1) O documento apresenta alguns problemas matemáticos ainda não resolvidos, como a Conjectura de Goldbach sobre números pares e a Conjectura de Collatz sobre progressões numéricas. 2) Inclui também discussões sobre a infinitude dos números primos, expansões numéricas como π e √2, e conjecturas geométricas como a de Toeplitz sobre formas de quadrados. 3) Por fim, aborda temas de álgebra abstrata como a Conjectura de Lehmer sobre polinômios e a controversa Conjectura ABC anunciada por

1. PERGUNTAS SIMPLES DE
ENTENDER E DIFÍCEIS DE
RESPONDER
KRERLEY OLIVEIRA – IM/UFALXXX SEMAT-

2. Existem problemas ainda não
resolvidos na Matemática?
O mistério é a força-motriz da Matemática. A beleza e o desafio de explicar o
que é desconhecido, têm impulsionado os matemáticos ao longo dos séculos.
Nesta palestra, apresentaremos alguns problemas que têm inquietado a
humanidade (ou pelo menos a comunidade matemática) há algumas décadas.
Muitos tornarão os seus resolvedores famosos mundialmente.
A escolha deles é baseada no gosto pessoal do palestrante, na facilidade em
apresentá-los a um estudante de Ensino Médio e na capacidade de apresentar
algum conhecimento Matemático a partir deles.

3. Geração de problemas em
Matemática
P1
P2
P4
P5
P3
P6
P7

4. NÚMEROS

5. Best Seller: Conjectura de Goldbach
07/06/1742 - carta de Goldbach para Euler perguntando:
P1: Todo número par maior que dois é soma de dois
primos?
Ex: 10=3+7 ou 10=5+5.
https://www.dcode.fr/goldbach-conjecture

6. Alguns avanços
 Resultado conhecido
até 4x1018 (2013)
 O maior primo
conhecido é o número
277.232.917 -1.
 Números primos da
forma 2p-1 são
conhecidos como
primos de Mersenne.
 Versão “fraca”
provada por Harald
Helfgott (2013):
 Todo ímpar maior
que 5 é soma de 3
primos.
https://arxiv.org/abs/1312.7748

7. Por exemplo, a Conjectura de Pólya
(1919) afirmava que fixado n, existe
pelo menos n/2 números com
quantidade ímpar de fatores primos
(obs.: 2^2x3x5 tem 4 fatores primos.
(1958, Haselgrove) A conjectura
de Pólya é falsa. Existe um
contraexemplo na ordem de
1.845x10361
O menor contra-exemplo é
(1980, Tanaka) n=906.150.257
A conjectura pode ser falsa... 
 Observe que:
 Assim, para que 2p-1 seja
primo, p deve ser primo.
 Mersenne conjecturou em
1644 que isso ocorria para
p=2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31,
67, 127, 257. Lista errada,
descoberta somente quase
três séculos depois!

8. SISTEMAS DINÂMICOS E TEORIA
ERGÓDICA

9. Prova alternativa do Teo Szemerédi de
Furstenberg. Prova nova da infinitude
dos primos usando topologia.
 (Euclides, 300 a.C) Existem infinitos
primos.
 Prova: Se existirem finitos primos,
considere a topologia em Z gerada
pelas Pas com razão >1. Toda PA é
aberto. Toda PA é um fechado
também (pois é uma união finita de
abertos). Logo, {-1,1} contém uma
PA, pois é aberto (já que o
complemento é união finita das PAs
com razão igual a primo).
 Se A é subconjunto de N com
n∈A
1
n
= ∞, então A possui
progressões aritméticas (Pas)
arbitrariamente grandes .
 (1927, Van der Waerden) Se
colorirmos os naturais com k cores,
ntão alguma cor tem PAs
arbritrariamente grandes.
 (1963, Szemerédi) Se A tem
densidade superior positiva, então A
tem PAs arbritrariamente grandes.
Conjectura de Erdös Teoria dos Números?
Combinatória? Teoria dos Grafos? Recorrência?

10. Conjectura de Collatz
 f(x)=x/2 se n é par
 f(x)=3x+1, se n é ímpar.
 fn(x)=f(fn-1(x)).
 Ex.: f(5)=16, f2(5)=f(16)=8,
f3(5)=f(8)=4, f4(5)=f(4)=2,
f5(5)=1.
 Se k é natural, sempre existe n
tal que fn(k)=1?
 Checado até 80x260.
 Anunciado em 2011 por
Gerhard Opfer. Prova
incompleta.
 https://preprint.math.uni-
hamburg.de/public/papers/hb
am/hbam2011-09.pdf
 https://www.dcode.fr/collatz-
conjecture

11.  Numa mesa de bilhar poligonal,
sempre existe um caminho
periódico?
 Obs.: Quando tocamos o vértice, o
caminho “morre”.
 (), Sim, para triângulos acutângulos.
 Se D(t) representa o número de
caminhos com comprimento no
máximo t que começam em um
vértice e terminam em um vértice,
como cresce D(t)?
Bilhares poligonais Espaços de formas diferenciais?
Teoria de Teichmuller? Geometria Simplética? Teoria Ergódica?
a c
b
 Se “codificamos” os caminhos, qual a complexidade da sequência
formada?
 Por complexidade, entende-se a taxa de crescimento do número
de sequências que podem aparecer.
 Por exemplo, a complexidade máxima é log 3. Algumas transições
não aparecem (aa, bb, cc) por exemplo.
 Foi área de pesquisa de Maryam Mirzakhani.

12. EXPANSÕES NUMÉRICAS
 π =3,14159265...
 π possui infinitos dígitos 2 na
base 10? O mesmo para √2
,e.
 (1909, Borel) Quase todo
número em [0,1] possui
infinitos dígitos 2 na base
10. Não somente isso, 2
aparece em 10% das
vezes.
 Lei dos grandes números: origem da
estatística e do lucrativo mercado de
seguros (Webster e Wallace - 1744).
 Qual a proporção de dígitos 2 na
expansão de π na base 10?
 (Nakai-Shiokawa, 1992) Se p é
polinômio não constante positivo,
então
x=0,[p(1)][p(2)][p(3)]... é normal.

13. GEOMETRIA

14. Conjectura de Toeplitz
 Dada uma curva contínua,
fechada e sem auto-
intersecção, existem quatro
pontos na curva que formam
um quadrado?
 (1916, Emch) Sim, para
curvas analiticas por partes.
 Abordagem não sucetível a
generalização.
(2016, T. Tao) Sim, para casos
especiais (graficos Lipschitz
com constante menor que um).

15. ÁLGEBRA

16. Conjectura de Lehmer
 x2+1=0 tem raízes?
−1
1
=
1
−1
→
−1
1
=
1
−1
→
−1 2 = ( 1)2 → −1 = 1.
(1822,Gauss) Todo polinômio p(x) de
grau n se escreve como
P(x)=a(x-r1)... (x-rn), com ri números
complexos adequados.
 Medida de Mahler de p(x) é
M(p)= 𝑖 max(1, 𝑟𝑖 ) .
 Existe β tal que se p(x) tem
coeficientes inteiros, então
• ou p só tem raízes que são da
forma {𝑒2𝜋𝑖/𝑛, 0} (M(p)=1)
• ou M(p)> β.
 Acredita-se que β é
aproximadamente
1,17628081..., obtido usando o
polinômio
q(x)=x10+x9-x7-x6-x5-x4-x3+x+1

17. Conjectura ABC
 O radical r(n) de um número
n é o produto de seus fatores
primos. Ex.: r(2232)=2.3=6
 Dado α>0, existe somente
FINITOS (a,b,c) primos entre
si, tais que a+b=c e
c>r(abc)1+ α
 Anunciado por Mochizuki
(2012). Total de 500 páginas.
 Altamente controverso na
comunidade matemática.
Por exemplo, Peter
Scholze diz (serious,
unfixable gap).
 Artigo do Marcelo Viana
(folha de SP) e quanta
magazine.