O documento discute a estabilização dinâmica de sistemas físicos instáveis através da aplicação de forças paramétricas. Ele começa discutindo o pêndulo simples e forçado, e como altas frequências podem estabilizar o pêndulo invertido. Em seguida, aborda outros exemplos de estabilização além do pêndulo e a equação de Schrödinger não linear em 2D, especificamente a estabilização do soliton de Townes através de forçagem paramétrica da não linearidade.

1. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Estabilização Dinâmica
Roberto André Kraenkel
Instituto de Física Teórica - São Paulo
http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel
VI Semana da Física
Departamento de Física da Universidade Federal do Maranão
Novembro de 2010
Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel

2. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Os tópicos de hoje
O pêndulo simples
Um pêndulo forçado
Muito além do pêndulo
NLS em 2D
Estabilização do soliton de Townes
Final
Estabilização Dinâmica R.A. Kraenkel

3. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
O pêndulo simples.
Comecemos com algo muito simples.
Um pêndulo.
A equações de movimento são:
d2 ϕ 2
+ ω0 sin ϕ = 0,
dt2
Há dois pontos de equilíbrio ϕ = 0, π
0 é estável, π ínstável.
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4. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Um pêndulo forçado
Consideremos um pêndulo forçado.
Mas, um pêndulo incomum!
Vamos supor que a base do pêndulo realiza oscilações periódicas
verticais.
A equação de movimento deste sistema é:
 
d2 ϕ  2
+ ω0 + a cos 2πft  sinϕ = 0

dt2
movimento da base
a é a amplitude and f é a frequência da força.
Claro que , ϕ = 0, π são ainda pontos de equilíbrio.
Mas, ... e a sua estabilidade?
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5. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Estabilidade
Para estudar a estabilidade dos equilíbrios, escreva simplesmente
ϕ = ϕs + φ , φ 1 e ϕs = 0 , π
Fique com apenas os primeiros termos da expasão:
Você terá uma equação linear para φ:
d2 φ 2
+ ±ω0 + a cos 2πft φ = 0
dt2
+⇒ ϕs = 0
-⇒ ϕs = π
Esta é a equação de Mathieu.
Vejamos mais sobre ela.
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6. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Mathieu
d2 φ 2
+ ±ω0 + a cos 2πft φ = 0
dt2
Esta equação é estudada através da teoria de Floquet.
Não vamos fazer isto agora. Está em livros-texto.
Nota bene: esta é a mesma equação que a equação de
Schrödinger com um potencial periódico.
Lembre-se dos cursos de estado sólido.→ deve haver alguma
coisa parecida com estruturas de bandas.
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7. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Mathieu II
Para cada a e f pode-se resolver a equação acima.
Se φ vai à zero, dizemos que o ponto de equilíbrio , com aqueles
a e f , é estável.
Caso contrário, é instável.
Assim, plotamos um diagrama no plano a x f .
Pontos de estabilidade deixamos brancos, de instabilidade
pintamos de azul.
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8. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Mathieu again
Figure: Diagrama de estabilidade no plano a x f .
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9. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Estabilização
2
Podemos ver uma região com ω0 negativo.corresponde ao
pêndulo invertido.
Há lá uma região de estabilidade.
Corresponde a f grande: altas frequências
Podemos os dizer que o efeito de altas frequências é estabilizar o
pêndulo invertido.
Efeito também conhecido por "estabilização de Kapitza".
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10. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Outra forma de abordar o problema
Podemos olhar este problema da seguinte forma:
queremos saber o comportamento de um pêndulo submetido à
uma força paramétrica de alta frequência.
Vamos direto para o limite de altas frequências.
Procure uma solução na forma : ϕ = Φ + ξ onde Φ é o
movimento medianizado (sobre as oscilações rápidas ) e ξ
representa as oscilações rápidas ao redor da média.
Em suma, queremos saber o movimento médio do pêndulo:
queremos uma equa¸ao para Φ.
É um problema de em que temos duas escalas de tempo.
Resulta que Φ sente um potencial efetivo
Vamos dar uma olhada nele.
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11. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
O potencial efetivo, em altas frequências
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15. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
O potencial sem força externa paramétrica.
O potencial medianizado tem um novo mínimo em Φ = π, → estabilização.
Este argumento é de Kapitza e pode ser encontrado no livro de mecânica do Landau.
Pode-se ser estudado com mais rigor através de expansões em múltiplas escalas.
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16. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Muito além do pêndulo
A estabilização que do pêndulo invertido não é apenas uma
curiosidade.
A idéia de que um ponto fixo instável se torne estável quando o
sistema é foado parametricamente aparece em diversas situações.
¸
Há uma série de exemplos
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17. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Uma profusão de pêndulos
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23. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Vamos agora olhar um contexto diferente. Vamos considerar a
Equação de Schrödinger Não-linear
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24. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Um líquido mais pesado sobre um mai leve. Mesmo um líquido sobre um gás.
Uma corda invertida.Ou uma "corda rígida".
Pode usar para pintar o seu teto.
ˆ
Ou ganhar o prmio Nobel (a armadilha de Paul é baseada em estabilização dinâmica e é
usada para aprisionar átomos.)
Ou ainda para não cair do cavalo.
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25. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
NLS em 2D
Considere a equação de Schrödinger não-linear em duas
dimensões espaciais:
1 2
ıut + u + γ|u|2 u = 0
2
qual é a física desta equação?
Propagação da luz em meios não-lineares
Dinâmica de condensados em Bose-Einstein em armadilhadas
tipo ‘panqueca".
O que é isso?
É um condensado em que uma das dimensões é suprimida pela
forma da armadilha, ao mesmo tempo deixando o sistema
quase-livre nas outras duas dimensões. Isso existe de fato. Não
de preocupe com em entender melhor este sistema agora. Mas
lembre-se que a equação acima não é somente um “toy-model".
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26. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Propriedades da equação NLS
Em 1D, ela é integrável.Resolve-se o problema de Cauchy para
ela.
As soluções são localizadas.
Solitons.
Em 2D, ela não é integrável
Mas, se γ > 0, tem uma solução particular localizada. Uma "
bola de luz". Chama-se de “soliton de Townes".
Instável!! Em ótica corresponde ao processo de filamentação de
um feixe num meio não-linear.
In BEC é o colapso de condensado atrativo.
Eu ouvi mesmo instável?
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27. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Estabilização do soliton de Townes
Pdemos estabilizar o soliton de Townes via uma forçagem paramétrica
O parâmtro que podemos usar é γ. Mas poemos de fato variá-lo no
tempo?E com alta frequência?
No caso de condensados, facilmente.
Na ótica teríamos que ter um meio estratificado.
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28. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Métodos matemáticos
Seja então o sistema:
1 2
ıut + u + γ(t/ )|u|2 u = 0 com 1 and γ periódico
2
Como extrair infromações dela?
Três caminhos:
Aproximação Variational + medianização
Medianização direta + resultados sobre perturbações so soliton de
Townes
Integração numérica .
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29. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Resultados
Estabilização.
É possível encontrar condições para que ocorra.
O que importa é notar que :
seja: γ = γ0 + γ1 sin ωt .
é necessário que γ1 > γ0 para haver estabilização.
A não-linearidade deve mudar de sinal.
Pode-se mostrar (V. Konotop (Lisboa) ) que esta condição é
necessária.
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30. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Final
Forças do tipo paramétricas podem mudar a estabilidade de
pontos fixos.
Podem estabilizar ponto que outro modo seriam instáveis
Isso acontece em sistemas mecânicos simples,
E em sistemas espacialmente extensos.
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31. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
Referência
F.Kh. Abdullaev, J.G. Caputo, R.A. Kraenkel and B. A.
Malomed, Phys. Rev.A 67, (2003) 013605.
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32. O pêndulo simples Um pêndulo forçado Muito além do pêndulo NLS em 2D Estabilização do soliton de Townes Final
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