Polígonos inscritos

1. ´ ¸˜
Desenho Tecnico - Construcoes
´
Geometricas
Em´lio Eiji Kavamura
ı
ˆ
Eng. Mecanica
Universidade Positivo
6 de fevereiro de 2009
eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´
Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

2. ´
SUMARIO
1 ¸˜
Inscricao de Pol´gonos Regulares
ı
¸˜ ˆ ˆ
Inscricao de um triangulo numa circunferencia
¸˜ ˆ
Inscricao um quadrado numa circunferencia
¸˜ ´
Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
¸˜ ´
Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
´ ˆ
Inscrever um heptagono numa circunferencia
¸˜ ´ ˆ
Inscricao de um octogono numa circunferencia
eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´
Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

3. ´
TOPICOS
1 ¸˜
Inscricao de Pol´gonos Regulares
ı
¸˜ ˆ ˆ
Inscricao de um triangulo numa circunferencia
¸˜ ˆ
Inscricao um quadrado numa circunferencia
¸˜ ´
Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
¸˜ ´
Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
´ ˆ
Inscrever um heptagono numa circunferencia
¸˜ ´ ˆ
Inscricao de um octogono numa circunferencia
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4. Problema no 8 - Triangulo inscrito
ˆ
α
ˆ
Dada uma circunferencia α,
O
inscrever um ˆ
triangulo
´
equilatero.
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5. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
ˆ ¸˜
α 1 α = {O, r }
O {D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = {D, r };
4 β ∩ α = {C, D};
5 AB, BC, CA;
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Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

6. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
ˆ ¸˜
α 1 α = {O, r }
O {D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = {D, r };
4 β ∩ α = {C, D};
5 AB, BC, CA;
D
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7. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
ˆ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
O {D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = {D, r };
4 β ∩ α = {C, D};
5 AB, BC, CA;
D
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8. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
ˆ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
O {D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = {D, r };
4 β ∩ α = {C, D};
β
5 AB, BC, CA;
D
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9. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
ˆ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
O {D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = {D, r };
B C
4 β ∩ α = {C, D};
β
5 AB, BC, CA;
D
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10. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
ˆ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
O {D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = {D, r };
B C
4 β ∩ α = {C, D};
β
5 AB, BC, CA;
D
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11. Problema no 8- Triangulo inscrito - solucao
ˆ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
O {D} ∈ α;
2 DO ∩ α = {A};
3 β = {D, r };
B C
4 β ∩ α = {C, D};
5 AB, BC, CA;
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Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

12. ´
TOPICOS
1 ¸˜
Inscricao de Pol´gonos Regulares
ı
¸˜ ˆ ˆ
Inscricao de um triangulo numa circunferencia
¸˜ ˆ
Inscricao um quadrado numa circunferencia
¸˜ ´
Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
¸˜ ´
Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
´ ˆ
Inscrever um heptagono numa circunferencia
¸˜ ´ ˆ
Inscricao de um octogono numa circunferencia
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13. Problema no 9 - Quadrado inscrito
α
O ˆ
Dada uma circunferencia α,
inscrever um quadrado.
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14. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
¸˜
1 α = {O, r }
α {C} ∈ α;
2 CO ∩ α = {A};
O
3 OD⊥AC;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB, BC, CD, DA;
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15. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
¸˜
1 α = {O, r }
α {C} ∈ α;
O
2 CO ∩ α = {A};
3 OD⊥AC;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB, BC, CD, DA;
C
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16. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
¸˜
A
1 α = {O, r }
α {C} ∈ α;
O
2 CO ∩ α = {A};
3 OD⊥AC;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB, BC, CD, DA;
C
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17. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
¸˜
A
1 α = {O, r }
α {C} ∈ α;
O
2 CO ∩ α = {A};
D 3 OD⊥AC;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB, BC, CD, DA;
C
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18. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
¸˜
A
1 α = {O, r }
α {C} ∈ α;
O
2 CO ∩ α = {A};
D B 3 OD⊥AC;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB, BC, CD, DA;
C
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19. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
¸˜
A
1 α = {O, r }
α {C} ∈ α;
O
2 CO ∩ α = {A};
D B 3 OD⊥AC;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB, BC, CD, DA;
C
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20. Problema no 9 - Quadrado inscrito - solucao
¸˜
A
1 α = {O, r }
α {C} ∈ α;
O
2 CO ∩ α = {A};
D B 3 OD⊥AC;
4 OD ∩ α = {B};
5 AB, BC, CD, DA;
C
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21. ´
TOPICOS
1 ¸˜
Inscricao de Pol´gonos Regulares
ı
¸˜ ˆ ˆ
Inscricao de um triangulo numa circunferencia
¸˜ ˆ
Inscricao um quadrado numa circunferencia
¸˜ ´
Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
¸˜ ´
Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
´ ˆ
Inscrever um heptagono numa circunferencia
¸˜ ´ ˆ
Inscricao de um octogono numa circunferencia
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22. Problema no 10 - Pentagono inscrito
´
α
O ˆ
Dada uma circunferencia α,
´
inscrever um pentagono.
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23. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
α 2 β1 = {B, r };
3 β1 ∩ α = {M, N};
O
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 {A, AQ} ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
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24. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
α 2 β1 = {B, r };
3 β1 ∩ α = {M, N};
O
D B 4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 {A, AQ} ∩ α = {E}
C 8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
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25. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A β1 AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
α 2 β1 = {B, r };
3 β1 ∩ α = {M, N};
O
D B 4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 {A, AQ} ∩ α = {E}
C 8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
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26. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A β1 AC⊥BD
M
AC ∩ BD = {O}
α 2 β1 = {B, r };
3 β1 ∩ α = {M, N};
O
D B 4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
N 7 {A, AQ} ∩ α = {E}
C 8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
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27. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A β1 AC⊥BD
M
AC ∩ BD = {O}
α 2 β1 = {B, r };
3 β1 ∩ α = {M, N};
O
D B 4 MN ∩ OB = {P};
P
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
N 7 {A, AQ} ∩ α = {E}
C 8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
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28. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A β1 AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
α β2 2 β1 = {B, r };
3 β1 ∩ α = {M, N};
O
4 MN ∩ OB = {P};
P
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
N 7 {A, AQ} ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
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29. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
α β2 2 β1 = {B, r };
3 β1 ∩ α = {M, N};
O
4 MN ∩ OB = {P};
Q
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 {A, AQ} ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´
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30. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
α β2 2 β1 = {B, r };
E 3 β1 ∩ α = {M, N};
O
4 MN ∩ OB = {P};
Q
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
7 {A, AQ} ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
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Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

31. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
α 2 β1 = {B, r };
E H 3 β1 ∩ α = {M, N};
O
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
F G 7 {A, AQ} ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
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32. Problema no 10 - Pentagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
α 2 β1 = {B, r };
E H 3 β1 ∩ α = {M, N};
O
4 MN ∩ OB = {P};
5 β2 = {P, PA};
6 β2 ∩ OD = {Q};
F G 7 {A, AQ} ∩ α = {E}
8 AE = EF = FG = GH =
HA AE, EF , FG, GH, HA;
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33. ´
TOPICOS
1 ¸˜
Inscricao de Pol´gonos Regulares
ı
¸˜ ˆ ˆ
Inscricao de um triangulo numa circunferencia
¸˜ ˆ
Inscricao um quadrado numa circunferencia
¸˜ ´
Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
¸˜ ´
Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
´ ˆ
Inscrever um heptagono numa circunferencia
¸˜ ´ ˆ
Inscricao de um octogono numa circunferencia
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34. Problema no 11 - Hexagono inscrito
´
α
O ˆ
Dada uma circunferencia α,
´
inscrever um hexagono.
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35. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
´ ¸˜
α
1 α = {O, r }
{A} ∈ α;
{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
O
2 β1 = {A, r };
β2 = {D, r };
3 β1 ∩ α = {B, F };
β2 ∩ α = {C, E};
4 AB, BC, CD, DE, EF , FA;
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36. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
´ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
{A} ∈ α;
{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
O
2 β1 = {A, r };
β2 = {D, r };
3 β1 ∩ α = {B, F };
β2 ∩ α = {C, E};
4 AB, BC, CD, DE, EF , FA;
D
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Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

37. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
´ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
{A} ∈ α;
{D} ∈ α, {O} ∈ AD;
β1
O
2 β1 = {A, r };
β2 = {D, r };
β2 3 β1 ∩ α = {B, F };
β2 ∩ α = {C, E};
4 AB, BC, CD, DE, EF , FA;
D
eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´
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38. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
´ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
{A} ∈ α;
B F {D} ∈ α, {O} ∈ AD;
β1
O
2 β1 = {A, r };
β2 = {D, r };
β2 3 β1 ∩ α = {B, F };
C E β2 ∩ α = {C, E};
4 AB, BC, CD, DE, EF , FA;
D
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39. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
´ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
{A} ∈ α;
B F {D} ∈ α, {O} ∈ AD;
O
2 β1 = {A, r };
β2 = {D, r };
3 β1 ∩ α = {B, F };
C E β2 ∩ α = {C, E};
4 AB, BC, CD, DE, EF , FA;
D
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40. Problema no 11 - Hexagono inscrito - solucao
´ ¸˜
A
α 1 α = {O, r }
{A} ∈ α;
B F {D} ∈ α, {O} ∈ AD;
O
2 β1 = {A, r };
β2 = {D, r };
3 β1 ∩ α = {B, F };
C E β2 ∩ α = {C, E};
4 AB, BC, CD, DE, EF , FA;
D
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Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

41. ´
TOPICOS
1 ¸˜
Inscricao de Pol´gonos Regulares
ı
¸˜ ˆ ˆ
Inscricao de um triangulo numa circunferencia
¸˜ ˆ
Inscricao um quadrado numa circunferencia
¸˜ ´
Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
¸˜ ´
Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
´ ˆ
Inscrever um heptagono numa circunferencia
¸˜ ´ ˆ
Inscricao de um octogono numa circunferencia
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42. Problema no 12 - Heptagono inscrito
´
α
O ˆ
Dada uma circunferencia α,
´
inscrever um heptagono.
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43. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
AC⊥BD
AC ∩ BD = {O}
α
2 β1 = {B, r };
O 3 β1 ∩ α = {M, N};
4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;
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44. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
A {A, B, C, D} ∈ α;
AC⊥BD
α AC ∩ BD = {O}
2 β1 = {B, r };
O 3 β1 ∩ α = {M, N};
D B 4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
C = HI = IJ = JA
7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;
eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´
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45. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
A {A, B, C, D} ∈ α;
β1
AC⊥BD
α AC ∩ BD = {O}
2 β1 = {B, r };
O 3 β1 ∩ α = {M, N};
D B 4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
C = HI = IJ = JA
7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;
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46. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
A {A, B, C, D} ∈ α;
β1
M AC⊥BD
α AC ∩ BD = {O}
2 β1 = {B, r };
O 3 β1 ∩ α = {M, N};
D B 4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
N = HI = IJ = JA
C
7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;
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47. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
A {A, B, C, D} ∈ α;
β1
M AC⊥BD
α AC ∩ BD = {O}
2 β1 = {B, r };
O 3 β1 ∩ α = {M, N};
D P B 4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
N = HI = IJ = JA
C
7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;
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48. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A
M AC⊥BD
E AC ∩ BD = {O}
α
2 β1 = {B, r };
O 3 β1 ∩ α = {M, N};
P 4 MN ∩ OB = {P};
5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
= HI = IJ = JA
7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;
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49. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A
AC⊥BD
J E AC ∩ BD = {O}
α
2 β1 = {B, r };
O 3 β1 ∩ α = {M, N};
4 MN ∩ OB = {P};
I F 5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
H G = HI = IJ = JA
7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;
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50. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A
AC⊥BD
J E AC ∩ BD = {O}
α
2 β1 = {B, r };
O 3 β1 ∩ α = {M, N};
4 MN ∩ OB = {P};
I F 5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
H G = HI = IJ = JA
7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;
eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´
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51. Problema no 12 - Heptagono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
A
AC⊥BD
J E AC ∩ BD = {O}
2 β1 = {B, r };
O 3 β1 ∩ α = {M, N};
4 MN ∩ OB = {P};
I F 5 MP = AE
6 AE = EF = FG = GH =
H G = HI = IJ = JA
7 AE, EF , FG, GH, HI, IJ, JA;
eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´
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52. ´
TOPICOS
1 ¸˜
Inscricao de Pol´gonos Regulares
ı
¸˜ ˆ ˆ
Inscricao de um triangulo numa circunferencia
¸˜ ˆ
Inscricao um quadrado numa circunferencia
¸˜ ´
Inscricao de um pentagono numa circunferencia ˆ
¸˜ ´
Inscricao de um hexagono numa circunferenciaˆ
´ ˆ
Inscrever um heptagono numa circunferencia
¸˜ ´ ˆ
Inscricao de um octogono numa circunferencia
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53. Problema no 13 - Octogono inscrito
´
α ˆ
O Dada uma circunferencia α,
´
inscrever um octogono.
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54. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
´ ¸˜
1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
AC⊥BD;
α AC ∩ BD = {O}
O
2 ˆ
AOE = E OB;ˆ
3 ˆ
AOG = GOD; ˆ
4 AE, EB, BF , FC,
CH, HD, DG, GA;
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55. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
´ ¸˜
A 1 α = {O, r }
{A, B, C, D} ∈ α;
AC⊥BD;
α AC ∩ BD = {O}
O
2 ˆ
AOE = E OB;ˆ
D B
3 ˆ
AOG = GOD; ˆ
4 AE, EB, BF , FC,
CH, HD, DG, GA;
C
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56. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
´ ¸˜
A 1 α = {O, r }
E {A, B, C, D} ∈ α;
AC⊥BD;
α AC ∩ BD = {O}
O
2 ˆ
AOE = E OB;ˆ
D B
3 ˆ
AOG = GOD; ˆ
H 4 AE, EB, BF , FC,
CH, HD, DG, GA;
C
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57. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
´ ¸˜
A 1 α = {O, r }
G E {A, B, C, D} ∈ α;
AC⊥BD;
α AC ∩ BD = {O}
O
2 ˆ
AOE = E OB;ˆ
D B
3 ˆ
AOG = GOD; ˆ
H F 4 AE, EB, BF , FC,
CH, HD, DG, GA;
C
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58. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
´ ¸˜
A 1 α = {O, r }
G E {A, B, C, D} ∈ α;
AC⊥BD;
α AC ∩ BD = {O}
O
2 ˆ
AOE = E OB;ˆ
D B
3 ˆ
AOG = GOD; ˆ
H F 4 AE, EB, BF , FC,
CH, HD, DG, GA;
C
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59. Problema no 13 - Octogono inscrito - solucao
´ ¸˜
A 1 α = {O, r }
G E {A, B, C, D} ∈ α;
AC⊥BD;
α AC ∩ BD = {O}
O
2 ˆ
AOE = E OB;ˆ
D B
3 ˆ
AOG = GOD; ˆ
H F 4 AE, EB, BF , FC,
CH, HD, DG, GA;
C
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