Lista de exercicios Calculo 4

1. Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a
MA64A-S41-C´alculo 4
Junho de 2013
Lista de exerc´ıcios 1
1. Calcule a s´erie de Fourier das seguintes fun¸c˜oes de periodo p = 2L, e fa¸ca um gr´afico
da fun¸c˜ao e das trˆes primeiras somas parcias.
(a) f(x) = x2
, se −1 < x < 1 e p = 2,
(b) f(x) = sin(πx), se 0 < x < 1 e p = 1,
(c) f(t) =
1 + t, se − 1 < t < 0
1 − t, se 0 < t < 1
e p = 2,
(d) f(x) =



−x, se − 1 < x < 0
x, se 0 < x < 1
1, se 1 < x < 3
e p = 4.
2. Sejam f1(x) e f2(x) fun¸c˜oes definidas por:
f1(x) =
0, se − π ≤ x < 0
1, se 0 ≤ x ≤ π
, f2(x) =
0, se − π ≤ x < 0
x, se 0 ≤ x ≤ π.
Estas fun¸c˜oes podem ser representadas por s´eries de Fourier da seguinte forma:
f1(x) =
1
2
+
2
π
∞
n=1
sin(2n − 1)x
2n − 1
, 0 < |x| < π;
f2(x) =
π
4
−
2
π
∞
n=1
cos(2n − 1)x
(2n − 1)2
, −π < x < π.
Sem fazer outras integra¸c˜oes, determine as s´eries de Fourier das seguintes fun¸c˜oes:
(a) f3(x) =
1, se − π ≤ x < 0
0, se 0 ≤ x ≤ π
,
(b) f4(x) =
1, se − π ≤ x < 0
x, se 0 ≤ x ≤ π
,
(c) f5(x) =
1, se − π ≤ x < 0
1 + 2x, se 0 ≤ x ≤ π
,
(d) f6(x) =
2 − 3x, se − π ≤ x < 0
x, se 0 ≤ x ≤ π
.
3. Use os resultados dos exerc´ıcios anteriores e a identidade de Parseval para verificar as
seguintes identidades.
(a)
π2
12
=
1
12
−
1
22
+
1
32
−
1
42
· · · +
(−1)n+1
n2
+ · · · ,
(b)
π2
8
=
1
12
+
1
32
+ · · · +
1
(2n − 1)2
+ · · ·
(c)
π4
90
=
1
14
+
1
24
+ · · · +
1
n4
+ · · ·
(d)
π6
945
=
1
16
+
1
26
+ · · · +
1
n6
+ · · ·

2. 4. Calcule a S´erie de Fourier das extens˜oes par e impar das seguintes fun¸c˜oes indicando se
h´a pontos onde a s´erie n˜ao converge `a fun¸c˜ao. Desenhe as fun¸c˜oes, as duas extens˜oes e
as trˆes primeiras somas parciais.
(a) f(x) = 2 − x para 0 < x < 2,
(b) f(x) = x2
para 0 < x < L,
(c) f(x) =
1, se 0 < x < 1
2, se 1 < x < 2
(d) f(x) =
x, se 0 < x < π
2
π/2, se π
2
< x < π
5. Investigue e descreva nas suas proprias palavras o que ´e o fen´omeno de Gibbs.