1. O documento apresenta uma apostila sobre física B com resumos de 12 aulas sobre eletrostática, campo elétrico, corrente elétrica e eletromagnetismo.
2. O autor fornece resumos concisos e exemplos de resolução de exercícios de forma clara e acessível para aqueles com dificuldades na matéria.
3. O objetivo é oferecer um material complementar para o estudo da disciplina de forma leiga e prática.
2. APRESENTAÇÃO
Olá, meu nome é Helder Guerreiro aluno do curso de Engenharia Química na Universidade Federal do Amazonas
(UFAM). Esta apostila é a junção de todas as aulas que foram ministradas na disciplina de Física B no 3° período do
meu curso, o livro base usado foi o Halliday 5° Edição. Não espere encontrar tudo aqui, temos somente alguns
tópicos selecionados que foram ministrados em aula. A novidade em usar esta apostila é que aqui são apresentadas
formas de resolução de exercícios de uma forma leiga, clara e concisa, então se você tem dificuldades em aprender
Física B não temas, procure o seu assunto aqui e repare como os exercícios são respondidos. Se você é um super-
nerd que veio de uma escola boa e está vendo esses assuntos pela 20° vez na sua vida, vá embora daqui e leia pegue
o Halliday para estudar.
Bons estudos, não garanto que você vai passar nem tirar notas boas. Faculdade se resume numa palavra: se vira.
2
3. SUMÁRIO
DIA 1: ELETROESTÁTICA DIA 7: ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
DIA 2: CAMPO ELÉTRICO DIA 8: ELETROMAGNETISMO
DIA 3: CORRENTE ELÉTRICA DIA 9: EXEMPLO DE ELETROMAGNETISMO
DIA 4: EXEMPLO DE LEI DE KIRCHHOFF DIA 10: EXEMPLO DE ELETROMAGNETISMO
DIA 5: EXEMPLO DE LEI DE KIRCHHOFF DIA 11: ÚLTIMO EXEMPLO DE ELETROMAGNETISMO
DIA 6: ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES DIA 12: EQUAÇÕES DE MAXWELL
LISTAS DE RESOLUÇÃO
3
5. CARGA ELÉTRICA
É uma propriedade física fundamental que é responsável pelos fenômenos eletromagnéticos, as partículas elétrons e
prótons são dotadas de carga elétrica negativa e positiva respectivamente.
Duas cargas positivas se repelem e duas cargas negativas também se repelem. Existe uma atração mútua entre uma
carga positiva e uma carga negativa.
ELA É CONSERVADA
A soma algébrica de todas as cargas elétricas existentes em um sistema isolado permanece sempre constante.
5
6. LEI DE COULOMB
O módulo da força elétrica entre duas cargas puntiformes é diretamente proporcional ao produto das cargas e
inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas.
𝐹 = 𝑘
𝑞1 𝑞2
𝑟2
𝑘 = 8,988 × 109
𝑁𝑚2
𝑐2
=
1
4𝜋𝜖0
𝐹 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞1 𝑞2
𝑟2
6
7. CAMPO ELÉTRICO
O campo elétrico é o campo de força provocado pela ação de cargas elétricas, (elétrons, prótons ou íons) ou
por um sistemas delas. Cargas elétricas num campo elétrico estão sujeitas e provocam forças elétricas.
𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑞
𝑟2
Ԧ𝑥 𝑜𝑢 𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑥
Temos a equação comum e a equação infinitesimal, usamos a equação comum quando estamos nos relacionando
diretamente a uma carga puntiforme (como um dipolo), usamos a equação infinitesimal quando estamos nos
relacionando a uma distribuição de carga por um certo material.
7
8. DENSIDADES DE CARGA
As densidades de carga podem ser de três tipos diferentes, elas são usadas quando estamos trabalhando com uma
distribuição de carga em algum objeto. Essas três diferentes densidades se dá justamente por que o objeto pode ser linear,
planar e volumétrica.
Logo temos as relações das densidades:
𝜆 =
𝑄
𝑙
, 𝜎 =
𝑄
𝐴
, 𝜌 =
𝑄
𝑉
Ora, a densidade linear nos fala que temos uma certa quantidade de carga espalhada sobre um comprimento linear,
A densidade planar nos fala que temos uma certa quantidade de carga espalhada sobre uma quantidade de área;
A densidade volumétrica nos fala que temos uma certa quantidade de carga espalhada sobre uma quantidade de volume.
Para descobrirmos a densidade no caso de cargas infinitesimais, usamos as derivadas das funções:
𝜆 =
𝑑𝑄
𝑑𝑙
, 𝜎 =
𝑑𝑄
𝑑𝐴
𝜌 =
𝑑𝑄
𝑑𝑉
8
9. CARGA INFINITESIMAL
Muitas das vezes precisamos encontrar o 𝑑𝑄 para continuarmos os nossos cálculos, nós devemos encontra-lo
através da sua relação com a densidade de carga. Mas como encontraríamos os corpos infinitesimais? Os corpos
infinitesimais são esse: 𝑑𝑙, 𝑑𝐴, 𝑑𝑉.
1° Passo: Procure uma equação que represente o objeto estudado (por exemplo uma circunferência)
𝑙 = 2𝜋𝑟
2° Passo:Transforme ângulos de qualquer tipo em variável (caso ele varie)
𝑙 = 𝜃𝑟
3° Passo: Derive, as função que variam no objeto se tornarão infinitesimais (na circunferência o raio é constante e o ângulo varia)
𝑑𝑙 = 𝑑𝜃𝑟
Para saber quem irá variar imagine o objeto de estudo sendo criado.
Para criar uma circunferência devemos fixar um raio e gira-lo formando um ângulo de 360°, se o raio variar não será mais circunferência.
9
10. COMPONENTES
Aqui vamos adotar o método de resolução usando a trigonometria ao nosso favor e nisso precisamos analisar as
componentes dos vetores ligados ao ponto.As componentes podem ser duas, seno ou cosseno.
Se o ponto estiver no eixo (tanto x, y ou z) usa-se a componente que está no eixo em que está o ponto. Se o ponto
estiver fora dos eixos então usa-se as duas componentes para o cálculo. Aonde irão ficar essas componente?
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2 Ԧ𝑥
Caso tivermos que trabalhar com duas componente temos que: 𝐸 = 𝐸 𝑥 + 𝐸 𝑦
𝑐𝑜𝑠
O “x” é a componente que
multiplica todo o resto
10
11. EXEMPLO I
Determinar o campo elétrico no ponto P no anel de raio R e densidade uniforme 𝜆.
AnáliseTrigonométrica
Usando o raio e o ponto como referência, temos o triângulo retângulo:
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑎
𝑄, 𝜆
𝑅
Passo 1
𝑑𝑄 𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑎
𝑐
𝑏
𝑟
→ ൞
𝑐 = 𝑎𝑘
𝑏 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗
𝑟2 = 𝑎2 + 𝑏2 Temos esses valores porque:
“c” está exatamente em cima
do eixo ‘a’;
“b” está entre x e y;
“r” é encontrado por Pitágoras.
11
12. EXEMPLO I
Carga infinitesimal
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙
Temos a função que representa o comprimento do anel
𝑙 = 2𝜋𝑟 → 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 → 𝑙 = 𝜃𝑟 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑑𝑙 = 𝑑𝜃𝑟
Numa circunferência o ângulo varia e o raio é fixo.
Sempre imagine como seria o objeto em estudo se formando: Para uma circunferência se formar uma reta deve
percorrer um ângulo de 360º ou menor, mas o raio não pode variar se não estaríamos criando uma área dentro do
anel, deixando de ser circunferência para círculo. Com isso temos:
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝜃𝑟
Passo 2
12
13. EXEMPLO I
Componentes
Analisando o triângulo retângulo no anel e traçando os vetores nele, desenhamos suas componentes.
Passo 3
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑎
𝑐
𝑏
𝑟
Como o ângulo se abre
em relação ao eixo x
temos a componente
em outra perspectiva.
𝑐𝑜𝑠
Como o ponto está
exatamente em cima do eixo
então não faz sentido a
componente seno, porque é
a componente cosseno que
segue em direção ao ponto e
é exatamente aí que estamos
procurando uma resultante.
A componente a
ser usada será
cosseno, ou seja,
hipotenusa sobre
cateto adjacente.
13
14. EXEMPLO I
Reunir informações
Com todo esses dados temos que reuni-los e isso deve acontecer na equação do campo elétrico
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑥
Encontramos a carga infinitesimal, o raio e o componente
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝜃𝑟
a2 + b2
𝑐
𝑎2 + 𝑏2
Esse valor de “c” sobre a raiz do raio é o componente que achamos: o cateto adjacente é o “c” e o raio é a
hipotenusa
Passo 4
14
15. EXEMPLO I
Desenvolvendo
Hora de organizar os cálculos e integrar
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝜃𝑟
a2 + b2
𝑐
𝑎2 + 𝑏2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝜃𝑟𝑐
a2 + b2
3
2
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑟𝑐
a2 + b2
3
2
න
0
2𝜋
𝑑𝜃
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑟𝑐2𝜋
a2 + b2
3
2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑟𝑐2𝜋
a2 + b2
3
2
→
𝜆𝑟𝑐
2𝜖0 a2 + b2
3
2
Passo 5
Os limites de integração são estabelecidos de acordo
com o objeto de estudo.
Estamos analisando um anel não é mesmo?
Quais os limites dele?
Como é uma volta completa então temos de 0 a 2π
15
16. EXEMPLO II
Temos uma barra de comprimento 𝑙 e a densidade de carga uniforme 𝜆. Determine o campo no ponto P.
AnáliseTrigonométrica
Usando o raio e o ponto como referência, temos o triângulo
retângulo:𝜆, 𝑄
𝑙
Passo 1
𝑃 𝑎, 𝑏
𝜆, 𝑄
𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏𝑎
𝑐
𝑏
→ ቐ
𝑐 = 𝑎Ԧ𝑖 − 𝑏Ԧ𝑗
𝑏 = 𝑎Ԧ𝑖
𝑎2
= 𝑏2
+ 𝑐2
16
17. EXEMPLO II
Carga infinitesimal
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙
A única forma de representar um comprimento numa barra é simplesmente usando 𝑙
𝑙 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑑𝑙
Com isso temos:
𝑑𝑄 = 𝜆𝑑𝑙
Passo 2
17
18. EXEMPLO II
Componentes
Analisando o triângulo retângulo na barra e traçando os vetores nele, desenhamos suas componentes.
Passo 3
𝜆, 𝑄
𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏𝑎
𝑐
𝑏
Como o ângulo se abre
em relação ao eixo x
temos a componente
em outra perspectiva.
𝑐𝑜𝑠
Como temos um ponto fora do eixo,
temos que calcular dois campo
elétricos: um em x (usando cosseno)
e outro em y (usando seno).
18
19. EXEMPLO II
Reunir informações
Com todo esses dados temos que reuni-los e isso deve acontecer na equação do campo elétrico
𝑑𝐸 𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑥 , 𝑑𝐸 𝑦 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2
Ԧ𝑦
Encontramos a carga infinitesimal, o raio e o componente
𝑑𝐸 𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙
a2 + c2
𝑏
𝑎2 + 𝑐2
, 𝑑𝐸 𝑦 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙
a2 + c2
𝑐
𝑎2 + 𝑐2
Esse valor de “b” e “c” sobre a raiz do raio é o componente que achamos: o cateto adjacente é o “b”, cateto oposto
é o “c” e o raio é a hipotenusa
Passo 4
19
20. EXEMPLO II
Desenvolvendo
Hora de organizar os cálculos e integrar
𝑑𝐸 𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙
a2 + c2
𝑏
𝑎2 + 𝑐2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙𝑏
a2 + c2
3
2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑏
a2 + c2
3
2
න
0
𝑙
𝑑𝑙
𝑑𝐸 𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑏𝑙
a2 + c2
3
2
𝐸 𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙
a2 + c2
𝑐
𝑎2 + 𝑐2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑑𝑙𝑏
a2 + c2
3
2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑐
a2 + c2
3
2
න
0
𝑙
𝑑𝑙
𝑑𝐸 𝑥 =
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑐𝑙
a2 + c2
3
2
𝐸 = 𝐸 𝑥 + 𝐸 𝑦 →
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑏𝑙
a2 + c2
3
2
+
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑐𝑙
a2 + c2
3
2
→
1
4𝜋𝜖0
𝜆𝑙
a2 + c2
3
2
𝑏 + 𝑐
Passo 5
Uma barra qualquer só pode
variar de zero até um valor
qualquer que chamo de 𝑙.
20
22. EXEMPLO I
Sendo a função densidade ρ 𝑟 = 𝑘
𝑒−𝑎𝑟
𝑟2 ,
𝑘 = 𝑐𝑡𝑐
𝑎 = 𝑐𝑡𝑐
, para uma distribuição de carga esférica determine a carga total:
Relações
Nesta questão o objetivo não é encontrar o campo, somente a carga total,
que é a carga 𝑄, o enunciado nos deu a densidade e através dela podemos
encontrar o 𝑑𝑄.
𝜌 =
𝑑𝑄
𝑑𝑉
→ 𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑉
Depois de encontrar o 𝑑𝑄 basta integrar:
𝑄 = න 𝑑𝑄 → 𝑄 = න 𝜌𝑑𝑉
(𝑑𝑄, 𝑑𝑣)
𝑃(𝑥, 𝑦𝑧)
𝑟
Passo 1
22
23. EXEMPLO I
Carga infinitesimal
𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑉
Temos a função que representa o volume da esfera
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3
Cuidado com a pegadinha, em Cálculo II você aprendeu que a esfera não pode ser calculada por inteira, só podemos calcular a metade dela e aí sim
multiplicamos por dois, então antes do procedimento dividimos tudo por dois
𝑉 =
2
3
𝜋𝑟3
→ 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 → 𝑉 =
1
3
𝜃𝑟3
→ 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑑𝑉 = 𝑟2
𝑑𝜃𝑑𝑟
Tem algo errado não? Uma esfera deve variar o seu raio e dois ângulo de direções diferentes, mas cadê o segundo ângulo? Aqui teremos que usar uma
visão de águia, por que esse ângulo ta escondido.Pesa comigo: se o ângulo não está em forma de 𝜋 então quer dizer que esse ângulo foi calculado, mas
se ele foi calculado qual foi o resultado? Bom, seu eu não vejo nenhum outro número na equação do 𝑑𝑉 quer dizer que ele é igual a 1.
Passo 2
23
24. EXEMPLO I
Então já temos parte da charada, para uma função resultar em 1 seu ângulo está em uma das extremidades, ou seja,
só pode ser:
𝜋
2
,
3𝜋
2
, 𝜋, 2𝜋
MAS, lembre-se que não podemos passar de 𝜋 porque o cálculo da esfera é feito somente pela metade então nossas
opções se reduzem:
𝜋
2
, 𝜋
MAS, existe outra condição, o ângulo tem que percorrer toda a borda da esfera, não somente a metade dela, então o
ângulo só pode ser 𝜋, pois o segundo ângulo deve percorrer de [0, 𝜋] e o primeiro 0,2𝜋
Qual é a função que quando calculado com 𝜋 resulta em 1? Pelo visto só existe uma:
− cos 𝜋 = 1 → â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 → − cos 𝜙 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜙
No final de tudo temos:
𝑑𝑉 = 𝑟2 𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙
24
25. EXEMPLO I
Juntando toda a nossa inspeção temos
𝑑𝑄 = 𝜌𝑑𝑉 → 𝑑𝑄 = 𝑘
𝑒−𝑎𝑟
𝑟2
𝑟2
𝑠𝑒𝑛 𝜙 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝜙
Mas ainda falta estabelecer o limites de integração para a nossa integral tripla que vem por aí, ela é tripla
justamente por que temos três variantes aqui, podemos encontrar os limites com uma simples análise.
O raio não tem valor estabelecido, então só podemos fazer: 0, 𝑟
O ângulo 𝜃 se forma pela horizontal da esfera, na horizontal o ângulo deve fazer uma volta completa: 0,2𝜋
O ângulo 𝜙 está dentro do seno e está na vertical, na vertical ele só pode ir até a metade da esfera: 0, 𝜋
25
28. EXEMPLO II
Seja o caso do cilindro carregado com carga total 𝑄, distribuído na superfície lateral. Determine o campo no ponto
𝑃.
AnáliseTrigonométrica
Usando o raio e o ponto como referência, temos o triângulo retângulo:
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑄, 𝜎
𝑎
𝑏
𝑟
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧
→ ൞
𝑎 = 𝑧𝑘
𝑏 = 𝑥Ԧ𝑖 + 𝑦Ԧ𝑗
𝑟2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Passo 1
28
29. EXEMPLO II
Carga infinitesimal
𝑑𝑄 = 𝜎𝑑𝐴
Temos a função que representa a área lateral do cilindro
𝐴 = 2𝜋𝑟ℎ → 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑛ã𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 → 𝐴 = 2𝜋𝑟ℎ → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝐴 = 2𝜋𝑟𝑑ℎ
Se estivéssemos tratando de um cilindro volumétrico aí sim o raio e o ângulo iriam variar, e aqui o ângulo não varia
porque a área da base sempre será 2𝜋𝑟, se não seria um cilindro.
𝑑𝑄 = 𝜎2𝜋𝑟𝑑ℎ
Passo 2
29
30. EXEMPLO II
Componentes
Analisando o triângulo retângulo no anel e traçando os vetores nele, desenhamos suas componentes.
𝑎
𝑏
𝑟
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧
Como o ângulo se abre
em relação ao eixo x
temos a componente
em outra perspectiva.
𝑐𝑜𝑠
Como o ponto está
exatamente em cima do eixo
então não faz sentido a
componente seno, porque é
a componente cosseno que
segue em direção ao ponto e
é exatamente aí que estamos
procurando uma resultante.
Passo 3
30
31. EXEMPLO II
Reunir informações
Com todo esses dados temos que reuni-los e isso deve acontecer na equação do campo elétrico
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝑑𝑄
𝑟2 Ԧ𝑥
Encontramos a carga infinitesimal, o raio e o componente
𝑑𝐸 =
1
4𝜋𝜖0
𝜎2𝜋𝑟𝑑ℎ
a2 + b2
𝑎
𝑎2 + 𝑏2
Esse valor de “a” sobre a raiz do raio é o componente que achamos: o cateto adjacente é o “a” e o raio é a
hipotenusa
Passo 4
31
34. LEIS DE KIRCHHOFF
Vamos a um passo a passo de um exemplo
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅2
𝑅3
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
+
−
−
−
𝐷𝑎𝑑𝑜𝑠
ቐ
𝑅1 = 𝑅3 = 𝑅4 = 𝑅5 = 1,2 Ω
𝑅2 = 2,3 Ω
𝜀1 = 2,0 𝑉 ; 𝜀2 = 3,8 𝑉 ; 𝜀3 = 5,0 𝑉
34
35. LEIS DE KIRCHHOFF
Distinção de mallhas
Analise o sistema que foi mostrado no slide anterior, veja que temos três retângulos: um à direita e outro à esquerda
e o maior que engloba os outros dois. O primeiro passo é desmembrar todos esses blocos que se chamam malhas.
Passo 1
𝜀1 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1
𝑅2
𝑅3
𝐴
𝐵
+
+
−
−
𝜀3 ↑
𝑅4
𝑅2
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
−
−
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅3
𝑅5
+
+
−
−
MI MII
MIII
𝜀2 ↑
35
36. LEIS DE KIRCHHOFF
Lei das malhas
O segundo passo consisti em analisar o circuito por completo e definir quais as correntes que passam por cada etapa
de seu circuito. Mas antes dou algumas dicas para que se possa ter a análise crítica de correntes:
1. Fontes e resistores não mudam a corrente:
- A corrente que entra numa fonte ou resistor é a mesma que sai, não há distinções.
2. As correntes devem ter um sentido definido:
- As correntes são representadas como se fossem vetores, então precisamos de um sentido para elas, por
exemplo, uma corrente pode subir o circuito ou desce-lo, para definir o sentido deve-se ter como referência uma
fonte, a corrente terá o sentido de saída da fonte referência.
3. As fontes referências podem ser escolhidas de duas formas:
- Caso tenha somente duas fontes no circuito então escolhe-se a de maior tensão;
Caso tenha mais de uma então escolha qualquer uma e tome como referência.
Passo 2
36
37. LEIS DE KIRCHHOFF
4. Os nós mudam as correntes:
- Os nós são aqueles pontos representados por A e B no nosso circuito, ele tem por objetivo dividir as correntes,
ou seja, quando uma corrente passa por um nó ela será mudada para uma outra corrente e se tiver um segundo
caminho (como no caso do nosso circuito) a corrente será divida em duas.
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅2
𝑅3
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
+
−
−
−
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1
𝐼2
𝐼2
𝐼3
𝐼3
𝐼3
Temos mais de uma fonte, então
aconselho que: se na questão as
fontes estiverem enumeradas
então escolha a fonte número um.
Perceba, a corrente 𝐼1 só
muda após passar pelo nó A.
Veja que A está entre dois
caminhos e dividiu a 𝐼1 em 𝐼2 e 𝐼3.
Veja que B já tem função de unir as
correntes, mas se você analisar com
cuidado, no sentido reverso A também
uni as correntes, ou seja, nó separa e
também uni.
Não é difícil! Depois que você marca
a corrente saindo da fonte siga as
linhas e aonde tiver nó divida, e se as
correntes dividas se encontrarem, elas
se unirão e voltarão ao que eram
antes.
37
38. LEIS DE KIRCHHOFF
Análise de malhas
Você se lembra de álgebra? Eu não sou muito bom nisso não... Mas sem delongas, não vamos usar álgebra
necessariamente falando, mas... É parecido.
As malhas que você separou, agora você irá pegá-las de novo, só que dessa vez com as correntes já definidas. Bom
depois disso vamos dar uma volta (literalmente), como? Bom... A teoria diz que a soma das cargas elétricas deve ser
sempre nula, claro para provar o que Lavoisier disse: “na natureza nada se cria nem se destrói, tudo se transforma.”,
ou seja, não pode haver correntes aparecendo do nada dentro do circuito, ela veio de algum lugar.
Então para somar as cargas que são tensões nos resistores e fontes devemos escolher para qual lado somar, ou seja,
daremos uma voltinha.Você pode escolher o lado que você quiser sem problema.
Passo 3
38
40. LEIS DE KIRCHHOFF
Soma algébrica
Para somar você deve prestar atenção nos seguintes passos:
1. Somente são somadas as tensões dos resistores e das fontes, as correntes são somente referência;
2. Os passos abaixo servem tanto para tensões dos resistores e das fontes;
3. Se a corrente seguir o mesmo sentido da volta, a tensão será negativa;
4. Se a corrente seguir o sentido contrário ao da volta, a tensão será positiva;
5. A fonte referência sempre é positiva.
Passo 4
40
41. LEIS DE KIRCHHOFF
Vejas os resultados das somas algébricas
𝜀1 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1
𝑅2
𝑅3
𝐴
𝐵
+
+
−
−
MI
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1
𝐼2
𝜀1 − 𝑉𝑅1
− 𝑉𝑅2
− 𝜀2 − 𝑉𝑅3
= 0
Representamos as tensões dos resistores por 𝑉𝑅 𝑛
.
Veja que os passos foram respeitados:
Toda as correntes seguem o mesmo sentido da
volta, então todas serão negativas, com exceção
da fonte referência que deve ser positiva.
𝜀3 ↑
𝑅4
𝑅2
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
−
−MII
𝐼2
𝐼2
𝐼3
𝐼3
𝐼3
𝜀2 + 𝑉𝑅2
− 𝑉𝑅4
− 𝜀3 − 𝑉𝑅5
= 0
Perceba que a fonte referência escolhida é a dois.
Ao fazer a soma algébrica, se
a maioria dos valores der
positivo, seria interessante
trocar o sentido da volta,
não que isso signifique que
ta tudo errado, é só para
ficar organizado mesmo.
𝜀2 ↑ 41
42. LEIS DE KIRCHHOFF
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅3
𝑅5
+
+
−
−
MIII
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1 𝐼3
𝐼3
𝐼3
𝜀1 − 𝑉𝑅1
− 𝑉𝑅4
− 𝜀3 − 𝑉𝑅5
− 𝑉𝑅3
= 0
Não é difícil, basta começar a somar a
partir da fonte referência e seguir a linha
até completar a volta.
42
43. LEIS DE KIRCHHOFF
Lei dos nós
Bom, nos baseando na conservação da carga, tudo que entra em um nó deve ser igual a tudo que sai de um nó
não é mesmo? Então, se uma corrente passa por um nó e esse nó a divide em duas correntes então a corrente mãe é
igual as duas correntes juntas, ou seja, somadas. Nesse pensamento chegamos ao fato de que:
𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑚 = 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑒𝑚
Isso aí em cima é só para generalizar mesmo, mas a lei dos nós é simplesmente o fato de que a corrente mãe
que foi dividida deve ser igual a soma das suas correntes filhas, e a soma das correntes filhas deve ser igual a sua
corrente mãe.
Passo 5
43
44. LEIS DE KIRCHHOFF
Vamos olhar nosso circuito de novo para entender.
𝜀1 ↑ 𝜀3 ↑
𝜀2 ↑
𝑅1 𝑅4
𝑅2
𝑅3
𝑅5
𝐴
𝐵
+
+
+
−
−
−
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼1
𝐼2
𝐼2
𝐼3
𝐼3
𝐼3
Vamos analisar com cuidado, primeiro o nó A,
então temos a corrente um que vem até o nó
A e se divide em corrente dois e três.
A corrente mãe é a um e as correntes filhas é
a dois e três. Logo:
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
Nó B é o contrário. As correntes dois e três
vem até o nó e então se juntam e formam
novamente a corrente um.
As correntes filhas são dois e três.
A corrente mãe é a um. Logo:
𝑖2 + 𝑖3 = 𝑖1
O valores dos nós foram iguais, não tem problema, vamos usar
somente uma das equações.
A lei dos nós serve para você encontrar o valor das correntes que
ainda não foram encontradas pelo próximo passo, se os nós derem
resultados diferentes fique com as duas equações e caso você
precisar pegue a que for te ajudar a encontrar alguma corrente
ainda não achada.
44
45. LEIS DE KIRCHHOFF
Sistema
Aqui ajunta-se todas as equações que encontramos até agora, elas estão logo abaixo:
Mas antes de partirmos para resolver isso, deve-se substituir as tensões usando a lei de Ohm: 𝑉𝑟 𝑛
= 𝑖 𝑟 𝑅 𝑛
Passo 6
𝜀1 − 𝑉𝑅1
− 𝑉𝑅2
− 𝜀2 − 𝑉𝑅3
= 0
𝜀2 + 𝑉𝑅2
− 𝑉𝑅4
− 𝜀3 − 𝑉𝑅5
= 0
𝜀1 − 𝑉𝑅1
− 𝑉𝑅4
− 𝜀3 − 𝑉𝑅5
− 𝑉𝑅3
= 0
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
ቊ
𝜀1 − 𝑖1 𝑅1 − 𝑖2 𝑅2 − 𝜀2 − 𝑖1 𝑅3 = 0
𝜀2 + 𝑖2 𝑅2 − 𝑖3 𝑅4 − 𝜀3 − 𝑖3 𝑅5 = 0
No início da questão os dados nos
informam que 𝑅1 = 𝑅3 = 𝑅4 = 𝑅5
Logo podemos ajeitar isso aí.
Vamos chama-lo de 𝑅 𝑥
ቊ
𝜀1 − 2𝑖1 𝑅 𝑥 − 𝑖2 𝑅2 − 𝜀2 = 0
𝜀2 + 𝑖2 𝑅2 − 2𝑖3 𝑅 𝑥 − 𝜀3 = 0
Quando organizar equações analise quais delas juntas
podem carregar todas as variáveis possíveis, veja as
duas primeiras, elas juntas têm todas as variáveis
possíveis então a terceira que é da malha três pode ser
desconsiderada.
Não há necessidade de
representar a lei dos nós aqui.
Essas correntes que foram inseridas
pela lei de Ohm são as mesmas que
passam pelos resistores no desenho
do circuito.
45
46. LEIS DE KIRCHHOFF
Para tentarmos encontrar alguma solução vamos substituir a lei dos nós para deixarmos tudo em função de somente
duas correntes, assim podemos encontra-las.
ቊ
𝜀1 − 2𝑖1 𝑅 𝑥 − 𝑖2 𝑅2 − 𝜀2 = 0
𝜀2 + 𝑖2 𝑅2 − 2𝑖3 𝑅 𝑥 − 𝜀3 = 0
→ ቊ
𝜀1 − 2(𝑖2 + 𝑖3)𝑅 𝑥 − 𝑖2 𝑅2 − 𝜀2 = 0
𝜀2 + 𝑖2 𝑅2 − 2𝑖3 𝑅 𝑥 − 𝜀3 = 0
→ ቊ
𝜀1 + −2𝑅 𝑥 − 𝑅2 𝑖2 − 2𝑖3 𝑅 𝑥 − 𝜀2 = 0
𝜀2 + 𝑖2 𝑅2 − 2𝑖3 𝑅 𝑥 − 𝜀3 = 0
Vamos tentar isolar uma das duas correntes, começamos pela dois na segunda equação por que é a menos
complicadinha:
𝜀2 + 𝑖2 𝑅2 − 2𝑖3 𝑅 𝑥 − 𝜀3 = 0 → 𝑖2 =
𝜀3 − 𝜀2 + 2𝑖3 𝑅 𝑥
𝑅2
Como temos duas incógnitas então não podemos resolve-la, mas podemos substitui-la na primeira equação e assim
deixar tudo em função de somente uma incógnita.
46
48. LEIS DE KIRCHHOFF
Se você quiser substituir os dados para evitar toda a álgebra e tornar tudo mais simples não tem problema pode
fazer isso também, na verdade é mais simples assim, só mostrei o modo algébrico por que é a primeira vez que
demonstro isso.
Se por um acaso no final dos cálculos sua corrente for negativa, calma não é o fim do mundo, isso quer dizer que o
desenho da corrente que você fez lá no circuito na lei das malhas está no sentido contrário, então basta você voltar
no seu esquema, apagar a seta e faze-la de novo agora no lado certo, então volte aos seus cálculos e mude o sinal em
todas as partes em que essa corrente apareceu.
48
52. EXEMPLO
Lei das malhasPasso 2
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
Lembre-se, quando a
corrente mãe chega em
um nó, ela é dividida,
quando as correntes
filhas se encontram, elas
formam a corrente mãe. Veja esse B, ele está
representado como um nó,
mas não há nenhum outro
lugar para a corrente dividir,
então esse nó não fará efeito
sobre a corrente, por que
ela não pode ser dividida. 52
53. EXEMPLO
Análise de malhasPasso 3
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼1
𝐼1 𝑅1
𝜀2
+ −
𝐼3
𝐼2
𝐼3 𝐼3
𝐼3
MI MII
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 − 𝑉𝑅2
= 0 𝜀2 − 𝑉𝑅1
= 0
Perceba que se adotarmos
a volta para direita
estaremos colocando
todos os dados em
positivos, cuidado que isso
pode resultar em tensões
negativas, é melhor adotar
o lado opostos
Soma algébricaPasso 4
53
54. EXEMPLO
Lei dos nósPasso 5
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
Veja que somente vamos analisar o nó
A, já tinha comentado antes que o nó B
não exerce sua função aqui por que não
há outro caminho ligado a ele, não há
por que dividir a corrente.
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
54
55. EXEMPLO
Sistema
Vamos do jeito mais fácil agora.
൞
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 − 𝑉𝑅2
= 0
𝜀2 − 𝑉𝑅1
= 0
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 → ቐ
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 − 𝐼1 𝑅2 = 0
𝜀2 − 𝐼3 𝑅1 = 0
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3
Perceba que não precisamos fazer muito esforço, a primeira e a segunda equação têm somente uma incógnita.
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 − 𝐼1 𝑅2 = 0 → 6,0 𝑉 − 5,0 𝑉 − 4,0 𝑉 − 𝐼1 50 Ω = 0 → −𝐼1 =
3, 0 𝑉
50 Ω
= −0,06 𝐴
𝜀2 − 𝐼3 𝑅1 = 0 → 5,0 𝑉 − 𝐼3 100 Ω = 0 → 𝐼3 =
5,0 𝑉
100 Ω
= 0,05 𝐴
𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3 → 𝑖2 = 0,06 𝐴 − 0,05 𝐴 = −0,11 𝐴
Passo 6
Temos duas correntes com
resultados negativos, o que
isso significa? Não está
errado mas suas correntes
estão em sentidos opostos.
55
56. EXEMPLO
Lei das malhasPasso 2
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
As correntes que deram negativos foram, 𝐼1 e 𝐼2
Se tentarmos só mudar a volta
não conseguiremos consertar 56
57. EXEMPLO
Análise de malhasPasso 3
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼1
𝐼1 𝑅1
𝜀2
+ −
𝐼3
𝐼2
𝐼3 𝐼3
𝐼3
MI MII
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 + 𝑉𝑅2
= 0 𝜀2 − 𝑉𝑅1
= 0
A fonte age de forma
diferente dos resistores, a
fonte tem seu sentido do
negativo para o positivo,
quando a volta segue o
mesmo sentido ela é
positiva, quando a volta
segue o sentido oposto ela
é negativa Soma algébricaPasso 4
57
58. EXEMPLO
Lei dos nósPasso 5
Veja que com as correntes mudadas
temos que o jogo virou, agora a
corrente mãe é a 𝑖2 por que é ela que
está sendo dividia. Com isso temos:
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3
𝑅1
𝑅2
𝐴 𝐵
𝜀1
+ −
𝜀2
+ −
𝜀3
+ −
𝐼1
𝐼3
𝐼1 𝐼1
𝐼2 𝐼1
𝐼3 𝐼3
𝐼1
𝐼1
𝐼3
Cuidado com a ilusão, você está vendo esse encontro
entre a corrente 𝑖3 e 𝑖1?
Não confunda isso com um nó, não há nenhum nó lá,
então não vai haver junção de correntes nem
separação. Simplesmente ignore. 58
59. EXEMPLO
Sistema
൞
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 + 𝑉𝑅2
= 0
𝜀2 − 𝑉𝑅1
= 0
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3
→ 𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚 → ቐ
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 + 𝐼1 𝑅2 = 0
𝜀2 − 𝐼3 𝑅1 = 0
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3
Perceba que não precisamos fazer muito esforço, a primeira e a segunda equação têm somente uma incógnita.
𝜀1 − 𝜀2 − 𝜀3 + 𝐼1 𝑅2 = 0 → 6,0 𝑉 − 5,0 𝑉 − 4,0 𝑉 + 𝐼1 50 Ω = 0 → 𝐼1 =
3, 0 𝑉
50 Ω
= 0,06 𝐴
𝜀2 − 𝐼3 𝑅1 = 0 → 5,0 𝑉 − 𝐼3 100 Ω = 0 → 𝐼3 =
5,0 𝑉
100 Ω
= 0,05 𝐴
𝑖2 = 𝑖1 + 𝑖3 → 𝑖2 = 0,06 𝐴 + 0,05 𝐴 = 0,11 𝐴
Passo 6
Veja que com a mudança
dos sentidos das correntes
os valores retornaram a
valores positivos.
59
60. EXEMPLO
Tensões nos resistores
No início da questão o enunciado pede para encontrarmos as tensões nos resistores 1 e 2. A lei de Ohm faz isso
tranquilamente.
𝑉𝑅1
= 𝐼3 𝑅1 = 0,05
𝑉
Ω
100 Ω = 5,0 𝑉
𝑉𝑅2
= 𝐼1 𝑅2 = 0,06
𝑉
Ω
50 Ω = 3,0 𝑉
Existem muitas formas de se resolver um exercício como esse, você pode simplesmente mudar as correntes de
direção e do mesmo jeito mudando a volta da soma algébrica, o porém é: varias formas de se resolver, mas deve
haver os mesmo resultados se o resultado der diferente está errado, se a corrente der negativo a direção da sua
corrente está errada, você pode optar por trocar as setas de sentido ou trocar a sua volta da soma.
Passo 7
60
74. EXEMPLO I
Por associação de resistores, resolvemos esse exercício:
- Nesta primeira etapa analisa-se cada um dos resistores que se encontram no circuito, os resistores podem ser
simplificados por um resistor equivalente, essa simplificação ocorre pelas equações de resistores em série ou
paralelo.
𝑅 𝑒𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅 𝑛
(𝑠é𝑟𝑖𝑒)
,
1
𝑅 𝑒𝑞
=
1
𝑅1
+
1
𝑅2
+ ⋯ +
1
𝑅 𝑛
(𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜)
- Vamos analisar os resistores do circuito e identificar aqueles que estão em série ou paralelo para que possamos
logo simplificarmos.
74
76. EXEMPLO I
𝑅1 𝑅2
𝜀1
+ −
𝑅5𝑅 𝐴
Série
Série
Ao encontrar o resistor
equivalente faz-se a junção
das linhas que formavam os
resistores em paralelo
Dois casos de resistores
em série, podemos
calculá-los de uma vez
𝑅 𝐵 = 𝑅 𝐴 + 𝑅5 = 4 + 4 = 8 Ω
𝑅 𝐶 = 𝑅1 + 𝑅2 = 3 + 5 = 8 Ω
+ −
𝑅 𝐵
𝑅 𝐶
Paralelo
Para simplificarmos o último par, basta
usarmos novamente a equação de
resistores paralelos.
𝑅 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 =
𝑅 𝐵 𝑅 𝐶
𝑅 𝐵 + 𝑅 𝐶
=
8.8
8 + 8
= 4 Ω
𝜀1
76
77. EXEMPLO I
Com somente um resistor podemos encontrar sua corrente, e
através dela encontrar as outras para calcular as tensões.
A corrente pode ser encontrada pela lei de Ohm.
𝑉𝑟 𝐹
= 𝑖𝑅 𝐹
Nesse caso veja que a tensão é a fonte, pois a soma algébrica de
todas as tensões no circuito deve ser zero: 𝜀1 − 𝑉𝑅 𝐹
= 0
+ −
𝑅 𝐹
𝐼 𝐼
𝐼𝐼
𝐼 𝐼
𝜀1
𝜀1 = 𝑖𝑅 𝐹 → 𝑖 =
𝜀1
𝑅 𝐹
=
12 𝑉
4 Ω
= 3 𝐴
77
78. EXEMPLO I
Agora com a corrente descoberta é hora de fazer o caminho reverso, desfazendo as simplificações e analisando os
caminhos das correntes, levando em consideração as divisões de correntes que podem acontecer no meio do
caminho também.
Aqui devemos usar uma propriedade dos resistores em paralelo:
Quando os resistores estão em paralelo, eles tem a mesma tensão.
Qual é tensão de 𝑉𝑅 𝐹
? Ora, através de uma soma algébrica temos:
ε1 − 𝑉𝑅 𝐹
= 0, ou seja, 𝜀1 = 𝑉𝑅 𝐹
, com isso calculamos.
+ −
𝑅 𝐵
𝑅 𝐶
𝜀1
𝐼 𝐼
𝐼𝐼
𝐼 𝐼𝐼1
𝐼2
𝐼1
𝐼2
𝑉𝑅 𝐵
= 𝑖1 𝑅 𝐵 → 𝑖1 =
𝑉𝑅 𝐵
𝑅 𝐵
=
𝜀1
𝑅 𝐵
=
12 𝑉
8 Ω
= 1,5 𝐴
𝑉𝑅 𝐶
= 𝑖2 𝑅 𝐶 → 𝑖2 =
𝑉𝑅 𝐶
𝑅 𝐶
=
𝜀1
𝑅 𝐶
=
12 𝑉
8 Ω
= 1,5 𝐴
78
80. EXEMPLO I
Para encontrarmos as duas últimas correntes devemos ter outro tipo de olhar
𝑅1 𝑅2
𝜀1
+ −
𝑅5
𝑅4
𝑅3
𝐼 𝐼
𝐼𝐼
𝐼 𝐼
𝐼1
𝐼1
𝐼2
𝐼4
𝐼3
Bom aqui de novo vamos usar o fato de que resistores em paralelo
tem a mesma tensão, veja que 𝑅4 e 𝑅3 que na verdade é o 𝑅 𝐴 estão
em paralelo com 𝑅1 e 𝑅2 que na verdade é o 𝑅 𝐵. No final de tudo
chegamos que.
𝜀1 = 𝑉𝑅 𝐹
= 𝑉𝑅 𝐵
= 𝑉𝑅 𝐶
= 𝑉𝑅 𝐴
Ta certo que vamos simplesmente pegar a tensão da fonte e dividi-la
pelo valor do respectivo resistor, MASSS é melhor que você não
nomeio como 𝜀1 e sim como 𝑉𝑅 𝐶
, mas por que? Primeiro por que
olhando para o circuito usar a fonte como referência para esses dois
resistores não tem lógica, por que simplesmente não dá! Então pela
lógica 𝑅4 e 𝑅3 estão em paralelo com 𝑅 𝐶 e não com a fonte.
Bom se você gosta de fazer de qualquer jeito me diga depois quanto
você tirou na prova.
𝑖3 =
𝑉𝑅 𝐶
𝑅4
=
12 𝑉
6 Ω
= 2 𝐴
𝑖4 =
𝑉𝑅 𝐶
𝑅3
=
12 𝑉
12 Ω
= 1 𝐴
80
81. EXEMPLO II
Exercício 11 do capítulo 31 (Halliday 5ª ed.)
- Encontre a corrente que passa pelo amperímetro A.
𝜀1 ↑
2𝑅
𝐴
𝐸
+
−
𝑅
𝑅
𝐵
𝐹
𝑅
A 𝐶𝐷
81
82. EXEMPLO II
Análise de resistores
- Aqui o amperímetro pode ser desconsiderado, ele é apenas um ponto de referencia para saber onde exatamente a
questão quer que você encontre a corrente, pois esse amperímetro tem resistência zero, ou seja, não interfere na
corrente.
𝜀1 ↑
2𝑅
𝐴
𝐸
+
−
𝑅
𝑅
𝐵
𝐹
𝑅
A 𝐶𝐷
Paralelo
Paralelo
𝜀1 ↑
𝑅 𝐴
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
𝑅 𝐵
A
𝑅 𝐴 =
(2𝑅)(𝑅)
2𝑅 + 𝑅
=
2𝑅2
3𝑅
=
2
3
𝑅
𝑅 𝐵 =
(𝑅)(𝑅)
𝑅 + 𝑅
=
𝑅2
2𝑅
=
1
2
𝑅
Passo 1
82
83. EXEMPLO II
Por fim uma última simplificação em série.
𝜀1 ↑
𝑅 𝐴
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
𝑅 𝐵
A
Série
𝑅 𝐹𝑖𝑛𝑎𝑙 = 𝑅 𝐴 + 𝑅 𝐵 =
2
3
𝑅 +
1
2
𝑅 =
7
6
𝑅
𝜀1 ↑
𝑅 𝐹
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
A
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑂ℎ𝑚
𝑉𝑅 𝐹
= 𝑖𝑅 𝐹 → 𝜀1 = 𝑖𝑅 𝐹
𝑖 =
𝜀1
𝑅 𝐹
=
𝜀1
7
6
𝑅
=
6
7
𝜀1
𝑅
CorrentesPasso 2
Ao encontrar essa corrente resultante já
temos o que a questão pede. Pois o
enunciado diz que devemos encontrar a
corrente que passa pelo amperímetro A.
83
84. EXEMPLO II
𝜀1 ↑
2𝑅
𝐴
𝐸
+
−
𝑅
𝑅
𝐵
𝐹
𝑅
A 𝐶𝐷
𝜀1 ↑
𝑅 𝐴
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
𝑅 𝐵
A
Série
Veja que com a junção do resistores em
paralelo a corrente que passa pelo
amperímetro sempre será a mesma. 𝜀1 ↑
𝑅 𝐹
𝐴 = 𝐵
𝐸 = 𝐹
+
−
A
𝐼
𝐼
𝐼
𝐼
84
91. Vamos simplificar quatro capacitores de uma vez, veja os quais:
- C8 e C3 são paralelos e C9 e C10 também.
𝑐 𝐴 = 𝑐8 + 𝑐3 = 20 + 20 = 40 𝜇𝐹
𝑐 𝐵 = 𝑐9 + 𝑐10 = 20 + 20 = 40 𝜇𝐹
Temos CA em série com CB
𝑐 𝐶 =
𝑐 𝐴 𝑐 𝐵
𝑐 𝐴 + 𝑐 𝐵
= 20 𝜇𝐹
91
92. Agora temos CC em série com C11
𝑐 𝐷 =
𝑐 𝐶 𝑐11
𝑐 𝐶 + 𝑐11
= 10 𝜇𝐹
Usando o CD, vemos que ele está em paralelo com C2
𝑐 𝐸 = 𝑐 𝐷 + 𝑐2 = 20 + 10 = 30 𝜇𝐹
92
93. Mais dois em série com CE e C7
𝑐 𝐹 =
𝑐 𝐸 𝑐7
𝑐 𝐸 + 𝑐7
= 12 𝜇𝐹
E então simplificamos C1 e CF em paralelo
𝑐 𝐺 = 𝑐1 + 𝑐 𝐹 = 20 + 12 = 32 𝜇𝐹
93
94. No bloco debaixo podemos juntar dois que estão em série
𝑐 𝐻 =
𝑐5 𝑐6
𝑐5 + 𝑐6
= 10 𝜇𝐹
Juntamos logo o paralelo que existe entre CH e C4
𝑐𝐼 = 𝑐 𝐻 + 𝑐4 = 10 + 20 = 30 𝜇𝐹 94
95. No final de tudo vemos que está todo mundo em série, vamos juntá-los e encontrar a capacitância equivalente
𝑐𝐽 =
𝑐𝐼 𝑐 𝐺
𝑐𝐼 + 𝑐 𝐺
= 15,5 𝜇𝐹 𝑐 𝐾 =
𝑐𝐽 𝑐12
𝑐𝐽 + 𝑐12
= 8,73 𝜇𝐹
Como chegamos até aqui então nos
lembramos que quando temos
capacitores em paralelo todos
compartilham da mesma tensão, ou
quando temos somente um capacitor
a tensão dele é a única tensão que
existe em todo o circuito.
𝑞 𝐾 = 𝑐∆𝑉
𝑞 𝐾 = 8,73 𝜇𝐹 10 𝑉 = 87 𝜇𝐶
95
96. Hora de retroceder, usando as propriedades de capacitores, vemos que quando resistores estão em série eles
compartilham da mesma carga então C12, CG e CI têm a mesma carga.
Temos que ter ciência de uma coisa, a carga será a mesma mas não a tensão,
então vamos encontrar a nova tensão.
𝑞 = 𝑐∆𝑉 →
∆𝑉 =
𝑞
𝑐12
=
87 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 4,35 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐 𝐺
=
87 𝜇𝐶
32 𝜇𝐹
= 2,72 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐𝐼
=
87 𝜇𝐶
30 𝜇𝐹
= 2,9 𝑉
96
97. Agora abrindo o capacitor CI temos C4 e CH em paralelo,
propriedade de capacitores: estando em paralelo, possui a mesma tensão.
ቊ
𝑞4 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 2,9 𝑉 = 58 𝜇𝐶
𝑞 𝐻 = 𝑐∆𝑉 = 10 𝜇𝐹 2,9 𝑉 = 29 𝜇𝐶
CH é a simplificação de dois capacitores em série,
ou seja, mesma carga.
∆𝑉 =
𝑞
𝑐5
=
29 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 1,45 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐6
=
29 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 1,45 𝑉
97
98. Agora expandindo para os lados temos C1 e CF em paralelo
ቊ
𝑞1 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 2,72 𝑉 = 54,4 𝜇𝐶
𝑞 𝐹 = 𝑐∆𝑉 = 12 𝜇𝐹 2,72 𝑉 = 32,6 𝜇𝐶
CF leva a C7 e CE em série, logo:
∆𝑉 =
𝑞
𝑐7
=
32,6 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 1,63 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐 𝐸
=
32,6 𝜇𝐶
30 𝜇𝐹
= 1,08 𝑉
98
99. De CE seguimos para C2 e CD em paralelo
ቊ
𝑞2 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 1,08 𝑉 = 21,6 𝜇𝐶
𝑞 𝐷 = 𝑐∆𝑉 = 10 𝜇𝐹 1,08 𝑉 = 10,8 𝜇𝐶
Logo após C11 e CC em série
∆𝑉 =
𝑞
𝑐11
=
10,8 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 0,54 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐 𝐶
=
10,8 𝜇𝐶
20 𝜇𝐹
= 0,54 𝑉 99
100. Finalmente os dois últimos CA e CB em série
Temos dois casos de séries seguidos, todos os casos
anteriores nós vimos capacitores em série e logo em
seguida capacitores em paralelo, mas dessa vez é diferente,
temos série seguido de série, nesse caso veja o que
acontece.
Quando estamos em série a carga é a mesma, só que a
mesma carga já foi tirada lá do CD e depois compartilhada
entre o C11 e CC, mas agora a mesma carga irá para CA e
CB, para você fazer isso deve-se dividir o valor da corrente
por 2.
𝑞 𝐴 =
10,8 𝜇𝐶
2
= 5,4 𝜇𝐶
𝑞 𝐵 =
10,8 𝜇𝐶
2
= 5,4 𝜇𝐶
O mesmo acontece com a sua tensão
100
101. Fazemos C3 e C8 junto com C9 e C10 em paralelo
𝑞10 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 0,27 𝑉 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞9 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 0,27 𝑉 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞3 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 0,27 𝑉 = 5,4 𝜇𝐶
𝑞8 = 𝑐∆𝑉 = 20 𝜇𝐹 0,27 𝑉 = 5,4 𝜇𝐶
Temos esse valor de tensão por que em paralelo todos
compartilham da mesma tensão, e a tensão foi dividida por
dois lá atrás junto com as cargas quando calculamos CA e
CB.
101
104. EXEMPLO I
Seja o caso de uma barra de comprimento 𝑙, pelo qual passa uma corrente 𝑖 constante. Determine o campo
magnético induzido no ponto P(a,b).
Análise de situação
-Vamos agora analisar com qual situação estamos trabalhando.
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑖
𝑙
Passo 1
−
𝑙
2
𝑙
2
Por simetria, dividimos o tamanho
do fio em duas partes.
104
105. −
𝑙
2
𝑙
2
𝑑𝑙
Temos uma partícula infinitesimal 𝑑𝑙.
−
𝑙
2
𝑙
2
𝑑𝑙
റ𝑟
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑑𝐸
Temos o campo elétrico
perpendicular ao fio.
Mas o campo magnético não é
perpendicular ao fio, ele fura o
plano em terceira dimensão.
𝑙
2
𝑑𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏
−
𝑙
2
𝑙
2
𝑑𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑖
Olhando o sentido da corrente e usando a
regra da mão direita temos o sentido do
campo magnético
റ𝑟 റ𝑟
𝑑𝐵
105
106. Olhando numa perspectiva melhora para entender
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑃 𝑎, 𝑏
𝑃 𝑎, 𝑏
Não necessitamos disso para fazermos nosso cálculo, isso é para que
você entenda o que está sendo feito aqui.
𝑑𝐸
𝑑𝐵
𝑑𝐸
𝑑𝐵
𝑑𝐸
𝑑𝐵
106
107. Passo 2 Elementos vetoriais
𝑑𝑙
𝑃 𝑎, 𝑏
റ𝑟
𝑟𝑝
𝑟𝑒
൞
𝑑റ𝑙 = 𝑑𝑥𝑖
𝑟 റ𝑝 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗
𝑟 റ𝑒 = 𝑥𝑖
Precisamos nos localizar no espaço:
𝑑𝑥 é o tamanho infinitesimal em termos vetoriais;
𝑟 റ𝑝 é a distância da origem ao ponto;
𝑟 റ𝑒 é a distância da origem ao 𝑑𝑙.
𝑖
𝑗
Para saber o valor da distância de 𝑑𝑙 ao ponto usamos soma
de vetores:
𝑟𝑒 + റ𝑟 𝑟𝑒 + റ𝑟 = 𝑟𝑝
റ𝑟 = 𝑟𝑝 − 𝑟𝑒
റ𝑟 = 𝑎𝑖 + 𝑏𝑗 − 𝑥𝑖
റ𝑟 = 𝑎 − 𝑥 𝑖 + 𝑏𝑗
𝑟 = 𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏2
módulo
107
108. Passo 3 Desenvolvendo a equação
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟
𝑟3
𝑑റ𝑙 × റ𝑟 = 𝑑𝑥𝑖 × 𝑎 − 𝑥 𝑖 + 𝑏𝑗
- Mesmas coordenadas é igual a zero: 𝑖 × 𝑖 = 0
- Siga este ciclo para resolver produto vetorial
- Se o produto seguir caminho contrário ao das setas, temos valor negativo.
Logo temos o resultado
𝑑റ𝑙 × റ𝑟 = 𝑏𝑑𝑥𝑘
Por fim
𝑑𝐵 =
𝑖𝜇0
4𝜋
𝑏𝑑𝑥
𝑎 − 𝑥 2 + 𝑏2
3
2
k
Produto vetorial
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
108
111. EXEMPLO I
Caso do campo magnético gerado por uma espira circular de raio r. Determine o campo 𝐵 no ponto 𝑝 0,0, 𝑎
Análise de situação
𝑃 0,0, 𝑎
𝑅
𝑖 𝑅
𝑖
𝑑𝑙
𝑑𝑙 é a parte infinitesimal da espira
contendo corrente.
Aqui é necessário analisar as partes infinitesimais
e todas as propriedades que envolvem a espira
Pois estamos trabalhando com coordenadas diferentes
das usuais, aqui não podemos usar coordenadas
em x, 𝑦 e sim coordenadas polares.
Passo 1
111
112. 𝑖
𝑖𝑑𝑙
𝑃 0,0, 𝑎
Precisamos localizar o ponto
no espaço, usamos vetores para isso
റ𝑟𝑟𝑝
𝑟𝑒
Perceba que 𝑅 foi trocado por 𝑟𝑒
isso acontece por que 𝑅 é um escalar
e não serve para indicar posições, mas
um vetor sim, então traçamos um vetor
𝑟𝑒 que tem a mesma medida que 𝑅, porém
com sentido e direções definidos.
𝑖
𝑖𝑑𝑙
റ𝑟𝑟𝑝
𝑟𝑒
𝑑𝐸 O campo elétrico é perpendicular
a direção da espira.
Pela regra da mão direita temos o giro
do campo magnético em sentido horário.
O campo magnético são
circunferências em ângulos
diferentes.
Temos a análise vetorial dos vetores utilizados para
localizar o ponto no espaço. Lembrando que utilizamos
as coordenadas em 𝑖, 𝑗 𝑒 𝑘 para dar a direção aos vetores.
൞
𝑟𝑝 = 𝑎𝑘
𝑟𝑒 = 𝑅ê 𝑟
റ𝑟 = 𝑟𝑝 − 𝑟𝑒
..
.
.
→ റ𝑟 = 𝑎𝑘 − 𝑅ê 𝑟
Veja que em vez de usar uma das coordenadas 𝑖, 𝑗 𝑒 𝑘 o
vetor 𝑟𝑒 está usando um versor ê 𝑟. Isso se dá pelo fato de
estarmos trabalhando com coordenadas polares, isto é,
coordenadas circulares.
112
113. REVISÃO DE COORDENADAS POLARES
As coordenadas que usamos normalmente
são as coordenadas retangulares.
𝑦
𝑥
Não podemos usar essas coordenadas para representar um círculo,
isso por que para criarmos um círculo precisamos de ângulo, que é o que essa
coordenada usual não tem. Para isso temos as coordenadas polares.
Como não estamos trabalhando com números e sim com formas algébricas então não podemos simplesmente pegar os dados
e transformar da calculadora científica, usamos então o apoio do cálculo diferencial e integral.
113
114. Utilizando uma calculadora científica,
com a função 𝑃𝑜𝑙 𝑥, 𝑦 é possível transformar
coordenadas retangulares em coordenadas polares.
Veja o comportamento.
Usamos as coordenadas retangulares 0,1
Temos agora coordenadas polares de raio
1 e o ângulo de 90º.
114
115. Se uma reta for traçada do ponto 0 ao 1 e girar essa reta de 0 até 1temos a coordenada polar formada.
Com o uso do cálculo diferencial e integral temos as coordenadas polares com a seguinte característica.
𝑓 𝑥, 𝑦 → 𝑓 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sen 𝜃 → න 𝑓 𝑟 cos 𝜃 , 𝑟 sen 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃
115
116. Passo 2 Versores
O versor é o que garante a configuração do vetor em coordenadas polares, então temos o versor do raio:
ê 𝑟 =
റ𝑟
𝑟
, o valor de റ𝑟 é um valor em coordenadas polares, pois não haveria uma circunferência se não fosse, logo,
റ𝑟 = 𝑟 cos 𝜃 𝑖 + 𝑟 sen 𝜃 𝑗 → 𝑟 = 𝑟2 cos2 𝜃 + 𝑟2 sen2 𝜃 = 𝑟2 = 𝑟
Com isso substituímos:
ê 𝑟 =
റ𝑟
𝑟
=
𝑟 cos 𝜃 𝑖 + 𝑟 sen 𝜃 𝑗
𝑟
= cos 𝜃 𝑖 + sen 𝜃 𝑗
Um segundo versor que temos é o da partícula infinitesimal da espira, usando o
método rápido de encontrar uma parte infinitesimal temos:
𝑙 = 2𝜋𝑟 → 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 → 𝑙 = 𝜃𝑟 → 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑛𝑑𝑜 → 𝑑𝑙 = 𝑑𝜃𝑟
Só que o raio não é o mesmo, estamos em terreno polar então temos um segundo versor, um versor do raio infinitesimal:
𝑑𝑙 = 𝑟𝑑𝜃ê 𝜃
Como 𝑒 𝜃 é um versor infinitesimal do raio então basta derivarmos o versor do raio:
ê 𝜃 =
𝑑𝑟
𝑑𝜃
ê 𝑟 =
𝑑𝑟
𝑑𝜃
cos 𝜃 𝑖 + sen 𝜃 𝑗 → − sen 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗 116
117. Desta forma substituímos valores e encontramos os resultados dos vetores que localizam o ponto no espaço:
റ𝑟 = 𝑎𝑘 − 𝑅ê 𝑟
റ𝑟 = 𝑎𝑘 − r cos 𝜃 𝑖 + sen 𝜃 𝑗
റ𝑟 = 𝑎𝑘 − r cos 𝜃 𝑖 − r sen 𝜃 𝑗 → 𝑟 = 𝑎2 + r2 cos2 𝜃 + r2 sen2 𝜃 → 𝑟2 + 𝑎2
1
2
Agora encontramos o valor da partícula infinitesimal também:
𝑑𝑙 = r𝑑𝜃ê 𝜃
𝑑𝑙 = 𝑟𝑑𝜃 − sen 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗
117
118. Passo 3 Desenvolvendo a equação
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟
𝑟3
→ 𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑟𝑑𝜃ê 𝜃 × റ𝑟
𝑟2 + 𝑎2
3
2
ê 𝜃 × റ𝑟 = − sen 𝜃 𝑖 + cos 𝜃 𝑗 × −𝑟 cos 𝜃 𝑖 − 𝑟 sin 𝜃 𝑗 + 𝑎𝑘
Com esse ciclo temos os seguintes possíveis resultados:
𝑖 × 𝑖 = 0 𝑖 × 𝑗 = 𝑘 𝑖 × 𝑘 = −𝑗 𝑗 × 𝑖 = −𝑘 𝑗 × 𝑗 = 0 𝑗 × 𝑘 = 𝑖
Logo temos o resultado
ê 𝜃 × റ𝑟 = 𝑟 sen2
𝜃 𝑘 − 𝑎 sen 𝜃 −𝑗 − 𝑟 cos2
𝜃 −𝑘 + 𝑎 cos 𝜃 𝑖 → ê 𝜃 × റ𝑟 = 𝑎 cos 𝜃 𝑖 + 𝑎 sen 𝜃 𝑗 + 𝑟𝑘
Por fim
𝑑𝐵 =
𝑖𝜇0 𝑟𝑑𝜃
4𝜋 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑎 cos 𝜃 𝑖 + 𝑎 sen 𝜃 𝑗 + 𝑟𝑘
Produto vetorial
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
Se o produto seguir a seta: resultado positivo
Se o produto ir contra a seta: resultado negativo
sen2
𝜃 + cos2
𝜃 = 1
118
119. Passo 4 Integrar
𝑑𝐵 =
𝑖𝜇0 𝑟𝑑𝜃
4𝜋 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑎 cos 𝜃 𝑖 + 𝑎 sen 𝜃 𝑗 + 𝑟𝑘 → 𝐵 =
𝑖𝜇0 𝑟
4𝜋 𝑟2 + 𝑎2
3
2
න
0
2𝜋
𝑎 cos 𝜃 + 𝑎 sen 𝜃 + 𝑟 𝑑𝜃
න
0
2𝜋
𝑎 cos 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑎 sen 𝜃 |
2𝜋
0
= 0
න
0
2𝜋
𝑎 sen 𝜃 𝑑𝜃 = −𝑎 cos 𝜃 |
2𝜋
0
= 0
න
0
2𝜋
𝑟 𝑑𝜃 = 𝑟𝜃|
2𝜋
0
= 2𝜋𝑟𝑘
𝐵 =
𝑖𝜇0 𝑟2𝜋𝑟
4𝜋 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑘 → 𝐵 =
𝑖𝜇0 𝑟2
2 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑘
Temos os limites de 0,2𝜋 por que estamos trabalhando
com uma circunferência completa.
k é a direção do vetor e não uma constante
119
120. 𝑖
𝑖𝑑𝑙
റ𝑟𝑟𝑝
𝑟𝑒
𝑑𝐸
𝑑𝐵
Análise do resultado
Veja que no resultado final restou a direção 𝑘 no vetor,
logo o campo magnético é apontado para cima (direção de 𝑘)
𝐵 =
𝑖𝜇0 𝑟2
2 𝑟2 + 𝑎2
3
2
𝑘
120
122. EXEMPLO 1
Seja o caso de dois fios muito grandes e equidistantes que são percorridos por correntes 𝑖 e 𝑖′
, veja a figura.
Determine o campo magnético 𝐵 resultante no ponto 𝑃.
Análise da situação
Temos o campo magnético afetado por dois fios com correntes
diferentes, como de costume pegamos uma parte infinitesimal do objeto
contendo a corrente, ou seja, pegaremos um 𝑑𝑙 e 𝑑𝑙′
e com eles iremos
localizar o ponto no espaço com vetores, lembre-se: para localizar
qualquer objeto no espaço, usa-se vetores, pois eles tem módulo, sentido
e direção, tudo que precisamos para uma perfeita localização.
𝑥
𝑦
𝑃 𝑥, 0
𝑖′
𝑖
← 𝑏 → ← 𝑏 →
⋮⋮
⋮ ⋮
∞ ∞
−∞−∞
Passo 1
122
123. 𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖
𝑑𝑙 𝑑𝑙′
Para localização do ponto no espaço precisamos
usar vetores para todas as distâncias possíveis.
Analise os fios com cuidado e veja quais são
essas distâncias:
• Distâncias das partes infinitesimais até o ponto; (റ𝑟)
• Distância da origem ao ponto; (𝑟𝑜)
• Distância do eixo x ás partes infinitesimais; (𝑟𝑖)
• Distância dos fios até o ponto. (𝑟𝑝)
𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖 റ𝑟
𝑟′
𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖
𝑟𝑜
123
124. 𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖
𝑟𝑖
𝑟𝑖
′
𝑥
𝑦
𝑖′
𝑖
𝑟𝑝 𝑟𝑝
′
Agora vamos analisar o valor de cada vetor, antes vamos
organizar todos os vetores que temos abaixo:
𝑑𝑙
𝑑𝑙′
റ𝑟
𝑟′
𝑟𝑜
𝑟𝑖
𝑟𝑖
′
𝑟𝑝
𝑟𝑝
′
Aos poucos vamos descobrindo cada um deles;
vamos começar pelo mais simples.
Passo 2 Vetores
Os mais simples vetores são as partes infinitesimais, veja que as
partes infinitesimais são pequenos pedaços dos fios, a nossa única
forma de usar uma referência para os fios é o eixo y no qual eles
estão em paralelo. Um vetor sempre é desmembrado a partir de
um escalar de referência (neste caso y) em produto com o sentido
do vetor representado pela base canônica 𝑖, 𝑗, 𝑘 .
Logo:
𝑑𝑙 = 𝑑𝑦 −𝑖 , 𝑑𝑙′
= 𝑑𝑦𝑖
Temos que o 𝑟𝑝 não passa pela origem,
por que não há necessidade de continuar,
o 𝑟𝑜 completa o resto do trajeto.
124
125. Agora o restante dos vetores estão todos interligados, por dois triângulos retângulos, veja:
Mas ainda podemos usar algumas variáveis para substituir no vetores, no início do enunciado vemos que os fios são
equidistantes por uma distância 𝑏. (se não lembra veja aqui )
Temos que 𝑏 tem a mesma medida que 𝑟𝑝, com isso podemos muito bem dizer que 𝑟𝑝 = 𝑏 −𝑖
Agora os vetores 𝑟𝑖 e 𝑟𝑖
′
tem suas medidas baseadas no eixo y, desta forma fazemos: 𝑟𝑖 = 𝑦𝑖 , 𝑟𝑖
′
= 𝑦𝑖.
O vetor 𝑟𝑜 pode ter sua referência na abscissa a qual ele está paralelo, dessa forma: 𝑟𝑜 = 𝑥𝑖
Agora que temos o vetor 𝑟𝑜 definido podemos analisar o vetor 𝑟𝑝
′
que também está em paralelo com a abscissa, mas se o
vetor 𝑟𝑜 já tomou o valor de 𝑥𝑖 então 𝑟𝑝
′
deve assumir outro valor por que certamente os dois não são iguais, mas
podemos muito bem ver que 𝑟𝑝
′
tem quase o tamanho de 𝑏 que é a distância do fio ao eixo y, mas se fizermos valor de
𝑟𝑜 menos o valor de 𝑏 teremos a medida perfeita do vetor que procuramos, então: 𝑟𝑝
′
= 𝑏 − 𝑥 −𝑖
Com esses dados podemos encontrar റ𝑟 e 𝑟′ através da soma de vetores:
125
126. Analisando soma de vetores, temos o seguinte caso:
റ𝑟 + 𝑟𝑖 = 𝑟𝑜 + −𝑟𝑝
Mesmo sendo uma soma, temos vetores subtraindo:
Ora, 𝑟𝑝 está no lado negativo da coordenada x (veja aqui o gráfico ), e como estamos tratando de vetores então temos que
colocar os seus sentidos, dessa forma teríamos:
റ𝑟 + 𝑟𝑖 = 𝑟𝑜 − 𝑟𝑝
Que fica assim
റ𝑟 = 𝑟𝑜 − 𝑟𝑝 − 𝑟𝑖
Agora temos um caso mais simples, desta forma:
𝑟𝑝
′
= 𝑟′ + 𝑟𝑖
′
𝑟′ = 𝑟𝑝
′
− 𝑟𝑖
′
Agora com a somas completas, vamos substituir e encontrar seus valores.
Uma soma de vetores é feita com vetores
ligados cara e rabo e não rabo-rabo ou
cara-cara.
126
128. Produto vetorial
Como temos dois fios teremos dois campos magnéticos, devemos encontrar a resultante que é a soma dos dois campo:
𝑑𝐵𝑟 = 𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟
𝑟3
+ 𝑑𝐵′ =
𝜇0
4𝜋
𝑖′
𝑑റ𝑙′
× റ𝑟′
𝑟′3
Dessa forma temos dois produtos vetoriais para resolver:
Primeiro produto
𝑑റ𝑙 × റ𝑟
−𝑑𝑦𝑗 × 𝑥 + 𝑏 𝑖 + 𝑦𝑗
Início da operação
− 𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦 𝑗 × 𝑖 + 𝑦𝑑𝑦 𝑗 × 𝑗
− 𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦 −𝑘
𝑑റ𝑙 × റ𝑟 = 𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦𝑘
Segundo produto
𝑑റ𝑙′
× റ𝑟′
𝑑𝑦𝑗 × 𝑥 − 𝑏 𝑖 − 𝑦𝑗
Início da operação
𝑥 − 𝑏 𝑑𝑦 𝑗 × 𝑖 − 𝑦𝑑𝑦 𝑗 × 𝑗
𝑥 − 𝑏 𝑑𝑦 −𝑘
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟 = 𝑏 − 𝑥 𝑑𝑦𝑘
Passo 3
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
Se o produto seguir a seta: resultado positivo
Se o produto ir contra a seta: resultado negativo
Fim
Fim
128
129. Integrar
Juntando todos os dados, integramos
Primeira integração
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟
𝑟3 → 𝐵 =
𝜇0 𝑖
4𝜋
න
−∞
+∞
𝑥 + 𝑏 𝑑𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘
𝐵 =
𝜇0 𝑖 𝑥 + 𝑏
4𝜋
න
−∞
+∞
𝑑𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘
Início á integração
𝜇0 𝑖 𝑥 + 𝑏
4𝜋
න
−∞
+∞
𝑑𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘 =
𝜇0 𝑖 𝑥 + 𝑏
4𝜋
𝑦
𝑥 + 𝑏 2 𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2
|
+∞
−∞
𝜇0 𝑖
4𝜋 𝑥 + 𝑏
𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2
|
+∞
−∞
∞
𝑥 + 𝑏 2 + ∞2
+
∞
𝑥 + 𝑏 2 + ∞2
→ 2
∞
𝑥 + 𝑏 2 + ∞2
Passo 4
Temos o limite de menos a
mais infinito por causa do
tamanho da barra.
Temos um breve caso de
limite tendendo ao infinito
Em calculo tem-se naturalmente a subtração do limite de cima pelo de baixo, como o limite
de baixo é −∞, temos que o sinal ficou positivo na segunda fração, e o outro 𝑦 que está
dentro da raiz está elevado ao quadrado, ou seja, o sinal será obrigatoriamente positivo.
129
130. Resolvendo o limite
lim
𝑦→∞
𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2
→ lim
𝑦→∞
𝑦
𝑥2 + 2𝑥𝑏 + 𝑏2 + 𝑦2
Neste caso veja a propriedade de limites sendo usada:
lim
𝑦→∞
𝑦
lim
𝑦→∞
𝑥2 + lim
𝑦→∞
2𝑥𝑏 + lim
𝑦→∞
𝑏2 + lim
𝑦→∞
𝑦2
Limite de uma constante é igual a zero, a única variável aqui é o y
lim
𝑦→∞
𝑦
lim
𝑦→∞
𝑦2
→ lim
𝑦→∞
𝑦
𝑦2
→ lim
𝑦→∞
𝑦
𝑦
= 1
Com isso temos
𝜇0 𝑖
4𝜋 𝑥 + 𝑏
න
−∞
+∞
𝑑𝑦
𝑥 + 𝑏 2 + 𝑦2 3/2
𝑘 =
𝜇0 𝑖
4𝜋 𝑥 + 𝑏
2𝑘 =
𝜇0 𝑖
2𝜋 𝑥 + 𝑏
𝑘
130
132. Campo resultante
Com o valor dos dois campos encontrados, hora de encontrar o campo resultante através da soma dos dois:
𝐵𝑟 = 𝐵 + 𝐵′
𝐵𝑟 =
𝜇0 𝑖
2𝜋 𝑥 + 𝑏
𝑘 −
𝜇0 𝑖
2𝜋 𝑥 − 𝑏
𝑘
𝐵𝑟 =
𝜇0 𝑖
2𝜋
𝑘
1
𝑥 + 𝑏
−
1
𝑥 − 𝑏
𝐵𝑟 =
𝜇0 𝑖
2𝜋
𝑘
𝑥 − 𝑏 − 𝑥 + 𝑏
𝑥 + 𝑏 𝑥 − 𝑏
𝐵𝑟 =
𝜇0 𝑖
2𝜋
𝑘
−2𝑏
𝑥2 − 𝑏2
𝐵𝑟 =
𝜇0 𝑖
𝜋
𝑘
−𝑏
𝑥2 − 𝑏2
Passo 5
132
133. Em avermelhado, os campos magnéticos dos fios,
em azul, o campo magnético resultante.
O vetor do campo magnético
resultante tem o sentido para 𝑘
O sentido do vetor campo magnético
resultante é ante horário.
O sentidos dos campo magnéticos são:
primeiro fio é ante horário, segundo fio
é horário
133
135. EXEMPLO I
Seja o conjunto de circuito dado na figura a seguir, determine a força magnética no ponto 𝑃 do circuito retangular.
Análise da situação
Bom, aqui não há nenhuma novidade, vamos calcular o campo magnético e
depois aí sim temos uma novidade, força magnética que é dada pelo seguinte
produto vetorial: 𝑑𝐹 𝑚 = 𝑖𝑑𝑙 × 𝐵. Neste caso o primeiro passo é colocar
todo esse esquema num gráfico de coordenadas para que possamos localizar
esse ponto no espaço.
⋮
⋮
𝑖′
∞
−∞
𝑖
𝑖
𝑖 𝑖
← 𝑎 →
←𝑏→
← 𝑑 → 𝑃
Passo 1
135
136. 𝑖′
𝑖
𝑖
𝑖 𝑖
← 𝑎 →
←𝑏→
← 𝑑 → 𝑃
𝑦
𝑥
Depois sempre pegamos as partes infinitesimais
dos objetos envolvidos no caso.
𝑖′
𝑃
𝑦
𝑥
𝑑𝑙′
𝑑𝑙
Agora vamos a análise dos vetores necessários para
localizarmos esse ponto no espaço, vamos prestar
atenção no gráfico:
• Distâncias da parte infinitesimal até o ponto; (റ𝑟)
• Distância da origem ao ponto; (𝑟𝑜)
• Distância do eixo x á parte infinitesimal: (𝑟𝑖)
Neste caso o campo será calculado no fio,
como a força magnética será calculada no
circuito então a parte infinitesimal do circuito
será responsável pelo cálculo da força
magnética no ponto 𝑃 : 𝑑𝐹𝑚 = 𝑖𝑑𝑙 × 𝐵.
𝑖′
𝑃
𝑦
𝑥
𝑑𝑙′
𝑑𝑙
റ𝑟
𝑟𝑜
𝑟𝑖
136
137. Vetores
Temos os mais simples dos vetores, as partes infinitesimais:
𝑑𝑙′ = 𝑑𝑦𝑗 , 𝑑𝑙 = 𝑏 −𝑗
Um vetor é sempre desmembrado por um escalar e uma direção da base canônica, nesse caso o escalar deve ser
infinitesimal, e em 𝑑𝑙′
o sentido é para cima enquanto 𝑑𝑙 é para baixo.
O restante dos vetores estão interligados, mas vamos dar valores aqueles que podemos analisar.
𝑟𝑜 tem o mesmo tamanho da distância entre o fio e o circuito (imagem ) e 𝑟𝑖 está em paralelo com o eixo y,
dessa forma temos:
𝑟𝑜 = 𝑑𝑖 , 𝑟𝑖 = 𝑦𝑗
Agora temos a soma de vetores:
𝑟𝑜 = 𝑟𝑖 + റ𝑟
റ𝑟 = 𝑟𝑜 − 𝑟𝑖 = 𝑑𝑖 − 𝑦𝑗
Módulo
𝑟 = 𝑑2 + 𝑦2
Passo 2
137
138. Produto vetorial
Aqui temos um simples produto vetorial para podermos início a integração:
𝑑𝐵 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙′ × റ𝑟
𝑟3
Dessa forma o produto vetorial para resolver:
Primeiro produto
𝑑റ𝑙′
× റ𝑟
𝑑𝑦𝑗 × 𝑑𝑖 − 𝑦𝑗
Início da operação
𝑑𝑦𝑑 𝑗 × 𝑖 − 𝑦𝑑𝑦 𝑗 × 𝑗
𝑑𝑦𝑑 −𝑘
𝑑റ𝑙′ × റ𝑟 = −𝑑𝑑𝑦𝑘
Passo 3
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
Se o produto seguir a seta: resultado positivo
Se o produto ir contra a seta: resultado negativo
Fim
138
140. Força magnética
𝑑𝐹 𝑚 = 𝑖𝑑𝑙 × 𝐵
Ainda não temos necessidade de substituir o campo magnético, só devemos expor seu sentido.
𝑑𝐹 𝑚 = 𝑖𝑑𝑙 × 𝐵𝑘
𝑑𝑙 × 𝐵𝑘
−𝑑𝑦𝑗 × 𝐵𝑘
−𝑑𝑦𝐵 𝑗 × 𝑘
𝑑𝐹 𝑚 = 𝑖 −𝑑𝑦𝐵റ𝑖
Agora integrando
𝐹 𝑚 = න
0
𝑏
−𝑑𝑦𝑖 −
𝜇0 𝑖′
2𝜋𝑑
റ𝑖 → 𝑖
𝜇0 𝑖′
2𝜋𝑑
න
0
𝑏
𝑑𝑦റ𝑖 → 𝑖
𝜇0 𝑖′
2𝜋𝑑
𝑏റ𝑖
Passo 5
Temos o limite de integração de 0 a b por causa
do tamanho do circuito retangular.
140
141. 𝐵 𝐹 𝑚
O sentido de giro do campo magnético é
horário.
A força magnética aponta para o lado
oposto ao campo magnético, mostrando
uma força repulsiva.
O campo magnético aponta para o
sentido de k
141
145. O ROTACIONAL
Da mesma forma temos os produtos vetoriais calculados pelas leis de Faraday e Ampére:
𝛻 × 𝐸 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐸 𝑥 𝐸 𝑦 𝐸𝑧
𝛻 × 𝐵 =
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝐵𝑥 𝐵𝑦 𝐵𝑧
O uso do triedro das coordenadas canônicas também é usual:
𝑘
റ𝑖 റ𝑗
145
152. EXERCÍCIO 12 DO CAPÍTULO 30
𝑐4200 𝑉 𝑐𝑐
A
𝑠
ቊ
𝑐 = 25,0 𝜇𝐹
∆𝑉 = 4200 𝑉
O cálculo da carga para somente um capacitor é:
𝑞 = 𝑐∆𝑉
Como são três capacitores de mesma capacitância
𝑞 = 3𝑐∆𝑉
𝑞 = 3 25,0 × 10−6 𝐹 4200 𝑉
𝑞 = 3 0,105 𝐶
𝑞 = 0,315 𝐶
O interruptor é somente um objeto de análise, pois se ele estiver aberto
não há como ter um circuito, ou seja, qualquer operação é inválida,
152
154. EXERCÍCIO 13 DO CAPÍTULO 30
c) Diferença de potencial em cada resistor
∆𝑉 =
𝑞
𝑐1
=
0,48 × 10−3
𝐶
6 × 10−6 𝐹
= 80 𝑉
∆𝑉 =
𝑞
𝑐2
=
0,48 × 10−3 𝐶
4 × 10−6 𝐹
= 120 𝑉
b) Carga do capacitor
൛𝑞 = 𝑐 𝐹∆𝑉 = 2,4 × 10−6 𝐹 200 𝑉 = 0,48 𝑚𝐶 Quando os capacitores estão em série a carga é a mesma.
Este valor vale para os dois capacitores.
Veja que a soma das diferenças de potencial dos
capacitores 𝑐1 e 𝑐2 é igual a diferença de potencial do
capacitor resultante 𝑐 𝐹.
154
155. EXERCÍCIO 5 DO CAPÍTULO 31
𝑄
𝑃
ቐ
𝑅1 = 3,0 Ω
𝑅2 = 2,0 Ω
𝑃 = 100 𝑉
Para isso encontra-se primeiro a corrente, podemos
encontra-la através de uma soma algébrica.
155
156. EXERCÍCIO 5 DO CAPÍTULO 31
𝑄
𝑃
Através do sentido adotado para a esquerda temos a
seguinte soma algébrica:
150 𝑉 − 𝑅2 − 50 𝑉 − 𝑅1 = 0
100 𝑉 − 𝑖 5,0 Ω = 0
𝑖 = 20 𝐴𝐼
𝐼
156
157. EXERCÍCIO 5 DO CAPÍTULO 31
𝑄
𝑃
𝐼
𝐼
A análise dos pontos é feita como se fosse uma soma
algébrica também, só que a soma começa a partir do ponto que se
quer e termina no outro ponto (ou nele mesmo caso não aja
outro ponto) e também deve ser definido uma volta, essa volta
não tem nenhuma relação com a volta da soma com as fontes e
resistores, então não precisa ser a mesma volta soma algébrica
dos resistores e fontes, vamos simbolizar a volta dos pontos com
a cor azul.
Vou adotar a volta para a direita pelo motivo que já vou
dizer daqui a pouco.
A soma para o ponto Q é:
𝑉𝑄 + 𝑅1 + 50 𝑉 − 𝑉𝑃 = 0
Essa soma foi feita igual a uma soma normal pela lei de Kirchhoff
Logo
𝑉𝑄 = 100 𝑉 − 50 𝑉 − 20 𝐴 3,0 Ω = −10 𝑉
Veja fazendo essa soma para o ponto P:
𝑉𝑃 + 𝑅2 − 150 𝑉 − 𝑉𝑃 = 0
Essa soma foi feita igual a uma soma normal pela lei de Kirchhoff
Logo
𝑉𝑄 = 150 𝑉 − 10 𝑉 − 20 𝐴 2,0 Ω = 100 𝑉
157
158. EXERCÍCIO 5 DO CAPÍTULO 31
Veja que se a volta fosse adotada para o outro lado então não teríamos encontrado 100 𝑉 para o ponto 𝑃 e sim −100 𝑉
que vai contra a informação que o enunciado da questão nos deu, então se o valor encontrado fosse negativo então o sinal do
valor encontrado no ponto 𝑄 estaria oposto ao real.
158
160. EXERCÍCIO 6 DO CAPÍTULO 31
a) Corrente do circuito com tanque vazio
12 𝑉 − 𝑅 𝑚 − 𝑅𝑡 = 0
𝑖 150 Ω = 12 𝑉 → 𝑖 =
12 𝑉
150 Ω
= 0,080 𝐴
b) Corrente do circuito com tanque pela metade
- Quando pensamos em pela metade queremos logo dividir o 140 por 2, só que
não podemos fazer logo assim não.Veja que o valor mínimo que a resistência
atinge é 20 e não zero, se fosse zero tudo bem, a metade é
140
2
= 70, mas o
valor mínimo é 20 então temos que a metade é
140+20
2
= 80.
12 𝑉 − 𝑅 𝑚 − 𝑅𝑡 = 0
𝑖 90 Ω = 12 𝑉 → 𝑖 =
12 𝑉
90 Ω
= 0,133 𝐴
160
161. EXERCÍCIO 6 DO CAPÍTULO 31
c) Corrente do circuito com o tanque cheio
12 𝑉 − 𝑅 𝑚 − 𝑅𝑡 = 0
𝑖 30 Ω = 12 𝑉 → 𝑖 =
12 𝑉
30 Ω
= 0,400 𝐴
161
168. PROBLEMA 3 DO CAPÍTULO 30
𝑎 𝑏
Temos as distâncias a e b, mas para termos uma análise melhor
chamamos o espaço entre o limite do capacitor e a parte móvel
de d, então temos que:
𝑎 = 𝑏 + 𝑑 → 𝑎 − 𝑏 − 𝑑 = 0
Temos a equação geral de um capacitor
𝑐 =
𝜀0 𝐴
𝑑
Logo:
𝑐1 =
𝜀0 𝐴
𝑑
& 𝑐2 =
𝜀0 𝐴
𝑎 − 𝑏 − 𝑑
Com isso temos:
1
𝑐 𝐹
=
𝑑
𝜀0 𝐴
+
𝑎 − 𝑏 − 𝑑
𝜀0 𝐴
=
𝑎 − 𝑏
𝜀0 𝐴
→ 𝑐 𝐹 =
𝜀0 𝐴
𝑎 − 𝑏
𝑐1
𝑐2
168
169. PROBLEMA 4 DO CAPÍTULO 30
Pela imagem percebe-se que nem todas as placas estão formando pares, está
faltando um, então como são 𝑛 placas temos na verdade 𝑛 − 1 placas. (se você
não consegue ver por que é 𝑛 − 1 veja a imagem colorida)
Como são 𝑛 − 1 placas temos então, 𝑞 𝑛 − 1 e consequentemente 𝑛 − 1 𝐴,
isso quer dizer que existem 𝑛 − 1 placas com área A.
Logo:
𝑐 =
𝑛 − 1 𝜀0 𝐴
𝑑
𝑠𝑒𝑚 𝑝𝑎𝑟
169
170. PROBLEMA 5 DO CAPÍTULO 30
𝑐2
𝑠1
𝑐1
𝑎 𝑏
𝑐𝑑
𝑠2
𝑒
𝑓
Com os interruptores abertos temos uma diferença de potencial
inicial a qual foi dada pelo enunciado da questão, quando os
interruptores se fecham temos outra diferença já desconhecida.
Com os interruptores abertos temos as seguintes cargas:
𝑞1 = 𝑐1∆𝑉0 𝑒 𝑞2 = −𝑐2∆𝑉0
Temos o segundo capacitor negativo pela sua inversão de
polaridade isso tendo como base os pontos de cima, o ponto a
está em positivo com o primeiro e o ponto está em negativo com
o segundo.
Dessa forma temos pela lei da conservação de carga:
𝑞1 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
+ 𝑞2 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
= 𝑞1 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
+ 𝑞2 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Temos os valores para as cargas iniciais, mas não para as finais
então usamos a seguinte expressão:
𝑐1∆𝑉0 − 𝑐2∆𝑉0 = 𝑐1∆𝑉1 + 𝑐2∆𝑉1
+
+−
−
ቐ
𝑐1 = 1,16 𝜇𝐹
𝑐2 = 3,22 𝜇𝐹
∆𝑉 = 96,6 𝑉
170
171. PROBLEMA 5 DO CAPÍTULO 30
Desenvolvendo a equação temos:
𝑐1 − 𝑐2 ∆𝑉0 = 𝑐1 + 𝑐2 ∆𝑉1 → ∆𝑉1 =
𝑐1 − 𝑐2
𝑐1 + 𝑐2
∆𝑉0 → 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 →
1,16 𝜇𝐹 − 3,22 𝜇𝐹
1,16 𝜇𝐹 + 3,22 𝜇𝐹
96,6 𝑉
∆𝑉1 = −45,4 𝑉
Perceba que no lado das cargas iniciais adotamos um valor negativo para o segundo capacitor e no lado das cargas
finais adotamos um valor positivo para o mesmo, isso não quer dizer que no final quem estava negativo vai ficar
positivo, isso quer dizer que não sabemos o valor das cargas no final, esse valor pode tanto ser positivo como
negativo.
O valor das cargas é calculado a seguir:
ቊ
𝑞1 = 𝑐1Δ𝑉1 = 1,16 𝜇𝐹 −45,4 𝑉 = −52,7 𝜇𝐶
𝑞2 = 𝑐2Δ𝑉1 = 3,22 𝜇𝐹 −45,4 𝑉 = −146 𝜇𝐶
171
172. PROBLEMA 6 DO CAPÍTULO 30
𝑐3
Δ𝑉0 𝑐1
𝑠
𝑐2
Ora, a carga no condutor 𝑐1 é 𝑞0 = 𝑐1Δ𝑉0 assim como se insinua no
enunciado da questão, quando o interruptor é acionado temos uma nova
diferença de potencial então, 𝑞1 = 𝑐1Δ𝑉1. Como temos 𝑐1 e 𝑐3 em série,
isso nos faz relembrar uma propriedade de capacitores em que quando
estão em série todos compartilham da mesma carga, logo 𝑞2 = 𝑞3.
A carga para 𝑐2 é: 𝑞2 = 𝑐 𝑎Δ𝑉1, estamos usando o Δ𝑉1 porque em Δ𝑉0 os
capacitores estão descarregados.
Temos que 𝑐 𝑎 =
𝑐2 𝑐3
𝑐2+𝑐3
, representamos 𝑞2 com 𝑐 𝑎 por que a mesma carga é
distribuída através da capacitância resultante, não de cada capacitor.
Pela conservação da carga temos 𝑞1 + 𝑞2 = 𝑞0, isso porque 𝑞0 é a carga
antes do interruptor ser ligado e 𝑐1 com 𝑐3 não tinha carga, mas com o
interruptor ligar temos três cargas (a 𝑞2 representa duas) que pela
conservação da carga deve ser igual a 𝑞0.
172
175. EXERCÍCIO 6
.𝐼 𝐼
Fazendo uma simples analise vetorial temos:
.𝐼 𝐼
𝑟1
𝑟2
Traçando os eixos coordenados x,y percebemos que o
ponto está centralizado entre os dois semicírculos, desta
forma a simetria fará com que o campo magnético vindo das
duas partes do semicírculo se cancelem, pois ambas tem o
mesmo módulo
𝐼
2
.
Ambas terão o mesmo i𝑑𝑙, pois partiram da mesma corrente, e
ambas terão a mesma distância, a única coisa que muda entre as
duas é o sentido, sendo assim:
𝑑𝐵𝑟 =
𝜇0
4𝜋
𝑖𝑑റ𝑙 × റ𝑟
𝑟3 −
𝜇0
4𝜋
𝑖′ 𝑑റ𝑙′ × റ𝑟′
𝑟′3 = 0
.
175
176. EXERCÍCIO 7
𝑖
⋮
⋮
∞
−∞
𝑒´
Antes de entrarmos na análise vetorial, vamos calcular o campo na
barra em relação ao elétron. Para um fio muito longo temos a
relação:
𝐵 =
𝜇0 𝑖
2𝜋𝑑
=
4𝜋 × 10−7 𝑇. 𝑚
𝐴 48,8 𝐴
2𝜋 5,2 × 10−2 𝑚
= 1,88 × 10 −4 𝑇
Mas é necessário a análise de vetores para perceber que
que o sentido do campo é –k.
176
177. Para esse caso também usamos a equação:
𝐹 = 𝑞𝑣𝐵 =
𝐹 = 1,60 × 10−19
𝐶 1,08 × 107
𝑚
𝑠
1,88 × 10 −4
𝑇
𝐹 = 3,24 × 10−16
𝑁
𝑖 𝑒´
Em primeiro caso temos o elétron se movendo em direção ao fio:
Para esse caso usamos a equação:
𝐹 = 𝑞𝑣𝐵 =
𝐹 = 1,60 × 10−19
𝐶 1,08 × 107
𝑚
𝑠
1,88 × 10 −4
𝑇
𝐹 = 3,24 × 10−16 𝑁
𝑖
𝑒´
O elétron segue em coordena i, como o sentido do campo é k (não
importa sinal aqui) temos então que por produto vetorial a direção
da força é j, ou seja, paralelo com a corrente.
O elétron agora segue em coordena j, como o sentido do campo é
k (não importa sinal aqui) temos então que por produto vetorial a
direção da força é i, ou seja, radialmente para fora do fio.
177
178. EXERCÍCIO 8
𝐹1
𝐹2
𝑃
Aqui estamos buscando encontrar o caso em que o campo
resultante dos dois fios resulte em zero, ou seja:
𝐵𝑟 = 𝐵1 − 𝐵2 = 0 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐵1 = 𝐵2
Como temos dois fios longos então:
𝐵1 = 𝐵2 =
𝜇0 𝑖
2𝜋𝑑
𝜇0 e 2𝜋 são constantes então a única coisa que diferencia
um do outro são as correntes e as distâncias dessa forma:
𝜇0 𝑖1
2𝜋𝑑1
=
𝜇0 𝑖2
2𝜋𝑑2
→
𝑖1
𝑑1
=
𝑖2
𝑑2
Logo:
𝑖2 =
𝑑2 𝑖1
𝑑1
=
1,5 𝑐𝑚 6,6 𝐴
2,25 𝑐𝑚
= 4,4 𝐴
↑
0,75 𝑐𝑚
↓
↑
1,5 𝑐𝑚
178
179. EXERCÍCIO 9
← 8,10 𝑐𝑚 →
⋮⋮
⋮ ⋮
∞ ∞
−∞−∞
Neste caso, já temos o valor do campo dado, no qual será um
campo resultante:
𝐵𝑟 = 𝐵1 + 𝐵2 = 296 𝜇𝑇
Como temos correntes iguais, consequentemente o valor
dos campos também serão iguais, pois a distância já igual
para os dois. Dessa forma:
𝐵𝑟 = 2𝐵 = 296 𝜇𝑇
Como estamos em um caso com fios muito longos temos:
2𝐵 =
𝜇0 𝑖
2𝜋𝑑
→ 𝐵 =
𝜇0 𝑖
𝜋𝑑
Como queremos encontrar a corrente, então:
𝑖 =
𝜋𝑑𝐵
𝜇0
=
𝜋 0,0405 𝑚 296 𝜇𝑇
4𝜋 × 10−7 𝑁2
𝐴
= 30 𝐴
179