 1/ 4 10 Ra 10 Pr 10 2 / 10 Pr Nu 0,22 .Ra 0,2 Pr H H H L H L H − < < < < <      = ←   +      ( )3 0,29 1/4 3 5 10 Ra Pr/ 0,2 Pr Pr Nu 0,18 .Ra 10 Pr 10 0,2 Pr 1 / 2 H H H L H L H − − ←  < +     = < <  +    < <  4 7 0,3 1/ 4 0,012 4 10 Ra 10 Nu 0,42.Ra Pr 1 Pr 2 10 10 / 40 H H H L H L H − ←  < <   = < < ×    < <  6 9 1/3 10 Ra 10 Nu 0,046.Ra 1 Pr 20 1 / 40 H H H L H ←  < < = < < < <
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 70 © J. Carlos Lopes da Costa Permutadores de Calor Introdução Dispositivo que efectua transferência de energia térmica de um fluido para outro. • Geralmente os fluidos estão separados por uma parede (recuperadores). • Princípios de transferência de calor: condução, convecção e por vezes radiação (para temperaturas elevadas). • Mecanismos para aumentar as trocas de calor: alhetas, chicanas, passes múltiplos, etc. Principais tipos de permutadores • Placas • Tubo e carcaça • Correntes cruzadas • Outros ... Capítulo 5 Permutador de Calor Fluido B TB Saída↓ Fluido A TA Saída↑ Fluido B TB Entrada↓↓ Fluido A TA Entrada↑↑
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 71 © J. Carlos Lopes da Costa Isolamento Isolamento Correntes Paralelas Isolamento Isolamento Em Contra-Corrente q q Permutador de Placas Princípo básico: Placa Plana Construção prática dos Permutador de Placas: ● Em Sandwich, alternando fluido quente e frio. ● Ondulações (ou alhetas) nas placas para maximizar a troca de calor.
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 Permutador de Carcaça e Tubos Tubo duplo ou Bitubular Carcaça e tubos Isolamento Fluido A Fluido B Fluido A 72 © J. Carlos Lopes da Costa Permutador de Carcaça e Tubos Tubo duplo ou Bitubular A A Correntes Paralelas Contra-corrente Fluido B J. Carlos Lopes da Costa Corte A-A
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 73 © J. Carlos Lopes da Costa Correntes cruzadas Distância do trajecto do fluido frio Distância do trajecto do fluido quente Tqe Tfs Tqs Tfe Saída do fluido quente, Tqo Saída do fluido frio, Tfo Entrada do fluido quente, Tqi Entrada do fluido frio, Tfi Ambos Fluxos Não “Misturados” Um Fluxo Não “Misturado” Fluxo “Misturado” Fluxo não “Misturado”
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 74 © J. Carlos Lopes da Costa Outros … Permutadores de Correntes paralelas vs. Contracorrente (Placa Plana ou Bitubular) O perfil de temperaturas é diferente para cada um dos casos. Um permutador em contra corrente pode conseguir que a temperatura do fluido frio à saída seja superior à do fluido quente à saída. CORRENT CONTRA CORRENTE entrada saída x T ∆T2∆T1 Fluido Quente Fluido Frio Fluido Quente ∆T1 ∆T2 Fluido Frio saída entrada entrada T entrada saída x CORRENTES PARALELAS Permutador de Calor Rotativo (neste caso, em “contra-corrente) Torres de Arrefecimento
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 75 © J. Carlos Lopes da Costa Determinação da Transferência de Calor Podemos definir a seguinte expressão para determinar a transferência de calor num permutador de calor: ____ TAUq ∆= Coeficiente Global de Transferência de Calor No interior de um permutador existem várias resistências térmicas a separar o fluido quente do fluido frio: ∑= = n i itotal RR 1 CVfCDCVq RRRR ++=permutadortotal Atendendo a que ____ ref.sup. TAUq ∆= : ∑= ′′ = ′′ = n i iR R U 1 permutadortotal 11 Diferencia de temperaturas média efectiva para todo o permutador Superfície de transferência Coeficiente global de transferência de calor Fluido Quente Resist. de Condução RCVq RCDfRCD Resist. Convecção no Fluido Quente Fluido Frio Resist. Convecção no Fluido Frio
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 76 © J. Carlos Lopes da Costa Permutador de paredes planas: 1 1 1 q parede f U e h k h = + + Permutador com paredes cilíndricas (tubos): 1 ln 1 e e e ie i i e U r r rr rh k h =      + + ou 1 ln 1 i e i i i i e e U r r r r h k r h =      + + Nota: iiiee TAUTAUq ∆=∆= ____ É necessário definirmos qual a superfície de transferência: Ae ou Ai e utilizar Ue ou Ui em consonância. Valores típicos de U: De: Para: U (W/m2 .K) De: Para: U (W/m2 .K) Água: Álcool 284 – 850 Óleo Óleo 170 - 312 Salmoura 567 – 1135 Fluido Orgânico Fluído Orgânico 57 – 314 Ar comprimido 57 – 170 Vapor: Soluções Aquosas 567 – 3400 Álcool condensado 255 – 680 Óleo combustível pesado 57 – 170 Amónia condensada 850 – 1420 Óleo combustível leve 170 – 340 Freon 12 condensado 454 – 850 Gases 28 – 284 Óleo condensado 227 - 567 Água 993 - 3400 Água 850 - 1700 Gasolina 340 - 510 Óleo lubrificante 113 - 340 Solventes Orgânicos 284 - 850 k he AiAe re ri hi
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 77 © J. Carlos Lopes da Costa Factores de Deposição (Fouling Factor) Os fluidos que circulam num permutador podem: Provocar corrosão Depositar sujidade em suspensão …nas suas paredes Teremos que considerar a soma de resistências à passagem de calor devidas ao aparecimento destas substâncias nas paredes – Factores de Deposição. Encontramos em várias publicações sobre permutadores, o valor de resistências típicas relativas a sujidade e/ou incrustações associadas ao tipo de fluido no permutador: limposujo 11 UU Rf −=′′ [ ]K/Wm2 Estas resistências muitas vezes designam-se por “Fouling Factor”. Valores típicos dos Factores de Deposição: Fluido R’’f (m2 K/W) Água salgada abaixo de 50°C 0.00009 Água salgada acima de 50°C 0.00020 Água tratada de caldeira acima de 50°C 0.00020 Óleo combustível 0.00090 Óleo refrigerante 0.00070 Vapores alcoólicos 0.00009 Vapor 0.00009 Ar industrial 0.00040 Líquido refrigerante 0.00020 R”CVq R”CDfR”CD Nota: ∑= ′′ = n i iR U 1 1
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 78 © J. Carlos Lopes da Costa Diferença Média Logarítmica de Temperaturas Na expressão ____ TAUq ∆⋅⋅= , como determinaremos o valor T∆ ? È previsível que a temperatura do fluído quente (Tq) e do fluído frio (Tf) varie ao longo dos seus percursos no permutador. No exemplo mostrado na figura – Permutador de placa plana com correntes paralelas – à medida que os fluidos trocam calor o ∆T diminui o que faz com que a troca de calor diminua e, por isso diminuam também as variações de temperatura. Para calcular o T∆ vamos assumir as seguintes aproximações: • U constante em todo o permutador. • A troca de calor dá-se apenas entre os dois fluidos – Sistema Adiabático. • Tf e Tq uniformes para cada secção x. • cp’sdos fluidos constantes. Assim, numa secção infinitesimal dx temos: ( )fq TTdAUdq −⋅⋅= (Troca de calor) e T Tqe Tq Tf dq Tfe dx dTf dTq Tqs Tfs ∆T2 x Tqs TfsTfe Tqe ∆T1
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 79 © J. Carlos Lopes da Costa qqpqffpf dTcmdTcmdq && −== ⇒ qq q cpm dq dT & −= ; ff f cpm dq dT & = Como : )( fqfq TTddTdT −=− ( ) ( ) dA cmcm UTTd TT AaToda constantes qpqfpf fq T T fq ∫∫         +−=− − ∆ ∆ 444 3444 21 && 1112 1 ⇒         +−= ∆ ∆ qpqfpf cmcm UA T T && 11 ln 1 2 (*) como: sqeq qpq TT q cm − =& e efsf qpf TT q cm − =& (*) ( ) ( ) q TTTT UA T T efsfsqeq −+− −= ∆ ∆ 1 2 ln saídaentrada Aumento da energia térmica do fluído frio Diminuição de energia térmica do fluído quente ⇒ ( ) dq cmcm TTd qpqfpf fq         +−=− && 11 ⇒ ( ) ( )[ ]fq qpqfpf fq TTUAd cmcm TTd −         +−=− && 11 ⇒ ( ) ( ) dA cmcm U TT TTd qpqfpffq fq         +−= − − && 11 ; integrando: Nota: Índices: q – Fluido quente f – Fluido frio e – Entrada s – Saída Nota: Permutadores de correntes paralelas: efeq TTT −=∆ 1 sfsq TTT −=∆ 2 (Ver figura da página anterior) T Tqe Tq Tf dq Tfe dx dTf dTq Tqs Tfs ∆Ts x Tqs TfsTfe Tqe ∆Te
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 80 © J. Carlos Lopes da Costa ⇒       ∆ ∆ ∆−∆ = 1 2 12 ln T T TT UAq ⇒ lmTDMLT T T TT T ∆≡=       ∆ ∆ ∆−∆ =∆ 1 2 12 _____ ln Chama-se a este valor Diferença Média Logarítmica de Temperaturas – DMLT Na bibliografia anglo-saxónica é designada LMTD – Log Mean Temperature Difference. Pode–se demonstrar que a DMLT é válido para todos os outros permutadores de uma passagem, i. e., também se aplica a permutadores em contra corrente T ∆T2 ∆T1 x T ∆T2 ∆T1 Correntes paralelas Contra corrente x se e e s s Nota: Para permutadores em contra corrente, o lmT∆ deverá ser calculado com base nos seguintes T∆ : sfeq TTT −=∆ 1 efsq TTT −=∆ 2
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 81 © J. Carlos Lopes da Costa Factores de Correcção da DMLT para Permutadores de Calor Complexos A utilização da expressão lmTAUq ∆⋅⋅= é válida para permutadores simples de uma só passagem: permutador de placa plana (correntes paralelas ou contracorrentes) e de tubo duplo (correntes paralelas ou contracorrente). Mas para permutadores mais complexos (multitubulares - com ou sem diversos passes na carcaça - ou correntes cruzadas) o cálculo de um T∆ é quase impossível. O procedimento usual é utilizar um factor de correcção F experimental: lmTAUFq ∆⋅⋅⋅= Existem diagramas para a determinação de F para as diferentes geometrias de permutadores: Pemutador de carcaça e tubos: Uma passagem na carcaça, e um número par de passagens nos tubos. Nota Importante: Nestes casos o lmT∆ deverá ser calculado como para permutadores em contra corrente. sfeq TTT −=∆ 1 efsq TTT −=∆ 2 P=(ts-te)/(Te-te) es se tt TT Z − − = Te Ts te ts
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 82 © J. Carlos Lopes da Costa Pemutador de carcaça e tubos: Duas passagem na carcaça, e um número par de passagens nos tubos. Permutador de Correntes cruzadas: Um fluido “misturado”. Permutador de Correntes cruzadas: Ambos os fluidos não “misturados”. P=(ts-te)/(Te-te) es se tt TT Z − − = Te Ts ts te P=(ts-te)/(Te-te) es se tt TT Z − − = Te Ts te ts P=(ts-te)/(Te-te) es se tt TT Z − − = Te Ts te ts
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 83 © J. Carlos Lopes da Costa Método NTU Eficiência de um permutador de calor Em muitas situações, apenas conhecemos: as temperaturas de entrada dos fluidos (quente e frio) ou as temperaturas de entrada e saída de um deles! Ao aplicarmos um cálculo recorrendo ao conceito DMLT, teremos que arbitrar as restantes temperaturas e caudais. Entramos por isso num processo iterativo. Exploremos então outro método: Conceito: Eficiência de um permutador max)(CalordeTrocaMax. RealCalordeTroca q q ideal real =≡ε ( ) ( )efsf C ffpsqeq C qqpreal TTmcTTmcq fq −=−= 876 & 876 & (**) ( ) ( )efeq C mínimop TTmcq −= 48476 & min max ⇒ ( )efeqmínimo TTCq −=max ( )feqemínimoreal TTCq −⋅= ε ε – Pode ser cálculado analiticamente ou determinado por expresões empíricas para comfigurações mais complexas. Nota: A Máxima Troca de Calor possivel seria o fluido com a menor capacidade témica ( • mCp ) baixar da maior temperatura no permutador (Teq) até á menor temperatura do permotador (Tef). Simplificação: qqpq mcC &∗= ffpf mcC &∗=
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 84 © J. Carlos Lopes da Costa Exemplo da Determinação da Expressão de εεεε Permutador de Correntes Paralelas ( ) ( ) ( ) ( )feqe fefsf feqe qsqeq TTC TTC TTC TTC − − = − − = minmin ε Se Cq < Cf ⇒ Cmin = Cq ⇒ feqe qsqe TT TT − − =ε Se Cq > Cf ⇒ Cmin = Cf ⇒ feqe fsfe TT TT − − =ε Voltando à equação (*) – pág.79:         +− = − − ⇒         +−=         − − fq CC UA feqe fsqs fqfeqe fsqs e TT TT CC UA TT TT 11 11 ln Da equação (**) – pág. anterior: ( ) ( )efsffsqeqq TTCTTC −=− ⇒ ( )qsqe f q fefs TT C C TT −+= Se Cmin = Cq: f q f q q C C C C C UA +                 +         −− = 1 1exp1 ε Se Cmin = Cf: q f q f f C C C C C UA +                 +         −− = 1 1exp1 ε ⇒ ( )( )1 exp 1 1 NTU C C ε − − + = + T Tqe q Tfe Tqs Tfs ∆T2 x Tqs TfsTfe Tqe ∆T1 ( ) ( ) q TTTT UA T T efsfsqeq −+− −= ∆ ∆ 1 2 ln Nota: NTU – Número de Unidades de Transferência (de calor. Adoptando: minC UA NTU = min C C C =
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 85 © J. Carlos Lopes da Costa Tipo de Permutador Relações Eficiência εεεε vs. NTU Ver Gráfico Correntes paralelas: um único passe ( )[ ] C CNTU + +−− = 1 1exp1 ε ; ( )[ ] C C NTU + +− = 1 11ln ε Gráfico A Contracorrente: um único passe ( )[ ] ( )[ ]CNTUC CNTU −−− −−− = 1exp1 1exp1 ε ;       − − − = 1 1 ln 1 1 CC NTU ε ε       = − = 1se 1 CNTU ε ε Gráfico B Tubos e carcaça (um passe na carcaça; 2, 4, 6 etc... passes nos tubos) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1exp1 1exp1 12 −           +     +−−     +−+ ++= C CNTU CNTU Cε ; ( ) ( ) ( ) 5.02 15.02 1 1/2 ; 1 1 ln1 C C E E E CNTU + +− =      + − +−= − ε Gráfico C Tubos e carcaça (n passes na carcaça; 2n, 4n, 6n etc... passes nos tubos) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −         −      − −         −      − − = C CC nn n ε ε ε ε ε Tirar ε1 da expressão anterior. Tirar NTU da linha acima, considerando n C F CF F /1 1 1 1 ; 1       − − = − − = ε ε ε Gráfico D para n = 2 Correntes cruzadas (ambos os fluxos não misturados) ( ) ( ) 0.22 0.781 1 exp exp 1NTU C NTU C ε    = − − −     Gráfico E Correntes cruzadas (ambos os fluxos misturados) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] 1 1 exp1exp1 −       − −− + −− = CNTU CNTU NTU NTU NTUε Correntes cruzadas (fluxo Cmín não misturado) ( )[ ][ ]{ }NTUC C −−−−= exp1exp1 1 ε ; ( )      −+−= C C NTU ε1ln 1 1ln Gráfico F (curvas tracejadas) Correntes cruzadas (fluxo Cmax não misturado) ( )( )[ ][ ]       −−      −−= CNTU C exp1 1 exp1ε ; ( )[ ]11lnln 1 +−−= εC C NTU Gráfico F (curvas sólidas) Todos os Permutadores 0 max min ≅= C C C ( )NTU−−= exp1ε
PERMUTADORES DE CALOR Versão 2014/2015 Gráfico A Gráfico C Gráfico E 86 © J. Carlos Lopes da Costa Gráfico B Gráfico D Gráfico F J. Carlos Lopes da Costa Gráfico B Gráfico D
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 87 © J. Carlos Lopes da Costa Radiação Térmica Introdução Neste momento está a ser emitida radiação térmica de toda a matéria que nos rodeia: No interior: mobília, paredes, pessoas,... No exterior: chão, edifícios, atmosfera, sol,... A radiação deve-se à emissão de energia por parte da matéria, embora o seu transporte não requeira a existência de matéria. Todas as formas de matéria emitem radiação. A radiação pode ser vista como a propagação de fotões ou ondas electromagnéticas, sendo: υ λ C = λλλλ - Comprimento de onda C - Velocidade da luz no meio de propagação υ - Frequência Espectro de radiação electromagnética Capítulo 6 Na maior parte dos sólidos e líquidos a radiação emitida é originária de moléculas que estão dentro de uma distância de 1 mm da superfície exposta. Pode ser considerada um fenómeno superficial Nos gases e meios semitransparentes é um fenómeno volumétrico. 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 10 103 104 102 Micro-ondasInfravermelho Micro-ondas Visível U.V. Raios γ Raios x λ [µm] ( ν [Hz] ) .7.4 Como geralmente a velocidade da luz num meio – C - é considerada contante, a cada comprimnto de onda λλλλ corresponde uma frequência υ . Daí que seja quase sempre indiferente falar de conprimento de onda ou frequência de uma dada emissão.
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 88 © J. Carlos Lopes da Costa Variação espectral e direccional Dependência Espectral: A radiação térmica emitida por uma superfície inclui diversos comprimentos de onda. A radiação varia com λ (em magnitude) – Dependência Direccional: Certas superfícies emitem preferencialmente em certas direcções, criando uma distribuição direccional. Para quantificar adequadamente a transferência de calor por radiação é necessário tratar os dois efeitos (espectral e direccional). No entanto, uma grande parte das superfícies reais é praticamente Difusa, i. e., o seu comportamento face á radiação não depende da sua direcção. Nesta disciplina apenas iremos abordar situações com superfícies difusas. DIRECCIONAL ESPECTRAL HEMISFÉRICA TOTAL emissão espectral (índice λ para todas as grandezas espectrais) emissão total ≡ área sob a curva  λ Índice’ para as grandezas direccionais [θ,β]) grandeza direccional β
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 89 © J. Carlos Lopes da Costa Definições fundamentais Corpo negro e suas leis O Corpo Negro é um conceito ideal, que serve de padrão, em relação ao qual as propriedades radiativas das superfícies reais são comparadas. Por definição, as suas propriedades são: Absorve toda a radiação que nele incide (qualquer λ e direcção - é difuso). A radiação que o Corpo Negro emite depende de λ e T, mas não da direcção (é difuso). Para uma dada T e λ, nenhum corpo pode emitir mais energia que o Corpo Negro. Corpo Cinzento: Semelhante a um corpo negro mas com inferior capacidade de emissão e absorção de radiação (mais próximo de um corpo real) Situação real que mais se aproxima de um corpo negro: Orifício Temperaturas Iguais Corpo Negro Corpo Cinzento
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 90 © J. Carlos Lopes da Costa Lei de Planck Distribuição espectral do poder emissivo do Corpo Negro: • Radiação varia continuamente com λ. • Para qualquer λ, a radiação emitida aumenta com a temperatura. • Existe um λ para o qual Ebλ é máximo, que se desloca para λ inferiores quando a temperatura T aumenta. • Os corpos podem praticamente não emitir em todo o espectro; para T< 500°C não é emitida radiação visível (só Infra-Vermelhos) • Lei de Wien: Valor de λ para Ebλ máxima. Ebλ é máximo quando λmax.T= 2897,6 µm.K. Para uma dada temperatura T λ Ebλ       − == 1 ..2 '. .5 1 2 T Cbb e C IE λ λλ λ π π C1 e C2 constantes. λ Ebλ Linha de Ebλλλλ máx. T Ambiente Radiação Visível T T =5800K (Sup. Sol) Nota: E- Poder emissivo. Traduz-se em potência calorífica emitida por unidade de área (W/m2 ). Noutro contexto poderia expressar-se por q ′′ . Ebλλλλ - Poder emissivo de um corpo negro (b – black) para um determinado comp. de onda (λ).
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 91 © J. Carlos Lopes da Costa Lei de Stephan-Boltzmann Poder emissivo total do Corpo Negro (integrarção da lei de Planck) ∫ ∞ == 0 4 TdEE bb σλλ σ- constante de Stephan-Boltzmann σ= 5,67 × 10-8 W/(m.K4 ) Propriedades Radiativas das Superfícies Reais Emissividade Nenhuma superfície real pode emitir mais radiação que um Corpo Negro, à mesma temperatura T. A Emissividade - εεεε - traduz a fração de energia emitida por um corpo real (ou de um corpo cinzento) relativamente a um corpo negro (0<εεεε<1). 4 0 0 0 T dE dE dE E E b b b b σ λε λ λε ε λλ λ λλ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ === Variação espectral Eλ Corpo Real (T) Corpo Negro (T) λ Corpo Cinzento (T) Nota: Emisividade hemisférica e total (para todas as direcções – hemisférica – e para todas os λ – total)
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 92 © J. Carlos Lopes da Costa Nota: Vimos a definição de emissividade hemisférica e total para uma superfície cinzenta e difusa. No entanto, a emissividade pode variar com vários factores: • Direcção • Comprimento de Onda • Temperatura • Natureza do sólido • Estado superficial .2.15.1.050 .4.20 1.8.6 Metais não polidos Metais oxidados Óxidos, cerâmica Carbono, grafites Minerais, vidro Vegetação,água, pele Tintas e acabam. especiais θ εθ n 90°0 45° 1 εθ Não condutor Condutor εn Metais muito polidos Metais Metais polidos ελ,n εn 1 .8 .6 .4 .2 0 0.6 1 2 1 .8 .6 .4 .2 0 .1 0.2 0.4 20 40 1004 6 10 300 700 1100 1500 1900 2300 2700 T (K)λ (µm) tungsténio aço óxido de alumínio aço oxidado óxido de alumínio 1400 K aço oxidado 1200 K aço 800 K tungsténio 1400 K Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 93 © J. Carlos Lopes da Costa Coeficientes de Absorção, Reflexão e Transmissão Comportamento de um meio semi-transparente à irradiação: Gtrans Gref Meio semi-transparente G Gabs G = Gref + Gabs + Gtrans G = ρ G + α G + τ G ⇒ α + ρ + τ =1 Tal como a emissividade, todos estes coeficientes (ρ, α e τ ) são função de: • Comprimento de Onda da Radição - λ • Direcção da radiação incidente • Estado superficial • … Iremos mais uma vez lidar com valores hemisfericos e totais. ↑ coef. reflexão ↑ coef. transmissão ↑ coef. absorção Nota: G– Irradiação. É a energia radiante (por unidade de tempo), ou radiação, que incide numa dada superfície por unidade de àrea (W/m2). Noutro contexto poderia expressar-se por q ′′ . As características de absorção e reflexão das superfícies são responsáveis pelas cores dos objectos que nos rodeiam – reflexão selectiva da porção visível da irradiação: um objecto é vermelho porque reflete apenas esses λ, dentro da gama dos λvisiveis.
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 94 © J. Carlos Lopes da Costa Coeficiente de Absorção – αααα O valor hemisférico total é: ∫ ∫ ∞ ∞ == 0 0 λ λα α λ λλ dG dG G Gabs Coeficiente de Reflexão – ρρρρ ∫ ∫ ∞ ∞ == 0 0 λ λρ ρ λ λλ dG dG G Grefl Podemos considerar dois tipos ideais de reflexão: Superfícies rugosas (aprox. válida para a maioria dos casos) Difusa: Especular: intensidade rad.reflect. uniforme rad. refl. Superfícies rugosas (aprox. válida para a maioria dos casos) Superfícies polidas (espelhos) rad. inc. rad. inc. θ1 = θ2 Para superfícies opacas (ττττ = 0): ρ = 1 - α Note-se que a reflexão não altera o(s) comprimentos de onda da irradiação. Coeficiente de Transmissão – ττττ Materiais translúcidos (plásticos, vidros, películas de água) têm τ ≠ 0.
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 95 © J. Carlos Lopes da Costa ∫ ∫ ∞ ∞ == 0 0 λ λτ τ λ λλ dG dG G Gtrans ρατ −−= 1 Um material pode ser transparente em certos comprimentos de onda e opacos noutros. Exemplo: Vidro T Baixa => λλλλ Longo T Elevada => λλλλ Curto Vidro opaco à radiação com λλλλ longo Vidro Transparente à radiação com λλλλ curto T Baixa => λλλλ Longo 2 1 1 3 τn λ (µm).4 .7 VisívelEfeito de estufa Infra-Vermelhos
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 96 © J. Carlos Lopes da Costa Lei de Kirchhoff - Relação Emissão/Absorção Verifica-se sempre que: Lei de Kirchhoff → α’λ=ε’λ Corpo difuso αλ=ελ Corpo cinzento α’=ε’ Corpo cinzento e difuso αααα = εεεε Muitas das superfícies comuns são (aproximadamente) cinzentas e difusas. Mas nem sempre é assim… Na prática, muitas superfícies têm o objectivo de funcionar com α≠ε. Exemplos: Placa de captação da radiação solar selectiva: A tinta branca tem comportamento oposto: baixo αααα para λ<, e alta εεεε para λ>. 0.1 0.8 λ αλ= ελ 3 µm placa Rad. I.V. (λ > 3 µm) ε = 0.1 E G Rad. solar (λ > 3 µm) α = 0.8Comprtamento da superfície Uma dada Direcção´ Um dado Comp. de Onda λλλλ
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 97 © J. Carlos Lopes da Costa Trocas de Energia por Radiação entre Superfícies de um Volume Fechado Até agora ocupámo-nos de processos radiativos em superfícies isoladas. É altura de considerar o que se passa quando há várias superfícies (duas ou +). As trocas por radiação entre superfícies, dependem bastante da geometria e das suas orientações, além das suas propriedades e temperaturas. Hipóteses Simplificativas As superfícies estão separadas por um meio não participante, ou seja, um meio que não interfere (absorvendo ou redirecionando) na energia trocada entre elas. Cada superfície é isotérmica. A energia é reflectida difusamente (reflexão difusa), e a emissão e irradiação são uniformes. As superfícies são opacas, cinzentas e difusas. Regime permanente. O vácuo e muitos gases (ar para volumes pouco extensos) são meios não participantes.. Vol. fechado Superf. j, Aj Tj εj, ρj Superf. k, Ak Tk εk, ρk, αk = εk
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 98 © J. Carlos Lopes da Costa q ′′ q ′′ GJ qGJ ′′=− G Gα Gρ E J Radiosidade Emit. + Reflect. k RadiosidadeRadiosidade G - irradiação – fluxo de energia que chega à superfície. J - radiosidade – fluxo de energia que sai da superfície. 321321 reflectidoemitido 4 kkkkk GTJ ρσε += A energia incidente em k, kq ′′ , é devida à radiosidade das superfícies j, parte da qual chega a k. kjF − é a fracção da radiação saída de j que chega a k, chamada Factor de forma entre as 2 superfícies. Assim: ∑= −= n j kjjjkk FAJGA 1 para n superfícies. do volume fechado Assim: ∑= −+= n j kj k j jkkkk F A A JTJ 1 4 ρσε Como calcular kjF − ? j2 ...j1 k kG kJ kjjj FAJ − jj AJ j k Note-se que o somatório pode incluir a própria superfície k se esta enviar radiação para si própria (superfície côncava)
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 99 © J. Carlos Lopes da Costa Cálculo do Factor de Forma O factor de forma é puramente geométrico (só depende da geometria e posição relativa das superfícies) • Superfícies elementares: } { ' 'cos.cos ' 'cos cos 2 0 0 ' ' 0 dA RdAi d R Ad dAi dq dq dF e refliemi dA dAdA dAdA π ββ π ω β β =       ′ ′ == + − − 48476 • 1 superfície elementar e 1 finita: ' 'cos.cos ' 2' dA R dF A AdA ∫=− π ββ • 2 superfícies finitas: dAdA R F A A AA ' 'cos.cos ' 2' ∫ ∫=− π ββ nA β NA’ β’ dA’ R dA dA’ dA dω A’ dA β, R e β’ variáveis A’ A R, β’ e β variáveis
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 100 © J. Carlos Lopes da Costa Factores de forma – geometrias elementares Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 101 © J. Carlos Lopes da Costa Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 102 © J. Carlos Lopes da Costa Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 103 © J. Carlos Lopes da Costa Relação de Reciprocidade Considere-se 2 corpos negros, em equilíbrio térmico (mesma T). Energia que 1 envia para 2: 211 4 21 −− = FATq σ Energia que 2 envia para 1: 122 4 12 −− = FATq σ Em equilíbrio 1221 −− = qq (se não T alterava-se): → 122211 −− = FAFA Relação de Reciprocidade ou 21 2 1 12 −− = F A A F Balanços Energéticos 3121)32(1 −−+− += FFF Para um volume fechado constituído por n superfícies: ∑= − = n j jF 1 1 1 Método das Diagonais de Hottel È aplicável a 2 superfícies em que uma dimensão é infinita. 2 ____________ 211       −−      + =− BDACBCAD FA As relações vistas atrás, justamente com o conhecimento de factores de forma para geometrias simples, permitem determinar jiF− na maior parte dos casos. Como os factores de forma são meramente geométricos, esta relação mantém-se mesmo noutras condições (corpos não negros, temperaturas diferentes). 1 3 2 C A B D2 1
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 104 © J. Carlos Lopes da Costa Nos outros há que fazer a integração... (tabelas, apontamentos,...) Voltado á Equação da Radiosidade: ∑= − − += n j F kj k j jkkkk jk F A A JTJ 1 4 43421 ρσε Pode ser simplificada com a relação de reciprocidade ∑= −+= n j jkjkkkk FJTJ 1 4 ρσε Como: kk ερ −=1 : ∑= −−+= n j jkjkkkk FJTJ 1 4 )1( εσε j1 k j2 kJ j3 Nota 1: Relação de Reciprocidade: 21 2 1 12 −− = F A A F Nota 2: Superfícies opacas 10 =+⇒= kkk ρατ kk αρ −=⇒ 1 Superfícies cinzentas e difusas kkkk ερεα −=⇒= 1
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 105 © J. Carlos Lopes da Costa Para um volume fechado com n superfícies, o problema pode ser resolvido com um sistema de 2n equações. Há a considerar dois tipos de problemas (em cada superfície): - Sabe-se Tk; pretende-se kq - Sabe-se kq ; pretende-se Tk • Exemplo de Cálculo: A superfície 1 perde um fluxo constante 1q (nas trocas com o volume fechado) e as restantes estão a T2, T3 e T4. Pretende-se calcular T1 e a potência calorífica recebida por 2, 3 e 4. Cálculo das radiosidades: 1 1 4143132121 1 )4( A q FJFJFJJ G +++= −−− 4444 34444 21 [ ]4444 34444 21 2 4243231212 4 222 G FJFJFJTJ −−− +++= ρσε [ ]444444 3444444 21 3 4343332321313 4 333 G FJFJFJFJTJ −−−− ++++= ρσε ( )0:Nota 33 ≠−F [ ]3432421414 4 444 −−− +++= FJFJFJTJ ρσε Depois de resolvido o sistema, ficam encontradas as radiosidades iJ . T1 é calculada pela equação radiosidade de 1. 432 e, qqq são calculados pelas equações de balanço de 2,3 e 4. Para cada uma superfície há 1 equação de radiosidade e 1 de balanço. A B CD 3 24 11q Equação de Balanço na superfície 1. Equação da Radiosidade na superfície 2. Equação da Radiosidade na superfície 3. Equação da Radiosidade na superfície 4.
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 106 © J. Carlos Lopes da Costa Volume Fechado com duas Superfícies Caso particular e mais simples das trocas entre n superfícies. Havendo só 2 superfícies: 2121 −=+=− qqq A resolução das equações de radiosidades e balanços, sabendo T1e T2, conduz a: ( )       −++− − = − − 1 11 1 1 22 1 211 4 2 4 11 21 εε σ A A F TTA q Exemplos: - Planos paralelos e infinitos: ( ) 1 11 21 4 2 4 1 21 −+ − =− εε σ TTA q - Objecto pequeno rodeado por superfície muito maior: ( )4 2 4 11121 TTAq −=− εσ 2 21−q 1 1q 2q Muitos casos, na prática, se podem reduzir a 2 superfícies. 1 2 A1 = A2; F1-2 = 1 1;0 21 2 1 =≈ −F A A 2 1
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 107 © J. Carlos Lopes da Costa Analogia Reo-eléctrica para Radiação Térmica Tal como foi definido anteriormente, a resistência térmica é tal que: R T q ∆ = T1 q T2 ∆T R Se aplicarmos esta definição ao caso de trocas por radiação entre 2 superfícies de 1 volume fechado: Com, ( )       −++− − = − − 1 11 1 1 22 1 211 4 2 4 11 21 εε σ A A F TTA q Vem: ( )( )21 2 2 1 11 22 1 211 21 21 1 11 1 1 TTTTA A A F q TT Rrad ++       −++− = − = − − σ εε (desenvolvendo o termo ( )4 2 4 1 TT − ). Embora por vezes usada, esta definição de resistência de radiação tem um inconveniente: Rrad = f (T1, T2) …o que não acontece com as resistências de condução e convecção ( kA e e hA 1 , respectivamente). É possível uma definição diferente de resistência de radiação. A equação de balanço para uma superfície k: A primeira tentativa de definição de resistência térmica de radiação é, logicamente, baseada em tal definição: Circuitos com temperaturas nos nós (superfícies).
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 108 © J. Carlos Lopes da Costa ( )4 1 kk k kk k TJ A q σ ε ε − − = pode escrever-se como kk k kk k A TJ q ε ε σ − − = 1 4 kk k A R ε ε− = 1 - Resistência radiativa da superfície k. Se kq for positivo a superfície recebe radiação. Para determinar a radiosidade, kJ , que constitui um dos nós: ({ ){ k n J jkj n J jk JF k JF kkk JGAq ∑ − ∑ = = − = − 00 ( ) ∑∑ = − = − − =−= n j jkk kj n j kjjkkk FA JJ JJFAJ 11 1 jkk FA R − = 1 - Resistência espacial ou geométrica. Igualando as expressões de balanço: ∑= − − = − − n j jkk kj kk k kk FA JJ A TJ 1 4 11 ε ε σ = R R’s espaciaisR superficial potencial kk k A ε ε−1 4 kTσ kJ kq A radiosidade depende das trocas de radiação com outras superfícies. = R potencial
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 109 © J. Carlos Lopes da Costa Volume Fechado com Várias Superfícies Vantagem desta metodologia: o facto das resistências não dependerem das Temperaturas. Desvantagem desta metodologia: contém nos nós radiosidades em vez de temperaturas, o que torna impossível a sua utilização em esquemas em que estejam presentes outros modos de transporte – condução e convecção – (em que há Temperaturas nos nós). kq −2 4 kTσ kJ 1J nJ 2J knq − kq −1 kq Nó que corresponde á superfície k
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 110 © J. Carlos Lopes da Costa 2 1 3 3 Exemplo de Aplicação – Analogia Reo-Eléctrica Forno em que 1 é a superfície aquecedora e se encontra à temperatura T1e 3 (paredes laterais) é uma superfície muito bem isolada. Calcular o fluxo recebido pela superfície 2, )( 12 qq = . 322311 323121 211 322311211 1 11 1 1 11 −− −− − −−− + + =⇒ + += FAFA FFAA FA R FAFAFA R eq eq ( ) 11 1 322311 323121 211 22 2 4 2 4 1 2 1 11 ε εε ε σ AFAFA FFAA FAA TT q − + + + + − − = −− −− − 1q 4 1Tσ 311 1 −FA 4 33 TJ σ= (Sup. Re-radiante) 322 1 −FA 11 11 ε ε A − 22 21 ε ε A − 4 2Tσ 2q 2J 1J 211 1 −FA Isolamento 03 =q
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 111 © J. Carlos Lopes da Costa Superfícies Re-Radiantes São superfícies muito bem isoladas, podendo ser consideradas adiabáticas, do lado exterior de um volume fechado em que se troca radiação: 0ou0 ≈=q Recorrendo à equação geral de balanço: [ ] 0 1 4 =− − = kk k kk k TJ A q σ ε ε vê-se que sendo o balanço nulo, terá de ser: 4 kk TJ σ= Ou seja, embora não sendo, a sua radiosidade é igual à de um corpo negro. Num volume fechado, a temperatura de equilíbrio de uma superfície re-radiante é determinada pela sua interacção com as outras superfícies, e é independente da sua emissividade. Exemplos de superfícies re-radiantes: As paralelas laterais de um forno (se devidamente isoladas). Em muitas aplicações práticas, algumas superfícies podem ser consideradas bem isoladas, e portanto, re- radiantes. Resistência
RADIAÇÃO Versão 2014/2015 112 © J. Carlos Lopes da Costa Escudos de radiação São construídos com materiais de baixa emissividade ≡ alto coeficiente de reflexão, e usados para diminuir o balanço radiativo entre 2 superfícies. O material mais usado é a folha de alumínio. • Exemplos: Sem escudo: Com escudo: O uso de escudos em sensores de temperatura para medição de temperatura em gases, permite obter maior precisão na medida (minimizando o efeito da radiação para paredes). 2 T = 260°C ε = 0,8 1 T = 815ºC ε = 0,6 2 m kW 21 5,39=′′−q 2 T = 260°C ε = 0,8 1 T = 815ºC ε = 0,6 2 m kW 21 7=′′−q ε = 0,2 termopar Ar Tar Tar > Tp Tp Tt Escudo Nota: Superfícies Opacas, Cinzentas e Difusas: τ = 0 =>α + ρ = 1 e ε = α Se ε baixo =>ρ elevado
Versão 2014/2015 113 © J. Carlos Lopes da Costa

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Transferencia de calor_apontamentos_loc_2014_2015

  • 1.
    Transferência de Calor Apontamentos José CarlosP. Lopes da Costa Versão 2014/2015
  • 2.
    INDICE Versão 2014/2015 2© J. Carlos Lopes da Costa Índice Introdução à Transferência de Calor 5 Fenómenos de Transporte 6 Mecanismos de Transporte 7 Quantidade de Calor Transferido 8 Resumo dos Mecanismos de Transferência de Calor 12 Resistência Térmica 13 Condução 17 Equação de Fourier e Equação Geral da Condução 17 Condutibilidade Térmica 18 Equação Geral da Condução 20 Casos Particulares da Equação Geral da Condução 23 Condução Monodimensional Estacionária 25 Condução Cilíndrica 27 Condução Esférica (Radial) 29 Raio crítico de isolamento 30 Resistência de contacto 16 Condução em Regime Transiente 32 Convecção 44 Modelos Físico-Matemáticos 45 Números AdimensionaisRelevantes na Convecção 48 Correlações Experimentais 53 Convecção Natural 60 Solução Numérica das Equações da Convecção Natural 64 Coorrelações para Conv. Natural 65 Cavidades Rectangulares (Fendas) 68 Permutadores de Calor 70 Introdução 70 Principais tipos de permutadores 70 Permutadores de Correntes paralelas vs. Contracorrente 74 Determinação da Transferência de Calor 75 Diferença Média Logarítmica de Temperaturas 77 Factores de Deposição 77 Radiação Térmica 87 Introdução 87 Variação espectral e direccional 88
  • 3.
    INDICE Versão 2014/2015 3© J. Carlos Lopes da Costa Definições fundamentais 89 Propriedades Radiativas das Superfícies Reais 91 Trocas de Energia por Radiação entre Superfícies de um Volume Fechado 97 Volume Fechado com duas Superfícies 106 Analogia Reo-eléctrica para Radiação Térmica 107 Volume Fechado com Várias Superfícies 109
  • 5.
    INDICE Versão 2014/2015 5© J. Carlos Lopes da Costa Introdução à Transferência de Calor O que é a Transferência de Calor? Trocas de energia (calor) que se estabelecem entre duas ou mais substâncias a diferentes temperaturas. NECESSÁRIA COMPREEÇÃO PARA: • Desenvolvimento de Máquinas Térmicas e outras de Produção de Energia: Turbinas, Caldeiras, Condensadores, Permutadores de calor, Bombas de calor - Maquinas frigorificas, Motores de combustão interna, Sistemas solares, etc. • Estudo de Soluções para poupança de Energia: Isolamentos para redes de transporte de calor, Optimização térmica de edifícios, etc. • Estudo de Processos e Problemas Industriais diversos: Isolamento térmico de componentes em máquinas, etc. • Compreensão de diversos tipos de Fenómenos: Metabolismo dos seres vivos, Meteorologia e Clima, Culinária, Trocas de Energia entre planetas, estrelas, etc. Capítulo 1 T1 T2 q Nota: T1 > T2 dt dQ q = em J/s ou W Nota Importante: Iremos adoptar a notação usada no Incropera: Q - Energia Térmica, J q - Taxa de transf. de calor, W (ou J/s) q&- Taxa de transf. de calor por unid. de volume, W/m3 q′- Taxa de transf. de calor por unid. de comprimento, W/m q ′′ - Fluxo térmico, W/m2
  • 6.
    INDICE Versão 2014/2015 6© J. Carlos Lopes da Costa Fenómenos de Transporte • Transferência de Quantidade de Movimento • Transferência de Calor • Transferência de Massa • ... Transferência de Quantidade de Movimento Fluido V r Q. mov. Transferência de Calor T1 T2 q′′Meio condutor x T Transferência de Massa ρΑ1 (elevado) ρΑ2 (Baixo) Am& x ρA x V ∂ ∂ −= µτ Notas: Enquanto houver desequilíbrio de velocidades (V), τ (tensão) mantém-se! A q. de m. é transportada das partículas com velocidade mais alta para aquelas com velocidade mais baixa. x T kq ∂ ∂ −=′′ Enquanto houver diferença de temperatura o fluxo de calor mantém- se! O calor flui das temperaturas mais altas para as mais baixas. x Dm A A ∂ ∂ −= ρ & A substância A avança das zonas de maior densidade (ρ) para as zonas de menor densidade.
  • 7.
    INDICE Versão 2014/2015 7© J. Carlos Lopes da Costa Mecanismos de Transporte Modos Mecanismos Meios Difusão (Condução) Para o calor Agitação entre Moléculas • Sólidos • Fluidos em repouso (Exemplo: Ar nos poros da esferovite ou da cortiça) Convecção Fluido em movimento Fluidos Convecção natural Convecção forçada Radiação APENAS NA TRANSFERÊNCIA DE CALOR Transporte sem matéria Meios transparentes q′′ Sem Mudança de Fase Com Mudança de Fase
  • 8.
    INDICE Versão 2014/2015 8© J. Carlos Lopes da Costa Quantidade de Calor Transferido Condução ( )21 TT e A kqCD −= Condutibilidade térmica do material da parede - k UNIDADES CDq - [W] (isto é J/s]) A - [m2 ] e – [m] T∆ – [ºC] ou [K] T1 T(°C) e x CDq A T2 Parede Plana É do senso comum que o fluxo de calor entre duas faces de uma parede de material uniforme, CDq , é proporcional à superfície da parede A, á diferença de temperaturas nas faces da parede (T1-T2), e inversamente proporcional à espessura e. k - [W/(m.ºC)] ou [W/(m.K)] A condutibilidade térmica é uma propriedade física das substâncias e dos materiais. Traduz a maior ou menor capacidade que um material tem em deixar passar calor. Materiais bons condutores têm k altos (metais); materiais maus condutores têm k baixos (cortiça). Nota: Em muita bibliografia aparece a letra λλλλ (minúscula) no lugar de k a representar condutibilidade térmica.
  • 9.
    INDICE Versão 2014/2015 9© J. Carlos Lopes da Costa Convecção Coefic. de Convecção de um escoamento – h ( )∞−= TTAhq pCV UNIDADES CVq - [W] (isto é J/s]) A - [m2 ] ∆T – [ºC] ou [K] Outros exemplos de geometrias de CONVECÇÃO T(y) Tp y T(y) Tp T∞ CVq Vejamos um qualquer escoamento de um fluido sobre uma superfície. Neste caso, a temperatura á superfície (Tp) é diferente da temperatura do fluido (T∞). Tal como se desenvolve uma camada limite de velocidades, que junto á superfície são inferiores, também se desenvolve um gradiente de temperaturas, desde Tp até T∞, que constitui a Camada Limite Térmica. É previsível que CVq seja proporcional à superfície da parede A e á diferença de temperaturas nas faces da parede (T1-T2). h - [W/(m2 .ºC)] ou [W/(m2 .K)] O coeficiente de convecção h é função do escoamento em causa. É função do fluido, da geometria do escoamento, e de outros factores, como veremos. Poderemos ter uma infinidade de escoamentos diferentes do exemplo apresentado em que haja trocas de calor (Exemplo: água que aquece ou arrefece dentro de tubos num radiador). Nota: Em muita bibliografia aparece a letra α no lugar de h a representar coeficiente de convecção. ∞∞ vT ; pT Tp Tmédia do fluido
  • 10.
    INDICE Versão 2014/2015 10© J. Carlos Lopes da Costa Radiação Radiação Electromagnética →Não necessita de meio. Desenvolve-se no vácuo ou em meios transparentes. Uma superfície emite radiação independentemente do que o rodeia. Dois corpos trocam sempre radiação nos dois sentidos independentemente das temperaturas (desde que uma das temperaturas não seja 0K). A radiação solar chega até nós através do vácuo no espaço. Uma boa parte chega à superfície terrestre, porque a atmosfera é transparente para uma parte dessa radiação. Se houver um obstáculo não transparente, os efeitos da radiação são eliminados ou atenuados. Qualquer corpo que “veja” outro recebe uma parte da sua radiação. Este emite a sua radiação independentemente daquele(s) que a recebem, quer estejam mais quentes ou mais frios. O corpo mais quente emite mais radiação que o corpo mais frio. No final o balanço é positivo para o mais frio e negativo para o mais quente, pelo que acaba por haver transferência de calor do corpo mais quente para o corpo mais frio.
  • 11.
    INDICE Versão 2014/2015 11© J. Carlos Lopes da Costa hRAD=ε.σ.(T1+T2).(T1 2 +T2 2 ) [hRAD] - W/m2 K Radiação – Calor Emitido CORPO EmitidaRadq . ..EmRadq é proporcional a A e a T4 Nota: T em K (Kelvin) Valor Absoluto (em K)Superfície do Corpo T Corpo Negro (Radiador Ideal) 4 . .. TAq EmitidaRad σ= Corpo Real 4 . ... TAq EmitidaRad σε= Radiação – Calor trocado Caso Particular: Quando uma superfície 1 se encontra envolvida por uma superfície muito maior (sup. 2), - Exemplo: Objecto 1 rodeado pelas paredes de uma sala 2 - pode-se demonstrar (como veremos) que o calor trocado entre as duas por radiação é: σσσσ – Constante de Steffan-Boltzmann σσσσ=5.67*10-8 W/(m2 K4 ) Constante física. εεεε– Emissividade do Corpo Indica a eficiência do corpo real relativamente ao corpo negro. (0<ε<1) Um corpo negro é um corpo que absorve toda a radiação que nele incide. Pode-se demonstrar que um corpo negro também emite toda a radiação que é possível um corpo emitir a uma dada temperatura. Um corpo real emite apenas uma fracção dessa radiação. T1>T2 A2>>A1 Superfície 1: A1, ε e Superfície 2: T2 Quando se calculam situações que envolvem vários meios de transferência de calor, pode ser mais prático utilizar uma expressão para a radiação que envolva ∆T no lugar de ∆(T4 ) (ver Resistências Térmicas). Daí surge a necessidade da grandeza Coeficiente de Radiação - hRAD. ( )4 2 4 121 ... TTAqRAD −=− σε ( )2121 .. TTAhq RADRAD −=−
  • 12.
    INDICE Versão 2014/2015 12© J. Carlos Lopes da Costa Resumo dos Mecanismos de Transferência de Calor Mecanismo Equações Propriedades Associadas Condução Equação de Fourier ⇒ ∂ ∂ −=′′ x T kqx e TT Akq 21 − ⋅−= k (W/m.K) Convecção Lei de Newton do Arrefecimento ( )21 TTAhq −⋅⋅= hCV (W/m2 .K) Radiação Aplicação da Lei de Steffan- Boltzmann 4 ... TAq σε= Caso particular: 2 superfícies, A2 >>A1: ( )4 2 4 111 TTAq −= σε ( )211 TTAhRAD −= ε σ (W/m2 .K4 ) hRAD (W/m2 K)
  • 13.
    INDICE Versão 2014/2015 13© J. Carlos Lopes da Costa Resistência Térmica Esta abordagem facilita a análise de sistemas onde existem trocas de calor entre váriosmeios: Permite a análise de sistemas mais complexos. Permite a obtenção de resistências térmicas equivalentes a conjuntos de resistências. & &V ou m p∆ .HidrR p m ∆ =& SISTEMA HIDRÁULICO .ElectR V I = SISTEMA ELÉCTRICO Ex: Quartos de uma casa ou edifício T1 T1 T1 T1 T1 T1 T1 T2 T3 T4 T5 T5 T1 T2 qRtérmica SISTEMA TÉRMICO térmicaR T q ∆ = Meio onde se dá a transferência de calor (convecção, condução ou radiação) V I R
  • 14.
    INDICE Versão 2014/2015 14© J. Carlos Lopes da Costa Quantificação das Resistência Térmicas • Condução ⇒∆= T e kA q kA e q T RCond = ∆ =     W K ⇒∆=′′ T e k q k e q T RCond = ′′ ∆ =′′       ⋅ W mK 2 • Convecção ⇒∆⋅⋅= TAhq Ahq T RConv ⋅ = ∆ = 1     W K ⇒∆⋅=′′ Thq hq T RConv 1 = ′′ ∆ =′′       ⋅ W mK 2 • Radiação Uma vez que qnão é proporcional a ∆T mas sim a ∆(T 4 ), a definição de RRad não é tão evidente. Pode-se, como aproximação, considerar hRD e adoptar a mesma definição de RRade RadR′′ que foi utilizada para a convecção. RRad = 1 hRD A     W K ; RD 1 h RRad =′′       ⋅ W mK 2 Para uma situação concreta (A está definida). Quando se pretende determinar o fluxo de calor por unidade de área (A indefinida). Para uma situação concreta (A está definida). Quando se pretende determinar o fluxo de calor por unidade de área (A indefinida).
  • 15.
    INDICE Versão 2014/2015 15© J. Carlos Lopes da Costa Combinação de Resistência Térmicas Semelhantes ás aplicadas aos circuito eléctricos: Resistências em Série: 21 RRReq += ou ∑= = n i ieq RR 1 Resistências em Paralelo: 21 /1/1/1 RRReq += ou 1 321 ... 111 −       +++= RRR Req Generalizando: 1 1 1 − =       = ∑ n i i eq R R T1 T2 q R1 T3 T1 T3 q R2 Req Exemplo: Parede de um edifício Exemplo: Janela de um edifício &Q T1 T2 T1 T2 T1 T2 21 qqq += 1q 2q R1 R2 Req T1 T2 Vidro Caixilharia ...321 :ImportanteNota RRRReq ′′+′′+′′=′′ 1 321 ... 111 :ImportanteNota −       ′′ + ′′ + ′′ =′′ RRR Req
  • 16.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 16© J. Carlos Lopes da Costa Resistência de contacto Em sistemas com vários materiais pode haver queda de temperatura na interface entre materiais: Deve-se então considerar a existência de uma resistência suplementar e localizada a que se chama resistência de contacto. Rcontacto↑ se: • rugosidade ↑ • pressão de contacto ↓ Tabela de valores experimentais: Rc×104 (m2 K/W) - Para condições de vácuo Pressão de contacto 100 kN/m2 10000 kN/m2 Aço 6 … 25 0,7 … 4 Cobre 1 … 10 0,1 … 0,5 Alumínio 1,5 … 5 0,2 … 0,4 Deve-se á rugosidade das superfícies - na maioria dos casos os interstícios têm ar (que é mau condutor). Podem-se obter mais dados sobre resistência de contacto em bibliografia sobre Transferência de Calor
  • 17.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 17© J. Carlos Lopes da Costa Condução Equação de Fourier e Equação Geral da Condução O que è a Condução? O transporte molecular de calor (difusão) através de um meio sólido ou em repouso. A condução é proporcional ao gradiente de temperaturas nesse meio. x T kqx ∂ ∂ −=′′ r Equação de Fourier O fluxo de calor é uma grandeza vectorial, isto é, podemos encarar q ′′ como um vector q r ′′ que aponta das temperaturas mais altas para as mais baixas. Capítulo 2 x T1 T2 T 0>′′q r x T1 T2 T 0<′′q r Nota: A q q =′′ em W/m2 k – Constante física do meio onde se desenvolve a condução do calor. ( ) x T kq x T x T x x T k T e k q x ∂ ∂ −=′′ ∂ ∂ → ∆ ∆ ⇒→∆ ∆ ∆ −= ∆−=′′ r r 0
  • 18.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 18© J. Carlos Lopes da Costa Num caso geral em que a temperatura varie em 3 dimensões, dentro de um dado meio:       ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅−=∇⋅−=′′ z T y T x T kTkq ,, r O fluxo de calor desenvolve-se em linhas perpendiculares ás superfícies isotérmicas. 90º IsotérmicasIsotérmicasIsotérmicas q r ′′ q r ′′ q r ′′ Condutibilidade Térmica A equação de Fourier pressupõe a existência de uma grandeza física - k - que é uma propriedade do meio onde se desenvolve o fluxo de calor por condução. Esta propriedade designa-se por condutibilidade térmica. x T q k ∂ ∂ ′′ −= (num meio monodimensional) Unidades S.I. para a condutibilidade térmica:     =      → mK W K/m W/m 2 k
  • 19.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 19© J. Carlos Lopes da Costa Interpretação da Condutibilidade Térmica A condução ou difusão de energia térmica (isto é, passagem de calor através de um meio sem movimentação de massa) deve-se á: • Agitação entre átomos que é transmitida através das ligações atómicas. • Migração de eletrões livres através das ligações atómicas. Consequências: k sólidos>k líquidos>k gases – uma vez que as ligações atómicas são mais fortes nos sólidos que nos líquidos, e as destes, por sua vez, mais fortes que as dos gases. k metais >k maus condutores eléctricos – uma vez que os metais dispõem de grande quantidade de electrões livres, que navegam facilmente através das ligações atómicas. 0.01 0.1 1 10 100 1000 λ Gases Líquidos Mat. Isolantes Sólidos não Metálicos Ligas Metal. Metais Puros GeloPlásticos Óxidos Zinco Prata Óleos MercúrioÁgua CO2 H2 A condutibilidade térmica varia com a temperatura, sobretudo nos líquidos e gases. Nota: Quando se fala na condutibilidade de fluidos (líquidos e gases), admite-se que estes se encontram em repouso sem qualquer movimentação de massa. Para efeitos de cálculos, determina-se geralmente valores médios de k para as temperaturas em causa. k [W/(mK)]
  • 20.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 20© J. Carlos Lopes da Costa Equação Geral da Condução Tomemos um determinado volume elementar (com um volume dV= dx.dy.dz) num dado meio onde a temperatura é variável. Fazendo um balaço á energia térmica neste pequeno volume elementar: gdzzdyydxxzyx Qdqqqqqq dt dQ &+++−++= +++ )( Passemos a analisar cada um destes termos individualmente. VARIAÇÃO da Energia Interna (CALOR) por unidade de Tempo = Calor que ENTRA por unidade de tempo - Calor que SAI por unidade de tempo + Calor que é GERADO no seu interior por unidade de tempo Nota: gQ& - Calor que “brota” do material (gerado) por unidade de tempo. T(x,y,z,t) dV x y z dx dydz gQd & x x+dx xdq dxxdq + dyydq + ydq zdq dzzdq + x
  • 21.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 21© J. Carlos Lopes da Costa • Variação da energia interna por unidade de tempo Pode-se exprimir da seguinte forma: t TcV t Tcm t Q pp ∆ ∆⋅⋅⋅ = ∆ ∆⋅⋅ = ∆ ∆ ρ Como falamos de um intervalo de tempo e de um volume elementares, os Δ tornam-se infinitamente pequenos (Δ passa a d ou ∂). t T cdzdydx t T cdV dt dQ pp ∂ ∂ ⋅⋅⋅⋅⋅= ∂ ∂ ⋅⋅⋅= ρρ • Fluxos que ENTRAM – Fluxos que SAEM Analisemos o fluxo de calor ao longo da direcção x: (a análise será semelhante para as restantes direcções y e z) =⋅⋅      ⋅ ∂ ′′∂ +′′−⋅⋅′′=− + dzdydx x q qdzdyqqq x xxdxxx =⋅⋅      ⋅ ∂ ′′∂ −′′−′′= dzdydx x q qq x xx =⋅ ∂ ′′∂ −=⋅⋅      ⋅ ∂ ′′∂ −= dV x q dzdydx x q xx dV x T kdT x x T k ⋅ ∂ ∂ ⋅=⋅ ∂     ∂ ∂ ⋅∂ = 2 2 Considerado todas as direcções: = k ∂2 T ∂x2 + ∂2 T ∂y2 + ∂2 T ∂z2       dV = k ∇2 T dV Nota: Δ… – Variação de... Exemplo: ΔQ = Qfinal – Qinicial O volume do cubo elementar é: dV = dx . dy . dz Segundo a equação de Forier: x T kqx ∂ ∂ ⋅−=′′ Laplaciano de uma função de x, ye z: 2 2 2 2 2 2 2 zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇
  • 22.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 22© J. Carlos Lopes da Costa • Calor GERADO Assumindo que conhecemos gq& (em W/m3 ),a quantidade de calor gerado por unidade de volume (ou potência calorífica por unidade de volume): dVqQd gg && = Por fim, juntando todos estes termos na equação de Balanço Energético: dVqdVTkdV t T c gp &+∇= ∂ ∂ 2 ρ ou Equação Geral da Condução k q T t T k c gp & +∇= ∂ ∂ 2 ρ Difusibilidade Térmica Nesta equação evidencia-se o termo k cpρ . O inverso deste termo k ρ cp é muitas vezes designado por difusibilidade térmica do meio ou do material – α : pc k ρ α = Estabelece uma relação entre a facilidade com que o calor evolui nesse meio (k) e a forma como ele é retido ou acumulado nesse meio (ρ cp). Nota: Não esqueça: 2 2 2 2 2 2 2 z T y T x T T ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =∇ A Equação Geral da Condução pode então ser escrita da seguinte forma: k q T t T g & +∇= ∂ ∂ 21 α
  • 23.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 23© J. Carlos Lopes da Costa Casos Particulares da Equação Geral da Condução Regime Permanente Quando um fluxo de calor se encontra numa situação estabilizada, nada varia com o tempo. Então: ⇒= ∂ ∂ 0 t T 02 =+∇ k q T g & Regime Permanente sem Fontes de Calor Na maior parte das situações, o calor não é gerado no seio do material que conduz o calor. Assim: ⇒     = = ∂ ∂ 0 0 gq t T & 02 =∇ T Equação de Laplace Regime Instacionário sem Fontes de Calor ⇒= 0gq& t T k c T p ∂ ∂ =∇2 ρ Ao contrário das situações anteriores esta situação não permite uma solução analítica. Notas: Um fluxo de calor em regime permanente estabelece-se quando a fonte de calor não arrefece e quando a fonte fria não aquece. Existem muitas situações práticas em que isto se verifica; por exemplo, quando a fonte de calor é uma chama, e o calor se escapa para a atmosfera. Quando estamos numa situação monodimensional: 02 2 =→ dx Td Exemplo: quando o calor flui através de uma parede plana, da face mais quente para a face mais fria, não há razão para pensar em variações de temperatura em direcções paralelas á parede. Assim a única direcção onde interessa considerar variações é a direcção x perpendicular á parede. Quando estamos numa situação monodimensional, em que o fluxo de calor se dá segundo a direcção x: t T k c dx Td p ∂ ∂ =2 2 ρ
  • 24.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 24© J. Carlos Lopes da Costa Condições Limite A equação geral da condução é, na sua forma geral, uma equação diferencial de 2ª ordem, de derivadas parciais. A obtenção do perfil de temperaturas no meio em causa é feita por integração, da qual resulta o aparecimento de constantes de integração. Estas são obtidas por aplicação das condições limite. - Há 2 tipos de condições limite: • Condição inicial (tempo) • Condições fronteira (espaço) - Há 3 espécies de condições fronteiras: 1ª Espécie Condições de temperatura: Sabe-se a T na fronteira. 2ª Espécie Condições de fluxo: Sabe-se o fluxo na fronteira. k q x T x T kq x xx x − ′′ = ∂ ∂ ⇔ ∂ ∂ −=′′ = == = 0 00 0 Inclui o caso de uma superfície isolada: 00 0 0 = ∂ ∂ ⇔=′′ = = x x x T q 3ª Espécie Condições de convecção: Conhece-se h e T∞. ( ) 0 00 = =∞= ∂ ∂ −=−=′′ x xx x T kTThq Relação para Tx=0 Nota: Condição inicial (tempo) - diz respeito ao conhecimento da distribuição de temperatura para t = 0 (para cada caso só é necessária 1). Condições fronteira (espaço) - reportam-se ao que se passa nas fronteiras físicas do domínio (são necessárias 2 condições para cada coordenada espacial - fronteira inicial e final). xTx=0 x 0=xq& x T∞ h
  • 25.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 25© J. Carlos Lopes da Costa Condução Monodimensional Estacionária A equação geral da condução em coordenadas cartesianas é: k q T t T g & +∇= ∂ ∂ 21 α Em regime estacionário 0= ∂ ∂ t T . Para uma só dimensão (x): 02 2 =+ k q dx Td g & Condução plana Considere uma placa plana, com uma espessura L. A integração da equação anterior dá (sendo qg & independente de x): 21 2 2 )( cxcx k q xT g ++−= & Sendo as constantes c1 e c2 calculadas a partir das condições fronteira (x=0e x=L). • Sendo 0≠qg & a distribuição de T é parabólica. • Se 0=qg & (ausência de fontes): distribuição linear (note-se que k é constante). T(x) = c1x +c2 ⇒ x x=0 x=L Nota: O fluxo de calor pode ser obtido por derivação de T, ou através da definição de resistência de condução plana (já conhecida): R T q kA e R planacond ∆ =→= Note-se que a resistência só faz sentido se não houver fontes.
  • 26.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 26© J. Carlos Lopes da Costa Parede plana com Geração de Calor Exemplo: Barramento de cobre atravessado por uma corrente eléctrica, “gera” uma quantidade de calor (Efeito de Joule) proporcional a I 2 . Distribuição da Temperatura: 21 2 2 )( cxcx k q xT g ++−= & Parede Plana sem Geração de Calor Ex.: Parede exterior de uma habitação CVeCDCVi ei eq RRR TT R T q ++ − = ∆ = x h2 T q ′′ x=Lx=0 T2 T1 h1 Ti Te x T1 h 2, T∞ T x=Lx=-L x=0 T2h 1, T∞ h 1= h 2⇒T1=T2 Fronteira com Condições Simétricas T1 T x=Lx=-L x=0 T2 h 1, T∞ h 1 ≠h 2⇒T1 ≠ T2 Fronteira com Condições Não Simétricas Tmax Qd & Tmax Qd & x h, T∞ T Tmax=Tx=0 Fronteira isolada: 00 =′′=xq Tmax raIsolamento x=0 x=L q ′′ q ′′ q ′′ q ′′ q ′′ x 21.)( cxcxT +=
  • 27.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 27© J. Carlos Lopes da Costa Condução Cilíndrica De modo semelhante ao que foi feito em coordenadas cartesianas, pode traduzir-se a equação geral da condução em coordenadas cilíndricas (fazendo o balanço de um volume elementar em coordenadas cilíndricas). Obter-se-ia, no caso geral: t T k q z TT rr T r rr g ∂ ∂ =+ ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ αθ 111 2 2 2 2 2 & No caso monodimensional estacionário - condução radial - s/ fontes ; A solução é do tipo: 21 ln)( crcrT += • Pode deduzir-se a resistência de condução radial cilíndrica: (dR – resistência de uma fatia elementar dr) ∫∫∫ === e i e i e i r r r r r r r dr kLkrL dr Ak dr R ππ 2 1 2     W K Nota: para determinar q’ [W/m] – Fluxo de calor por unidade de comprimento de tubo: ( ) k rr R ie π2 ln CilíndricaParede =′     W Km ∂ ∂r r ∂T ∂r       = 0 dR = dr k Ar RParede Cilíndrica = ln re ri( ) 2πkL z + ∂z r z θθθθ r + ∂r r θ θ + ∂θ z ∂r ∂z r∂θ Para um cilindro oco (tubo) as constantes c1 e c2 determinam-se pelas condições fronteira nas 2 superfícies (interior e exterior).
  • 28.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 28© J. Carlos Lopes da Costa Comparação entre Condução Cilíndrica e Condução Plana Para a determinação do fluxo de calor através de uma parede cilíndrica poderíamos eventualmente aplicar o valor determinado para a resistência de uma parede plana R = e A k no lugar de ( ) Lk R i e r r ..2 ln π = . No entanto, para um tubo cilíndrico a área é variável. Assim, a expressão R = e A k só poderá ser usada como aproximação e sob certas condições. Por exemplo, quando a espessura do tubo é muito reduzida (Ai≈Ae), utilizando-se uma Amédia, como 2 ei m AA A + = . Exemplo: um tubo de aço (k=15W/mK, L=1m) Erro cometido, para diferentes espessuras (ri= 15) e (mm) 2 4 6 8 10 15 20 re ( mm) 17 19 21 23 25 30 35 Am (m2 ) 0,100 0,107 0,113 0,119 0,126 0,141 0,157 e Am k ( mK W ) 0,00133 0,00250 0,00354 0,00447 0,00531 0,00707 0,00849 ln re /ri( ) 2πkL ( mK W ) 0,00133 0,00251 0,00357 0,00454 0,00542 0,00735 0,00899 Erro (%) 0 0,4 0,8 1,5 2 4 6 e q re ri qq q Nota: Ai– Área Interior Ae – Área Exterior LrA ii ...2 π= LrA ee ...2 π=
  • 29.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 29© J. Carlos Lopes da Costa r θθθθ r θ ∂r ∂θ φ ∂φ φφφφ Condução Esférica (Radial) A equação geral da condução em coordenadas esféricas é: t T k qT r T rr T r rr g ∂ ∂ =+      ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ +      ∂ ∂ ∂ ∂ αφ φ φφθφ 1 sin sin 1 sin 11 22 2 22 2 2 & • Condução radial permanente e sem fontes: 1 r2 ∂ ∂r r2 ∂T ∂r       = 0 • Resistência de condução radial (esfera oca): ∫∫∫ === e i e i e i r r r r r r r dr krk dr Ak dr R 22 4 1 4 ππ       −= ei rrk R 11 4 1 EsféricaParede π     W K r dr
  • 30.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 30© J. Carlos Lopes da Costa Raio crítico de isolamento Caso Típico: Isolamento térmico de um tubo metálico, onde circula um fluido. • O fluxo do interior para o exterior é: eeisol e t i ii ei AhLk r r Lk r r Ah TT q 1 2 ln 2 ln 1 +       +       + − = ππ • Ao aumentar re: Ae↑⇒R conve↓ re/r↑⇒R condisol↑ • Há um valor de Req mínimo: dq dre = 0 ⇒ q(re ) = qmax para re=rcrítico. Trabalhando-se a equação anterior obtemos que: is crítico e k r h = Raio crítico de isolamento Efeitos diferentes em Req Rconvi Rcondtubo Rcondisol Rconve Isolamento Metal ri r re re e=0 re=r 0 q máxq rcrítico rOK Nota: Se o isolamento não for suficientemente eficiente (kisol baixo), a colocação de material isolante sobre o tubo pode aumentar a perda de calor (área exterior aumenta). Só valerá a pena colocar isolamento para raios re superiores a rOK.
  • 31.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 31© J. Carlos Lopes da Costa • Nota Importante: Se kis/he = rcr<r tal significa que já o máximo para ( )erfq = se encontrará para re=r, isto é e=0. Nesta situação vale a pena aplicar qualquer espessura de isolamento, uma vez que q diminui sempre. • Conclusão: Deverá se ter em conta o raio crítico de isolamento quando este for pouco eficiente (kisol pouco baixos), ou quando o raio exterior do tubo a isolar for relativamente baixo. Esfera Oca Uma análise equivalente feita para esferas ocas conduz á seguinte definição de raio crítico de isolamento: 2 is crítico e k r h = re e=0 re=r 0 q máxq rcrítico não existe na prática! Nota: Repare na figura que se o raio exterior do tubo sem isolamento (r) fosse muito pequeno, aí entraríamos numa região em que teríamos um raio crítico de isolamento.
  • 32.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 32© J. Carlos Lopes da Costa Condução em Regime Transiente Neste ponto vamos analisar a equação geral da condução, mas para situações que evoluem no tempo. Para tornar essa análise mais simples vamos considerar uma situação de condução mono dimensional (em x) sem geração de calor. t T αx T ∂ ∂ = ∂ ∂ 1 2 2 Resolúvel através de: Métodos Analíticos (solução exacta) Métodos Numéricos (não abordados aqui) Se atemperaturafor Uniforme – Sistema Global ∂T ∂x ≈ 0       Solução Exacta Placa Plana θ(x,t) θ(x,t = 0) = Cn n=1 ∞ ∑ cos ζn x L      e − ζ n 2 αt L2       h, T∞∞∞∞ x0 h, T∞∞∞∞ x=-L x=L Em que: • θ ( x,t) = T ( x,t) − T∞ • nC e ζn são funções de hL k .
  • 33.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 33© J. Carlos Lopes da Costa A dedução matemática da equação anterior é relativamente complicada, no entanto a sua dedução põe em relevo duas grandezas adimensionais: Nº. de Fourier - 2 CL t Fo α = Nº. de Biot - k Lh Bi C = LC é um comprimento característico da geometria em estudo. Tipicamente LC = V Asuperfície . Assim: T(x,t) −T∞ Tinicial −T∞ = θ(x,t) θinicial = f (x,Fo,Bi) O mesmo tipo de análise pode ser feito para outro tipo de geometrias: Tempo adimensional para a condução. Capacidade de se transmitir calor por convecção face à capacidade de se transmitir calor por condução. 0 h, T∞ r=r0 r Cilindro infinito– comprimento muito grande (→∞). A uma temperatura inicial uniforme, arrefece (ou aquece) por acção de um fluido (h, T∞). Esfera –A uma temperatura inicial uniforme, arrefece (ou aquece) por acção de um fluido (h, T∞). h, T∞ r=r0 r 0 θ(x,t) θ(x,t = 0) = Cn n=1 ∞ ∑ e − ζn 2 αt ro       J0 ζn r ro ( ) θ(x,t) θ(x,t = 0) = Cn n=1 ∞ ∑ e − ζn 2 αt ro       1 ζn r ro sin ζn r ro ( ) Em que : Cn e ζn são funções de Bi ; J0 - Função de Bessel do primeiro tipo. Nota IMPORTANTE: • Placa Plana: Espessura2 1 == LLC • Cilindros: LC = ro 2 • Esferas: LC = ro 3
  • 34.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 34© J. Carlos Lopes da Costa Analisando os resultados de θ(x,t) θ(x,t = 0) , verifica-se: Se Bi < 0,1 ⇒ T (x,t) ≈ T (t) 0≈ ∂ ∂ x T A convecção no exterior do sólido é mais intensa que a condução que se dá no seu interior. Para cada instante de tempo, no interior do sólido, a temperatura é praticamente uniforme. Todo o sólido comporta-se um sistema único com uma só temperatura para cada instante de tempo – Sistema de Capacitância Global – ver secção seguinte. Se Bi > 0,1⇒ T (x,t) diversos para cada x e t Existem para cada instante gradientes de temperatura importantes no interior do sólido. x T T inicial T t=0 t=∞∞∞∞ Arrefecimento x T T inicial Tt=∞∞∞∞ t=0 Aquecimento x T T inicial T∞∞∞∞ t=0 t=∞∞∞∞ Arrefecimento x T T inicial T∞∞∞∞ t=∞∞∞∞ t=0 Aquecimento Exemplos em que isto pode ocorrer: • Material sólido muito bom condutor • Sólido muito fino (agulha, chapa fina) • Coeficiente de convecção h muito elevado. Soluções de Cálculo: • Solução Aproximada a partir da Solução exacta. • Recurso às Cartas de Heisler para as geometrias mais elementares (placa e cilindro infinitos, e esfera). • Recurso a Métodos Numéricos. Não abordado na disciplina.
  • 35.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 35© J. Carlos Lopes da Costa ( ) ⇒ − =⇒ =⇒−=− ⇒−=−=⇒−=      −−=⇒−= ∫∫ ∞∞ −= t pcV hA dt d dt dT e t t cV hA dt cV hA dθ θ dt cV hA dhA dt d cV TtThA dt dT cVq dt dQ ip i t p θ θp p psai i TtTθ(t) ρ θ θ θ ρ θθ ρρ θ θ θ θ ρ ρ )( lnln 11 )( 0 :Integrando )(:Adoptando Sistema de Capacitância Global O que traduz 0,1Bi < ? RCD = L kA ; RCV = 1 hA RCD RCV = L kA 1 hA = hL k = Bi Se Bi<0,1, a diferença de temperaturas entre o núcleo (T0) e a superfície (TP) é pouco significativa, em comparação com a diferença global (T0-T∞). Quanto menor for Bi, mais nos aproximamos da seguinte situação: Dedução de T(t) Balanço energético: ∆Energia Interna = Energia que sai RCV Tcorpo T∞ Corpo Sólido O corpo sólido forma um só sistema global de temperatura uniforme T(t). Exemplo: Placa plana RCVRCD T∞ TP T0 x L0 Se Bi<0,1, é porque a resistência de condução é inferior a 10% da resistência de convecção. θ(t) θi = e−Bi⋅Fo Nota : θ(t) θi = T(t)−T∞ Ti −T∞ dQ dt… se consideramos arrefecimento qsaiqentra
  • 36.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 36© J. Carlos Lopes da Costa Análise de um Sistema Global (cont.) θ(t) θi = e−Bi⋅Fo Calor transferido durante um período 0 →t: ( ) [ ]JouleJ)( −−= ip TtTcmQ Analogia reo-eléctrica Vρcp dT dt = −hA T(t) − T∞( ) C – Capacidade Térmica/Eléctrica do Corpo R – Resistência Térmica/Eléctrica T≡V – Potencial Térmico/Eléctrico (Temperatura) C dV dt = 1 R V(t) −V0( )⇒ ∆V (t) ∆Vi = e − 1 RC t = e − 1 τ t Nota: 1 RC τ = - constante de tempo; R↑ ou C↑ – resposta mais lenta. Maior inércia. RCV=1/(hA) C=ρVcp T∞=V0 T=V No início (t=0)… Ti T∞ T t θ 0 θι Ti T∞ T t θ 0 θι AquecimentoArrefecimento
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    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 Solução Aproximada Paraa generalidade dos casos, nomeadamente quando € Bi > 0.1, a solução passa pelo cálculo de soluções aproximadas. As equações das soluções exactas têm uma extensão infinita. No entanto, passada uma fase muito inicial do aquecimento/arrefecimento, temperatura pode ser obtida considerando apenas o primeiro termo das equações: ( ) ( Fo L x eC 2 1 cos* 11 ζ ζθ − ≈ ( ) ( )or rFo JeC 10 * 1 2 1 * ζθ ζ− ≈ ( ) ( or r Fo eC 1 * 1 sin 1 * 2 1 ζ ζ θ ζ− ≈ As funções C1 e ζ1e as funções de Bessel ncontram 37 © J. Carlos Lopes da Costa Solução Aproximada Para a generalidade dos casos, nomeadamente quando , a solução passa pelo cálculo de soluções As equações das soluções exactas têm uma extensão ita. No entanto, passada uma fase muito inicial do aquecimento/arrefecimento, para valores de € Fo > 0.2, a temperatura pode ser obtida considerando apenas o primeiro termo das equações: )Fo - Placa Plana - Cilindros ( )or r 1ζ - Esferas e as funções de Bessel ncontram-se tabeladas. J. Carlos Lopes da Costa Nota IMPORTANTE: • θ*= θ(x,t) θ(x,t = 0) • Placa Plana: Fo = αt L2 ; Bi = h L k L − 1 2 Espessura • Cilindros e Esferas: Nestas equações e tabelas os números de Biot e Fourier são calculados usando LC = ro: Fo* = αt ro 2 ; Bi* = h ro k Na tabela: Bia = Bi Placas planas Bia = Bi* Cilindros e Esferas Tabelas - Fonte: Incropera, Frank P. e David P. DeWitt, Fundamentals of heat and mass transfer (4th.Edition) x T θθθθi(T inicial) T∞∞∞∞ t=0 t =∞∞∞∞ Exemplo: Arrefecimento t θθθθ0 θθθθ
  • 38.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 38© J. Carlos Lopes da Costa x T θθθθi(T inicial) T∞∞∞∞ t=0 t =∞∞∞∞ Exemplo: Arrefecimento t θθθθ0 θθθθ A energia transferida nestes processos de aquecimento/arrefecimento pode ser obtida com base nestas equações: ( ) * 1 1sin 1 o oQ Q θ ζ ζ −= - Placa Plana ( )11 1 * 2 1 ζ ζ θ J Q Q o o −= - Cilindros ( ) ( )[ ]1113 1 * cossin 3 1 ζζζ ζ θ −−= o oQ Q - Esferas em que: ( )∞−TTVcQ inicialpo = ρ , θo * − θ * no núcleo, para x = 0 ou r = 0 , J1 - Funções de Bessel. Quando os meios de cálculo eram limitados, estes cálculos poderiam ser feitos por estimativas através do... Recurso ás cartas de Heisler Notas Prévias Nota 1: Geralmente pretende-se determinar uma temperatura T para um instante t, que equivale a uma temperatura θθθθ para um instante Fo. Nestas cartas lida-se com: θi = Tinicial −T∞ θ0 = Tnúcleo −T∞ θ = Tqualquer − T∞ Nota 2: As cartas de Heisler usam os mesmos números Bi* e Fo*, referidos atrás LC = ro( )nas equações aproximadas.
  • 39.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 39© J. Carlos Lopes da Costa Leitura das cartas de Heisler Quando se pretende conhecer a temperatura T para um ponto x no instante t: Calcula-se Bi*, Fo*, e θi. Em seguida… Quando se pretende conhecer o instante tem que no ponto x a temperatura é T: Calcula-se Bi*, θ, e θi. Em seguida… Fo*→ t 1 *Bi iθ θ0 * 1 Bi 0θ θ or r L x ou iθ θ θθ θ θ 0 0 0 ese-determinaeConhecendo → Determinado! Fo* * 1 Bi iθ θ0 * 1 Bi 0θ θ or r L x ou ∞ ∞ − − == TT TT iii θ θ θ θ θ θ 0 0 Determinada! As cartas de Heisler permitem resolver outros tipos de problemas e a sua aplicação não se cinge a situações em que Bi<0,1. Também existem cartas de Heisler para determinar o calor trocado para cada instante de tempo durante um aquecimento ou arrefecimento.
  • 40.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 40© J. Carlos Lopes da Costa Apêndice: Cartas de Heisler Estas cartas podem ser consultadas em: Incropera, Frank P. e David P. DeWitt, Fundamentos da transferência de calor e de massa (4ª Edição), LTC Editora. Placa Plana * * *
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    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 Cilindro 41 ©J. Carlos Lopes da Costa * * J. Carlos Lopes da Costa *
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    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 Esfera 42 ©J. Carlos Lopes da Costa * * J. Carlos Lopes da Costa *
  • 43.
    CONDUÇÃO Versão 2014/2015 Cartas paradeterminar a energia trocada * * * 43 © J. Carlos Lopes da Costa Cartas para determinar a energia trocada * * ** * * J. Carlos Lopes da Costa
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 44© J. Carlos Lopes da Costa Convecção O que é a Convecção? É o transporte de calor através de um meio fluido, feito principalmente devido à movimentação de massa – fluido mais quente transporta consigo calor. Se esse movimento for provocado (forçado) por um sistema exterior ao fluido (ventiladores, bombas, movimento de veículos), diz-se convecção forçada. Se esse movimento for induzido pelo próprio fluido, devido à diferença de densidades (provocada pela diferença de temperaturas) do fluido na presença de um campo gravítico (ou outro tipo de aceleração), então diz-se convecção natural. No estudo da convecção, vamo-nos debruçar sobre a entrada ou a saída de calor de um dado sítio, devido à presença de um fluído ou melhor, devido à presença de um escoamento. Iremos estudar a passagem de calor de/para um fluido para/de uma superfície. Capítulo 3 T(y)Tp y T(y) Tp T∞ q T∞
  • 45.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 45© J. Carlos Lopes da Costa Modelos Físico-Matemáticos A convecção pressupõe um meio fluido ou um escoamento onde existem gradientes de temperatura – fluxo de calor. Equação da Energia para um dado Escoamento Analisando o que se passa no ponto (x,y,z)… rodeiaoqueocomTroca emactuantesForças em Pot TotalEnergia dM dM dM q t + = ∆ ∆ Esta equação pode ser expressa para uma situação genérica por … Massa dM dx dy dz(x,y,z) x y z 0 Campo de Temperaturas Equação da Conservação da Quantidade de Movimento (Navier-Stokes) (insuficiente) Condiciona Campo de Velocidades Equação da Energia
  • 46.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 46© J. Carlos Lopes da Costa ( ) ( )TkTk VfepVVp V uv V u t turb diss ∇⋅∇+∇+ ++∇+⋅∇−=           +∇⋅+           + ∂ ∂ 2 22 22 rr & rr r r r ρρρρ Decomposição desta expressão: Variação da Energia Total em dM por unidade de tempo (potência): CinéticaEnergia- 2 calor);(incluidoInternaEnergia- adevidoEnergiadeTransporte 2 TempoocomVariação 2 2 . 2 V u v V uV V u t r r 44 344 21 r r 44 344 21 r           +∇+           + ∂ ∂ ρρ Potência das forças que actuam em dM: ( ) 876 rr4444444 84444444 76 321 & 44 344 21 rr ExterioresForçasdasPot.isSuperficiaForçasdasPot. ViscosoAtritodeForçasaRelativoPressãodeForçasaRelativo VfepVVp diss ρρ ++∇+⋅∇− Fluxo de calor (potência calorífica) que entra e sai de dM: Para conhecermos o que se passa num escoamento em termos de fluxo de calor, será necessário integrar esta equação – equação da energia. Nota: Operadores Cartesianos Derivativos • Gradiente: _ _ _ _ , , x y z  ∂ ∂ ∂ ∇ ≡   ∂ ∂ ∂  Aplica-se a uma grandeza escalar _. • Divergente: zyx zyx ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ≡∇ ___ _. Aplica-se a uma grandeza vectorial _ ur . ( )zyx _,_,__ = ( )43421321 TurbulentaCondução-PseudoporCalordeFluxo)(MolecularConduçãoporCalordeFluxo 2 TkTk turb∇⋅∇+∇
  • 47.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 47© J. Carlos Lopes da Costa Integração da Equação da Energia • Resolução Analítica: só viável em muito poucos casos em que é possível muitas simplificações. Exemplo: Em Regime Estacionário, e Escoamento Laminar a simplificação resulta em… Tk x V uV disse i i ij 2 2 v 2 ∇+ ∂ ∂ =           +∇⋅ 876r r &ρ τρ Numa situação monodimensional, pode-se integrar analiticamente. • Recurso a Métodos Numéricos Computacionais: Aplicável à maior parte das situações. No entanto padece dos problemas e da complexidade das modelações numéricas em Mecânica de Fluidos. • Obtenção de Correlações Experimentais em Laboratório: Existem em publicações da especialidade correlações semi-empíricas obtidas experimentalmente, para as geometrias e situações mais comuns em engenharia. – Iremos sobretudo abordar esta via. Em qualquer dos casos: Para quantificar os fluxos de calor por convecção, é necessário conhecer: conhecer. • Características do Escoamento • Condições Fronteira Geometria Regime (Laminar ou Turbulento)
  • 48.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 48© J. Carlos Lopes da Costa Números Adimensionais Relevantes na Convecção Quando se analisa um dado sistema físico, é vantajoso o recurso a variáveis adimensionais: • Diminuem o número de variáveis independentes. • A escala dos fenómenos é irrelevante (podem-se aplicar os mesmos conceitos a situações dimensionalmente diferentes). Escoamentos em regime estacionários: Número de Reynolds – Re .. .v.v. Re refrefrefref MovimdeQdaDissipação MovimentodeQuantidadeLL ≡== νµ ρ Número de Grashof – Gr ViscosoAtritodeForças ImpulsãodeForças... Gr densidadedediferençaàDevido 2 3 refref 444 8444 76 ≡ ∆ = ν β LTg ⇒⇒⇒⇒ Eq. da Cons. Energia ⇒⇒⇒⇒ Eq. da Cons. Q. de Mov. Adimensionalização 5 parâmetros adimensionais Re, Gr, Ec, Pr, Prturbulento Nota Importante: Convecção Natural Convecção Forçada 1 Re Gr 2 << - Convecção Forçada – Forças ascensionais muito menores que as forças de inércia. 1 Re Gr 2 >> - Convecção Natural – Os gradientes de temperatura impõem as movimentações do fluido. 2 Gr 1 Re ≈ - Convecção Mista – Natural+Forçada.
  • 49.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 49© J. Carlos Lopes da Costa Número de Eckert – Ec ( ) FluidodoTérmicaEnergia FluidodoCinéticaEnergia Tc Ec TérmicaEnergiaemtranformarpodeseQue p 44444 844444 76 ≡ ∆ = ref 2 ref . v Número de Prantl – Pr 4444 34444 21 4444 84444 76 calordomoleculardifusãoparaAptidão massademoviementoporcalordoeotransportparaAptidão pp k c k c TérmicadadeDifusibili CinemáticadadeDifusibili... Pr ≡=== α νρνµ Número de Nuselt – Nu FluidodoidadeCondutibil CausaemConvecção fluido Ref ≡= k Lh Nu Nota: Número de Prandtl “Turbulento” Em escoamentos em regime turbulento, a agitação turbilhonar de pequena escala pode ser encarada como um fenómeno difusivo, complementar à difusibilidade molecular. Daí, podem-se criar novas propriedades difusivas: a Viscosidade Turbulenta- turbµ ou turbν - e a Condutibilidade Turbulenta- turbk . Daí que certos modelos de convecção considerem um Número de Prandtl Turbulento. turb turb turb . Pr pc k µ = Não iremos abordar Nota: Fluido a Alta Velocidade Dissipação Significativa Se a velocidade do fluido for muito elevada, a energia dissipada pelo atrito nas superfícies (que se transforma em calor) começa a ser significativa. Esse calor começa a alterar o campo de temperaturas. Este factor começa a ser notório para valores do número de Eckert muito elevados. Exemplo 1: Ar a 45m/s (162 km/h) faz subir a temperatura junto ás superfícies cerca de 1ºC, apenas devido à dissipação de energia por atrito. Não iremos abordar Notas: • Há convecção significativa se Nu>1. • Basicamente podemos interpretar Nu como sendo o coeficiente de convecção (h) adimensional, de uma dada situação.
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 50© J. Carlos Lopes da Costa T∞, v∞ x v(y) v∞ y Camada Limite Dinâmica v(y) v∞ T∞, v∞ x y Camada Limite Térmica T∞ T(y) Tp T∞ T(y) Tp Camada Limite Dinâmica q Conceito de camada limite térmica Exemplo: Escoamento sobre uma Placa Plana Camada limite dinâmica: Zona de um escoamento, junto a uma parede, onde os gradientes de velocidade são importantes, devido à viscosidade do fluido. Camada limite Térmica: Zona do escoamento junto a uma superfície, mais quente (ou mais fria), onde os gradientes de temperatura são importantes. Nota: Na figura Tp>T∞ ; Se Tp<T∞ o raciocínio será semelhante. O fluxo de calor será de cima para baixo.
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 51© J. Carlos Lopes da Costa Definição do Nº de Nusselt Junto à parede (y=0):       =′′′′=′′ A q qxqxq CVCD )()( Para uma dada situação, o número de Nusselt pode ser determinado pela resolução da equação da Energia, ou (mais geralmente) por via experimental. (Geometria,Re,Pr,condições de fronteira)Nu f= Existem vários trabalhos científicos que determinaram coorelações empíricas para a determinação do nº de Nusselt para um grande número de situações práticas. ( ) ( ) ( ) ⇒ ∂ ∂− −=− ⇒ ∂ ∂− = ∂ ∂               − ∂ =∂⇒ − − = =∂⇒= → ∂ ∂ −=−      ←−=′′ ← ∂ ∂ −=′′ = ∞ ∞ ∞ ∞∞ ∞ = ∞ ∞ = = 0 0 0 )()( )()( Convecção)()()( Condução)( :aisadimensioneparavaloresAdoptemos )0emparadoestáfluido(o Yref p fluidop ref p pp refref y fluidop p y fluido YL TT kTxTxh YL TT y T TT T TT TT L dy Y L y Y Ty y T kTxTxh TxTxhxq y T kxq y θ θ θθ (x) fluido k ref h(x)L Y θ Nu== ∂ ∂ − T∞, v∞ x y Camada Limite Térmica T∞ T(y) Tp T∞ T(y) Tp 0 q Nota: O número de Nusselt traduz assim o fluxo de calor adimensional numa situação em que existe convecção junto a uma superfície.
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 52© J. Carlos Lopes da Costa Coeficiente de Convecção – Valores Locais e Valores Médios A camada limite aumenta de espessura com x; logo: ∞ = ==== − ∂ ∂ =         ∂ ∂ <         ∂ ∂ TT y T k xh y T y T p y fluido xxyxxy 0 00 )(:Como 12 Então h(x) decresce com x. Nota: h(x) é o coeficiente de convecção local (para um dado x). Se pretendermos calcular o fluxo de calor total numa placa plana: Coef. de Convecção Médio - Nº de Nusselt Médio - Na maior parte das situações práticas o valor que mais nos interessa é o valor médio do calor trocado. Por isso, na generalidade dos casos iremos sobretudo nos preocupar com o cálculo do coeficiente de convecção médio. x y Camada Limite Térmica T∞ T(y) Tp T∞ T(y) Tp 0 x2x1 )( 1xq′′ )( 2xq′′ sup sup sup 1 ( ). A h h h x dA A = = ∫ sup sup sup 1 Nu Nu Nu . ref xA fluido hL dA A k = = =∫
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 53© J. Carlos Lopes da Costa Camada Limite Laminar e Camada Limite Turbulenta Se o comprimento da placa for suficientemente grande, a partir de xcrítico, a camada limite dinâmica torna-se turbulenta. Se a Camada Limite cresce, em princípio a resistência à passagem de calor também cresce. No entanto, a agitação na camada limite turbulenta aumenta muito, o que quase uniformiza a temperatura acima da sub-camada limite laminar. Daí que os gradientes de temperatura vão quase só existir nesta sub-camada mais fina. Isto é: O cálculo do coeficiente de convecção médio (para toda a placa) deve ter em consideração estas duas zonas: Admitindo a zona de xcrítico muito pequena. aumenta)(aumentaaumenta xhq y T oy ⇒′′⇒ ∂ ∂ = x y T∞ Tp 0 C. L. Laminar C. L. TurbulentaTransição Sub-Camada Laminar Transição ZonaTurbulenta v∞ v∞ T∞ Tp T(y) T(y) xcrítico x y 0 C. L. Laminar C. L. TurbulentaTrans. xcrítico h h(x) h(x) lam turb 0 1 ( ) ( ) critico critico x L x h h x dx h x dx L    = +     ∫ ∫
  • 54.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 49© J. Carlos Lopes da Costa Camada Limite Laminar e Camada Limite Turbulenta (cont.) O desenvolvimento de camadas limite dinâmica e térmica ocorre em outros tipos de escoamentos: Escoamentos Externos Corpos completamente imersos no fluido. Placa Plana: Cilindro Perpendicular a um escoamento: Escoamentos Internos: Tubos e Condutas: Regime TurbulentoRegime Laminar Regime TurbulentoRegime Laminar Regime TurbulentoRegime Laminar
  • 55.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 50© J. Carlos Lopes da Costa Especificidades na Análise de Escoamentos Internos É usual definir-se Tm – Temperatura média do Fluido Para um dado x: ( )mp TTxhxq −=′′ )()( Sendo Te e Ts as respectivas temperaturas médias, na entrada e saída. Como os mp TTT −=∆ variam ao longo do tubo (de x), demonstra-se que o mais indicado para todo o tubo será usar um T∆ médio designado por Diferença de Temperaturas Média Logarítmica: ln.. TAhq ∆= Em todo o tubo Interior       ∆ ∆ ∆−∆ =∆ saída entrada saídaentrada ln ln :Sendo T T TT T Tmax1 T r Tp Tmax2 T r Tp Tm Tm Te Ts Tmin1 T r Tp Tmin2 T r Tp Tm Tm Te Ts Admitindo Tp uniforme: Te>Tmax1>Tmax2>Ts Admitindo Tp uniforme: Te<Tmin1>Tmin2>Ts Caso II: Parede quente aquece o fluido Caso I: Parede fria arrefece o fluido x x Nota: Para mais detalhes acerca de lnT∆ , consultar o capítulo relativo a Permutadores de Calor.
  • 56.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 51© J. Carlos Lopes da Costa Correlações Experimentais para a Convecção Notas Prévias • Para os cálculos dos fluxos de calor em problemas de convecção forçada geralmente basta-nos conhecer: (Geometria,Re,Pr,Condições de Fronteira)Nu f= • Iremos apenas analisar escoamentos: Em regime permanente Escoamentos incompressíveis (isobáricos no caso de gases) Dissipação desprezável ( 0Ec ≈ ) • Normalmente iremos determinar Nu através de funções do tipo: Nu .Re Prb c a= a, b e c são constantes para : Cada geometria Cada Regime (Re laminar ou turbulento) Tipo de condição fronteira ( )etc;const;const ≅′′≅ qTp Fluido que banha a superfície • Existirão expressões para valores locais e para valores médios: 1 2Nu ( ); Nu ( )x f f= =K K • Em diferentes publicações poderemos encontrar diferentes expressões de Nu para um mesmo caso. Tratam-se de resultados experimentais semi- empíricos, que podem diferir conforme o trabalho cientifico. Não esquecer que este tipos de cálculos fazem estimativas e não determinam valores exactos. • As propriedades dos fluidos (k, µ, ν, etc) são supostos valores constantes e uniformes nos cálculos. No entanto, variam com T!
  • 57.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 52© J. Carlos Lopes da Costa As correlações são muitas vezes definidas com base em propriedades à temperatura T∞ ou Tp (na parede), A sua contabilização pode ser feita de dois modos: Com base numa das temperaturas nas fronteiras - T∞∞∞∞ ou Tp (na parede). Com base numa temperatura média de referência (maior parte dos casos). Por vezes, as correlações já trazem um factor que contabiliza a variação das propriedades com a temperatura. Apresentam a seguinte forma: No entanto pT ou mT não são conhecidos à partida. Nestes casos é preferível partir para valores estimados, que serão rectificados iterativamente, até o resultado do cálculo convergir. • As grandezas adimensionais que caracterizam um (Re, Nu, Gr) escoamento são determinadas com base num comprimento característico Lref do escoamento. Esse valor é indicado como índice destas grandezas: v. . Re ; Nux D fluido x h D kν = = Como é óbvio, que num mesmo cálculo acerca de um dado escoamento, é conveniente manter sempre o valor de Lref para as diversas grandezas Re, Nu ou Gr. Exemplos: Escoamento sobre uma placa plana: Lref = L (comprim.) …ou Lref = x (posição) Escoamento dentro de um tubo: Lref = D (diâmetro hidráulico) Escoamento à volta de um cilidro: Lref = D (diâmetro) ( ou ) ( ou ) ( ) ( ) .Re Pr ;líquidos .Re Pr ;gases m m p p T T T T b c b c T T Nu a k Nu a k µ µ ∞ ∞   =      →   =      internossescoamentonos, 2 externossescoamentonos, 2 mp ref p ref TT T TT T + = + = → ∞
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 53© J. Carlos Lopes da Costa Correlações Experimentais Placa plana com escoamento paralelo Regime Laminar ReL<5×105 50Pr6,0 PrRe664,0Nu PrRe332,0Nu ~~3/11/2 3/11/2 <<     = = L xx 6,0Pr PrRe906,0Nu PrRe453,0Nu ~3/11/2 3/11/2 >     = = L xx Outras correlações: Exemplo: Líquidos viscosos, metais líquidos – Pr baixos. Nux = 0,565 Re.Pr( ) 1 2 = 0,565.Pe1 2 ← Pr % < 0,05 1 2 1 3 valores de elevadosNu 0,339.Re Pr Prx = ← Regime Turbulento ReL>5×105 ( )     ←−=     =→     ←= <<< > <<< )e0(entreplacaatodaPara 10 ~ Re;60 ~ Pr ~ 6,0 8 3/14/5 3/14/5 8 3/14/5 Pr871Re037,0Nu PrRe0308,0NuPrRe0296,0Nu 10 ~ Re;60 ~ Pr ~ 6,0 L L xx crítico xx xx y 0 x h h(x) L x uniformeq ′′ Fluxo de calor uniforme em toda a placay 0 x h h(x) L x T uniforme Temperatura uniforme em toda a placa y 0 x h h(x) L x uniformeq ′′ Fluxo de calor uniforme em toda a placay 0 x h h(x) L x T uniforme Temperatura uniforme em toda a placa Notas: • Em regime laminarOs valores de Nu são 36% superiores para Tp uniforme. Em regime turbulento não há praticamente diferenças. • Pode-se demonstrar que Nu 2.Nu parax x L= = • Para alguns autores Re.Pr Pe= - Nº. de Peclet
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 Escoamento noInterior de Tubos Para a região de escoamento desenvolvido camadas limite ao longo do tubo x constanteNuNu == Regime Laminar Em regime laminar, Nu é independente de Secção T Equilátero ∞ a 2a a a xe Zona de Entrada Camada Limite Térmica 05,0:queEm e Dx ≅ x O Nu varia com o crescimento da camada limite térmica e/ou dinâmica. (Ver caixa abaixo, á direita). 54 © J. Carlos Lopes da Costa Escoamento no Interior de Tubos e Condutas Para a região de escoamento desenvolvido, uma vez que existirá limite ao longo do tubo, e considerando kfluido xemconstante Regime Laminar ReDh<2300 é independente de Re ou Pr: Tp Uniforme NuDh = pq ′′ Uniforme NuDh = 3,66 4,36 2,98 3,63 3,39 4,11 7,54 8,23 2,47 3,11 Escoamento Desenvolvido Dh Zona mais relevante para a maior parte dos casos! Até porque geralmente L>>x L PrRehD varia com o crescimento da camada limite térmica e/ou dinâmica. Zona de Entrada: Nusselt local, nos diferentes tipos de zon J. Carlos Lopes da Costa e Condutas , uma vez que existirá estabilização das fluido constante, então: Escoamento Desenvolvido para a maior L>>xe! Zona de Entrada: Nusselt local, nos diferentes tipos de zona de entrada:
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 55© J. Carlos Lopes da Costa Escoamento no Interior de Tubos e Condutas (cont.) Regime Turbulento ReDh>10 4 Hipóteses consideradas: • Escoamento desenvolvido • Tubos lisos interiormente (ou de baixa rugosidade) Em regime turbulento não existirão diferenças de h ou Nu entre situações de Tp uniforme ou pq ′′ uniforme. Correlação 1 (Equação de Dittus-Boelter):       <<←= = = fluidodontoarrefecimeopara fluidodooaquecimentopara 3,0 4,0 100Pr7,0PrRe023,0Nu 8,0 n n n Dh Correlação 2 (Sieder e Tate): A utilizar quando houver grande variação de propriedades.       <<←      = paredederatemperatuàfluidodoeViscosidad referênciaderatemperatuàfluidodoeViscosidad 16700Pr7,0PrRe027,0Nu 14,0 3/18,0 P P Dh µ µ µ µ Nota: 60seNuNu >≅ D L , uma vez que o que se passa na zona de entrada é irrelevante. Lembrete: 4.Secção Perímetro HD =
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 56© J. Carlos Lopes da Costa Escoamento Perpendicular a um Cilindro Regime Laminar ReD≤ 105 Regime Turbulento ReD>105 Valores Locais: Coeficiente de transferência de calor adimensionalNu para diferentes posições θθθθ. Note-se as diferenças entre a evolução para regimes laminares e regimes turbulentos. Ângulo de Separação θθθθsep θθθθ T∞∞∞∞ Ts Ângulo de Separação θθθθsep θθθθ T∞∞∞∞ Ts Tp 80ºsepθ ≈ 500 600 700 800 0 40 80 120 1600 180 θθθθ Nuθθθθ 100 200 300 400 0 ReD=2,2×105 ReD=105 ReD=0,71×10 5 ReD=1,4×105 140ºsepθ ≈ 2 2 876médiaT s p ref TT T T + + = ∞
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 57© J. Carlos Lopes da Costa • Valores Médios (Tpou pq ′′ uniformes): Correlação proposta por Hilpert (1933), amplamente utilizada: 1/3 Nu = .Re Prm D DC Cilindros Não Circulares (Jakob – 1949) ReD C m Quadrado 5×103 – 105 0,246 0,588 5×103 – 105 0,102 0,675 Hexágono 5×103 – 1,95×104 0,160 0,638 1,95×104 – 105 0,0385 0,782 5×103 – 105 0,153 0,638 Placa Vertical 4×103 – 1,5×104 0,228 0,731 Outras correlações (Cilindros Circulares): Zhukauskas (1972): …em que todas as propriedades são obtidas para T∞, excepto Prp, que é obtido à temperatura da parede. Churchill e Bernstein (1977) : Cilindro Circular ReD C m 0,4 – 4 0,989 0,330 4 - 40 0,911 0,385 40 – 4 000 0,683 0,466 4 000 – 40 000 0,193 0,618 40 000 – 400 000 0,027 0,805 ReD C m 1 – 40 0,75 0,4 40 – 1 000 0,51 0,5 1 000 – 200 000 0,26 0,6 200 000 – 106 0,076 0,7 v D v D v D v D v D 36,010Pr;37,010Pr 500Pr7,0 10Re1 Pr Pr PrReNu 6 4/1 =→>=→≤    << << ←         = nn C D p nm DD    << > ←               +               + += 7 5/48/5 4/13/2 3/12/1 10Re100 2,0PrRe 282000 Re 1 Pr 4,0 1 PrRe62,0 3,0Nu D DDD D
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 58© J. Carlos Lopes da Costa Escoamento em Torno de uma Esfera Equação mais geral – Whitaker (1972): ( )              ++= << ×<< << ← 2,3/0,1 4 106,7Re5,3 380Pr71,04/1 4,03/22/1 PrRe06,0Re4,02Nu p D p DDD µµ µ µ Todas as propriedades à temperatura de T∞, excepto µp (à temperatura da parede). Fluido gasoso – McAdams (1954): 4 107Re17 6,0 Re37,0Nu ×<<←= DDD      << ×<< << 2,3/0,1 4 106,7Re5,3 380Pr71,0 p D µµ Fluido líquido – Kramers (1946): ( ) 2000Re1 3,05,0 PrRe68,097,0Nu <<←+= DDD Existem muitas outras correlações, para diversas situações práticas, na bibliografia relativa a este ramo da engenharia. A título de exemplo, no “Fundamentos de transferência de calor e de massa” – Incropera e DeWitt, podemos encontrar correlações para: Jactos colidentes Leito de partículas sólidas
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 Escoamento numFeixe de Tubos = Re13,1Nu 1CD Nota:        = = = SD D 2 vv vv v Re max max max v, max ν No caso de termos menos que 10 linhas de tubos: Alinhados 59 © J. Carlos Lopes da Costa Escoamento num Feixe de Tubos      ≥ << ≥ ← 7,0Pr 40000Re2000 10linhas)de(nº PrRe 3/1 v, max D NL m D ( ) ( ) ( ) ( ) (<−← −    −>−− SDS DS S DSDSDS S TD D T TDT T 2comAlternados 2 2comAlternados Alinhados No caso de termos menos que 10 linhas de tubos: Alternados 10 10 Nu Nu L L D D N N< ≥ J. Carlos Lopes da Costa ) )− D 2 10 10 Nu Nu L L D D N N C < ≥ =
  • 65.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 60© J. Carlos Lopes da Costa Convecção Natural A convecção natural pressupõe a presença da gravidade – g ou outra aceleração (*) - que induza o deslocamento das massas mais pesadas na sua direcção (para baixo, no caso da gravidade). Geralmente, as velocidades em jogo são menores. vConv. Natural < vConv. Forç. ⇒⇒⇒⇒ hC.Nat. < hC. Forç. Interesse do estudo da Convecção Natural: • Dissipação de Calor (radiadores, equipamentos, electrónicos). • Equipamentos de captação solar. • Aquecimento de edifícios. • Ciências do ambiente (meteorologia, correntes de ar atmosférico, correntes marítimas). Capítulo 4 Nota: (*)Forças centrifugas, aceleração de Coriolis, por exemplo. • Convecção Forçada •Convecção Natural Movimento do Fluido Imposto exteriormente (bomba, ventilador, vento exterior ao volume de controle) Devido a forças mássicas associadas a gradientes de temperatura (fluido mais frio, é geralmente mais pesado)
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 61© J. Carlos Lopes da Costa Exemplos de escoamentos em Convecção Natural: Nota importante: a existência de gradientes de densidade (ou ρ) não implica correntes de convecção importantes. Exemplo: Camada Limite Dinâmica • • x, vx y Fio Aquecido Tp> T∞∞∞∞ Tp> T∞ vx(y) T∞ ρ∞ y, vy Convecção Natural Placa Vertical Aquecida Camada Natural Formação de um Penacho x vx ρjunto à parede<ρ∞ Tp T∞ ρ∞ Há forte Convecção Natural Duas Placas Horizontais Separadas por Fluido Convecção Natural muito baixa. Há sobretudo Condução. x Placa Friaρρρρ2 T2 Placa Quenteρρρρ1 T1 T, ρ x Placa Friaρρρρ2 T2 Placa Quenteρρρρ1 T, ρ T1
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 62© J. Carlos Lopes da Costa Equações necessárias ao estudo da Convecção Natural Pressupostos da seguinte análise: • Regime permanente e laminar • Escoamento bidimensional • Força gravítica actua na direcção negativa do eixo dos x. Equação da conservação da quantidade de movimento: ( ) } ( )( ) ( ) ⇒+−+=× 87648476r48476 rr AtritodeForçasPressãodeForçasExteriores Forças Mov.deQuat.de FluxodoVariação divgradvgradv τρρ pf 4444444 84444444 76 y yx yx p g yx y p x e y dedirecçãoNa 2 x 2 yx yy v1v v v v 0 0 vv ∂ ∂ + ∂ ∂ −−= ∂ ∂ + ∂ ∂       ≈ ∂ ∂ ≈ ∂ ∂ ∂ ∂ ν ρ ( )maxUma vez que: p p gh g x x g x ρ ρ ρ∞ ∞ ∞ ∂ = = − ⇒ = − ∂ ( ) 2 x 2 ImpulsãodeForça yx vv v v v y g yx yx ∂ ∂ +−= ∂ ∂ + ∂ ∂ ⇒ ∞ νρρ ρ 43421 Formulação Diferencial Equações do Movimento Equação da Energia Equações da Quantidade de Movimento Equação da Continuidade x y T∞∞∞∞ Tp ρρρρ∞∞∞∞
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 63© J. Carlos Lopes da Costa Coeficiente de Dilatação Térmica - ββββ Nota Importante: β líquidos – Tabelados βgases perfeitos ≈ T 1 (T em K) Por fim: Equação da conservação da quantidade de movimento: ( ) 2 2 vv v v v yx x x y g T T x y y β ν∞ ∂∂ ∂ ⇒ + = − + ∂ ∂ ∂ Equação da Energia: 2 2 v vx y T T T x y y α ∂ ∂ ∂ ⇒ + = ∂ ∂ ∂ Equação da continuidade 0 vv = ∂ ∂ + ∂ ∂ yx yx 1 1 . . T T T T ρ ρ ρ β ρ ρ β ρ ρ ∞ ∞ ∂ −  = − ≈ − ⇒ −∆ = ∆  ∂ −  Considerando: • Dissipação desprezável (velocidades baixas) • Condução segundo x<< convecção ••••Equação da Quantidade de Movimento ••••Equação da Energia ••••Equação da Continuidade Efeitos da Impulsão (diferença de densidades) Influencia do campo de velocidades no campo de temperaturas Solução para o campo de velocidades e temperaturas exige a resolução simultânea das três equações.
  • 69.
    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 64© J. Carlos Lopes da Costa Solução Numérica das Equações da Convecção Natural Placa plana quente e vertical, Tp uniforme. Para a mesma situação com pq ′′ uniforme, os resultados são semelhantes aos anteriores (5% de erro).→ Para o cálculo dos coeficientes de convecção (Nu) podemos então utilizar as mesmas correlações para Tp uniforme e pq ′′ uniforme. Turbulência na C.L. em Convecção Natural Como na convecção forçada, se o fluxo de calor se tornar muito intenso, poderemos gerar um escoamento em regime turbulento. Tal é função de Gre Pr (em conv. natural o Re não se aplica) • Para uma placa vertical: Transição: 9 Ra Gr .Pr 10x x= ≈ • Tal como na conv. Forçada: ↑ Turbulência ⇒↑h (Taxa de transferência de calor) 1 ∞ ∞∗ − − = TT TT T p 4 1 4       Gr x y 4 1 4       Gr x y 5,0 2 x x Gr xv ν Campo de TemperaturasCampo de Velocidades 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 61 0,4 0,6 0,8 0,2 1 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Pr = 0,01 0,72 10 100 0,72 10 Pr = 0,01 ←Distância à parede y adimensional → Temperatura T adimensional Velocidade vx adimensional
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 65© J. Carlos Lopes da Costa Coorrelações para Convecção Natural Placa vertical (aquecida ou arrefecida): Regime Laminar ( )9 Ra =Gr Pr 10L L < : 4 9 ___ 10 Ra 10 1/4 Nu 0,59.Ra LL L ← < <= – McAdams (1954) Nu ___ L = 0,68+ 0,670.RaL 1/4 1+ 0,492 Pr( ) 9/16    4/9 ← RaL < 10 9 – Churchill e Chu (1975) Regime Turbulento( )9 Ra =Gr Pr 10L L > ___ 1/3 Nu 0,10.RaL L= –Warner e Arpaci (1968) 2 5Nu 0,021.RaL L= – Eckert e Jackson (1951) Para toda a gama de RaL=GrLPr: Nu ___ L = 0,825+ 0,387.RaL 1/6 1+ 0,492 Pr( )9/16    8/27               10−1 <RaL <1012 1 24444444 34444444 2 – Churchill e Chu (1975) Tp> T∞ T∞ ρ∞ y, vy Tp L Tp< T∞ T∞ ρ∞ x vx Tp L y, vy x vx
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 66© J. Carlos Lopes da Costa Cilindro Vertical Se 4 1 35 LGr L D ≥ → Análise semelhante ao da placa vertical – Lref=L Se 4 1 35 LGr L D ≤ : Placas Inclinadas Placas inclinadas podem ser abordadas da mesma forma que as placas verticais (em ambas as faces), desde que: • 0º<θθθθ<60º • Se utilizeg.cosθθθθ no lugar deg, quando se calcula o número de Grashoff -Gr. 1 2 3 4 5 1 2 3 1/ 4 4 2 L L DGr ξ = Pr = 0,01 0,1 0,72 1 10 100 ____ ____ cilindro placa vert. Nu Nu 4 L D L θθθθ L θθθθ
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 67© J. Carlos Lopes da Costa Placa Horizontal ( ) ___ Nu Gr .Pr m LrefC= Área PerímetrorefL = Tipo de escoamento Orientação da Placa Intervalo Ra Gr PrL L= C m Laminar 104 a 107 0,54 4 1 Turbulento 107 a1011 0,15 3 1 Laminar 105 a 1010 0,27 4 1 Cilindro horizontal ( ) ___ Nu Gr .Pr n D DC= - Morgan (1975) Churchill e Chu (1975) Esfera ( ) 1/ 4____ 4/99/16 0,589.Ra Nu 2 1+ 0,469/Pr D D = +     - Churchill (1983) Cilindro Circular Horizontal RaD=GrD.Pr C n 10-10 – 10-2 0,675 0,058 10-2 – 102 1,02 0,148 102 – 104 0,850 0,188 104 – 107 0,480 0,250 107 – 1012 0,125 0,333 q ou q q ou q q ou q ( ) 2 1/ 6 12 8/ 279/16 0,387.Ra Nu 0,60 Ra 10 1 0,559 / Pr D D D     = + ← <    +   
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 68© J. Carlos Lopes da Costa Espaços Confinados (Fendas) Existem casos práticos de Convecção Natural em que esta se dá entre duas superfícies. Fluxo de calor (q) depende da resistência térmica da cavidade. Se H for muito pequeno (para um dado ∆T=T1-T2) ⇒Condução(o ar pouco se movimenta) Se H aumentar, o ar movimenta-se melhor ⇒Convecção Natural O Hcrítico também depende de ∆T Valores normalmente adaptados para exemplos indicados acima: • Hcaixa de ar = 4 - 5 cm • Hcolector solar =2,5 cm ( 1 ____ >∆T ) Caixa de Ar de uma Parede Dupla Colector Solar 2T∞ q Tijolos Ar 1T∞ H T1 T2 Ar q T2 T1 H Vidro Água Radiação H <Hcrítico→ TA H k q ar ∆= H>Hcrítico→ TA H k TAhq efectivo ∆=∆= Para que as duas situações sejam comparáveis criamos kefectivo: kefec.=h.H ∆Tconstante HH crítico q mínimoq Convecção NaturalCondução
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    CONVECÇÃO Versão 2014/2015 69© J. Carlos Lopes da Costa Espaços confinados rectangulares Correlações Experimentais(extraídas do “Incropera”): Para τ = 0°°°°⇒ Se Ra 1708 Nu 1H H≤ ⇒ = ; Temos condução pura. 5 90,074 3 10 Ra 7 10 1/3 Nu 0,069.Ra Pr HH H ← × < < ×= Para τ = 180°°°°⇒Fluido fica estático: Nu 1H = ; Temos condução pura. Para τ = 90°°°°⇒ Se 3 Ra 10 Nu 1H H≤ ⇒ = ; Temos condução pura. Para 0°°°°<τ<90°°°°⇒ NuH = NuH (τ =0º) NuH (τ =90º) NuH (τ =0º)         τ /τ* sinτ *( ) τ 4τ* ← L / H ≤12 0 < τ < τ *    NuH = NuH (τ =90º) sinτ( ) 1/4 ←τ*<τ < 90º Ângulos críticos (τ∗τ∗τ∗τ∗) para cavidades rectangulares inclinadas: Para 90°°°°<τ<180°°°°⇒NuH =1+ NuH (τ =90º) −1    sinτ L/H 1 3 6 12 >12 τ∗τ∗τ∗τ∗ 25º 53º 60º 67º 70º → g Fluido W H T1 τ L T2> T1 H<<L H<<W Lref = H q Nu k Hh T Th q q H k cond conv == ∆ ∆ = ′′ ′′ 3 10 5 0,28 1/ 4 10 Ra 10 Pr 10 2 / 10 Pr Nu 0,22 .Ra 0,2 Pr H H H L H L H − < < < < <      = ←   +      ( )3 0,29 1/4 3 5 10 Ra Pr/ 0,2 Pr Pr Nu 0,18 .Ra 10 Pr 10 0,2 Pr 1 / 2 H H H L H L H − − ←  < +     = < <  +    < <  4 7 0,3 1/ 4 0,012 4 10 Ra 10 Nu 0,42.Ra Pr 1 Pr 2 10 10 / 40 H H H L H L H − ←  < <   = < < ×    < <  6 9 1/3 10 Ra 10 Nu 0,046.Ra 1 Pr 20 1 / 40 H H H L H ←  < < = < < < <
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 70 © J. Carlos Lopes da Costa Permutadores de Calor Introdução Dispositivo que efectua transferência de energia térmica de um fluido para outro. • Geralmente os fluidos estão separados por uma parede (recuperadores). • Princípios de transferência de calor: condução, convecção e por vezes radiação (para temperaturas elevadas). • Mecanismos para aumentar as trocas de calor: alhetas, chicanas, passes múltiplos, etc. Principais tipos de permutadores • Placas • Tubo e carcaça • Correntes cruzadas • Outros ... Capítulo 5 Permutador de Calor Fluido B TB Saída↓ Fluido A TA Saída↑ Fluido B TB Entrada↓↓ Fluido A TA Entrada↑↑
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 71 © J. Carlos Lopes da Costa Isolamento Isolamento Correntes Paralelas Isolamento Isolamento Em Contra-Corrente q q Permutador de Placas Princípo básico: Placa Plana Construção prática dos Permutador de Placas: ● Em Sandwich, alternando fluido quente e frio. ● Ondulações (ou alhetas) nas placas para maximizar a troca de calor.
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 Permutador de Carcaça e Tubos Tubo duplo ou Bitubular Carcaça e tubos Isolamento Fluido A Fluido B Fluido A 72 © J. Carlos Lopes da Costa Permutador de Carcaça e Tubos Tubo duplo ou Bitubular A A Correntes Paralelas Contra-corrente Fluido B J. Carlos Lopes da Costa Corte A-A
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 73 © J. Carlos Lopes da Costa Correntes cruzadas Distância do trajecto do fluido frio Distância do trajecto do fluido quente Tqe Tfs Tqs Tfe Saída do fluido quente, Tqo Saída do fluido frio, Tfo Entrada do fluido quente, Tqi Entrada do fluido frio, Tfi Ambos Fluxos Não “Misturados” Um Fluxo Não “Misturado” Fluxo “Misturado” Fluxo não “Misturado”
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 74 © J. Carlos Lopes da Costa Outros … Permutadores de Correntes paralelas vs. Contracorrente (Placa Plana ou Bitubular) O perfil de temperaturas é diferente para cada um dos casos. Um permutador em contra corrente pode conseguir que a temperatura do fluido frio à saída seja superior à do fluido quente à saída. CORRENT CONTRA CORRENTE entrada saída x T ∆T2∆T1 Fluido Quente Fluido Frio Fluido Quente ∆T1 ∆T2 Fluido Frio saída entrada entrada T entrada saída x CORRENTES PARALELAS Permutador de Calor Rotativo (neste caso, em “contra-corrente) Torres de Arrefecimento
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 75 © J. Carlos Lopes da Costa Determinação da Transferência de Calor Podemos definir a seguinte expressão para determinar a transferência de calor num permutador de calor: ____ TAUq ∆= Coeficiente Global de Transferência de Calor No interior de um permutador existem várias resistências térmicas a separar o fluido quente do fluido frio: ∑= = n i itotal RR 1 CVfCDCVq RRRR ++=permutadortotal Atendendo a que ____ ref.sup. TAUq ∆= : ∑= ′′ = ′′ = n i iR R U 1 permutadortotal 11 Diferencia de temperaturas média efectiva para todo o permutador Superfície de transferência Coeficiente global de transferência de calor Fluido Quente Resist. de Condução RCVq RCDfRCD Resist. Convecção no Fluido Quente Fluido Frio Resist. Convecção no Fluido Frio
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 76 © J. Carlos Lopes da Costa Permutador de paredes planas: 1 1 1 q parede f U e h k h = + + Permutador com paredes cilíndricas (tubos): 1 ln 1 e e e ie i i e U r r rr rh k h =      + + ou 1 ln 1 i e i i i i e e U r r r r h k r h =      + + Nota: iiiee TAUTAUq ∆=∆= ____ É necessário definirmos qual a superfície de transferência: Ae ou Ai e utilizar Ue ou Ui em consonância. Valores típicos de U: De: Para: U (W/m2 .K) De: Para: U (W/m2 .K) Água: Álcool 284 – 850 Óleo Óleo 170 - 312 Salmoura 567 – 1135 Fluido Orgânico Fluído Orgânico 57 – 314 Ar comprimido 57 – 170 Vapor: Soluções Aquosas 567 – 3400 Álcool condensado 255 – 680 Óleo combustível pesado 57 – 170 Amónia condensada 850 – 1420 Óleo combustível leve 170 – 340 Freon 12 condensado 454 – 850 Gases 28 – 284 Óleo condensado 227 - 567 Água 993 - 3400 Água 850 - 1700 Gasolina 340 - 510 Óleo lubrificante 113 - 340 Solventes Orgânicos 284 - 850 k he AiAe re ri hi
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 77 © J. Carlos Lopes da Costa Factores de Deposição (Fouling Factor) Os fluidos que circulam num permutador podem: Provocar corrosão Depositar sujidade em suspensão …nas suas paredes Teremos que considerar a soma de resistências à passagem de calor devidas ao aparecimento destas substâncias nas paredes – Factores de Deposição. Encontramos em várias publicações sobre permutadores, o valor de resistências típicas relativas a sujidade e/ou incrustações associadas ao tipo de fluido no permutador: limposujo 11 UU Rf −=′′ [ ]K/Wm2 Estas resistências muitas vezes designam-se por “Fouling Factor”. Valores típicos dos Factores de Deposição: Fluido R’’f (m2 K/W) Água salgada abaixo de 50°C 0.00009 Água salgada acima de 50°C 0.00020 Água tratada de caldeira acima de 50°C 0.00020 Óleo combustível 0.00090 Óleo refrigerante 0.00070 Vapores alcoólicos 0.00009 Vapor 0.00009 Ar industrial 0.00040 Líquido refrigerante 0.00020 R”CVq R”CDfR”CD Nota: ∑= ′′ = n i iR U 1 1
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 78 © J. Carlos Lopes da Costa Diferença Média Logarítmica de Temperaturas Na expressão ____ TAUq ∆⋅⋅= , como determinaremos o valor T∆ ? È previsível que a temperatura do fluído quente (Tq) e do fluído frio (Tf) varie ao longo dos seus percursos no permutador. No exemplo mostrado na figura – Permutador de placa plana com correntes paralelas – à medida que os fluidos trocam calor o ∆T diminui o que faz com que a troca de calor diminua e, por isso diminuam também as variações de temperatura. Para calcular o T∆ vamos assumir as seguintes aproximações: • U constante em todo o permutador. • A troca de calor dá-se apenas entre os dois fluidos – Sistema Adiabático. • Tf e Tq uniformes para cada secção x. • cp’sdos fluidos constantes. Assim, numa secção infinitesimal dx temos: ( )fq TTdAUdq −⋅⋅= (Troca de calor) e T Tqe Tq Tf dq Tfe dx dTf dTq Tqs Tfs ∆T2 x Tqs TfsTfe Tqe ∆T1
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 79 © J. Carlos Lopes da Costa qqpqffpf dTcmdTcmdq && −== ⇒ qq q cpm dq dT & −= ; ff f cpm dq dT & = Como : )( fqfq TTddTdT −=− ( ) ( ) dA cmcm UTTd TT AaToda constantes qpqfpf fq T T fq ∫∫         +−=− − ∆ ∆ 444 3444 21 && 1112 1 ⇒         +−= ∆ ∆ qpqfpf cmcm UA T T && 11 ln 1 2 (*) como: sqeq qpq TT q cm − =& e efsf qpf TT q cm − =& (*) ( ) ( ) q TTTT UA T T efsfsqeq −+− −= ∆ ∆ 1 2 ln saídaentrada Aumento da energia térmica do fluído frio Diminuição de energia térmica do fluído quente ⇒ ( ) dq cmcm TTd qpqfpf fq         +−=− && 11 ⇒ ( ) ( )[ ]fq qpqfpf fq TTUAd cmcm TTd −         +−=− && 11 ⇒ ( ) ( ) dA cmcm U TT TTd qpqfpffq fq         +−= − − && 11 ; integrando: Nota: Índices: q – Fluido quente f – Fluido frio e – Entrada s – Saída Nota: Permutadores de correntes paralelas: efeq TTT −=∆ 1 sfsq TTT −=∆ 2 (Ver figura da página anterior) T Tqe Tq Tf dq Tfe dx dTf dTq Tqs Tfs ∆Ts x Tqs TfsTfe Tqe ∆Te
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 80 © J. Carlos Lopes da Costa ⇒       ∆ ∆ ∆−∆ = 1 2 12 ln T T TT UAq ⇒ lmTDMLT T T TT T ∆≡=       ∆ ∆ ∆−∆ =∆ 1 2 12 _____ ln Chama-se a este valor Diferença Média Logarítmica de Temperaturas – DMLT Na bibliografia anglo-saxónica é designada LMTD – Log Mean Temperature Difference. Pode–se demonstrar que a DMLT é válido para todos os outros permutadores de uma passagem, i. e., também se aplica a permutadores em contra corrente T ∆T2 ∆T1 x T ∆T2 ∆T1 Correntes paralelas Contra corrente x se e e s s Nota: Para permutadores em contra corrente, o lmT∆ deverá ser calculado com base nos seguintes T∆ : sfeq TTT −=∆ 1 efsq TTT −=∆ 2
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 81 © J. Carlos Lopes da Costa Factores de Correcção da DMLT para Permutadores de Calor Complexos A utilização da expressão lmTAUq ∆⋅⋅= é válida para permutadores simples de uma só passagem: permutador de placa plana (correntes paralelas ou contracorrentes) e de tubo duplo (correntes paralelas ou contracorrente). Mas para permutadores mais complexos (multitubulares - com ou sem diversos passes na carcaça - ou correntes cruzadas) o cálculo de um T∆ é quase impossível. O procedimento usual é utilizar um factor de correcção F experimental: lmTAUFq ∆⋅⋅⋅= Existem diagramas para a determinação de F para as diferentes geometrias de permutadores: Pemutador de carcaça e tubos: Uma passagem na carcaça, e um número par de passagens nos tubos. Nota Importante: Nestes casos o lmT∆ deverá ser calculado como para permutadores em contra corrente. sfeq TTT −=∆ 1 efsq TTT −=∆ 2 P=(ts-te)/(Te-te) es se tt TT Z − − = Te Ts te ts
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 82 © J. Carlos Lopes da Costa Pemutador de carcaça e tubos: Duas passagem na carcaça, e um número par de passagens nos tubos. Permutador de Correntes cruzadas: Um fluido “misturado”. Permutador de Correntes cruzadas: Ambos os fluidos não “misturados”. P=(ts-te)/(Te-te) es se tt TT Z − − = Te Ts ts te P=(ts-te)/(Te-te) es se tt TT Z − − = Te Ts te ts P=(ts-te)/(Te-te) es se tt TT Z − − = Te Ts te ts
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 83 © J. Carlos Lopes da Costa Método NTU Eficiência de um permutador de calor Em muitas situações, apenas conhecemos: as temperaturas de entrada dos fluidos (quente e frio) ou as temperaturas de entrada e saída de um deles! Ao aplicarmos um cálculo recorrendo ao conceito DMLT, teremos que arbitrar as restantes temperaturas e caudais. Entramos por isso num processo iterativo. Exploremos então outro método: Conceito: Eficiência de um permutador max)(CalordeTrocaMax. RealCalordeTroca q q ideal real =≡ε ( ) ( )efsf C ffpsqeq C qqpreal TTmcTTmcq fq −=−= 876 & 876 & (**) ( ) ( )efeq C mínimop TTmcq −= 48476 & min max ⇒ ( )efeqmínimo TTCq −=max ( )feqemínimoreal TTCq −⋅= ε ε – Pode ser cálculado analiticamente ou determinado por expresões empíricas para comfigurações mais complexas. Nota: A Máxima Troca de Calor possivel seria o fluido com a menor capacidade témica ( • mCp ) baixar da maior temperatura no permutador (Teq) até á menor temperatura do permotador (Tef). Simplificação: qqpq mcC &∗= ffpf mcC &∗=
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 84 © J. Carlos Lopes da Costa Exemplo da Determinação da Expressão de εεεε Permutador de Correntes Paralelas ( ) ( ) ( ) ( )feqe fefsf feqe qsqeq TTC TTC TTC TTC − − = − − = minmin ε Se Cq < Cf ⇒ Cmin = Cq ⇒ feqe qsqe TT TT − − =ε Se Cq > Cf ⇒ Cmin = Cf ⇒ feqe fsfe TT TT − − =ε Voltando à equação (*) – pág.79:         +− = − − ⇒         +−=         − − fq CC UA feqe fsqs fqfeqe fsqs e TT TT CC UA TT TT 11 11 ln Da equação (**) – pág. anterior: ( ) ( )efsffsqeqq TTCTTC −=− ⇒ ( )qsqe f q fefs TT C C TT −+= Se Cmin = Cq: f q f q q C C C C C UA +                 +         −− = 1 1exp1 ε Se Cmin = Cf: q f q f f C C C C C UA +                 +         −− = 1 1exp1 ε ⇒ ( )( )1 exp 1 1 NTU C C ε − − + = + T Tqe q Tfe Tqs Tfs ∆T2 x Tqs TfsTfe Tqe ∆T1 ( ) ( ) q TTTT UA T T efsfsqeq −+− −= ∆ ∆ 1 2 ln Nota: NTU – Número de Unidades de Transferência (de calor. Adoptando: minC UA NTU = min C C C =
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 85 © J. Carlos Lopes da Costa Tipo de Permutador Relações Eficiência εεεε vs. NTU Ver Gráfico Correntes paralelas: um único passe ( )[ ] C CNTU + +−− = 1 1exp1 ε ; ( )[ ] C C NTU + +− = 1 11ln ε Gráfico A Contracorrente: um único passe ( )[ ] ( )[ ]CNTUC CNTU −−− −−− = 1exp1 1exp1 ε ;       − − − = 1 1 ln 1 1 CC NTU ε ε       = − = 1se 1 CNTU ε ε Gráfico B Tubos e carcaça (um passe na carcaça; 2, 4, 6 etc... passes nos tubos) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1exp1 1exp1 12 −           +     +−−     +−+ ++= C CNTU CNTU Cε ; ( ) ( ) ( ) 5.02 15.02 1 1/2 ; 1 1 ln1 C C E E E CNTU + +− =      + − +−= − ε Gráfico C Tubos e carcaça (n passes na carcaça; 2n, 4n, 6n etc... passes nos tubos) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −         −      − −         −      − − = C CC nn n ε ε ε ε ε Tirar ε1 da expressão anterior. Tirar NTU da linha acima, considerando n C F CF F /1 1 1 1 ; 1       − − = − − = ε ε ε Gráfico D para n = 2 Correntes cruzadas (ambos os fluxos não misturados) ( ) ( ) 0.22 0.781 1 exp exp 1NTU C NTU C ε    = − − −     Gráfico E Correntes cruzadas (ambos os fluxos misturados) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] 1 1 exp1exp1 −       − −− + −− = CNTU CNTU NTU NTU NTUε Correntes cruzadas (fluxo Cmín não misturado) ( )[ ][ ]{ }NTUC C −−−−= exp1exp1 1 ε ; ( )      −+−= C C NTU ε1ln 1 1ln Gráfico F (curvas tracejadas) Correntes cruzadas (fluxo Cmax não misturado) ( )( )[ ][ ]       −−      −−= CNTU C exp1 1 exp1ε ; ( )[ ]11lnln 1 +−−= εC C NTU Gráfico F (curvas sólidas) Todos os Permutadores 0 max min ≅= C C C ( )NTU−−= exp1ε
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    PERMUTADORES DE CALOR Versão2014/2015 Gráfico A Gráfico C Gráfico E 86 © J. Carlos Lopes da Costa Gráfico B Gráfico D Gráfico F J. Carlos Lopes da Costa Gráfico B Gráfico D
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 87© J. Carlos Lopes da Costa Radiação Térmica Introdução Neste momento está a ser emitida radiação térmica de toda a matéria que nos rodeia: No interior: mobília, paredes, pessoas,... No exterior: chão, edifícios, atmosfera, sol,... A radiação deve-se à emissão de energia por parte da matéria, embora o seu transporte não requeira a existência de matéria. Todas as formas de matéria emitem radiação. A radiação pode ser vista como a propagação de fotões ou ondas electromagnéticas, sendo: υ λ C = λλλλ - Comprimento de onda C - Velocidade da luz no meio de propagação υ - Frequência Espectro de radiação electromagnética Capítulo 6 Na maior parte dos sólidos e líquidos a radiação emitida é originária de moléculas que estão dentro de uma distância de 1 mm da superfície exposta. Pode ser considerada um fenómeno superficial Nos gases e meios semitransparentes é um fenómeno volumétrico. 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 10 103 104 102 Micro-ondasInfravermelho Micro-ondas Visível U.V. Raios γ Raios x λ [µm] ( ν [Hz] ) .7.4 Como geralmente a velocidade da luz num meio – C - é considerada contante, a cada comprimnto de onda λλλλ corresponde uma frequência υ . Daí que seja quase sempre indiferente falar de conprimento de onda ou frequência de uma dada emissão.
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 88© J. Carlos Lopes da Costa Variação espectral e direccional Dependência Espectral: A radiação térmica emitida por uma superfície inclui diversos comprimentos de onda. A radiação varia com λ (em magnitude) – Dependência Direccional: Certas superfícies emitem preferencialmente em certas direcções, criando uma distribuição direccional. Para quantificar adequadamente a transferência de calor por radiação é necessário tratar os dois efeitos (espectral e direccional). No entanto, uma grande parte das superfícies reais é praticamente Difusa, i. e., o seu comportamento face á radiação não depende da sua direcção. Nesta disciplina apenas iremos abordar situações com superfícies difusas. DIRECCIONAL ESPECTRAL HEMISFÉRICA TOTAL emissão espectral (índice λ para todas as grandezas espectrais) emissão total ≡ área sob a curva  λ Índice’ para as grandezas direccionais [θ,β]) grandeza direccional β
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 89© J. Carlos Lopes da Costa Definições fundamentais Corpo negro e suas leis O Corpo Negro é um conceito ideal, que serve de padrão, em relação ao qual as propriedades radiativas das superfícies reais são comparadas. Por definição, as suas propriedades são: Absorve toda a radiação que nele incide (qualquer λ e direcção - é difuso). A radiação que o Corpo Negro emite depende de λ e T, mas não da direcção (é difuso). Para uma dada T e λ, nenhum corpo pode emitir mais energia que o Corpo Negro. Corpo Cinzento: Semelhante a um corpo negro mas com inferior capacidade de emissão e absorção de radiação (mais próximo de um corpo real) Situação real que mais se aproxima de um corpo negro: Orifício Temperaturas Iguais Corpo Negro Corpo Cinzento
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 90© J. Carlos Lopes da Costa Lei de Planck Distribuição espectral do poder emissivo do Corpo Negro: • Radiação varia continuamente com λ. • Para qualquer λ, a radiação emitida aumenta com a temperatura. • Existe um λ para o qual Ebλ é máximo, que se desloca para λ inferiores quando a temperatura T aumenta. • Os corpos podem praticamente não emitir em todo o espectro; para T< 500°C não é emitida radiação visível (só Infra-Vermelhos) • Lei de Wien: Valor de λ para Ebλ máxima. Ebλ é máximo quando λmax.T= 2897,6 µm.K. Para uma dada temperatura T λ Ebλ       − == 1 ..2 '. .5 1 2 T Cbb e C IE λ λλ λ π π C1 e C2 constantes. λ Ebλ Linha de Ebλλλλ máx. T Ambiente Radiação Visível T T =5800K (Sup. Sol) Nota: E- Poder emissivo. Traduz-se em potência calorífica emitida por unidade de área (W/m2 ). Noutro contexto poderia expressar-se por q ′′ . Ebλλλλ - Poder emissivo de um corpo negro (b – black) para um determinado comp. de onda (λ).
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 91© J. Carlos Lopes da Costa Lei de Stephan-Boltzmann Poder emissivo total do Corpo Negro (integrarção da lei de Planck) ∫ ∞ == 0 4 TdEE bb σλλ σ- constante de Stephan-Boltzmann σ= 5,67 × 10-8 W/(m.K4 ) Propriedades Radiativas das Superfícies Reais Emissividade Nenhuma superfície real pode emitir mais radiação que um Corpo Negro, à mesma temperatura T. A Emissividade - εεεε - traduz a fração de energia emitida por um corpo real (ou de um corpo cinzento) relativamente a um corpo negro (0<εεεε<1). 4 0 0 0 T dE dE dE E E b b b b σ λε λ λε ε λλ λ λλ ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞ === Variação espectral Eλ Corpo Real (T) Corpo Negro (T) λ Corpo Cinzento (T) Nota: Emisividade hemisférica e total (para todas as direcções – hemisférica – e para todas os λ – total)
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 92© J. Carlos Lopes da Costa Nota: Vimos a definição de emissividade hemisférica e total para uma superfície cinzenta e difusa. No entanto, a emissividade pode variar com vários factores: • Direcção • Comprimento de Onda • Temperatura • Natureza do sólido • Estado superficial .2.15.1.050 .4.20 1.8.6 Metais não polidos Metais oxidados Óxidos, cerâmica Carbono, grafites Minerais, vidro Vegetação,água, pele Tintas e acabam. especiais θ εθ n 90°0 45° 1 εθ Não condutor Condutor εn Metais muito polidos Metais Metais polidos ελ,n εn 1 .8 .6 .4 .2 0 0.6 1 2 1 .8 .6 .4 .2 0 .1 0.2 0.4 20 40 1004 6 10 300 700 1100 1500 1900 2300 2700 T (K)λ (µm) tungsténio aço óxido de alumínio aço oxidado óxido de alumínio 1400 K aço oxidado 1200 K aço 800 K tungsténio 1400 K Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 93© J. Carlos Lopes da Costa Coeficientes de Absorção, Reflexão e Transmissão Comportamento de um meio semi-transparente à irradiação: Gtrans Gref Meio semi-transparente G Gabs G = Gref + Gabs + Gtrans G = ρ G + α G + τ G ⇒ α + ρ + τ =1 Tal como a emissividade, todos estes coeficientes (ρ, α e τ ) são função de: • Comprimento de Onda da Radição - λ • Direcção da radiação incidente • Estado superficial • … Iremos mais uma vez lidar com valores hemisfericos e totais. ↑ coef. reflexão ↑ coef. transmissão ↑ coef. absorção Nota: G– Irradiação. É a energia radiante (por unidade de tempo), ou radiação, que incide numa dada superfície por unidade de àrea (W/m2). Noutro contexto poderia expressar-se por q ′′ . As características de absorção e reflexão das superfícies são responsáveis pelas cores dos objectos que nos rodeiam – reflexão selectiva da porção visível da irradiação: um objecto é vermelho porque reflete apenas esses λ, dentro da gama dos λvisiveis.
  • 99.
    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 94© J. Carlos Lopes da Costa Coeficiente de Absorção – αααα O valor hemisférico total é: ∫ ∫ ∞ ∞ == 0 0 λ λα α λ λλ dG dG G Gabs Coeficiente de Reflexão – ρρρρ ∫ ∫ ∞ ∞ == 0 0 λ λρ ρ λ λλ dG dG G Grefl Podemos considerar dois tipos ideais de reflexão: Superfícies rugosas (aprox. válida para a maioria dos casos) Difusa: Especular: intensidade rad.reflect. uniforme rad. refl. Superfícies rugosas (aprox. válida para a maioria dos casos) Superfícies polidas (espelhos) rad. inc. rad. inc. θ1 = θ2 Para superfícies opacas (ττττ = 0): ρ = 1 - α Note-se que a reflexão não altera o(s) comprimentos de onda da irradiação. Coeficiente de Transmissão – ττττ Materiais translúcidos (plásticos, vidros, películas de água) têm τ ≠ 0.
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 95© J. Carlos Lopes da Costa ∫ ∫ ∞ ∞ == 0 0 λ λτ τ λ λλ dG dG G Gtrans ρατ −−= 1 Um material pode ser transparente em certos comprimentos de onda e opacos noutros. Exemplo: Vidro T Baixa => λλλλ Longo T Elevada => λλλλ Curto Vidro opaco à radiação com λλλλ longo Vidro Transparente à radiação com λλλλ curto T Baixa => λλλλ Longo 2 1 1 3 τn λ (µm).4 .7 VisívelEfeito de estufa Infra-Vermelhos
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 96© J. Carlos Lopes da Costa Lei de Kirchhoff - Relação Emissão/Absorção Verifica-se sempre que: Lei de Kirchhoff → α’λ=ε’λ Corpo difuso αλ=ελ Corpo cinzento α’=ε’ Corpo cinzento e difuso αααα = εεεε Muitas das superfícies comuns são (aproximadamente) cinzentas e difusas. Mas nem sempre é assim… Na prática, muitas superfícies têm o objectivo de funcionar com α≠ε. Exemplos: Placa de captação da radiação solar selectiva: A tinta branca tem comportamento oposto: baixo αααα para λ<, e alta εεεε para λ>. 0.1 0.8 λ αλ= ελ 3 µm placa Rad. I.V. (λ > 3 µm) ε = 0.1 E G Rad. solar (λ > 3 µm) α = 0.8Comprtamento da superfície Uma dada Direcção´ Um dado Comp. de Onda λλλλ
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 97© J. Carlos Lopes da Costa Trocas de Energia por Radiação entre Superfícies de um Volume Fechado Até agora ocupámo-nos de processos radiativos em superfícies isoladas. É altura de considerar o que se passa quando há várias superfícies (duas ou +). As trocas por radiação entre superfícies, dependem bastante da geometria e das suas orientações, além das suas propriedades e temperaturas. Hipóteses Simplificativas As superfícies estão separadas por um meio não participante, ou seja, um meio que não interfere (absorvendo ou redirecionando) na energia trocada entre elas. Cada superfície é isotérmica. A energia é reflectida difusamente (reflexão difusa), e a emissão e irradiação são uniformes. As superfícies são opacas, cinzentas e difusas. Regime permanente. O vácuo e muitos gases (ar para volumes pouco extensos) são meios não participantes.. Vol. fechado Superf. j, Aj Tj εj, ρj Superf. k, Ak Tk εk, ρk, αk = εk
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 98© J. Carlos Lopes da Costa q ′′ q ′′ GJ qGJ ′′=− G Gα Gρ E J Radiosidade Emit. + Reflect. k RadiosidadeRadiosidade G - irradiação – fluxo de energia que chega à superfície. J - radiosidade – fluxo de energia que sai da superfície. 321321 reflectidoemitido 4 kkkkk GTJ ρσε += A energia incidente em k, kq ′′ , é devida à radiosidade das superfícies j, parte da qual chega a k. kjF − é a fracção da radiação saída de j que chega a k, chamada Factor de forma entre as 2 superfícies. Assim: ∑= −= n j kjjjkk FAJGA 1 para n superfícies. do volume fechado Assim: ∑= −+= n j kj k j jkkkk F A A JTJ 1 4 ρσε Como calcular kjF − ? j2 ...j1 k kG kJ kjjj FAJ − jj AJ j k Note-se que o somatório pode incluir a própria superfície k se esta enviar radiação para si própria (superfície côncava)
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 99© J. Carlos Lopes da Costa Cálculo do Factor de Forma O factor de forma é puramente geométrico (só depende da geometria e posição relativa das superfícies) • Superfícies elementares: } { ' 'cos.cos ' 'cos cos 2 0 0 ' ' 0 dA RdAi d R Ad dAi dq dq dF e refliemi dA dAdA dAdA π ββ π ω β β =       ′ ′ == + − − 48476 • 1 superfície elementar e 1 finita: ' 'cos.cos ' 2' dA R dF A AdA ∫=− π ββ • 2 superfícies finitas: dAdA R F A A AA ' 'cos.cos ' 2' ∫ ∫=− π ββ nA β NA’ β’ dA’ R dA dA’ dA dω A’ dA β, R e β’ variáveis A’ A R, β’ e β variáveis
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 100© J. Carlos Lopes da Costa Factores de forma – geometrias elementares Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 101© J. Carlos Lopes da Costa Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 102© J. Carlos Lopes da Costa Fonte: Incropera, F.P. e D.P. DeWitt: Fundamentos da Transferência de Calor e de Massa; 4ª Edição, Livros Técnicos e Científicos Editora, 1998.
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 103© J. Carlos Lopes da Costa Relação de Reciprocidade Considere-se 2 corpos negros, em equilíbrio térmico (mesma T). Energia que 1 envia para 2: 211 4 21 −− = FATq σ Energia que 2 envia para 1: 122 4 12 −− = FATq σ Em equilíbrio 1221 −− = qq (se não T alterava-se): → 122211 −− = FAFA Relação de Reciprocidade ou 21 2 1 12 −− = F A A F Balanços Energéticos 3121)32(1 −−+− += FFF Para um volume fechado constituído por n superfícies: ∑= − = n j jF 1 1 1 Método das Diagonais de Hottel È aplicável a 2 superfícies em que uma dimensão é infinita. 2 ____________ 211       −−      + =− BDACBCAD FA As relações vistas atrás, justamente com o conhecimento de factores de forma para geometrias simples, permitem determinar jiF− na maior parte dos casos. Como os factores de forma são meramente geométricos, esta relação mantém-se mesmo noutras condições (corpos não negros, temperaturas diferentes). 1 3 2 C A B D2 1
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 104© J. Carlos Lopes da Costa Nos outros há que fazer a integração... (tabelas, apontamentos,...) Voltado á Equação da Radiosidade: ∑= − − += n j F kj k j jkkkk jk F A A JTJ 1 4 43421 ρσε Pode ser simplificada com a relação de reciprocidade ∑= −+= n j jkjkkkk FJTJ 1 4 ρσε Como: kk ερ −=1 : ∑= −−+= n j jkjkkkk FJTJ 1 4 )1( εσε j1 k j2 kJ j3 Nota 1: Relação de Reciprocidade: 21 2 1 12 −− = F A A F Nota 2: Superfícies opacas 10 =+⇒= kkk ρατ kk αρ −=⇒ 1 Superfícies cinzentas e difusas kkkk ερεα −=⇒= 1
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 105© J. Carlos Lopes da Costa Para um volume fechado com n superfícies, o problema pode ser resolvido com um sistema de 2n equações. Há a considerar dois tipos de problemas (em cada superfície): - Sabe-se Tk; pretende-se kq - Sabe-se kq ; pretende-se Tk • Exemplo de Cálculo: A superfície 1 perde um fluxo constante 1q (nas trocas com o volume fechado) e as restantes estão a T2, T3 e T4. Pretende-se calcular T1 e a potência calorífica recebida por 2, 3 e 4. Cálculo das radiosidades: 1 1 4143132121 1 )4( A q FJFJFJJ G +++= −−− 4444 34444 21 [ ]4444 34444 21 2 4243231212 4 222 G FJFJFJTJ −−− +++= ρσε [ ]444444 3444444 21 3 4343332321313 4 333 G FJFJFJFJTJ −−−− ++++= ρσε ( )0:Nota 33 ≠−F [ ]3432421414 4 444 −−− +++= FJFJFJTJ ρσε Depois de resolvido o sistema, ficam encontradas as radiosidades iJ . T1 é calculada pela equação radiosidade de 1. 432 e, qqq são calculados pelas equações de balanço de 2,3 e 4. Para cada uma superfície há 1 equação de radiosidade e 1 de balanço. A B CD 3 24 11q Equação de Balanço na superfície 1. Equação da Radiosidade na superfície 2. Equação da Radiosidade na superfície 3. Equação da Radiosidade na superfície 4.
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 106© J. Carlos Lopes da Costa Volume Fechado com duas Superfícies Caso particular e mais simples das trocas entre n superfícies. Havendo só 2 superfícies: 2121 −=+=− qqq A resolução das equações de radiosidades e balanços, sabendo T1e T2, conduz a: ( )       −++− − = − − 1 11 1 1 22 1 211 4 2 4 11 21 εε σ A A F TTA q Exemplos: - Planos paralelos e infinitos: ( ) 1 11 21 4 2 4 1 21 −+ − =− εε σ TTA q - Objecto pequeno rodeado por superfície muito maior: ( )4 2 4 11121 TTAq −=− εσ 2 21−q 1 1q 2q Muitos casos, na prática, se podem reduzir a 2 superfícies. 1 2 A1 = A2; F1-2 = 1 1;0 21 2 1 =≈ −F A A 2 1
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 107© J. Carlos Lopes da Costa Analogia Reo-eléctrica para Radiação Térmica Tal como foi definido anteriormente, a resistência térmica é tal que: R T q ∆ = T1 q T2 ∆T R Se aplicarmos esta definição ao caso de trocas por radiação entre 2 superfícies de 1 volume fechado: Com, ( )       −++− − = − − 1 11 1 1 22 1 211 4 2 4 11 21 εε σ A A F TTA q Vem: ( )( )21 2 2 1 11 22 1 211 21 21 1 11 1 1 TTTTA A A F q TT Rrad ++       −++− = − = − − σ εε (desenvolvendo o termo ( )4 2 4 1 TT − ). Embora por vezes usada, esta definição de resistência de radiação tem um inconveniente: Rrad = f (T1, T2) …o que não acontece com as resistências de condução e convecção ( kA e e hA 1 , respectivamente). É possível uma definição diferente de resistência de radiação. A equação de balanço para uma superfície k: A primeira tentativa de definição de resistência térmica de radiação é, logicamente, baseada em tal definição: Circuitos com temperaturas nos nós (superfícies).
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 108© J. Carlos Lopes da Costa ( )4 1 kk k kk k TJ A q σ ε ε − − = pode escrever-se como kk k kk k A TJ q ε ε σ − − = 1 4 kk k A R ε ε− = 1 - Resistência radiativa da superfície k. Se kq for positivo a superfície recebe radiação. Para determinar a radiosidade, kJ , que constitui um dos nós: ({ ){ k n J jkj n J jk JF k JF kkk JGAq ∑ − ∑ = = − = − 00 ( ) ∑∑ = − = − − =−= n j jkk kj n j kjjkkk FA JJ JJFAJ 11 1 jkk FA R − = 1 - Resistência espacial ou geométrica. Igualando as expressões de balanço: ∑= − − = − − n j jkk kj kk k kk FA JJ A TJ 1 4 11 ε ε σ = R R’s espaciaisR superficial potencial kk k A ε ε−1 4 kTσ kJ kq A radiosidade depende das trocas de radiação com outras superfícies. = R potencial
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 109© J. Carlos Lopes da Costa Volume Fechado com Várias Superfícies Vantagem desta metodologia: o facto das resistências não dependerem das Temperaturas. Desvantagem desta metodologia: contém nos nós radiosidades em vez de temperaturas, o que torna impossível a sua utilização em esquemas em que estejam presentes outros modos de transporte – condução e convecção – (em que há Temperaturas nos nós). kq −2 4 kTσ kJ 1J nJ 2J knq − kq −1 kq Nó que corresponde á superfície k
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 110© J. Carlos Lopes da Costa 2 1 3 3 Exemplo de Aplicação – Analogia Reo-Eléctrica Forno em que 1 é a superfície aquecedora e se encontra à temperatura T1e 3 (paredes laterais) é uma superfície muito bem isolada. Calcular o fluxo recebido pela superfície 2, )( 12 qq = . 322311 323121 211 322311211 1 11 1 1 11 −− −− − −−− + + =⇒ + += FAFA FFAA FA R FAFAFA R eq eq ( ) 11 1 322311 323121 211 22 2 4 2 4 1 2 1 11 ε εε ε σ AFAFA FFAA FAA TT q − + + + + − − = −− −− − 1q 4 1Tσ 311 1 −FA 4 33 TJ σ= (Sup. Re-radiante) 322 1 −FA 11 11 ε ε A − 22 21 ε ε A − 4 2Tσ 2q 2J 1J 211 1 −FA Isolamento 03 =q
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 111© J. Carlos Lopes da Costa Superfícies Re-Radiantes São superfícies muito bem isoladas, podendo ser consideradas adiabáticas, do lado exterior de um volume fechado em que se troca radiação: 0ou0 ≈=q Recorrendo à equação geral de balanço: [ ] 0 1 4 =− − = kk k kk k TJ A q σ ε ε vê-se que sendo o balanço nulo, terá de ser: 4 kk TJ σ= Ou seja, embora não sendo, a sua radiosidade é igual à de um corpo negro. Num volume fechado, a temperatura de equilíbrio de uma superfície re-radiante é determinada pela sua interacção com as outras superfícies, e é independente da sua emissividade. Exemplos de superfícies re-radiantes: As paralelas laterais de um forno (se devidamente isoladas). Em muitas aplicações práticas, algumas superfícies podem ser consideradas bem isoladas, e portanto, re- radiantes. Resistência
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    RADIAÇÃO Versão 2014/2015 112© J. Carlos Lopes da Costa Escudos de radiação São construídos com materiais de baixa emissividade ≡ alto coeficiente de reflexão, e usados para diminuir o balanço radiativo entre 2 superfícies. O material mais usado é a folha de alumínio. • Exemplos: Sem escudo: Com escudo: O uso de escudos em sensores de temperatura para medição de temperatura em gases, permite obter maior precisão na medida (minimizando o efeito da radiação para paredes). 2 T = 260°C ε = 0,8 1 T = 815ºC ε = 0,6 2 m kW 21 5,39=′′−q 2 T = 260°C ε = 0,8 1 T = 815ºC ε = 0,6 2 m kW 21 7=′′−q ε = 0,2 termopar Ar Tar Tar > Tp Tp Tt Escudo Nota: Superfícies Opacas, Cinzentas e Difusas: τ = 0 =>α + ρ = 1 e ε = α Se ε baixo =>ρ elevado
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    Versão 2014/2015 113© J. Carlos Lopes da Costa