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Capitulo5 cisalhamento
- 1. CAPÍTULO 5: CISALHAMENTO Prof. Romel Dias Vanderlei Universidade Estadual de Maringá Centro de Tecnologia Departamento de Engenharia Civil Curso de Engenharia Civil Prof.RomelDiasVanderlei 5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão Hipóteses Básicas: a) As tensões de cisalhamento τ são admitidas paralelas à força de cisalhamento V, portanto paralela a “y’’. b) As tensões τ não variam ao longo da largura da seção, e sim na altura. c) As tensões normais σ não ficam afetadas pelas deformações provocadas pelas tensões de cisalhamento. < 4 1 h b
- 2. Prof.RomelDiasVanderlei 5.1 Tensões de Cisalhamento em Vigas sob Flexão Analisando o elemento, vemos que existem tensões de cisalhamento horizontais agindo entre as camadas horizontais. Para y = ±h/2, então τ =0, pois não existem forças de cisalhamento na superfície da barra. Prof.RomelDiasVanderlei 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga É mais fácil determinar as tensões de cisalhamento horizontais agindo entre camadas da viga.
- 3. Prof.RomelDiasVanderlei 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga Modelo de cálculo: zI yM ⋅ −=1σ ( ) zI ydMM ⋅+ −=2σ Prof.RomelDiasVanderlei 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga A face superior da barra está livre de tensões de cisalhamento. A face de baixo é submetida a tensões de cisalhamento τ.
- 4. Prof.RomelDiasVanderlei 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga Analisando o equilíbrio na direção x do elemento mp m1p1, vemos que como σ1 ≠ σ2 , é necessário a tensão τ para equilibrar. As tensões verticais nos planos mp e m1p1 não estão sendo consideradas, pois iremos analisar apenas o equilíbrio na direção x. Diagrama de corpo livre do elemento mp m1p1: dA I yM dAF z ⋅ ⋅ =⋅= ∫∫ 11 σ ( ) dA I ydMM dAF z ⋅ ⋅+ =⋅= ∫∫ 22 σ onde y varia de y1 até h/2. Prof.RomelDiasVanderlei 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga Fazendo o equilíbrio do elemento na direção x: 123231 0 FFFFFF −=∴=−+ ∫ ⋅⋅= dAy I dM F z 3 ( ) dA I ydM dA I yM dA I ydMM F zzz ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ −⋅ ⋅+ = ∫∫∫3
- 5. Prof.RomelDiasVanderlei 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga F3 também pode ser vista em função da tensão τ: F3 = τ . b . dx , onde (b . dx) é a área da parte inferior do elemento. Logo: ∫∫ ⋅⋅ ⋅ ⋅=⇒⋅⋅=⋅⋅ dAy Ibdx dM dAy I dM dxb zz 1 ττ neutra.linhaarelaçãoem sombreadaáreadaEstáticoMomento tocisalhamendeforça:onde →=⋅ →= ∫ sMdAy V dx dM Prof.RomelDiasVanderlei Com essa notação temos: 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga toCisalhamendeFórmula→ ⋅ ⋅ = z s Ib MV τ Observações: V, b e Iz são constantes em uma seção. Ms varia com a distância y1. Na fórmula de cisalhamento tratamos todos os elementos como valores positivos, pois sabemos que a tensão τ atua na mesma direção da força de cisalhamento V.
- 6. Prof.RomelDiasVanderlei 5.2.1 Distribuição das Tensões de Cisalhamento na Seção Retangular ( ) 22 22 1 11 2 h y h y h y s y bdybydAyM ⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫ −⋅= −⋅= 2 1 22 1 2 4228 y hbyh bMs −⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 1 2 42 y hb Ib V Ib MV zz s τ −⋅ ⋅ = 2 1 2 42 y h I V z τ Prof.RomelDiasVanderlei 5.2.1 Distribuição das Tensões de Cisalhamento na Seção Retangular Variação quadrática com a distância y1. −⋅ ⋅ = 2 1 2 42 y h I V z τ A V I hV y z máx ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =→= 2 3 8 0para 2 1 τ 0 2 para 1 =→= τ h y
- 7. Prof.RomelDiasVanderlei 5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular Não podemos assumir que as tensões de cisalhamento agem paralelamente ao eixo y. Em um ponto m na superfície, a tensão deve agir de forma tangente. As tensões de cisalhamento na Linha Neutra, onde as tensões são máximas, podem ser assumidas como: paralelas a y e intensidade constante ao longo da largura. Prof.RomelDiasVanderlei 5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular Logo, na Linha Neutra podemos usar a fórmula de cisalhamento: z s máx Ib MV ⋅ ⋅ =τ Onde: 4 4 r Iz ⋅ = π 3 2 3 4 2 32 rrr yAMs ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅= π π rb ⋅= 2 2 3 4 3 4 3 24 2 r Vr rr V máx ⋅⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ππ τ A V máx ⋅ ⋅ = 3 4 τ
- 8. Prof.RomelDiasVanderlei 5.2.2 Tensões de Cisalhamento na Seção Circular Para seção circular vazada: ( )4 1 4 2 4 rrIz −⋅= π ( )3 1 3 2 3 2 rrMs −⋅= ( )122 rrb −⋅= + +⋅+ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 1 2 2 2 112 2 2 3 4 rr rrrr A V Ib MV z s máxτ Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 1: De acordo com a viga de madeira mostrada, determine o máximo valor para P se a tensão admissível na flexão é σadm = 11MPa (para tração e compressão) e a tensão admissível para cisalhamento horizontal é τadm = 1,2MPa. Desconsidere o peso próprio. 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga P 0,5m 0,5m P 100mm 150mm
- 9. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 1 a) Diagrama de Esforços Internos: A C D B P PD.E.C. A C D B 0,5P D.M.F. Cisalhamento trecho AC e DB Flexão Máxima trecho CD Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 1 b) Características geométricas: 2 22 3 375 6 1510 6 2 cm hb h I W = × = ⋅ == 2 1501510 cmhbA =×=×= WM W M admmáxadm máx máx ⋅=⇒≤= σσσ 3 2 2 3 adm máxadm máx máx A V A V τ ττ ⋅⋅ =⇒≤ ⋅ ⋅ = c) Carga Máxima:
- 10. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 1 5,0 103751011 5,0 66 − ⋅×⋅ = ⋅ = W P adm flexão σ KNPflexão 25,8= 3 102,1101502 3 2 64 . ⋅×⋅× = ⋅⋅ = − adm cisalh A P τ KNPcisalh 12= Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 2: Dimensionar uma seção circular para a estrutura mostrada abaixo, de modo que não sejam ultrapassadas as seguintes tensões: 7..;70).( == SCMPaTRuptσ 8..;56).( == SCMPaCRuptσ MPaadm 2,1=τ B 40kN/m A 4m2m 30kN 5.2 Fórmula de Cisalhamento em uma Viga
- 11. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 2 a) Tensões admissíveis: MPa SC TRupt Tadm 10 7 70 .. ).( )( === σ σ MPa SC CRupt Cadm 7 8 56 .. ).( )( === σ σ kNRVA 125= kNRVB 65= D.E.C. A C B 30 65 95 b) Seções críticas: Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 2 Trecho :AC ( )xV −⋅+−= 64065 mxxV 375,4040175 =⇒=⋅−= mKNM A .60230 −=×−= ( ) ( ) mKNMC .81,52 2 375,46 40375,4665 2 = − ×−−×= Seções críticas: A e C
- 12. Prof.RomelDiasVanderlei c) Tensões Normais Máximas: Seção A: )(Cadm z A I rM σ≤ ⋅ ⇒⋅≤ ⋅ ×⋅ 6 4 3 107 4 1060 r r π mr 222,0≥ Exemplo 2 rCC 21 == z A I rM ⋅ == 21 σσ Como σ1 = σ2 , verificar para menor σadm: Prof.RomelDiasVanderlei d) Tensão de Cisalhamento Máxima: adm máx máx A V ττ ≤ ⋅ ⋅ = 3 4 mr 183,0≥ 6 2 3 102,1 3 10954 ⋅≤ ⋅× ⋅× rπ ⇒≥ mr 22,0 cmr 23= Exemplo 2 Logo,
- 13. Prof.RomelDiasVanderlei As tensões de cisalhamento nos flanges da viga atuam em ambas as direções, verticais e horizontais. 5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange Alma Mesa ou Flange Mesa ou Flange Prof.RomelDiasVanderlei 5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange As tensões de cisalhamento na alma de viga de flange largo são verticais e são maiores que as tensões nos flanges. Devido a complexidade da distribuição das tensões de cisalhamento no flange, iremos considerar apenas as tensões agindo na alma da viga.
- 14. Prof.RomelDiasVanderlei 5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma Vamos determinar a tensão de cisalhamento na linha ef. z s Ib MV ⋅ ⋅ =τ onde b = t e Ms é da área sombreada Prof.RomelDiasVanderlei 5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma Momento Estático da área sombreada. −⋅= 22 1 1 hh bA 2 22 2 1 1 1 hh h y − += −⋅= 1 1 2 2 y h tA 2 2 1 1 12 y h yy − += ( ) ( )2 1 2 1 2 1 2 2211 4 88 yh t hh b yAyAM s ⋅−⋅+−⋅=⋅+⋅=
- 15. Prof.RomelDiasVanderlei 5.3.1 Tensão de Cisalhamento na Alma Logo: ( ) ( )[ ]2 1 2 1 2 1 2 4 8 yhthhb It V It MV zz s ⋅−⋅+−⋅⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅ =τ ( ) ( )3 1 3 1 3 3 1 3 12 1 1212 hthbhb htbhb Iz ⋅+⋅−⋅⋅= ⋅− − ⋅ =onde: Prof.RomelDiasVanderlei 5.3.2 Tensões de Cisalhamento Máximas e Mínimas τmáx ocorre na Linha Neutra, y1 = 0. τmín ocorre no encontro alma-flange, y1 = ±h1/2. Logo: [ ] [ ]2 1 2 2 1 2 1 2 8 8 hh It V hthbhb It V z mín z máx −⋅ ⋅⋅ = ⋅+⋅−⋅⋅ ⋅⋅ = τ τ
- 16. Prof.RomelDiasVanderlei 5.3.3 Força de Cisalhamento na Alma A alma resiste a maior parte da força de cisalhamento e os flanges são superponíveis por uma pequena parcela. ( )mínmáxalma ht V ττ +⋅⋅ ⋅ = 2 3 1 Prof.RomelDiasVanderlei 5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange Exemplo 3: Considere a viga em balanço com seção transversal em T. Pede-se para determinar a tensão de cisalhamento máxima, e a tensão de cisalhamento a 3 cm da borda superior da viga, na seção de engastamento. 50kN 2m 25cm 5cm 5cm 45cm
- 17. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 3 a) Centróide e Momento de Inércia: cm A Ay y 57,18 1 11 = ⋅ = ∑ ∑ ( ) 42 ' 4,88452 cmdAII iizz =⋅+= ∑25cm 5cm 5cm 45cm x y z y Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 3 b) Diagrama de Esforço Cortante: kNVmáx 50= 50kN + D.E.C.
- 18. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 3 c) Tensão de Cisalhamento Máxima: z s Ib MV ⋅ ⋅ =τ ( )43,315 2 43,31 1 ××=⋅= AyMs 3 61,2469 cmMs = = × × = −− − 82 63 10.4,8845210.5 10.61,246910.50 máxτ MPa79,2 25cm 5cm 5cm 45cm z y1 Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 3 d) Tensão a 3 cm de borda superior: ( ) ( ) 3 1 9,448 355,143,31 cmM AyM s s = ××−=⋅= = × × = −− − 82 63 10.4,8845210.5 10.9,44810.50 máxτ MPa51,0 z 25cm 5cm 5cm 45cmy1 3cm
- 19. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 4: Determinar a maior carga “q” (kN/m) que a viga representada abaixo suporta, sabendo-se que σadm = 10MPa, τadm = 1,5MPa e a = 2m. 5.3 Tensões de Cisalhamento em Almas de Vigas com Flange q A B a aa D EC aq aq aq a 10cm5 5 20cm55 Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 4 a) Centróide e Momento de Inércia: cmy cmx 15 10 = = 12 2010 12 3020 33 .)(int(ext.) × − × =−= zzz III 4 33,333.38 cmIz =
- 20. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 4 b) Esforços internos máximos: RVB = 4,5q e RVD = 3,5q qM B ⋅−= 4 qqqM C −=+⋅−= 78 qM D ⋅−= 4 Logo: qM máx ⋅−= 4 qVmáx ⋅= 5,2 Seções críticas: B, C e D. 2q 2,5q 0,5q 1,5q 2q - - + + A B C D E Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 4 c) Verificação da σadm: MPa I eM adm z 1021 =≤ ⋅ == σσσ ⇒⋅≤ ⋅ ×⋅⋅ − − 6 8 2 1010 1033,38333 10154 q mkNq /39,6≤
- 21. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 4 d) Verificação da τadm: 3 17501010 2 10 1520 2 15 cmMMM sises = ××− ××=−= 6 82 6 105,1 1033,383331010 1017505,2 ⋅=≤ ⋅×⋅ ⋅×⋅ = ⋅ ⋅ = −− − adm z smáx máx q Ib MV ττ mkNq /14,13≤ Logo: mkNq /3,6= Prof.RomelDiasVanderlei 5.4 Fluxo de Cisalhamento ∫ ⋅⋅= dAy I dM F3
- 22. Prof.RomelDiasVanderlei 5.4 Fluxo de Cisalhamento Fluxo de Cisalhamento (f) é a força de cisalhamento horizontal por unidade de distância ao longo do eixo longitudinal da viga. ∫ ⋅⋅⋅== dAy Idx dM dx F f 13 V dx dM = sMdAy =⋅∫ I MV f s⋅ = onde: Prof.RomelDiasVanderlei 5.4 Fluxo de Cisalhamento Áreas utilizadas para o cálculo do momento estático:
- 23. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 5: Uma viga em caixa de madeira é construída com duas tábuas de 40x180mm, que servem como flanges para duas almas de compensados de 15mm de espessura. A altura total da viga é de 280mm. O compensado é preso aos flanges por parafusos cuja força de cisalhamento admissível de F=800N cada. Se a força de cisalhamento V é de 10,5kN, determine o máximo espaçamento permissível S dos parafusos. 5.4 Fluxo de Cisalhamento Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 5 a) Centróide e Momento de Inércia: mmy mmx 140 105 = = 46 33 .)(int(ext.) 102,264 12 200180 12 280210 mmI I III z z zzz ×= × − × = −=
- 24. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 5 b) Fluxo de Cisalhamento: s F I MV f s = ⋅ = ( ) 33 1086412018040 mmdAM fflanges ⋅=××=⋅= mmNf /3,34 102,264 10864105,10 6 33 = × ⋅×⋅ = Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 5 c) Espaçamento dos parafusos: Força admissível F=800N 2 parafusos por comprimento S 2F Logo: 3,34 800222 × ==⇒= f F Sf S F mmS 6,46=
- 25. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. z x I yM ⋅ −=σ bI MV z s ⋅ ⋅ =τe PV = xPM ⋅=eCarga no plano de simetria Prof.RomelDiasVanderlei 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. z x I yM ⋅ −=σ PV = xPM ⋅=e Carga fora do plano de simetria
- 26. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. As tensões de cisalhamento não podem ser determinadas pela equação , pois a seção não tem plano de simetria vertical. Esta barra irá sofrer flexão e torção sob ação da carga P. bI MV z s ⋅ ⋅ =τ Prof.RomelDiasVanderlei 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. Se a barra flexionar sem torção, poderíamos usar a fórmula de cisalhamento já conhecida. Para isso, a carga P tem que ser aplicada em um ponto específico da seção transversal, conhecido como Centro de Cisalhamento (S). O centro de cisalhamento está em um eixo de simetria. Então, em seções duplamente simétricas o Centro de Cisalhamento (S) e o Centróide (C) coincidem.
- 27. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas Considere uma viga de seção transversal arbitrária, cuja linha de centro seja a curva mm, e a carga P age paralela ao eixo “y” através do Centro de Cisalhamento (S). onde “y” e “z” são eixos centroidais. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas As tensões normais podem ser obtidas pela fórmula de flexão: z x I yM ⋅ −=σ
- 28. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas 0321 =−− FFF dxtF ⋅⋅=τ3 ∫∫ ⋅⋅−=⋅= s z z s x dAy I M dAF 0 1 0 1 σ ∫∫ ⋅⋅−=⋅= s z z s x dAy I M dAF 0 2 0 2 σ As tensões de cisalhamento no elemento abcd são obtidas pelo equilíbrio das forças: onde: Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas Assim, obtemos: ∫ ⋅⋅ ⋅ ⋅ − = s z zz dAy tIdx MM 0 12 1 τ y zz V dx dM dx MM == − 12onde: , que é paralela a y e positiva em sentido de P. tI MV z zsy ⋅ ⋅ = )( τ Fórmula de CisalhamentoLogo:
- 29. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.1 Fluxo de Cisalhamento em Elementos de Paredes Finas As tensões de cisalhamento estão direcionadas ao longo da linha de centro da seção, paralelas às bordas. τ é constante através as espessura t da parede. O fluxo de cisalhamento (f) é igual ao produto da tensão τ pela espessura t. z zsy I MV tf )(⋅ =⋅=τ Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Seção C ou Canal: O Centro de Cisalhamento está localizado no eixo de simetria (eixo z).
- 30. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Baseado na fórmula de cisalhamento, as tensões de cisalhamento variam linearmente nos flanges e parabolicamente na alma. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas A tensão de cisalhamento que atua em um elemento de seção transversal de área dA = t.ds produz a força dF = ττττ . dA ou dF = f . ds , e . z s I MV tf ⋅ =⋅=τ ds dA
- 31. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas A resultante das forças que age nos flanges AB e DE é a força horizontal F1; As tensões que atuam na alma BD vão ter como resultante uma força igual à força cortante V na seção: ∫ ⋅= B A dsfF1 ∫ ⋅== D B dsfVF2 AB D E ds h Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas As forças F1 provocam um momento em relação ao centróide de M = F1 . h, onde h é a distância entre as linhas de centro das mesas. Este momento que é responsável pela resistência da seção à torção. Para eliminar o efeito desse momento, a força cortante V deve ser deslocada para a esquerda de uma distância “e”, de modo que: ( ) hFeV mesa ⋅=⋅ ( ) V hF e mesa ⋅ =→
- 32. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Onde conclui-se que não vai ocorrer torção na barra se a força P for aplicada em um ponto distante “e” da linha central da alma BD. A interação da linha de ação com o eixo de simetria “z”, representa o Centro de Cisalhamento da seção (S). Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas No caso da força P ser inclinada, acha-se as componentes Pz e Py atuando no ponto “S”. P Py Pz
- 33. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Seções que não possuem nenhum plano de simetria: Seção Cantoneira: A carga P atua perpendicularmente ao eixo principal z. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Força elementar: , dsfdF ⋅= z s I MV f ⋅ =sendo dF ds
- 34. Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas ∫ ⋅= S A dsfF1 ∫ ⋅= B S dsfF2 Forças Resultantes: F1 F2 A B Prof.RomelDiasVanderlei 5.5.2 Centros de Cisalhamento de Seções Abertas e Paredes Finas Como as resultantes F1 e F2 passam pelo ponto “S”, deduzimos que a força cortante V da seção deve passar por “S” também. O Centro de Cisalhamento é então o vértice da seção, pois a força V não provocará torção, independente da sua direção. ,
- 35. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 6: Determinar o Centro de Cisalhamento S do perfil canal, de espessura uniforme e dimensões: b=100mm, h=150mm e t=3mm. , ( ) ( ) zz zs I htsV I MV f 2 ⋅⋅⋅ = ⋅ = zI htsV f ⋅ ⋅⋅⋅ = 2 Fluxo de Cisalhamento: 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. t t t AB D E Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 6 Força Resultante no flange AB: , dss I htV I htsV dsfF b z b z B A ∫∫∫ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ = ⋅ ⋅⋅⋅ =⋅= 00 1 22 z b z I bhtVs I htV F ⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅ = 422 2 0 2
- 36. Prof.RomelDiasVanderlei Centro de Cisalhamento: , zz I bht V h I bhtV V hF e ⋅ ⋅⋅ =⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ = 44 22 flangesalmaz III ⋅+= 2 ( ) ⋅⋅ + ⋅ ⋅+ ⋅ = tb hbtht I z 212 2 12 233 Exemplo 6 ( )hb httbhtbht I z +⋅⋅ ⋅ = ⋅⋅ + ⋅ + ⋅ = 6 122612 2233 Prof.RomelDiasVanderlei Centro de Cisalhamento: , ( )hb ht tbh e +⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = 6 12 4 2 22 hb b e +⋅ ⋅ = 6 3 2 Exemplo 6
- 37. Prof.RomelDiasVanderlei Exemplo 7: Determinar, para o perfil canal, a distribuição de tensões de cisalhamento causada por uma força cortante vertical V de 800kN de intensidade, aplicada no Centro de Cisalhamento S. b=100mm, h=150mm, t=3mm, e = 40mm. , t t t AB D E 5.5 Carregamento Assimétrico em Barras de Parede Fina. Centro de Cisalhamento. Prof.RomelDiasVanderlei Tensão no flange AB: , zzz s I hsV tI htsV tI MV ⋅ ⋅⋅ = ⋅⋅ ⋅⋅⋅ = ⋅ ⋅ = 22 τ 2 h tsMs ××= Exemplo 7 Distribuição Linear
- 38. Prof.RomelDiasVanderlei Tensão em B: , ( )hb ht Iz +⋅⋅ ⋅ = 6 12 2 ( ) ( )hbht bV hb ht hbV B +⋅⋅⋅ ⋅⋅ = +⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ = 6 6 6 12 2 2 τ ( ) = +×⋅× ×× = 15,01,0615,0003,0 1,08006 Bτ MPa422,1 Exemplo 7 Prof.RomelDiasVanderlei Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica) , tI MV z s ⋅ ⋅ =τ ( )hb thh t hh tbMs +⋅⋅ ⋅ =⋅⋅+⋅⋅= 4 8422 Exemplo 7
- 39. Prof.RomelDiasVanderlei Tensões de Cisalhamento na Alma BD: (Parabólica) , ( ) ( ) ( ) ( )hbht hbV thb ht hb th V máx +⋅⋅⋅⋅ +⋅⋅⋅ = ⋅+⋅⋅ ⋅ +⋅⋅ ⋅ ⋅ = 62 43 6 12 4 8 2 τ ( ) ( ) = +×××× +××× = 15,01,0615,0003,02 15,01,048003 máxτ MPa956,1 Exemplo 7 Prof.RomelDiasVanderlei Aplicações Exercício 1: Uma viga caixão quadrada é feita de duas pranchas de 20 x 80mm e duas pranchas de 20 x 120mm pregadas entre si, como mostra a figura. Sabendo que o espaçamento entre os pregos é s = 30mm e que a força cortante vertical na viga é V = 1200N, determine (a) a força cortante em cada prego, (b) a tensão de cisalhamento máxima na viga. ,
- 40. Prof.RomelDiasVanderlei Aplicações Exercício 2: Para a viga e carregamento mostrado, determine a largura b mínima necessária, sabendo que, para o tipo de madeira usada, σadm = 12MPa e τadm = 825kPa. , Prof.RomelDiasVanderlei Aplicações Exercício 3: A viga mostrada na figura foi feita colando- se várias tábuas. Sabendo que a viga está sujeita a uma força cortante de 5,5kN, determine a tensão de cisalhamento nas juntas coladas (a) em A, (b) em B.,
- 41. Prof.RomelDiasVanderlei Aplicações Exercício 4: Várias tábuas são coladas para formas a viga caixão mostrada na figura. Sabendo que a viga está sujeita a uma força cortante vertical de 3kN, determine a tensão de cisalhamento nas junta colada (a) em A, (b) em B. ,