112008 08-23-19-16-23

Curso Matemática Para Concursos II – Módulo II
1
MATEMÁTICA PARA CONCURSOS II
Fonte: http://www.migmeg.com.br/
MÓDULO II
Estudaremos neste módulo geometria espacial e volume dos
principais sólidos geométricos. Mas antes de começar a aula, segue
uma dica interessante de um link sobre a História da Geometria
Espacial:
http://calculomatematico.vilabol.uol.com.br/geoespacial.htm .
UM BOM ESTUDO PARA TODOS NÓS...
___________________________________________________________
LEMBRETE: Todos os módulos do curso são revisados pela equipe www.somaticaeducar.com.br ,
quaisquer divergência com sinais, números, símbolos, soluções dos exercícios, problemas de digitação
ou outros problemas, a www.somaticaeducar.com.br deverá ser comunicada imediatamente para que
sejam resolvidos tais problemas.

2
GEOMETRIA ESPACIAL E VOLUME DOS PRINCIPAIS
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
PRISMAS: são poliedros convexos que têm duas faces paralelas e
congruentes (chamadas bases) e as demais faces em forma de
paralelogramos (chamadas faces laterais).
Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo
Bases são regiões
poligonais congruentes
A altura é a distância
entre as bases
Arestas laterais são
paralelas com as
mesmas medidas
Faces laterais são
paralelogramos
Objeto Prisma reto Prisma oblíquo
Arestas laterais têm a mesma medida têm a mesma medida
Arestas laterais são perpendiculares
ao plano da base
são oblíquas
ao plano da base
Faces laterais são retangulares não são retangulares

3
Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:
triangular quadrada pentagonal hexágonal
Área da Superfície de um Prisma
- Superfície lateral: formada pelas faces laterais
- Área lateral: área da superfície lateral (Sl)
- Superfície Total: é formada pelas bases e pelas faces laterais
- Área total é a área da superfície total (St)
Exemplos: Dado um prisma reto de base hexagonal (hexágono regular),
cuja altura é h = 3m e cujo raio do círculo que circunscreve a base é R =
2m, calcular a área total desse prisma.

4
Prisma Planificado
- Cálculo da base (Sb)
A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em seis
triângulos eqüiláteros, de lado igual ao raio da circunferência.
Striângulo =
2 3 4 3
a = = 3
m2
4 4
Sb = 6× Striângulo = 6× 3 m2

5
- Cálculo da área lateral (Sl)
Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos.
Sretângulo = 2 3 m2
Como temos 6 retângulos, vem:
Sl = 6×Sretângulo
Sl = 6× 2 3
Sl = 12 3 m2
- Cálculo da área total (St)
St = Sl+2Sb
St = 12 3 + 2× 6 3
St = 24 3 m2
Fazendo 3 ≃ 1,7, temos:
St = 24× 1,7 = 40,8m2
Resposta: A área total do prisma é de 40,8m2 .

6
Considerações:
Um paliteiro e uma barra de sabão são exemplos de objetos de uso
comum de forma prismática;
- Se todas as faces são quadrados, o prisma é um cubo;
- Se todas as faces são paralelogramos, o prisma é um paralelepípedo.
Em qualquer paralelepípedo as faces são paralelas duas a duas.
Num prisma temos os seguintes elementos:
- bases (polígonos)
- faces (paralelogramos)
- arestas das bases (lados das bases)
- arestas laterais (lados das faces que não pertencem às bases)
- vértices (pontos de encontro das arestas)
- altura (distância entre os planos das bases).

7
Volume de um prisma
Sendo B-
a área da base e h-
a medida da altura de um prisma, o volume
V-
desse prisma é dado por:
Seja você também a diferença,
mas não deixe de sonhar nunca,
mostre para as outras pessoas que você é especial,
e verá no futuro, muitos iguais a você
fazendo um volume de exemplos para o mundo.
Seja a diferença nesta vida!
Fonte: http://paginas.terra.com.br/arte/sonhosepoemas/reflexao/c_reflexao.htm

8
Fonte: http://paginas.terra.com.br/arte/sonhosepoemas/reflexao/cartao215.htm
Exercícios:
1) Um calendário de madeira tem a forma e as dimensões da figura
abaixo. Quantos cm2 de madeira foram usados para fazer o
calendário? (use: 3 ≃ 1,7)

9
Sb =
2 3
4
a
r = 6cm h = 12cm
Sb =
62 3
4
Sb = 9 3 cm2
Sretângulo = b× h
Sretângulo = 6× 12
Sretângulo = 72cm2
Como temos 3 retângulos
Sl = 3×Sretângulo
Sl = 3× 72
Sl = 216cm2
St = Sl + 2Sb
St = 216+2× 9 3
St = 216+18 3
St = 216+30,6
St = 246,6cm2 de madeira.
2) Calcular o volume de um prisma triangular no qual a resta da base
mede 4cm e a altura mede 10 3 cm.
Resolução:
- Cálculo da área da base
A base é um triângulo eqüilátero de lado a = 4cm; logo:

10
B =
2 3
4
a
B =
16 3
4
B = 4 3 cm2
- Cálculo do volume
V = B× h
V = ( 4 3 cm2 ) × (10 3 cm)
V = 120cm3
Resposta: O volume do prisma é de 120cm3 .
3) Um prisma pentagonal regular tem 20cm de altura. A aresta da base
do prisma mede 4cm. Determine a sua área lateral.
Resolução:
Sretângulo = b× h
Sretângulo = 20× 4
Sretângulo = 80cm2
Como o prisma é pentagonal (5 lados)
Sl = 5×Sretângulo
Sl = 5× 80
Sl = 400cm2

11
Resposta: A área lateral do prisma pentagonal é de 400cm2 .
4) Um fabricante de embalagens de papelão quer construir uma caixa em
forma de prisma hexagonal regular. Sabendo que a altura da caixa é
de 20cm e que o lado do polígono da base mede 16cm. Calcule a área
do papelão necessária para se construir essa embalagem. Admita que
se utilize 25% a mais de material do que o estritamente calculado para
que seja possível fazer colagens necessárias à confecção da caixa
(use: 1,73).
Resolução:
Prisma hexagonal regular
h = 20cm
a = 16cm
- Cálculo da área da base (Sb)
A base é um hexágono regular que pode ser decomposto em 6 triângulos
eqüiláteros cujos lados medem 16cm.
Striângulo =
2 3
4
a
S =
162 3
4
S = 110,72cm2

12
Logo, Sb = 6× Striângulo
Sb = 6× 110,72
Sb = 664,32cm2
- Cálculo da área lateral (Sl)
Num prisma regular, sabemos que as faces laterais são retângulos.
Sretângulo = b× h
S = 16× 20
S = 320cm2 ® é a superfície de um triângulo, como é hexagonal
Sl = 6×Sretângulo
Sl = 6× 320
Sl = 1920cm2
- Cálculo da área total (St)
St = Sl+2Sb
St = 1920+2× 664,32
St = 3248,64cm2
Devemos usar, conforme o enunciado do problema, 25% a mais de
papelão do que o calculado:
área = St+25% ×St
área = 1St+0,25St
área = 1,25 ×St
área = 1,25× 3248,64
área = 4060,8cm2

13
Resposta: A área do papelão para fabricar uma caixa é igual a
4060,8cm2 .
Paralelepípedo Retângulo e Cubo
- Paralelepípedo Retângulo
O paralelepípedo retângulo tem as seis faces retangulares e são inúmeros
os objetos que têm sua forma: um tijolo, uma caixa de sapatos, uma caixa
de fósforos, um livro...
Seja o paralelepípedo retângulo de dimensões a, b e c da figura:
Temos quatro arestas de medida a, quatro arestas de medida b e quatro
arestas de medida c; as arestas indicadas pela mesma letra são
paralelas.

14
db = diagonal base
dp = diagonal paralelepípedo
Diagonal = d = a2 + b2 + c2
Área Total = St = 2(ab + ac + bc)
Volume = V = a× b× c
Usando:
a = comprimento
b = largura
c = altura
Exercícios
1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de
dimensões 5cm, 4cm e 3cm.
Resolução:
d = a2 + b2 + c2
d = 52 + 42 + 32
d = 25 +16 + 9
d = 50
d = 5 2 cm

15
Resposta: A medida da diagonal é 5 2 cm.
2) Deseja-se cimentar um quintal retangular com 10m de largura e 14m
de comprimento. O revestimento será feito com uma mistura de areia e
cimento de 3cm de espessura. Qual é o volume da mistura utilizado
nesse revestimento?
Resolução:
V = a× b× c
V = 14× 10× 0,03
V = 4,20m3
Resposta: O volume da mistura é de 4,20m3 .
- Cubo
O cubo tem as seis faces quadrados e um objeto típico é o dado.

16
dc = diagonal cubo
db = diagonal base
Diagonal = d = a 3
Área total = St = 6× a 2
Volume = V = a3
Exercícios
1) Calcular a medida da diagonal de um cubo de aresta 5cm:
d = a 3
d = 5 3 cm
2) Qual é o volume de um cubo de 5cm de aresta?
V = a3
V = 5 3
V = 125cm3
3) Num cubo de aresta 10cm, qual é a área total?
St = 6× a 2
St = 6× 10 2
St = 600cm2

17
Cilindro
Cilindro reto ou de revolução é o sólido obtido quando giramos, em
torno de uma reta, uma região retangular.
Um exemplo típico é o brinquedo chamado reco-reco.
Área da base (Sb) ® é a área do círculo de raio r-
Sb = p × r2
Área lateral (Sl) ® Sl = 2p rh
Área total (St) ® St = 2p r(h + r)
Volume (V) ® o volume do cilindro é igual a área da base multiplicado
pela altura.
V = Sb× h ou V = p r2 h

18
Exercícios
1) Calcular a área lateral e a área total de um cilindro circular reto, cujo
raio da base mede 6cm e a altura mede 5cm.
Solução:
Sl = ? Sb = p r2 Sl = 2p r h St = Sl+2Sb
St = ? Sb = p × 6 2 Sl = 2p 6× 5 St = 132p cm2
r = 6cm Sb = 36p cm2 Sl = 60p cm2
h = 5cm
2) Calcular o volume de um cilindro reto de raio 5cm e altura 9cm.
Solução:
r = 5cm V = p r2 h
h = 9cm V = p × 5 2 × 9
V = 225p cm3
3) Uma lata de cerveja tem a forma cilíndrica, com 8cm de diâmetro e
15cm de altura. Quantos cm3 de cerveja cabem nessa lata?
Solução:
d = 8cm
h = 15cm

19
V = ?
d = 2 r
2 r = d
r =
d
2
r =
8
2
r = 4cm
V = p r2 h
V = p × 4 2 × 15
V = 240p cm3
p ≃ 3,14
240× 3,14 = 753,6cm3
Cabem 753,6cm3 de cerveja nesta lata ou 753,6 ml ou 0,7536 litros.
Cone
g = 2R g = geratriz
Sb = p R2

20
Sl = p Rg
µ =
3600
8
R
µ = ângulo do setor
St = Sl+Sb ou St = p R(g+R)
V =
Sb× h
3
g2 = h2 + r2
Piadas Curtas!
Se você está se sentindo sozinho, abandonado, achando que ninguém liga
para você... “Atrase um pagamento..."
“Um eletricista vai até a UTI de um hospital, olha para os pacientes ligados a
diversos tipos de aparelhos e diz-lhes: Respirem fundo: vou trocar o fusível.”
“Dois amigos conversam sobre as maravilhas do Oriente. Um deles diz:
Quando completei 25 anos de casado, levei minha mulher ao Japão. Não diga?
E o que pensa fazer quando completarem 50? Volto lá para buscá-la.”
Fonte: http://www.piadasengracadas.com.pt

21
Exercícios
1) O raio da base de um cone eqüilátero mede 5cm. Calcule a medida g
da geratriz e a medida h da altura.
r = 5cm 2 g = h2 + r2
g = ? 10 2 = h2 +5 2
h = ? h2 +25 = 100
h2 =100-25
g = 2r h2 = 75
g = 2× 5 h = 75
g = 10cm h = 5 3 cm
2) O tanque cônico indicado na figura tem 8m de profundidade e seu topo
circular tem 6m de diâmetro. Calcular o volume máximo que esse
tanque pode conter água:
r =
d
2
6
2
r =
r = 3m

22
V =
p r h
2
3
V =
p × ×
32 8
3
V =
p × ×
9 8
3
V =
p
72
3
V = 24p m3 ou 24× 3,14 = 75,36m3 ou 75360 litros.
Esfera
S = 4p R2

23
V =
4
3
p R3
R2 = r2 + d 2
Exercícios
1) O volume de uma esfera é
p cm3 , então seu diâmetro é:
6
Solução:
V =
p R
4 3
3
p =
6
p R
4 3
3
3p = 24p R3
24p R3 = 3p
R3 =
p
p
3
24
R3 =
1
8
3 3 3 1 R = 8
3
1
8
R =
1
2
R =
d = 2R

24
d = 2× 1
2
d = 1
Resposta: O diâmetro é de 1cm.
2) Calcular a área de uma superfície esférica de raio 6cm.
Solução:
r = 6cm
S = ?
S = 4p r2
S = 4p × 6 2
S = 36× 4p
S = 144p cm2 é a área da superfície esférica.
Pirâmide

25
Classificação
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide com
o centro do polígono da base.
Toda pirâmide reta, cujo polígono da base é regular, recebe o nome de
pirâmide regular. Ela pode ser triangular, quadrangular, pentagonal etc.,
conforme sua base seja, respectivamente, um triângulo, um quadrilátero,
um pentágono etc.
Veja:

26
Exercícios
1) Em uma pirâmide quadrangular regular, a aresta da base mede 8cm.
Sabendo-se que a altura da pirâmide é de 3cm, calcular a área lateral
e a área total dessa pirâmide:
Solução:
a = 8cm
h = 3cm
Como a base é um quadrado (pirâmide quadrangular regular), temos:
m =
a
2
m =
8
2
m = 4cm m = apótema da base
Cálculo do apótema da pirâmide (g)
Como o DVOM é retângulo, aplicando Pitágoras, temos:
g2 = h2 + m2
g2 = 3 2 +4 2
g2 = 9+16
g = 5cm

27
Cálculo da área lateral (Sl)
S face =
a × g
2
S face =
×
8 5
2
S face =
40
2
S face = 20cm2
Sl = 4×S face
Sl = 4× 20
Sl = 80cm2
Sb = a 2
Sb = 8 2
Sb = 64cm2
Cálculo da área total (St)
St = Sb+Sl
St = 64+80
St = 144cm2
Área lateral = 80cm2
Área total = 144cm2

28
2) A base de uma pirâmide é um quadrado de aresta 3cm. Sabendo que
a altura da pirâmide mede 10cm, calcular o volume dessa pirâmide
Solução:
a = 3cm Sb = a 2
h = 10cm Sb = 3 2
V = ? Sb = 9cm2
V =
1
3
Sb× h
V =
1
3
× 9× 10
V =
90
3
V = 30cm3
O volume da pirâmide é de 30cm3 .

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