Aula03 ConstruçõEs Fundamentais

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Aula03 ConstruçõEs Fundamentais

  1. 1. Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas Em´ılio Eiji Kavamura Eng. Mecˆanica Universidade Positivo 6 de fevereiro de 2009 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  2. 2. SUM ´ARIO 1 construc¸ ˜oes Fundamentais Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto Bissetriz de um ˆangulo Transportar o ˆangulo Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais Paralela a uma reta por um ponto Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia Divis˜ao um segmento em partes iguais eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  3. 3. T ´OPICOS 1 construc¸ ˜oes Fundamentais Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto Bissetriz de um ˆangulo Transportar o ˆangulo Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais Paralela a uma reta por um ponto Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia Divis˜ao um segmento em partes iguais eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  4. 4. Problema no1 - Perpedincular a uma reta Dada uma reta a e um ponto P fora dela, trac¸ar por P a perpendicular `a reta dada. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  5. 5. Problema no1 - Perpedincular a uma reta Dada uma reta a e um ponto P fora dela, trac¸ar por P a perpendicular `a reta dada. 2009-02-06 Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas Construc¸ ˜oes Fundamentais Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto Problema no1 - Perpedincular a uma reta Definic¸ ˜ao: duas retas s˜ao ditas perpendiculares quando possuem um ponto em comum e formam entre si um ˆangulo de 90o
  6. 6. Problema no1 - Perpedincular a uma reta a Dada uma reta a e um ponto P fora dela, trac¸ar por P a perpendicular `a reta dada. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  7. 7. Problema no1 - Perpedincular a uma reta a P Dada uma reta a e um ponto P fora dela, trac¸ar por P a perpendicular `a reta dada. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  8. 8. Problema no1 - Perpedincular a uma reta a P Dada uma reta a e um ponto P fora dela, trac¸ar por P a perpendicular `a reta dada. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  9. 9. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao a P 1 α = {P, r}, r > dist{P, a}; 2 α ∩ a = {A, B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1} 4 I = β1 ∩ β2; 5 r3 ⊂ {P, I}; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  10. 10. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao a P r 1 α = {P, r}, r > dist{P, a}; 2 α ∩ a = {A, B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1} 4 I = β1 ∩ β2; 5 r3 ⊂ {P, I}; Trac¸ar uma circunferˆencia com centro em P e raio r maior que a distˆancia do ponto `a reta a; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  11. 11. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao a P A B 1 α = {P, r}, r > dist{P, a}; 2 α ∩ a = {A, B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1} 4 I = β1 ∩ β2; 5 r3 ⊂ {P, I}; a circunferˆencia intercepta a reta nos pontos A e B; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  12. 12. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao a P A B β2β1 1 α = {P, r}, r > dist{P, a}; 2 α ∩ a = {A, B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1} 4 I = β1 ∩ β2; 5 r3 ⊂ {P, I}; trac¸ar 2 circunferˆencias de mesmo raio com centros nos pontos A e B; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  13. 13. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao a P β2β1 I 1 α = {P, r}, r > dist{P, a}; 2 α ∩ a = {A, B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1} 4 I = β1 ∩ β2; 5 r3 ⊂ {P, I}; as 2 circunferˆencias se interceptam no ponto I; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  14. 14. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao a P I r3 1 α = {P, r}, r > dist{P, a}; 2 α ∩ a = {A, B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1} 4 I = β1 ∩ β2; 5 r3 ⊂ {P, I}; trac¸ar uma reta que passa por P e por I, que ´e a procurada; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  15. 15. Problema no1 - Perpedincular a uma reta - soluc¸ ˜ao a P r3 1 α = {P, r}, r > dist{P, a}; 2 α ∩ a = {A, B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1} 4 I = β1 ∩ β2; 5 r3 ⊂ {P, I}; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  16. 16. Revisando - Perpedincular a uma reta a P eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  17. 17. Revisando - Perpedincular a uma reta a P r eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  18. 18. Revisando - Perpedincular a uma reta a P r eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  19. 19. Revisando - Perpedincular a uma reta a P r eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  20. 20. Revisando - Perpedincular a uma reta a P r eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  21. 21. Revisando - Perpedincular a uma reta a P r eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  22. 22. Revisando - Perpedincular a uma reta a P r eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  23. 23. Revisando - Perpedincular a uma reta a P r eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  24. 24. Revisando - Perpedincular a uma reta a P r eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  25. 25. Revisando - Perpedincular a uma reta a P r eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  26. 26. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  27. 27. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  28. 28. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  29. 29. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  30. 30. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  31. 31. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  32. 32. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  33. 33. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  34. 34. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  35. 35. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  36. 36. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  37. 37. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  38. 38. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  39. 39. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  40. 40. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  41. 41. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  42. 42. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  43. 43. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  44. 44. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  45. 45. Revisando - Perpedincular a uma reta a P A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  46. 46. Revisando - Perpedincular a uma reta a P eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  47. 47. Revisando - Perpedincular a uma reta a P I r3 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  48. 48. Revisando - Perpedincular a uma reta a P I r3 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  49. 49. Revisando - Perpedincular a uma reta a P I r3 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  50. 50. Revisando - Perpedincular a uma reta a P I r3 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  51. 51. T ´OPICOS 1 construc¸ ˜oes Fundamentais Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto Bissetriz de um ˆangulo Transportar o ˆangulo Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais Paralela a uma reta por um ponto Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia Divis˜ao um segmento em partes iguais eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  52. 52. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo O r s Dado um par de retas r e s e o ponto O de cruzamento. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  53. 53. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo O r s Dado um par de retas r e s e o ponto O de cruzamento. Determine a bissetriz do ˆangulo formado por elas. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  54. 54. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao O r s 1 γ = {O, r}; 2 γ ∩ r = {A}; γ ∩ s = {B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1}; 4 I = β1 ∩ β2; 5 r1 ⊂ {O, I}; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  55. 55. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao O r s γ 1 Trac¸ar um arco de circunferˆencia, γ, com centro em O e raio r qualquer; γ = {O, r}; 2 γ ∩ r = {A}; γ ∩ s = {B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1}; 4 I = β1 ∩ β2; 5 r1 ⊂ {O, I}; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  56. 56. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao O r s γ A B 1 γ = {O, r}; 2 o arco intercepta as retas nos pontos A e B; γ ∩ r = {A}; γ ∩ s = {B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1}; 4 I = β1 ∩ β2; 5 r1 ⊂ {O, I}; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  57. 57. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao O r s γ A B β1 β2 1 γ = {O, r}; 2 γ ∩ r = {A}; γ ∩ s = {B}; 3 Trac¸a-se dois arcos com centro em A e em B; β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1}; 4 I = β1 ∩ β2; 5 r1 ⊂ {O, I}; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  58. 58. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao O r s γ A B β1 β2 I 1 γ = {O, r}; 2 γ ∩ r = {A}; γ ∩ s = {B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1}; 4 a intersecc¸ ˜ao das 2 circunferˆencias define o ponto I; I = β1 ∩ β2; 5 r1 ⊂ {O, I}; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  59. 59. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao O r s I r1 1 γ = {O, r}; 2 γ ∩ r = {A}; γ ∩ s = {B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1}; 4 I = β1 ∩ β2; 5 trac¸ar uma reta que passa por O e por I, que ´e a procurada; r1 ⊂ {O, I}; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  60. 60. Problema no2 - bissetriz de um ˆangulo - soluc¸ ˜ao O r s I r1 1 γ = {O, r}; 2 γ ∩ r = {A}; γ ∩ s = {B}; 3 β1 = {A, r1}; β2 = {B, r1}; 4 I = β1 ∩ β2; 5 r1 ⊂ {O, I}; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  61. 61. T ´OPICOS 1 construc¸ ˜oes Fundamentais Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto Bissetriz de um ˆangulo Transportar o ˆangulo Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais Paralela a uma reta por um ponto Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia Divis˜ao um segmento em partes iguais eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  62. 62. Problema no4 - transporte de ˆangulo b a O Dado duas retas a e b, distintas. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  63. 63. Problema no4 - transporte de ˆangulo b a O θ c P Dado duas retas a e b, distintas. Deseja-se transportar o ˆangulo θ formado por elas, para uma terceira reta c em seu ponto P. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  64. 64. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao b a O θ c P 1 γ = {O, r}, ∀r; 2 γ ∩ a = {A}; γ ∩ b = {B}; 3 β1 = {P, r}; 4 C = β1 ∩ c; 5 dist(A, B) = dist(C, D); 67 PD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  65. 65. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao b a O θ c P γ r 1 Trac¸ar um arco de circunferˆencia, γ, com centro em O e raio qualquer r; γ = {O, r}, ∀r; 2 γ ∩ a = {A}; γ ∩ b = {B}; 3 β1 = {P, r}; 4 C = β1 ∩ c; 5 dist(A, B) = dist(C, D); 67 PD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  66. 66. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao b a O θ c P γ r B A 1 γ = {O, r}, ∀r; 2 o arco intercepta as retas no pontos A e B; γ ∩ a = {A}; γ ∩ b = {B}; 3 β1 = {P, r}; 4 C = β1 ∩ c; 5 dist(A, B) = dist(C, D); 67 PD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  67. 67. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao b a O θ c P γ r B A β1 r 1 γ = {O, r}, ∀r; 2 γ ∩ a = {A}; γ ∩ b = {B}; 3 Trac¸ar o arco β1 com centro em P e raio r; β1 = {P, r}; 4 C = β1 ∩ c; 5 dist(A, B) = dist(C, D); 67 PD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  68. 68. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao b a O θ c P γ B A β1 C r 1 γ = {O, r}, ∀r; 2 γ ∩ a = {A}; γ ∩ b = {B}; 3 β1 = {P, r}; 4 A intersecc¸ ˜ao do arco com a reta c ´e o ponto C; C = β1 ∩ c; 5 dist(A, B) = dist(C, D); 67 PD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  69. 69. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao b a O θ c P γ B A β1 C dist (A,B) 1 γ = {O, r}, ∀r; 2 γ ∩ a = {A}; γ ∩ b = {B}; 3 β1 = {P, r}; 4 C = β1 ∩ c; 5 Transportar o arco A ˆOB para C ˆPD ; dist(A, B) = dist(C, D); 67 PD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  70. 70. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao b a O θ c P γ B A β1 C dist (A,B) D 1 γ = {O, r}, ∀r; 2 γ ∩ a = {A}; γ ∩ b = {B}; 3 β1 = {P, r}; 4 C = β1 ∩ c; 5 dist(A, B) = dist(C, D); 6 D est´a sobre o arco β1 a uma distˆancia AB do ponto C; D = β1 ∩ (C, dist(A, B)); 7 PD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  71. 71. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao b a O θ c P γ B A β1 C dist (A,B) D 1 γ = {O, r}, ∀r; 2 γ ∩ a = {A}; γ ∩ b = {B}; 3 β1 = {P, r}; 4 C = β1 ∩ c; 5 dist(A, B) = dist(C, D); 6 D = β1 ∩ (C, dist(A, B)); 7 A reta definida por P e D ´e a reta procurada; PD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  72. 72. Problema no4 - transporte de ˆangulo - soluc¸ ˜ao b a O θ c P D 1 γ = {O, r}, ∀r; 2 γ ∩ a = {A}; γ ∩ b = {B}; 3 β1 = {P, r}; 4 C = β1 ∩ c; 5 dist(A, B) = dist(C, D); 6 D = β1 ∩ (C, dist(A, B)); 7 PD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  73. 73. T ´OPICOS 1 construc¸ ˜oes Fundamentais Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto Bissetriz de um ˆangulo Transportar o ˆangulo Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais Paralela a uma reta por um ponto Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia Divis˜ao um segmento em partes iguais eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  74. 74. Problema no5 - Angulo em 4 partes iguais O processo consiste em repetir a construc¸ ˜ao da bissetriz 3 vezes: para dividir o ˆangulo em duas partes iguais; para dividir cada uma das partes obtidas; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  75. 75. O r s eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  76. 76. O r s γ eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  77. 77. O r s γ eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  78. 78. O r s γ eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  79. 79. O r s γ eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  80. 80. O r s γ eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  81. 81. O r s γ eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  82. 82. O r s γ eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  83. 83. O r s γ eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  84. 84. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  85. 85. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  86. 86. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  87. 87. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  88. 88. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  89. 89. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  90. 90. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  91. 91. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  92. 92. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  93. 93. O r s γ A B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  94. 94. O r s γ A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  95. 95. O r s A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  96. 96. O r s A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  97. 97. O r s A B β1 β2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  98. 98. O r s A B β1 β2 I eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  99. 99. O r s A B β1 β2 I eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  100. 100. O r s β1 β2 I eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  101. 101. O r s I eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  102. 102. O r s I eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  103. 103. O r s I eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  104. 104. O r s I r1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
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  118. 118. O r s eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
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  120. 120. O r s eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  121. 121. O r s eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  122. 122. O r s eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  123. 123. O r s eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  124. 124. O r s eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  125. 125. O r s eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  126. 126. T ´OPICOS 1 construc¸ ˜oes Fundamentais Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto Bissetriz de um ˆangulo Transportar o ˆangulo Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais Paralela a uma reta por um ponto Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia Divis˜ao um segmento em partes iguais eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  127. 127. Problema no3 - Reta paralela P a Dado uma reta a, e um ponto P distintos. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  128. 128. Problema no3 - Reta paralela P a Dado uma reta a, e um ponto P distintos. Deseja-se trac¸ar uma segunda reta b paralela a a pelo ponto P. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  129. 129. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao P a 1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a); 2 γ1 ∩ a = {A}; 3 (A, dist(a, P)) γ2 ∩a = {B}; 4 γ3 = (A, dist(B, P)) γ4 = (P, dist(B, P)) γ3 ∩ γ4 = {C}; 5 PC; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  130. 130. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao P a r γ1 1 Trace um arco de circunferˆencia, γ1, com centro em P e raio r maior que a distˆancia do ponto P a reta a; γ1 = {P, r}, r > dist(P, a); 2 γ1 ∩ a = {A}; 3 (A, dist(a, P)) γ2 ∩a = {B}; 4 γ3 = (A, dist(B, P)) γ4 = (P, dist(B, P)) γ3 ∩ γ4 = {C}; 5 PC; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  131. 131. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao P a r γ1 A 1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a); 2 γ1 intercepta a reta a no ponto A; γ1 ∩ a = {A}; 3 (A, dist(a, P)) γ2 ∩a = {B}; 4 γ3 = (A, dist(B, P)) γ4 = (P, dist(B, P)) γ3 ∩ γ4 = {C}; 5 PC; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  132. 132. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao P a r γ1 A γ2 B 1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a); 2 γ1 ∩ a = {A}; 3 γ2 arco com centro em A e raio AP intercepta a no ponto B; (A, dist(a, P)) γ2 ∩a = {B}; 4 γ3 = (A, dist(B, P)) γ4 = (P, dist(B, P)) γ3 ∩ γ4 = {C}; 5 PC; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  133. 133. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao P a A γ3 γ4 B C 1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a); 2 γ1 ∩ a = {A}; 3 (A, dist(a, P)) γ2 ∩a = {B}; 4 o arco centro em B e abertura BP ´e transderido para A; γ3 = (A, dist(B, P)) γ4 = (P, dist(B, P)) γ3 ∩ γ4 = {C}; 5 PC; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  134. 134. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao P a C 1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a); 2 γ1 ∩ a = {A}; 3 (A, dist(a, P)) γ2 ∩a = {B}; 4 γ3 = (A, dist(B, P)) γ4 = (P, dist(B, P)) γ3 ∩ γ4 = {C}; 5 a direc¸ ˜ao definida pelos pontos P e C suporta a reta procurada; PC; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  135. 135. Problema no3 - Reta paralela - soluc¸ ˜ao P a 1 γ1 = {P, r}, r > dist(P, a); 2 γ1 ∩ a = {A}; 3 (A, dist(a, P)) γ2 ∩a = {B}; 4 γ3 = (A, dist(B, P)) γ4 = (P, dist(B, P)) γ3 ∩ γ4 = {C}; 5 PC; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  136. 136. Revisando P a eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  137. 137. Revisando P a r γ1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  138. 138. Revisando P a r γ1 A eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  139. 139. Revisando P a r γ1 A eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  140. 140. Revisando P a r γ1 A eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  141. 141. Revisando P a r γ1 A eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  142. 142. Revisando P a r γ1 A eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  143. 143. Revisando P a r γ1 A eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  144. 144. Revisando P a r γ1 A eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  145. 145. Revisando P a r γ1 AA γ2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  146. 146. Revisando P a A γ2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  147. 147. Revisando P a A γ2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  148. 148. Revisando P a A γ2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  149. 149. Revisando P a A γ2 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  150. 150. Revisando P a A γ2 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  151. 151. Revisando P a A γ2 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  152. 152. Revisando P a A γ2 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  153. 153. Revisando P a A γ2 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  154. 154. Revisando P a A γ2 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  155. 155. Revisando P a A γ2 γ3 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  156. 156. Revisando P a A γ2 γ3 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  157. 157. Revisando P a A γ2 γ3 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  158. 158. Revisando P a A γ2 γ3 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  159. 159. Revisando P a A γ2 γ3 B eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  160. 160. Revisando P a A γ2 γ3 γ4 B C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  161. 161. Revisando P a A γ3 γ4 B C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  162. 162. Revisando P a A γ3 γ4 B C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  163. 163. Revisando P a A γ3 γ4 B C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  164. 164. Revisando P a A γ3 γ4 B C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  165. 165. Revisando P a A γ3 γ4 B C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  166. 166. Revisando P a AB C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  167. 167. Revisando P a AB C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  168. 168. Revisando P a AB C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  169. 169. Revisando P a AB C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  170. 170. Revisando P a AB C eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  171. 171. Revisando P a eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  172. 172. T ´OPICOS 1 construc¸ ˜oes Fundamentais Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto Bissetriz de um ˆangulo Transportar o ˆangulo Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais Paralela a uma reta por um ponto Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia Divis˜ao um segmento em partes iguais eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  173. 173. Problema no6 - Paralela de uma reta EF a Dado uma reta a, e uma distˆancia EF. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  174. 174. Problema no6 - Paralela de uma reta EF a Dado uma reta a, e uma distˆancia EF. Deseja-se trac¸ar uma segunda reta b paralela a a e distante de EF. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  175. 175. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao EF a 1 A, B ∈ a, A = B; 2 a1⊥a, {A} ∈ a1; a2⊥a, {B} ∈ a2; 3 a1 ∩ {A, EF} = {C}; a2 ∩ {B, EF} = {D}; 4 {C, D} ∈ b; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  176. 176. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao EF a A B 1 Escolha 2 pontos distintos quaiquer, A e B; A, B ∈ a, A = B; 2 a1⊥a, {A} ∈ a1; a2⊥a, {B} ∈ a2; 3 a1 ∩ {A, EF} = {C}; a2 ∩ {B, EF} = {D}; 4 {C, D} ∈ b; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  177. 177. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao EF a A B a1 a2 1 A, B ∈ a, A = B; 2 Trace as perpendiculares a a por A e por B; a1⊥a, {A} ∈ a1; a2⊥a, {B} ∈ a2; 3 a1 ∩ {A, EF} = {C}; a2 ∩ {B, EF} = {D}; 4 {C, D} ∈ b; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  178. 178. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao EF a A B a1 a2 C D 1 A, B ∈ a, A = B; 2 a1⊥a, {A} ∈ a1; a2⊥a, {B} ∈ a2; 3 Transfira a distˆancia EF sobre a1 e sobre a2; a1 ∩ {A, EF} = {C}; a2 ∩ {B, EF} = {D}; 4 {C, D} ∈ b; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  179. 179. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao a A B C D 1 A, B ∈ a, A = B; 2 a1⊥a, {A} ∈ a1; a2⊥a, {B} ∈ a2; 3 a1 ∩ {A, EF} = {C}; a2 ∩ {B, EF} = {D}; 4 a reta que cont´em os pontos C e D ´e a resposta; {C, D} ∈ b; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  180. 180. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao a b 1 A, B ∈ a, A = B; 2 a1⊥a, {A} ∈ a1; a2⊥a, {B} ∈ a2; 3 a1 ∩ {A, EF} = {C}; a2 ∩ {B, EF} = {D}; 4 {C, D} ∈ b; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  181. 181. Problema no6 - Paralela de uma reta - soluc¸ ˜ao a b 1 A, B ∈ a, A = B; 2 a1⊥a, {A} ∈ a1; a2⊥a, {B} ∈ a2; 3 a1 ∩ {A, EF} = {C}; a2 ∩ {B, EF} = {D}; 4 {C, D} ∈ b; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  182. 182. T ´OPICOS 1 construc¸ ˜oes Fundamentais Perpedincular a uma reta dada por um ponto distinto Bissetriz de um ˆangulo Transportar o ˆangulo Divis˜ao de um ˆangulo em 4 partes iguais Paralela a uma reta por um ponto Paralela de uma reta a uma determinada distˆancia Divis˜ao um segmento em partes iguais eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  183. 183. Problema no7 - Divis˜ao de segmento A D Dado um segmento de reta AD, dividi-la em trˆes partes iguais. eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  184. 184. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao A D 1 b, b = AD, b ∩ AD = {A}; 2 {A, r} ∩ b = {B1}, {B1, r} ∩ b = {C1}, {C1, r} ∩ b = {D1}; 3 D1D; 4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ; B1B//D1D, {B} ∈ AD; 5 AB = BC = CD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  185. 185. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao AD b A D 1 Trace um segmento de reta b com extremidade na reta dada; b, b = AD, b ∩ AD = {A}; 2 {A, r} ∩ b = {B1}, {B1, r} ∩ b = {C1}, {C1, r} ∩ b = {D1}; 3 D1D; 4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ; B1B//D1D, {B} ∈ AD; 5 AB = BC = CD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  186. 186. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao b A D B1 C1 D1 1 b, b = AD, b ∩ AD = {A}; 2 Marque trˆes pontos equidistantes sobre b: B, C, D; {A, r} ∩ b = {B1}, {B1, r} ∩ b = {C1}, {C1, r} ∩ b = {D1}; 3 D1D; 4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ; B1B//D1D, {B} ∈ AD; 5 AB = BC = CD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  187. 187. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao b A D B1 C1 D1 1 b, b = AD, b ∩ AD = {A}; 2 {A, r} ∩ b = {B1}, {B1, r} ∩ b = {C1}, {C1, r} ∩ b = {D1}; 3 Trace D1D; D1D; 4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ; B1B//D1D, {B} ∈ AD; 5 AB = BC = CD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  188. 188. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao b A B C D B1 C1 D1 1 b, b = AD, b ∩ AD = {A}; 2 {A, r} ∩ b = {B1}, {B1, r} ∩ b = {C1}, {C1, r} ∩ b = {D1}; 3 D1D; 4 Trace as parelelas a D1D: C1C, B1B; C1C//D1D, {C} ∈ AD ; B1B//D1D, {B} ∈ AD; 5 AB = BC = CD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  189. 189. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao A B C D 1 b, b = AD, b ∩ AD = {A}; 2 {A, r} ∩ b = {B1}, {B1, r} ∩ b = {C1}, {C1, r} ∩ b = {D1}; 3 D1D; 4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ; B1B//D1D, {B} ∈ AD; 5 o segmento AD ´e dividido em trˆes partes iguais pelos pontos B e C AB = BC = CD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  190. 190. Problema no7 - Divis˜ao de segmento - soluc¸ ˜ao A B C D 1 b, b = AD, b ∩ AD = {A}; 2 {A, r} ∩ b = {B1}, {B1, r} ∩ b = {C1}, {C1, r} ∩ b = {D1}; 3 D1D; 4 C1C//D1D, {C} ∈ AD ; B1B//D1D, {B} ∈ AD; 5 AB = BC = CD; eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  191. 191. Revisando A D eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  192. 192. Revisando AD b A D eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  193. 193. Revisando b A D B1 C1 D1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  194. 194. Revisando b A D B1 C1 D1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  195. 195. Revisando b A B C D B1 C1 D1 eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  196. 196. Revisando A B C D eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas
  197. 197. Revisando A B C D eek.up@hotmail.com Desenho T´ecnico - Construc¸ ˜oes Geom´etricas

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