Ipaee capitulo2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA

INTRODUÇÃO AO PLANEJAMENTO E ANÁLISE
ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS

CAPÍTULO # 2
ANÁLISE DESCRITIVA E EXPLORATÓRIA DE

DADOS

PROF. PEDRO FERREIRA FILHO
PROFa. ESTELA MARIS P. BERETA

2º SEMESTRE DE 2010

Capítulo 2 – Análise Descritiva e Exploratória de Dados

2. INTRODUÇÃO: ANÁLISE DESCRITIVA E
EXPLORATÓRIA DE DADOS:
Um estudo, ou investigação de uma determinada hipótese, deve do ponto de vista
estatístico, contemplar as etapas de planejamento, coleta, organização, análise descritiva e
exploratória dos dados, inferência estatística e a tomada de decisões (conclusões).
O papel da estatística pode ser considerado como a de uma “mineração de dados”.
Os dados devem ser cuidadosamente coletados (observados), devidamente conhecidos e
utilizados para analisar e interpretar a sua variabilidade de forma a possibilitar uma correta
resposta à hipótese em estudo.

2.1. CONCEITOS BÁSICOS EM ESTATÍSTICA:

• INFORMAÇÃO NUMÉRICA:
Um conjunto de dados estatísticos consiste de uma ou mais medidas, escores ou
valores observados (coletados) de certo número de indivíduos, objetos, ensaios,
experimentos, etc.

Introdução ao Planejamento e Análise Estatística de Experimentos – 1o Semestre de 2010 – Prof. Pedro Ferreira Filho & Profa. Estela Maris P. Bereta Página 1


• ASPECTO BÁSICO DA INFORMAÇÃO:
A análise estatística de um conjunto de dados só faz sentido quando existir
“variabilidade” nos valores observados, ou seja, os valores devem apresentar diferenças
nas diferentes unidades de observação utilizadas. A não existência de variabilidade entre os
valores observados torna desnecessária a utilização de qualquer método estatístico.

• POPULAÇÃO:
Conjunto de indivíduos ou objetos os quais o pesquisador tem interesse, que
apresentam relevância para a investigação da hipótese em estudo. Podemos ainda dizer que
a população é formada por todos os valores possíveis de serem observados numa dada
situação. No caso de estudos experimentais, o alvo é sempre uma dada população. A
resposta para a hipótese de interesse é dada por uma conclusão a respeito da população em
estudo.
Nesse sentido é fundamental, em qualquer situação, definir claramente qual a
população que se tem interesse. Muitas vezes, por incrível que pareça, isso não está
suficientemente claro para os responsáveis pelo estudo (experimento). Conseqüentemente,
corre-se o risco de estender conclusões a situações mais amplas do que aquelas realmente
possíveis a partir do estudo realizado.
Uma população pode ser classificada em duas diferentes situações:

População Finita: Todos os elementos da população são conhecidos e
possíveis de serem identificados;

População Infinita: Não é possível uma enumeração de todos os
elementos da população;
Uma população pode ser investigada a partir da observação de seus elementos
através de duas diferentes formas: Censo ou Amostra.

• CENSO:
Denominamos de censo aquelas situações onde a investigação é realizada a partir da
observação de todos os elementos de uma população. Esse tipo de observação somente é
possível em populações finitas.



• AMOSTRA:
Na grande maioria das vezes (quase sempre!) não é possível observar todos os
elementos de uma população, porém é possível observar-se uma parte desta população. O
conjunto de elementos efetivamente observado é denominado amostra. Podemos então
dizer que uma amostra é todo e qualquer subconjunto da população.
Para que a amostra seja uma representação realista, não tendenciosa, da população,
é necessário que seus elementos sejam escolhidos de forma rigorosamente aleatória. Esta
condição é fundamental na prática, porque as “inferências estatísticas” sempre supõem
que as amostras são representativas da população. Por isso ao realizar um experimento,
devemos sempre tomar o cuidado para coletar os dados de modo que a hipótese de
aleatoriedade, seja se não, rigorosamente, pelo menos aproximadamente obedecida.
Dois conceitos:
Amostra Representativa: Apresenta características relevantes da população na
mesma proporção que elas ocorrem na própria população.
Amostra Aleatória: Amostra de N valores ou indivíduos (unidades experimentais)
obtidos de tal forma que todos os possíveis elementos da população tenham a mesma
“chance” de participar na amostra.

• INFERÊNCIA ESTATÍSTICA:
Embora seja observada “apenas” uma amostra, o objetivo de qualquer estudo é
estabelecer conclusões com respeito à população de interesse. A metodologia utilizada para
se fazer a passagem dos resultados obtidos na amostra para conclusões populacionais é
chamada “inferência estatística”.
A inferência estatística pode ser definida em duas etapas:
Estimação: Obter informação sobre uma característica populacional;
Teste de Hipóteses: Utilização da informação amostral para verificar as hipóteses
de interesse no estudo.

• ANÁLISE ESTATÍSTICA:
O processo de organização, processamento, sumarização e retirada de conclusões
sobre um determinado conjunto de dados (amostra) é chamado de análise estatística. As
hipóteses (questões de interesse) daqueles que realizam o estudo indicam o tipo de dado
que precisa der obtido e conseqüentemente a inferência a ser realizada.



O quadro abaixo resume uma análise estatística de dados.

Figura 2.1. Análise Estatística.

2.2. ORGANIZAÇÃO, SUMARIZAÇÃO E REPRESENTAÇÃO DE
DADOS:

A organização, sumarização e apresentação dos dados observados são essenciais para
um bom julgamento estatístico, dado que permitem que sejam identificadas características
importantes da amostra e ainda mais, indicar modelos que podem ser mais adequados para
verificação da hipótese em estudo.



2.2.1. TIPOS DE VARIÁVEIS:

As informações obtidas em uma amostra são denominadas, usualmente, de
“variáveis” em estudo. Em cada estudo pode-se observar uma ou mais variáveis em função
das necessidades e objetivos a serem investigados. Assim, por exemplo, pode-se observar
uma única medida num dado experimento, como é possível observar uma série de
características de interesse na aplicação de um questionário.
As variáveis observadas em uma amostra podem ser classificadas em dois tipos:
Variáveis Categóricas (Qualitativas) ou Variáveis Contínuas (Quantitativas):

Variáveis Categóricas: Denominamos variáveis categóricas aquelas medidas
(características) observadas na amostra que apenas identificam a unidade de observação.
Em outras palavras, uma variável categórica identifica um atributo, classe, qualidade,..., da
unidade de observação.
Exemplo: Sexo, Grau de escolaridade, tipo de solo, fornecedor, etc.
As variáveis qualitativas podem ainda ser classificadas como qualitativas nominais
e qualitativas ordinais. As nominais apenas identificam um atributo à unidade
experimental sem qualquer outra propriedade (sexo, por exemplo), enquanto que as ordinais



identificam um atributo que estabelece uma estrutura de ordem nas unidades de observação
(grau de escolaridade, por exemplo).

Variáveis Quantitativas: Denominamos de variáveis quantitativas aquelas medidas
(características) observadas na amostra que estabelecem uma informação resultante de uma
contagem ou de uma mensuração feita na unidade experimental.
As variáveis quantitativas podem também ser classificadas em dois grupos:
Quantitativas discretas ou quantitativas contínuas. As quantitativas discretas podem assumir
um conjunto finito ou enumerável de valores (número de acidentes em uma determinada
região da cidade, por exemplo), por outro lado, as quantitativas contínuas podem assumir
infinitos valores num intervalo de números reais.

Observação:
Uma variável quantitativa pode ser categorizada, porém a recíproca não é possível. É
importante, porém considerar a PERDA DE INFORMAÇÃO que ocorre nesses casos.

Figura 2.2. Classificação das Variáveis.

Para cada tipo de variável existem técnicas apropriadas para organizar e resumir a
informação, embora em muitos casos se verifique que as técnicas usadas em um caso
podem ser adaptadas para outros.



2.2.2. APRESENTAÇÃO DOS DADOS:

A apresentação de informações contidas num conjunto de dados pode ser feita de
várias formas. Para cada tipo de variável existem formas mais adequadas e corretas de
apresentá-las. O objetivo de uma apresentação dos dados é organizar os valores observados
de forma a obter o máximo de informação. Os procedimentos usuais de apresentação de
dados são tabelas e gráficos.
Consideremos o seguinte experimento: Uma indústria química formula um
experimento para verificar se um novo método de fabricação de um produto químico é
superior a um método tradicional de fabricação. Um experimento foi realizado obtendo-se
dados de produção industrial dos métodos A (Tradicional) e B (Novo Método), cujos
resultados estão apresentados na Tabela 2.1:
TABELA 2.1. Dados de Produção Industrial.

Lote Método Produção Lote Método Produção

1 A 89.7 11 B 84.7
2 A 81.4 12 B 86.1
3 A 84.5 13 B 83.2
4 A 84.8 15 B 91.9
5 A 87.3 15 B 86.3
6 A 79.7 16 B 79.3
7 A 85.1 17 B 82.6
8 A 81.7 18 B 89.1
9 A 83.7 19 B 83.7
10 A 84.5 20 B 88.5

O problema apresenta duas variáveis: Método de Produção e Produção Observada. A
variável método de produção é categórica nominal e a variável produção é quantitativa
contínua.
A apresentação usual dos dados observados é feita através de uma tabela
denominada distribuição de freqüências. Nesta forma são apresentados os valores
observados, a freqüência com que cada valor foi observado, o percentual que este número



de freqüência representa em relação ao total de observação, bem como os respectivos
valores acumulados.
Para tabela acima as distribuições de freqüências são dadas por:
TABELA 2.2. Distribuição de Freqüência da Variável Método de Produção Industrial.

Método

Freqüência Freqüência
Método Absoluta Percentual

A 10 50.00

B 10 50.00

TABELA 2.3. Distribuição de Freqüência da Variável Produção Industrial

Produção

Freqüência Freqüência Freqüência Percentual
Produção Absoluta Percentual Acumulada Acumulada

79.3 1 5.00 1 5.00

79.7 1 5.00 2 10.00

81.4 1 5.00 3 15.00

81.7 1 5.00 4 20.00

82.6 1 5.00 5 25.00

83.2 1 5.00 6 30.00

83.7 2 10.00 8 40.00

84.5 2 10.00 10 50.00

84.7 1 5.00 11 55.00

84.8 1 5.00 12 60.00

85.1 1 5.00 13 65.00

86.1 1 5.00 14 70.00

86.3 1 5.00 15 75.00

87.3 1 5.00 16 80.00

88.5 1 5.00 17 85.00



Produção

Freqüência Freqüência Freqüência Percentual
Produção Absoluta Percentual Acumulada Acumulada

89.1 1 5.00 18 90.00

89.7 1 5.00 19 95.00

91.9 1 5.00 20 100.00

Notação:
fi = freqüência do i-ésimo valor
fi
pi = freqüência percentual do i-ésimo valor ⇒ pi =
n
n = tamanho da amostra (número de unidades observadas)
Fi = freqüência acumulada até o i-ésimo valor, ou seja, número de observações até o i-ésimo
i

valor ⇒ Fi = ∑ f a
a =1

Pi = freqüência percentual acumulada até o i-ésimo valor, ou seja, percentual de
i

observações até o i-ésimo valor ⇒ Pi = ∑ p a
a =1

Observação:
Nos casos de variáveis qualitativas nominais a freqüência acumulada e percentual
acumulada não tem sentido de interpretação.

Problema:
No caso das variáveis quantitativas, como no exemplo acima, podemos ter que a
variável assume um grande número de valores todos (ou a grande maioria) com baixas
freqüências, logo a distribuição de freqüências se torna grande sem uma maior contribuição
para a interpretação dos dados.
Nessas situações, recomenda-se a categorização da variável através do
estabelecimento de intervalos de acordo com os objetivos do estudo. No exemplo:



TABELA 2.4. Distribuição de Freqüência da Variável Produção Industrial Categorizada.

Produção Categorizada

Produção Freqüência Freqüência Freqüência Percentual
Categorizada Absoluta Percentual Acumulada Acumulada

Menor que 80 2 10.00 2 10.00

[80,85) 10 50.00 12 60.00

[85,90) 7 35.00 19 95.00

90 ou mais 1 5.00 20 100.00

Sugestão Usual:
Os intervalos gerados pela categorização devem ter o mesmo comprimento e/ou
aproximadamente mesmas freqüências.

Uma segunda forma de apresentação dos dados é através de uma representação
gráfica dos mesmos. Usualmente representa-se graficamente a distribuição de freqüências.
O tipo de gráfico a ser utilizado está associado ao tipo de variável em estudo.
Variáveis qualitativas podem ser representadas por:

• Gráfico em Barras

• Gráfico de Setores (Gráfico de “Pizza”)

• Gráfico em Retângulo

Variáveis quantitativas podem ser representadas por:

• Diagrama de Pontos

• Histogramas

• Polígono de Freqüências

• Ramos e Folhas



REPRESENTAÇÃO GRÁFICA – DADOS CATEGÓRICOS

Sexo Sexo Sexo

100
80 Feminino
58.06
60 42% 58.06 41.94
41.94
40
20 Masculino
0 58%
Masculino Feminino 0% 20% 40% 60% 80% 100%

Sexo Masculino Feminino Masculino Feminino

Nenhum Dominio de Computador
10%

Nenhum 9.68 Bom
32%
100% 9.68
80%
Algum 58.06 58.06
60%
Bom 32.26 40%
20% 32.26
Algum
0 20 40 60 80 100 58% 0%

Computador Bom Algun Nenhum
Bom Algum Nenhum



REPRESENTAÇÃO GRÁFICA – DADOS QUANTITATIVOS
Ramo e Folhas

5 5 22222 Diagrama de Pontos
10 5 55689 . .
14 6 0014 : :
(8) 6 55555789 : :. .. :. . : .. . . . .. . . . . .
9 7 124 -----+---------+---------+---------+---------+---------+-
6 7 57 Peso
4 8 01 56.0 63.0 70.0 77.0 84.0 91.0
2 85
1 90
Peso dos Alunos Peso dos Alunos
Peso dos Alunos 15
15 33
14 100.0%
14 93.5%
13 30
13 87.1%
12 12 27
11 11 74.2%
32.3% 24
10 10
29.0%
9 9 21 61.3%

No of obs
8
No of obs
No of obs

8 18
7
6 16.1% 7 15
16.1%
5 6
12
4 5 29.0%
12.9% 12.9%
3 6.5% 6.5% 4 9
2 3.2% 3.2%
3.2% 3.2% 3.2% 3.2% 3.2% 3.2%
3.2% 3.2% 3.2%
3.2% 3.2% 3.2%
3.2% 3.2% 3.2% 3 6
1 6.5% 6.5%
0 2
3
> 89
<= 53
(53;54]
(54;55]
(55;56]
(56;57]
(57;58]
(58;59]
(59;60]
(60;61]
(61;62]
(62;63]
(63;64]
(64;65]
(65;66]
(66;67]
(67;68]
(68;69]
(69;70]
(70;71]
(71;72]
(72;73]
(73;74]
(74;75]
(75;76]
(76;77]
(77;78]
(78;79]
(79;80]
(80;81]
(81;82]
(82;83]
(83;84]
(84;85]
(85;86]
(86;87]
(87;88]
(88;89]

1
0
0 0 1 2 3 4 5 6 7
0 1 2 3 4 5 6 7
PESO PESON
PESON



2.2.3. SUMARIZAÇÃO DOS DADOS:
A distribuição de freqüências além de apresentar os dados observados, também pode
ser considerada uma sumarização de dados. Porém, na maioria dos casos, é desejado obter
valores que possam representar cada uma das variáveis em estudo. Esses valores devem ser
medidas que, sob algum ponto de vista sejam representativos dos dados observados. As
medidas usualmente utilizadas se referem à locação e dispersão dos dados.

2.2.3.1. MEDIDAS DE LOCAÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL:

Medidas relacionadas à “posição” dos dados, ou ainda a valores em torno dos quais os
valores observados tendem a se agrupar. As principais medidas de posição são:

• Moda

• Mediana

• Quartis, Decis, Percentis.

• Média

• MODA:

Definição: Valor (Classe, intervalo..) que ocorre com maior freqüência.
Vantagem: Pode ser obtida para qualquer tipo de variável, porém, é mais apropriada
para dados qualitativos nominais.
Observações:
1) Podemos encontrar variáveis em um conjunto de dados com mais de uma moda
(bimodal, tri-modal.);
2) Podemos ter variáveis em um conjunto de dados onde a moda não existe.

• MEDIANA:
Definição: Valor que ocupa a posição central num conjunto de dados ordenados, ou
seja, valor para o qual 50% dos valores observados são inferiores e 50% dos valores
observados são superiores a ele.



Condição: Para obtenção da mediana a variável em estudo deve ser pelo menos
qualitativa ordinal.
Cálculo da Mediana:
1) Dados devem ser ordenados
2) Se o número de observações é:
2.1) Ímpar: Mediana é o valor que está no centro da série, ou seja o valor que ocupa a
posição (n+1)/2.
2.2) Par: Mediana é qualquer valor entre aqueles dois valores que estão no centro da
série, ou seja, qualquer valor entre aqueles que ocupam as posições n/2 e (n/2)+1. Valor
usual: Média dos valores que ocupam a posição (n/2) e (n/2)+1.

• QUARTIS, DECIS, PERCENTIS:

Definição: A mediana divide o conjunto de dados em duas partes. Quartis, decis e
percentis seguem o mesmo princípio, porém dividem os dados observados em 4, 10 e
100 partes respectivamente.
Desta forma temos que:
percentil (50) = mediana ou segundo quartil (Md)
percentil (25) = primeiro quartil (Q1)

percentil (75) = terceiro quartil (Q3)

percentil (10) = primeiro decil

Observação: Mediana, Quartis, Decis, Percentiis também são chamados de
separatrizes.

• MÉDIA ARITIMÉTICA:

Definição: A média aritmética simples de um conjunto de dados observados é o
quociente da divisão por n da soma dos valores destas observações.

Seja x1, x2, x3, ...,xn os valores de uma variável observada na amostra. A média x (lê-
se “x barra”) é dada por:



n

x + x 2 + x3 + ... + x n ∑x
i =1
i
x= 1 =
n n

Sendo xi é o símbolo que indica a observação de ordem i = 1,2,....n

Condição: Possível de obtenção apenas para dados quantitativos.

Propriedades: A média aritmética possui propriedades interessantes que podem ser úteis
em determinadas situações:
1) Se x1=x2=x3=......=xn= a então

n

∑a
x= i =1
=a
n
“a média de uma constante é a própria constante”;

2) Se a todo valor observado é adicionado uma constante “a”, então:

n n

∑y i ∑x i +a
y i = xi + a ⇒ y == i =1
= i =1
= x+a
n n

“se adicionamos uma mesma constante a toda observação, a média também fica
adicionada deste valor”.

3) Se a todo valor observado é multiplicado por uma constante “a”, então:



n n

∑y i ∑ ax i
y i = axi ⇒ y == i =1
= i =1
= ax
n n

“se multiplicamos toda observação por uma mesma constante, a média também fica
multiplicada deste valor”.

4) A soma dos desvios em torno da média é zero:

n

∑ (x
i =1
i − x) = 0

Observação: Outros tipos de médias são conhecidos tais como: média ponderada, média
harmônica, média geométrica, média aparada. Cada uma destas médias tem sua utilizada e
aplicações específicas e podem ser encontradas na grande maioria de textos de Estatística
Básica.

2.2.3.2. COMPARANDO MEDIDAS DE LOCAÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL:

Uma comparação da média, mediana e moda, nas situações onde é possível calcular
todos estes valores, podem nos revelar uma informação sobre o comportamento dos dados,
denominada “assimetria”.
Definição: Uma variável é dita ter comportamento (ou distribuição) assimétrica quando os
seus valores estão mais concentrados em um dos seus extremos (valores altos ou baixos).
As possíveis situações de assimetria e simetria são derivadas do comportamento dos valores
da média, mediana e moda e podem ser representadas da seguinte forma:



Figura 2.3. Assimetria de Uma Variável

2.2.3.3. MEDIDAS DE DISPERSÃO:

Na análise de uma variável de interesse em qualquer estudo, não é suficiente para
descrever de modo satisfatório, observar apenas uma medida de posição. Podemos
facilmente encontrar variáveis que apresentam o mesmo valor para uma medida de locação
(média, por exemplo), porém com dados apresentando comportamentos completamente
diferentes. Esses diferentes comportamentos são conseqüência de dados com diferentes
graus de dispersão.

Objetivo: Verificar o quanto os valores observados estão “dispersos”, ou ainda o quanto
“variam” os dados.

Apresentamos a seguir algumas medidas de dispersão.

• AMPLITUDE:

Definição: Diferença entre o maior e o menor valor observado nos dados
observados.
Notação:
Seja X(n) = maior valor observado para a variável na amostra;
Seja X(1) = menor valor observado para a variável na amostra;
Amplitude = A = X(n) – X(1)


Observações:
1) Medida sujeita a influencia da presença de valores extremos.
2) O aumento do número de observações na amostra não produz qualquer mudança
no valor dado pela amplitude.

• DIFERENÇA DE QUARTIS:

Definição: Valor dado pela diferença entre os valores que Definem os 50% dos
valores centrais observados.
Notação:
Seja Q(1) = 1º quartil dos dados observados (25% das observações na
amostra);
Seja Q(3) = 3º quartil dos dados observados (75% das observações na
amostra);
Logo Q(3) – Q1) contém 50% das observações e, consequentemente
Diferença de Quartis = DQ = Q(3) – Q(1)

• VARIÂNCIA – DESVIO PADRÃO:

Definição: A VARIÂNCIA é uma medida de variabilidade dos dados em torno da
média, ou seja, ela quantifica a variabilidade ou o espalhamento ao redor do valor médio.
É natural procurar uma medida de dispersão que dependa dos desvios de cada
observação em relação à média (xi – x ), e é razoável considerar a soma de todos estes
desvios. Quanto maior forem os desvios, maior será a variabilidade presente nos dados.
Entretanto, pela definição de média, ∑(xi – x ) = 0 para qualquer conjunto de dados.
Uma alternativa, para se obter uma medida de dispersão, é elevar os desvios de cada
observação em relação à média ao quadrado, isto é,

di= (xi - x )2

Assim,



∑ (xi – x )2

É a soma dos quadrados dos desvios em relação à média. Desta forma somamos
somente valores positivos. Torna-se necessário considerar o nº de observações, pois
quanto maior o nº de observações maior será o valor deste somatório. Assim, a variância
amostral é definida por:

n
∑ (xi − x )
2

S2 = i =1
n −1
Por que (n-1)?
Quando dividimos por n-1 temos que S2 é um estimador não viciado, importante
propriedade da inferência estatística:
Se a amostra é grande, os valores obtidos dividindo por n ou n-1 são praticamente iguais.

Propriedades da Variância
1) A variância de uma constante é zero, isto é, xi = a, para todo i= 1, 2,..,n então S2=0.

2) Se multiplicarmos cada valor da variável por uma constante a, a variância será a
variância da variável original multiplicada por a2.
Se y = a X então Var(y) = Var (a x)= a2 Var(x).

3) Se somarmos ou subtrairmos de cada valor da variável uma constante a, a variância
não se altera.
Seja y = X + a, então Var(y) = Var (x + a)= Var(x).

4) Se dividirmos cada valor da variável por uma constante a, a variância será a variância
da variável original dividida por a2.
1 1 1
Seja y = x então Var(y) = Var ( x )= 2 Var(x).
a a a

Note que a unidade de medida de S2 é a unidade de medida das observações
elevada ao quadrado. Então, para obter uma medida de variabilidade com a mesma



unidade de medida das observações extraí-se a raiz quadrada. Esta medida é denominada
DESVIO PADRÃO e definida por:

n
∑ (xi − x )
2

S= i =1
n −1
Observações:
1) S mede a dispersão em torno da média e só deve ser calculado quando a média é
tomada como medida de locação.
2) S ≥ 0. Logo, quanto maior a dispersão em torno da média, maior o valor do desvio
padrão, ou maior valor de S.

Além das medidas de dispersão aqui apresentadas, algumas outras são encontradas
na literatura, como por exemplo, as medidas de simetria e de achatamento (também ditas
de curtose). Para as aplicações que serão feitas ao longo desse curso, as medidas aqui
apresentadas são suficientes, outras medidas podem ser encontradas em livros de Estatística
Básica.

2.2.3.4. MEDIDAS DE DISPERSÃO RELATIVA:

Em muitos casos, em particular em situações que desejamos comparar a dispersão de
variáveis com diferentes unidades de medida, é conveniente expressar a dispersão em
termos relativos, ou seja, expressar a variabilidade dos dados tirando a influência da ordem
de grandeza da variável.

• COEFICIENTE DE VARIAÇÃO:

Definição: O desvio padrão descreve o desvio padrão relativo à média. É expresso em
termos de valores percentuais.



Notação:
O coeficiente de variação, que é definido por:

CV = S *100
x
O coeficiente de variação (CV) é adimensional, isto é, um número puro e
usualmente expresso em porcentagem. Sua utilidade é fornecer uma medida para a
homogeneidade do conjunto de dados. Quanto menor o CV mais homogêneo é o conjunto
de dados.
Pelo fato do CV ser adimensional, é possível comparar a variabilidade de dois
conjuntos de dados muitos distintos. O CV é muito útil na comparação de duas variáveis ou
dois grupos que a princípio não são comparáveis (por exemplo, com ordens de grandeza das
variáveis muito diferentes).
Um valor de CV maior que 50% indica um alto grau de dispersão e conseqüentemente
uma baixa representatividade da média. Um valor de CV menor ou igual a 25% geralmente
indicará que o conjunto de dados é razoavelmente homogêneo. Entretanto, esse padrão
varia de acordo com a aplicação. Uma possível classificação é a seguinte:
CV:
Baixo - (inferior a 0,10);
Médio - (de 0,10 a 0,25);
Alto - (0,25 a 0,35);
≥
Muito Alto - (≥0,35).

2.2.3.5. UMA REPRESENTAÇÃO GRÁFICA CONJUNTA DE MEDIDAS DE
LOCAÇÃO E DE DISPERSÃO:

Como apresentado anteriormente, uma análise de dados deve, minimamente
considerar conjuntamente uma medida de locação e uma medida de dispersão. Nesse
sentido é importante também estabelecer uma representação gráfica conjunta de medidas
de locação e dispersão através da qual seja possível verificar o comportamento da variável
em ambos os aspectos.



• ESQUEMA DE CINCO NÚMEROS:
Proposta: Identificar 5 valores dentre o conjunto de n observados que possa dar
condições de se ter uma idéia geral do comportamento geral das observações.
Condição: Possível para variáveis quantitativas;
Valores Propostos (Tukey, 1971):

Mediana
Valor Maximo (X(n)) e Valor Mínimo (X(1))
1º e 3º Quartis

Observação:
Alguns outros autores e softwares propõem o uso de média e desvio padrão no lugar
de mediana e quartis. Tukey justifica o uso de mediana e quartis dado eu as mesmas são
medidas de locação e dispersão que não são influenciadas pela presença de valores
extremos no conjunto de dados e que, portanto permitem uma mais fácil identificação de
presença dos mesmos dentre os valores observados.

• DESENHO ESQUEMATICO – BOX PLOT:
Proposta: Representação gráfica do esquema de 5 números.

O Box-plot é obtido seguindo-se os passos:
1. Numa reta são marcados o 1º quartil (Q1), a mediana (Q2) e o 3º quartil (Q3).
2. Acima dessa reta constrói-se um retângulo com limites iguais às posições do 1º e 3º
quartis, cortado por um segmento de reta na posição relativa à mediana.
3. A partir dos limites do retângulo, traçam-se linhas até:
a. encontrar um extremo (valor máximo ou mínimo) ou
b. um valor correspondente a 1,5 DQ, se o extremo correspondente estiver a
mais de 1,5 DQ do quartil respectivo.
Os pontos que estão a mais de 1,5 DQ do quartil correspondente até 3DQ são
chamados pontos externos (*) e os que estão a mais de 3DQ, pontos soltos (o).



Box-Plot
Box-
linha
auxiliar * *
⇓ _Q3+1,5d * _Q3+1,5d *
altura _Q3 _Q3 _Q3 _Q3

_md _md _md
d

_Q1 _Q1 _Q1 _Q1

_Q1-1,5d _Q1-1,5d

* *
Q1 = 1º quartil md = mediana Q3 = 3º quartil d = diferença interquartil
Figura 2.4. Construíndo o Box - Plot

Construção
LS=Q3+1,5(Q3-Q1)
“Máximo”

Q3
75%
Mediana
50%

Q1
25%
“Mínimo”
LI=Q1-1,5(Q3-Q1)
“Máximo” é o maior valor menor que LS;
“Mínimo” é o menor valor maior que LI.

Figura 2.5. Forma Final do Box - Blot

O Box – Plot é um procedimento que permite identificar em um conjunto de dados:

Simetria
Dispersão
Valores Discrepantes



IMPORTANTE:
O Box–Plot, além das aplicações apresentadas, é um procedimento extremamente
importante na comparação de diferentes grupos (tratamentos) que são observados e, por
exemplo, dentre os quais, deseja-se identificar aquele com melhor desempenho.

Exemplo:
Comparando o total de pontos obtidos pelos alunos ingressos no processo
seletivo 2005 nos diferentes cursos da UFSCar.

Figura 2.6. Total geral de pontos obtidos pelos alunos ingressos no processo seletivo 2005 nos diferentes
cursos da UFSCar.


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