Στοχαστικές Ανελίξεις

1. ½
þ ô ý
½º ÿ
À ý ¹
¸
¸ ÖÓÛÒ ³
º ¸ ¹
ý º
ý ¹
¸ ´ µ º ¹
º º
º º ¸
ý
Æ º ÿ ¸ þ ¹
ý
º
ý ¹
º ÿ ¸
¸ ¸
¸ ý ¸ ¹
ý
º
ý ³ ¸
º

2. ¼ ½
¸ ¸ ¸ ¹
º
¸
½µ ô ý
µ ³
µ º
µ
µ
º
¾µ ý
ý
½µ º
¾µ º
¿µ ´ µº
µ º
µ º
ÿ ¸ |Å|Å| | Á Ç
½µ¸ ¾µ ¸
¸ ´ Á Ç Ö×Ø ÁÒ¸
Ö×Ø ÇÙص º
ô (Ø) غ À
{ (Ø)¸ Ø ≥ 0} º ¹
Ø (Ø)¸ { (Ø)¸
Ø≥ 0} º
ý
³ ý ÈÓ ××ÓÒ º
¸

3. ½º ÿ ½
½ { (Ø)¸ Ø≥ 0} ¹
2 Ø1 Ø2 · · · Ø
´ µ (Ø2) − (Ø1) (Ø ) − (Ø −1) ¹
º
¾ { (Ø)¸ Ø ≥ 0}
(Ø)− (×) (Ø+ )− (×+ )¸
∀ 0 0 ≤ × Ø º
Ç ÈÓ ××ÓÒ
À { (Ø)¸ Ø≥ 0} ÈÓ ××ÓÒ
½µ (0) = 0º
¾µ ô º
¿µ È( ( ) = 1) = + Ó( )¸ È( ( ) = 0) = 1 − + Ó( )¸ ↓ 0¸
Ó( ) : lim →0
Ó( )
= 0º
À ´¿µ
¿³µ È( (Ø) = ) = − Ø( Ø)
! ¸ = 0 1 0º
ø ÈÓ ×¹
×ÓÒ
³ º
º ¹
´ ¸ ¸ ¸ µº
º
º ¹
´ µº ¸
¸ ³
º
ÖÓÛÒ Ï Ò Ö
½ ¾ ÖÓÛÒ ´ ¹
10−4 ѵ ³ º
ý ³ ¸
ý ¸
ÖÓÛÒ Ï Ò Öº

4. ¾ ½
ÌÓ ½ ¼ Ó Ò×Ø Ò ¹
´ µ º ô ³
(× Ø)¸ 0 ≤ × Ø ∞¸ ¸
º
½ ¾¿ Ï Ò Ö Ò×Ø Ò
ÖÓÛÒ ¹
{ (Ø) Ø ≥ 0}¸ ÖÓÛÒ
Ï Ò Ö
½µ
¾µ ∀ Ø 0 (Ø) º
(Ü Ø) =
1
√
2 Ø
− Ü2
2 2Ø 0
¿µ ( (Ø)) = 0 ∀ Ø 0
µ (0) = 0 (Ø) º
À
ÖÓÛÒ Ó Ò×Ø Ò
2
=
4ÊÌ
Æ
Ê ¸ Æ ÚÓ ÖÓ¸ Ì ¹
¸ º
È ÖÖ Ò
½ ¾ ¸ º
¾º
À ý
ظ Ø ∈ ̺
º ¸
½µ Ì = {0 1 2 } Ø { (Ø)¸
Ø≥ 0}¸

5. ¾º ¿
¾µ Ì = [0 ∞) { (Ø) Ø ≥ 0}
º
¹
Ø ∈ Ì ∈ ª¸ ª
Ø ´ صº º (Ø) = ( Ø)¸
∈ ª¸ Ø ∈ ̺ ÿ Ø (· Ø) ¸
( ·) ظ ¹
{ (Ø) Ø≥ 0}º
ÿ ª
½µ ª = {0 1 } ¹
¾µ ª = {−∞ ∞} ¹
º
ô ¸ ¸ ÈÓ ××ÓÒ ¹
¸ ÖÓÛÒ
º
º
ô
Ô Õ = 1 − Ô
º¸ = 1 2
¸
È( = 1) = Ô È( = −1) = 1 − Ô= Õ
ô ´ µ
º ( )¸ = 1 2 ¹
º ½¼

6. ½
2
1
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 í
vX
ý 0 = 0
= 1 + · · · +
¸ = 1
º
ý ν ¸
¸ º º ¹
= 0 1 ¸
−2
È( = − 2 ) = È( µ
= Ô −
Õ
º º
ý ¸ {Xν, ν = 1, . . .}
¹
º ¸
¸ ¹
¸ º
ý
ô { (Ø) Ø ∈ Ì}º ÿ ¸ ¹
(Ø)¸ Ø∈ Ì º
(Ø1) (Ø )¸

7. ¾º
≥ 1 Ø1 Ø ∈ ̸ º
(Ü1 Ü : Ø1 Ø ) ≡ È( (Ø1) ≤ Ü1 (Ø ) ≤ Ü )
ý
½µ ÿ ( 1 ) (1 )
(Ü 1 Ü : Ø 1 Ø ) = (Ü1 Ü : Ø1 Ø )
¾µ ÿ Ñ
(Ü1 ÜÑ : Ø1 ØÑ) = lim
ÜÖ→∞
(Ü1 ÜÖ Ü : Ø1 Ø )
Ö = Ñ+ 1
ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ
ô ½µ ¾µ
∀ ≥ 1 ∀ Ø1 Ø ∈ ̺ (ª B È)
(Ø) = (Ø )¸ Ø ∈ Ì
ª
(Ø1) (Ø )º
ý ¹
¹
³
º
º
¾º½º ô { (Ø) Ø ∈ Ì} ¹
¾ º
(Ø)
(Ø) = ( (Ø)) Ø∈ Ì
(Ø)
Ê( Ø) ≡ ÓÚ( ( ) (Ø)) = [( ( ) − ( ))( (Ø) − (Ø))] ∀ Ø∈ Ì
(Ø)
Î( (Ø)) ≡ 2
(Ø) = [( (Ø) − (Ø))2
] = Ê(Ø Ø) Ø∈ Ì

8. ½
¾º½º ý { (Ø) Ø∈ Ì} ¹
¸
ÓÚ( ( ) (Ø)) = Î( (min( Ø))) ∀ Ø∈ Ì
ý º ô ظ
ÓÚ( ( ) (Ø)) = ÓÚ( ( ) (Ø) − ( ) + ( ))
= ÓÚ( ( ) (Ø) − ( )) + ÓÚ( ( ) ( ))
= 0 + Î( ( ))
ÓÚ( ( ) (Ø)− ( )) =
0 º
¾º¾º { (Ø) Ø∈ Ì}
¾
Ê(Ø ) | − Ø|º
Î( (Ø)) = Ê(Ø Ø) = 2
º غ
¾º¿º { (Ø) Ø ∈ Ì} ¹
( (Ø1) (Ø )) ( (Ø1 + ) (Ø + ))
Ø1 Ø ∈ ̸ ≥ 1 ∈ ̺
´ ¹ Ø ∈ Ì ⇒ Ø+ ∈ Ì)º
½µ ý { (Ø) Ø ∈ Ì} ¸
º º (Ø) (Ø+ )¸ º ý
( (Ø)) = Î( (Ø)) = 2
º غ ø
ÓÚ( (×) (Ø))
× Ø= [( (×) − )( (Ø) − )] = Ê(Ø− ×)

9. ¾º
º |Ø − ×|¸
º
Ù××
{ (Ø) Ø ∈ Ì}
∀ ≥ 1 {Ø1 Ø }¸ Ø ∈ ̸ = 1
( (Ø1) (Ø ))
¹
Ù×׺
¾µ
µ º
µ ¸ º
¹ Ì
º
µ ¸ (Ø)¸ Ø
º ¹ º
º
µ ¸ ¸
¸ º º º
º
½µ ý ÈÓ ××ÓÒ ÿ ( (Ø)) = Î( (Ø)) =
Ø ³
Ê( Ø) = Î( (min( Ø))) = Ø
¾µ ý ÖÓÛÒ Ï Ò Ö
( (Ø)) = 0 ∀ Ø∈ Ì Î( (Ø)) = 2
Ø
Ê( Ø) = Î( (min( Ø))) = 2
Ø

10. ½
¿µ ô { (Ø) Ø≥ 0}
X(t) = ξ cos ωt + η sin ωt
¸
Æ(0 2) ∈ [0 ] º
( (Ø)) = [( cos Ø+ sin Ø)]
= cos Ø ( ) + sin Ø ( )
= 0
( ) = ( ) = 0¸
Ê( Ø) = ( ( ) (Ø)) = [( cos + sin ) · ( cos Ø+ sin Ø)]
= ( 2
cos cos Ø+ 2
sin sin Ø)
= ( 2
cos cos Ø) + ( 2
sin sin Ø)
= (cos cos Ø) 2
+ (sin sin Ø) 2
= 2
cos ( − Ø)
Î( ) = ( 2) = 2 Î( ) = ( 2) = 2º
− Ø
Ê( Ø) = Ê(Ø ) | − Ø|º
µ ô X(t) = A0 + A1t + A2t2¸ 0 1 2
( ) = Î( ) = 1¸ = 0 1 2º
ÿ { (Ø) Ø≥ 0}
( (Ø)) = ( 0) + Ø ( 1) + Ø2
( 2) = 1 + Ø+ Ø2
Î( (Ø)) = Î( 0) + Ø2
Î( 1) + Ø4
Î( 2) = 1 + Ø2
+ Ø4
0 1 2 º
0 1 2 Î( ) = ( 2) −

11. ¾º
2( ) ( 2) = 2
Ê( Ø) = ÓÚ( ( ) (Ø)) = [ ( ) (Ø)] − ( ( )) ( (Ø)]
= [( 0 + 1 + 2
2
)( 0 + 1Ø+ 2Ø2
)]
− (1 + + 2
)(1 + Ø+ Ø2
)
= ( 2
0) + ( 0 1Ø) + ( 0 2Ø2
) + ( 1 0 )+
( 2
1 Ø) + ( 1 2 Ø2
) + ( 2
2
2
Ø2
) + ( 1 2
2
Ø)
+ ( 2 0
2
) − (1 + + 2
)(1 + Ø+ Ø2
)
=2 + Ø+ Ø2
+ + 2 Ø+ Ø2
+ 2
+ 2
Ø+ 2Ø2 2
− (1 + + 2
)(1 + Ø+ Ø2
) = 1 + Ø+ 2
Ø2
µ ô X(t) = cos(ωt+θ)¸ 0
º º (0 2 )º
( (Ø)) = (cos( Ø+ ))
= (cos Ø· cos − sin Ø· sin )
= cos Ø (cos ) − sin Ø (sin )
ý ¸
(cos ) =
2
0
1
2
cos =
1
2
sin
2
0
= 0
(sin ) = 0
( (Ø)) = 0
Ê( Ø) = ÓÚ( ( ) (Ø)) = [cos( + ) · cos( Ø+ )]
=
1
2
[cos( + + Ø+ ) + cos( + − Ø− )]
=
1
2
[cos ( + Ø) · cos 2 − sin ( + Ø) sin 2 ]
+
1
2
cos ( − Ø)
=
1
2
cos ( − Ø) Ø

12. ¼ ½
(cos 2 ) = (sin 2 ) = 0¸ º
º º º
{ (Ø) Ø≥ 0} º
¸
Î( (Ø)) = Ê(Ø Ø) =
1
2
µ ô
Y (t) = X(t + L) − X(t)
{ (Ø) Ø ≥ 0} º º ÈÓ ××ÓÒ Ä 0 ¹
º
( (Ø)) = ( (Ø+ Ä) − (Ø)) = (Ø+ Ä) − Ø= Ä
(Ø) ÈÓ ××ÓÒº
À
Ê(× Ø) = ÓÚ( (×) (Ø)) = ÓÚ( (×+Ä)− (×) (Ø+Ä)− (Ø)) × Ø
µ ×+ Ä Ø
s Ls + t Lt +
t
ý ÈÓ ××ÓÒ (× + Ä) −
(×) (Ø+ Ä) − (Ø)¸ ¸ Ê(× Ø) = 0º
µ ×+ Ä Ø
s t Ls + Lt +
t

13. ¿º ý ½
ÓÚ( (×+ Ä) − (×) + (Ø) − (Ø) (Ø+ Ä) − (Ø))
= ÓÚ( (Ø) − (×) (Ø+ Ä) − (Ø))
+ ÓÚ( (×+ Ä) − (Ø) (Ø+ Ä) − (Ø))
=0 + ÓÚ( (×+ Ä) − (Ø) (Ø+ Ä) − (Ø) + (×+ Ä) − (×+ Ä))
= ÓÚ( (×+ Ä) − (Ø) (Ø+ Ä) − (×+ Ä))
+ ÓÚ( (×+ Ä) − (Ø) (×+ Ä) − (Ø))
=0 + Î( (×+ Ä) − (Ø)) = Î( (×+ Ä− Ø) − (0))
=Î( (×+ Ä− Ø)) = (×+ Ä− Ø)
(0) = 0 ³ º
ÿ
ÓÚ( (×) (Ø)) =
[Ä− |Ø− ×|] |Ø− ×| ≤ Ä
0 |Ø− ×| Ä
¸ Î( (Ø)) = ĺ
Î( (Ø)) = ( 2(Ø)) − [ ( (Ø))]2 ¹
º
µ ô Z(t) = sin 2π
L
t + Y (t)¸ (Ø) º
( (Ø)) = sin
2
Ä Ø + Ä
Ê(× Ø) = ÓÚ( (×) (Ø)) = ÓÚ sin
2
Ä × + (×) sin
2
Ä Ø + (Ø)
= ÓÚ( (×) (Ø))
º
¿º ý
ÿ { (Ø) Ø≥ 0} ½¹
µ Ñ(Ø) = ( (Ø))

14. ¾ ½
µ Ê(Ø ×) = ÓÚ( (Ø) (×))º
½º (Ø) = + ظ ¹
[0 1]º
¾º (Ø) = Ï(Ø+1)−Ï(Ø) ¸ {Ï(Ø) Ø≥ 0} ÖÓÛÒ Ï Ò Ö
2º
¿º (Ø) = + Ï(Ø)¸ 0 {Ï(Ø) Ø ≥ 0}
ÖÓÛÒº
º (Ø) = Ø + Ï(Ø)¸ ¹
Æ( 2) ÖÓÛÒ
{Ï(Ø) Ø≥ 0}º
º (Ø) = cos( Ø+ )¸ ¹
[0 1] ¸
٠ݸ º º º º ( ) =
1
(1 + 2)
º
º ô { Ò Ò≥ 1} Ò =
cos(ÒÍ)¸ Í [− ]º
Ò ¸ º
º ÖÓÛÒ Ï Ò Ö¸ ϸ ¹
½º ô Ï « º ¹
ÖÓÛÒ
Ï Ò Ö
µ «Ï Ø
«2
¸
µ Ï(Ø+ «) − Ï(«)¸
µ Î = ØÏ 1
Ø ¸ Ø 0¸ Î(0) = 0º
º þ
ظ ƺ¸ Ð Ñ ÒØ× Ó ÔÔÐ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ Ï Ð Ý¸ ƺ º ½ º
ÒÐ Ö¸ º¸ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ ½ º
Óܸ º ʺ Ò Å ÐÐ Ö Àº º¸Ì Ì ÓÖÝ Ó ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× × ÔÑ Ò

15. º þ ¿
Ò À Ðи ÄÓÒ ÓÒ¸ ½ º
ÙÖÖ Ø¸ ʺ¸ ×× ÒØ Ð× Ó ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ËÔÖ Ò Ö¸ ½ º
ÓÓ ¸ º¸ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× × Âº Ï Ð Ý¸ ƺ º¸ ½ ¿
ÐÐ Ö¸ Ϻ¸ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ÈÖÓ Ð ØÝ Ì ÓÖÝ Ò ÁØ× ÔÔÐ Ø ÓÒ׸ ÎÓк½¸
º Ï Ð Ý¸ ƺ º¸ ½ º
ÐÐ Ö¸ Ϻ¸ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ÈÖÓ Ð ØÝ Ì ÓÖÝ Ò ÁØ× ÔÔÐ Ø ÓÒ׸ ÎÓк¾¸
¾Ò º¸ º Ï Ð Ý¸ ƺ º¸ ½ ½º
à ¸ º¸ ý ¸ ½ º
à ÖÐ Ò¸ ˺¸ Ì ÝÐÓÖ¸ Àº º¸ ¬Ö×Ø ÓÙÖ× Ò ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ Ñ
ÈÖ ×׸ ¾Ò Ø ÓÒ¸ ½ º
È ÖÞ Ò¸ º¸ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ÀÓÐ Ò¹ ݸ ½ ¾º
Ê ×Ò ¸ ˺¸ Ú ÒØÙÖ × Ò ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ Ö Ù× Ö¸ Ó×ØÓÒ¸ Å º
½ ¾º
ÊÓ×׸ ˺¸ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ¾Ò º¸ Ï Ð Ý¸ ½ º

17. ¾
ý Å Ö ÓÚ
½º þ
½º½º { (Ø) Ø∈ Ì}
È( (Ø ) ≤ Ü | (Ø −1) = Ü −1 (Ø1) = Ü1)
= È( (Ø ) ≤ Ü | (Ø −1) = Ü −1)
Ø1 Ø2 · · · Ø ∈ Ì Ü1 Ü ∈ ª¸ 2º
½º¾º { (Ø) Ø ∈ Ì} ¹
Å Ö ÓÚ ´
µº
{ (Ø) Ø ∈ Ì}
¹ ª
¹ ý º º Å Ö ÓÚ
ý º º Å Ö ÓÚ
ÿ ¹
Ì = {0 1 2 } ( )¸ = 0 1 º
=
º
Ô ( − 1 ) = È( = | −1 = ) ´½º½µ

18. ¾
º
ý
Ô ( − 1 ) = Ô ∀ = 1 2 ´½º¾µ
¸ ´½º¾µ
º
¸
È( 0 = 0 1 = 1 = ) = È( Ñ = 0 Ñ+1 = 1 +Ñ = )
∀ Ñ∈ ÁÆ 0 1 ∈ ª
º
ª = {0 1 2 }
¼ ½ ¾ · · ·
P =
0
1
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Ô00 Ô01 Ô02 · · ·
Ô10 Ô11 Ô12 · · ·
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
Ô0 Ô1 Ô2 · · · Ô · · ·
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
´½º¿µ
º
Ô ≥ 0 ∀ = 0 1
∞
=0
Ô = 1 = 0 1
P = (Ô )
º
ý
∞
=0
Ô = 1 = 0 1
P º
ý
« = È( 0 = ) ∈ ª ´½º µ

19. ¾º þ
¸ º
¹
È( 0 = 0 1 = 1 = ) × ∈ ª ×= 0 = 1 2
È( 0 = 0 1 = 1 = ) =È( = | −1 = −1 0 = 0)·
· È( −1 = −1 0 = 0)
º
=
Å Ö ÓÚ
È( = | −1 = −1) · È( −1 = −1 0 = 0)
È( 0 = 0 1 = 1 = ) 0º
È( 0 = 0 1 = 1 = )
= È −1 ( − 1 ) · È −2 −1 ( − 2 − 1) · · · È0 1 (0 1) · «0 ´½º µ
«0 = È( 0 = 0) º
ý ¸
È( 0 = 0 1 = 1 = ) = «0 È0 1 È1 2 · · · È −1 ´½º µ
½µ Ö Ò ×Ø
ô
º ´ µ
º
ô ¹
º
{ = 1 2 } º
ª = {0 1 2 }
Ô +1 =
−
Ô −1 =
{ = 1 2 } Å Ö ÓÚ
+1¸ º º =
−
+1 º

20. ¾
È
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Ô00 Ô01 · · · Ô0
Ô10 Ô11 · · · Ô1
Ô20 Ô21 · · · Ô2
Ô 0 Ô 1 · · · Ô −1 Ô
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 1 0 · · · 0
1
0 −1
0 · · · 0
0 2
0 −2
0 · · · 0
0 0 · · · 1 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Ö Ò ×Ø
º
º ý ¼
¸ º ½
¼ ½ − 1º
¾µ ÈÓÐÝ
ô º
´ µ
« ³
(« 0)º ô
¹ º
{ = 1 2 } ª =
{ + « + « }
Ô ( + 1) = È( +1 = | = ) =
+ + « = + «
= 1 −
+ + « =
= 0 = + «
{ = 1 2 } Å Ö ÓÚ¸ ¹
Ô ( + 1) º º
¿µ ÖÒÓÙÐÐ ¹Ä ÔÐ
¸ ¸ Æ ¹
¸ º
´ µ º
ô ¹
º
{ = 1 2 }
ª = {0 1 Æ}º Å Ö ÓÚ
+1¸ º º
= ¸

21. ¾º þ
I
)(
)(
ìiN
ai
-
II
)(
)(
ìi
aiN -
ÿ
=
0 ¹
1 ¹
=
0 Á ¹
1 Á ¹ º
º º ¸ º ô
Ô −1 = È( +1 = − 1| = ) = È( +1 = 0 +1 = 1)
= È( +1 = 0)È( +1 = 1) =
Æ ·
Æ =
Æ
2
Ô +1 = È( +1 = + 1| = ) = È( +1 = 1 +1 = 0) =
Æ −
Æ
2
Ô = È( +1 = | = ) = È({ +1 = 0 +1 = 0} { +1 = 1 +1 = 1})
=
Æ
Æ −
Æ +
Æ −
Æ Æ = 2
Æ 1 −
Æ
P
0 1 2 · · ·
P =
0 0 1 0 · · · 0
1 1
Æ
2
2 1
Æ 1 − 1
Æ
Æ−1
Æ
2
0 · · · 0
2
ººº
Æ 0 0 0 · · · 1 0
¼ º ¹
¸ º

22. ¼ ¾
´ µ¸ Å Ö ÓÚ
º
µ
ô ÖÒÓÙÐÐ Ô
Õ = 1 − Ôº ô 0 ≡ 0
= 0 ¹
= −
= 1 2 = 1 2 º =
¹ º P
0 1 2 3 4 · · ·
P =
0
1
2
ººº
⎡
⎢
⎢
⎣
Õ Ô 0 0 0 · · ·
Õ 0 Ô 0 0 · · ·
Õ 0 0 Ô 0 · · ·
· · · · · ·
⎤
⎥
⎥
⎦
Ô0 = È( +1 = 0| = ) = È( ) = Õ
Ô +1 = È( +1 = + 1| = ) = È( ) = Ô = 0 1
µ
½
¹
º
ý
ª = {0 1 }¸
º
P 1 =
⎡
⎢
⎢
⎣
Ö0 Ô0 0 0 · · · ·
Õ1 Ö1 Ô1 0 · · · ·
0 Õ2 Ö2 Ô2 0 · · ·
· · · · · ·
⎤
⎥
⎥
⎦
È( +1 = + 1| = ) = Ô È( +1 = − 1| = ) = Õ
È( +1 = | = ) = Ö = 1 2

23. ¾º ÔÑ Ò ¹ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ½
È( +1 = 0| = 0) = Ö0 È( +1 = 1| = 0) = Ô0
Ô + Ö + Õ = 1¸ = 1 2 ¸ Ö0 + Ô0 = 1º
P 1
P 2 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 · · ·
Õ 0 Ô · · ·
0 · · ·
ººº
ººº
ººº · · ·
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
P 3 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 · · · 0
Õ 0 Ô · · · 0
0 Õ 0 Ô 0
ººº
ººº
0 0 · · · 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
P 4 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 1 0 0 · · · · 0
Õ 0 Ô 0 · · · · 0
0 Õ 0 Ô · · · · 0
· · · · · · · · 0
· · · · · · · · 0
· 0 · · · · · · 0
· 0 · · · · · 1 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
P 3 P 4 ¸ ª = {0 1
}º
P 2 {0}
{0 } P 3¸ P 4 (0 )
º
P 2 P 3 ¹
º
¾º ¹ ¹
ÔÑ Ò ¹ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ
Ô (Ñ Ñ+ ) = È( +Ñ = | Ñ = )
Ñ≥ 0
≥ 0
´¾º½µ
ν¹ º
ý ¸
Ô ( ) = È( +Ñ = | Ñ = ) Ñ= 0 1 ≥ 1 ´¾º¾µ

24. ¾ ¾
P ( )
¹ ¹
¸
ª = {0 1 }
P ( )
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Ô00( ) Ô01( ) · · · Ô0 ( ) · · ·
Ô10( ) Ô11( ) · · · Ô1 ( ) · · ·
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
Ô0( ) Ô1( ) · · · Ô ( ) · · ·
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Ô ( ) = È( = ) ∈ ª ≥ 1 ´¾º¿µ
º
ý {« } Ô ( )¸
º
Ô ( ) =
∈ª
« Ô ( ) ´¾º µ
ý « = 1¸ Ô ( ) = Ô ( )º
Ô ( ) ¹
ÔÑ Ò¹ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ¸
º ÿ
¾º½º ÿ Ñ Ö ( )
Ô (Ñ ) =
∈ª
Ô (Ñ Ö)Ô (Ö ) ´¾º µ
º ô
: = : Ñ = : Ö =
Ô (Ñ ) = È( = | Ñ = ) = È( | )
º º º
=
È( )
È( )
= ∈ª È( )
È( )
º
=
Å Ö ÓÚ
∈ª
È( | )È( | ) =
∈ª
Ô (Ñ Ö)Ô (Ö )

25. ¾º ÔÑ Ò ¹ ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚ ¿
ÿ
Ô (2) =
∈ª
Ô Ô
Ô ( ) =
∈ª
Ô Ô ( − 1)
Ô (Ñ+ ) =
∈ª
Ô (Ñ)Ô ( )
¸ P ( )
= (Ô ( )) ¹
¸
P (2)
= P · P P ( )
= P · P ( −1)
P (Ñ+ )
= P (Ñ)
· P ( )
º
P ( )
= P = 1 2 ´¾º µ
Ô (0) =
1 =
0 =
− Ã
ÔÑ Ò¹ÃÓÐÑÓ ÓÖÓÚº
−Ã º
Ô (Ø+ ×) = Ô (Ø)Ô (×) Ø≥ 0 ×≥ 0
½º
− Ã P (2)
º
Ô00
¹Ã
= Ô0 Ô 0 = Ô00Ô00 + Ô01Ô10
= Õ· Õ+ ÔÕ = Õ(Ô+ Õ) = Õ
Ô01(2)
¹Ã
= Ô0 Ô 1 = Ô00Ô01 + Ô01Ô11 = ÕÔ+ 0 = ÕÔ
Ô02(2)
¹Ã
= Ô0 Ô 2 = Ô00Ô02 + Ô01Ô12 = 0 + Ô2
= Ô2

26. ¾
= 1 2
Ô 0(2)
¹Ã
= Ô Ô 0 = Ô 0Ô0 0 + Ô +1Ô+1 0
= Õ2
+ ÔÕ = Õ(Ô+ Õ) = Õ
Ô 1(2)
¹Ã
= Ô Ô 1 = Ô 0Ô0 1 + Ô +1 Ô+1 1 = ÕÔ+ 0 = ÕÔ
Ô +2(2)
¹Ã
= Ô Ô +2 = Ô 0Ô0 +2 + Ô +1Ô+1 +2 = 0 + Ô2
P (2)
P (2)
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Õ ÕÔ Ô2 0 0 · · · 0 · · ·
Õ ÕÔ 0 Ô2 0 · · · 0 · · ·
Õ ÕÔ · · ·
Õ ÕÔ · · ·
ººº
ººº · · ·
Õ ÕÔ · · ·
ººº
ººº
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
P (3)
º ÿ ¸
Ô00(3)
¹Ã
= Ô0 Ô 0(2) = Ô00Ô00(2) + Ô01Ô10(2)
= ÕÕ+ ÔÕ+ Õ(Õ+ Ô) = Õ
Ô 0(3) = Ô Ô 0(2) = Ô 0Ô00(2) + Ô +1Ô+1 0(2)
= ÕÕ+ ÔÕ = Õ = 1 2
¾µ
P 1 P 2 P 3 P 4 ´ º ½µ
Ô11(2)º
µ ÿ P 1
Ô11(2)
¹Ã
= Ô1 Ô 1 = Ô11Ô11 + Ô10Ô01 + Ô12Ô21
= Ö2
1 + Õ1Ô0 + Ô1Õ2

27. ¿º ý
µ ÿ P 2 P 3
Ô11(2)
¹Ã
= Ô1 Ô 1 = Ô10Ô01 + Ô12Ô21
= Õ· 0 + Ô· Õ = ÔÕ
µ ÿ P 4
Ô11(2)
¹Ã
= Ô1 Ô 1 = Ô10Ô01 + Ô12Ô21
= Õ· 1 + ÔÕ = Õ+ ÔÕ
Ô11(3)
¿º ý
ô ª = {0 1}
P =
Ô00 Ô01
Ô10 Ô11
=
1 − Ô0 Ô0
1 − Ô1 Ô1
=
Õ0 Ô0
Õ1 Ô1
ø P ÖÒÓÙÐÐ ¹
¸ º º ´ ½µ
º
P ( )
¸ ¸ P ( )
= P º
ÿ P ÿ
º ÿ
P = É 1 0
0 2
É−1
1 2 P É º ý
1 − Ô0 − Ô0
1 − Ô1 Ô1 −
= 0
(1 − Ô0 − )(Ô1 − ) − Ô0(1 − Ô1) = 0 1 = 1
2 = Ô1 − Ô0º

28. ¾
ÿ
1 − Ô0 Ô0
1 − Ô1 Ô1
Õ11
Õ21
= 1
Õ11
Õ21
⇒ Õ11 = Õ21 = 1
1 − Ô0 Ô0
1 − Ô1 Ô1
Õ12
Õ22
= 2
Õ12
Õ22
⇒
Õ12 = −Ô0
Õ22 = 1 − Ô1
É
É=
1 −Ô0
1 1 − Ô1
É=
1 − Ô1 Ô0
−1 1
É
É−1
=
1
|É|
É=
1
1 − Ô1 + Ô0
1 − Ô1 Ô0
−1 1
P =
1
1 − Ô1 + Ô0
1 −00
1 1 − Ô1
1 0
0 (Ô1 − Ô0)
1 − Ô1 Ô0
−1 1
¹
P ( )
=
Ô00( ) Ô01( )
Ô10( ) Ô11( )
= P =
1
Õ1 + Ô0
Õ1 Ô0
Õ1 Ô0
+
(Ô1 − Ô0)
Õ1 + Ô0
Ô0 −Ô0
−Õ1 Õ1
´¿º µ
½ ý |Ô1 − Ô0| 1¸
lim →∞ Ô00( ) = lim →∞ Ô10( ) = Õ1
Õ1+Ô0
≡ 0
0 + 1 = 1
lim →∞ Ô01( ) = lim →∞ Ô11( ) = Ô0
Õ1+Ô0
≡ 1
´¾º µ Ô ( ) =
È( = )¸ = 0 1
Ô1( ) = « Ô 1( ) = «0Ô01( ) + «1Ô11( )

29. ¿º ý
Ô0( ) = « Ô 0( ) = «0Ô00( ) + «1Ô10( )
lim
→∞
Ô1( ) = («0 + «1)
Ô0
Õ1 + Ô0
=
Ô0
Õ1 + Ô0
≡ 1
lim
→∞
Ô0( ) = («0 + «1)
Õ1
Õ1 + Ô0
=
Õ1
Õ1 + Ô0
≡ 0
«0 + «1 = 1 ´ µº
0 1 º
¾º ý |Ô1 − Ô0| = 1¸
Ô1 = 1 Ô0 = 0 º P
P =
1
0
0
1
P ( )
=
1
0
0
1
º ³ ¸
Ô1 = 0 Ô0 = 1 P
P =
0
1
1
0
P (2 )
=
1
0
0
1
P (2 +1) 0
1
1
0
º ¸
º ý
º
º ý ¹ ¸
= 1 2 ¸
=
0 ý
1 ý
P =
0 8 0 2
0 6 0 4
=
Ô00 Ô01
Ô10 Ô11
ý
º
¸

30. ¾
ý
¸
º Ô11(5)¸ Ô1(5)º
ý ´¾º µ
P (5)
= P 5
=
1
0 2 + 0 6
0 6 0 2
0 6 0 2
+
(0 4 − 0 2)5
0 2 + 0 6
0 2 −0 2
−0 6 0 6
Ô11(5) =
0 2
0 2 + 0 6
+
(0 4 − 0 2)5
0 2 + 0 6
· 0 6 ≈
0 2
0 2 + 0 6
= ¼¸¾
º ÿ
Ô1(5) =
1
=0
È( 1 = )Ô 1(5) = È( 1 = 0)Ô01(5) + È( 1 = 1)È11(5)
≈
1
2
· 0 25 +
1
2
· 0 25 = ¼¸¾
º ´ «0 = «2 = 1 2¸
½ µº
º
½µ ô ÖÒÓÙÐÐ º
ÿ { = 1 2 }¸
¹ º
º ô
=
1 ¹ ´ µ
0 ¹ ý ´ýµ
È( = 1) = Ô È( = 0) = Õº = 1 + · · · +
+1 = + +1 º +1 º º
{ = 1 2 } Å Ö ÓÚº
ª = {0 1 }º
Ô = È( +1 = | = ) = È( + +1 = | = )
= È( +1 = − ) ∈ ª

31. º
Ô = È( +1 = 0) = Õ
Ô = 0 ∀ = + 1
Ô +1 = È( +1 = 1) = Ô
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎣
Õ Ô 0 0 · · ·
0 Õ Ô 0 · · ·
0 0 Õ Ô 0 · · ·
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
ººº
⎤
⎥
⎥
⎥
⎦
ÿ ¹
Ô ( ) =È( + = | = )
=È( + +1 + · · · + + = | = )
=È( +1 + · · · + + = − ) =
−
Ô −
Õ −( − )
= +1 + ¸ ÖÒÓÙÐÐ
º
¾µ ³ º ô { ≥ 1}
º ¹
º
º ô ¹ ¸ = 1 2
= min{ 1 } +1 = min{ +1}¸ º
{ ≥ 1} Å Ö ÓÚ
+1º ª = {1 2 6}º
µ ÿ
Ô = 0 ∀
Ô = È( +1 = | = ) = È(min( +1) = | = )
= È(min( +1) = ) = È( +1 ≥ )
=
6 − ( − 1)
6
=
7 −
6
= 1 6
Ô = È( +1 = | = ) = È(min( +1) = )
= È( +1 = ) =
1
6

32. ¼ ¾
µ ÿ
Ô (2) = 0
Ô (2) = È( +2 = | = ) = È(min( +1 +2) = )
= È( +1 ≥ +2 ≥ )
º
=
º º
È( +1 ≥ )È( +2 ≥ )
=
7 −
6
2
= 1 2 6
Ô (2) = È( +2 = | = ) = È(min( +1 +2) = )
= È(min( +1 +2) = )
= È(min( +1 +2) ≥ ) − È(min( +1 +2) ≥ + 1)
=
7 −
6
2
−
7 − − 1
6
2
¹
− Ã º ÿ
¸
Ô42(2) = Ô4 Ô 2 = Ô44Ô42 + Ô43Ô32 + Ô42Ô22 + Ô41Ô12
=
7 − 4
6
·
1
6
+
1
6
·
1
6
+
1
6
·
7 − 2
6
+
1
6
· 0 =
1
4
Ô42(2) =
7 − 2
6
2
−
7 − 2 − 1
6
2
=
1
4
Ô44(2) = Ô4 Ô 4 = Ô44Ô44 =
1
4
=
7 − 4
6
2
º º
1 2 3 4 5 6
P =
1
2
3
4
5
6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0 0 0
1 6 5 6 0 0 0 0
1 6 1 6 4 6 0 0 0
1 6 1 6 1 6 3 6 0 0
1 6 1 6 1 6 1 6 2 6 0
1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

33. º ½
1 2 3 4 5 6
P (2)
= P 2
=
1
2
3
4
5
6
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 · · · ·
1 − (5 6)2 (5 6)2 0 · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · ·
· · · · · (1 6)2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
½ ¸ º
½ º
¿µ ô { } ÖÒÓÙÐÐ
È( = 1) = Ô È( = 0) = Õ Ô+ Õ = 1 = 1 2
ÿ = 2 3
=
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
0 −1 = = 1
1 −1 = 1 = 0
2 −1 = 0 = 1
3 −1 = 0 = 0
{ = 2 3 } º
P ¸ ¹
Ô00(3)º
º { = 2 3 } ¹
ª = {0 1 2 3}º ý ¹
( −1 )¸ ¹
+1 ( +1)º
{ = 2 3 } º
ÿ
Ô00 = È( +1 = 0| = 0)
= È( +1 = = 1| −1 = = 1)
=
È( −1 = = +1 = 1)
È( −1 = = 1)
º
=
º º
È( +1 = 1) = Ô
Ô01 = È( +1 = 1| = 0) = È( +1 = 0) = Õ
Ô02 = 0 Ô03 = 0 Ô04 = 0

34. ¾ ¾
ø ¹
0 1 2 3
P =
0
1
2
3
⎡
⎢
⎢
⎣
Ô Õ 0 0
0 0 Ô Õ
Ô Õ 0 0
0 0 Ô Õ
⎤
⎥
⎥
⎦
− Ã Ô00(3)
Ô00(3) = Ô0 Ô 0(2) = Ô00Ô00(2) + Ô01Ô10(2)
= Ô00(Ô00Ô00 + Ô01Ô10) + Ô01(Ô12Ô20 + Ô13Ô30)
= Ô· Ô2
+ ÕÔ2
= Ô2
µ ¿º
ô { = 2 3 }
=
0 −1 = = 1
1
= 2 3 } º
º { = 2 3 } Å Ö ÓÚ º º
Ô10 =È( +1 = 0| = 1)
=
È(( +1 = (1 1) ( −1) = (1 1))
È(( −1 ) = (1 1))
=
È( +1 = = 1 −1 = 0)
È(( −1 ) = (1 1))
=
ÕÔ2
1 − Ô2
È( +1 = 0| = 1 −1 = 0)
=
È(( +1) = (1 1) ( −1 ) = (1 1) ( −2 −1) = (1 1))
È(( −2 −1) = (1 1) ( −1 ) = (1 1))
=
È(∅)
È( −2 = −1 = 1 = 0)
=
0
ÕÔ2

35. º ¿
µ ô 0 1 2 3
¸ Ô
Õ = 1 − Ô¸ º ô { ≥ 1}
º
º
2
0
13
pq
½
º P
0 1 2 3
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 Ô 0 Õ
Õ 0 Ô 0
0 Õ 0 Ô
Ô 0 Õ 0
⎤
⎥
⎥
⎦
ý « = È( 0 = ) = 1
4 ¸ = 0 1 2 3¸
Ô3(2) = È( 2 = 3)
Ô3(2) = « Ô 3(2) =
1
4
[Ô03(2) + Ô13(2) + Ô23(2) + Ô33(2)]
=
1
4
[0 + (Ô2
+ Õ2
) + 0 + 2ÔÕ] =
1
4
(Ô2
+ Õ2
+ 2ÔÕ) =
1
4
P º
µ ¸ ¹
ý ¸
¹
¸
= 1 2 ¸ = 1 9º ô

36. ¾
¸ = 1 2 º
P Ô65(3)º ý «1 =
È( 0 = 1) = 1 Ô5(3)º
1 6 7
2 5 8
93 4
(
¾
º ¹
1 2 3 4 5 6 7 8 9
P =
1
2
3
4
5
6
7
8
9
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 1 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 1 2 0 0 0 0 0 0
0 1 2 0 1 2 0 0 0 0 0
0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 0
0 0 0 1 3 0 1 3 0 1 3 0
0 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0
0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 0
0 0 0 0 1 3 0 1 3 0 1 3
0 0 0 0 0 0 0 1 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
− Ã
Ô65(3) = Ô6 Ô 5(2) = Ô65Ô55(2) + Ô67Ô75(2)
= Ô65(Ô54Ô45 + Ô56Ô65 + Ô58Ô85) + Ô67(Ô76Ô65 + Ô78Ô85)
=
1
2
·
4
9
+
1
2
5
12
=
93
216

37. º
µ Ò ØÓÒº
0 1 2 3 2 3º ý 3 ¹
2 1 0 ¸
0
º Ϻ ÐÐ Ö
Ì ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÒÐ Ö× Ò Å Ö ÓÚ Ò× ¸ Ñ Öº Å Ø º
ÅÓÒØ Ðݸ ÚÓк ´½ ½µ¸ ÔÔº ¼ ¹ ¼ º
ô
0 =
1 Ó 0
0 Ó 0
=
1 ¸ 0
0 ¸ 0
¸ = 0 1 2 3
Ô0(0) = È( 0 = 0) = Õ Ô1(0) = È( 0 = 1) = Ô
Ô+ Õ = 1
P =
Ô00 Ô01
Ô10 Ô11
=
Ô Õ
Õ Ô
È( 0 = 1| 3 = 1)º
È( 0 = 1| 3 = 1) =
È( 0 = 1 3 = 1)
È( 3 = 1)
=
È( 0 = 1)È( 3 = 1| 0 = 1)
È( 3 = 1)
=
Ô1(0)Ô11(3)
Ô1(3)
− Ã Ô1(3) Ô11(3)º

38. ¾
Ô1(3) =
1
=0
Ô (0)Ô 1(3) = Ô0(0)Ô01(3) + Ô1(0)Ô11(3)
= ÕÔ01(3) + ÔÔ11(3)
Ô01(3)
−Ã= Ô0 Ô 1(2) = Ô00Ô01(2) + Ô01Ô11(2)
= Ô00(Ô00Ô01 + Ô01Ô11) + Ô01(Ô10Ô01 + Ô11Ô11)
= Ô(ÔÕ+ ÕÔ) + Õ(Õ· Õ+ Ô· Ô)
= 3Ô2
Õ+ Õ3
Ô11(3) = 3ÔÕ2
+ Ô3
È( 0 = 1| 3 = 1) =
Ô(3ÔÕ2 + Ô3)
Õ(3Ô2Õ+ Õ3) + Ô(3ÔÕ2 + Ô3)
ý Ô= 1
3
1
2
2
3¸ 13
41¸ 1
2¸ 28
41º
º
ýº
º½º ô { = 0 1 2 }
ªº ∈ ª
∈ ª¸ Ô ( ) 0 ≥ 0º → º ý
º → ¸
←→ º
º½º º
ý º Á
½µ º ↔ Ô (0) = 1 ³ º
¾µ ¸ ↔ ↔
¿µ º ↔ ↔ ¸ ↔ ¸
↔ ↔
Ô (Ñ) 0 Ô (Ò) 0 Ñ Ò≥ 0

39. º
Ô (Ñ+ Ò)
−Ã=
Ö
ÔÖ(Ñ)ÔÖ (Ò) ≥ Ô (Ñ)Ô (Ò) 0
º → º ø ¸ → → Ô (Ò) 0¸
Ô (Ñ) 0¸ Ñ Ò 0
Ô (Ò + Ñ)
−Ã=
Ö
Ô Ö(Ò)ÔÖ (Ñ) ≥ Ô (Ò)Ô (Ñ) 0
º → º ↔ º
ª ¹
º
ª = 1 ∪ 2 ∪ · · · ∪ Ö ∪ ´ º½µ
= ∅ =
¸ ¸
º
º¾º Å Ö ÓÚ ↔
∀ ∈ ªº
º¿º à ¹
Ô ( ) = 0 ∀ ∈ Ã ∈ Ã ≥ 1
º º ý Ã = { } ¸ ¹
º
ÿ
º
½º ô Å Ö ÓÚ { ≥ 1} ª =
{1 2 3 4}º ÿ ¹
¹
º

40. ¾
µ
1 2 3 4
P =
1
2
3
4
⎡
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0
1 2 1 2 0 0
1 3 1 3 0 1 3
1 4 1 4 1 4 1 4
⎤
⎥
⎥
⎦
½ Ô11 = 1º ¹
¾ ½
≥ 1¸ ³ º {2} º
¿¸ º 3 ↔ 4¸
½ ¾¸ {3, 4} ¹
¸ º
µ
1 2 3 4
P =
1
2
3
4
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 1 0
1 0 0 0
1 2 1 2 0 0
1 3 1 3 1 3 0
⎤
⎥
⎥
⎦
Ô13 = 1 Ô31 = 1
2 ¸ 1 ↔ 3º ý Ô21 = 1
Ô12(2) = Ô13Ô32 = 1
2 1 ↔ 2º
2 ↔ 3 ´ Ô32 = 1
2 Ô23(2) = Ô21Ô13 = 1)º
1 2 3 4¸ 4 ¹
1 2 3º {1, 2, 3} ¸ {4}
º
µ
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0
1 0 0 0
1 2 1 2 0 0
1 3 1 3 1 3 0
⎤
⎥
⎥
⎦
ø {1}
{2}, {3}¸ {4}º
µ
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 2 1 2 0 0
1 3 1 3 1 3 0
1 4 1 4 1 4 1 4
1 4 1 4 1 4 1 4
⎤
⎥
⎥
⎦

41. º
¹
º º
¾º ô { ≥ 1} ª = {1 2 3 4}
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 0 1
0 0 0 1
Ô Õ 0 0
0 0 1 0
⎤
⎥
⎥
⎦
Ô14 = 1 1 → 4 Ô41(2) = Ô43Ô31 = Ô 0
4 → 1º 1 ↔ 4º
ý Ô43 = 1 Ô34(2) Ô32Ô24 = Õ 0 4 ↔
3º ¸ Ô24 = 1 Ô42(2) = Ô43Ô32 = Õ 0
2 ↔ 4º
¸
ªº
¿º ô Å Ö ÓÚ { ≥ 1} ª =
{1 2 3}
1 2 3
P =
1
2
3
⎡
⎣
Ô 0 Õ
0 1 0
Õ 0 Ô
⎤
⎦
¾ ¸
{1, 3} º P
1 3 2
P =
1
3
2
⎡
⎣
Ô Õ 0
Õ Ô 0
0 0 1
⎤
⎦ =
P 1 0
0 1
P 1 º ¹
P ( )
= P =
P 1 0
0 1
ÿ

42. ¼ ¾
º ¹
lim →∞ Ô ( )º ý
º
º
º ô { ≥ 1} ª = {1 2 3 4 5}
½ ¾ ¿
P =
1
2
3
4
5
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Ô 0 1 − Ô 0 0
1 3 1 3 1 3 0 0
1 − Ô 0 Ô 0 0
0 0 0 Õ 1 − Õ
0 0 0 1 − Õ Õ
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
{1, 3} {4, 5}
¸ {2} º
ý P
½ ¿ ¾
P =
1
3
4
5
2
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Ô 1 − Ô 0 0 0
1 − Ô Ô 0 0 0
0 0 Õ 1 − Õ 0
0 0 1 − Õ Õ 0
1 3 1 3 0 0 1 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
P1=
Ô 1 − Ô
1 − Ô Ô ¸ P2=
Õ 1 − Õ
1 − Õ Õ ¸
P (ν) = P ν =
⎡
⎣
P ν
1 0 0
0 P ν
2 0
0
⎤
⎦
¹ Ô2 ( )¸ = 1 3 2º
º ´ º ¼µ
0 1 2 3
P =
0
1
2
3
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Õ Ô 0 0 · · ·
Õ 0 Ô 0 · · ·
Õ 0 0 Ô · · ·
Õ · · · ·
Õ · · · ·
ººº
ººº
ººº
ººº ·
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

43. º ½
= 1 2 Ô0 = Õ 0¸ → 0
Ô0 ( ) = Ô01Ô12 · · · Ô−1 = Ô 0 0 →
0 ↔ = 1 2
º Å Ö ÓÚº
º ´ º ½µº ô ª =
{0 1 }
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 · · · 0
Õ 0 Ô · · · 0
0 Õ 0 Ô · · · 0
0 0 0 · · · 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
¼ ¹
¸ ¸
¸ º
þº
ô { ≥ 1}
ªº
( ) = È( = Ö = Ö = 1 − 1| 0 = ) ∈ ª ´ º¾µ
º
=
∞
=1
( ) ´ º¿µ
jº
º
º º
µ = 1¸
µ ý 1¸ º

44. ¾ ¾
µ ½
{ ( ) = 1 2 }
º
ý º
=
∞
=1
( ) ´ º µ
º º
µ ý ∞¸
µ ý = ∞¸ º
= ∞º
º º ¸ ( )¸ ∈ ª
≥ 1
Ô ( ) 0
( ) = 1¸ º
º º ¸ ¹
º
ý ∈ ªº
( ) = È( = Ö = Ö = 1 − 1| 0 = ) ´ º µ
j ¹
i
ø
=
∞
=1
( )
i
j º ø
= ∞
=1 ( ) 1¸ = ∞
=1 ( ) = ∞¸ = 1¸
{ ( ) = 1 2 }¸
º

45. º ¿
½µ
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Õ Ô 0 0 · · ·
Õ 0 Ô 0 · · ·
Õ 0 0 Ô · · ·
Õ · · · ·
Õ · · · ·
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
º ý
´
º ¸
µº º º 0º
ô
0( ) = È( = 0 Ö = 0 Ö = 1 − 1| 0 = 0)
= Ô01Ô12Ô23 · · · Ô −2 −1Ô −10 = Ô −1
Õ = 1 2
0 =
∞
=1
0( ) =
∞
=1
ÕÔ −1
=
Õ
1 − Ô = 1
0 º
∞
=1
0( ) =
∞
=1
ÕÔ −1
=
1
Õ
0 º { 0( ) = 1 2 }
ÿ º
Ô00(1) 0¸ Ô00(2) 0 Ô00( )
0 º º º º {1 2 3 } 1¸ 0
º 0
º
ÖÒÓÙÐÐ º

46. ¾
¾µ ô
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1
2
1
2
0 0 · · ·
2
3
0
1
3
0 · · ·
3
4
0 0
1
4
· · ·
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Ô 0 = +1
+2 ¸ Ô +1 = 1
+2 ¸ = 0 1 º
ø ¹
0¸ º
0(1) = Ô00 =
1
2
0(2) = Ô01Ô10 =
1
2
·
2
3
0(3) = Ô01Ô12Ô20 =
1
2
·
1
3
·
3
4
ººº
0( ) = Ô01Ô12 · · · Ô −2 −1Ô −1 0 =
1
2
·
1
3
· · ·
1
·
+ 1
= 2 3
0 =
∞
=1
0( ) =
∞
=1
1
!
1 −
1
+ 1
=
∞
=1
1
!
−
1
( + 1)!
= lim
→∞
=1
1
!
−
1
( + 1)!
= lim
→∞
1 −
1
( + 1)!
= 1
0 º
ÿ
0 =
∞
=1
0( ) =
∞
=1
1
!
−
1
( + 1)!
= lim
→∞
=1
1
!
−
1
( + 1)!
= lim
→∞
=0
1
( + 1)!
=
∞
=0
1
( + 1)!
= − 1

47. º
0 º ³ø 0
¸ º 0
º
¿µ ô
Ô 0 =
1
+ 2
Ô +1 =
+ 1
+ 2
= 0 1
0º
0(1) =
1
2
00(2) = Ô01Ô10 =
1
2
1
3
0(3) = Ô01Ô12Ô20 =
1
2
2
3
1
4
0( ) = Ô01Ô12Ô23 · · · Ô −2 −1Ô −1 0 =
1
2
2
3
3
4
· · ·
− 1 1
+ 1
=
1
2
2
3
· · ·
− 1
1 −
+ 1
=
1
−
1
+ 1
= 1 2
0 =
∞
=1
0( ) =
∞
=1
1
−
1
+ 1
= lim
→∞
=1
1
−
1
+ 1
= lim
→∞
1 −
1
+ 1
= 1
0 º
0 =
∞
=1
00( ) =
∞
=1
1
−
1
+ 1
=
∞
=1
1
+ 1
= ∞
0 º
ý ¸
º
µ ô
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Ô0 1 − Ô0 0 0 0 · ·
Ô1 0 1 − Ô1 0 0 · ·
Ô2 0 0 1 − Ô2 0 · ·
· · · · · · ·
· · · · · · ·
· · · · · · ·
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

48. ¾
∞
=0 Ô = ∞º
0(1) = Ô0 = 1 − (1 − Ô0)
0( ) = (1 − Ô0)(1 − Ô1) · · · (1 − Ô −2)Ô −1
=
−2
=0
(1 − Ô )[1 − (1 − Ô −1)]
=
−2
=0
(1 − Ô ) −
−1
=0
(1 − Ô )
ô
Ù = (1 − Ô0) · · · (1 − Ô ) ≥ 0 Ù−1 = 1
0 =
∞
=1
0( ) = lim
Æ→∞
Æ+1
=1
0( ) = lim
Æ→∞
Æ+1
=1
(Ù −2 − Ù −1)
= lim
Æ→∞
(1 − ÙÆ)
limÆ→∞ ÙÆ = 0 ∞
=0 Ô = ∞º
µ ô ∞
=0 Ô = ∞º
−Ô =
∞
=0
(−Ô )
!
= 1 − Ô +
Ô2
2!
−
Ô3
3!
+ · · · 1 − Ô = 0 1 2
º Æ
=0(1 − Ô ) − Æ
=0 Ô limÆ→∞
Æ
=0 Ô = ∞¸
lim
Æ→∞
ÙÆ = lim
Æ→∞
Æ
=0
(1 − Ô ) = 0
µ ô limÆ→∞ ÙÆ = 0º
Æ
=
(1 − Ô ) 1 − Ô − Ô +1 − · · · − ÔÆ

49. º
Æ = + 1 + 2 º ∞
=1 Ô ∞¸
0 ∞
= Ô 1 1¸
lim
Æ→∞
Æ
=
(1 − Ô ) lim
Æ→∞
⎛
⎝1 −
Æ
=
Ô
⎞
⎠ 0
limÆ→∞
Æ
=0(1 − Ô ) = 0º
=
∞
=1
0( ) =
∞
=1
(Ù −2 − Ù −1)
= (1 − Ù0) + (2Ù0 − 2Ù1) + (3Ù1 − 3Ù2) + · · ·
= 1 + Ù0 + +Ù1 + · · · + = 1 +
∞
=0
Ù
0 ∞
=0 Ù = ∞¸ º
¾
ÙÆ =
1
2
·
1
3
· · ·
1
Æ + 2
=
1
(Æ + 2)
!
lim
Æ→∞
ÙÆ = 0 ¼
∞
=0
1
( + 2)!
= − 2¸ 0 = − 1º
ÿ ¿
ÙÆ =
1
2
·
2
3
· · ·
Æ
Æ + 1
Æ + 1
Æ + 2
=
1
Æ + 2
lim
Æ→∞
ÙÆ = 0
∞
Æ=0
1
Æ + 2
= ∞
µ Å Ö ÓÚ ¹
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 0 1
0 0 0 1
Ô Õ 0 0
0 0 1 0
⎤
⎥
⎥
⎦

50. ¾
º ¼ º
Ô00 = 0 Ô00(2) = 0 Ô00(3) = Ô03Ô32Ô20 = Ô 0
Ô00(4) = 0 Ô00(5) = 0 Ô00(6) ≥ Ô03Ô32Ô21Ô13Ô32Ô20 = ÕÔ 0
º º º ô º Ô00(3 ) 0¸ = 1 2 ¸ 0
3
º
Ò 0 º
0(1) = 0 0(2) = 0 0(3) = Ô03Ô32Ô20 = 1 · 1 · Ô
0(4) = 0 0(5) = 0 0(6) = Ô03Ô32Ô21Ô13Ô32Ô20
= 1 · 1 · Õ· 1 · 1 · Ô= ÕÔ
0(9) = Ô03Ô32Ô21Ô13Ô32Ô21Ô13Ô32Ô20
= 1 · 1 · Õ· 1 · 1 · Õ· 1 · 1 · Ô= Õ2
Ô
0(3 ) = Õ −1
Ô = 1 2
0 =
∞
=1
0(3 ) =
∞
=1
Õ −1
Ô= 1
0 =
∞
=1
(3 ) 0(3 ) =
∞
=1
3 Õ −1
Ô= 3 ·
1
Ô
0
º
ý ¹
Å Ö ÓÚ
º
¹
¸ ¸
º

51. º
µ ô Å Ö ÓÚ
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0
Õ 0 Ô 0
0 Õ 0 Ô
0 0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎦ ª = {0 1 2 3}
0 3 ¹
1¸ 2 ¸
º 0 3 ¹
º ý 1º
1(1) = 0 1(2) = Ô12Ô21 = ÔÕ 1( ) = 0 2
º 1 = ∞
=1 1( ) = ÕÔ 1¸ 1 ¸
0 3º
2º
º Ã
º
º ÿ
º
º
º½º ¹
Ô ( ) =
Ö=1
(Ö)Ô ( − Ö) = 1 2 ´ º½µ
ý º ô
: = : 0 = Ö : Ö = = = 1 Ö− 1
¹

52. ½¼¼ ¾
Ô ( ) = È( = | 0 = ) = È( | ) =
È( )
È( )
= Ö=1 È( Ö)
È( )
= Ö=1 È( | Ö )È( Ö| )È( )
È( )
=
Ö=1
È( Ö| )È( | Ö)
=
Ö=1
(Ö)Ô ( − Ö)
º½º {Ô ( )} { ( )}
È (×) = Æ +
∞
=1
× Ô ( ) Æ =
1 =
0 =
´ º¾µ
(×) =
∞
=1
× ( ) |×| 1
¸ и
º ÿ
à ÖÐ Ò Ì ÝÐÓÖº
º½º ´ е ô {« }
(×) =
∞
=0
× « |×| 1
lim
→∞
=0
« = Å ≤ ∞
lim
×→1−
(×) = Å
º½º ¸
∞
=0
Ô ( ) ∞ ´ º¿µ

53. º ½¼½
∞
=0
Ô ( ) = ∞ ´ º µ
ý º ´ º½µ ´ º¾µ =
Ô ( ) =
Ö=1
(Ö)Ô ( − Ö) ´ º µ
È (×) = 1 +
∞
=1
× Ô ( )
´ º µ
(×) =
∞
=1
× ( ) |×| 1
´ º µ × ¸
∞
=1
× Ô ( ) =
∞
=1 Ö=1
(Ö)×Ö+( −Ö)
Ô ( − Ö)
=
∞
=1
× ( )
∞
=0
× Ô ( )
´ º µ
È (×) − 1 = (×)È (×)
È (×) =
1
1 − (×)
´ º µ
ô º =
∞
=1
( ) 1¸
º½ lim
×→1−
(×) 1¸ ´ º µ lim
×→1−
È (×) ∞
º½
∞
=0
Ô ( ) ∞º

54. ½¼¾ ¾
ø ¸ º¸ =
∞
=1
( ) = 1¸
∞
=0
Ô ( ) = ∞º
¹
¸ º ¸
º
º¾º ô ´ µ ↔ º
´ µº ý ¸
º
ý º ý ( → ) ∃ Ñ 0 :
Ô (Ñ) = « 0 → ∃ Ò 0 : Ô (Ò) = ¬ 0º
ÔÑ Ò ¹ Ã ÐÑÓ ÓÖÓÚ
Ô (Ñ+ + Ò) =
Ö
Ô Ö(Ñ+ )ÔÖ (Ò) ≥ Ô (Ñ+ )Ô (Ò)
≥ Ô (Ñ)Ô ( )Ô (Ò) = «¬Ô ( ) ´ º µ
Ô (Ñ+ + Ò) ≥ Ô (Ò)Ô ( )Ô (Ñ) = «¬Ô ( ) ´ º µ
≥ 0º ý ´ º µ ´ º µ
∞
=0
Ô (Ñ+ + Ò) ≥ «¬
∞
=0
Ô ( )
∞
=0
Ô (Ñ+ + Ò) ≥ «¬
∞
=0
Ô ( )
∞
=0 Ô ( ) = ∞ ( ∞)¸
∞
=0 Ô ( ) = ∞ ( ∞)¸ º ´ µ¸
´ µº
ý ´ º µ = 0 Ô (Ñ+ Ò) ≥ «¬ 0º ý
Ñ+ Ò ¸ º
Ô (Ñ+ + Ò) = 0 º
´ º µ = 0 Ô (Ñ+ Ò) ≥ «¬¸ º Ñ+ Ò
¸

55. º ½¼¿
Ô (Ñ+ + Ò) 0 º (Ñ+ + Ò)
º º ø
º = º
º½º
¸ º
¸
º
¸ º
ýº
¸
ª = { − 2 −1 0 1 2 } º
Ô +1 = Ô¸
Ô −1 = Õ¸ Ô+ Õ = 1 ∀ ∈ ªº
¸ º¾
º º 0º
Ô00(2 + 1) = 0 = 0 1 2 Ô00(2 ) =
2
Ô Õ = 1 2
º 0 ¸
¾ ¾º
ËØ ÖÐ Ò
! ∼ + 1
2
−
√
2
Ô00(2 ) =
(2 )!
! !
Ô Õ ≈
(2 )2 + 1
2 −2
√
2
+ 1
2 −
√
2
2 Ô Õ
=
(4ÔÕ)
√
ý ÔÕ = Ô(1 − Ô) ≤ 1
4 Ô(1 − Ô) = 1
4 Ô= 1
2º
½µ ý Ô= 1
2¸ Ô00(2 ) ≈ 1√ ∞
=0 Ô00(2 ) ≈ ∞
=0
1√ = ∞ º
¼ º

56. ½¼ ¾
¾µ ý Ô = 1
2¸ 0 ¸ º ¹
0 +∞ Ô 1
2¸ −∞
Ô 1
2 0 º
ý ¹
º
Ô00(2 )
È00(×) =
∞
=0
×2
Ô00(2 ) =
∞
=0
×2 2
Ô Õ
=
∞
=0
×2
(−1)
−1
2 22
(ÔÕ)
=
∞
=0
−1
2 (4ÔÕ×2
) (−1) = (1 − 4ÔÕ×2
)− 1
2
ý ´ º µ
00(×) =
∞
=1
×2
00(2 ) = 1 −
1
È00(×)
= 1 − (1 − 4ÔÕ×2
)
1
2
ý
lim
×→1−
00(×) = 00(1) =
∞
=1
00(2 ) = 1 − (1 − 4ÔÕ)
1
2 = 1 − |Ô− Õ|
Ô = Õ = 1
2¸ 00(1) = 0 = 1 0 ¸
º ý ¸ Ô= Õ = 1
2 ¸
0 =
× 00(×)
×=1
= [4ÔÕ×(1 − 4ÔÕ×2
)− 1
2 ]×=1 = ∞
º 0 º¾ ¹
º
þº
¸ º
ô ≥ 1º
{ = 1 2 } Å Ö ÓÚ
º ô

57. º ½¼
¸ º
1
4¸ º (0 0)¸
0º
+
−
+
− º
Ô00(2 ) =
2( + )=2
È( +
= −
= +
= −
= )
=
(2 )!
! ! ! !
1
4
2
= 1 2
2
Ô00(2 ) =
1
4
2
2
=0
−
=
1
4
2
2 2
ËØ ÖÐ Ò
Ô00(2 ) ∼
1
∞
=0
Ô00(2 ) = ∞
º½ (0 0) º
´ Ô00(2 + 1) = 0 = 0 1 )º
ÿº
¸ º
1
6 ¸ ¹
{ = 1 2 }
º
(0 0 0) ´ 0µº ³
Ô00(2 + 1) = 0¸ = 0 1
Ô00(2 ) =
( ):0≤ + ≤
È( +
= −
= +
= −
=
+
= − − −
= − − )

58. ½¼ ¾
Ô00(2 ) =
( ):0≤ + ≤
(2 )!
( !)2( !)2[( − − )!]2
1
6
2
=
1
2
2
2 !
! !( − − )!
2
1
3
2
≤
1
2
2
2 1
3
!
! !( − − )!
1
3
1
=
1
2
2
2 1
3
= max( ):0≤ + ≤Ò
!
! !( − − )!
º
= ∼ 3 º
ô 0 0¸ Ñ Üº
!
( 0 − 1)! 0( − 0 + 1 − 0)!
≤
!
( 0 + 1)! 0( − 0 − 1 − 0)!
≤
!
0!( 0 − 1)!( − 0 − 0 + 1)!
≤
!
0!( 0 + 1)!( − 0 − 0 − 1)!
≤
− 0 − 1 ≤ 2 0 ≤ − 0 + 1
− 0 − 1 ≤ 2 0 ≤ − 0 + 1
1 −
0
−
1
≤ 2
0
≤ 1 −
0
+
1
1 −
0
−
1
≤ 2
0
≤ 1 −
0
+
1
1 −
0
≤ 2
0
≤ 1 −
0
1 −
0
≤ 2
0
≤ 1 −
0

59. º ½¼
2
0
= 1 −
0
2
0
= 1 −
0
2 0 = − 0 2 0 = − 0
º
0 ∼
3
« 0 ∼
3
ÿ
Ô00(2 ) ≤
2 !
3 ! 3 ! 3 !22 3
ËØ ÖÐ Ò
Ô00(2 ) ≈
3
√
3
2 3 2 3 2
∞
=1
3
√
3
2 3 2 3 2
∞
∞
=1
Ô00(2 ) ∞
0
º
º¿º ô º
à ¸
∈ Ã
= 1 = 1
ý º º = 1º ô → ¸ È( =
Ö = Ö = 1 − 1| 0 = ) = « 0¸ 0º
ô ³
º
È ´ ´ )) = 1− 1− ≥ «(1− )¸
= ∞
=1 ( )º ý = 1 « 0¸
1 − = 0 = 1 º ↔

60. ½¼ ¾
↔ º ô Ã = { : → } ∈ Ã º ô
= 1 º ↔ →
→ º → ¸ ↔
à º ý º º¾
¸ º Ã
º ô º
= 1 = 1 ∀ ∈ Ã
º¾º ý ¸ º
P
P =
E O
M1 M
¸
¸ M1
º
¸
º
ÿ
º
º º ª ¹
Ω = M ∪ K1 ∪ K2 ∪ . . .
M Ki = 1 2
º
º½º ª = {0 1 } Ô00 = Ô =
1¸ Ô −1 = 1 − Ô¸ Ô +1 = Ô¸ 0 ´ ¹
µ¸ {1 − 1} º ô
Ω = {1, . . . , − 1} ∪ {0} ∪ {} ¹
P

61. º ½¼
0 1 2 · · · − 1
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0 · · · 0
0 1 0 0 · · · 0
1 − Ô 0 0 Ô · · · 0
0 0 1 − Ô 0 · · · 0
0 Ô 0 0 · · · 1 − Ô 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
K1 0 · · · 0
0 K2 0 · · · 0
M1 M
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
º¾º ô ª = {0 1 5} ¹
0 1 2 3 4 5
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 3 2 3 0 0 0 0
2 3 1 3 0 0 0 0
0 0 1 4 3 4 0 0
0 0 1 5 4 5 0 0
1 4 0 1 4 0 1 4 1 4
1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
È =
⎡
⎣
1 0 0
0 2 0
Å1 Å2 Å
⎤
⎦
1 =
1 3 2 3
2 3 1 3 2 =
1 4 3 4
1 5 4 5
Å =
1 4 1 4
1 6 1 6
Å1 =
1 4 0
1 6 1 6
Å2 =
1 4 0
1 6 1 6
ý º¿
= 1 ∀ ∈ 1 × = 1 ∀ ×∈ 2

62. ½½¼ ¾
0 = 1¸ 2 = 1 5 1 ¹
0 2º ÿ ¸
00(1) =
1
3
00(2) =
2
3
·
2
3
00(3) =
2
3
1
3
2
3
00( ) =
2
3
1
3
1
3
· · ·
1
3
·
2
3
=
2
3
1
3
−2
2
3
0 =
∞
=1
00( ) =
1
3
+
∞
=2
2
3
2
1
3
−2
= 1
0 =
∞
=1
00( ) =
1
3
+
∞
=2
2
3
2
1
3
−2
= 2
∈ Å ∈ 1 2
¸ º º
40(1) =
1
4
40(2) = Ô44Ô40 + Ô45Ô50 =
1
4
2
+
1
4
·
1
6
40(3) =Ô44Ô44Ô40 + Ô45Ô55Ô50 + Ô45Ô51Ô10 =
1
4
3
+
1
4
1
6
2
+
1
4
1
6
2
3
40(4) =Ô44Ô44Ô44Ô40 + Ô45Ô55Ô55Ô50 + Ô45Ô55Ô51Ô10
+ Ô45Ô51Ô11Ô11Ô10 =
º
º
³
¹
º ÿ
= 1 = 0 =
= 1 2
= 0
Ì ∞
=1 º
( ) = 1 · Ô ( ) + 0 · (1 − Ô ( )) = Ô ( )
∞
=1
=
∞
=1
( ) =
∞
=1
Ô ( )

63. º ½½½
º½ ¹
º¿º ´ µ
´ µº
(Æ) = È ´ µ¸ ∈ ªº
= limÆ→∞ (Æ) º
º º =
1
ý º
(Æ) =
∞
=1
( ) (Æ − 1) = (Æ − 1)
∞
=1
( )
= (Æ − 1) = · · · = (1) Æ−1
= Æ
(1) = È ´ ) º (1) =
ý limÆ→∞ (Æ) = ¸ = 1 ¼ = 1
1 º
º
º º ý ↔ ¸ ½
º
ý º ô
(Æ) = È(
) Æ = 1 2
(Æ) =
∞
=1
( ) (Æ − 1) = (Æ − 1)
= lim
Æ→∞
(Æ) = lim
Æ→∞
(Æ − 1) =

64. ½½¾ ¾
ý ¸ º = 1¸ ↔
º¾ = 1º
= 1
¹
¸ ¹
º
ô Å Ö ÓÚ
º ý ´ µ ↔ ¸ ∀ ∈ ª
∃ Ѹ Ô (Ñ) 0 Ô (Ò) 0º ý Ô (Ñ+Ò) ≥ Ô (Ñ)Ô (Ò)
0 Ñ+ Ò º Ò
Ñ Ô (Ñ) 0 Ñ =
Ö+ ¸ 0 ≤ Ö ≤ ¸ = 0 1 º ¸ Ö
´ µ¸ º
0 1 −1¸
Ö = { : Ô (Ñ) = 0 Ñ= Ö+ }
0 −1
ª º
ô ¸ ¸ Å Ö ÓÚ ª = {1 2 3 4 5 6} ¹
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 0 1 2 0 1 2 0
1 3 0 0 1 3 0 1 3
0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0
0 0 1 4 0 3 4 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= 3º
0 1 2¸ ½º
¾ ¿
P (2)
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0 1 0 0 0 0
0 0 7 12 0 5 12 0
1 3 0 0 1 3 0 1 3
0 1 0 0 0 0
1 3 0 0 1 3 0 1 3
0 1 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

65. º ý ½½¿
P (3)
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 3 0 0 1 3 0 1 3
0 1 0 0 0 0
0 0 7 12 0 5 12 0
1 3 0 0 1 3 0 1 3
0 0 7 12 0 5 12 0
1 3 0 0 1 3 0 1 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ý
0 = { : Ô1 (3 ) 0 } = {1 4 6}
1 = { : Ô1 (3 + 1) 0 } = {3 5}
2 = { : Ô1 (3 + 2) 0 } = {2}
ý º º ¾¸
0 = {2} 1 = {1 4 6} 2 = {3 5}
3 2 · 3 ¸
P (3)
¸ Ö
º ý º
½ ¿
P =
⎡
⎣
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1 3
1 3 1 3 1 3
⎤
⎦ P 1 =
7 12 5 12
7 12 5 12
P 2 = Ô22 = 1
º ý ¹
º
º ¹
à ÖÐ Ò Ì ÝÐÓÖ¸ º¿ º
ý º
ô {« } « = 1º
ô º º º : « 0
= «1 −1 + «2 −2 + · · · + « 0 ≥ 1 0 = 1

66. ½½ ¾
lim
→∞
= = «
º½º µ ý ¸
lim
→∞
Ô ( ) = 0 ´ º½µ
µ ý ¸
lim
→∞
Ô ( ) =
1
´ º¾µ
µ ý ¸
lim
→∞
Ô ( ) = ´ º¿µ
ý º µ ý ¸ ∞
=0 Ô ( ) ∞¸ Ô ( ) → 0
→ ∞º
µ ý Ô ( ) = Ö=1 (Ö)Ô ( − Ö)
lim
→∞
Ô ( ) =
1
=
∞
=1
( )
ý = ∞¸ lim →∞ Ô ( ) = 0º
µ ý º º º
Ö 0 : (Ö) 0 º
lim
→∞
Ô ( ) =
¹
º
º½º ô
Ý =
=0
¬ Ü − = 0 1
¬ ≥ 0¸
∞
=0 ¬ = ¬ ∞ lim →∞ Ü = ܺ
lim
→∞
Ý = ¬Ü

67. º ý ½½
º¾º µ ý ¸
lim
→∞
Ô ( ) = 0 ∀ ∈ ª ´ º µ
µ ý ¸
lim
→∞
Ô ( ) =
1
∀ ∈ ª ´ º µ
µ ý ↔ ∈ Ö¸
lim
→∞
Ô ( ) = lim
Ñ→∞
Ô (Ñ + ×) = ∈ Ö+×
´ º µ
= 0 º
ý º µ ý
Ô ( ) =
Ö=1
(Ö)Ô ( − Ö)
´ º½µ
º½ º½
lim
→∞
Ô ( ) = 0
µ ý ´ º¾µ º½
lim →∞ Ô ( ) = 1
º½
lim
→∞
Ô ( ) =
1
=
∞
=1
( ) ∞
µ ô ∈ Öº ý ∈ Ö¸
Ö ¸ ¸
¸
º
µ
lim
Ñ→∞
Ô (Ñ ) =
1

68. ½½ ¾
ø = 1 ∈ Ö
=
∞
=1
( ) =
∞
=1
( ) =
1
∞
=1
( ) ( )
=
lim
Ñ→∞
Ô (Ñ ) =
ô Ô ( + 1)
−Ã= Ô Ô ( )º ô
lim
→∞
Ô ( + 1) = lim
Ñ→0
Ô (Ñ + 1) = Ô lim
Ñ→0
Ô (Ñ )
= ∈ Ö+1
= 0 ∈ Ö+1
Ö+1 º ø
Ô ( + 2)
−Å= Ô (2)Ô ( )
lim
→∞
Ô ( + 2) = lim
Ñ→∞
Ô (Ñ + 2) = Ô (2) lim
Ñ→∞
Ô (Ñ )
= ∈ Ö+2
= 0 ∈ Ö+2
¸ Ô (2)
Ö+2º ÿ º
lim
→∞
Ô ( ) = lim
Ñ→∞
Ô (Ñ + ×) = ∈ Ö+×
= 0 ∈ Ö+×
¹
º
º½º
º

69. º ½½
º
º½º { = 0 1 } ¹
Å Ö ÓÚ
P = (Ô ) ª = {0 1 }
=
∞
=0
Ô ∈ ª ´ º½µ
ý ¹ º Í =
( 0 1 )¸ ´ º½µ
U = UP ´ º¾µ
½º ´ º¾µ P
U = UP = UP 2
= UP (2)
U = UP (ν)
=
∞
=0
Ô ( ) ´ º¿µ
¾º ÿ
È( = ) = Ô ( ) =
∞
=0
« Ô ( ) ´ º µ
{« }¸ ∈ ª º
ý lim →∞ Ô ( ) = ¸ ´ º µ
lim
→∞
Ô ( ) =
∞
=0
« = ´ º µ

70. ½½ ¾
¿º ý {« }¸ = 0 1
º
« =
∞
=0
« Ô ( ) ´ º µ
´ º µ¸ ´ º µ ´ º µ
Ô ( ) = « lim
→∞
Ô ( ) = « = 0 1 ´ º µ
º ¸
º
º½º ô ´ µ Å Ö ÓÚ
{Ô }º
º ¹
{ }¸
= lim
→∞
Ô ( ) = lim
→∞
Ô ( ) 0 ∀ ∈ ª
ý º ô { } = 0 1 º
º ý
º ô
¸
lim
→∞
Ô ( ) = 0 ∀ ∈ ª
ý =
∞
=0
Ô ( ) ∀ ∈ ª¸ =
∞
=0
= 0¸
∞
=0
= 1º
º
ô º
lim
→∞
Ô ( ) =
1
= ∀ ∈ ª
ÿ Å
Å
=0
Ô ( ) ≤
∞
=0
Ô ( ) = 1
Å
=0
≤ lim
→∞
Å
=0
Ô ( ) ≤

71. º ½½
1º
∞
=0
≤ 1º ô
Ô ( + 1) =
∞
=0
Ô ( )Ô ≥
Å
=0
Ô ( )Ô
→ ∞
= lim
→∞
Ô ( + 1) ≥
Å
=0
Ô ÓÖ ÐÐ Å ≥
∞
=0
Ô
1 ≥
∞
=0
≥
∞
=0
∞
=0
Ô =
∞
=0
∞
=0
Ô =
∞
=0
=
∞
=0
Ô
=
∞
=0
Ô ( )
ÿ → ∞ = ∞
=0 lim →∞ Ô ( )¸ ∞
=0
Ô º
=
∞
=0
∀ ∈ ª
º ∞
=0 = 1¸ 0 ¹
º
ÿ ¸
{ } {Ü }¸
Ü =
∞
=0
Ü Ô ( )
Ü =
∞
=0
Ü lim
→∞
Ô ( ) =
∞
=0
Ü = ∀ ∈ ª

72. ½¾¼ ¾
º½º ý ¸
¸ |ª| = ˸ ¹
¸
lim
→∞
Ô ( ) = =
1
Ë = 1 Ë
ý º ý ¹
¸ º
ô =
Ë
=1
Ô
Ë
=1
Ô = 1 ´ µ¸
= ¸ = 1 Ë
º =
Ë
=1
Ô = · 1 = º ý
Ë
=1
= 1
Ë
=1
= 1 ⇒ =
1
˸ º =
1
˸ = 1 ˺
º¾º Å Ö ÓÚ ¹
º 0
∀ ∈ ª { }
lim
Ñ→∞
Ô (Ñ + ×) = lim
Ñ→∞
Ô (Ñ + ×) = = ∈ Ö ∈ Ö+×
½µ º ø
Ô 0 = Õ Ô +1 = Ô = 0 1 Ô+ Õ = 1
¸ º
1 = Ô 1 = 0Ô01 = 0Ô
2 = Ô 2 = 1Ô= 0Ô2
= Ô = 0Ô

73. º ½¾½
ý ∞
=0 = 1
∞
=0
0Ô = 1 0 = 1 − Ô
= (1 − Ô)Ô = 0 1 2
ý º½
lim
→∞
Ô0( ) = lim
→∞
Ô0( ) = 0 = 0 =
1
0
0 =
∞
=1
00( ) =
∞
=1
ÕÔ −1
=
1
Õ =
1
1 − Ô
¾µ ª = {0 1 2}
P =
⎡
⎣
0 Ô Õ
Õ 0 Ô
Ô Õ 0
⎤
⎦
(Ô+ Õ = 1)º
º½ º½
lim
→∞
Ô ( ) = lim
→∞
Ô ( ) = = =
1
3
= 0 1 2
¿º º ô ª = {0 1 }
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Ö0 Ô0 0 · · · 0 · · ·
Õ1 Ö1 Ô1 · · · 0 · · ·
0 Õ2 Ö2 Ô2 · · · 0 · · ·
· · · · · · ·
· · · · · · ·
· · · · · · ·
· · · · · · ·
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
º
Ô00 = Ö0 Ô01 = Ô0 Ö0 + Ô0 = 1
Ô = Ö Ô −1 = Õ Ô +1 = Ô Ö + Ô + Õ = 1 = 1 2

74. ½¾¾ ¾
º
= Ô
ý
0 = Ô 0 = 0Ö0 + 1Õ1
= Ô = −1Ô −1 + Ö + +1Õ +1 = 1 2
ý Ö0 = 1 − Ô0 Ö = 1 − Ô − Õ
1Õ1 − 0Ô0 = 0
+1Õ +1 − Ô = Õ − −1Ô −1
+1Õ +1 − Ô = Õ − −1Ô −1 = · · · = 1Õ1 − 0Ô0 = 0
ý
+1Õ +1 = Ô = 0 1
= 0
Ô0Ô1 · · · Ô −1
Õ1Õ2 · · · Õ = 1 ´ º µ
ý ∞
=0 = 1
0 1 +
∞
=1
Ô0Ô1 · · · Ô −1
Õ1Õ2 · · · Õ = 1 ⇒ 0 = 1 +
Ô0Ô1 · · · Ô −1
Õ1Õ2 · · · Õ
−1
∞
=1
Ô0Ô1 · · · Ô −1
Õ1Õ2 · · · Õ ∞¸
´ º µº
Ô = Ô¸ Õ = Õ¸ Ö = 1 − Ô− Õ¸ = 1 2 ¸
Ö0 = 1 − Ô¸ Ô0 = Ô
0 1 +
∞
=1
Ô
Õ = 1

75. º ½¾¿
Ô Õ¸
0 1 +
1
1 − Ô Õ − 1 = 1 ⇒ 0 =
Õ− Ô
Õ = 1 −
Ô
Õ
= 1 −
Ô
Õ
Ô
Õ = 0 1
ÿ º
º ô Å Ö ÓÚ
Ô −1 =
« Ô +1 =
«−
« = 0 1 «
¾º
0 = Ô 0 = 1Ô10 = 1
1
« ⇒ 1 = « 0
1 = Ô 1 = 0Ô01 + 2Ô21 = 0 + 2
2
« ⇒ 2 =
«(«− 1)
2
0
= Ô = −1Ô−1 + +1Ô+1
= −1
«− + 1
« + +1
+ 1
« ⇒ =
« 0
ý «
=0 = 1
0
«
=0
« = 1 0(1 + 1)« = 1 ⇒ 0 =
1
2«
=
« 1
2
1
2
«−
= 0 1

76. ½¾ ¾
º
º ô ª = {0 1 2 3} ¹
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 0 1
0 0 0 1
Ô Õ 0 0
0 0 1 0
⎤
⎥
⎥
⎦
= 3º
P (2)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 Ô+ Õ
Ô Õ 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦ P (3)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
Ô Õ 0 0
Ô Õ 0 0
0 0 Ô+ Õ 0
0 0 0 Ô+ Õ
⎤
⎥
⎥
⎦ Ô+ Õ = 1
¼ 0 = {0 1}¸
1 = {3}¸ 2 = {2}º
= Ô º 0 = 2Ô¸ 1 = 2Õ¸ 2 = 3 3 = 0 + 1
0 + 1 + 2 + 3 = 1 0(1 + Õ
Ô + 1
Ô + 1
Ô = 1
0 = 1
3Ô 1 = 1
3 Õ 2 = 3 = 1
3 º
º¾ º¾
lim
Ñ→∞
Ô (3Ñ) =
1
∀ ∈ 0 = = 3
º
lim
Ñ→∞
Ô00(3Ñ) =
1
0
= 0 = 3
1
3
Ô= Ô
lim Ô10(3Ñ) =
1
0
= Ô
lim
Ñ→∞
Ô11(3Ñ) =
1
1
= Õ
lim
Ñ→∞
Ô01(3Ñ) =
1
1
= Õ
lim
Ñ→∞
Ô22(3Ñ) = 1 = lim
Ñ→∞
Ô33(3Ñ) = 1
º
lim
Ñ→∞
P (3m)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
Ô Õ 0 0
Ô Õ 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎦

77. º ý ½¾
lim
Ñ→∞
P (3m + 1)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 0 1
0 0 0 1
Ô Õ 0 0
0 0 1 0
⎤
⎥
⎥
⎦
lim
Ñ→∞
P (3m + 2)
=
⎡
⎢
⎢
⎣
0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 Ô+ Õ
Ô Õ 0 0
⎤
⎥
⎥
⎦
º ý
¹
¸ = = 1º
´ º µ º¾
º = 0
º ÿ
¸
∈ Ÿ ∈ à ¸ Å Ã
º
º
º½º ô ¸ ¸ ∈ Å
=
∈Å
Ô +
∈Ã
Ô
=
∈Å
Ô +
∈Ã
Ô
¸
½ ¹
º
º

78. ½¾ ¾
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
Ö0 Ô0 0 0 0 · · ·
Õ1 Ö1 Ô1 0 0 · · ·
0 Õ2 Ö2 Ô2 0 · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
· · · · · · · ·
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
ô ´ µ ³
´ µº ¹
Ô ¸ Õ
Ö º
Ô = Ô¸ Õ = Õ¸ Ö = 0¸ = 1 2
º Ô Õ¸
º Ô Õ¸
º Ô= Õ¸ º
ÿ Ö0¸ Ô0
½º Ö0 = 1¸ Ô0 = 0 ´
µº
¾º Ö0 0¸ Ô0 0 ´
µº
¼
0
º Ç { 0 = 0 1 2 }
0 =
∞
=0
Ô 0 = 1 2
´ º½µ
00 = 1
¸ ≥ 1¸
Ô =
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
Ô 0 = + 1
Ö ≥ 0 =
Õ 0 = − 1
0 º

79. º ý ½¾
´ º½µ
0 = Õ −1 0 + Ö 0 + Ô +1 0 = 1 2
Ö = 1 − Õ − Ô
Ô ( +1 0 − 0) = Õ ( 0 − −1 0) = 1 2
Ñ ≥ 1
Ñ+1 0 − Ñ 0 =
ÕÑ · · · Õ
ÔÑ · · · Ô ( 0 − −1 0)
ý
0 = 1 Ñ =
ÕÑ · · · Õ1
ÔÑ · · · Ô1
Ñ= 1 2
Ñ+1 0 − Ñ0 = Ñ( 10 − 1) Ñ≥ 0
Ñ=0
( Ñ+1 0 − Ñ0) = +1 0 − 1
+1 0 − 1 = ( 10 − 1)
Ñ=0
Ñ = 0 1 ´ º¾µ
º 0 1 0¸ ¹
º ÿ
ÕÃ = 0 ÖÃ = 1 ÔÃ = 0
º ¹
ú { 0 = 0 1 Ã}
0 =
Ã
=0
Ô 0 = 1 à − 1 00 = 1 Ã0 = 0 ´ º¿µ

80. ½¾ ¾
10 º
ý à 0 = 0 ´ º¾µ = à − 1
10 = 1 −
Ã−1
Ñ=0
Ñ
−1
=
Ã−1
Ñ=1
Ñ
Ã−1
Ñ=0
Ñ
´ º µ
ý ´ º¾µ ´ º µ
P ¸
º ¼ ¸
ª = {0 1 Ã}¸ ¹
¼
1 − 0 =
−1
Ñ=0
Ñ
Ã−1
Ñ=0
Ñ
= 1 Ã ´ º µ
ÿ
´ º µ º
ý
∞
Ñ=0
Ñ ∞
1 − 0 =
−1
Ñ=0
Ñ
∞
Ñ=0
Ñ
= 1 ∞ ´ º µ
ý ¸
∞
Ñ=0
Ñ = ∞
0 = 1 = 1 2

81. º ý ½¾
ÿ
Ô = Õ
º
Ñ =
Õ
Ô
Ñ
´ º µ
0 = 1 −
1 − (Õ Ô)
1 − Õ Ô
1 − (Õ Ô)Ã
1 − Õ Ô
=
(Õ Ô) − (Õ Ô)Ã
1 − (Õ Ô)Ã Ô= Õ
= 1 −
à =
à −
à Ô= Õ
ý à → ∞¸
0 =
Õ
Ô Ô Õ
= 1 Ô≤ Õ
¸
¸
º ý
¸
³ º
¹
¹
º ô º
º
ô Æ ( ) º
Æ (∞) = lim
→∞
Æ ( )
º
ÿ = 1 2 º º
( ) = 1 =
= 0 =

82. ½¿¼ ¾
Æ ( ) =
Ñ=1
(Ñ) Æ (∞) =
∞
Ñ=1
(Ñ)
{Æ (∞)| 0 = } =
∞
Ñ=1
(Ñ)| 0 =
=
∞
Ñ=1
( (Ñ)| 0 = ) =
∞
Ñ=1
Ô (Ñ) ´ º µ
Ç ¹
¸ Æ ¸
Æ =
∈Å
Æ (∞) ´ º µ
¸ ¸
Æ = Æ + 1 ´ º µ
Ñ = {Æ| 0 = } ´ º½¼µ
º
¸ ∈ ź ´ º½¼µ ´ º µ
Ñ = 1 + {Æ | 0 = } ´ º½½µ
Ñ ¸ ∈ ź
º¾º ÿ ∈ Å
Ñ = 1 +
∈Å
∞
=1
Ô ( ) ´ º½¾µ
Ñ = 1 +
∈
Ô Ñ ´ º½¿µ

83. º ý ½¿½
ý º ´ º½½µ ´ º µ ´ º µ
Ñ = 1 +
∈Å
Æ (∞)| 0 =
= 1 +
∈
∞
Ò=1
Ô (Ò)
ý
Ñ = {Æ| 0 = } =
∈Ω
Ô {Æ| 1 = }
=
∈Å
Ô [1 + {Æ| 0 = }] +
∈Å
Ô
= 1 +
∈Å
Ô Ñ
Å º
¹
´ º½¿µ º
¹
º
½¸ ´ º½¿µ º
¸
¼ {1 Ã−
1} º
Ñ = {Æ| 0 = }
º
{Ñ = 1 − 1}
Ñ = 1 +
−1
=1
Ô Ñ = 1 − 1
ý Ñ0 = Ñ = 0
Ñ = 1 + Õ Ñ −1 + Ö Ñ + Ô Ñ +1 = 1 Ã − 1
Å = Ñ − Ñ −1 = 1 Ã − 1

84. ½¿¾ ¾
Ô Å +1 = Õ Å − 1 = 1 2 Ã − 1
Å +1 =
Õ
Ô ·
Õ −1
Ô −1
· · ·
Õ −Ñ
Õ −Ñ
Å −Ñ
−
1
Ô 1 +
Õ
Ô −1
+ · · · +
Õ · · · Õ −Ñ+1
Ô −1 · · · Ô −Ñ
´ º½ µ
Ñ ¸ =
1 Ã − 1º
ÿ
¸ º Ô = Ô¸ Õ = Õ =
1 2 − 1º ô
Å +1 =
Õ
Ô Å1 −
1
Ô 1 +
Õ
Ô + · · · +
Õ
Ô
−1
=
=
⎧
⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
Õ
Ô Å1 − 1
Ô−Õ 1 − Õ
Ô Ô= Õ
Å1 − 1
Ô Ô= Õ
´ º½ µ
ý
−1
=0
Å +1 =
−1
=0
(Ñ +1 − Ñ ) = Ñ − Ñ0
´ º½ µ
Ñ − Ñ0 =
⎧
⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
Å1 + 1
Ô−Õ
1− Õ
Ô
1−
Õ
Ô
−
Ô− Õ Ô= Õ
Å1 −
1
Ô
( − 1)
2
Ô= Õ
ý Å1º ý Ñ0 = ÑÃ = 0
Ô= Õ
0 = ÑÃ = ÃÅ1 −
1
Ô
Ã(Ã− 1)
2
Å1 =
à − 1
2Ô

85. º ý ½¿¿
ø Ô= Õº
Ñ =
⎧
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
(Ã − )
2Ô Ô= Õ
Õ− Ô −
Ã
Õ− Ô
1 − Õ
Ô
1 −
Õ
Ô
à Ô= Õ
ý à → ∞¸
Ñ =
Õ− Ô Õ Ô
= ∞ Ô= Õ
º
ÿ º ô ª = {0 1
5}
0 1 2 3 4 5
P =
0
1
2
3
4
5
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 2 2 3 0 0 0 0
2 3 1 3 0 0 0 0
0 0 1 4 3 4 0 0
0 0 1 5 4 5 0 0
1 3 1 3 0 1 3 0 0
0 1 3 0 1 3 1 3 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
1 = {0 1}¸ 2 =
{2 3} = {4 5}º
lim −→∞ Ô ( ) ∈ Ω
½º Ã1 ¹
º
º½
lim
→∞
Ô ( ) =
1
2
∀ ∈ Ã1
¾º ÿ Ã2
¾ ¿
P 2 =
2
3
1 4 3 4
1 5 4 5

86. ½¿ ¾
2 = 2
1
4
+ 3
1
5
3 = 2
3
4
+ 3
4
5
⇒ 2 =
4
19
3 =
15
19
º½
lim
→∞
Ô2( ) =
4
19
lim
→∞
Ô3( ) =
5
19
∀ ∈ Ã2
ÿ “2”
lim →∞ Ô22( ) = 1
2
¸ 2 = ∞
=1 22( )º ý
¾
2º
22(1) =
1
4
22(2) =
3
4
·
1
5
22(3) =
3
4
·
4
5
·
1
5
· · ·
22( ) =
3
4
4
5
−2
1
5
= 2 3
∞
=1
22( ) =
1
4
+
∞
=2
3
4
4
5
−2
1
5
=
1
4
+
3
20
1
1 − 4
5
= 1
“2” º
2 =
∞
=1
22( ) =
1
4
+
∞
=2
3
20
4
5
−2
=
1
4
+
3
20
∞
=2
[( − 1) + 1]
4
5
−2
=
1
4
+
3
20
⎡
⎣
∞
=2
4
5
−2
+
×
∞
=2
× −2
×= 4
5
⎤
⎦
=
1
4
+
3
20
1
1 − 4
5
+
×
1
1 − × ×= 4
5
=
19
4
¿º ÿ lim →∞ Ô ( ) = 0 ∀ ∈ ź
lim →∞ Ô4 ( )¸ = 0 1 2 3
lim →∞ Ô5 ( )¸ = 0 1 2 3º
lim
→∞
Ô40( ) =
1
0
40 0 = 2

87. º ý ½¿
ý º½
40 = Ô40 00 + Ô41 10 =
1
3
· 1 +
1
3
· 1 =
2
3
lim
→∞
Ô40( ) =
1
3
lim
→∞
Ô41( ) =
1
3
ø ¸
lim
→∞
Ô42( ) =
1
2
42 2 =
19
4
42 = Ô43 32 =
1
3
· 1 =
1
3
lim
→∞
Ô42( ) =
4
57
lim
→∞
Ô43( ) =
1
3
43 =
15
57
lim
→∞
Ô43( ) = 1 −
1
3
−
1
3
−
4
57
¸
lim
→∞
Ô50( ) =
1
0
50
50 = Ô51 10 + Ô54 40 =
1
3
+
1
3
2
3
=
5
9
lim
→∞
Ô50( ) =
5
18
lim
→∞
Ô51( ) =
5
18
lim
→∞
Ô52( ) =
16
171
lim
→∞
Ô53( ) =
60
171
½¼º ý
½º ô ³ ¹
º
{ = 1 2 } Å Ö ÓÚº
¹ º

88. ½¿ ¾
¾º ´ µ ³
º ô ¹
´ µ º
{ = 1 2 }
º
º
¿º ý × ½
×
º ô ¹
º
{ = 1 2 } Å Ö ÓÚ ¹
º
º
º ô ý þ ¹
½ º = 1 2
ô ½
ý Ô¸
þ Õ(Ô+ Õ = 1)º ô
ý ¹ º { = 1 2 }
Å Ö ÓÚº ¹
º
º
º ¸ ý þ ¡¸
º ô 0
= 1 2
¹ º
È( 2 = )¸
º
lim →∞ Ô ( ) ∈ { ¡}º
º ô ¹
º Å Ö ÓÚ
lim →∞ È( = 9 = 1 2 )º
º ½µ

89. º ý ½¿
Ö Ò ×Ø ´ º ½ µ¸ ¾µ ÖÒÓÙÐÐ ¹
Ä ÔÐ ´ º ½ µº
º ô Å Ö ÓÚ ª = {0 1} P =
0 1
1 2 1 2
º
0 = 3
1 = 3
2 º
º Å Ö ÓÚ ª = {0 1 2 3} ¹
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 2 1 2 0 0
1 6 1 2 1 3 0
0 1 3 1 2 1 6
0 0 1 2 1 2
⎤
⎥
⎥
⎦
º
½¼º ô ª = {1 2 3 4}
P =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 3 2 3 0 0
1 2 1 2 0 0
1 9 1 3 4 9 1 9
1 4 1 8 1 8 1 2
⎤
⎥
⎥
⎦
º
11(×) =
∞
=1
× 11( ) =
×
3
2 + ×
2 − ×
1º
½½º ô Å Ö ÓÚ ª = {1 2 3 4 5 6}
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0
1 4 0 1 2 0 0 1 4
0 1 4 0 1 2 0 1 4
0 0 0 0 0 1
1 16 1 16 1 4 1 4 1 8 1 4
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

90. ½¿ ¾
lim
→∞
Ô ( ) ∈ ª
½¾º
P =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 4 3 4 0 0 0
1 2 1 2 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 1 3 2 3 0
1 0 0 0 0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
lim →∞ Ô ( )º
½¿º ¸ ¸ ½ ¹
¸ ½¼ º
º ô
¹ º
{ = 1 2 } º
º ý È( 0 = 1) = 1
È( 3 = 2)º
º
½ º
ª = {1 2 3 4}
µ P =
⎡
⎢
⎢
⎣
1 3 2 3 0 0
1 2 1 2 0 0
1 4 0 1 4 1 2
0 0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎦ µ P =
⎡
⎢
⎢
⎣
0 1 2 1 2 0
1 3 0 0 2 3
1 0 0 0
0 0 1 0
⎤
⎥
⎥
⎦
ÿ µ 34 = 2 3º ÿ µ
= 1 2 3 4º
½ º ô ª = {0 1 2 } ¹
Ô0 = « 0 Ô = Ö Ô −1 = 1 − Ö Ö ≥ 1
« Öº

91. º ý ½¿
½ º
ý þ ¹
ý ¹
¼¸ þ ¼¸¾º
þ
¼¸ ¸ ý ¼¸¾
¼¸¾º ¹
½º
ý
½ º ³ ¹
º
º ô ¸ = 1 2 ¹
º ¸ = 1 2 ¹
º
¹ º º
½ º ô ¸ = 1 2
ª = {0 1 } Ô0 =
Õ =0 Õ = 1 Ô0 = 1 = 1
º
½ º ô ¸ = 1 2 ¹
ª = {« ¬ ­}
« ¬ ­
P =
«
¬
­
⎡
⎣
1 3 1 3 1 3
2 3 0 1 3
3 4 0 1 4
⎤
⎦
2 = ¬ ¹
È( 1 = ­ 2 = « 3 = « 4 = ­¸
È( 0 = «) = È( 0 = ¬) = È( 0 = ­) =
1
3
º
º
¾¼º ô ¸ = 1 2
ª = {0 1 14} Ô05 =
Ô09 = Ô014 = 1 3 Ô −1 = 1¸ = 1 2 14º
º

92. ½ ¼ ¾
¾½º ¼ ¸
½ ¸ ¾ ¸ ¿
0 1 2 3
P =
0
1
2
3
⎡
⎢
⎢
⎣
1 2 1 2 0 0
1 24 7 8 1 12 0
1 36 0 8 9 1 12
1 8 0 0 7 8
⎤
⎥
⎥
⎦
½»¾¸ º º º
»
½» º lim →∞ Ô ( ) =
0 1 2 3
º
¾¾º ô
½»¾ ¾
¾»¿ ¾
¿» ¾ º
¹
º
¾¿º ô ª = {0 1
}
Ô +1 =
1
2
(1 −
1
+ 2
) ≥ 0 Ô −1 =
1
2
(1 +
1
+ 2
) ≥ 1
Ô00 = 1 − Ô01 = 3
4 º º
¾ º ô ª = {1 2
}
Ô +1 =
2 + 2
≥ 1 Ô −1 =
+ 2
2 + 2
≥ 2 Ô11 = 1 − Ô12 =
3
4
º

93. ½½º þ ½ ½
¾ º ¹
¸ = 1 2
¼ ¸ ½ ¹
¸ ¾ ¸ ¿ ¹
¸
º
Ç
0 1 2 3 4 5
P =
0
1
2
3
4
5
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
1 0 0 0 0 0
1 2 0 1 2 0 0 0
1 10 0 1 2 3 10 0 1 10
0 0 0 7 10 1 10 2 10
1 3 0 0 1 3 1 3 0
0 0 0 0 0 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
º ¹
½½º þ
Рݸ ƺ¸ Ì Ð Ñ ÒØ× Ó ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× × Û Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ø Æ Ø¹
ÙÖ Ð Ë Ò ×¸ º Ï Ð Ý¸ ƺ º ½ º
ÖØÐ Øظ ź ˺¸ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ¿Ö º¸ ѹ Ö
ÍÒ Ú Ö× ØÝ ÈÖ ×׸ Ñ Ö ¸ Ò Ð Ò ¸ ½ º
ظ ƺ¸ Ð Ñ ÒØ× Ó ÔÔÐ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ Ï Ð Ý¸ ƺ º ½ º
Ò ¸ º ĺ¸ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× × Ò Ì Ö ÔÔÐ Ø ÓÒ׸
ÃÖ Ö¸ ½ ¼º
ÒÐ Ö¸ º¸ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ÈÖ ÒØ ¹À ÐÐ ½ º
Óܸ º ʺ Ò Å ÐÐ Ö Àº º¸Ì Ì ÓÖÝ Ó ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× × ÔÑ Ò
Ò À Ðи ÄÓÒ ÓÒ¸ ½ º
ÙÖÖ Ø¸ ʺ¸ ×× ÒØ Ð× Ó ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ËÔÖ Ò Ö¸ ½ º
ÓÓ ¸ º¸ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× × Âº Ï Ð Ý¸ ƺ º¸ ½ ¿
ÐÐ Ö¸ Ϻ¸ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ÈÖÓ Ð ØÝ Ì ÓÖÝ Ò ÁØ× ÔÔÐ Ø ÓÒ׸ ÎÓк½¸
º Ï Ð Ý¸ ƺ º¸ ½ º
ÐÐ Ö¸ Ϻ¸ Ò ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ÈÖÓ Ð ØÝ Ì ÓÖÝ Ò ÁØ× ÔÔÐ Ø ÓÒ׸ ÎÓк¾¸

94. ½ ¾ ¾
¾Ò º¸ º Ï Ð Ý¸ ƺ º¸ ½ ½º
ÀÓ Ð¸ º Ⱥ¸ ÈÓÖظ º ˺¸ ËØÓÒ ¸ º º¸ ÁÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ ØÓ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸
ÀÓÙ ØÓÒ Å ¯ Ò ÓÑÔ Òݸ Ó×ØÓÒ¸ ½ ¾º
Ã Ñ Òݸ º º¸ ËÒ Ðи ºĺ¸ Ò Ø Å Ö ÓÚ Ò׸ Î Ò ÆÓ×ØÖ Ò ¸ ÈÖ Ò ØÓÒ¸
Æ Û Â Ö× Ý¸ ½ ¼º
à ¸ º¸ ý ½ º
à ÖÐ Ò¸ ˺¸ Ì ÝÐÓÖ¸ Àº º¸ ¬Ö×Ø ÓÙÖ× Ò ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ¹ Ñ
ÈÖ ×׸ ¾Ò Ø ÓÒ¸ ½ º
È ÖÞ Ò¸ º¸ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ÀÓÐ Ò¹ ݸ ½ ¾º
Ê ×Ò ¸ ˺¸ Ú ÒØÙÖ × Ò ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ Ö Ù× Ö¸ Ó×ØÓÒ¸ Å º
½ ¾º
ÊÓ×׸ ˺¸ ËØÓ ×Ø ÈÖÓ ×× ×¸ ¾Ò º¸ Ï Ð Ý¸ ½ º