1. Univesidade Santa Cecília
Engenharia Mecânica
Resistência dos Materiais II
Prof. José Carlos Morilla 1 Estado triplo de tensão
Estado triplo de tensão
Tensões em um ponto
Seja um ponto qualquer,
pertencente a um corpo em
equilíbrio, submetido às tensões
representadas na figura 1.
Figura 1 – Estado geral de tensões em um
ponto.
Sabe-se que uma tensão é
função de ponto e plano. Assim,
para um plano inclinado, em relação
aos apresentados na figura, irão
atuar outras tensões, como mostra
a figura 2.
Figura 2 –Tensão resultante em um plano
qualquer de um estado geral de tensões.
Os ângulos entre o plano
considerado e os eixos x; y e z, são
θx, θy e θz, respectivamente.
Com esta consideração, a
força resultante no plano inclinado,
expressa pelas suas componentes
nas direções x, y e z, pode ser
determinada por:
( ) z
zx
y
yx
x
x
x cos
dA
cos
dA
cos
dA
dA θ
τ
+
θ
τ
+
θ
σ
=
ρ
( ) z
zy
y
y
x
yx
y cos
dA
cos
dA
cos
dA
dA θ
τ
+
θ
σ
+
θ
τ
=
ρ
( ) z
z
y
yz
x
xz
z cos
dA
cos
dA
cos
dA
dA θ
σ
+
θ
τ
+
θ
τ
=
ρ
Com isto, os três
componentes ortogonais da tensão
resultante são:
z
zx
y
yx
x
x
x cos
cos
cos θ
τ
+
θ
τ
+
θ
σ
=
ρ
z
zy
y
y
x
yx
y cos
cos
cos θ
τ
+
θ
σ
+
θ
τ
=
ρ
z
z
Y
yz
x
xz
z cos
cos
cos θ
σ
+
θ
τ
+
θ
τ
=
ρ
As três componentes da
tensão ρ, podem ser assim
determinadas pelo produto de duas
matrizes:
θ
θ
θ
×
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
=
ρ
ρ
ρ
=
ρ
Z
y
x
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
Z
Y
X
cos
cos
cos
Observa-se, então, que
qualquer seja o plano inclinado, a
tensão nele resultante é igual ao
produto entre a matriz das tensões
dos planos ortogonais e a matriz
dos co-senos dos ângulos do plano.
Os co-senos são chamados
de co-senos diretores, e sua matriz
é chamada de matriz dos co-senos
diretores. A matriz das tensões se
dá o nome de Tensor (Τ
Τ
Τ
Τ).
Ao tensor, não é possível se
dar uma interpretação geométrica
simples. Ele é encarado, apenas,
(1)
(2)
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Prof. José Carlos Morilla 2 Estado triplo de tensão
como uma matriz onde cada
elemento representa uma das
tensões encontradas na expressão
2.
Desta maneira o tensor Τ
Τ
Τ
Τ, para um
estado geral de tensões fica:
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
=
Τ
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
(3)
Eixos e Tensões Principais.
A tensão ρ que atua no plano
inclinado pode ser representada por
suas componentes: normal (σ) e de
cisalhamento (τ), como mostra a
figura 3.
Figura 3 – tensão normal e de
cisalhamento, componentes da tensão ρ.
A tensão normal resultante
(σ), neste plano inclinado, é obtida
por:
z
x
xz
z
y
yz
y
x
xy
z
2
x
y
2
y
x
2
x
cos
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
2
cos
cos
cos
θ
θ
τ
+
θ
θ
τ
+
θ
θ
τ
+
θ
σ
+
θ
σ
+
θ
σ
=
σ
Note-se que, se o elemento
inicial estiver inclinado em relação
ao sistema apresentado, como se
observa na figura 4, a tensão no
plano inclinado deve permanecer a
mesma. Observa-se ainda que
neste elemento inclinado ocorrem
transformações nas tensões
atuantes em cada plano já que
ocorre mudança de plano.
Figura 4 – inclinação do elemento em
relação à posição inicial
Assim, é possível existir uma
posição para o elemento, nestes
planos tri-ortogonais, onde as
tensões de cisalhamento sejam
iguais a zero.
A esta posição se dá o nome
de posição principal, aos planos
ortogonais se dá o nome de planos
principais e às tensões normais
que neles atuam se dá o nome de
tensões principais.
Estas tensões são indicadas
por σ1; σ2 e σ3, a partir da maior
para a menor. Os planos
respectivos onde atuam estas
tensões, são indicados por 1; 2 e 3.
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Prof. José Carlos Morilla 3 Estado triplo de tensão
figura 5 – planos e tensões
principais
Chamando de θ1; θ2 e θ3, os
ângulos entre o plano inclinado e os
planos principais 1; 2 e 3,
respectivamente, é possível
escrever:
θ
θ
θ
×
σ
σ
σ
=
ρ
ρ
ρ
=
ρ
3
2
1
3
2
1
Z
Y
X
cos
cos
cos
0
0
0
0
0
0
(4)
Assim, o tensor das tensões
principais, é o tensor principal do
estado de tensões.
σ
σ
σ
=
Τ
3
2
1
0
0
0
0
0
0
(5)
Com isto, as componentes da
tensão ρ, ficam:
3
3
z
2
2
y
1
1
x
cos
cos
cos
θ
×
σ
=
ρ
θ
×
σ
=
ρ
θ
×
σ
=
ρ
(6)
Lembrando que:
1
cos
cos
cos 3
2
2
2
1
2
=
θ
+
θ
+
θ (7)
Das expressões 6 e 7, é
possível escrever:
1
2
3
z
2
2
y
2
1
x
=
σ
ρ
+
σ
ρ
+
σ
ρ
(8)
Esta expressão mostra que
os valores ρx; ρy e ρz, podem ser
encarados como coordenadas da
extremidade do vetor da tensão ρ.
O lugar geométrico das
extremidades do vetor da tensão
total forma um elipsóide, cujos
semi-eixos são as tensões
principais σ1; σ2 e σ3. O elipsóide
chama-se elipsóide das tensões.
Desta figura geométrica
deduz-se que a maior das três
tensões principais é o maior valor
possível de tensão no conjunto de
planos que passam pelo ponto.
Deduz-se, ainda, que a menor das
tensões principais é a menor das
tensões normais.
Determinação das tensões
principais.
Seja o estado de tensões da
figura 1 e um plano inclinado como
o mostrado na figura 2. se este
plano for um dos principais, a
tensão resultante será uma tensão
normal (σ).
Assim, as componentes
desta tensão normal podem ser
escritas como:
( )
( )
( )
θ
θ
θ
×
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
=
σ
σ
σ
=
σ
Z
y
x
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
Z
Y
X
cos
cos
cos
(9)
ou seja:
4. Univesidade Santa Cecília
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Resistência dos Materiais II
Prof. José Carlos Morilla 4 Estado triplo de tensão
( )
( )
( )
0
cos
cos
cos
Z
Y
X
Z
y
x
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
=
σ
σ
σ
−
θ
θ
θ
×
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
(10)
Lembrando que:
( )
( )
( ) z
z
y
y
x
x
cos
cos
cos
θ
×
σ
=
σ
θ
×
σ
=
σ
θ
×
σ
=
σ
é possível escrever:
0
cos
cos
cos
Z
y
x
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
=
θ
θ
θ
×
σ
σ
σ
−
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
0
cos
cos
cos
Z
y
x
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
=
θ
θ
θ
×
σ
−
σ
τ
τ
τ
σ
−
σ
τ
τ
τ
σ
−
σ
(11)
Lembrando que a matriz dos
co-senos diretores não pode ser
nula (vide expressão 7), para que o
produto mostrado na expressão 11
seja nulo existe a necessidade do
determinante da matriz das tensões
ser igual a zero:
0
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
=
σ
−
σ
τ
τ
τ
σ
−
σ
τ
τ
τ
σ
−
σ
(12)
Note-se aqui que, sendo
σ uma tensão principal, seu valor
independe do conhecimento prévio
da posição do plano em que ela
ocorre. Ele depende, apenas, do
estado de tensões que atua no
ponto.
A solução do sistema
apresentado na expressão 12 é
dada por:
0
J
J
J 3
2
1
2
3
=
−
×
σ
+
×
σ
−
σ (13)
onde
z
yz
xz
zy
y
xy
zx
yx
x
3
2
yz
2
xz
2
xy
x
y
z
x
z
y
2
z
y
x
1
j
J
J
σ
τ
τ
τ
σ
τ
τ
τ
σ
=
τ
−
τ
−
τ
−
σ
×
σ
+
σ
×
σ
+
σ
×
σ
=
σ
+
σ
+
σ
=
(14)
Círculo de Mohr para o
Estado Triplo de Tensão.
Seja um ponto e suas
tensões principais σ1; σ2 e σ3. Seja,
também um plano inclinado com um
ângulo α, em relação aos planos 1 e
3.
figura 6 – Planos principais; tensões
principais e plano inclinado.
As tensões: normal e de
cisalhamento, neste plano, podem
ser determinadas por:
α
×
σ
−
σ
=
τ
α
×
σ
−
σ
+
σ
+
σ
=
σ
2
sen
2
2
cos
2
2
3
1
3
1
3
1
(13)
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Resistência dos Materiais II
Prof. José Carlos Morilla 5 Estado triplo de tensão
Note-se que estas tensões
podem, também, ser determinadas
pelo Círculo de Mohr para o estado
duplo de tensão.
(σ1+σ3)/2
(
σ
1
-
σ
3
)/2
sen2
α
σ
(σ1-σ3)/2 cos2α
σ3
2
α
σ
σ1
Plano A
figura 7 – Círculo de Mohr para os planos
1; 3 e o inclinado
Caso o plano esteja inclinado
em relação aos planos 2 e 3, como
mostra a figura 8, tem-se o Círculo
de Mohr apresentado na figura 9.
figura 8 – Plano inclinado em relação aos
planos 2 e 3.
σ3
σ
Plano B
σ2
2
β
figura 9 – Círculo de Mohr para os planos
2; 3 e o inclinado
O mesmo tipo de estudo
pode ser feito para um plano
inclinado em relação aos planos 1 e
2, como mostra a figura 10.
figura 10 – Plano inclinado em relação aos
planos 1 e 2.
O Círculo de Mohr para esta
situação está mostrado na figura 11
σ
σ1
σ2
Plano C
figura 11 – Círculo de Mohr para os planos
1; 2 e o inclinado
Note-se que é possível fazer
uma superposição dos Círculos de
Mohr para os três casos. Isto pode
ser observado na figura 12
σ3
σ
σ2 σ1
figura 12 – Círculo de Mohr para os três
estudos superpostos.
6. Univesidade Santa Cecília
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Resistência dos Materiais II
Prof. José Carlos Morilla 6 Estado triplo de tensão
Um plano inclinado qualquer,
em relação aos três planos,
simultaneamente, como o mostrado
na figura 13, tem seu ponto
representativo na área limitada
pelos três Círculos de Mohr
(arbelos). Isto pode ser observado
na figura 14.
figura 13 – Plano inclinado qualquer e os
planos principais
σ3
σ
σ1
σ2
Plano D
figura 14 – Círculo de Mohr para um plano
qualquer.
OBS:-
1. Usualmente a representação
do Círculo de Mohr é feita,
apenas, pelo semicírculo
superior, como mostra a
figura 15
σ3
σ
σ2 σ1
figura 15 – Representação usual do
Círculo de Mohr.
2. Qualquer estado de tensão
pode ser interpretado como
um caso particular do estado
triplo de tensão. As figuras
16 e 17, mostram,
respectivamente, os estados
de tração simples e
cisalhamento puro.
σ3
σ
σ1
σ2
figura 16 – Círculo de Mohr para a tração
simples
σ
σ3 σ2 σ1
τ
figura 16 – Círculo de Mohr para o
cisalhamento puro
3. Desde que seja conhecida
uma das tensões principais,
as demais podem ser
determinadas por um estudo
semelhante ao estado duplo
de tensão.