Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados

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Segunda aula de uma série de quatro, apresentada na VI Semana de Física da UFMA ( São Luis do Maranhão) em 2010.

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Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados

  1. 1. Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Ondas de Choque: Água, Luz e Condensados Roberto André Kraenkel Institutode Física Teórica-UNESP São Paulo - Brasil Novembro de 2010 / UFMA
  2. 2. Sumário Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel
  3. 3. Ondas simples Ondas deChoque: Água, Luz e Condensados Comecemos nos ocupando de equações que descrevemR.A. Kraenkel ondas: A mais simples possível: ut + ux = 0 . Chama-se equação da onda simples. Descreve ondas na superfície da água na aproximação de pequenas amplitudes, grande profundidade, sem viscosidade, e condiderando o movimento uni-direcional. Olhemos a solução:
  4. 4. Simples demais!! Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel A onda simplesmente se move para direita sem modificar a forma. Óbvio: qualquer função u(x − t) é solução da equação. Portanto, dado u(x, 0) = f (x) a solução da equação será f (x − t). Esta onda é uni-direcional. E considerarmos ondas em dois sentidos...obteremos algo interessante? Não! Considere utt − uxx = 0 Veja as suas soluções.
  5. 5. Ondas em Duas direções Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel utt − uxx = 0 Uma onda para cada lado. Pouco interessante Para simplificar a discussão vamos considerar ondas uni-direcionais.
  6. 6. Ondas Não-lineares Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Coloquemos um poucos de não-linearidade na nossa vida. Considere ut + 6uux = 0 Esta equação descreve ondas na superfície d’água em que a amplitude da onda é comparável com a profundidade Eis a solução.
  7. 7. Quebra de Ondas!! Ondas deChoque: Água, Luz e A onda se deforma por causa do termo não-linear. Condensados Sua frente se torna vertical.R.A. Kraenkel A onda quebra.A equação é dita equação a quebra de onda Podemos entender isso. Na equação ut + 6uux = 0 tudo se passa como se a velocidade da onda fosse 6u. ou seja, ut + 6u ux = 0. c=6u Quanto maior u, maior a velocidade local. ⇒ deformação⇒ quebra. A quebra é um efeito não-linear. E se tomarmos uma condição inicial maior? Os efeitos não-lineares deveriam ser mais pronunciados? Seja: ut + 6uux = 0 e amplitude máxima inicial =1. VEJAMOS.
  8. 8. Regularização de choques Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel A onda apenas quebrou mais rapidamente. Matematicamente a quebra de uma onda representa a não existência da solução depois de um certo tempo. Mas o que acontece com a solução, fisicamente? Os modelos apresentados são aproximações. Outros efeitos podem entrar em jogo. Os dois principais são: dissipação e dispersão.
  9. 9. Regularização por Dissipação Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel No contexto hidrodinâmico, a dissipação vem da viscosidade não nula do fluido. A equação de propagação de ondas fracamente não-lineares e de pequena dissipação é dada por: ut + 6uux = νuxx Equação de Burgers Evidentemente, para ν muito pequeno estaremos próximos da equação de quebra de onda. Vamos estuda-la neste limite. Seja então ν = 0.05.
  10. 10. Equação de Burgers Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel ut + 6uux = 0.05uxx A onda não quebrou. O termo dissipativo regularizou a onda. Formou-se um choque. Entendemos (±):perto da frente de onda o termo νuxx é grande porque uxx é grande, apesar de ν ser pequeno.
  11. 11. Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel E se ν for maior? Seja por exemplo ut + 6uux = 0.5uxx o choque será simplesmente mais suave.
  12. 12. Dispersão Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Suponha agora que ν seja de fato muito pequeno. Um efeito não considerado antes foi o da dispersão das ondas. As equações obtidas anteriormente supõe que o parâmetro β = h/λ seja muito pequeno, onde h ⇒ é a profundidade ”sem ondas”, e λ ⇒ é o comprimento de onda da perturbação da superfície. A finitude de β gera dispersão das ondas. Diferentes comprimentos de onda viajam com diferentes velocidade.
  13. 13. Regularização por Dispersão Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel A equação regendo o movimento uni-direcional da superfície de um fluido sem viscosidade mas com dispersão é: ut +6uux + β 2 uxxx =0 Equação de Korteweg de Vries termo dispersivo Queremos estuda-la para β pequeno, afim de estarmos próximos à região de quebra de ondas. Tomemos pois β 2 = 0.005
  14. 14. Regularização por dispersão Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Não. Não é erro numérico. Forma-se um choque.Mas atrás dele se formam ondas. E se β for maior?Por exemplo: 10 vezes maior. Há menos ondas.
  15. 15. KdV: um intermezzo Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel A equação de KdV, ut + 6uux + β 2 uxxx = 0 possui propriedades matemáticas interessantes: É integrável. Pode-se resolver o problema de valores iniciais. Tem soluções soliton. Eis um. Aqui tomamos u(x, t = 0) = 2sech2 (x).
  16. 16. KdV: um intermezzo II Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel ut + 6uux + β 2 uxxx = 0 Há também soluções 2-soliton Neste caso: u(x.0) = 6sech2 (x).
  17. 17. KdV: um intermezzo III Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Uma condição inicial “qualquer” se decompõe em solitons + radiação. Seja: u(x.0) = 4sech2 (x).
  18. 18. KdV: um intermezzo IV Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Uma condição inicial “qualquer” se decompõe em solitons + radiação. Seja: u(x.0) = 40sech2 (x).
  19. 19. KdV: um intermezzo V Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel O que vimos no caso de β pequeno é que a condição inicial se decompõe em solitons. O maior vai à frente criando o efeito de uma onda de choque.
  20. 20. Conclusões até aqui. Ondas deChoque: Água, Luz e Condensados A equação ut + 6uux = 0 pode ser regularizada de duasR.A. Kraenkel formas. Por dissipação ou por dispersão.
  21. 21. Ondas deChoque: Água, Luz e Na natureza os dois tipos de ondas de choque CondensadosR.A. Kraenkel existem.Veja um exemplo de onda de choque dispersiva: Figure: Mascaret ( Dordogne) e Pororoca (Amazonas)
  22. 22. Condensados de Bose-Einstein Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Considere a Equação de Gross-Pitaevskii: ∂Φ(x, t) 2 ı =− Φ(r, t) + g|Φ(r, t)|2 Φ(r, t) ∂t 2m Ela descreve um condensado de Bose-Eisntein |Φ|2 é a densidade do condensado em um dado ponto (r, t). Condensados podem ser produzidos em 1, 2 ou 3 dimensões. GP contém não-linearidade e dispersão.
  23. 23. Ondas de Choque em BEC Ondas deChoque: Água, Há ondas de choque em BEC: Luz e Condensados Considere um condensado “panqueca” (2D)R.A. Kraenkel Uma condição inicial dao por um degrau: Figure: Corte de um BEC em 2D radialmente simétrico, com a condição inicial dada pela linha tracejada na figura da esquerda. Evolução temporal dada pela figura da direita, mostrando a formação de choques dispersivos. Kamchatnov, Gammal and R.A.K, Phys. Rev. A 69, 063605 (2004)
  24. 24. Existe isso? Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Figure: Esquerda: imagem de BEC obtida pelo grupo do Jila (Hoefer et al Phys Rev A 74, 023623 (2006)). Direita: Simulação 2D ( Kamchatnov, Gammal and R.A.K, Phys. Rev. A 69, 063605 (2004))
  25. 25. Um último exemplo: ótica não-linear Ondas deChoque: Água, Luz e CondensadosR.A. Kraenkel A propagação de um feixe de luz em um meio ótico do tipo Kerr é dada por: ∂A ı + ⊥A − |A|2 A = 0 ∂z z é a distância de propagação. ⊥ é o laplaciano em (x, y). A é amplitude da onda: |A|2 é a densidade de energia local. Trata-se da mesma equação que no item anterior.
  26. 26. Existe? Ondas deChoque: Água, Aqui está Luz e CondensadosR.A. Kraenkel Figure: De Wan, Jia e Fleischer, Nature Physics 3, pg 46 (2007) De fato, a experiência é feita com um material ( fotorefrativo) para o qual vale: ∂A |A|2 ı + ⊥A − A=0 ∂z 1 + |A|2 A teoria para este caso está em "Theory of optical dispersive shock waves in photorefractive media", PRA 76, 053813 (2007), por El, Gammal, Khamis, Kraenkel & Kamchatnov
  27. 27. Conclusões ou o que devo lembrar deste seminário Ondas deChoque: Água, Luz e Ondas de choque se formam a partir de ondas que quebram; Condensados Há dois tipos de ondas de choque:dispersivas e dissipativas.R.A. Kraenkel As dissipativas são mais comuns. Há uma frente de onda e um decaimento. As dispersivas tem oscilações junto da frente de onda O exemplo clássico de ondas de choque dispersivas é a pororoca. Há ondas de choque dispersivas em BEC em 2D.Teoria e experiência estão de acordo. Recentemente, foram vistas ondas de choque dispersivas em meios óticos não-lineares. Obrigado pela atenção Download em http://web.me.com/kraenkel/ufma

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