Métodos Matemáticos em Biologia de Populações II

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Segunda aula do curso de verão em métodos matemáticos em biologia de populações no IFT-UNESP em 2/2008.

Second lecture on Mathematical Methods in POpulation Biology ( in portuguese). Feb'08, given at the Institute for Theoretical Physics in São Paulo. Undergrads level.

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Métodos Matemáticos em Biologia de Populações II

  1. 1. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Métodos Matemáticos em Biologia de Predação Lotka-Volterra Populações Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Roberto André Kraenkel Lotka-Volterra Fim Instituto de Física Teórica-UNESP São Paulo http://www.ift.unesp.br/users/kraenkel Aula II
  2. 2. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  3. 3. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  4. 4. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de 3 Lotka-Volterra Lotka-Volterra Fim
  5. 5. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de 3 Lotka-Volterra Lotka-Volterra Fim 4 Para além de Lotka-Volterra
  6. 6. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de 3 Lotka-Volterra Lotka-Volterra Fim 4 Para além de Lotka-Volterra 5 Mais além ainda de Lotka-Volterra
  7. 7. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações A aula de hoje R.A. Kraenkel Espécies Interagentes 1 Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de 2 Predação Lotka-Volterra Mais além ainda de 3 Lotka-Volterra Lotka-Volterra Fim 4 Para além de Lotka-Volterra 5 Mais além ainda de Lotka-Volterra 6 Fim
  8. 8. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  9. 9. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  10. 10. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  11. 11. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra Fim
  12. 12. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.
  13. 13. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.Outras vezes, não é assim.
  14. 14. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.Outras vezes, não é assim.Vejamos agora os casos mais simples de interações entre espécies.
  15. 15. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.Outras vezes, não é assim.Vejamos agora os casos mais simples de interações entre espécies. • Vamos começar considerando apenas duas espécies.
  16. 16. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Espécies Interagentes R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Vimos que populações ( sejam animais, vegetais, insetos, Para além de Lotka-Volterra bactérias, etc) vivem em cadeias de interações tróficas que Mais além ainda de podem ser bastante complexas. Lotka-Volterra • Algumas vezes, certas espécies podem se comportar como Fim populações não interagentes.Outras vezes, não é assim.Vejamos agora os casos mais simples de interações entre espécies. • Vamos começar considerando apenas duas espécies.
  17. 17. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  18. 18. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  19. 19. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  20. 20. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), Lotka-Volterra Fim
  21. 21. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). Fim
  22. 22. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim
  23. 23. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO:
  24. 24. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa.
  25. 25. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa. • S IMBIOSE OU M UTUALISMO:
  26. 26. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa. • S IMBIOSE OU M UTUALISMO: a presença de (A) é favorável a (B) e vice-versa.
  27. 27. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Tipos de interação inter-específicas R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Há três tipos essenciais de interação entre duas espécies: Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra • P REDAÇÃO: a presença de uma espécie (A) é prejudicial Mais além ainda de para a espécie (B), enquanto que a presença de (B) é favorável Lotka-Volterra para (A). A espécie (A) é o predador, e (B) é a sua presa. Fim • C OMPETIÇÃO: a presença de (A) é prejudicial a (B) e vice-versa. • S IMBIOSE OU M UTUALISMO: a presença de (A) é favorável a (B) e vice-versa.
  28. 28. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  29. 29. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  30. 30. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de • Ecologicamente, é a interação mais direta. Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  31. 31. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de • Ecologicamente, é a interação mais direta. Lotka-Volterra Mais além • Vamos agora ver um modelo matemático simples para ainda de Lotka-Volterra descreve-la. Fim
  32. 32. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de • Ecologicamente, é a interação mais direta. Lotka-Volterra Mais além • Vamos agora ver um modelo matemático simples para ainda de Lotka-Volterra descreve-la. Fim • Chama-se de modelo de Lotka-Volterra.
  33. 33. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Predação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • A predação é uma das interação entre espécies das mais Lotka-Volterra universais. Para além de • Ecologicamente, é a interação mais direta. Lotka-Volterra Mais além • Vamos agora ver um modelo matemático simples para ainda de Lotka-Volterra descreve-la. Fim • Chama-se de modelo de Lotka-Volterra. Vito Volterra (1860-1940), matemático italiano, chegou à sua equação instigado pelo seu futuro genro, Umberto d’Ancona, que buscava explicar porque observavam-se oscilações na quantidade de peixes predadores capturados em certos por- tos do Mar Adriático.
  34. 34. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além Seja ainda de Lotka-Volterra • N(t) o número de predadores, Fim • V(t) o número de presas. Nas transparências seguintes, a, b, c e d serão constantes positivas
  35. 35. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra O número de presas deve crescer quando não há predadores: Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim dV = aV dt
  36. 36. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mas a presença de predadores deve diminuir a taxa de Mais além ainda de crescimento das presas: Lotka-Volterra Fim dV = V(a − bP) dt
  37. 37. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Já a população de predadores deve decrescer na ausência de Lotka-Volterra Para além de presas: Lotka-Volterra Mais além dV ainda de = V(a − bP) Lotka-Volterra dt Fim dP = −dP dt
  38. 38. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Mas a presença das presas deve fazer a população de predadores Para além de crescer: Lotka-Volterra dV Mais além ainda de = V(a − bP) Lotka-Volterra dt Fim dP = P(cV − d) dt
  39. 39. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações As equações de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação As duas equações acopladas são conhecidas po Lotka-Volterra Equações de Lotka Volterra Para além de Lotka-Volterra dV Mais além ainda de = V(a − bP) Lotka-Volterra dt Fim dP = P(cV − d) dt É HORA DE ESTUDÁ - LAS !
  40. 40. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  41. 41. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  42. 42. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim
  43. 43. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ????????
  44. 44. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos
  45. 45. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações.
  46. 46. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações. O que é isso?
  47. 47. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações. O que é isso? • Análise qualitativa.
  48. 48. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações. O que é isso? • Análise qualitativa. O que é isso?
  49. 49. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra • Temos lindas equações. Para além de Lotka-Volterra • Mas não a sua solução. Mais além ainda de • E as equações não tem soluções em termos de funções Lotka-Volterra elementares. Fim • Q UE FAZER ???????? • Dois caminhos • Integração numérica das equações. O que é isso? • Análise qualitativa. O que é isso?
  50. 50. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  51. 51. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação dV Lotka-Volterra = V(a − bP) dt Para além de Lotka-Volterra dP = P(cV − d) Mais além dt ainda de Lotka-Volterra Fim
  52. 52. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação dV Lotka-Volterra = V(a − bP) dt Para além de Lotka-Volterra dP = P(cV − d) Mais além dt ainda de Lotka-Volterra Fim • Divida a segunda pela primeira:
  53. 53. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação dV Lotka-Volterra = V(a − bP) dt Para além de Lotka-Volterra dP = P(cV − d) Mais além dt ainda de Lotka-Volterra Fim • Divida a segunda pela primeira: dP P(cV − d) = dV V(a − bP)
  54. 54. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: análise qualitativa R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Voltemos às nossas equações : Predação dV Lotka-Volterra = V(a − bP) dt Para além de Lotka-Volterra dP = P(cV − d) Mais além dt ainda de Lotka-Volterra Fim • Divida a segunda pela primeira: dP P(cV − d) = dV V(a − bP) • Assim podemos obter: dP(a − bP) dV(cV − d) = P V
  55. 55. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  56. 56. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  57. 57. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim
  58. 58. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante.
  59. 59. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H
  60. 60. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra.
  61. 61. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra. • Para um cada valor de H podemos traçar no plano P × V o lugar geomérico dos pontos que obedecem a equação acima.
  62. 62. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra. • Para um cada valor de H podemos traçar no plano P × V o lugar geomérico dos pontos que obedecem a equação acima. Façamo-lo!.
  63. 63. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Continuação R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Predação dP(a − bP) dV(cV − d) = Lotka-Volterra P V Para além de Lotka-Volterra • Integramos de ambos os lados: Mais além ainda de a ln P − bP = cV − d ln V + H Lotka-Volterra Fim onde H é uma constante. • Ou seja cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H • A equação acima é uma relação que deve ser obedecida por todas as soluções do sistema de Lotka-Volterra. • Para um cada valor de H podemos traçar no plano P × V o lugar geomérico dos pontos que obedecem a equação acima. Façamo-lo!.
  64. 64. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Trajetórias de fase R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra dV = V(a−bP) Para além de dt Lotka-Volterra Mais além dP ainda de = P(cV−d) dt Lotka-Volterra Fim As trajetórias de fase da equação de Lotka-Volterra, com a = b = c = d = 1. Cada curva corresponde a um valor de H. As curvas obedecem à: cV(t) − bP(t) + a ln P(t) + d ln V(t) = H
  65. 65. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  66. 66. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  67. 67. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  68. 68. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  69. 69. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim
  70. 70. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase.
  71. 71. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores.
  72. 72. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.
  73. 73. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela.
  74. 74. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela. • Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase.
  75. 75. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela. • Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase. • Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial.
  76. 76. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela. • Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase. • Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial. • O sistema é periódico.
  77. 77. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Lotka-Volterra: oscilações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Chamamos o plano de P × V de plano de fase, ou Predação mais comumente, de espaço de fase. Lotka-Volterra • As curvas, chamamo-las de trajetórias ou de Para além de órbitas. Lotka-Volterra • No caso, temos órbitas fechadas. Mais além ainda de • O que representam? Lotka-Volterra Fim • Tome um ponto no espaço de fase. • Ele representa um certo número de presas e predadores. • Por este ponto passa uma curva.Repare nela. • Com o correr do tempo, estas populações evoluem percorrendo a curva no espaço de fase. • Depois de um certo tempo, voltarão à situação inicial. • O sistema é periódico.
  78. 78. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  79. 79. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  80. 80. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  81. 81. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  82. 82. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  83. 83. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra Fim
  84. 84. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim
  85. 85. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui.
  86. 86. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo
  87. 87. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo • e assim por diante.
  88. 88. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo • e assim por diante. O NÚMERO DE PRESAS OSCILA PERIÓDICAMENTE NO TEMPO .
  89. 89. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo • e assim por diante. O NÚMERO DE PRESAS OSCILA PERIÓDICAMENTE NO TEMPO . O DE PREDADORES TAMBÉM .
  90. 90. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Oscilações II R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Muio bem, o sistema é periódico. Predação • Vamos reparar mais de perto. Lotka-Volterra • Tome um ponto no plano P × V e siga-o no tempo: Para além de Lotka-Volterra • Vamos ver como evolui a Mais além variável V (as presas). ainda de Lotka-Volterra • de 1 até 3 seu número aumenta. Fim • de 3 até 8 seu número diminui. • e de 8 até 3 aumenta de novo • e assim por diante. O NÚMERO DE PRESAS OSCILA PERIÓDICAMENTE NO TEMPO . O DE PREDADORES TAMBÉM .
  91. 91. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  92. 92. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  93. 93. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  94. 94. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  95. 95. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  96. 96. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  97. 97. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  98. 98. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. ainda de Lotka-Volterra Fim
  99. 99. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. De onde vem esse gráfico? ainda de Lotka-Volterra Fim
  100. 100. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. De onde vem esse gráfico? Integração ainda de numérica. Lotka-Volterra Fim
  101. 101. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. De onde vem esse gráfico? Integração ainda de numérica. Lotka-Volterra • Aqui está: Fim
  102. 102. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações E as soluções ? R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • Até aqui vimos como as soluções das Equações de Lotka-Volterra se comportam Predação qualitativamente. Lotka-Volterra • Já é bastante: preveêm que o sistema “predador-presa” apresenta oscilações periódicas nas populações das espécies. Para além de Lotka-Volterra • Mas, e as SOLUÇÕES ?. The real thing!. Mais além • Bem, podemos mostrar um gráfico delas. De onde vem esse gráfico? Integração ainda de numérica. Lotka-Volterra • Aqui está: Fim
  103. 103. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  104. 104. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  105. 105. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  106. 106. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  107. 107. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de Lotka-Volterra Fim
  108. 108. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Fim
  109. 109. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim
  110. 110. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo,
  111. 111. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também.
  112. 112. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor.
  113. 113. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor. • e assim por diante....
  114. 114. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor. • e assim por diante.... • Faz sentido!
  115. 115. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais sobre Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Em palavras... Espécies Interagentes • As equações de Lotka-Volterra nos dizem: Predação • Seja um número pequeno de predadores e um certo número de Lotka-Volterra presas Para além de Lotka-Volterra • Com disponibilidade de presas, o número de predadores vai Mais além aumentando ainda de • As presas, mais atacadas, tem menor taxa de crescimento. Lotka-Volterra Depois de um certo tempo, começam a diminuir. Fim • Após um certo tempo, o predadores atingem o seu máximo, e por falta de comida começam a diminuir também. • Depois de alcançarem seu número mínimo, as presas começam a se recuperar, pois o número de predadores já é menor. • e assim por diante.... • Faz sentido! • Será verdade?
  116. 116. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  117. 117. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  118. 118. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  119. 119. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  120. 120. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. ainda de Lotka-Volterra Fim
  121. 121. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de Lotka-Volterra Fim
  122. 122. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. Lotka-Volterra Fim
  123. 123. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Lotka-Volterra Fim
  124. 124. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra Fim
  125. 125. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Fim
  126. 126. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento.
  127. 127. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!!
  128. 128. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.
  129. 129. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade
  130. 130. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas.
  131. 131. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas.
  132. 132. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações .
  133. 133. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:
  134. 134. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas,
  135. 135. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral,
  136. 136. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações ,
  137. 137. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações , ou em outras palavras,
  138. 138. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações , ou em outras palavras, de periodicidade.
  139. 139. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações O mundo real R.A. Kraenkel Espécies Interagentes • A equação de Lotka-Volterra descreve situações reais? Predação • Em parte. Lotka-Volterra • Ela contém algumas elementos claramente irrealistas: Para além de Lotka-Volterra • O crescimento das presas na ausência de predadores é exponencial e não Mais além logístico. Não contém mecanismo de saturação . ainda de • Mas isto é fácil concertar. A equação resultante continua tendo soluções periódicas. Beleza! Lotka-Volterra • Por outro lado, a taxa de crescimento do nosso predador é (cV − d). Quanto Fim maior V, maior a taxa de crescimento. Nosso predador é muito voraz!! Seria natural supor que a taxa de crescimento também se sature.Um efeito de saciedade ou incapacidade de caçar mais que uma certa quantidade de presas. • Equações levando isto em conta podem ser escritas. • De uma forma geral, continuamos tendo oscilações . • De modo que, podemos tirar da equção de Lotka-Volterra o seguinte:apesar de ser um modelo sobresimplificado da dinâmica de predadores e presas, ela captura uma feição geral, que é a existência de oscilações , ou em outras palavras, de periodicidade.
  140. 140. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais além ainda de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação Lotka-Volterra Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  141. 141. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais além ainda de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Evidentemente, verdadeiras interações ocorrem em cadeias de muitas Lotka-Volterra espécies que têm relações de predação , competição e simbiose. Para além de Lotka-Volterra Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim
  142. 142. Métodos Matemáticos em Biologia de Populações Mais além ainda de Lotka-Volterra R.A. Kraenkel Espécies Interagentes Predação • Evidentemente, verdadeiras interações ocorrem em cadeias de muitas Lotka-Volterra espécies que têm relações de predação , competição e simbiose. Para além de Lotka-Volterra • Exemplo simples: Mais além ainda de Lotka-Volterra Fim

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