8ª lista de exercícios exponencial e logaritmo

2.609 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.609
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
2
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
12
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

8ª lista de exercícios exponencial e logaritmo

  1. 1. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues da Silva http: www.robson.mat.br e-mail: robsonmat@uol.com.br 8ª Lista de Exercícios – Exponencial e Logaritmos Vimos que os problemas envolvendo crescimento populacional, juros compostos, disseminação dedoenças, desintegração de material radioativo etc, podem ser modelados através da função exponencial natural 1 ny = e onde e é o famoso número de Euler definido por : e = lim (1  x ) = 2,718... n nQuestão 01. O modelo matemático que descreve o crescimento de uma cultura de bactérias é dada 125 ,por: P  onde P é o peso da cultura em gramas e t o tempo em horas. Utilizando esse 1  0,25e 0,4tmodelo, complete a tabela abaixo: t 0 1 10 P u uQuestão 02. Lembrando que (e )’ = e .u’ , determine a derivada das seguintes funções exponenciais: 2 5t e) p  e t x x 2x 2t+5a) y = e b) y = 2e c) y = e d) p = e senx x x -xf) w = 5e g) w = x.e h) y = e + eQuestão 03. x a) Esboce o gráfico da função y = e . x b) Trace a reta tangente ao gráfico da função y = e no ponto de abscissa x = 1. c) Determine a equação da reta tangente citada no item anterior. 0,03tQuestão 04. Estima-se que daqui a t anos, a população de um certo país será P(t) = 50e milhõesde habitantes. a) Qual é a população atual desse país? Qual será a população daqui a 10 anos? b) Atualmente qual é a taxa de variação da população com o tempo? c) Quanto tempo será necessário para que a população desse país seja o triplo da atual?
  2. 2. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues da SilvaQuestão 05. Na Arqueologia: em 1960, W.F.Libby ganhou o prêmio Nobel pela descoberta dadatação por carbono, uma técnica usada para determinar a idade de fósseis e artefatos.Apresentamos a seguir uma descrição resumida da técnica. A incidência de raios cósmicos nas camadas superiores da atmosfera converte parte do nitrogênio num isótopo 14radioativo de carbono, C. A vegetação, pela absorção de dióxido de carbono (CO 2) da atmosfera, retém um pouco desse 14isótopo.Todas as demais formas de vida também acabam retendo C pela cadeia alimentar. Enquanto vivo, o nível desseisótopo no organismo é constante. Quando a planta, ou animal, morre, cessa a reposição de carbono 14 no organismo e essenível decresce, gradualmente, com o decorrer do tempo; a cada 5730 anos o nível de carbono 14 reduz-se à metade (tempode meia-vida). Nessas condições, esse nível, t anos após a morte, é dado por N(t) = N 0.e-kt , onde k é uma constante e vale1,21.10-4. A partir dessas informações podemos obter uma estimativa da idade de um fóssil. Testes realizados em um fóssil descoberto no sítio arqueológico de Debert, na Nova Escócia, 14revelam que 28% do isótopo C original ainda estão presentes. Qual é a idade aproximada do fóssil, 14sabendo-se que a lei matemática que descreve o nível do isótopo C daqui a t a anos é dado por -kt -4N(t) = N0.e onde, k = 1,21.10 e N0 representa o nível de carbono 14 encontrado atualmente nosseres vivos? uQuestão 06. Lembrando que (lnu)  determine a derivada das seguintes funções logarítmicas: u 2a) y = lnx b) y = 2lnx c) y = ln(2x) d) y = ln(x + 5x) e) y = ln(x+1) ln x m) y = ln( x  1 ) 2f) p = ln(2t + 5t) g) w = ln(5t) h) p = t.lnt I) w = xQuestão 07. O corpo de uma vítima de assassinato foi encontrado às 22 horas. Às 22h30 o médico oda polícia chegou e, imediatamente, mediu a temperatura do cadáver, que era de 32,5 C . Uma hora omais tarde, mediu a temperatura outra vez e ela era de 31,5 C. A temperatura do ambiente foi o omantida constante a 16,5 C. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva seja de 36,5 C, e -2ktsuponha que a lei matemática que descreve o resfriamento do corpo é dada por D(t) = D 0.e , emque t é o tempo em horas, D0 é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente noinstante t = 0, D(t) é a diferença de temperatura do cadáver com o meio ambiente num instante tqualquer, e k é uma constante positiva. Determine: a) a constante k; b) a hora em que a pessoa morreu.Questão 08. A densidade populacional, a x quilômetros do centro de uma cidade, é dada por uma -kxfunção da forma D = A.e . Encontre essa função, sabendo-se que a densidade populacional no 2 2centro da cidade é de 15000 hab/km , e a densidade a 10 km do centro é de 9000 hab/km .Questão 09. A quantidade de uma certa substância radioativa remanescente após t anos é dada por -ktuma função da forma Q = Qoe , onde Qo é a quantidade inicial e k uma constante positiva. Encontreo tempo de meia-vida dessa substância.
  3. 3. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues da Silva http: www.robson.mat.br e-mail: robsonmat@uol.com.br GABARITO – 8ª Lista de Exercícios – Exponencial e LogaritmosQuestão 01. t 0 1 10 P 1 1,07 1,24Questão 02. x x 2xa) y’=e b) y’=2 e c) 2.e d) p  2.e 2t 5 f) w  5.e senx . cos x g) w  (1  x).e x h) y  e x  e  x 2 5 te) p  (2t  5).e tQuestão 03.a) y  e x x y 8 0 1 7 2; 7,4 1 2,7 6 2 7,4 5 4 3 1; 2,7 2 1 0; 1 0 0 0,5 1 1,5 2 2,5b) y  e x c) y  y 0  m( x  x 0 ) y  e x y  2,7  2,7( x  1) y  2,7x y (1)  e 1  2,7 tg 1 2,7  69º 48Questão 04.a) t  0  P  50.e 0  50 milhões de habitantes b) P(t )  50.e 0,03 t t  10  P  50.e 0,03.10  67,5 milhões de habitantes. P (t )  15.e 0,03 t , P (0)  15.e 0,03.0  15 milhões de habitantes/ano. , ,c) 150  50.e 0,03 t 3  e 0,03 t ln 3  0,03t t  37anosQuestão 05.0,28N0  N0 .e ktln 0,28  ln e kt  1,27  kt 1,27t  10496anos 1 21.10  4 ,Questão 06. 1 2 1 2x  5 1a) y  b) y  c) y  d) y  e) y  x x x 2 x  5x x 1 4t  5 1 h) p  ln t  1  ln x  1 1f) p  g) w  i) w  j) y  2t 2  5t t x2 2x  2
  4. 4. Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Robson Rodrigues da SilvaQuestão 07. 15  16.e 2.k.1 D  D 0 .e 2.0,03 .t e  2k  0,94 20  16.e 0,06 .t b)a) ln e  2k  ln 0,94 1,25  e 0,06 .t  2k ln e  ln 0,94 ln1,25  ln e 0,06 t k  0,031 t  3,72 horas t  3 : 43h Hora que ocorreu o crime: 22 : 30  3 : 43  18 : 47hQuestão 08.x  0  D 0  15000hab / km 2  Ax  10  D  9000D  A.e k.x9000  15000.e k.100,6  e k.10ln 0,6  ln e k.10k  0,051D  15000.e 0,051 .xQuestão 09. 1 Q 0  Q 0 .e k.t2 1ln  ln e k.t 2ln 2 1  kt ln 2  kt ln 2 0,693t  k k

×