Elementos de resistência dos materiais e estática de estruturas

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
CENTRO DE CIÊNCIAS AGRARIAS
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA FLORESTAL
ELEMENTOS DE RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
E DE ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS
NORMAN BARROS LOGSDON
CUIABÁ, MT. - 1989

ii
SUMÁRIO
CONTEÚDO PÁGINA
1. RESUMO DE ALGUNS PRINCÍPIOS DA ESTÁTICA 1
1.1. SISTEMA DE UNIDADES 1
1.2. NOÇÕES SOBRE FORÇAS 2
1.3. DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA 3
1.4. EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO 5
1.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 7
2. APOIOS 9
2.1. APOIO MÓVEL 9
2.2. APOIO FIXO 10
2.3. ENGASTAMENTO MÓVEL 12
2.4. ENGASTAMENTO FIXO 12
2.5. ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS 13
2.6. CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO (ESTRUTURAS
ISOSTÁTICAS) 15
3. ESFORÇOS SOLICITANTES 23
3.1.CONCEITUAÇÃO 23
3.2. BARRAS, VIGAS E PILARES 25
3.3. CÁLCULO DE ESFORÇOS SOLICITANTES 26
3.4. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES 31
3.5. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS 40
3.6. RELAÇÕES DIFERENCIAIS ENTRE ESFORÇOS SOLICITANTES 46
3.7. TEOREMAS AUXILIARES PARA O TRAÇADO DE DIAGRAMAS
DE ESFORÇOS SOLICITANTES 48
4. ESTUDO ELEMENTAR DA RESISTÊNCIA 68
4.1. TRAÇÃO E COMPRESSÃO 68
4.2. CISALHAMENTO SIMPLES 72
4.3. FLEXÃO DE BARRAS COM SEÇÃO SIMÉTRICA 73
4.4. DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO 79
4.5. FLAMBAGEM 88
5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS 98
5.1. GENERALIDADES 98
5.2. DEFINIÇÕES 100

iii
CONTEÚDO PÁGINA
5.3. TABELAS DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES
PLANAS 101
5.4. EXEMPLOS DE APLICAÇÃO 104
6. TEORIA DAS TRELIÇAS 117
6.1. GENERALIDADES 117
6.2. TIPOS DE TRELIÇAS 117
6.3. NOMENCLATURA UTILIZADA 121
6.4. CÁLCULO DE ESFORÇOS NAS BARRAS DE TRELIÇAS
ISOSTÁTICAS 122
6.5. DESLOCAMENTOS EM ESTRUTURAS LINEARES 140
7. BIBLIOGRAFIA 165

iv
PREFÁCIO
O objetivo deste trabalho é condensar, em um texto único, os conceitos básicos,
sobre Resistência dos Materiais e Estática das Estruturas, necessários ao curso de
Engenharia Florestal.
A necessidade, sobre o assunto, para o Engenheiro Florestal, é relativamente
pequena, limitando-se as estruturas isostáticas simples, como vigas, pilares e treliças
planas.
Desta forma, este trabalho não pretende esgotar o assunto, restringindo-se a estas
estruturas. Para melhor assimilação do assunto algumas demonstrações são simplificadas
pela omissão de alguns fenômenos, integrantes do problema em questão, sem, entretanto,
invalidar a teoria para o caso geral , outras não passam de mera mostra de cálculo.

1
l. RESUMO DE ALGUNS PRINCÍPIOS DA ESTÁTICA
Uma estrutura é uma obra estática, isto é, não deve sofrer deslocamentos, por este motivo,
introduzir-se-á neste capitulo alguns dos princípios da estática, tais como: sistema de
unidades, noções sobre forças e equilíbrio de um corpo rígido.
1.1. SISTEMA DE UNIDADES
Neste curso adotar-se-á o SISTEMA INTERNACIONAL (MKS), por ser o sistema de
unidades oficial, vigente no pais, as unidades básicas deste sistema são:
Para as UNIDADES DE COMPRIMENTO o sistema utiliza o METRO (m) seus múltiplos
e submúltiplos:
Metro (m)
Centímetro (cm)
Milímetro (mm)
Quilômetro (km)
1 cm = 10-2
m
1 mm = 10-3
m = 10-1
cm
1 km = 103
m = 105
cm = 106
mm
Para as UNIDADES DE MASSA o sistema utiliza o QUILOGRAMA (kg) seus múltiplos
e submúltiplos:
Quilograma (kg)
Grama (g)
Tonelada (ton.)
1 g = 10-3
kg
1 ton. = 103
kg = 106
g
Para as UNIDADES DE TEMPO o sistema utiliza o SEGUNDO (s) e seus múltiplos:
Segundo (s)
Minuto (min)
Hora (h)
l min = 60 s
1 h = 60 min = 3600 s
A unidade de força, neste sistema, é obtida das anteriores. Sabendo-se que FORÇA É A
CAUSA DE UMA ACELERAÇÃO SOBRE UMA DETERMINADA MASSA (F = m.a),
a unidade de força é composta, produto de uma unidade de massa por uma unidade de
aceleração, resultando kg.m/s2
ao qual denomina-se NEWTON (N). Assim para
UNIDADES DE FORÇA o sistema utiliza o NEWTON (N) e seus múltiplos:
Newton (N)
Quilonewton (kN)
Meganewton (MN)
1 N = 1 kg.m/s2
1 kN = 103
N
1 MN = 103
kN = 106
N

2
1.2. NOÇÕES SOBRE FORÇAS
A força mais conhecida é o PESO (P), definido como sendo A CAUSA DA
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE (g = 9,81 m/s2
) SOBRE UMA DETERMINADA
MASSA (P = m . g), TEM SEMPRE A DIREÇÃO VERTICAL E O SENTIDO PARA
BAIXO.
Em estruturas, em geral, as forças atuantes são originárias de pesos, entretanto sua direção
pode ser diferente da vertical, conforme exemplo representado na figura 01.
FIG. 01 - Força atuante, em direção diferente da vertical , originária de um peso
O peso de um corpo é na realidade a soma dos pesos de todas as suas moléculas, na prática,
entretanto, não existe interesse em se conhecer o peso de uma molécula, pois é quase
impossível se determinar quantas moléculas existem no corpo. Um valor mais acessível é o
PESO ESPECÍFICO (γ), definido como o PESO POR UNIDADE DE VOLUME (γ = P/V).
As unidades usuais do peso especifico são: N/m3
, N/cm3
, N/mm3
e etc..
Quando se estuda uma estrutura, as forças atuam distribuídas em uma certa área, assim
criou-se o conceito de PRESSÃO que é A FORÇA POR UNIDADE DE ÁREA (p = F/A),
ver figura 02. Um conceito semelhante é o de TENSÃO, que é a FORÇA (como reação
interna do material) POR UNIDADE DE ÁREA DA SEÇÃO TRANSVERSAL (σ = F/A),
ver figura 03. A unidade usual de pressão ou de tensão é o PASCAL (Pa) ou seu múltiplo o
MEGAPASCAL (MPa), definidos como:
Pascal (Pa)
Megapascal (MPa)
1 Pa = 1 N/m2
1 MPa = 106
Pa ⇒ 1 MPa = 106
N/m2
= 1 N/mm2
FIG. 02 - Força por unidade de área (pressão)

3
FIG. 03 - Força por unidade de área da seção transversal (tensão)
Muitas vezes defronta-se com problemas onde uma das dimensões da área, onde se
distribui a força, é muito pequena em relação a outra. Nestes casos em vez de se usar o
conceito de pressão, é melhor, na prática, a utilização do conceito de CARGA
UNIFORMEMENTE DISTRIBUÍDA que é a FORÇA POR UNIDADE DE
COMPRIMENTO (p = F/L), a figura 04 é um exemplo de carga uniformemente
distribuída. As unidades usuais para carga uniformemente distribuída são: N/m, N/cm,
N/mm e etc..
FIG. 04 - Força distribuída por unidade de comprimento (carga uniformemente distribuída)
Outra ocorrência comum, na prática, aparece quando a área, onde se distribui a força, tem
as duas dimensões muito pequenas, em relação as demais dimensões do problema, neste
caso costuma-se utilizar a força como CARGA CONCENTRADA em apenas um ponto, a
figura 05 é um exemplo deste tipo de carregamento. As unidades usuais para carga
concentrada são as mesmas utilizadas para forças, isto é: N, kN e etc..
FIG. 05 - Força aplicada em um ponto (carga concentrada)
1.3. DECOMPOSIÇÃO DE UMA FORÇA
Um sólido submetido a um sistema de forças, não em equilíbrio, sofre uma aceleração em
uma determinada direção e sentido. Uma força que cause uma aceleração de mesma

4
magnitude direção e sentido que este sistema de forças é conhecida como RESULTANTE
DAS FORÇAS deste sistema, e, é a soma vetorial das forças deste sistema.
Algumas vezes, em estruturas, é conhecida a resultante das forças, porém o problema é
mais facilmente resolvido ao se conhecer um sistema de forças de direções ortogonais
conhecidas e de mesma resultante. Neste caso pode-se decompor a força nas direções
ortogonais desejadas, bastando para isto multiplicar esta força pelo coseno do ângulo que
ela forma com cada uma destas direções, obtendo as COMPONENTES desta força nas
direções consideradas.
αcos.FFx =
( ) ααβ sen.90cos.cos. FFFFFF y
o
yy =⇒−=⇒=
FIG. 06 - Decomposição da força F em Fx e Fy
Note na figura 06, que:
αα cos.cos FF
F
F
x
x
=⇒=
ββ cos.cos FF
F
F
y
y
=⇒=
Note ainda, que a força F é a soma vetorial de Fx e Fy.
FIG. 07 - Soma vetorial de Fx e Fy resultando F
A titulo de exemplo, pode-se decompor o carregamento da estrutura representada na figura
08, em duas forças, uma axial e outra normal ao eixo da estrutura, conforme segue:

5
FIG. 08 - Exemplo dado FIG. 09 - Decomposição do carregamento
mLL 00,500,300,4 222
=⇒+=
80,0
00,5
00,4
cos ==β
60,0
00,5
00,3
cos ==α
NFFa 120060,0.2000cos. === α
NFFn 160080,0.2000cos. === β
Resultando o carregamento equivalente da figura 10.
FIG. 10 - Carregamento equivalente ao do exemplo dado
1.4. EQUILÍBRIO DE UM CORPO RÍGIDO
Todo sólido submetido à ação de forças se deforma, entretanto, na prática, a natureza do
problema em estudo, muitas vezes permite abstração desta deformação e considerar o

6
sólido como um corpo rígido.
CORPO RÍGIDO É TODO SÓLIDO CAPAZ DE RECEBER FORÇAS SEM SE
DEFORMAR.
Seja um corpo rígido contido em um plano e cujos deslocamentos possíveis também
estejam contidos neste plano. Neste caso este corpo rígido estará em equilíbrio se e
somente se as três equações fundamentais da estática forem satisfeitas:
1 - A soma das componentes horizontais de todas as forças aplicadas a este corpo rígido é
nula.
∑ = 0hF
2 - A soma das componentes verticais de todas as forças aplicadas a este corpo rígido é
nula.
∑ = 0vF
3 - A soma dos momentos, em qualquer ponto do corpo rígido, oriundos de todas as forças
aplicadas a este corpo rígido, é nula.
∑ = 0OM
Sendo o MOMENTO (Mo) definido pelo PRODUTO DA FORÇA (F) PELA DISTÂNCIA
(z) DO PONTO CONSIDERADO (O) À LINHA DE AÇÃO DESTA FORÇA. Esta
distância é conhecida por BRAÇO DE ALAVANCA. As unidades usuais de momento são:
N.m, N.cm, N.mm e etc..
zFM O .=
O corpo rígido descrito acima é na realidade uma abstração, entretanto grande parte das
estruturas podem ser estudadas como um conjunto de estruturas menores que se
comportam da forma descrita acima, Estas estruturas são ditas ESTRUTURAS PLANAS
pois estão CONTIDAS EM UM PLANO COM DESLOCAMENTOS
EXCLUSIVAMENTE NESTE PLANO.
A titulo de exemplo, pode-se obter as forças Fl , F2 e F3 para que o corpo rígido da figura
11 esteja em equilíbrio.

7
FIG. 11 - Corpo rígido em equilíbrio
Aplicando-se as equações de equilíbrio, obtêm-se, as incógnitas Fl , F2 e F3.
( ) NFFFh 1000010000 11 =⇒=−∴→= +
∑
( ) 30000 32 =+∴↑+=∑ FFFv
∑ = 0OM 000,5.0.100050,2.30000.0. 321 =−+++∴ FFF
NF 15003 =⇒
Substituindo-se o resultado de ∑ = 0OM , na equação ∑ = 0vF , obtém-se:
1500300015003000 2232 =⇒=+⇒=+ FFFF
Assim, o corpo rígido representado na figura 11 estará em equilíbrio se Fl = 1000 N,
F2 = 1500 N e F3 = 1500 N, e ainda, nas direções e sentidos indicados na figura 11.
1.5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS
1.5.1. Quais são as unidades básicas do sistema internacional?
1.5.2. Como é obtida a unidade de força no sistema internacional? Como é denominada
esta unidade?
1.5.3. O que é peso? Quais suas características? Quais as unidades utilizadas?
1.5.4. O que é peso especifico? Quais as unidades utilizadas?
1.5.5. O que é pressão? Quais as unidades utilizadas?
1.5.6. O que é tensão? O que a diferencia de pressão?
1.5.7. O que é carga uniformemente distribuída? Quais as unidades utilizadas?
1.5.8. O que é carga concentrada? Quais as unidades utilizadas?

8
1.5.9. O que é resultante de um sistema de forças?
1.5.10. Como se obtém a componente de uma força em determinada direção?
1.5.11. Decompor as forças representadas na figura 12, nas direções dos eixos x e y.
FIG. 12 FIG. 13
1.5.12. Obter um carregamento equivalente, ao representado na figura 13, de tal forma a
obter cargas axiais e normais ao eixo da estrutura.

9
2. APOIOS
Entende-se por APOIO, O ELEMENTO DE VINCULAÇÃO (vínculo) DA ESTRUTURA
PROPRIAMENTE DITA COM O SOLO OU QUALQUER OUTRO ELEMENTO DA
INFRAESTRUTURA (pilares, colunas etc.).
Existem vários tipos de apoio, sendo os mais utilizados: o apoio móvel, o apoio fixo, o
engastamento móvel e o engastamento fixo.
2.1. APOIO MÓVEL
Em um laboratório, um apoio móvel pode ser formado por dois berços (superior e inferior),
um rolo entre eles que permite a rotação e dois outros rolos nos quais se apoia o berço
inferior, permitindo a translação do conjunto sobre a superfície de apoio. O sistema possui
DOIS GRAUS DE LIBERDADE, isto é, ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO PARALELA À
SUPERFÍCIE DE APOIO. O sistema possui apenas uma REAÇÃO cuja direção é
PERPENDICULAR À SUPERFÍCIE DE APOIO e passa pelo centro do rolo que dá
formação a rótula.
A figura 14 representa este tipo de apoio, a figura 15 mostra sua representação esquemática
e a figura 16 sua forma mais comum em estruturas de madeira.
FIG. 14 - Apoio móvel (esquema de
laboratório)
FIG. 15 - Apoio móvel (representação
esquemática)

10
a) Perspectiva do apoio
b) Vista lateral c) Vista frontal
FIG. 16 - Apoio móvel (exemplo em estruturas de madeira)
2.2. APOIO FIXO
O apoio fixo difere do apoio móvel apenas por não permitir a translação pode ser montado
em laboratório, conforme representação da figura 17. O sistema possui somente UM
GRAU DE LIBERDADE, A ROTAÇÃO. Sua REAÇÃO é de direção desconhecida,
podendo ser decomposta em duas, uma PERPENDICULAR e outra PARALELA À
SUPERFÍCIE DE APOIO. A figura 18 mostra a representação esquemática deste apoio e a
figura 19 sua forma mais comum em estruturas de madeira.

11
FIG. 17 - Apoio fixo (esquema de
laboratório)
FIG. 18 - Apoio fixo (representação
esquemática)
a) Perspectiva do apoio
b) Vista lateral c) Vista frontal
FIG. 19 - Apoio fixo (exemplo em estruturas de madeira)

12
2.3. ENGASTAMENTO MÓVEL
Um engastamento móvel pode ser montado, em laboratório, conforme a representação da
figura 20. O sistema possui somente UM GRAU DE LIBERDADE, ou seja, A
TRANSLAÇÃO PARALELA À SUPERFÍCIE DE APOIO. Sua REAÇÃO é definida por
um momento, dito MOMENTO DE ENGASTAMENTO, que impede a rotação, e uma
REAÇÃO PERPENDICULAR À SUPERFÍCIE DE APOIO passando pelo eixo médio dos
rolos, que impede a translação na direção deste eixo.
O engastamento móvel pode ser representado de forma esquemática conforme a figura 21.
Em estruturas de madeira esse engastamento é pouco utilizado, podendo, entretanto, ser
associado à colocação da peça de madeira em um orifício, preparado com antecedência, em
um bloco de concreto, sem que ocorra aderência da madeira ao concreto.
FIG. 20 - Engastamento móvel (esquema de
laboratório)
FIG. 21 - Engastamento móvel (re-
presentação esquemática)
2.4. ENGASTAMENTO FIXO
O engastamento fixo é um tipo de apoio, que NÃO POSSUI GRAU DE LIBERDADE.
Sua REAÇÃO é definida através de três parâmetros: REAÇÃO PERPENDICULAR,
REAÇÃO PARALELA AO EIXO LONGITUDINAL DA PEÇA E MOMENTO DE
ENGASTAMENTO. As reações impedem as translações e o momento impede a rotação.
Este tipo de engastamento, em estruturas de madeira, pode ser conseguido pelo simples
embutimento da peça de madeira em um bloco de concreto, onde deverá existir a aderência
da peça ao concreto. Esta aderência é melhorada, na prática, pela colocação de pregos na
região, da peça, embutida no bloco de concreto.

13
FIG. 22 - Engastamento fixo (esquema de
laboratório)
FIG. 23 - Engastamento fixo (repre-
sentação esquemática)
2.5. ESTABILIDADE DAS ESTRUTURAS
Uma das condições para que uma estrutura seja segura, é que as condições de apoio sejam
estáveis. Entende-se por CONDIÇÃO DE APOIO ESTÁVEL, como regra e portanto
existindo exceções, ditos casos especiais, QUALQUER COMBINAÇÃO DE APOIOS
QUE FORNEÇA TRÊS OU MAIS REAÇÕES DE APOIO, a figura 24 apresenta alguns
exemplos de condição de apoio estável.
FIG. 24 - Exemplos de condição de apoio estável
Quanto a combinação de apoios, externamente, as estruturas podem sem ser:
ESTRUTURAS HIPOSTÁTICAS são as estruturas nas quais a COMBINAÇÃO DE
APOIOS É INSTÁVEL, portanto possuem em geral MENOS DE TRÊS REAÇÕES. Por
terem combinação de apoio instável NUNCA DEVEM SER UTILIZADAS.

14
FIG. 25 - Exemplos de estruturas hipostáticas
ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS ou ESTRUTURAS ESTATICAMENTE
DETERMINADAS são as estruturas cuja COMBINAÇÃO DE APOIOS É ESTÁVEL,
entretanto possuem APENAS TRÊS REAÇÕES, as quais podem ser OBTIDAS
ATRAVÉS DAS TRÊS EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO.
FIG. 26 - Exemplos de estruturas isostáticas
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS ou ESTRUTURAS ESTATICAMENTE
INDETERMINADAS, são estruturas que possuem uma COMBINAÇÃO DE APOIOS
ESTÁVEL, porém com MAIS DE TRÊS REAÇÕES e portanto as três equações de
equilíbrio não são suficientes para obtê-las, assim NECESSITAM EQUAÇÕES
SUPLEMENTARES ORIUNDAS DA COMPATIBILIDADE DE DESLOCAMENTOS,
para obter suas reações. Este tipo de estrutura não será objeto de estudo deste cuirso.
FIG. 27 - Exemplos de estruturas hiperestáticas

15
2.6. CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO (ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS)
O cálculo das reações de apoio de uma estrutura isostática, como já foi visto, é feito com o
auxilio das três equações de equilíbrio (∑ = 0hF , ∑ = 0vF e ∑ = 0OM ). A seguir é
apresentado um roteiro para se calcular as reações de apoio de uma estrutura isostática,
com relativa facilidade.
ROTEIRO PARA CÁLCULO DE REAÇÕES DE APOIO
1. Substituir os apoios por suas reações, utilizando-as como incógnitas. O sentido
das reações é adotado arbitrariamente.
2. Concentrar, se necessário, os carregamentos uniformemente distribuídos no
centro do trecho carregado e/ou decompor cargas inclinadas.
3. Aplicar as três equações de equilíbrio e resolver o sistema de equações
resultante obtendo as reações de apoio. Para facilitar os cálculos costuma-se
escolher um dos apoios, o que contiver maior número de reações, para se
aplicar a equação ∑ = 0OM .
4. Fornecer a solução em desenho, invertendo o sentido das reações que
resultarem negativas na resolução do sistema.
Para melhor entendimento do roteiro descrito, apresenta-se a seguir o cálculo das reações
de apoio para alguns exemplos.
EXEMPLOS - Calcular as reações de apoio, para as estruturas isostáticas, esquematizadas
na figura 28.
FIG. 28 - Exemplos - para cálculo das reações de apoio

16
a) O primeiro passo é substituir os apoios por suas reações, conforme figura 29, O sentido
destas reações são adotados arbitrariamente.
FIG. 29 - Substituição dos apoios por suas reações
O segundo passo que seria concentrar os carregamentos uniformemente distribuídos, neste
caso, não existe.
O terceiro passo é aplicar as três equações de equilíbrio. Para isto deve-se adotar,
arbitrariamente, o sentido positivo das forças ou dos momentos, estes sentidos estão
representados ao lado de cada uma das equações. O ponto adotado para explicar a equação
de momentos foi o ponto A.
( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +
∑
( ) 50000030000200000 =+⇒=−−+∴↑+=∑ BABAv VVVVF
∑ = 0AM ( )+++++∴ 50,100,1.3000000,1.200000.0. AA VH
NVV BB 19000000,5. =⇒=−
Ainda no terceiro passo resolve-se o sistema de equações resultante, obtendo-se as reações
de apoio.
NH A 0=
NVB 19000=
NVVVV AABA 31000500001900050000 =⇒=+⇒=+
O quarto passo é fornecer a solução em desenho. Como os resultados obtidos foram todos
positivos, e portanto, os sentidos inicialmente adotados estão corretos, não se deve inverter
nenhum dos sentidos iniciais na solução representada na figura 30.

17
FIG. 30 - Solução do item a do exemplo
b) O primeiro passo é substituir os apoios por suas reações, conforme a figura 31. O
segundo passo, necessário neste exemplo, é concentrar a carga uniformemente
distribuída no centro do trecho carregado, conforme a figura 32.
FIG. 31 - Substituição dos apoios por
suas reações
FIG. 32 - Concentração da carga uniforme-
mente distribuída
O terceiro passo é aplicar as equações de equilíbrio, conforme segue:
( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +
∑
( ) 100000100000 =+⇒=−+∴↑+=∑ BABAv VVVVF
∑ = 0AM 000,5.00,2.100000.0. =−++∴ BAA VVH
NVB 4000=⇒
Ainda no terceiro passo resolve-se o sistema de equações resultantes, obtendo-se as
reações de apoio.
NH A 0=
NVB 4000=
NVVVV AABA 600010000400010000 =⇒=+⇒=+

18
Finalmente, no quarto passo, apresenta-se a solução em desenho, conforme a figura 33.
FIG. 33 - Solução do item b do exemplo
c) Para este problema, a solução tem a mesma seqüência de operações do item anterior,
com a qual obtém-se:
FIG. 34 - Substituição dos apoios por suas
reações
FIG. 35 - Concentração da carga unifor-
memente distribuída
( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +
∑
( ) 460000200002000060000 =+⇒=−−−+∴↑+=∑ BABAv VVVVF
∑ = 0AM ( )+++++∴ 50,100,1.2000000,1.60000.0. AA VH
( ) 000,5.50,150,100,1.20000 =−+++ BV
NVB 27200=⇒
Resultando, assim:
NH A 0=
NVB 27200=
NVVVV AABA 18800460002720046000 =⇒=+⇒=+

19
FIG. 36 - Solução do item c do exemplo
d) Este problema, além de dispensar o segundo passo, tem como novidade o engastamento
fixo que possui um momento de engastamento como reação de apoio. Para este
problema tem-se:
FIG. 37 - Substituição do apoio por suas reações
( ) NHHF AAh 3000030000 −=⇒=−−∴→= +
∑
( ) NVVF AAv 000 =⇒=∴↑+=∑
∑ = 0AM 000,3.30000.0. =−−+∴ AAA MVH
mNM A .9000−=⇒
Resultando:
NH A 3000−= (sentido contrário ao adotado)
NVA 0=
mNM A .9000−= (sentido contrário ao adotado)

20
FIG. 38 - Solução do item d do exemplo
e) Este problema tem seqüência semelhante à do item anterior, obtendo-se:
FIG. 39 - Substituição do apoio por suas reações
( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +
∑
( ) NVVF AAv 200000200000 =⇒=−∴↑+=∑
∑ = 0AM 000,0.200000.0. =+−+∴ AAA MVH
mNM A .0=⇒

21
FIG. 40 - Solução do item e do exemplo
2.7.1. O que se entende por apoio? Quais os principais tipos de apoio?
2.7.2. Descreva o apoio móvel.
2.7.3. Descreva o apoio fixo.
2.7.4. Descreva o engastamento móvel.
2.7.5. Descreva o engastamento fixo.
2.7.6. Represente, esquematicamente, com suas reações de apoio: o apoio móvel, o apoio
fixo, o engastamento móvel e o engastamento fixo.
2.7.7. O que se entende por condição de apoio estável? Represente, esquematicamente,
algumas estruturas com condição de apoio estável.
2.7.8. O que são estruturas (externamente) hipostáticas? Represente, esquematicamente,
alguns exemplos.
2.7.9. O que são estruturas (externamente) isostáticas? Represente, esquematicamente,
alguns exemplos.
2.7.10. O que são estruturas (externamente) hiperestáticas? Represente, esquematicamente,
alguns exemplos.
2.7.11. Conforme a combinação de apoio, fornecer o tipo das estruturas representadas nas
figuras 41 a 49.

22
FIG. 41 FIG. 42
FIG. 43 FIG. 44
FIG. 45 FIG. 46
FIG. 47 FIG. 48 FIG. 49
2.7.12. Calcular as reações de apoio, das estruturas isostáticas do exercício anterior
(2.7.11).

23
3. ESFORÇOS SOLICITANTES
3.1. CONCEITUAÇÃO
Seja um corpo rígido em equilíbrio sob a ação de um sistema de forças (figura 50).
FIG. 50 - Corpo rígido em equilíbrio
Cortando-se este corpo rígido em uma seção qualquer, figura 51, obtém-se duas partes não
mais em equilíbrio.
FIG. 51 - Corte em uma seção do corpo rígido em equilíbrio

24
Conclui-se que a seção do corpo rígido, onde se fez o corte, transmitia esforços de uma
parte à outra, estes são usualmente ditos ESFORÇOS SOLICITANTES ou ESFORÇOS
SECCIONAIS.
Para impedir a translação na direção do eixo a-a, produzida por Fl, aparece na seção uma
força axial, dita FORÇA NORMAL (N), em sentido contrário a Fl.
Para impedir a translação na direção do eixo c-c, produzida pele resultante (F3+F2-F2-F4),
aparece una força transversal, dita FORÇA CORTANTE (V), em sentido contrário a esta
resultante.
Para impedir a rotação em torno do eixo b-b, produzida pelo momento oriundo de F3,
aparece na seção um momento, dito MOMENTO FLETOR (M), em sentido contrário ao
provocado por F3.
Para impedir a rotação em torno do eixo a-a, produzida pelo momento oriundo do binário
de F2, aparece na seção um momento, dito MOMENTO TORÇOR (T), em sentido
contrário ao binário de F2.
FIG. 52 - Esforços solicitantes na seção do corte
Assim, ESFORÇOS SOLICITANTES SÃO AS FORÇAS E MOMENTOS QUE
APARECEM NAS SEÇÕES DE CORPOS RÍGIDOS EM EQUILÍBRIO. As figuras 53 a
56 representam estes esforços, com a respectiva convenção de sinais.
FIG. 53 - Força normal - Convenção de sinais

25
FIG. 54 - Força cortante - Convenção de sinais
FIG. 55 - Momento fletor - Convenção de sinais
FIG. 56 - Momento torçor - Convenção de sinais
3.2. BARRAS, VIGAS E PILARES
De maneira geral, barras são componentes de estruturas nos quais as dimensões da seção
são nitidamente menores que o comprimento do eixo da peça. Quanto a transmissibilidade
de esforços solicitantes pode-se distinguir a barra simples, ou simplesmente BARRA, que é
o elemento estrutural que TRANSMITE APENAS um esforço, a FORÇA NORMAL, e a
barra geral, ou CHAPA, que é o elemento estrutural CAPAZ DE TRANSMITIR, FORÇA
NORMAL, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR. Os exemplos mais comuns de

26
chapas, são as VIGAS e os PILARES, ambos tem as mesmas funções estruturais,
entretanto, em geral, as vigas são usadas horizontalmente e os pilares verticalmente.
3.3. CÁLCULO DE ESFORÇOS SOLICITANTES
Os esforços solicitantes que aparecem em estruturas planas são: Força Normal (de tração
ou de compressão), Força Cortante e Momento Fletor. O Momento Torçor só aparece em
estruturas espaciais.
O cálculo dos esforços solicitantes em determinada seção de uma estrutura plana, pode ser
realizado conforme o roteiro que se segue:
ROTEIRO PARA CÁLCULO DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM
DETERMINADA SEÇÃO DE UMA ESTRUTURA PLANA
1. Cálculo das reações de apoio.
2. Cortar a estrutura, na seção, onde se deseja encontrar os esforços solicitantes,
colocando os esforços solicitantes, isto é, as incógnitas, com seu sentido
positivo.
3. Escolher uma das partes da estrutura, para os cálculos, e se necessário,
concentrar os carregamentos uniformemente distribuídos no centro dos trechos
carregados e/ou decompor cargas inclinadas.
4. Aplicar, na parte escolhida, as três equações de equilíbrio
( ∑ = 0hF , ∑ = 0vF e ∑ = 0OM ) obtendo, da solução do sistema de
equações resultantes, os esforços solicitantes nesta seção, Para facilitar os
cálculos, costuma-se escolher o ponto de corte para aplicar a equação
∑ = 0OM .
Para melhor entendimento do método descrito, apresenta-se a seguir alguns exemplos.
EXEMPLO l: Calcular os esforços solicitantes na seção genérica C, da viga representada
na figura 57.
p = carga uniformemente distribuída
l = vão livre da viga
A = apoio fixo
B = apoio móvel
x = distância da seção genérica C ao apoio
fixo A
FIG. 57

27
a) Cálculo das reações de apoio
FIG. 58 - Substituição dos apoios por suas
reações
FIG. 59 - Concentração do carregamento
uniformemente distribuído
( ) NHHF AAh 000 =⇒=−∴→= +
∑
( ) ll .0.0 pVVpVVF BABAv =+⇒=−+∴↑+=∑
∑ = 0AM
2
.
0.
2
..0.0.
l
l
l
l
p
VVpVH BBAA =⇒=−++∴
Resultando:
NH A 0=
2
.lp
VB =
2
.
.
2
.
0.
l
l
l
l
p
Vp
p
VpVV AABA =⇒=+⇒==+
FIG. 60 - Reações de apoio para o exemplo 1

28
b) Corte da estrutura em C com seus esforços solicitantes, considerados positivos.
FIG. 61 - Corte da estrutura na seção C
c) Escolhendo-se a parte esquerda, da estrutura, e concentrando-se o carregamento
uniformemente distribuído, obtém-se o esquema apresenta do na figura 62.
d) Aplicando-se as equações de equilíbrio, obtém-se:
( ) 00 =∴→= +
∑ NFh
( ) xp
p
VVxp
p
Fv .
2
.
0.
2
.
0 −=⇒=−−∴↑+=∑
ll
∑ = 0CM 0.
2
.
2
..0.0. =+−++−∴ x
px
xpNVM
l
2
.
.
2
. 2
xp
x
p
M −=⇒
l
Resultando, para a seção C:
0=N 





−= xpV
2
.
l
( )x
xp
M −= l.
2
.
EXEMPLO 2: Calcular os esforços solicitantes na seção genérica C, do pilar representado
na figura 63.

29
p = carga uniformemente distribuída
P = carga concentrada
l = altura do pilar
A = extremo livre do pilar
B = engastamento fixo
x = distância do extremo livre à seção genérica C
FIG. 63
FIG. 64 - Substituição do apoio por suas
reações
FIG. 65 - Concentração do carregamento
uniformemente distribuído
Resultando:
FIG. 66 - Reações de apoio para o exemplo 2

30
b) Corte da estrutura em C com seus esforços solicitantes, considerados positivos.
OBS.: No caso deste exemplo, para a convenção do momento fletor M, é necessário se
convencionar ou "escolher" um "embaixo" para o pilar,
c) Escolhendo-se a parte superior, do pilar, e concentrando-se o carregamento
uniformemente distribuído, obtém-se o esquema apresentado na figura 68.
FIG. 68
d) Aplicando-se as equações de equilíbrio, obtém-se:
( ) x.pVx.pVFh −=⇒=−−∴→= +
∑ 00

31
( ) PNPNFv −=⇒=−−∴↑+=∑ 00
∑ = 0CM
2
00
2
00
2
x.p
M.P
x
.x.p.V.NM −=⇒=++++∴
Resultando, para a seção C:
PN −= x.pV −=
2
2
x.p
M −=
3.4. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES
Pode-se observar, a partir dos exemplos apresentados no item anterior, que pare cada seção
escolhida (diferentes valores de x) existirão determinados valores para os esforços
solicitantes. Para se calcular uma estrutura é necessário se ter uma visão destes esforços em
todas as seções da estrutura, pois o dimensionamento da estrutura deve ser tal que todas as
seções suportem os esforços que nela atuam.
A fim de permitir uma visão global, da variação dos diversos esforços solicitantes, é usual
traçar-se os DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES, que são diagramas que
REPRESENTAM A VARIAÇÃO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES AO LONGO DA
ESTRUTURA.
Estes diagramas são construídos sobre o eixo da estrutura, representando suas abscissas,
tendo em cada seção, representado nas ordenadas, o valor do esforço solicitante
considerado. O diagrama de Momento Fletor é sempre desenhado do lado tracionado da
estrutura dispensando-se a utilização de sinais. O mesmo não acontece com os diagramas
de força normal e força cortante, cujos sinais são indispensáveis. Quando, em determinado
trecho, o diagrama é constante é comum se usar um sinal de igual, sobre este trecho,
assinalando o valor do esforço solicitante sobre ele.
A titulo de exemplo, os diagramas de esforços solicitantes das estruturas apresentadas nos
exemplos do item anterior seriam:
EXEMPLO l:
FIG. 69

32
a) Diagrama de MOMENTO FLETOR (figura 70)
A equação
22
2
x.p
x.
.p
M −=
l
caracteriza
uma parábola do segundo grau e, portanto, é
definida por três pontos:
• Para 0=x (apoio A) 0=⇒ M
• Para
2
l
=x (centro)
2
2
l.p
M =⇒
• Para l=x (apoio B) 0=⇒ M
FIG. 70
b) Diagrama de FORÇA NORMAL (figura 71)
A equação 0=N caracteriza uma
constante, que independe de x:
Em todas as seções a Força Normal é nula.
FIG. 71
c) Diagrama de FORÇA CORTANTE (figura 72)
A equação x.p
.p
V −=
2
l
caracteriza uma
reta e, portanto, é definida por dois pontos:
• Para 0=x (apoio A)
2
l.p
V =⇒
• Para l=x (apoio B)
2
l.p
V −=⇒
FIG. 72
EXEMPLO 2:
FIG. 73 FIG. 74 FIG. 75 FIG. 76

33
a) Diagrama de MOMENTO FLETOR (figura 74)
A equação,
2
2
x.p
M −= , do momento fletor, caracteriza uma parábola do segundo grau, e
portanto necessita três pontos para sua definição:
• Para 0=x (extremo livre) 0=⇒ M
• Para
2
l
=x (centro)
8
2
l.p
M −=⇒ (tração em cima)
• Para l=x (engastamento fixo)
2
2
l.p
M −=⇒ (tração em cima)
b) Diagrama de FORÇA NORMAL (figura 75)
A equação, PN −= , independe de x e portanto a força Normal assume o valor P− , de
compressão, em todas as seções da estrutura.
c) Diagrama de FORÇA CORTANTE (figura 76)
A equação, x.pV −= , da força a cortante, é equação de uma reta, e portanto definida por
dois pontos.
• Para 0=x (extremo livre) 0=⇒ V
• Para l=x (engastamento fixo) PV −=⇒
Para cada valor de l, ou para cada conjunto de valores de P e p, os exemplos apresentados
representam estruturas diferentes ou com carregamentos diferentes, respectivamente.
Assim os resultados destes exemplos podem ser utilizados em diferentes estruturas,
acentuando a viabilidade de se montar tabelas para os casos de ocorrência mais comum.
Para montagem destas tabelas deve-se ter em mente que sempre que houver alterações no
carregamento ocorrerão alterações nos diagramas, e portanto, as equações dos esforços
devem ser obtidas por trechos.
A seguir apresentam-se alguns diagramas, para os casos de ocorrência mais comum,
incluindo as equações de flechas (v), ou deslocamentos verticais, cuja determinação é feita
utilizando condições de contorno e a seguinte equação diferencial (ver item 4.4):
M
dx
vd
.I.E −=2
2

34
DIAGRAMAS E FÓRMULAS PARA O CÁLCULO DE VIGAS
a) Viga simplesmente apoiada - Carga uniformemente distribuída.
2
l.p
VR ==






−= x.pVx
2
l
8
2
l.p
)centrono(M máx =
( )x.
x.p
M x −= l
2
I.E.
.p.
)centrono(vmáx
384
5 4
l
=
( )323
2
24
xx...
I.E.
x.p
vx +−= ll
FIG. 77
b) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada no centro.
2
P
VR ==
4
l.P
)centrono(M máx =
22
x.P
)xpara(M x =≤
l
( )x.
P
)xpara(M x −=≥ l
l
22
I.E.
.P
)centrono(vmáx
48
3
l
=
( )22
43
482
x...
I.E.
x.P
)xpara(vx −=≤ l
l
( ) ( )[ ]22
43
482
x...
I.E.
x.P
)xpara(vx −−
−
=≥ ll
ll
FIG. 78

35
c) Viga simplesmente apoiada - Carga concentrada em qualquer ponto.
FIG. 79
l
b.P
)basemáximo(VR =≤= 11
l
a.P
)basemáximo(VR =≥= 22
l
b.a.P
)aargcasob(M máx =
l
x.b.P
)axpara(Mx =≤
( ) =≥
+
= )base
b.a.a
xem(vmáx
3
2
( ) ( )
l.I.E.
b.a.a..b.a.b.a.P
27
232 ++
=
l.I.E.
b.a.P
)aargcasob(va
3
22
=
( )222
6
xb.
.I.E.
x.b.P
)axpara(vx −−=≤ l
l
( ) ( )22
2
6
axx...
.I.E.
x.a.P
)axpara(vx −−
−
=≥ l
l
l
d) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuída.
( )bc.2.
.2
b.p
)casemáximo(VR 11 +=≤=
l
( )ba.2.
.2
b.p
)casemáximo(VR 22 +=≥=
l
( ) ( )ax.pR)baxapara(Vx −−=+≤≤ 1






+=+=
p.
R
a.R)
p
R
axem(M máx
2
1
1
1
x.R)axpara(Mx 1=≤
( ) ( )2
1
2
ax.
p
x.R)baxapara(M x −−=+≤≤
( ) ( )x.R)baxpara(Mx −=+≥ l2
FIG. 80

36
e) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuída em um extremo.
FIG. 81
( )a..
.
a.p
)máximo(VR −== l
l
2
2
11
l.
a.p
VR
2
2
22 ==
x.pR)axpara(Vx −=≤ 1
p.
R
)
p
R
xem(M máx
2
2
11
==
2
2
1
x
.px.R)axpara(Mx −=≤
)x.(R)axpara(M x −=≥ l2
=≤ )axpara(vx
( ) ( )[ ]3222
222
24
a.a..x.a.a..a.
.I.E.
x.p
lll
l
+−−−=
( ) [ ]22
2
24
24
ax..x..
.I.E.
x.a.p
)axpara(vx −−
−
=≥ l
l
l
f) Viga simplesmente apoiada - Carga uniforme parcialmente distribuída nos dois
extremos.
FIG. 82
( )
l
l
.
c.pa..a.p
VR
2
2 2
21
11
+−
==
( )
l
l
.
a.pc..c.p
VR
2
2 2
12
22
+−
==
( ) a.pR)baxapara(VV x 113 −=+≤≤=
x.pR)axpara(Vx 11 −=≤
( ) ( )x.pR)baxpara(Vx −+−=+≥ l22
1
2
1
11
1
1
2 p.
R
)a.pRse
p
R
xem(M máx =≤=
2
2
2
22
2
2
2 p.
R
)c.pRse
p
R
xem(M máx =≤−= l
2
2
1
1
x.p
x.R)axpara(M x −=≤
( ) ( )ax..
a.p
x.R)baxapara(Mx −−=+≤≤ 2
2
1
1
( ) ( ) ( )
2
2
2
2
x.p
x.R)baxpara(Mx
−
−−=+≥
l
l

37
g) Viga simplesmente apoiada - Duas cargas concentradas iguais e simetricamente
localizadas.
FIG. 83
PVR ==
a.P)asargcasentre(M máx =
x.P)axpara(M x =≤
( )x.P)axpara(M x −=−≥ ll
a.Ptetancons)asargcasentre(M x ==
( )22
43
24
a...
I.E.
a.P
)centrono(vmáx −= l
( )22
33
6
xa.a...
I.E.
x.P
)axpara(vx −−=≤ l
( ) ( )22
33
6
ax.x...
I.E.
x.P
)axapara(vx −−=−≤≤ ll
h) Viga simplesmente apoiada - Duas cargas concentradas iguais em qualquer posição.
FIG. 84
( )ba.
P
)basemáximo(VR +−=≤= l
l
11
( )ab.
P
)basemáximo(VR +−=≥= l
l
32
( )ab.
P
PRV −=−=
l
12
a.R)basemáximo(M 11 =≤
b.R)basemáximo(M 22 =≥
x.R)axpara(M x 1=≤
( ) ( )ax.Px.R)bxapara(M x −−=−≤≤ 1l

38
i) Viga engastada - Carga uniformemente distribuída.
FIG. 85
l.pVR ==
)zero(H 0=
x.pVx −=
2
2
l.p
)fixoextremono(MM máx ==
2
2
x.p
M x −=
I.E.
.p
)livreextremono(vmáx
8
4
l
=
( )434
34
24
ll .x..x.
I.E.
p
vx +−=
j) Viga engastada - Carga concentrada no extremo livre.
FIG. 86
PVR ==
)zero(H 0=
PtetanconsVx −==
l.P)fixoextremono(MM máx ==
x.PM x −=
I.E.
.P
)livreextremono(vmáx
3
3
l
=
( )323
32
6
xx....
I.E.
P
vx +−= ll

39
k) Viga engastada - Carga concentrada em qualquer ponto.
FIG. 87
PVR ==
)zero()axpara(Vx 0=≤
P)axpara(Vx −=≥
b.P)fixoextremono(MM máx ==
)zero()axpara(M x 0=≤
( )ax.P)axpara(M x −−=≥
( )b..
I.E.
b.P
)livreextremono(vmáx −= l3
3
2
I.E.
b.P
)aargcasob(va
3
3
=
( )bx...
I.E.
b.P
)axpara(vx −−=≤ 33
6
2
l
( ) ( )xb..
I.E.
x.P
)axpara(vx +−
−
=≥ l
l
3
6
2
l) Viga simplesmente apoiada com um balanço - Carga concentrada no extremo do
balanço.
FIG. 88
l
a.P
VR == 11
( )a.
P
VVR +=+= l
l
212
PV =2
a.P)x,xem(M máx === 01l
l
x.a.P
)apoiososentre(M x −=
( )11
xa.P)balançono(M x −−=
===
I.E..
.a.P
)xemapoiososentre(vmáx
393
2
ll
I.E
.a.P
.,
2
064150
l
=
( )a.
I.E.
a.P
)axembalançono(vmáx +== l
3
2
1
( )22
6
x.
.I.E.
x.a.P
)apoiososentre(vx −= l
l
( )2
11
1
32
61
xx.a..a..
I.E.
x.P
)balançono(vx −+= l

40
NOTAÇÕES UTILIZADAS NOS DIAGRAMAS
H = reação de apoio (horizontal)
R = reação de apoio (vertical)
V = esforço cortante
p = cargas uniformemente distribuídas
M = momento fletor
P = carga concentrada
v = deslocamento vertical (flecha)
Zx (Zx1) = esforço solicitante (M, N, V ou v) a uma distância genérica x (x1)
Zmáx = esforço solicitante (M, N, V ou v) máximo
a, b, c e d = distâncias cotadas no desenho
E = módulo de elasticidade do material
I = momento de inércia, em relação a linha neutra da seção da viga.
OBS.: Os diagramas de FORÇA NORMAL, não foram representados nas tabelas por
serem todos nulos.
3.5. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
Os diagramas apresentados no item anterior, resolvem muitos problemas com os quais
defronta-se na prática, entretanto existem alguns casos onde somente estes diagramas não
resolvem o problema, nestes casos o Princípio da Superposição de efeitos é uma poderosa
arma.
O Principio da Superposição de Efeitos só pode ser aplicado a estruturas pouco
deformáveis, onde a configuração de equilíbrio com o carregamento pode ser considerada
igual a configuração antes do carregamento, nas quais as tensões são proporcionais às
deformações, e portanto teoria linear de primeira ordem. Estas condições são atendidas
pela maioria das estruturas, tendo por exceções principais as estruturas pênseis.
O Principio da Superposição de Efeitos rege que: se o carregamento de uma estrutura for
uma combinação linear de outros carregamentos, mais simples, os efeitos produzidos por
este carregamento, podem ser obtidos pela combinação linear equivalente dos efeitos dos
diversos carregamentos, mais simples, atuando isoladamente na estrutura.
A titulo de exemplo de aplicação deste princípio, a seguir, são resolvidos alguns exemplos:
EXEMPLO 1: Traçar os diagramas de Momento Fletor (M), Força Normal (N) e Força
Cortante (V) para a estrutura representada na figura 89.
FIG. 89 - Exemplo 1

41
O carregamento da figura 89 é uma combinação de dois carregamentos, cujos diagramas
encontram-se tabelados:
FIG. 90 - Decomposição do problema dado em problemas mais simples
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA l: A solução do problema 1 é tabelada na aliena e (figura
81) dos diagramas fornecidos no item anterior.
FIG. 91 - Problema 1
m,em,a,m/NP 0060022000 === l
( ) N,a..
.
a.p
VR 3333332
2
11 =−== l
l
N,
.
a.p
VR 67666
2
2
22 ===
l
m.N,
p.
R
)m,
p
R
xem(Mmáx 772777
2
671
2
11
====
2
002
2
1
x
.px.R)m,axem(M x −=== ou
m.N,)x.(R)m,x(M x 682666002 2 =−== l
Para a superposição necessita-se ainda:
==≥= )m,am,xpara(M x 002003
m.N,)x.(R)m,x(M x 002000003 2 =−== l
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2: A solução do problema 2 está tabelada, alínea b
(figura 78) dos diagramas apresentados no item anterior:

42
FIG. 92 - Problema 2
m,eNP 00620000 == l
N
P
VR 10000
2
===
m.N
.P
)centrono(M máx 30000
4
==
l
m.N
x.P
)m,m,xem(M x 16700
2
003
2
671 ===<=
l
m.N
x.P
)m,m,xem(M x 20000
2
003
2
002 ===<=
l
SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS ( Resolução do Problema 0): Superpondo-se os efeitos
obtém-se:
FIG. 93 - Superposição de efeitos - Exemplo 1

43
FIG. 94 - Diagramas de esforços solicitantes - Exemplo 1
EXEMPLO 2: Traçar os diagramas de M, N e V para a estrutura representada na figura 95.
FIG. 95 - Exemplo 2
O carregamento da figura 95 é uma combinação de dois carregamentos, cujos diagramas
encontram-se tabelados.

44
FIG. 96 - Decomposição do problema dado em problemas mais simples
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 1: A solução deste problema está tabelada, alínea a
(figura 77) dos diagramas fornecidos no item anterior, resultando:
FIG. 97
m,em/NP 0055000 == l
N
.p
VR 12500
2
===
l
m.N
.p
)centrono(M máx 15625
8
2
==
l
Nx.p)m,xem(Vx 5000
2
501 =





−==
l
Nx.p)m,xem(Vx 5000
2
503 −=





−==
l
( ) m.N,x.
x.p
)m,xem(Mx 757968
2
750 =−== l
( ) m.Nx.
x.p
)m,xem(Mx 13125
2
501 =−== l
( ) m.Nx.
x.p
)m,xem(Mx 13125
2
503 =−== l
( ) m.N,x.
x.p
)m,xem(Mx 757968
2
254 =−== l
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 2: A solução deste problema está tabelada, alínea d
(figura 80) dos dia8ramas fornecidos no item anterior, resultando:

45
FIG. 98
,m/NP 2000= ,m,a 501= ,m,b 002= m,c 501= e
m,005=l
( ) Nbc..
.
b.P
VR 20002
2
11 =+==
l
( ) Nba..
.
b.P
VR 20002
2
22 =+==
l
m.Nx.R)m,axem(M x 3000501 1 ====
m.N
p.
R
a.R)m,
p
R
axem(Mmáx 4000
2
502 1
1
1
=





+==+=
( ) m.Nx.R)m,baxem(Mx 3000503 2 =−==+= l
Para a superposição, necessita-se ainda:
m.Nx.R)m,am,xem(M x 1500501750 1 ===<=
( ) m.Nx.R)m,bam,xem(Mx 1500503254 2 =−==+>= l
SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS ( RESOLUÇÃO DO PROBLEMA 0): Superpondo-se os
efeitos obtém-se:
FIG. 99 - Superposição de efeitos - Exemplo 2

46
Resultando, para o exemplo dado, a seguinte solução:
3.6. RELAÇÕES DIFERENCIAIS ENTRE ESFORÇOS SOLICITANTES
Considerando-se a carga p e os esforços solicitantes M, N e V como funções de uma
mesma abscissa x, pode-se obter relações entre estes esforços.
Seja o elemento de viga representado na figura 101, sujeito a uma carga distribuída p, não
singular dentro do elemento de comprimento dx.

47
FIG. 101 - Elemento de viga FIG. 102 - Concentrando-se p
Do equilíbrio horizontal do elemento, figura 102, resulta:
( ) ( ) 00 =++−∴→= +
∑ dNNNFh
0=dN Eq. 01
Do equilíbrio vertical do elemento, figura 102, resulta:
( ) ( ) 000 =−⇒=+−−∴↑+=∑ dVdx.pdVVdx.pVFv
dx
dV
p −= Eq. 02
Do equilíbrio de momentos, no ponto A, do elemento, figura 102, resulta:
∑ = 0AM ( ) ( ) 0
2
=+−+++∴ dMMdx.dVV
dx
.dx.pM
0
2
2
=−++∴ dMdx.dVdx.Vdx.
p
Desprezando-se os diferenciais de segunda ordem, obtém-se:
0=− dMdx.V
dx
dM
V = Eq. 03
Derivando-se uma vez em x e substituindo-se o resultado da equação 02, obtém-se:
2
2
dx
Md
dx
dV
=
2
2
dx
Md
p −= Eq. 04

48
3.7. TEOREMAS AUXILIARES PARA O TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE
ESFORÇOS SOLICITANTES
Existem problemas para os quais o Principio da Superposição de Efeitos não é suficiente
para sua solução, nestes casos os teoremas, que serão apresentados a seguir, poderão ser
utilizados em conjunto com o cálculo dos esforços solicitantes em algumas seções
previamente determinadas, para o traçado de diagramas de esforços solicitantes.
TEOREMA 1 - Mudanças no carregamento, ao longo da estrutura, podem alterar as
equações dos esforços solicitantes e portanto podem provocar mudanças de curvas no
diagrama.
FIG. 103 - Mudanças no carregamento provocando mudanças de curvas
DEMONSTRAÇÃO - No item anterior notou-se que o carregamento está intimamente
ligado aos esforços solicitantes (
dx
dV
p −= e 2
2
dx
Md
p −= ). Assim, ocorrendo mudanças
no carregamento p, poderão ocorrer alterações nos esforços solicitantes V e M e
consequentemente mudanças de curvas nos respectivos diagramas.
TEOREMA 2 - Em trechos, de estruturas, sem carregamento vertical, o diagrama de força
cortante, sob este trecho, apresentar-se-á constante, e o diagrama de momento fletor, linear.

49
FIG. 104 - Forma dos diagramas sob trechos de estrutura sem carregamento
DEMONSTRAÇÃO - Neste caso, basta fazer p=0 nas equações 02 e 04, do item anterior, e
integrá-las em x.
Integrando-se, uma vez em x, a equação 02, com 0=p obtém-se:
0=
dx
dV
tetanconsCV == 1
E portanto o diagrama de força cortante, sob o trecho sem carregamento, é constante.
Integrando-se, duas vezes em x, a equação 04, com 0=p , obtém-se:
02
2
=
dx
Md
1C
dx
dM
=
retaumadeequaçãoCx.CM =+= 21
E portanto o diagrama de momento fletor sob o trecho sem carregamento, é linear.
TEOREMA 3 - Em trechos, de estruturas, sob carga vertical uniformemente distribuída o
diagrama de força cortante, sob este trecho, apresentar-se-á linear, e o diagrama de
momento fletor, parabólico, possuindo ainda, no ponto central do trecho, uma distância (d)
entre a parábola e a linha de fecho dada por:
8
2
a.p
d =
Onde:
d = distância entre a parábola e a linha de fecho, no ponto central;
p = carga uniformemente distribuída;
a = comprimento do trecho, sob o carregamento uniformemente distribuído.

50
FIG. 105 - Forma dos diagramas sob trechos de estruturas com carga uniformemente
distribuída
DEMONSTRAÇÃO - Neste caso, integrando-se em x as equações 02 e 04 do item
anterior, mantendo-se tetanconsp = , obtém-se as formas dos diagramas de V e M.
Integrando-se uma vez em x, a equação 02, obtém-se:
p
dx
dV
−=
retaumadeequaçãoCx.pV =+−= 1
E portanto o diagrama de força cortante, sob o trecho com carregamento uniformemente
distribuído, é linear.
Integrando-se duas vezes em x, a equação 04, obtém-se:
p
dx
Md
−=2
2
1Cx.p
dx
dM
+−=
parábolaumadeequaçãoCx.Cx.
p
M =++−= 21
2
2
E portanto o diagrama de momento fletor, sob o trecho com carregamento uniformemente
distribuído, é parabólico.
Associando-se os resultados ao trecho do diagrama de momentos fletores correspondente,
figura 105, obtém-se:

51
21
2
1
2
Cx.Cx.
p
M ++−= , na abcissa x
( ) ( ) 21
2
3
2
Cax.Cax.
p
M ++++−= , na abcissa ( )ax +
( ) 







++
−
++−+




 −
= 21
2
1
2
3
22
Ca.C
a.p
Ca.p.x
p
.xM
21
2
2
222
C
a
x.C
a
x.
p
M +





++





+−= , na abcissa 





+
2
a
x








++
−
+





+−+




 −
= 21
2
1
2
2
2822
C
a
.C
a.p
C
a.p
.x
p
.xM
( ) ( ) ( )
2
222
2
21
2
1
2
21
2
31
















++
−
++−+




−
+





++




−
=
+
=
Ca.C
a.p
Ca.p.x
p
.xCC.x
p
.x
MM
y








++
−
+





+−+




 −
= 21
2
1
2
2422
C
a
.C
a.p
C
a.p
.x
p
.xy
848
222
2
a.pa.pa.p
yMd =+
−
=−=
Assim, a distância (d) entre a parábola do diagrama de momento fletor, e a linha de fecho,
no ponto central, do trecho sob carga uniformemente distribuída, é dada por:
8
2
a.p
d = .
TEOREMA 4 - Em seções, de estruturas, sob carga vertical concentrada, o diagrama de
força cortante, nesta seção, sofre um "salto" de valor idêntico à carga concentrada,
apresentando valores diferentes para a força cortante à esquerda e à direita da carga.
FIG. 106 - Forma do diagrama de força cortante em seção sob carregamento concentrado
DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se o equilíbrio vertical de um elemento de viga com carga
concentrada no centro, figura 107, obtém-se:

52
FIG. 107 - Elemento de viga
( ) ( ) 00 =+−−∴↑+=∑ dVVPVFv
PdV −=
E portanto o diagrama de força cortante, sob carga concentrada, sofre um "salto" no valor
da carga concentrada, pois:
VVe =
PVdVVVd −=+=
( ) PVPVVV ed −=−−=−
TEOREMA 5 - Em seções, de estruturas, onde ocorre um momento aplicado, o diagrama
de momento fletor sofre um "salto" no valor do momento aplicado, apresentando valores
diferentes para o momento fletor à esquerda e à direita do momento aplicado.
FIG. 108 - Forma do diagrama de momento fletor em seção de ocorrência de momento
aplicado
DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se o equilíbrio de momentos de um elemento de viga com
momento aplicado, figura 109, obtém-se:

53
∑ = 0AM ( ) 0=+−++∴ dMMMdx.VM a
aMdx.VdM +=∴
Desprezando-se o infinitésimo dx.V , em relação a aM , obtém-se:
aMdM =
E portanto o diagrama de momento fletor, sob momento aplicado, sofre um "salto" no
valor do momento aplicado, pois:
MM e =
ad MMdMMM +=+=
( ) aaed MMMMMM =−+=−
TEOREMA 6 - Em trechos, de estruturas, sob carregamento axial uniformemente
distribuído, o diagrama de força normal apresentar-se-á linear.
FIG. 110 - Forma do diagrama de força normal sob carga axial uniformemente distribuída
DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se o equilíbrio horizontal de um elemento de viga com
carga axial uniformemente distribuída, obtém-se:

54
FIG. 111 - Elemento de viga FIG. 112 - Concentrando-se p
( ) ( ) 00 =++−−∴→= +
∑ dNNdx.pNFh
dx.pdN =
p
dx
dN
= Eq. 05
Integrando-se una vez em x, resulta:
retaumadeequaçãoCx.pN =+= 1
E portanto o diagrama de força normal, sob trechos com carga axial uniformemente
distribuída, é linear.
TEOREMA 7 - Em trechos, de estruturas, sem carregamento axial, o diagrama de força
normal apresentar-se-á constante. Em particular estruturas sem carregamento axial
apresentam diagramas de força normal nulo, bem como reações horizontais nulas.
FIG. 113 - Forma do diagrama de força normal sob trecho sem carga axial
FIG. 114 - Estrutura sem carregamento axial apresenta diagrama de força normal nulo e
reação no sentido axial também nula

55
DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se 0=p , na equação 05, e integrando-se uma vez em x,
resulta:
0=
dx
dN
tetanconsCN == 1
E portanto em trechos sem carga axial o diagrama de força normal apresenta-se constante.
Aproveitando-se o exemplo da figura 114, estrutura sem carregamento axial, pela
demonstração acima conclui-se que seu diagrama de força normal seria constante,
entretanto calculando-se o valor desta constante, na seção à esquerda do apoio móvel B,
nota-se que:
FIG. 115
( ) 00 =∴→= +
∑ NFh
Sendo 0== tetanconsN , o diagrama de força normal, em estruturas isostáticas sem
carregamento axial, é nulo.
Fazendo-se o equilíbrio horizontal, da estrutura representada na figura 114, obtém-se:
( ) 00 =∴→= +
∑ HFh
E portanto a reação no sentido axial, de estruturas isostáticas sem carregamento axial, é
nula.
TEOREMA 8 - Em seções, de estruturas, sob carga axial concentrada, o diagrama de
força normal sofre um "salto", nesta seção, no valor da carga, apresentando valores
diferentes para a força normal à esquerda e à direita da seção considerada.
FIG. 116 - Forma do diagrama de força normal sob carga axial concentrada

56
DEMONSTRAÇÃO - Fazendo-se o equilíbrio horizontal, de um elemento de viga com
carga axial concentrada no centro, figura 117, obtém-se:
( ) ( ) 00 =++−−∴→= +
∑ dNNPNFh
E portanto o diagrama de força normal, sob a seção de aplicação da carga axial
concentrada, sofre um "salto" no valor da carga, pois:
NNe =
PNdNNNd +=+=
( ) PNPNNN ed =−+=−
TEOREMA 9 - Estruturas simétricas com carregamentos simétricos, apresentarão:
FIG. 118 - Estrutura simétrica com carregamento simétrico

57
• Reações de apoio simétricas
• Diagrama de força normal simétrico
• Diagrama de momento fletor simétrico
• Diagrama de força cortante assimétrico
DEMONSTRAÇÃO - É evidente que a magnitude do esforço solicitante ou da reação em
pontos simétricos é a mesma, pois se a estrutura for simétrica e o carregamento simétrico
olhando-a pela frente ou por trás ver-se-á a mesma estrutura, isto é, na figura 118, por
exemplo, o ponto "A" dista do apoio esquerdo de "a" e olhando-a por trás, esta mesma
figura, ver-se-á a mesma estrutura da figura 118, onde agora é o ponto "B" que dista de "a"
do apoio esquerdo, desta forma os valores dos esforços solicitantes no ponto "B" serão os
mesmos do ponto "A".
Entretanto, os sinais destes valores podem se alterar, pois os mesmos foram
convencionados conforme o sentido do esforço.
Fazendo-se um corte na estrutura no ponto "A" e colocando-se seus esforços solicitantes,
figura 119.
FIG. 119 - Corte no ponto "A" (M, N e V > 0)
E fazendo-se o mesmo no ponto "B", nota-se que para que os esforços solicitantes
mantenham o mesmo sentido físico, o sinal da força cortante deve ser alterado.
FIG. 120 - Corte no ponto "B" (M e N > 0, mas v < 0)
Assim, nota-se que, em estruturas simétricas com carregamentos simétricos, os esforços
solicitantes em pontos simétricos ficarão:
• Força normal: de mesma magnitude e sinal
• Momento fletor: de mesma magnitude e sinal
• Força cortante: de mesma magnitude porém de sinal trocado
E portanto, conclui-se que, estruturas simétricas com carregamento simétricos,
apresentarão diagramas de:
• Força Normal simétrico
• Força Cortante assimétrico (troca sinal)
• Momento Fletor simétrico

58
Para se traçar diagramas, usando estes teoremas e calculando os esforços solicitantes em
seções predeterminadas, pode-se utilizar o seguinte roteiro:
ROTEIRO PARA TRAÇADO DE DIAGRAMAS DE ESFORÇOS
SOLICITANTES, SEM AUXÍLIO DAS TABELAS
1. Calcular as reações de apoio.
2. Determinar as seções onde devem ser obtidos os esforços solicitantes (Pontos
Chaves), que são: à esquerda e à direita de cargas concentradas ,
3. seções onde ocorrem mudanças de carregamento e as extremidades da estrutura.
4. Determinar os esforços solicitantes nestas seções, os pontos chaves, conforme
roteiro dado anteriormente (Roteiro para cálculo de esforços solicitantes em
determinada seção de um a estrutura plana, visto na página 26).
5. Iniciar o traçado dos diagramas, pilotando os resultados obtidos no passo
anterior.
6. Completar os diagramas utilizando os teoremas apresentados neste item.
A titulo de exemplo, pode-se resolver os seguintes exemplos:
EXEMPLO 1 - Traçar os diagramas de M, N e V da estrutura representada na figura 121.
FIG. 121 - Exemplo 1
a) Cálculo das reações de apoio.
O cálculo das reações fica simplificado, pois observa-se que:
• A estrutura e o carregamento são simétricos, portanto as reações são
simétricas.
• A estrutura não possui carregamento no sentido axial, portanto reação
neste sentido (horizontal) é nula.
FIG. 122 FIG. 123

59
Neste caso, as reações podem ser obtidas apenas com o auxilio da equação ∑ = 0vF .
( ) ⇒=⇒=−−−+∴↑+=∑ 180002040001000040000 111 V.VVFv
)adotadotido(senNV 90001 =
b) Determinar os "pontos chaves"
FIG. 124 - Escolha dos "Pontos Chaves"
Existem um total de seis seções, nas quais se deve obter os esforços solicitantes. Entretanto
da simetria da estrutura e carregamento sabe-se que:
• Ponto 6 é simétrico do Ponto l, assim: 16 MM = , 16 VV −= e 16 NN =
• Ponto 5 é simétrico do Ponto 2, assim: 25 MM = , 25 VV −= e 25 NN =
• Ponto 4 é simétrico do ponto 3, assim: 34 MM = , 34 VV −= e 34 NN =
c) Determinar M, N e V nos pontos chaves.
Pelo exposto acima, basta determinar os esforços solicitantes nos pontos l, 2 e 3.
• Ponto 1 (parte esquerda)
( ) NNFh 00 1 =∴→= +
∑
( ) NVFv 90000 1 =∴↑+=∑
FIG. 125 ∑ = 01M m.NM 01 =∴

60
• Ponto 2
FIG. 126 FIG. 127
( ) NNFh 00 2 =∴→= +
∑
( ) NVVFv 50000400090000 22 =⇒=−−∴↑+=∑
∑ = 02M m.NM,.,.M 14000000290000014000 22 =⇒=−+∴
FIG. 128 FIG. 129
( ) NNFh 00 3 =∴→= +
∑
( ) NVVFv 50000400090000 33 =⇒=−−∴↑+=∑
∑ = 03M m.NM,.,.M 19000000390000024000 33 =⇒=−+∴
Obtém-se, assim, para os seis "pontos chaves" os seguintes esforços solicitantes:
NN 01 =
NV 90001 =
m.NM 01 =
NN 02 =
NV 50002 =
m.NM 140002 =
NN 03 =
NV 50003 =
m.NM 190003 =
NN 04 =
NV 50004 −=
m.NM 190004 =
NN 05 =
NV 50005 −=
m.NM 140005 =
NN 06 =
NV 90006 −=
m.NM 06 =

61
d) Traçar os diagramas de M, N e V
AD
y
AB
BC
=
AB.AD
2
1
=
m.N
a.p
d 1000
8
2
==
⇒=
001002
14000
,
y
,
m.Ny 7000=
m.NdyM 8000=+=
EXEMPLO 2 - Traçar os diagramas de M, N e V para a estrutura representada na figura
131.
FIG. 131 - Exemplo 2
OBS.: Para se determinar o diagrama de
M, necessita-se obter mais um
ponto da parábola, normalmente se
usa o ponto central.

62
FIG. 132
FIG. 132
( ) NHHFh 000 =⇒=−∴→= +
∑
( ) NVVFv 100000100000 =⇒=−∴↑+=∑
∑ = 0AM m.NM,.M 30000000310000 =⇒=+−∴
b) Determinar os "Pontos Chaves"
FIG. 133
c) Determinar M, N e V, nos "pontos chaves"
• Ponto 1 ( parte esquerda)
( ) NNFh 00 1 =∴→= +
∑
( ) NVVFv 100000100000 11 =⇒=−∴↑+=∑
FIG. 134
∑ = 01M ⇒=+∴ 0300001M m.NM 300001 −=

63
( ) NNFh 00 2 =∴→= +
∑
( ) NVVFv 100000100000 22 =⇒=−∴↑+=∑
FIG. 135
∑ = 02M ⇒=−+∴ 000310000300002 ,.M
m.NM 02 =
• Ponto 3 (parte direita)
( ) NNNFh 000 33 =⇒=−∴→= +
∑
( ) NVFv 00 3 =∴↑+=∑
FIG. 136
∑ = 03M m.NM 03 =∴
• Ponto 4 (parte direita)
( ) NNNFh 000 44 =⇒=−∴→= +
∑
( ) NVFv 00 4 =∴↑+=∑
FIG. 137
∑ = 04M m.NM 04 =∴
Obtém-se, assim, para os quatro "pontos chaves" os seguintes esforços solicitantes:
NN 01 =
NV 100001 =
m.NM 300001 −=
NN 02 =
NV 100002 =
m.NM 02 =
NN 03 =
NV 03 =
m.NM 03 =
NN 04 =
NV 04 =
m.NM 04 =
d) Traçar os diagramas de M, N e V

64
3.8.1. O que se entende por esforços solicitantes?
3.8.2. Quais são os esforços solicitantes? Conceitue-os sucintamente.
3.8.3. Esquematize a convenção de sinais dos esforços solicitantes.
3.8.4. O que se entende por barra? E por chapa?
3.8.5. O que se entende por viga? E por pilar?
3.8.6. Quais são os esforços solicitantes das estruturas planas?
3.8.7. Calcule os esforços solicitantes na seção "C", das estruturas, representadas nas
figuras 139 a 143.
FIG. 139 FIG. 140

65
FIG. 141 FIG. 142 FIG. 143
3.8.8. O que são diagramas de esforços solicitantes?
3.8.9. Como são construídos os diagramas de esforços solicitantes?
3.8.10. Utilizando os diagramas e fórmulas para o cálculo de vigas, trace os diagramas de
momento fletor (M), força normal (N) e força cortante (V), para as estruturas
representadas nas figuras 144 a 148.
FIG. 144 FIG. 145
FIG. 146 FIG. 147 FIG. 148
3.8.11. O que afirma o Principio da Superposição de Efeitos?
3.8.12. Em que condições pode ser aplicado o Principio da Superposição de efeitos?

66
3.8.13. Utilizando o Principio da Superposição de Efeitos, e os resultados do exercício
3.8.14. Trace os diagramas de M, N e V para as estruturas representadas nas figuras 149 a
152.
FIG. 149 FIG. 150
FIG. 151 FIG. 152
3.8.15. Faça um resumo dos teoremas auxiliares para o traçado de diagramas de esforços
solicitantes, apresentados no item 3.7.
3.8.16. De que forma é possível se traçar diagramas de M, N e V , sem o auxilio de
tabelas?
3.8.17. Trace os diagramas de M, N e V, das estruturas representadas nas figuras 139 a 143
e 153 a 156.

67
FIG. 153 FIG. 154
FIG. 155 FIG. 156

68
4. ESTUDO ELEMENTAR DA RESISTÊNCIA
O estudo da resistência, tem por finalidade a determinação da seção da peça componente
de uma estrutura, de modo que esta satisfaça certas condições relativas à segurança contra
ruptura e à deformação.
Iniciar-se-á aqui o estudo da resistência pela interpretação mais simples possível dos
fenômenos a ela relacionados.
4.1. TRAÇÃO E COMPRESSÃO
No ensaio de tração, figura 157, o corpo de provas é solicitado por uma força axial (F). A
máquina de ensaio permite aumentar esta força, gradativamente, até o valor da carga de
ruptura (Fr) que produz o rompimento do corpo de provas.
a) Esquema do ensaio b) Ruptura do corpo-de-prova
FIG. 157 - Esquema de um ensaio de tração em um corpo-de-prova de madeira

69
Dispondo-se de um grande número de ensaios de tração observa-se que:
1. A carga de ruptura (Fr) não depende do comprimento da barra (L) nem
da forma da seção.
2. A carga de ruptura (Fr) é proporcional à área da seção (A), sendo a
relação (Fr/A) um parâmetro característico do material.
A relação (Fr/A) é conhecida como TENSÃO DE RUPTURA e corresponde a força
transmitida por unidade de área no instante da ruptura.
Os ensaios de compressão em peças curtas, figura 158, permitem as mesmas observações
do ensaio de tração. Já nas peças mais compridas o problema de ruptura depende do
comprimento (L) e da forma da seção, tais peças sofrem perda de estabilidade lateral, ou
flambagem (ver item 4.5.).
a) Esquema do ensaio b) Ruptura do corpo-de-prova
FIG. 158 - Esquema de um ensaio de tração em um corpo-de-prova de madeira
Excluindo as peças compridas com força de compressão, o efeito da força normal (N) em
barras é interpretado pela seguinte hipótese de trabalho: a força normal, N , provoca uma
TENSÃO NORMAL, uniformemente distribuída na seção, dada por:
A
N
=σ Eq. 06
Sendo:
σ = tensão normal, na seção;
N = força normal, atuante na seção;
A = área da seção transversal.

70
As tensões serão positivas, quando de tração, e negativas se de compressão, conseqüência
imediata da convenção de sinais adotada para força normal.
Nas barras de uma estrutura não se pode aproveitar integralmente sua resistência, deve-se
deixar uma margem para evitar com segurança a ruptura. Desta consideração nasce a noção
de TENSÃO ADMISSÍVEL(fAdm) que é a tensão de ruptura minorada por um coeficiente
de segurança. Por exemplo a seção (A) de uma barra solicitada pela força normal (N) é
suficiente quando:
Admf
A
N
≤=σ Eq. 07
Além da resistência deve ser estudada a deformação das estruturas. As barras tracionadas
sofrem alongamentos e as comprimidas encurtamentos. Nos ensaios de tração e
compressão pode-se, através de extensômetros, ler a deformação (∆l) entre dois pontos
distantes de um comprimento (l). A relação(∆l/l) dita DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA (ε),
representa o alongamento, ou encurtamento, por unidade de comprimento.
Traçando-se um gráfico de tensões contra deformações especificas, de um ensaio de tração,
ou compressão, obtém-se um diagrama como o da figura 159.
FIG. 159 - Diagrama "σ x ε" para ensaio de tração, ou compressão, em madeira
A observação dos ensaios de tração e compressão permite observar que:
3. O diagrama "σ x ε" apresenta um trecho linear OA , onde as tensões são
proporcionais as deformações, este trecho é limitado superiormente pela
TENSÃO NO LIMITE DE PROPORCIONALIDADE (σe). Um corpo

71
de prova submetido a um esforço normal N, cuja tensão A
N=σ é
inferior a σe, quando retirado o esforço, assume um comportamento
elástico voltando a sua forma inicial, por este motivo diz-se que o trecho
OA corresponde a um REGIME ELÁSTICO. No caso da madeira o
limite de proporcionalidade, praticamente, coincide com o limite
elástico.
4. O diagrama "σ x ε" apresenta um trecho curvilíneo AC limitado
inferiormente pelo limite de proporcionalidade (σe) e superiormente pela
ruptura (fr). Um corpo de prova submetido a um esforço normal N, cuja
tensão A
N=σ se posiciona entre σe e fr, quando retirado o esforço,
assume um comportamento inelástico não mais voltando a forma inicial
mas permanecendo deformado, por este motivo diz-se que o trecho AC
corresponde a um REGIME INELÁSTICO.
A segurança contra ruptura exige tensões admissíveis contidas sempre na zona de
proporcionalidade. Isto permite estabelecer um cálculo fácil dos alongamentos, ou
encurtamentos, encontrados em barras de estruturas. Expressando-se a proporcionalidade
entre σ e ε por um parâmetro E , dito MÓDULO DE ELASTICIDADE, ou, MÓDULO DE
YOUNG, obtém-se:
εσ .E=
Eq. 08
E
σ
ε =
Substituindo-se ε por ∆l/l e σ por N/A, obtém-se:
A.E
N
=
l
l∆
Eq. 09
A.E
.N l
l =∆
Sendo:
σ = tensão atuante na barra;
ε = deformação especifica;
E = módulo de elasticidade do material;
∆l = deformação da barra;
N = força normal atuante na barra;
l = comprimento da barra, e
A = área da seção transversal da barra.

72
As equações 08 e 09 são formas de uma lei, válida para o regime elástico, conhecida por
LEI DE HOOKE. Note, da equação 08, que sendo l
l∆ε = isento de unidade, as unidades
de módulo de elasticidade são as mesmas de tensões.
4.2. CISALHAMENTO SIMPLES
O cisalhamento simples só tem interesse nas ligações de estruturas de madeira, visto que
na maioria das vezes o esforço cortante está agindo em conjunto com momentos fletores e
o tratamento que, aqui, será empregado não é suficiente para explicar o fenômeno, o qual
será estudado adiante, no item 4.3.
Do ensaio de cisalhamento, em peças de madeira, representado figura 160, observa-se que:
a) Corpo-de-prova b) Esquema do
ensaio
c) Ruptura da
peça
d) Corpo-de-prova
rompido
FIG. 160 - Esquema de ensaio de cisalhamento em um corpo-de-prova de madeira
1. Fazendo abstração do pequeno momento produzido, a carga de ruptura
(Fr) é proporcional a área cisalhante (Ac), sendo a relação (Fr/Ac),
conhecida como TENSÃO DE RUPTURA AO CISALHAMENTO, um
parâmetro característico do material, que corresponde a força
transmitida por unidade de área da seção cisalhante, no instante de
ruptura.
Esta observação é interpretada pela seguinte hipótese de trabalho: a força F, provoca uma
TENSÃO DE CISALHAMENTO, uniformemente distribuída na área da seção cisalhante,
dada por:
cA
F
=τ Eq. 10
Sendo :
τ = tensão de cisalhamento;
F = carga aplicada, e
Ac = área da seção cisalhante.

73
4.3. FLEXÃO DE BARRAS COM SEÇÃO SIMÉTRICA
Estudar-se-á, agora, a flexão de vigas com seção simétrica, e, cujo "plano das forças" é o
plano de simetria da viga, figura 161. Apesar, do problema lançado, ser limitado, é o caso
mais freqüente em estruturas de madeira.
FIG. 161 - Flexão de viga com seção simétrica
A observação de vigas fletidas, com momento fletor positivo, permite observar que:
1. As fibras inferiores são esticadas e as superiores são comprimidas,
indicando que a região inferior da viga possui tensões de tração
(produzem alongamentos) e a superior tensões de compressão
(produzem encurtamentos).
2. Não ocorrendo força normal, a linha que une os centros de gravidade
das seções, em vigas de material homogêneo, não tem seu comprimento
alterado, indicando que nesta linha as tensões serão nulas. A linha de
tensões nulas é chamada de LINHA NEUTRA.
Estas informações permitem supor a seguinte hipótese de trabalho: o momento fletor
produz tensões linearmente distribuídas sobre a seção, ou seja:
y.k=σ
Com esta hipótese, fazendo-se o equilíbrio de uma seção submetida a momento fletor M,
figura 162, obtém-se:
a) Seção b) Diagrama linear de tensões
FIG. 162 - Seção submetida a momento fletor

74
Calculando-se o diferencial de momento fletor (dM), produzido pelas tensões (σ) atuantes
no diferencial de área (dA), a uma distância (y) do centro de gravidade (C.G.), obtém-se:
dA.y.kdA.y.y.ky.dA.dM 2
=== σ
Integrando-se ao longo da seção, resulta:
∫∫ ==
ss
dA.y.kdA.y.kM 22
Definindo-se:
∫=
s
dA.yI 2
Eq. 11
O parâmetro ∫=
s
dA.yI 2
, por analogia ao momento de inércia, ∫ dm.r2
, estudado na física,
é conhecido por MOMENTO DE INÉRCIA, o qual, por depender apenas da seção, é uma
característica geométrica da seção.
E portanto o momento fletor é dado por:
I.kM = , e portanto
I
M
k =
E a tensão, provocada pelo momento fletor, a uma distância (y) do centro de gravidade é
dada por:
y.
I
M
=σ Eq. 12
Sendo:
σ = tensão normal na seção, devido a M, em um ponto distante do eixo x-x, que passa pelo
centro de gravidade, de "y";
I = momento de inércia da seção;
y = distância do ponto considerado ao eixo x-x que passa pelo centro de gravidade.
Para se estudar o efeito da força cortante (V), que em geral atua em conjunto com o
momento fletor (M), em vigas fletidas, separa-se um elemento de viga, entre as seções x e
x+dx e limitado por um plano y constante, figura 163.

75
a) Seção b) Elemento de viga c) Perspectiva do elemento
FIG. 163 - Elemento de viga entre as seções x e x+dx
As tensões normais σx e σx+dx, provocadas pelos momentos Mx e Mx+dx, nas seções x e
x+dx, produzirão es resultantes Tx e Tx+dx, no elemento considerado, assim:
y.
I
M x
x =σ
y.
I
M dxx
dxx
+
+ =σ
∫∫∫ ===
111 y
y
x
y
y
x
y
y
xx dA.y.
I
M
dA.y.
I
M
dA.T σ
∫∫∫
++
++ ===
111 y
y
dxx
y
y
dxx
y
y
dxxdxx dA.y.
I
M
dA.y.
I
M
dA.T σ
Definindo-se:
∫=
1y
y
dA.yS Eq. 13
O parâmetro ∫=
1y
y
dA.yS , por analogia ao momento z.FM = é conhecido por MOMENTO
ESTÁTICO, o qual, por depender apenas da seção, é outra característica geométrica da
seção.
Assim as resultantes Tx e Tx+dx, ficarão:
S.
I
M
T x
x =
S.
I
M
T dxx
dxx
+
+ =

76
Isolando-se o elemento considerado, figura 164, com as resultantes Tx e Tx+dx, nota-se que
o elemento só estará em equilíbrio, na direção axial, se existir uma força aplicada no plano
y. Admitindo-se que esta força seja fornecida por tensões uniformes τh, então:
FIG. 164 - Elemento considerado em equilíbrio horizontal
( ) ( ) 00 =−−∴→= +
+
∑ dx.b.TTF hxdxxh τ
dx.b
TT xdxx
h
−
= +
τ
Substituindo-se Tx+dx e Tx, obtidos anteriormente, resulta:
( )
dx.b.I
S
.MM
dx.b
S.
I
M
S.
I
M
xdxx
xdxx
h −=






−





= +
+
τ
Sendo:
dMMM xdxx =−+
Obtém-se:
I.b
S
.
dx
dM
h =τ
Aplicando a equação 03, do item 3.6, resulta:
I.b
S.V
h =τ
Isolando-se um cubo de dimensões infinitesimais dx, limitado pelo plano y e pela seção x,
e sendo xxdxx dσσσ +=+ , figura 165, obtém-se:

77
FIG. 165 - Cubo de dimensões infinitesimais
Da figura 165, nota-se que para ocorrer equilíbrio de momentos, devem existir forças Fl, F2
e F3, como as representadas nessa figura.
Equilibrando-se momentos no ponto A, obtém-se:
∑ = 0AM ( ) 0
22
2
23
2
=+−+−∴
dx
.dx.ddx.Fdx.F
dx
.dx. xxx σσσ
0
2
2
23 =−+−
dx
.dx.ddx.Fdx.F xσ
Desprezando-se os infinitésimos de ordem superior, resulta:
32 FF =
Equilibrando-se momentos no ponto B, obtém-se:
∑ = 0BM ( ) 0
22
2
1
22
=−+−+∴
dx
.dx.dx.Fdx.dx.
dx
.dx.d xhxx στσσ
0
2
1
22
=+− dx.Fdx.dx.
dx
.dx.d hx τσ
Desprezando-se os infinitésimos de quarta ordem, resulta:
2
1 dx.F hτ=
Do equilíbrio vertical do elemento, obtém-se:
( ) 00 21 =−∴↑+=∑ FFFv
21 FF =
Assim: 2
321 dx.FFF hτ===
Admitindo-se que as forças F1, F2 e F3 sejam uniformemente distribuídas no elemento,
então:

78
2
11 dx.F τ=
2
22 dx.F τ=
2
33 dx.F τ=
E portanto, ficou estabelecido, aqui, o TEOREMA DE CAUCHY, que afirma que as
tensões cisalhantes em planos perpendiculares são iguais, ou seja:
321 ττττ ===h
Suprimindo-se os índices das tensões cisalhantes, devido a igualdade destas, obtém-se:
321 τττττ ==== h
I.b
S.V
=τ Eq. 14
Até o momento, ficou estabelecido que o momento fletor produz um M diagrama linear de
tensões normais y.
I
M
=σ e que a força cortante produz tensões de cisalhamento
I.b
S.V
=τ ,
entretanto a distribuição das tensões ao longo da seção não ficou estabelecida.
Estudando-se a forma da distribuição, ao longo de uma seção retangular, das tensões de
cisalhamento τ, obtém-se:
FIG. 166 - Seção retangular
I.b
S.V
=τ
V = constante = força cortante na seção
b = constante = largura da seção
I = constante, pois ∫=
s
dA.yI 2

79
dy.bdA =
1111
2
2
y
y
y
y
y
y
y
y
C
y
.bdy.y.bdy.b.ydA.yS
∫∫∫ 







+====
2
1
2
22
2222
1
y.
b
y.
b
C
y
C
y
.bS +−=
















+−








+=
⇒+−=





+−== 2
1
22
1
2
2222
y.
I.
V
y.
I.
V
y.
b
y.
b
.
I.b
V
I.b
S.V
τ equação de uma parábola
O ponto de máximo τ , será obtido por:
0=
dy
dτ
e 02
2
<
dy
d τ
y.
I
V
y.
I.
V
y.
I.
V
dy
d
dy
d
−=





+−= 2
1
2
22
τ
⇒=⇒=−⇒= 000 yy.
I
V
dy
dτ
posição do centro de gravidade
0
22
2
1
2
2
2
2
2
<−=





−=





+−=
I
V
y.
I
V
dy
d
y.
I.
V
y.
I.
V
dy
d
dy
d τ
E portanto, a seção retangular, apresenta uma distribuição parabólica de tensões de
cisalhamento, cujo valor máximo se encontra no centro de gravidade. Assim o momento
estático que conduz a máxima tensão de cisalhamento é o de meia seção.
4.4. DEFORMAÇÃO POR FLEXÃO
Em uma viga solicitada por momento fletor positivo as fibras inferiores recebem tensões
de tração e se esticam, as superiores recebem tensões de compressão e se encurtam. A viga
toma uma forma curva, e os pontos que formavam, antes da deformação, o eixo da viga,
formarão, depois, uma curva denominada LINHA ELÁSTICA da viga, ou simplesmente
ELÁSTICA.
A finalidade deste estudo é obter um método que permite calcular s equação da elástica
( )xvv = . A figura 167 mostra um elemento antes do carregamento (1 - 2 - 3 - 4) e na sua
posição deslocada e deformada (1' - 2' -3' - 4'), para perceber melhor a deformação o
desenho do elemento deformado foi repetido na posição não deslocada (1 - 2" - 3 - 4").

80
a) linha elástica da viga b) Posição do elemento antes e depois da
deformação
FIG. 167 - Deslocamento e deformação da viga fletida
Segundo a lei de Hooke, equação 08 item 4.1. , o alongamento ∆dx, do elemento, seria:
dx.
E
dx
Edx
dx
E
σ
∆
σ∆σ
ε =⇒=⇒=
OBSERVAÇÃO: A distribuição linear de alongamentos, utilizada aqui, é conseqüência da
distribuição linear de tensões. Historicamente foi utiliza da a suposição de BERNOULLI-
NAVIER segundo a qual as seções planas permanecem planas após a deformação por
flexão.
Aplicando s equação 12, item 4.3., da tensão normal produzida por momento fletor (M),
obtém-se:
y.
I
M
=σ
dx.y.
I.E
M
dxdx.
E
dx =⇒= ∆
σ
∆
Assim, conforme a figura 167, tem-se:
dx.
I.E
M
y
dx
r
dx
d ===
∆
ϕ

81
E portanto, a curvatura da elástica
dx
d
k
ϕ
= , será:
I.E
M
r
k ==
1
Eq. 15
Desta forma, a curvatura da elástica é proporcional ao momento fletor e inversamente
proporcional ao produto E.I, conhecido por RIGIDEZ CONTRA FLEXÃO.
Sabendo-se que, dada uma curva ( )xvv = , entre as derivadas de ( )xv e a curvatura r
k 1=
existe a relação:
2
3
2
2
2
1
1














+
±=
dx
dv
dx
vd
r
E, como na prática, os deslocamentos v são pequenos, o termo
2






dx
dv
pode ser desprezado
em relação a unidade, resultando:
2
2
1
dx
vd
r
±=
Na prática, consideram-se positivo os v para baixo, e positivas as curvaturas quando a
convexidade também é para baixo, figura 168. Assim, quando as curvaturas são positivas,
as segundas derivadas são negativas, e para se obter a convenção de sinal referida, deve-se
ter:
2
2
1
dx
vd
r
−=
FIG. 168 - Convenção de sinais para a curvatura e para os deslocamentos

82
Aplicando, este resultado na equação 15, obtém-se a equação diferencial utilizada no
cálculo da linha elástica.
I.E
M
dx
vd
=− 2
2
M
dx
vd
.I.E −=2
2
Eq. 16
OBSERVAÇÃO: A equação 16, fornece um cálculo aproximado das flechas, não só pela
aproximação da equação da curvatura, mas principalmente pela não consideração da força
cortante no cálculo da flecha. Entretanto, como o cálculo das flechas tem por finalidade:
1. Evitar o efeito estético de uma flecha exagerada, a possibilidade de
vibrações de uma viga que apoia uma máquina, etc.. Portanto, para este
fim, basta um cálculo simples da flecha, pois não afeta a resistência da
peça não alterando portanto a sua segurança.
2. Servir de base pare calcular os esforços de sistemas hiperestáticos. Neste
caso as flechas deveriam ser bastante precisas, entretanto estes esforços
são funções de relações de flechas, na mesma viga, o que permite
considerar que um eventual erro sistemático será em grande parte
cancelado.
EXEMPLO DE APLICAÇÃO - Calcular a equação da linha elástica, a posição da flecha
máxima, e a flecha máxima para a viga, de E.I constante, representada na figura 169.
FIG. 169 - Exemplo dado
Inicialmente calculam-se as reações de apoio, obtendo-se:
NH A 0=
NVA 2375=
4125=BV

83
FIG. 170 - Reações de apoio
Calculando-se as equações de momento fletor, obtém-se:
• Para o trecho ( )m,xAB 0030 ≤≤
∑ = 0M 0
2
5002375 =−−∴ M
x
.x.x.
x.x.M 2375250 2
+−= )memxsem.N(
FIG. 171
• Para o trecho ( )m,x,BC 504003 ≤≤
∑ = 0M ( ) 050115002375 =−−−∴ M,x.x.
2250875 += x.M )memxsem.N(
FIG. 172
• Para o trecho ( )m,x,CD 006504 ≤≤
∑ = 0M ( ) 00064125 =−−∴ x,.M
247504125 +−= x.M )memxsem.N(
FIG. 173

84
As condições de contorno para este problema serão:
• Em mx 0=
A flecha é nula, pois o ponto A (figura 170) é um apoio fixo.
( ) 0000 =m,v
• Em m,x 003=
As flechas a esquerda e a direita são iguais, pois a elástica é continua (sem
descontinuidade).
( ) ( )m,vm,v .dir.esq 003003 =
As derivadas primeira, a esquerda e a direita, da elástica são iguais, pois a elástica é
continua (não forma quina).
m,x
.dir
m,x
.esq
dx
dv
dx
dv
003003 ==






=







• Em m,x 504=
Pelos mesmos motivos, apresentados para m,x 003= , tem-se:
( ) ( )m,vm,v .dir.esq 504504 =
m,x
.dir
m,x
.esq
dx
dv
dx
dv
504504 ==






=







• Em m,x 006=
A flecha é nula, pois o ponto D (figura 170) é um apoio móvel.
( ) 0006 =m,v
Por simplicidade de notação utilizar-se-á, para os trechos ,CDeBC,AB as elásticas
( ) ( ) ( ),xvexv,xv 321 respectivamente, assim, as condições de contorno serão:
( ) 00001 =m,v
( ) ( )m,vm,v 003003 21 =

85
m,xm,x dx
dv
dx
dv
003
2
003
1
==






=





( ) ( )m,vm,v 504504 32 =
m,xm,x dx
dv
dx
dv
504
3
504
2
==






=





Aplicando-se a equação diferencial para o cálculo da linha elástica, equação 16, obtém-se:
x.x.
dx
vd
.I.E 2375250 2
2
1
2
−=
22508752
2
2
−−= x.
dx
vd
.I.E
2475041252
3
2
−= x.
dx
vd
.I.E
Integrando-se estas equações, uma vez, em x, obtém-se:
1
231
2
2375
3
250
Cx.x.
dx
dv
.I.E +−=
3
22
2250
2
875
Cx.x.
dx
dv
.I.E +−−=
5
23
24750
2
4125
Cx.x.
dx
dv
.I.E +−=
Integrando-se mais uma vez, em x, obtém-se:
21
34
1
6
2375
12
250
Cx.Cx.x.v.I.E ++−= )m.NemI.Esememv( 2
1
43
23
2
2
2250
6
875
Cx.Cx.x.v.I.E ++−−= )m.NemI.Esememv( 2
2
65
23
3
2
24750
6
4125
Cx.Cx.x.v.I.E ++−= )m.NemI.Esememv( 2
3
Aplicando-se as condições de contorno, obtém-se o seguinte sistema de equações:

86
02 =C
2
10125
33 4321 −=−−+ CC.CC.
225031 −=− CC
151875
2
9
2
9
6543 −=−−+ CC.CC.
5062553 −=− CC
2970006 65 =+ CC.
Cujo resultado será:
2
1 59562 m.N,C = 3
2 0 m.NC =
2
3 511812 m.N,C = 3
4 51687 m.N,C −=
2
5 562437 m.N,C = 3
6 77625 m.NC −=
Desta forma, obtém-se as seguintes elásticas:
x.
I.E.
x.
I.E.
x.
I.E.
v
2
19125
6
2375
12
250 34
1 +−= )m.NemI.Esem( 2
I.E.
x.
I.E.
x.
I.E.
x.
I.E.
v
2
3375
2
23625
2
2250
6
875 23
2 −+−−= )m.NemI.Esem( 2
I.E
x.
I.E.
x.
I.E.
x.
I.E.
v
77625
2
124875
2
24750
6
4125 23
3 −+−= )m.NemI.Esem( 2
Existindo ponto de máxima flecha, em cada um dos trechos considerados, então tem-
se que 0=
dx
dv
neste ponto.

87
0
2
19125
2
2375
3
250 231
=+−= x.x.
dx
dv
.I.E
O trecho não possui ponto de máximo, pois as raízes da equação 01
=
dx
dv
,
m,x 60921 −≅ , m,x 22632 ≅ e m,x 634133 ≡ , não pertencem ao trecho considerado.
Assim, a máxima flecha, neste trecho, ocorrerá em m,x 003= e será:
( ) ( ) ( )
I.E.
,.
I.E.
,.
I.E.
,.
I.E.
v
2
39375
003
2
19125
003
6
2375
003
12
250 34
1 =+−= )m.NemI.Esem( 2
0
2
23625
2250
2
875 22
=+−−= x.x.
dx
dv
.I.E
As raízes da equação 02
=
dx
dv
são: m,x 36981 −≅ e m,x 22632 ≅ . Assim, neste trecho,
a máxima flecha ocorrerá em m,x 2263≅ , pertencente ao trecho, e será:
( ) ( ) ( ) ⇒−+−−=
I.E.
,.
I.E.
,.
I.E.
,.
I.E.
v
2
3375
2263
2
23625
2263
2
2250
2263
6
875 23
2
I.E
v
19816
2 ≅ )m.NemI.Esem( 2
0
2
124875
24750
2
4125 23
=+−= x.x.
dx
dv
.I.E
O trecho não possui ponto de máximo, pois as raízes da equação 03
=
dx
dv
,
m,x 60731 ≅ e m,x 39382 ≅ , não pertencem ao trecho considerado. Assim a máxima
flecha, neste trecho, ocorrerá em m,x 504= e será:
( ) ( ) ( ) ⇒−+−=
I.E
,.
I.E.
,.
I.E.
,.
I.E.
v
77625
504
2
124875
504
2
24750
504
6
4125 23
3
I.E
v
15398
3 ≅ )m.NemI.Esem( 2

88
Assim, para a estrutura em questão, a flecha máxima ocorrerá em m,x 2263≅ e será:
I.E
vmáx
19816
≅ )m.NemI.Esem( 2
4.5. FLAMBAGEM
A perda de estabilidade lateral, em peças comprimidas esbeltas, é conhecida por
FLAMBAGEM, na qual a peça flamba bem antes de atingir a carga de ruptura (Fr). A
carga aplicada no momento em que ocorre a flambagem é conhecida como CARGA
CRÍTICA (Fcr). A figura 174, apresenta algumas barras no momento da flambagem.
a) Barra bi-articulada b) Barra simplesmente
engastada
c) Barra engastada
e articulada
d) Barra bi-engastada
FIG. 174 - Exemplos de flambagem
A natureza do fenômeno permite perceber, os seguintes pontos:
1. A teoria de primeira ordem, que permite, nos cálculos dos esforços,
confundir a forma inicial da estrutura com sua forma deslocada pelas
cargas, deve ser abandonada no estudo da flambagem.
2. A flambagem não é problema de resistência e sim de estabilidade
elástica. A carga crescente abandona, no valor da carga critica (Fcr), o
regime de equilíbrio estável e entra, em regime de equilíbrio instável, no
qual as flechas crescem com uma carga praticamente constante.
3. A ruptura da peça se dá, não por compressão, mas sim, por flexão.
Para se obter o valor da carga critica (Fcr), pode-se estudar o equilíbrio da barra em sua
posição deslocada.
Para o caso de uma BARRA BI-ARTICULADA, sujeita à compressão, figura 175, tem-se:

89
FIG. 175 - Barra bi-articulada
O deslocamento v, em uma abscissa x, provoca na barra um momento fletor M, dado por:
v.FM =
Aplicando-se a equação para o cálculo da elástica, equação 16, item 4.4., obtém-se:
v.F
dx
vd
.I.E −=2
2
02
2
=+ v.
I.E
F
dx
vd
Eq. 17
Cuja solução geral é:
( ) ( )x.kcos.Cx.ksen.Cv 21 +=
E, portanto:
( ) ( )x.ksen.k.Cx.kcos.k.C
dx
dv
21 −=
( ) ( )x.kcos.k.Cx.ksen.k.C
dx
vd 2
2
2
12
2
−−=
As condições de contorno, para o problema, são:
1. Em ,v,x 00 == pois é ponto de apoio
2. Em ,v,x 0== l pois é ponto de apoio

90
Para satisfazer a condição l, deve-se ter:
( ) ( ) ( ) 0000 221 =⇒+= C.kcos.C.ksen.Cv
Assim, pode-se reduzir, as equações anteriores à:
( )x.ksen.Cv 1=
( )x.kcos.k.C
dx
dv
1=
( ) v.kx.ksen.k.C
dx
vd 22
12
2
−=−=
Aplicando-se na equação 17, obtém-se o parâmetro k.
02
2
=+ v.
I.E
F
dx
vd
02
=+− v.
I.E
F
v.k
02
=





+−
I.E
F
k.v
I.E
F
k =
Para satisfazer a condição 2, deve-se ter:
( ) 01 =








= ll .
I.E
F
sen.Cv
O que implica, para que exista a elástica no momento da flambagem, em:
0=








l.
I.E
F
sen
π.n.
I.E
F
=l
Assim, a carga critica será a primeira ocorrência de elástica, ou seja, para 1=n e portanto:

91
π=l.
I.E
Fcr
2
2
l
I.E.
Fcr
π
=
Para o caso de uma BARRA SIMPLESMENTE ENGASTADA, com as condições de
contorno, que se seguem, de forma análoga ao caso anterior, obtém-se:
FIG. 176 - Barra simplesmente engastada
• Em ,v,x 0== l pois é ponto de apoio
• Em ,
dx
dv
,x 0== l pois a rotação é nula no engastamento fixo
2
2
4 l.
I.E.
Fcr
π
=
Para o caso de uma BARRA ENGASTADA E ARTICULADA, figura 177, de forma
análoga, obtém-se:
• Em ,v,x 00 == pois é ponto de apoio
• Em ,
dx
dv

92
2
2
2
l
I.E..
Fcr
π
=
FIG. 177 - Barra engastada e articulada
Para o caso de uma BARRA BI-ENGASTADA figura 178, de forma análoga, obtém-se:
FIG. 178 - Barra bi-engastada
• Em ,v,x 00 == pois é ponto de apoio
• Em ,
dx
dv
,x 00 == pois a rotação é nula no engastamento móvel
• Em ,
dx
dv
2
2
4
l
I.E..
Fcr
π
=

93
Utilizando-se o COMPRIMENTO DE FLAMBAGEM (lfl), apresentados nas figuras 175 a
178, em vez do comprimento da barra, a carga critica, para os casos apresentados, pode ser
obtida por:
2
2
fl
cr
I.E.
F
l
π
=
Sendo:
Fcr = carga critica de flambagem, também conhecida por CARGA DE EULER;
I = momento de inércia da seção, e
lfl = comprimento de flambagem da barra.
Do conceito de carga critica, surge o conceito de TENSÃO CRÍTICA DE FLAMBAGEM
(σcr), ou seja, a tensão atuante na barra no momento da flambagem.
A
Fcr
cr =σ
A.
I.E.
fl
cr 2
2
l
π
σ =
Definindo-se:
A
I
i
A
I
i =⇒= 2
OBSERVAÇÃO: O parâmetro i, assim definido, é conhecido como RAIO DE
GIRAÇÃO, por analogia ao que se segue:
Seja uma área infinitesimal A, distante i, de um eixo x-x (figura 179). O momento de
inércia (I), desta área, em relação ao eixo será:
FIG. 179
A.idA.yI
s
22
==
∫

94
A
I
i =2
A
I
i =
Onde, a distância i, mede um raio através do qual a área A gira em torno do eixo x-x.
Substituindo-se, e expressão do raio de giração, à tensão critica de flambagem resulta:
2
22
fl
cr
i.E.
l
π
σ =
Definindo-se:
i
fll
=λ
2
2
2
i
fll
=λ
OBSERVAÇÃO: O parâmetro λ, assim definido, é conhecido como ÍNDICE DE
ESBELTEZ, por ser uma relação entre a altura da barra e características da seção,
exprimindo de alguma forma o quão delgada é a peça.
Com a utilização do índice de esbeltez, a tensão crítica de flambagem, resultará na
FÓRMULA DE EULER:
2
2
λ
π
σ
E.
cr = Eq. 19
Sendo:
σcr = tensão critica de flambagem;
λ = índice de esbeltez,
i
fll
=λ ;
lfl = comprimento de flambagem da barra;
i = raio de giração,
A
I
i = ;
I = momento de inércia da seção, e
A = área da seção transversal.
Cumpre ressaltar, aqui, algumas observações adicionais.
1. A fórmula de EULER, equação 19, só é válida para peças onde a
flambagem ocorra em regime elástico. De fato, pois a equação para

95
cálculo da linha elástica, utilizada para sua demonstração, se utiliza da
lei de Hooke, válida somente no regime elástico (ver item 4.4).
2. Do ponto de vista prático, o comprimento de flambagem (lfl) deve ser
escolhido com pessimismo para se ficar ao lado da segurança. Motivo
pelo qual a NBR-7190 (Cálculo e Execução de Estruturas de Madeira -
Norma Brasileira Registrada) adota para comprimento de flambagem o
dobro do comprimento da peça (lfl=2.l), quando simplesmente
engastada, e o comprimento da peça nos demais casos (lfl=l).
4.6.1. Qual a finalidade do estudo da resistência?
4.6.2. O que se entende por tensão de ruptura?
4.6.3. Qual a hipótese de trabalho utilizada para o efeito da força normal em barras de
estruturas? Existe alguma restrição? Caso afirmativo, qual?
4.6.4. O que se entende por tensão admissível?
4.6.5. Além da resistência, o que mais deve ser estudado em estruturas?
4.6.6. O que é deformação especifica? O que representa?
4.6.7. O que se entende por tensão no limite de proporcionalidade?
4.6.8. O que se entende por regime elástico? E regime inelástico?
4.6.9. No caso da madeira, existe relação entre o limite elástico e o limite de
proporcionalidade? Como?
4.6.10. O que se entende por módulo de elasticidade?
4.6.11. Quais as formas mais conhecidas da lei de Hooke?
4.6.12. Quais as unidades usuais da deformação especifica? E do módulo de Young?
4.6.13. O que se entende por tensão de ruptura ao cisalhamento? E por tensão de
cisalhamento?
4.6.14. Que observações pode-se tirar de vigas fletidas, com momento fletor positivo?
4.6.15. O que se entende por linha neutra?
4.6.16. Qual a hipótese de trabalho utilizada para exprimir o efeito do momento fletor
sobre vigas?
4.6.17. O que se entende por momento de inércia? Qual a analogia utilizada para sua
denominação?

96
4.6.18, Qual a tensão (σ) provocada por um momento fletor (M), em um ponto distante (y)
da linha neutra, quando não existe força normal?
4.6.19. O que se entende por momento estático? Qual a analogia utilizada para sua
denominação?
4.6.20. O que rege o teorema de Cauchy?
4.6.21. Qual o efeito produzido pela força cortante em vigas fletidas? Como ele é avaliado?
4.6.22. Como se distribuem as tensões de cisalhamento, em uma seção de viga fletida de
seção retangular? Onde se encontra seu valor máximo? Qual o momento estático
utilizado?
4.6.23. O que se entende por linha elástica?
4.6.24. Qual e suposição, histórica, de Bernoulli-Navier?
4.6.25. Como é conhecido o produto E.I, do módulo de elasticidade pelo momento de
inércia?
4.6.26. Qual a equação diferencial utilizada no cálculo da linha elástica?
4.6.27. Por que e equação, referida no exercício 4.6.26, fornece um cálculo aproximado?
4.6.28. Justifique porque o cálculo aproximado de flechas é normalmente aceito.
4.6.29. Obtenha a elástica, o ponto de flecha máxima e a flecha máxima, da estrutura
representada na figura 180.
FIG. 180 - Estrutura dada
4.6.30. O que se entende por flambagem?
4.6.31. O que se entende por carga critica de flambagem?
4.6.32. É possível utilizar a teoria de primeira ordem, no estudo da flambagem? Porque?
4.6.33. A flambagem é problema de resistência? Porque?

97
4.6.34. A ruptura de uma peça, esbelta, comprimida se dá por compressão? Caso negativo,
como ocorre?
4.6.35. Para barras de comprimento l, forneça os comprimentos de flambagem, para os
seguintes casos:
a) Barra bi-articulada
b) Barra simplesmente engastada
c) Barra engastada e articulada
d) Barra bi-engastada.
4.6.36. Para a barra, representada na figura 181, forneça as condições de contorno e, por
analogia a resultados anteriores, a carga critica de flambagem, bem como o
comprimento de flambagem.
FIG. 181 - Barra dada
4.6.37. Qual a forma geral da carga de Euler?
4.6.38. Como é definido raio de giração? Qual a analogia utiliza da para sua denominação?
4.6.39. Como é definido o índice de esbeltez? O que exprime?
4.6.40. O que se entende por tensão critica de flambagem?
4.6.41. Qual a fórmula de Euler para o cálculo da tensão critica de flambagem?
4.6.42. A fórmula de Euler é aplicável em qualquer problema de flambagem? Justifique.
4.6.43. Como a NBR-7190 (Cálculo e Execução de Estruturas de Madeira - Norma
Brasileira Registrada) adota o comprimento de flambagem? Qual o motivo?

98
5. CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS
5.1. GENERALIDADES
Durante o cálculo de estruturas, o engenheiro se defronta com problemas de tensões, ou
seja os efeitos sobre o material causados por esforços solicitantes.
Pode-se mostrar (ver item 4.3.), por exemplo, que o momento fletor produz sobre
determinada seção uma distribuição linear de tensões normais, representada na figura 182,
dadas por:
y.
I
M
=σ
Sendo:
σ = tensão normal atuante em um ponto afastado de "y" da linha neutra (linha de tensão
nula que geralmente passa pelo centro de gravidade da seção;
M = momento fletor atuante na seção;
I = momento de inércia da seção em relação à linha neutra, e
y = distância do ponto em estudo à linha neutra.
FIG. 182 - Distribuição de tensões produzida por momento fletor
Já a força cortante produz, em uma viga de seção retangular, um diagrama parabólico de
tensões cisalhantes (ver item 4.3), cujo valor máximo é dado por:
I.b
S.V
máx =τ
Sendo:
τmáx = máxima tensão de cisalhamento atuante na seção;

99
V = força cortante atuante na seção;
S = momento estático de meia seção em relação à linha neutra;
b = largura da seção na linha neutra;
I = momento de inércia da seção em relação à linha neutra.
FIG. 183 - Distribuição de tensões cisalhantes produzida por força cortante
Enquanto que a força normal de tração e mesmo a de compressão peças curtas e robustas
(ver item 4.1), produz um diagrama de tensões normais uniforme, representados nas
figuras 184 e 185, dado por:
A
N
=σ
Sendo:
σ = tensão normal atuante na seção;
N = força normal atuante na seção, e
A = área da seção.
FIG. 184 - Distribuição de tensões produzida por uma força normal de tração
FIG. 185 - Distribuição de tensões produzida por uma força normal de compressão
Quando a peça é esbelta (pequena largura e grande comprimento) a força normal de
compressão produz o fenômeno da FLAMBAGEM, isto é a perda de estabilidade lateral

100
devido a compressão. Demonstra-se (ver item 4.5) que, neste caso, a tensão critica de
flambagem, ou seja, a tensão na iminência da flambagem é dada por:
2
2
λ
π
σ
E.
cr =
Sendo:
σcr = tensão critica de flambagem;
E = módulo de elasticidade do material, e
λ = índice de esbeltez.
O índice de esbeltez λ, por sua vez é dado por:
i
fll
=λ
Sendo:
λ = índice de esbeltez;
lfl = comprimento de flambagem da peça, o qual depende do esquema estático, isto é, das
vinculações com o meio exterior, e
i = raio de giração
Desta forma torna-se obrigatório, ao calculista de estruturas, o perfeito conhecimento das
características geométricas de seções planas, bem como obte-las.
5.2. DEFINIÇÕES
As características geométricas de uma seção conhecidas como área da seção transversal,
momento estático, momento de inércia e raio de giração são definidas por:
• Área da seção transversal
∫=
seção
dAA Eq. 20
• Momento estático
∫=
1y
y
dA.yS Eq. 21
• Momento de inércia
∫=
seção
dA.yI 2
Eq. 22

101
• Raio de giração
A
I
i = Eq. 23
5.3. TABELAS DE CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE SEÇÕES PLANAS
A seguir são apresentados os valores das características geométricas, para as seções mais
comuns.
a) Seção retangular
h.bA =
8
2
h.b
S xx =−
8
2
b.h
S yy =−
12
3
h.b
I xx =−
12
3
b.h
I yy =−
12
h
i xx =−
12
b
i yy =−
FIG. 186 12
uraarglmenor
imin =
b) Seção quadrada
2
aA =
8
3
a
SS yyxx == −−
12
4
a
II yyxx == −−
12
a
iii minyyxx === −−
FIG. 187

102
c) Seção circular
4
2
d.
A
π
=
12
3
d
SS yyxx == −−
64
4
d.
II yyxx
π
== −−
4
d
iii minyyxx === −−
FIG. 188
d) Seção triangular
2
h.b
A =
2
81
4
h.b.S xx =−
24
2
b.h
S yy =−
36
3
h.b
I xx =−
48
3
b.h
I yy =−
h.,
h.
i xx 2360
6
2
≅=− b.i yy
12
6
=−
FIG. 189
yyxxmin ieientremenori −−=
e) Seção semicírculo
8
2
d.
A
π
=
3
008580 d.,S xx ≅−
24
3
d
S yy =−
4
9
8
8
r.
.
I xx 





−=−
π
π 4
8
r.I yy
π
=−
r.,ii minxx 26430≅=−
4
d
i yy =−
FIG. 190

103
f) Seção setor circular
( )
2
2
3
2
w
wsen
.r.c =
2
r.
2
w
A =
( )29
8 2
4
wsen.
w
r
.I xx =− ( )[ ]wsenw.
r
I yy −=−
8
4
( )23
2 3 wsen.r.S aa =− ( )[ ]wsenw.
r
I aa +=−
8
4
FIG. 191
OBS.: w em radianos
g) Seção composta
1. A primeira etapa do cálculo, das características geométricas da seção composta,
é identificar os elementos que a compõem e obter, para cada
elemento, iA , xxiI −
e yyiI −
.
2. Em seguida deve-se adotar um sistema de eixos auxiliar OXY, identificar, neste
sistema de eixos, a posição do centro de gravidade de cada elemento (xi e yi) e
obter o centro de gravidade da seção composta por:
∑
∑
=
=
= n
i
i
n
i
ii
g
A
A.x
x
1
1
e
∑
∑
=
=
= n
i
i
n
i
ii
g
A
A.y
y
1
1
3. Finalmente, em relação aos eixos x-x e y-y, que passam pelo centro de
gravidade da seção composta, calculam-se as características geométricas da
seção composta por:
∑=
=
n
i
iAA
1
)seçãomeia(A.yS
n
i
iixx ∑=
− =
1
∆ )seçãomeia(A.xS
n
i
iiyy ∑=
− =
1
∆
∑∑ ==
− += −
n
i
ii
n
i
ixx A.yII xx
1
2
1
∆ ∑∑ ==
− += −
n
i
ii
n
i
iyy A.xII yy
1
2
1
∆
A
I
i xx
xx
−
− =
A
I
i
yy
yy
−
− =
=mini menor valor entre xxi − e yyi − , sempre que existir ao menos um eixo
de simetria.

Elementos de resistência dos materiais e estática de estruturas

Elementos de resistência dos materiais e estática de estruturas

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (16)

Semelhante a Elementos de resistência dos materiais e estática de estruturas

Semelhante a Elementos de resistência dos materiais e estática de estruturas (20)

Mais de everton galvao de neiva

Mais de everton galvao de neiva (9)

Elementos de resistência dos materiais e estática de estruturas