Efeito Allee

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Trabalho dos estudantes do Curso de Verão em Métodos Matemáticos em Biologia de Populações, Fev de 2008.

Publicada em: Saúde e medicina, Educação
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Efeito Allee

  1. 1. EFEITO ALLEE <ul><li>IFT – UNESP </li></ul><ul><li>Curso de Métodos Matemáticos em Biologia de Populações </li></ul><ul><li>18 a 24 de fevereiro de 2008 </li></ul>Aline Alvarenga Taiana Brito Humberto Sanna Adriane Schelin Alexandre Soares
  2. 2. 1. DEFINIÇÃO 2. EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO 3. EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA <ul><li>EFEITO ALLEE </li></ul>APRESENTAÇÃO EFEITO ALLEE
  3. 3. DEFINIÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE DEFINIÇÃO WARDER CLYDE ALLE ( 1885–1955) EFEITO ALLEE
  4. 4. Relação positiva entre qualquer componente de aptidão individual e o número ou densidade de indivíduos. DEFINIÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE DEFINIÇÃO EFEITO ALLEE
  5. 5. EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
  6. 6. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM <ul><li>EQUAÇÃO LOGÍSTICA: </li></ul>EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  7. 7. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM <ul><li>EQUAÇÃO LOGÍSTICA: </li></ul>EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  8. 8. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): </li></ul><ul><li>Seja Nc = número crítico de indivíduos da população </li></ul><ul><li>N* = número de indivíduos na saturação </li></ul><ul><li>1. </li></ul>para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  9. 9. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): </li></ul><ul><li>Seja Nc = número crítico de indivíduos da população </li></ul><ul><li>N* = número de indivíduos na saturação </li></ul><ul><li>1. </li></ul>para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO
  10. 10. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): </li></ul><ul><li>Seja Nc = número crítico de indivíduos da população </li></ul><ul><li>N* = número de indivíduos na saturação </li></ul><ul><li>1. </li></ul>para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para Nc < N < N*
  11. 11. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): </li></ul><ul><li>Seja Nc = número crítico de indivíduos da população </li></ul><ul><li>N* = número de indivíduos na saturação </li></ul><ul><li>1. </li></ul>para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO
  12. 12. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): </li></ul><ul><li>Seja Nc = número crítico de indivíduos da população </li></ul><ul><li>N* = número de indivíduos na saturação </li></ul><ul><li>1. </li></ul>para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO 3. para N > N*
  13. 13. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>PROPRIEDADES DA FUNÇÃO F(N): </li></ul><ul><li>Seja Nc = número crítico de indivíduos da população </li></ul><ul><li>N* = número de indivíduos na saturação </li></ul><ul><li>1. </li></ul>para N < Nc MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EXTINÇÃO 2. para Nc < N < N* CRESCIMENTO 3. para N > N* DECRESCIMENTO
  14. 14. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>FUNÇÃO F(N): </li></ul><ul><li>NOVA EQUAÇÃO PARA POPULAÇÃO: </li></ul><ul><li>ADIMENSIONALISANDO... </li></ul>MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  15. 15. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>GRÁFICO: </li></ul>ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  16. 16. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS) </li></ul>MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  17. 17. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>VALORES DE α E β ONDE É VÁLIDO EFEITO ALLEE: </li></ul>MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  18. 18. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>VARIANDO β E MANTENDO α FIXO : </li></ul>EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  19. 19. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>VARIANDO α E MANTENDO β FIXO : </li></ul>EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  20. 20. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO A variação de α afeta a ocorrência do efeito Allee. Para valores de α < 1, não ocorre o efeito. α VARIANDO β VARIANDO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO ANÁLISE QUALITATIVA EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  21. 21. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO <ul><li>EXEMPLOS COM DIFERENTES CONDIÇÕES INICIAIS: </li></ul>EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO SIMULAÇÃO EFEITO ALLEE EM UMA POPULAÇÃO
  22. 22. EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
  23. 23. CASOS: - SIMPLES - SIMPLES COM SAZONALIDADE - SIMPLES RANDÔMICO - COM SATURAÇÃO DO PREDADOR - COM SATURAÇÃO DA PRESA EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  24. 24. SIMPLES EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  25. 25. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM <ul><li>EQUAÇÃO LOTKA-VOLTERRA : </li></ul>Seja: P - Presa V - Predador EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  26. 26. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA <ul><li>NOVO SISTEMA PARA PREDADOR X PRESA: </li></ul><ul><li>ADIMENSIONALISANDO... </li></ul>α , β e γ : novas constantes Presa Predador EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM
  27. 27. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA <ul><li>PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS) </li></ul>- - - λ1 = 1 – α , λ2 = - γ Re λ > 0 EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA
  28. 28. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA <ul><li>PONTOS FIXOS ( ESTÁVEIS E INSTÁVEIS) </li></ul>α = 0 γ = 10 α = 10 β = 0.1 γ = 10 α = 0.1 β = 0.1 γ = 10 α = 10 β = 1 γ = 10 MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA
  29. 29. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA SIMULAÇÃO
  30. 30. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA
  31. 31. SIMPLES RANDÔMICO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  32. 32. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA <ul><li>SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE </li></ul><ul><li>COM EFEITO ALLEE RANDÔMICO </li></ul>Presa Predador MODELAGEM α = α 0 X, com X entre 0 e 1
  33. 33. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  34. 34. SIMPLES COM SAZONALIDADE EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  35. 35. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA <ul><li>SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE </li></ul><ul><li>COM EFEITO ALLEE SAZONAL </li></ul>Presa Predador MODELAGEM
  36. 36. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  37. 37. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  38. 38. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  39. 39. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  40. 40. COM SATURAÇÃO DO PREDADOR EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  41. 41. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA <ul><li>SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE </li></ul><ul><li>COM SATURAÇÃO DO PREDADOR </li></ul>Presa Predador MODELAGEM
  42. 42. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE MODELAGEM EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR X PRESA EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE SIMPLES EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA ANÁLISE QUALITATIVA <ul><li>COM SATURAÇÃO DO PREDADOR </li></ul>α = 10 β = 1 γ = 10 δ = 5
  43. 43. COM SATURAÇÃO DA PRESA EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA
  44. 44. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA <ul><li>SISTEMA PREDADOR-PRESA COM EFEITO ALLEE </li></ul><ul><li>COM SATURAÇÃO DA PRESA </li></ul>Presa Predador MODELAGEM
  45. 45. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA <ul><li>PONTOS FIXOS ENCONTRADOS ANALITICAMENTE: </li></ul>MODELAGEM ANÁLISE QUALITATIVA ( 0 , 0 ) ( γ , 1- α e - βγ 2 - γδ )
  46. 46. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM ANÁLISE QUALITATIVA α = 10 β = 1 γ = 10 δ = 0.08 <ul><li>CAMPO VETORIAL DO SISTEMA: </li></ul>
  47. 47. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM SIMULAÇÃO
  48. 48. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE NA INTERAÇÃO PREDADOR -PRESA MODELAGEM ANÁLISE QUALITATIVA
  49. 49. CONCLUSÃO EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE
  50. 50. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO <ul><li>OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; </li></ul>
  51. 51. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO <ul><li>OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; </li></ul><ul><li>MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; </li></ul>
  52. 52. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO <ul><li>OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; </li></ul><ul><li>ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; </li></ul><ul><li>MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; </li></ul>
  53. 53. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO <ul><li>OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; </li></ul><ul><li>ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; </li></ul><ul><li>MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; </li></ul><ul><li>A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES; </li></ul>
  54. 54. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO <ul><li>OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; </li></ul><ul><li>ENCONTRAMOS DUAS REGIÕES PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES: UMA COM DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; </li></ul><ul><li>MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; </li></ul><ul><li>A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES; </li></ul><ul><li>A VARIAÇÃO SAZONAL DO EFEITO ALLEE TAMBÉM ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES. QUANDO ESSA VARIAÇÃO ESTAVA EM FASE COM A DINÂMINCA DAS POPULAÇÕES, A POPULAÇÃO NÃO SE EXTINGUIU; </li></ul>
  55. 55. EFEITO EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE EFEITO ALLEE CONCLUSÃO <ul><li>OBTIVEMOS UM TERMO QUE MODELA O EFEITO ALLEE PARA UMA POPULAÇÃO; </li></ul><ul><li>ENCONTRAMOS UMA REGIÃO PARA O SISTEMA PRESA-PREDADOR SIMPLES COM UMA DINÂMICA EM ESPIRAL E OUTRA DECAINDO DIRETAMENTE A ZERO; </li></ul><ul><li>MODELAMOS O EFEITO ALLEE EM UM SISTEMA PRESA-PREDADOR ANÁLOGO A LOTKA-VOLTERRA; </li></ul><ul><li>COM UM TERMO DE SATURAÇÃO PARA AS PRESAS, NOTAMOS UMA REGIÃO ATRAÍDA PARA UM PONTO FIXO, E OUTRA PARA A EXTINÇÃO DE AMBAS AS ESPÉCIES; </li></ul><ul><li>A VARIAÇÃO RANDÔMICA DO EFEITO ALLEE ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES; </li></ul><ul><li>A VARIAÇÃO SAZONAL DO EFEITO ALLEE TAMBÉM ADIOU A EXTINÇÃO DAS ESPÉCIES. QUANDO ESSA VARIAÇÃO ESTAVA EM FASE COM A DINÂMICA DAS POPULAÇÕES, A POPULAÇÃO NÃO SE EXTINGUIU; </li></ul>

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